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Cálculo I Diferencial c/Geometría Analítica (MAT104), Secc.905 2do Trimestre, 1er Semestre 2015; 2doParcial – 8vaGuíaEstudio Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

SOLUCIONARIO – Aplicaciones de la Derivada – Optimización de Funciones Página 1 de 15

Guía de Estudio No.8 – 2do Parcial

Aplicaciones de la Derivada Optimización de Funciones

(Guía Complementaria No.8 – 2do Parcial) SOLUCIONARIO v1.0

Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Diferencial, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del catedrático, genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo. Instrucciones Específicas: Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás

elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su

respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.

e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual. A.-) En los ejercicios del 1 al 14 aplique sus conocimientos técnico-prácticos sobre máximos y mínimos para resolver la problemática planteada



C

w a

w

x

P

P

D

1) Una esquina de una tira angosta de papel se dobla de manera que toca exactamente el lado opuesto,

como se muestra en la figura. Con las partes marcadas como se indica, determine “x” para: a. Maximizar el área del triángulo A b. Minimizar el área del triángulo B

(Para los cálculos que se consideren convenientes, ΔA ~ ΔC)

paralelasentreángulosscongruenteagudosángulosconsrectángulotriangulosdossonporqueejerciciodeldato;AACA

posiciónlaessoloDyBelentrediferencialaporqueigualessonladostreslos;LLLDBeriorsuppartelaaizquierdaeriorinfesquinalade,Ppuntoelencambioelpresentaseesopor

DovacíoespaciodelformalaenpapeleldoblarderesultadoelessombreadoBelqueNotese

inareslimePrionesConsiderac

a32x0ax2

3a0'A

aax2

ax23a

aax22

a2xaaax2

aax22

a2xa2

aax2'A

a2aax221xa2

1aax221'A

Derivadaera1ladeCriterio

aax2xa21A

imizarmaxaModificadaObjetivoFunción

aax2xaxy

:tenemossrectángulotrianguloscontrabajandoAyudadeFórmula

yxa21AObjetivoFunción

).a

2

2

2

2

2

2

2

21

22

2

222



a32xó0x0a2x3x0xa2x30'A

aax2

xa2x32a

aax2

xa2ax32a

aax2aax2

axaax2x2

2a

aax2aax2

axaax2x2

2a

'A

aax2

a2aax221xaax2x2

2a

'A

Derivadaera1ladeCriterioaax2

x2a

aax2

axx2

1A

imizarminaModificadaObjetivoFunciónaax2

axw

yax

wyx

aw

:tenemossrectángulotriangulosdesemejanzacontrabajandoAyudadeFórmula

wx21BObjetivoFunción

).b

2

23

2

22

23

2

22

2

2

22

2

2

22

22

21

222

2

2

2

2

C

w a

w

x

P

P

D



in3A

in3

sen3

cos3 cos3

B C

D

E F

2) Un canalón (cuneta) metálico para el agua de lluvia tiene

lados de 3 pulgadas y un fondo horizontal de 3 pulgadas, los lados forman ángulos iguales θ con el fondo ¿Cuál debe ser θ para maximizar la capacidad de desalojo de agua del canalón? Nota: 0 ≤ θ ≤ π/2

º.60ó3cuandoposible

aguadecantidadmayorladesalojarpuedecunetala/R

in92A2cuando

in7.113A3cuando

in00A0cuando

iomindodelextremosyencontradovalorenobandoPr

60ó321cos2

1cos

iomindofueraestarpordescartado180ó1cos1cos

entonces,cosxpero

21x;1x

01xx2

ecuaciónlaresolverparacosxhacemos01coscos2

01coscos290'A

1coscos29'A

cos1senrecordarcossencos9'A

coscos9sensen9cos9'A


sencos9sen9A

sen3cos3212sen33A

A2AA

AAAA

ObjetivoFunción

imizamaxsecunetaladeltransversaciónsecladeáreaelsirincrementapuedeseentoalmacenamidecapacidadLa

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2222

ABEABCDgulotanrec

CDFABEABCDgulotanrec



3) Se pretende fabricar una lata para almacenar jugo de naranja, la cual tiene forma cilíndrica (con

tapadera) con una capacidad de 1,000cm3. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal en la elaboración de dicha lata?

m84.10

4193.5

1000r

1000h

m42.5500

r

0r420000'Ar

r42000r4

r2000

r4r2000'A


r2r2000r2r

2000r2

r1000

r2A

ificadamodobjetivoFunción

r1000

hrV

hhrVAyudadeFórmula

erficialsupáreaimizarminr2rh2AObjetivoFunción

22

3

3

2

3

22

21222

222

2



4) Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10cm y por altura 15cm. (consejo: utilice semejanza de triángulos como fórmula de ayuda).

m5215153

2y1532x

ym215y3

410

0y34100'A

y3410'A


y32y10yy153

2A


y1532x

15y15

210

2x

semejantesAyudadeFórmula

rectángulodeláreaimizarmaxyxAObjetivoFunción

2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5) Hallar las dimensiones que hacen mínimo el costo de un contenedor que tiene forma de

paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9.00m3, su altura 1.00m y el costo de construcción de: base 50.00 $/m2, tapadera 60.00 $/m2 y paredes laterales: 40.00 $/m2

m339

x9y

m3x3x80

720x

0720x800'Cx

720x80

x

72080x172080'C


x720x80990x720x80990x

980x80x9x110C


yx91yxVAyudadeFórmula

y80x80xy1101y2401x240xy60xy50CObjetivoFunción

2

2

2

22

1



x x

80cm

50cm

6) Con una lámina de cartón que posee dimensiones de 80cm (base) y 50cm (altura), se desea

construir una caja recortando y doblando convenientemente un cuadrado de lado igual a “x” en cada esquina del cartón. Calcule la dimensión “x” para que el volumen de la caja sea máximo.

cm10serdebex,volumenelimizarmaxpara/R

negativaoargldeensiondimunagenera"x"devaloresteporque

descartado3.33x10x

1224000124520520

x

04000x520x120'V

4000x520x124000x520x12'V

Derivadaera1ladeCriteriox4000x260x4x250xx280V


x250lxh

x280bAyudadeFórmula

cajadevolumenimizarmaxlhbVObjetivoFunción

2

12

2

22

23



2cm

1cm

7) Una hoja de papel debe tener 18cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2cm de

altura y márgenes laterales de 1cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimicen la superficie o área total del papel.

cm10

251054

2x10x4

y

cm5x,hojaladeareaelimizarminpara/R

1x;5x01x5x05x4x

020x16x40'A

2x

20x16x4

2x

x10x420x10x16x8

2x

1x10x42x10x8'A

Derivadaera1ladeCriterio2x

x10x42x10x4

xA


2x10x4

y

2x2x418

y

y42x

184y2x18

hbAAyudadeFórmula

papeldehojaladeáreaimizarminyxVObjetivoFunción

2

2

2

2

2

22

2

2

2



8) Una boya (señalización flotante situada en el mar y generalmente anclada al fondo), será

construida utilizando dos conos rectos de hierro, unidos por sus bases, por especificaciones técnicas se solicita que la altura inclinada de ambos conos tenga una longitud de 3m. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.

m639x

y9x

m3y,boyaladevolumenelimizarmaxpara/R

y3

y26

0y260'V

y26'V


y32y6yy93

2V


y9x

)"y"principalalturalacon"x"baselade

radioelorelacionad,pitagorasdeteorema(3yxAyudadeFórmula

)conos2(boyaladevolumenimizarmaxyx312VObjetivoFunción

2

22

2

2

2

32

22

222

2



b

h 1m

9) Determinar la mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mide 1.00

metro.

m22

21

21

2112

21h

b1h

m22b,triangulodelareaelimizarmaxpara/R

b22

b21

b21

0b210'A

b12

b21

b1

bb121

b1

bb1b121

b1

bb1

21

b2b121bb112

1'A


b1b21A


b1h

1hbAyudadeFórmula

gulotanrecundeareaimizarmaxbh21AObjetivoFunción

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

2

222

122

2

2

222



10) A las 7:00am, un barco estaba a 60 millas al este de un segundo barco. Si el primer barco navega hacia el oeste a 20 mi/hr. y el segundo barco navega con rumbo sureste a 30 mi/hr., ¿Cuándo estarán más cerca uno del otro?

1er barco – 1 2do barco – 2

cercamasestaráncuallaenhoraam09:8hrs15.815.17/R

hrs15.124.296,42.945,4

t

02.945,4t24.296,40'd

2.945,4t24.296,4'd

Derivadaera1ladeCriterio600,3t2.945,4t12.148,2t86.449600,3t2.945,4t26.698,1

t21.2160t21.41

t215t20t21560

0t215t20t21560d


1barcoalpertenecequecontinuorayadodecartesianoplanoelreferenciacomotomandoobtenidasson

,y,x&y,xposiciondescoordenadalas

t215y0y

t21560xt20x

t30dt20d

2barco1barco

tVdtdVAyudadeFórmula

cercamas

estarancuandosaberparaciatandisimizarminyyxxdObjetivoFunción

2

2

222

22

22

222

2211

21

21

21

212

212

2

t215

t215

t20d1

N

O

S

E

N

S

1 2 E O

45º

t21560

t30d2

1barcodeejealrelaciónenmi60

11 y,x

22 y,x

2122

122 yyxxd



2r

h

r

11) Una ventana de estilo normando consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Determine las dimensiones de una ventana con perímetro 10 metros y que permita la entrada de la mayor cantidad posible de luz.

m40.1410

2410

410

5h2rr5h

;m40.1410

r,atanvenladeáreaelimizarmaxpara/R

410

410

r

0rr4100'Arr410'A


r21r2r10r2

1rr2r10A

r21

2rr5r2A


2rr5h

2r2

h2r210

osemicírculperímetrorectánguloperímetroatanvenPerimetroAyudadeFórmula2r

hr2A

atanvendeáreaimizarmaxosemicírculáreagulotanrecáreaAObjetivoFunción

22222

2

2

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12) Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que cinco veces el cuadrado del primero más

seis veces el cuadrado del segundo sean un mínimo.

202444x44y;24x,sumalaimizarminpara/R

24x0528x220'S528x22'S

Derivadaera1ladeCriterio616,11x528x11x6x528616,11x5xx88936,16x5x446x5S


x44y44yxAyudadeFórmula

sumalaimizarminy6x5SumaObjetivoFunción

2222222

22



13) Se tiene un alambre de 100cm de longitud y se desea dividirlo en dos fragmentos para formar con

uno de ellos un circulo y con el otro un cuadrado. Determine la longitud de cada uno de los dos fragmentos para que la suma de las áreas de ambas figuras sea mínima.

cm10001.5699.43onverificaci

cm01.56a4perimetro

cm0044.1475.025a

r2125acuadradoparafragmento

cm99.4372r2circuloparafragmento/R

cm72

1225

r

25212r

0r2125r20'A

r2125r2'A


r41r25625rr2

125rA


ar2125

a4

r2100a4r2100

cuadradoperímetrocírculoperímetroPerímetroAyudadeFórmulaarA

figurasambasdeáreaelimizarmincuadradocírculoAObjetivoFunción

2

2

2

2

22222

22



14) En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P

situado a 500Km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 100 Km/hr., mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/hr. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300Km, determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible.

.recorridodetiempoelimizarminparadesiertodeltravesam375000,90225

ycarreteraenm175225400recorrerdeberatotanlopor;m225x/R

22516000,810x

000,90x9x25

000,90x3x5

000,90x60x100

0x100000,90x600't

000,90x60100

x100000,90x60

000,90x60

x100

1't

x2000,90x21

6011100

1't


000,90x601x400100

160

000,90x100

x400t

ttt


Vdtt

dV

000,90x300xMP

x400AMxMB

400300500ABAyudadeFórmulas

recorridodetiempoimizarmintttObjetivoFunción

2

22

222

2

2

2

2

2

21

2

2

2

desiertorecorridocarreterarecorrido

222

22

desiertorecorrido

carreterarecorrido

A M B

P

500Km300Km



Guía de Estudio No.8 – 2do Parcial

Aplicaciones de la Derivada Optimización de Funciones

(Guía Complementaria No.8 – 2do Parcial) Respuesta de todos los ejercicios v2.0

1.-) R/=> a.-) x = (2/3)a b.-) x = (2/3)a 2.-) R/=> θ = 60º 3.-) R/=> r = 5.42cm; h = 10.84cm 4.-) R/=> x = 5.00cm; y = 15/2cm 5.-) R/=> x = 3.00m, y = 3.00m, C = $1,470.00 6.-) R/=> x = 10.00cm 7.-) R/=> x = 5.00cm; y = 10.00cm

8.-) R/=> x = 61/2 m; y = 31/2 m 9.-) R/=> x = y = 0.707m 10.-) R/=> 8:09 am 11.-) R/=> r = h = 1.40m 12.-) R/=> x = 24, y = 20 13.-) R/=> Circulo = 43.99cm, Cuadrado = 56.01cm 14.-) R/=> 175 m. en carretera y 375m a través del desierto.

Bibliografía Utilizada en la Selección de los Ejercicios Propuestos en ésta Guía de Estudio 1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación. 2. López, I.; Wisniewski, P. (2006). Cálculo I Diferencial de una Variable, 1ª ed. México. Thomson Editores 3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores. 4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana. 5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning Editores. 6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación. 7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación. 8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación. 10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Chile.

Santiago de Chile. 11. Guía Complementarias #2; La Derivada. Departamento de Matemáticas. Universidad Nacional Autónoma de Honduras

(UNAH). Tegucigalpa, Honduras. 12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República Bolivariana de

Venezuela. 13. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001. Santiago de

Chile, Chile. 14. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores

de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores. 15. Ejercicios sobre Derivadas e Integrales. Departamento de Estadística e Investigación Operativa. Universidad de Valencia.

Valencia, España. 16. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio Anzoátegui”.

República Bolivariana de Venezuela. JUCELO1209® D.R.2015

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