funciones y graficas

Funciones y GraficasFunciones y Graficas

Relaciones de correspondenciaRelaciones de correspondencia

X F(x)

a

bc

1

23

X F(x)

a

bc

1

23

En las Figuras 1 y 2 se muestran relaciones de correspondencia entre losconjuntos X y F(x), en donde a los elementos a, b y c de X le corresponden elementos del conjunto F(x). Puede observarse que no es necesario que a cadaelemento de X le corresponda un único elemento de F(x) (Figura 1), como tampocoa todos los elementos de X le tiene que corresponder algún elemento de F(x) (Figura 2)

Figura 1 Figura 2

Relaciones de correspondencia …Relaciones de correspondencia …

xx F(x)F(x)

-2-2 -4-4

00 00

11 22

xx F(x)F(x)

11 11

22 44

33 99

xx F(x)F(x)

11 33

22 77

33 1717

Después de observar las tablas anteriores trata de encontrarla regla de correspondencia que relaciona las columnas en cada Tabla.

yx2y2x y?

xx F(x)F(x)

-2-2 -4-4

00 00

11 22

xx F(x)F(x)

11 11

22 44

33 99

xx F(x)F(x)

11 33

22 77

33 1717

Relaciones de correspondencia …Relaciones de correspondencia …

Relaciones de correspondencia…Relaciones de correspondencia…

0.5 1 1.5 2x

-1

-0.5

0.5

1

y

-2 -1 1 2x

1

2

3

4y

yxyx2

La Figura 1 muestra la expresión que resulta de extraerle la raíz cuadrada a un número real positivo o cero. La Figura 2 representa el resultado de elevar al cuadradoCualquier número real.¿Te fijaste en cuantos la recta vertical anaranjada corta a la grafica de la Figura 1?¿En cuantos corta a la grafica de la Figura 2?¿Podrías concluir algo?

Figura 1 Figura 2

FunciónFunción

A continuación se te presentan ejemplos de A continuación se te presentan ejemplos de relaciones de correspondencia que son relaciones de correspondencia que son funciones y otros que no lo son, observa bien funciones y otros que no lo son, observa bien las características de los ejemplos, semejanzas las características de los ejemplos, semejanzas y diferencias y trata de expresar con tus y diferencias y trata de expresar con tus propias palabras qué es lo que hace que una propias palabras qué es lo que hace que una correspondencia sea una función:correspondencia sea una función:

Función …Función …

X F(x)

a

bc

1

23

X F(x)

a

bc

1

23

X F(x)

a

bc

1

23

si es funciónsi es función si es funciónsi es función

no es funciónno es función

X F(x)

a

bc

1

23

no es funciónno es función

X F(x)

a

bc

1

2

3

si es funciónsi es función

Una vez analizados los ejemplos anteriores ¿podrías identificar cuáles de las tablas siguientes representan funciones?

XX F(x)F(x)

-2-2 --44

00 0011 22

XX F(x)F(x)11 1122 4433 99

XX F(x)F(x)11 3322 7733 1717


0.5 1 1.5 2x

-1

-0.5

0.5

1

y

-2 -1 1 2x

1

2

3

4y

yxyx2

¿ Y de estas gráficas habrá alguna que no sea función?

Sí es funciónSí es funciónNo es funciónNo es función

{(-2, 4), (0, -1), (1, 3), (2, 5) } { (-1, 0), (2, 6), (4, 9), (-1, -1) }

No es funciónNo es funciónSí es funciónSí es función

Para finalizar te presentamos ejemplos de conjuntos de pares ordenados, uno de los cuales es función y el otro no.


Ahora el momento importante Ahora el momento importante ha llegado, te toca a ti ha llegado, te toca a ti

decirnos qué es una función. decirnos qué es una función.


Definición de funciónDefinición de funciónUna Una funciónfunción f f es una regla de es una regla de

correspondencia que asigna a cada elemento correspondencia que asigna a cada elemento xx de un conjunto de un conjunto X,X, exactamente un único exactamente un único elemento, elemento, f(x), f(x), de otro conjunto de otro conjunto F(x)F(x). .

x f f (x)

Ejemplos de funcionesEjemplos de funciones Función lineal Función lineal ( y = m x+b )( y = m x+b )

Otros ejemplosOtros ejemplos

x F (x)

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2x

1.5

2

2.5

3

3.5

4y0 2

1 32 43 54 65 7

y = x + 2

y = 2x – 2y = -3x +2

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones …

Función cuadrática Función cuadrática (y = a (y = a x2+b x+c))

Otros ejemplos:Otros ejemplos:

-2 -1 1 2x

1

2

3

4y

0 01 12 43 94 165 25

x F (x)

y = x2

y = x2 – 2 x + 1y = - 3 x2 +2 x + 3

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones … Función polinomialesFunción polinomiales

Otros ejemplos:Otros ejemplos:

y = x3

-4 -2 2 4x

-2

-1

1

2

y

-4 -2 2 4x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

y

y = x3 +x2

y=3x3+2x2−10 x+1y=x 4−7x3− x

-4 -2 2 4 6 8 10x

-4

-2

2

4y

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones … Función definidas por partesFunción definidas por partes


y = x2 y = Cos[x]

y = x

x Si −4≤ x<−2

x2 Si −2≤x<0

cos ( x ) Si x≥0¿

f ( x )=¿ {¿ {¿ ¿¿¿

−x Si x<0

x Si x>0¿

f ( x )=∣x∣=¿ {¿ ¿¿¿

−x Si −2≤x<0

x3 Si 0≤ x<2

x−2 Si x≥2¿

f ( x )=¿ {¿ {¿¿¿¿

Tipos de funcionesTipos de funciones TrigonométricasTrigonométricas

2 4 6 8 10x

-1

-0.5

0.5

1y ySinx

2 4 6 8 10x

-1

-0.5

0.5

1y yCosx

1 2 3 4 5 6x

-40

-20

20

40

y yTanx

1 2 3 4 5 6x

-40

-20

20

40

y yCotx

2 4 6 8 10x

-20

-10

10

20

y yCscx

2 4 6 8 10x

-15

-10

-5

5

10

15

y ySecx

Ejemplos de funciones …Ejemplos de funciones …

Tipos de funciones …Tipos de funciones … Trigonométricas recíprocasTrigonométricas recíprocas

-1 -0.5 0.5 1x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y

-1 -0.5 0.5 1 x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y

-1 -0.5 0.5 1x

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

y

Sin1xCos1xTan1x

-3 -2 -1 1 2 3x

-1.5-1

-0.5

0.51

1.5y

-3 -2 -1 1 2 3x

0.5

1

1.5

2

2.5

3y

-3 -2 -1 1 2 3x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5y

Tipos de funciones …Tipos de funciones …

Trigonométricas recíprocasTrigonométricas recíprocasCot1x

Sec1x

Csc1x

Funciones hiperbólicasFunciones hiperbólicas

-3 -2 -1 1 2 3x

-10

-5

5

10

y

-3 -2 -1 1 2 3x

2

4

6

8

10

y

-3 -2 -1 1 2 3x

-1

-0.5

0.5

1y

-3 -2 -1 1 2 3x

0.2

0.4

0.6

0.8

1y

-3 -2 -1 1 2 3x

-30

-20

-10

10

20

30y


Sinh[x] Cosh[x] Tanh[x]

Csch[x] Sech[x] Coth[x]

-3 -2 -1 1 2 3x

-6

-4

-2

2

4y

Funciones hiperbólicas reciprocasFunciones hiperbólicas reciprocasTipos de funciones …Tipos de funciones …

Sinh-1[x] Cosh-1[x]

Sech-1[x]Csch-1[x]

-3 -2 -1 1 2 3x

-1.5-1

-0.5

0.51

1.5

y

1.5 2 2.5 3x

0.250.5

0.751

1.251.5

1.75y

-1 -0.5 0.5 1x

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

y

Tanh-1[x]

-3 -2 -1 1 2 3x

-6

-4

-2

2

4y

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

2

4

6

8

10

12y

-1 -0.5 0.5 1x

-6-4-2

2468y

Coth-1[x]

Funciones exponencialesFunciones exponenciales



-2 -1 1 2x

1234567

y

y=e x3 0.04978712 0.1353351 0.3678790 1.1 2.718282 7.389063 20.0855

x F(x)

f ( x )=e2x+1

f ( x )=ex 2

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

-10

-8

-6

-4

-2

y

Funciones logarítmicasFunciones logarítmicas



y=ln ( x )

x F(x)

f ( x )=ln(2x−1 )f ( x )=log ( x+1)

0 1 0.2 0.6931473 1.098614 1.386295 1.609446 1.791767 1.945918 2.079449 2.1972210 2.30259

SECCIONES CÓNICASSECCIONES CÓNICAS

RECTA.RECTA.

y=m x

52.50-2.5-5

5

2.5

0

-2.5

-5

x

y

x

y

SECCIONES CÓNICAS …SECCIONES CÓNICAS …

CIRCUNFERENCIA. CIRCUNFERENCIA.

x2+ y2=r2


-1 -0.5 0.5 1x

-1

-0.5

0.5

1y

PARÁBOLA.PARÁBOLA.

x2=±4 pyy2=±4 px

52.50-2.5-5

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

54.543.532.521.510.50

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

x

y

x

y


ELIPSE.ELIPSE.

x2

b2+ y2

a2=1

x2

a2+ y2

b2=1


-1 -0.5 0.5 1x

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

y

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6x

-1

-0.5

0.5

1y

HIPÉRBOLA.HIPÉRBOLA.

y 2

a2− x2

b2=1

x2

a2− y2

b2=1


-2 -1 1 2x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y

-2 -1 1 2x

-2

-1

1

2

y

Funciones de uso prácticoFunciones de uso práctico

Las funciones se utilizan en todas las ramas Las funciones se utilizan en todas las ramas de la ingeniería para describir el de la ingeniería para describir el comportamiento de una variable con respecto a comportamiento de una variable con respecto a otra. Entre algunas de las aplicaciones otra. Entre algunas de las aplicaciones podemos mencionar los circuitos eléctricos, podemos mencionar los circuitos eléctricos, mecánica de fluidos, transferencia de calor y mecánica de fluidos, transferencia de calor y electrónica.electrónica.

Funciones de uso prácticoFunciones de uso práctico Área de un circulo en función del radioÁrea de un circulo en función del radio

Otros ejemplos:Otros ejemplos:Volumen de una esferaVolumen de una esfera

A= f (r )=πr 2r

Área

V = f (r )=43

πr3

0 0.1 3.141592 12.56643 28.27434 50.26555 78.53986 113.0977 153.9388 201.0629 254.46910 314.159

x A

Funciones de uso práctico …Funciones de uso práctico …


Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )

V = f (d )=dt

V = f ( t )=dt

Transformaciones de funcionesTransformaciones de funcionesDesplazamiento vertical de gráficasDesplazamiento vertical de gráficas

EcuaciónEcuación Como obtener gráficaComo obtener gráfica GráficaGráfica

y = f(x) + cy = f(x) + c(c > 0)(c > 0)

Desplace la gráfica de Desplace la gráfica de y=f(x) hacia arriba y=f(x) hacia arriba cc

unidadesunidades

y = f(x) - cy = f(x) - c(c < 0)(c < 0)

Desplace la gráfica de Desplace la gráfica de y=f(x) hacia abajo y=f(x) hacia abajo cc

unidadesunidades

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

5

6y

-2 -1 1 2x

-2

-1

1

2

3

4y

f(x)+c

f(x)

f(x) - c

f(x)

EjemplosEjemplos

Trace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficas

Desplazamiento vertical de gráficas …Desplazamiento vertical de gráficas …

a ) f ( x )=x3−9xb )h( x )=x3−9x−20c ) f ( x )= x3−9x+10

EjemplosEjemplos


Desplazamiento vertical de gráficas …Desplazamiento vertical de gráficas …

a ) f ( x )=x2

b )h( x )=( x−3 )2

c ) f ( x )=( x+4)2

Transformaciones de funcionesTransformaciones de funciones

-2 -1 1 2x

-1

-0.5

0.5

1y

-2 -1 1 2x

-8-6-4-2

2468y

y = f(x)

y = - f(x)

y = f(x)y = -f(x)

EjemplosEjemplos


Gráficas reflejadas…Gráficas reflejadas…

a ) f ( x )=√ x h( x )=−√xb ) f ( x )=x3 h( x )=−x3

-3 -2 -1 1 2 3x

-2

-1

1

2y

Transformaciones de funcionesTransformaciones de funcionesAlargamiento y encogimiento vertical de las gráficasAlargamiento y encogimiento vertical de las gráficas


y = a f(x)y = a f(x)(a > 1)(a > 1)

Encoja la gráfica de Encoja la gráfica de y=f(x)y=f(x) horizontalmente horizontalmente

por un factor igual a por un factor igual a 1/a1/a

y = a f(x)y = a f(x)(0 < a < 1)(0 < a < 1)

Alargue la gráfica de Alargue la gráfica de y=f(x)y=f(x) horizontalmente horizontalmente por un factor igual a por un factor igual a 1/a1/a

y = a f(x)

f(x)

-3 -2 -1 1 2 3x

-1

-0.5

0.5

1y

y = a f(x)

f(x)

EjemplosEjemplosTrace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficas

Alargamiento y encogimiento vertical de las gráficasAlargamiento y encogimiento vertical de las gráficas ……

a ) f ( x )=12

x2 h( x )=2x 2

b ) f ( x )=cos ( x ) h ( x )=13

cos ( x )

-6 -4 -2 2 4 6x

-1

-0.5

0.5

1y

-3 -2 -1 1 2 3x

-1

-0.5

0.5

1y

Transformaciones de funcionesTransformaciones de funcionesAlargamiento y encogimiento horizontal de las gráficasAlargamiento y encogimiento horizontal de las gráficas


y = f( a x)y = f( a x)(a > 1)(a > 1)

Alargue la gráfica de Alargue la gráfica de y=f(x)y=f(x) verticalmente por verticalmente por

un factor igual a un factor igual a aa

y = f( a x)y = f( a x)(0 < a < 1)(0 < a < 1)

Reduce la gráfica de Reduce la gráfica de y=f(x)y=f(x) verticalmente por verticalmente por

un factor igual a un factor igual a aa

y = f ( ax )

f(x)

y = a f(x)

f(x)

EjemplosEjemplosTrace las siguientes gráficasTrace las siguientes gráficas

Alargamiento y encogimiento horizontal de las gráficasAlargamiento y encogimiento horizontal de las gráficas ……

a ) f ( x )=sin( x ) h( x )=sin(2x )b ) f ( x )=cos ( x ) h ( x )=cos (0 . 5x )

-3 -2 -1 1 2 3x

-1

-0.5

0.5

1y

-3 -2 -1 1 2 3x

-1

-0.5

0.5

1y

Transformaciones de funcionesTransformaciones de funcionesFunciones pares e imparesFunciones pares e impares

DefiniciónDefinición Como obtener gráficaComo obtener gráfica GráficaGráfica

f f es es par par si si f(-x) = f (x)f(-x) = f (x) para todas las para todas las xx en su en su

dominiodominio

La gráfica de La gráfica de f f es es simétrica respecto al simétrica respecto al

eje eje yy

f f es es impar impar si si f(-x) = - f (x)f(-x) = - f (x) para todas para todas

las las xx en su dominio en su dominio

La gráfica de La gráfica de f f es es simétrica respecto al simétrica respecto al

origenorigen

y = f (-x) f(x)

y = f(-x)

f(x)

EjemplosEjemplos


Funciones pares e impares …Funciones pares e impares …

a ) f ( x )=x5+ x b ) f ( x )=2x− x2 c ) f ( x )=1−x4

Valores extremos de funciones Valores extremos de funciones cuadráticascuadráticas

La función cuadrática La función cuadrática f(x)=axf(x)=ax22+bx+c +bx+c puede puede expresarse en la expresarse en la forma estándarforma estándar

completando el cuadrado. La gráfica de completando el cuadrado. La gráfica de f f es una es una parábola de vértice parábola de vértice (h,k); (h,k); la parábola abre hacia arriba la parábola abre hacia arriba si si a>0 a>0 o hacia abajo si o hacia abajo si a<0.a<0.

f ( x )=a ( x−h )5+k

Valores extremos de funciones cuadráticas … Valores extremos de funciones cuadráticas …

Si Si a>0a>0, entonces el , entonces el valor valor mínimo mínimo de de ff ocurre en ocurre en x=h x=h y y

su valor es de su valor es de f(h)=kf(h)=k

Si Si a>0a>0, entonces el , entonces el valor valor máximo máximo de de ff ocurre en ocurre en x=h x=h

y su valor es de y su valor es de f(h)=kf(h)=k

1 2 3 4x

1

2

3

4

5y

1 2 3 4x

-1

1

2

3

4

5y

..

(h, k)

(h, k)

mínimo máximo

EjemplosEjemplos1.1. Considere la siguiente función cuadrática:Considere la siguiente función cuadrática:

a) Exprese la función en su forma estándara) Exprese la función en su forma estándarb) Trace la gráfica de b) Trace la gráfica de f.f.c) Determine el valor mínimo de c) Determine el valor mínimo de f.f.

2.2. Dada la funciónDada la función

a) Exprese la función en su forma estándara) Exprese la función en su forma estándarb) Trace la gráfica de b) Trace la gráfica de f.f.c) Determine el valor máximo de c) Determine el valor máximo de f.f.

f ( x )=5x2−30 x+49


f ( x )=−x2+x+2

Valor máximo y mínimo de una Valor máximo y mínimo de una función cuadráticafunción cuadrática

El valor máximo o mínimo de una función El valor máximo o mínimo de una función cuadrática cuadrática f(x)=axf(x)=ax22+bx+c +bx+c ocurre enocurre en

Si Si a > 0a > 0, entonces el , entonces el valor mínimovalor mínimo es es

Si Si a < 0a < 0, entonces el , entonces el valor máximovalor máximo es es

f (− b2a )

x=−b

2a

f (− b2a )

EjemplosEjemplos

Determine el valor máximo o mínimo de cada Determine el valor máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones:una de las siguientes funciones:

a ) f ( x )=x2+4x b )g ( x )=−2x2+4x−5


EjemplosEjemplos1.1.Entre todos los pares de números cuya suma es 100, determinar Entre todos los pares de números cuya suma es 100, determinar el par cuyo producto es el más grande posible.el par cuyo producto es el más grande posible.

2.2.Un granjero desea proteger un campo rectangular con una cerca Un granjero desea proteger un campo rectangular con una cerca y dividirlo en dos campos rectangulares mas pequeños mediante y dividirlo en dos campos rectangulares mas pequeños mediante una cerca paralela a uno de los costados del campo. Tiene una cerca paralela a uno de los costados del campo. Tiene disponibles 3,000 yardas de cerca. _Determine las dimensiones disponibles 3,000 yardas de cerca. _Determine las dimensiones del campo, de tal manera que el área protegida sea máxima. del campo, de tal manera que el área protegida sea máxima.


x x x

y

Combinación de funcionesCombinación de funcionesAlgebra de funcionesAlgebra de funciones

Supongamos que Supongamos que f f yy g g son funciones con dominios son funciones con dominios AA y y B. B. Entonces las funciones Entonces las funciones f f ++ g, f g, f -- g, f g g, f g y y f / g f / g se se definen como sigue:definen como sigue:

(f+g)(x)= f(x) + g(x)(f+g)(x)= f(x) + g(x) Dominio Dominio A A ∩∩ B B

(f - g)(x)= f(x) - g(x)(f - g)(x)= f(x) - g(x) Dominio Dominio A A ∩∩ B B

(fg)(x)= f(x)g(x)(fg)(x)= f(x)g(x) Dominio Dominio A A ∩∩ B B

(f / g)(x)= f(x) / g(x)(f / g)(x)= f(x) / g(x) Dominio Dominio {x {x εε AA∩∩B | g(x)B | g(x)≠ ≠ 0}0}

EjemploEjemploSiSi

Determine:Determine:a)a) f+gf+gb)b) f – gf – gc)c) f gf gd)d) f / gf / g

f ( x )= x2+4x y g ( x )=√ x

Combinación de funciones … Combinación de funciones …

Composición de FuncionesComposición de Funciones

Dadas dos funciones Dadas dos funciones f f y y g, g, la la función función compuesta compuesta ffoog g (también conocida como (también conocida como composición composición de de f f yy g g)) está definido por:está definido por:

( f ∘g )( x )= f (g ( x))

xg

g (x)f

f (g (x))Entrada Salida

EjemploEjemplo

SeaSeaDetermine:Determine:a)a) f o g, g o f f o g, g o f y sus dominios.y sus dominios.b)b) Calcule Calcule (f o g)(5) (f o g)(5) y y (g o f)(7)(g o f)(7)

f ( x )= x2 y g ( x )=x−3

Composición de Funciones … Composición de Funciones …

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

8

-5 -2.5 2.5 5 7.5 10

10

20

30

40

50

60

70

f o gf o g

g o fg o f

ff

gg

Funciones uno a uno y sus inversasFunciones uno a uno y sus inversasUna función con dominio Una función con dominio AA se conoce se conoce

como como uno a unouno a uno si no hay dos elementos de si no hay dos elementos de A A que tengan la misma imagen, esto es: que tengan la misma imagen, esto es:

f ( x1 )≠ f ( x2) siempre que x1≠x 2

f es uno a uno f es no es uno a uno

a

bc

1

2

3

a

bc

1

2

3

A AB B

Definición de función inversaDefinición de función inversaSea Sea ff una función uno a uno con dominio una función uno a uno con dominio A A y y

rango rango B. B. Entonces, su Entonces, su función inversa función inversa ff-1-1 tiene tiene dominio dominio B B y rango y rango A A y está definida por:y está definida por:

para cualquier para cualquier yy en en B.B.

f −1( y )=x ⇔ f ( x )= y

f

x f (x)

A B

f -1

Propiedades de las funciones inversasPropiedades de las funciones inversas

Sea Sea f f una función uno a uno con dominio una función uno a uno con dominio A A y rango y rango B. B. La función inversa La función inversa f f -1-1 satisface las siguientes satisface las siguientes propiedades de cancelación.propiedades de cancelación.

f f -1-1( f( x ) )= x( f( x ) )= x Para cualquier Para cualquier xx en en AA

f (f f (f -1-1( x ) )= x( x ) )= x Para cualquier Para cualquier x x en en BB

Recíprocamente, cualquier función Recíprocamente, cualquier función f f -1-1 que satisfaga que satisfaga estas ecuaciones es la inversa de estas ecuaciones es la inversa de f.f.

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

EjemploEjemplo

Determina siDetermina si son son inversasinversas

f ( x )= x3

f ( x )= x3 y g ( x )=3√ x

Funciones inversas… Funciones inversas…

f −1( x )=3√x

Cómo determinar la función inversa Cómo determinar la función inversa de una función de uno a unode una función de uno a uno

1.1. Escriba Escriba y = f(x)y = f(x)

2.2. Resuelva esta ecuación para Resuelva esta ecuación para xx en términos de en términos de y y (si es posible)(si es posible)

3.3. Intercambie Intercambie x x y y y. y. La ecuación resultante es La ecuación resultante es y= f y= f -1-1(x).(x).

funciones y graficas

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