2011_tabulacion y graficas

Laboratorio de física

Por Lucelly Reyes H 1

Medida e incertidumbre y presentación de datos

Marco Teórico La física por ser unas de las ramas de las ciencias naturales es experimental y cuantitativa, es decir, en el trabajo de laboratorio se tendrá la necesidad de medir magnitudes físicas disponiendo así de datos experimentales. Los resultados de las medidas, en general, pueden ser representadas analítica y gráficamente. El experimento, parte esencial del trabajo investigativo, puede conducir al hallazgo de relaciones funcionales entre cantidades que describen una clase amplia de fenómenos. los resultados de tales experimentos son ecuaciones empíricas que representan la forma general en la cual están relacionadas las cantidades estudiadas. A menudo los resultados de las medidas no expresan la relación entre las variables en forma simple (o sea aproximable por formulas matemáticas simples). En este caso la información representada en forma grafica o en forma tabular constituye el mejor resultado obtenido del experimento.

Tabulación de datos (Tablas) La representación tabular proporciona sólo una síntesis muy limitada del resultado del trabajo experimental. Sin embargo la tabulación de los datos es una herramienta indispensable tanto para la realización misma del experimento como para su ulterior análisis. La realización de tablas de valores no se limita necesariamente a los datos que se recogen directamente en el trabajo experimental, sino que puede extenderse a los resultados de efectuar operaciones con dichos datos. Además, pueden disponerse de columnas para colocar en ellas el error siempre que éste sea diferente en cada medición. Para mayor información, las tablas de datos deben poseer un título y deben aparecer las magnitudes con sus unidades de medida.

Ejemplo: Péndulo Simple

Los datos que se muestran a continuación son el resultado de la variación de la longitud del péndulo y la medida virtual del periodo. Este experimento virtual introduce las incertidumbres de los instrumentos de medida como pude ser un cronometro y una regla.



L(cm) T(s)

100,000 2.012

91,276 1.918

83,520 1.836

73,827 1.726

67,041 1.646

56,378 1.513

44,745 1.340

39,898 1.264

33,112 1.159

25,357 1.010

19,541 0,892

14,694 0,776

10,816 0,657

6,939 0,529

22,449 0,956

34,082 1.171

45,714 1.360

36,990 1.223

¿Existe alguna relación entre estos valores?. No se sabe por el momento.



Como se puede observar a esta tabla de datos hay que agregarle las incertidumbres de los instrumentos y ajustar las cifras significativas de las medidas.

Representación gráfica Una vez tabulados los datos así como los valores de las magnitudes calculadas, es conveniente representar los resultados en un gráfico. La representación gráfica viene a ser lo más representativo del fenómeno que se está estudiando y en su interpretación se reflejará el comportamiento límite del fenómeno bajo las condiciones en que se realizó y además algunas informaciones matemáticas como por ejemplo la función matemática que mejor lo represente. Además, la representación gráfica permite obtener valores que aún no han sido obtenidos experimentalmente, es decir, valores entre puntos. Dicho proceso se llama interpolación. El proceso para obtener valores fuera del intervalo experimental recibe el nombre de extrapolación. Es común la necesidad de explorar relaciones de la forma

donde x, y son las variables y son parámetros constantes que determinan una familia de graficas. En principio se busca hallar una relación funcional a partir de los datos experimentales y deducir los valores de los parámetros. frecuentemente los parámetros contienen valiosa información, como



valores de constantes física, etc. Muchos fenómenos pueden describirse por expresiones matemáticas simples, de uno de los siguientes cuatro tipos:

1. Función lineal:

2. Función potencial: 3. Función exponencial: 4. Ecuación polar:

Para graficar funciones de tipo 1, o que mediante cambios de variables se pueden llevar a la forma lineal, se emplean ejes milimetrados. Para las de tipo 2 ejes log-log. Para las de tipo 3 ejes semilog. Y para las de tipo 4 ejes polares. En estas funciones los parámetros son m, a y b.

Función

gráfica

Linealización

b=1, a=2

semilogarítmico

b=1,a=1/2 semilogarítmico



semilogarítmico

logarítmico

logarítmico

Reglas para graficar

1. Los ejes deben llevar claramente las magnitudes que en ellos se representan y las unidades correspondientes.

2. Elegir las unidades en los ejes coordenados de modo que permitan leer e interpretar con facilidad.

3. Es conveniente en general, que el origen aparezca en el gráfico. No obstante, las escalas pueden reemplazarse cuando los datos experimentales están en un intervalo que así lo requiere.



4. Debe usarse el eje de la abscisa para la variable independiente (aquella que es controlada por el experimentador) y el eje de la ordenada para la variable dependiente.

5. Por ejemplo, si medimos la longitud de una barra metálica al variar la temperatura, se busca a la función l = f(T), entonces es conveniente usar el eje x para T y el eje y para l.

6. Los valores experimentales no deben ser graficados como un punto sino que hay que representar “el error con el cual se obtuvo dicho valor”. Para ello se usan cruces, cuadrados, círculos, rectángulos, etc., centrados en el valor.

Graficas en Excel

Aquí mostramos como usar una Planilla de Cálculo para graficar datos. Para hacerlo, siga los pasos indicados abajo. Puede parecer que es un proceso difícil, pero es bastante directo y simple.

1. Lo primero es tener los datos en la hoja de cálculo como se muestra en la imagen de arriba.

2. Seleccione los datos que desea graficar en nuestro caso (L,T) y luego haga clic en el menu "insertar".

3. Escoja la opción (Dispersión) .



4. Escoja Dispersión sólo con marcadores

5. Luego de hacer clic en el botón Finalizar, el gráfico en la misma página que los datos (como se muestra abajo), o como una hoja nueva.

L(cm) T(s)

100,000 2,012

91,276 1,918

83,520 1,836

73,827 1,726

67,041 1,646

56,378 1,513

44,745 1,340

39,898 1,264

33,112 1,159

25,357 1,010

19,541 0,892

14,694 0,776

10,816 0,657

6,939 0,529

22,449 0,956

34,082 1,171

45,714 1,360

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

0,000 20,000 40,000 60,000 80,000 100,000 120,000

Series1



Una vez que el gráfico ha sido creado, tome un minuto o dos para hacer unos retoques en él. Haga clic en el botón derecho del ratón y obtendrá una ventana que nos permite hacer modificaciones en nuestro grafico. Entre a la opción "Seleccionar datos"

Tenga presente lo siguiente:

Lo primero es verificar que las columnas queden en el orden que deseamos, es decir que en el eje x quede la variable dependiente y en el eje y la variable dependiente. Para esto editamos la serie.

aparece la siguiente ventana, donde podemos colocar el titulo y verificar los ejes de coordenadas.



Yo siempre borro el cuadro de leyenda. Con un sólo conjunto de datos en el gráfico, la leyenda no es de utilidad. Para borrarla, simplemente haga clic en ella y presione la tecla <Supr>.

Note que es también posible cambiar el estilo y tamaño del font de los títulos y encabezados.

Usando barras de error

Tenemos que la incertidumbre para ΔL= 0.1cm y para ΔT=0.001 s. Estos valores de la incertidumbre se usaran como barras de error en el gráfico.

Agregar barras de error usando la Planilla es fácil. Se hace así:

Haga clic sobre el grafico y aparece en el menú principal de Excel la opción de "presentación".



como se puede observar ahí se tiene la opción de Barras de error. Si no las observa entonces active los complementos de Excel.

Haga clic en el botón de office y Enter en Opciones de Excel.

Escoja Complementos

Haga clic en "Ir....." y active Herramientas para análisis.



Creo que ya podemos colocar las barras de error al grafico

Seleccione más opciones de barras de error, aparece la siguiente ventana donde se selecciona "Personalizado". Abrirá una ventana



El resultado final es un gráfico de datos con barras de error como se muestra en el grafico anterior.

Análisis e interpretación de la grafica de una línea recta Tomemos como ejemplo el movimiento de un carro, donde consideramos que las incertidumbre son cero.

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

0,000 20,000 40,000 60,000 80,000 100,000 120,000

T(s) vs L(cm)



A la linea recta de la figura anterios de corresponde una ecuacion de la forma:

donde "y" es la variable dependiente, "x" la variable independiente y "m" la pendiente. La pendiente es una medida de la inclinación de la recta con respecto al eje horizontal. describe la rata de cambio de la variable y respecto a la variable x. Por tratarse de una línea recta la pendiente es constante. Se escogen dos puntos sobre la recta y se trazan líneas paralelas a los ejes como se indica en la figura

Aquí es muy importante las unidades de la pendiente, como se puede ver la pendiente se mantiene constante durante todo el movimiento y nos representa la aceleración del móvil, por tanto podemos concluir que: El móvil realizo un movimiento uniformemente acelerado. Calculo del intercepto. Una vez se ha trazado la recta el intercepto b se obtiene leyendo el eje vertical donde la recta lo corta, en este caso la recta pasa por el origen de coordenadas, la información física es que el móvil partió del reposo. Observando el grafico vemos que el área bajo la curva tiene unidades de distancia (Km), esto nos permite conocer la distancia de recorrido del móvil. Para analizar fácilmente algunas curvas es conveniente hacer cambios de variables. Una de las formas más fáciles de hacerlo cambiando los ejes de coordenadas de milimétricos a logarítmicos o semilogarítmico. El objetivo es obtener una línea recta que, como se vio, es fácil de analizar.



Volviendo a nuestro ejercicio del péndulo vamos a linealizar la grafica obtenido de la simulación.

Haciendo el Excel el cambio de los ejes de milimétricos a logarítmicos se tiene el siguiente grafico, el cual se ve perfecta la línea recta.

Como se puede observar los datos se ajustan con ejes log-log esto implica que la función es de la forma

En efecto, tomando logaritmo decimal a ambos lados de la ecuación,

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

0,000 20,000 40,000 60,000 80,000 100,000 120,000

T(s) vs L(cm)

0,100

1,000

10,000

1,000 10,000 100,000 1.000,000

T(s) vs L(cm)



Si se hacen los cambios de variables , , se sigue que

donde a es la pendiente de la recta en el gráfico logarítmico y es el intercepto. Para calcular la pendiente a se escogen dos puntos sobre la recta y se

evalúa:

Si trazamos sobre el grafico una recta que una todos los puntos encontramos el intercepto de la recta con el eje vertical

volviendo a las variables originales tenemos

En conclusión la función que relaciona el periodo y la longitud del péndulo es



Ajuste de mínimos cuadrados Para las relaciones funcionales estudiadas, como para casos más generales en los cuales los resultados de las mediciones no pueden representarse por medio de líneas rectas, ya sea porque su dependencia funcional no corresponde a ninguna de las funciones que hemos estudiado, o porque los datos presentan una elevada dispersión que no permite identificar la relación funcional, es posible aplicar métodos de ajuste analíticos o numéricos. Uno de estos métodos es el de mínimos cuadrados que por ser analítico y basarse en un principio de máxima probabilidad, tiene mayor precisión y exactitud que el método geométrico, llegando inclusive a medir el grado de ajuste de los datos a la función de prueba. El programa Excel, ajusta por este método a varios tipos de funciones. Y seguramente, tu calculadora puede hacer ajustes a rectas (regresión lineal). Lea del documento que aparece en la página Web del laboratorio "Mínimos cuadrados". Aquí puede ver los datos listos para aplicar el ajuste de mínimos cuadrados al grafico log-log de nuestro experimento virtual "Péndulo simple"

L(cm) T(s) x=log(L) y=log(T) y*y x*x x*y Δx Δy

100,000 2,012 2 0,303628 0,092 4 0,6073 0,1 0,001

91,276 1,918 1,9603566 0,282849 0,08 3,843 0,5545 0,1 0,001

83,520 1,836 1,9217905 0,263873 0,07 3,69328 0,5071 0,1 0,001

73,827 1,726 1,8682152 0,237041 0,056 3,49023 0,4428 0,1 0,001

67,041 1,646 1,8263405 0,21643 0,047 3,33552 0,3953 0,1 0,001

56,378 1,513 1,7511097 0,179839 0,032 3,06639 0,3149 0,1 0,001

45,714 1,360 1,6600492 0,133539 0,018 2,75576 0,2217 0,1 0,001

44,745 1,340 1,6507445 0,127105 0,016 2,72496 0,2098 0,1 0,001

39,898 1,264 1,6009511 0,101747 0,01 2,56304 0,1629 0,1 0,001

36,990 1,223 1,5680843 0,087426 0,008 2,45889 0,1371 0,1 0,001

34,082 1,171 1,5325251 0,068557 0,005 2,34863 0,1051 0,1 0,001

33,112 1,159 1,5199854 0,064083 0,004 2,31036 0,0974 0,1 0,001

29,235 1,088 1,4659031 0,036629 0,001 2,14887 0,0537 0,1 0,001

25,357 1,010 1,4040979 0,004321 2E-05 1,97149 0,0061 0,1 0,001

22,449 0,956 1,351197 -0,01954 4E-04 1,82573 -0,0264 0,1 0,001

19,541 0,892 1,2909468 -0,04964 0,002 1,66654 -0,0641 0,1 0,001

14,694 0,776 1,16714 -0,11014 0,012 1,36222 -0,1285 0,1 0,001

10,816 0,657 1,0340667 -0,18243 0,033 1,06929 -0,1886 0,1 0,001

6,939 0,529 0,8412969 -0,27654 0,076 0,70778 -0,2327 0,1 0,001



En Excel tenemos

N

xx

22xNx

xyNyxm

22

2

xxN

Nm

22

2

xNx

xyxyxb

22

22

xxN

xb

2222 11y

Nyx

Nx

N

yxxy

R

N

yy

222

xy m



Como se puede observar ya sea en ejes milimetrados o log_log la ecuación que nos bota la hoja de cálculo es la misma. El coeficiente de determinación R2 mide el grado de ajuste de los datos a la curva o función de prueba. Este coeficiente alcanza el valor “1” (su máximo) cuando el ajuste es total, como puede verse en el ajuste a la función exponencial.

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