EJERCICIO NUMERO 2

METODO DE LOS TRES MOMENTOS

Teniendo esta estructura, los empotramientos serán cambiado por tramos ficticios de longitudes 0.

Posteriormente teniendo esta estructura ya se podrá aplicar el metodo de los tres momentos simplificado.

M°A LA+2M °B (LA+LB )+M°C L2+6× A A×aA

LA+6× AB×bB

LB=6EI (

δALA

+δBLB

)

Como los apoyos son simples en estos puntos no existirán los desplazamientos lineales, por lo tanto la ecuación se reducirá a:

M A LA+2MB (LA+LB )+MCL2+6× AA×aA

LA+6× AB×bB

LB=0

0-1-2

M 0(0)+2M 1 (0+5.65 )+M 2 (5.65 )+ 8.023×5.653

4=0

1-2-3

M 1×5.65+2M 2 (5.65+3.955 )+M 3 (3.955 )+8.023×5.653

4+ 7.91×3.955

3

4=0

2-3-4

M 2×3.955+2M3 (3.955+3.955 )+M 4 (3.955 )+ 7.91×3.9553

4+8.475×3.955

3

4=0

3-4-5

M 3×3.955+2M 4 (3.955+9.04 )+M 5 (9.04 )+8.475×3.9553

4

+6.78×5.65×(9.042−5.65¿¿2)

9.04+7.91×

3.39×(9.042−3.39¿¿2)9.04

=0¿¿

4-5-0’

M 4×9.04+2M 5 (9.04 )+M 0' (0 )+6.78× 3.39×(9.042−3.39¿¿2)9.04

¿

+7.91×5.65×(9.042−5.65¿¿2)

9.04=0¿

Desarrollaremos las ecuaciones anteriores y las ordenaremos de la siguiente manera para luego formar matrices

11.3M 1+5.65M 2=−361.761

5.65M 1+19.21M 2+3.955M3=−484.098

3.955M 2+15.82M 3+3.995M 4=−253.411

3.955M 3+25.99M 4+9.04M 5=−550.417

9.04M 4+18.08M 5=−424.753

La matriz sería:

[11.3 5.65 0 0 05.65 19.21 3.955 0 0000

3.95500

15.823.9550

3.95525.999.04

09.0418.08

]×[M 1

M 2

M 3

M 4

M 5

]=[−361.761−484.098−253.411−550.417−424.753

]El resultado de la ecuación de matrices anterior es :

M 1=−23.768Tn .mM 2=−16.492Tn .mM 3=−8.343Tn .mM 4=−14.208M 5=−16.389

METODO DE PENDIENTE Y DEFLEXION

Hallamos las rigideces relativos

K12=I12L12

= I5.65

=0.177 I=K21

K23=I 23L23

= I3.955

=0.253 I=K32

K34=I 34L34

= I3.955

=0.253 I=K43

K45=I 34L34

= I9.04

=0.111 I=K54

Cálculo de momentos de empotramiento perfecto

M°12=−w l2

12=−8.023×5.652

12=−21.343 Tn.m

M°21=w l2

12=−8.023×5.652

12=21.343 Tn.m

M°23=−w l2

12=−7.91×3.9552

12=−10.311Tn.m

M°32=w l2

12=−7.91×3.9552

12=10.311 Tn.m

M°34=−w l2

12=−8.475×3.9552

12=−11.047Tn .m

M °34=w l2

12=−8.475×3.9552

12=11.047 Tn .m

M° 45=−Pab2

L2− Pab

2

L2=−6.78×3.39×5.652

9.042−7.91×5.65×3.39

2

9.042

¿−15.263Tn.m

M °54=Pba2

L2+Pba

2

L2=6.78×5.65×3.39

2

9.042+7.91×3.39×5.65

2

9.042

¿15.861Tn.m

Remplazamos las rigideces y momentos, en las ecuaciones generales

M ij=E K ij (2θ i+θ j±3δL)±M °ij

M ji=E K ji(2θi+θ j±3δL)±M ° ji

Como en los apoyos no existen desplazamientos angulares el elemento 3δL

es nulo, quedando:

M ij=E K ij (2θ i+θ j)±M °ij

M ji=E K ji(θ i+2θ j)±M ° ji

M 12=0.177 EI (θ2)−21.343

M 21=0.177 EI (2θ2 )+21.343

M 23=0.253 EI (2θ2+θ3)−10.311

M 32=0.253 EI (θ2+2θ3 )+10.311

M 34=0.253 EI (2θ3+θ4)−11.047

M 43=0.253 EI (θ3+2θ4 )+11.047

M 45=0.111EI (2θ4)−15.263

M 54=0.111 EI (θ4 )+15.861

Análisis

Para poder plantear las 5 ecuaciones analizaremos la estructura:

Apoyo 1, es un empotramiento; M 12≠0

Apoyo 2, es un apoyo simple; M 21+M 23=0

Apoyo 3, es un apoyo simple;M 32+M 34=0

Apoyo 4, es un apoyo simple;M 43+M 45=0

Apoyo 5, es un empotramiento; M 54≠0

Incógnitas

M 12, θ2 , θ3 ,θ4 yM 54; son las cinco incógnitas, por lo tanto debemos tener 5 ecuaciones

Condicionando las expresiones y reduciendo

Se sacará de factor común EI

−M 12+0.177θ2+0+0+0=21.343

0+0.86θ2+0.253θ3+0+0=−11.032

0+0.253θ2+1.012θ3+0.253θ4+0=0.736

0+0+0.253θ3+0.728θ4+0=4.216

0+0+0+0.111θ4−M 54=−15.861

Conversión a matriz

La matriz sería:

[−1 0.177 0 0 00 0.86 0.253 0 0000

0.25300

1.0120.2530

0.2530.7280.111

00

−1]×[M 12

θ2θ3θ4M 54

]=[21.343

−11.0320.7364.216

−15.861]

El resultado de la ecuación de matrices anterior son :

M 1=−23.768Tn .mθ2=−13.6992θ3=2.9616θ4=4.762θ5=16.389

Reemplazando obtenemos:

M 12=0.177 EI (θ2)−21.343=23.768Tn .m

M 21=0.177 EI (2θ2 )+21.343 =16.493

M 23=0.253 EI (2θ2+θ3 )−10.311=−16.493Tn

M 32=0.253 EI (θ2+2θ3 )+10.311=8.344Tn

M 34=0.253 EI (2θ3+θ4 )−11.047=−8.343Tn

M 43=0.253 EI (θ3+2θ4 )+11.047=14.206Tn

M 45=0.111 EI (2θ4 )−15.263=−14.209

M 54=0.111 EI (θ4 )+15.861=16.389

Arreglar errores:

8.344−8.3432

=0.0005 M 3=8.344

14.206−14.2092

=0.0015 M 3=14.208

Entonces los momentos son:

M 1=−23.768Tn .mM 2=−16.493Tn .mM 3=−8.344Tn .mM 4=−14.208M 5=−16.389

METODO CROSS

Calcular los coeficientes de distribución

α 12=0

α 21=

I5.65I

3.955+I5.65

=717

α 23=

I3.955I

3.955+I5.65

=1017

α 32=

I3.955I

3.955+

I3.955

=12

α 34=

I3.955I

3.955+

I3.955

=12

α 43=

I3.955I

3.955+I9.04

=1623

α 45=

I9.04I

3.955+I9.04

=723

α 54=0

Calcular los momentos de empotramientos perfectos

M°12=−w l2

12=−8.023×5.652

12=−21.343 Tn.m

M°21=w l2

12=−8.023×5.652

12=21.343 Tn.m

M°23=−w l2

12=−7.91×3.9552

12=−10.311Tn.m

M°32=w l2

12=−7.91×3.9552

12=10.311 Tn.m

M°34=−w l2

12=−8.475×3.9552

12=−11.047Tn .m

M °34=w l2

12=−8.475×3.9552

12=11.047 Tn .m

M ° 45=−Pab2

L2− Pab

2

L2=−6.78×3.39×5.652

9.042−7.91×5.65×3.39

2

9.042

¿−15.263Tn.m

M °54=Pba2

L2+Pba

2

L2=6.78×5.65×3.39

2

9.042+7.91×3.39×5.65

2

9.042

¿15.861Tn.m

Calcular los momentos por CROSS

5 40 7/17 10/17 1/2 1/2 16/23 7/23 0

-21.343 21.343 -10.311 10.311 -11.047 11.047 -15.263 15.8610-2.2713 -4.5426 -6.4894 -3.245 1.467 2.9329 1.2831 0.6416

0.629 1.2571 1.2571 0.629-0.1294 -0.2588 -0.3698 -0.185 -0.219 -0.4373 -0.1913 -0.0957

0.101 0.2018 0.2018 0.101-0.0208 -0.0415 -0.0594 -0.030 -0.035 -0.0702 -0.0307 -0.0154

0.016 0.0324 0.0324 0.016-0.0034 -0.0067 -0.0095 -0.005 -0.006 -0.0113 -0.0049 -0.0025

0.003 0.0053 0.0053 0.003-0.0006 -0.0011 -0.0016 -0.001 -0.001 -0.0019 -0.0008 -0.0004

0.0009 0.0009

-23.769 16.492 -16.492 8.344 -8.344 14.208 -14.208 16.389

3 21

M 1=−23.769Tn .mM 2=−16.492Tn .mM 3=−8.344 Tn.mM 4=−14.208Tn.mM 5=−16.389Tn .m