2 derivada parcial y cadena.docx

dx

du

du

dy

dx

dy.

Facultad de Ingeniería Matemática II

REGLA DE LA CADENA Y DERIVADA IMPLICITA

INTRODUCCIÓN La regla de la cadena representa la que es probablemente la más útil de todas las herramientas de derivación. Es un recurso que se utiliza con frecuencia al manejar el cálculo diferencial.

Cuando la usamos al derivar una función complicada, es necesario reconocer que la función dada se puede escribir como la composición de dos funciones más simples.

En muchas de las variables económicas, es tan importante el nivel que muestra la variable como el ritmo al que se mueve. Por ejemplo, el Producto Bruto Interno es más

conocido por su ritmo de crecimiento que por su nivel, y lo mismo le ocurre al índice de precios al consumidor, que pocos saben en qué nivel está, pero muchos saben cuánto cambió en el último mes.

Así, el ritmo de cambio llega a ser más importante que el nivel de las variables. Este ritmo de crecimiento, o tasa de crecimiento, no es más que la derivada de la función respecto al tiempo.

DEFINICIÓN – REGLA DE LA CADENA

Guía de Teoría y PrácticaMatemática II Semana Nº 1

1


Entonces en nuestra tabla si u=u ( x )esta se convierte en:

EJERCICIOS PROPUESTOS – REGLA DE LA CADENA

Aplicando la regla de la Cadena y lo aprendido hasta ahora, discute la resolución de los

Nivel 01

1. y=(4 x+3 )52- y=

( 4 x+3)2

2x−1

3- y=5 ( x+3 )2(2 x−1 )5 4- y=−3 e3 x2+5

5- y=ln (2 x2−7 x ) 6-

y=ln ( 6−x3 x+5 )

8- y= e

x−e− x

x 9- y=1−x+x2

1+x+x2

10- y=√ ln x+1+ ln (√x+1) 11- y=e2 x+3 (x2−x+1

2)

Nivel 02

1- y=x2 e

− x2

a2

2- y=Ln ( x+√a2+x2 )

3- y=e2 x+3 (x2−x+1

2)

4-y=x+ Lnx

x

5- y=Ln (

x+√1−x2

x)

6- y=Ln (ex cos x+e− x senx )

7-y=√1+x−√1−x

√1+x+√1−x 8- y=e3 x ( 3 sen 2x−2 cos 2x )

9- y=Ln (√2 senx+1+√2 senx−1 ) 10- y=Ln (3x2+√9x4+1 )

a)

ddx

(un )=nun−1 .u 'b)

ddx

( eu )=eu .u'

b)

ddx

( au )=au Lna.u'

c)

ddx

(Lnu )=1u

.u'

d)ddx

( senu )=cosu .u'

e)

ddx

(cos u)=−senu .u'

f)

ddx

( tgu )=sec2u.u'

g)

ddx

( arsenu)= 1

√1−u2u'

h)

ddx

( arcos u)=− 1

√1−u2.u'

i)

ddx

( artgu)= 1

1+u2.u'

2


Nivel 03

1-

y=1+x . arctg x

√1+ x22-y=Ln ( √1+x−√1−x

√1+x+√1−x)+2arctg √ 1−x

1+x

3-

y= e− x2

. arcsen e−x2

√1−e− x2

+ 12Ln (1−e− x

2

)4-

y= 2x

1+(2x )2−

1+(2x )2

1−(2x )2. arctg ( 2x )

5- y=Ln (ex cos x+e− x senx ) 6- y=Ln (3x2+√9x4+1 )

7- y=x √a2−x2+a2 arctg ( x

a)

8- y=Ln ( 1+√senx

1−√senx)+2arctg √ senx

9- y= x

2√ x2−a2−a

2

2Ln ( x+√x2−a2 )

10-

y=Ln ( √x2+a2+x

√ x2+a2−x)

11- y=2x √1−4 x2+(8 x2−1 ) arcsen 2x 12- y=arctg ( √1−cos x

√1+cos x)

13-y=Ln (√2 senx+1+√2 senx−1 ) 14- y=√1+x−√1−x

√1+x+√1−x

DEFINICIÓN – DERIVADA IMPLICITA

Hasta ahora nuestras ecuaciones en dos variables se expresaban generalmente en la forma

explícita y=f ( x ) . Esto es, una de las dos variables estaba dada explícitamente en términos de la otra. Por ejemplo:

y=2x+3 s=3 t2+2t+4

Pero no siempre están dadas en forma explícita como xy=2 , pero si nos pidieran hallar

dydx

en esta ecuación seria sencillo pues se puede despejar fácilmente la variable y. Esto es:

y=2x y tendríamos que

dydx

=− 2

x2

Pero este método solo funciona si y es fácil de despejar, no en general. Por ejemplo ¿cómo

hallaríamos

dydx para la ecuación.

x2 y+5 xy3+xy=1

donde no es fácil despejar y? En este caso utilizaremos la derivación implícita.

3

dx

dy


Para entender como hallar

dydx implícitamente, debemos observar que la derivación se efectúa

respecto de x. ello quiere decir que cuando derivemos términos que contienen solo a x, podemos derivar como de costumbre. Pero cuando derivamos términos que contiene y hemos de aplicar regla de cadena porque estamos suponiendo que y esta definida implícitamente como una función de x.

Para esto daremos las siguientes recomendaciones a seguir.

Ejemplos.

1- Dada la ecuación: x2 y+x3 y2=2+ xy

Solución

Derivando a ambos miembros tenemos:

2 xy+ x2 y '+3 x2 y2+2 x3 y y '= y+x y '

Agrupando adecuadamente y' tenemos:

( x2+2 x3 y−x ) y '= y−2 xy−3 x2 y2

Despejando y' se tiene:

y '= y−2 xy−3 x2 y2

x2+2 x3 y−x

2- Dada la ecuación:

xy=arctg( xy ) Hallar

dydx

Solución

Derivando implícitamente respecto de x.

y+xy '=1

1+(xy )2·y−xy 'y2

¿ y2

x2+ y2·

( y−xy ' )y2

4


(x2+ y2) y+x (x2+ y2) y '= y−xy '

x ( x2+ y2+1 ) y '= y (1−x2− y2 )

y '=y (1−x2− y2)x (1+ x2+ y2)

3- Hallar la derivada f ' ( x )de la función f ( x )=xln x

Solución

En f ( x )=xln x

Usando derivación logarítmica: (Aplicamos logaritmo a ambos miembros)

ln y=ln x ·ln x=( ln (x ) )2Derivando implícitamente

1yy '=2 ln ( x ) ·1

x

y '=x ln ( x )(2 ln ( x )1x )

Es decir:

f ' ( x )=2 x ln (x ) ln ( x )

4- Dada la ecuación ln y+e− yx

Hallar

dydx

Solución

ln y+e− yx

Derivando implícitamente respecto de x:

1yy '+e

− yx (− y ' x− yx2 )=0

x2 y '+ ye− yx

( y−xy ' ) =0

(x2−xe− yx ) y '=− y2e

− yx

y '=− y2e

− yx

x (x− ye−yx )

=y2e

− yx

x ( ye−yx−x)

REGLA PRÁCTICA

5

),(

),(

yxF

yxF

dx

dy

y

x


Una forma práctica de hallar

dydx de la ecuación F ( x , y )=0 es aplicando la siguiente

fórmula.

Apliquemos este criterio a nuestro primer ejemplo.

hallemos y' en x

2 y+x3 y2=2+ xy

primero igualemos a cero la ecuación.

x2 y+x3 y2−2−xy=0 y tenemos que:

Fx (x , y )=2xy+3 x2 y2− y

F y( x , y )=x

2+2x3 y2−xReemplazando en nuestra fórmula tenemos que:

dydx

=−F x( x , y )F y( x , y )

=−2 xy+3 x2 y2− yx2+2x3 y 2−x

EJERCICIOS PROPUESTOS – DERIVADA IMPLICITA

Nivel 01

1- ey=x+ y 2- x

4+ y4=x2 y 2

3- ex+ y=a 4- yx

2=4 x+3 y3

5- x3+ y3−3 a x y=0 6- y +ex+ y=x

7- 8-

9- 10-

11- 12-

13- Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado

a)

b)

c)

6


d)

e)

f)

g) ( x3+ y3 )=2xy , (1 ;1 )

h)

Nivel 02

1- yx=x y 2- y=x

senx

3- x− y=arc sen x−arc sen y 4- x2−a √ xy+ y2=a2

5- x2 y+ln y+√ x y =19 6- x+√ xy+ y=1

7- ex+ y−e x− y=3 8-y x +√ x2+ y2=10

9- x+√ xy+ y=1 10- xy=arxtg ( x

y)

PROBLEMAS DE APLICACIÒN

Modelos Económicos

C ( x ): Costo total

Q( x )=C ( x )x

: Costo promedio

U ( x )=I ( x )−C (x ): Utilidad, ganancia o beneficioC ' ( x ) : Costo marginalI ' ( x ) : Ingreso marginalQ ' ( x ) : Costo promedio marginal

Analiza la siguiente lista de problemas aplicativos que se presenta a continuación e Interpreta los resultados

1. El ingreso generado por la venta de x mesas está dado por , para

. Calcula e interpreta el ingreso marginal cuando x = 1,000 unidades.

2. El costo de producir x artículos es , para .a) Encuentra el costo marginal C‘(x).b) Encuentra e interpreta C’(100).

3. Suponga que la demanda de un cierto artículo está dada por , donde p representa el precio del artículo en dólares.

7


a) Calcula la razón de cambio de la demanda con respecto al precio.b) Calcula e interpreta la razón de cambio de la demanda cuando el precio es $10.

4. La ganancia (en miles de dólares) del gasto de x mil dólares en publicidad está dada por

. Calcula la ganancia marginal para los siguientes gastos. En cada caso decide si la empresa debe incrementar los gastos en publicidad.

a) $8,000 dólares b) $6,000 dólares c) $ 12,000 dólares d) $20,000 dólares

5. La figura de la derecha reporta el total en miles de suscriptores en México de la televisión restringida. Suponga que las funciones cambian suavemente.a. ¿Cuáles medios han mantenido una tendencia positiva en la razón de cambio en el

nivel de suscriptores de 1997 a 2004?b. ¿Cuál medio presentó una tendencia negativa en la razón de cambio en el nivel de

suscriptores y en qué periodo?c. ¿Cuál es el medio que presenta un mayor crecimiento en el mercado de junio de 2003

a junio de 2004?

Fuente: Dirección General de Tarifas e Integración Estadística, Cofetel, publicada en Público, 12 de octubre de 2004.

6. La ecuación de la demanda de cierto producto está dada por: , si en donde x es el número de unidades demandadas y p es el precio por unidad. Evalúa e interpreta el ingreso marginal cuando se venden 25 unidades.

7. Trabajadores en aislantes que estuvieron expuestos al asbesto y se contrataron antes de 1960, experimentaron una probabilidad creciente de adquirir cáncer de pulmón. Si un grupo de trabajadores en aislantes tienen un total acumulado de 100,000 años de experiencia de trabajo con su primer fecha de empleo hace t años, entonces el número de casos de cáncer de pulmón dentro del grupo puede modelarse mediante la función:

. *Wajker A., Observation and lnference: An Introduction to the Method of Epidemiology, Epidemiology Resources Inc., 1991.Encuentra e interpreta la razón de cambio del número de trabajadores con cáncer de pulmón en el grupo cuando la primera fecha de empleo es:

a) hace 5 años; b) hace 10 años.

8. El costo total de producir a mano x veletas es . Calcula e interpreta el costo marginal para los siguientes valores de x: a) x = 0 b) x = 4 c) x = 6 d) x = 8

9. El costo (en miles de dólares) de fabricar x botes de vela está dado por

, si a) Encuentra la función de costo marginal

8


b) ¿Cuál es el costo marginal en x = 40?10. A menudo, las ventas de un producto nuevo crecen rápidamente al principio y luego se

nivelan con el tiempo. Éste es el caso de las ventas representadas por la función

, donde t representa el tiempo en años. Encuentra e interpreta la razón de cambio de las ventas para los siguientes valores de t:a) t = 1 año b) t = 10 años

11. El ingreso por la venta de x carteras está dado por para . El

costo de fabricar x carteras está dado por .a) Encuentra la función de ganancia.b) ¿Cuál es la ganancia al vender 10 carteras?, ¿20 carteras?, ¿50 carteras?c) Encuentra la función de ganancia marginal.d) ¿Cuál es la ganancia marginal al vender 10 carteras?, ¿20 carteras?, ¿50 carteras?e) ¿Cuál es la relación entre las respuestas en los incisos b) y d)?

12. Un analista encontró que los costos e ingresos por el producto de una compañía están

dados por: y para .a) Encuentra la función de costo marginal.b) Encuentra la función de ingreso marginal.c) Al usar el hecho de que la ganancia es la diferencia entre ingreso y costo, encuentra la

función ganancia marginal.

13. La función de ingreso para la venta de un producto es , donde x es el número de unidades vendidas y R es el ingreso en miles de pesos. Encuentra e interpreta el ingreso marginal para x = 8..

14. Los ingresos totales en taquilla a nivel mundial de cierta película se aproxima con la función

donde T(x) se mide en millones de dólares y x son los años posteriores al lanzamiento de la película. ¿Cuán rápido cambian los ingresos totales en uno, tres y cinco años después del lanzamiento de la película?

15. La función de costo para un producto es , donde x es el número de unidades producidas y C es el costo en miles de pesos. Encuentra e interpreta el costo marginal para x = 35.

16. Se estima que dentro de t años, la población de cierta comunidad será

. Evalúa e interpreta la razón de cambio de la población a:a) t años b) un año c) dos años d) tres años e) veinte años

17. Una empresa construye un complejo habitacional en una comunidad. Los planeadores estiman que la población (en miles de habitantes) dentro de t años estará dada por

. a) Calcula la razón de cambio de la población respecto al tiempo. b) ¿Cuál será la población a los 10 años?c) ¿A qué razón estará aumentando la población cuando t = 10?

18. La ecuación de la demanda para un producto está dada por . Encuentra la razón de cambio del precio p con respecto a la cantidad x, cuando x = 400 unidades.

19. Suponga que representa el porcentaje de autos fabricados por cierta compañía que continúan sin defectos después de x meses de uso.a) Calcula el porcentaje de autos sin defectos después de 1 mes, 10 meses y 100 meses.

9


b) Calcula e interpreta y .

20. Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.

21. Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?

10

2 derivada parcial y cadena.docx

Documents