programa analÍtico -...

Programa Analítico Página 1 de 12

PROGRAMA ANALÍTICO

DEPARTAMENTO: CIENCIAS BÁSICAS

CARRERAS: INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES

INGENIERÍA ELECTRICISTA

INGENIERÍA MECÁNICA

INGENIERÍA QUÍMICA

ASIGNATURA: CÁLCULO II

CÓDIGO: 0402

AÑO ACADÉMICO: 2014

PLANES DE ESTUDIOS: 2010-2004-2005-1994 UBICACIÓN EN EL PLAN DE ESTUDIO: 1er. CUATRIMESTRE DE 2do. AÑO DOCENTE A CARGO: Dr. Guillermo Bossio – Profesor Adjunto EQUIPO DOCENTE: Dr. Guillermo Bossio – Profesor Adjunto

Ing. Alba Lema – Profesora Adjunta Dr. Daniel Forchetti – Profesor Adjunto Ing. David Palumbo – Profesor Adjunto Mg. Ing. Javier Zizzias – Jefe de Trabajos Prácticos Ing. Leticia Firman – Ayudante de Primera Alumno Alvaro Aguilar– Ayudante de Segunda RÉGIMEN DE ASIGNATURAS: ASIGNACIÓN DE HORAS: Semanales: 6 Totales Teóricas: 45 Prácticas Resolución de problemas: 45 Laboratorio: - Proyecto: - Trabajo de campo: - CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Obligatoria

Aprobada Regular

0401 0404


OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA: Los objetivos más relevantes de la asignatura son los siguientes:

Que el alumno reconozca las principales funciones y superficies que se utilizan en diversas cuestiones de física e ingeniería.

Que el alumno sea capaz de resolver problemas de optimización restringida y no restringida.

Que el alumno interprete la utilidad de los operadores gradiente, divergencia, rotor, laplaciano, etc.

Que el alumno desarrolle alguna destreza en el cálculo de integrales de línea, de superficie y múltiples en general, interpretando el valor que poseen en las aplicaciones.

Que el estudiante adquiera habilidad en la resolución de problemas y capacidad de análisis en la colección y organización de datos, así como la estimación de los resultados que se presentan en el estudio del cálculo vectorial.

Que el alumno se apoye en la utilización de fenómenos físicos de modo que le permitan comprender el concepto de vectores y funciones de varias variables.

Establecer estrategias que le permitan al alumno el estudio del cálculo vectorial con el nivel requerido.

APORTES DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO

INGENIERÍA ELECTRICISTA

Establecer las bases necesarias que permiten la comprensión de la electricidad y magnetismo y la técnica electromagnética, base fundamental de todas las áreas de la Ingeniería Eléctrica.

INGENIERÍA MECÁNICA

Aplicar el cálculo vectorial en la solución de problemas y actividades que impliquen la optimización de sistemas, diseño y evaluación de proyectos.

INGENIERÍA QUÍMICA

Proporciona las herramientas indispensables para investigar, diseñar, controlar y optimizar diferentes procesos.

INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES

Aplicar el cálculo vectorial en la solución de problemas y actividades que impliquen la optimización de sistemas, diseño y evaluación de proyectos, así como desarrollar el pensamiento abstracto.

En todos los casos los conocimientos adquiridos permitirán al egresado desarrollar las habilidades necesarias en procedimientos matemáticos, para aplicarlos en la solución de problemas de Ingeniería.


CONTENIDOS: CONTENIDOS GENERALES

Los contenidos de las unidades se organizaron de manera que ofrezcan suficiente oportunidad para

el razonamiento y la reflexión, buscando eficientemente problemas de aplicación.

A modo de introducción, se realiza un breve repaso de vectores y de las ecuaciones de la recta y el

plano. Se estudian las superficies cuádricas en general y se describen los sistemas de coordenadas

más usados en el espacio bi y tridimensional. Finalmente, se presentan las funciones que serán

objeto de estudio en el presente curso, esto es, funciones escalares de variable vectorial y funciones

vectoriales, exponiéndose sobre la representación de las mismas. Los contenidos que restan se

presentan en dos secciones diferentes, diferenciadas por la naturaleza de las funciones involucradas.

Una de ellas está destinada al estudio de las funciones escalares de varias variables. Se las estudia

desde el punto de vista analítico y mediante gráficas y conjuntos de nivel. Se presentan nociones

básicas sobre límite y continuidad generalizando estos conceptos al caso de funciones vectoriales.

Se abordan temas como: derivada parcial, derivada direccional, gradiente y diferencial, asociando a

este último la idea de aproximación lineal. Se analiza la regla de la cadena de varias variables y se

enuncia el Teorema de la función implícita. Se estudian las derivadas parciales de orden superior y

su aplicación a aproximaciones mediante el uso de la serie de Taylor. Las ideas y conceptos

anteriores se aplican a problemas de optimización restringida y no restringida. Se aborda el estudio

de la integral definida de varias variables, como así también en diferentes sistemas de coordenadas

y se estudian las aplicaciones más frecuentes.

En la otra sección se aborda el estudio de las funciones vectoriales, estudiando la representación

paramétrica de curvas. Se definen y analizan geométricamente la velocidad y la aceleración, como

así también la curvatura y torsión. Se estudian las superficies parametrizadas y a continuación se

presenta el concepto de integrales a lo largo de trayectorias y sobre superficies, cómo calcularlas y

sus aplicaciones más frecuentes. Se expone la divergencia y el rotacional, en término de densidad

de flujo y de circulación respectivamente. Luego encontramos su expresión para diferentes sistemas

de coordenadas. Por último, se analizan los tres teoremas fundamentales del cálculo vectorial y se

los utiliza en numerosas aplicaciones.


CONTENIDOS ANALÍTICOS

PRIMERA PARTE: INTRODUCCIÓN.

Tema I Geometría analítica en el espacio.

I.1 Breve repaso de vectores. I.1.1 Representación geométrica de los vectores.

I.1.2 Longitud de un vector.

I.1.3 Producto escalar, producto vectorial y producto mixto.

I.2 Ecuaciones de la recta y el plano. I.2.1 Ecuaciones de la recta. I.2.2 Ecuaciones del plano.

I.3 Superficies cuádricas. I.3.1 Ecuación general de las cuádricas. I.3.2 Representación gráfica de las cuádricas. I.3.3 Esfera I.3.4 Elipsoide I.3.5 Paraboloide I.3.5.1 Paraboloide elíptico I.3.5.2 Paraboloide hiperbólico I.3.6 Hiperboloide I.3.6.1 Hiperboloide de una hoja I.3.6.2 Hiperboloide de dos hojas I.3.7 Cono

I.4 Superficies cilíndricas

I.5 Superficies de revolución

I.6 Invariantes.

I.7 Sistemas de coordenadas.

I.7.1 Sistemas de coordenadas en 2 : cartesianas y polares.

I.7.2 Sistemas de coordenadas 3 : cartesianas, esféricas y cilíndricas. I.7.3 Ecuación de las superficies cuádricas en otros sistemas de coordenadas.

Tema II Funciones en cálculo vectorial.

II.1 Funciones en cálculo vectorial. II.1.1 Funciones escalares. II.1.2 Funciones vectoriales.

II.2 Representación de curvas y superficies. II.2.1 Conjunto de puntos. II.2.2 Las curvas y superficies como gráficas e imágenes de funciones.

II.2.3 Representación de curvas en 2

II.2.4 Representación de curvas en 3

II.2.5 Representación de superficies en 3

II.2.6 Representación de superficies en 2


II.3 Conjuntos de nivel. II.3.1 Curvas de nivel II.3.2 Superficies de nivel

SEGUNDA PARTE: FUNCIONES ESCALARES.

Tema III Límite y continuidad.

III.1 Límite y continuidad.

III.1.1 Definición de límite para funciones de n 1 . III.1.2 Límites sucesivos y restringidos III.1.3 Funciones contínuas

III.2 Generalización de los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales.

III.2.1 Definición de límite para funciones de n m . III.2.2 Continuidad de funciones vectoriales

Tema IV Diferenciación de funciones escalares de varias variables.

IV.1 Derivadas parciales. IV.1.1 Interpretación geométrica. IV.1.2 Cálculo de derivadas parciales.

IV.2 Linealidad local y el diferencial. IV.2.1 Interpretación geométrica de la linealidad local. IV.2.2 Plano tangente. IV.2.3 Diferenciabilidad.

IV.3 Gradiente y derivadas direccionales. IV.3.1 Derivada direccional. Interpretación geométrica. IV.3.2 Cálculo de derivadas direccionales. IV.3.3 Vector gradiente. IV.3.4 Propiedades del vector gradiente IV.3.5 Aplicaciones sencillas

IV.4 Derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas. IV.4.1 Composición de funciones. IV.4.2 Regla de la cadena. Matriz jacobiana. IV.4.3 Teorema de la Función Implícita. IV.4.4 Función inversa.

IV.5 Diferenciales de orden superior.

IV.6 Fórmula de Taylor de varias variables. IV.6.1 Contacto de orden n IV.6.2 Polinomio aproximante IV.6.3 Fórmula de Taylor para 2 variables. IV.6.4 Fórmula de Taylor para más variables.

Tema V Optimización.

V.1 Extremos locales: Optimización no restringida. V.1.1 Funciones de dos variables. Condiciones necesarias. V.1.2 Condiciones suficientes de extremo relativo.

V.2 Extremos de funciones con variables ligadas: Optimización restringida. V.2.1 Métodos de resolución: Composición de funciones – Multiplicadores de Lagrange.

Tema VI Integrales múltiples.

VI.1 Integrales dobles.


VI.1.1 Definición de integral doble. VI.1.2 Propiedades de la integral doble. VI.1.3 Interpretación geométrica de la integral doble - Teorema de Fubini VI.1.4 Integrales dobles sobre rectángulos. VI.1.5 Integrales dobles sobre regiones más generales. VI.1.6 Cambio en el orden de integración.

VI.2 Integrales triples. VI.2.1 Definición de integral triple. VI.2.2 Propiedades de la integral triple. VI.2.3 Integrales triples sobre regiones rectangulares. VI.2.4 Integrales triples sobre regiones más generales.

VI.3 Cambio de Variables. Fórmula del cambio de variables. VI.3.1 Cambio de variables en Integrales simples VI.3.2 Cambio de variables en Integrales dobles VI.3.3 Cambio de variables en Integrales triples – Fórmula del cambio de variables

VI.4 Aplicaciones de las integrales dobles.

VI.5 Aplicaciones de las integrales triples. TERCERA PARTE: FUNCIONES VECTORIALES.

Tema VII Curvas y superficies parametrizadas.

VII.1 Curvas parametrizadas. VII.1.1 Longitud de arco. VII.1.2 Reparametrización.

VII.1.3 El sistema de referencia ˆ ˆ ˆT N B .

VII.1.4 Componentes de la aceleración. VII.1.5 Curvatura de flexión, círculo osculador y curvatura de torsión.

VII.2 Superficies parametrizadas. VII.2.1 Área de una superficie y el versor normal.

Tema VIII Campos vectoriales. Integrales curvilíneas y de superficies.

VIII.1 Campos vectoriales.

VIII.1.1 Definición. VIII.1.2 Representación gráfica. Líneas de flujo. VIII.1.3 Algunos ejemplos de campos vectoriales.

VIII.2 Integrales de trayectoria. VIII.2.1 Definición. VIII.2.2 Aplicaciones.

VIII.3 Integrales de línea. VIII.3.1 Definición. VIII.3.2 Trabajo y circulación.

VIII.4 Integrales de funciones escalares sobre superficies. VIII.4.1 Definición. VIII.4.2 Aplicaciones.

VIII.5 Integrales de funciones vectoriales sobre superficies. VIII.5.1 Orientación de una superficie. VIII.5.2 Flujo. Tema IX Operadores diferenciales sobre campos vectoriales.

IX.1 Divergencia.


IX.1.1 La divergencia del campo v

, como una densidad volumétrica de flujo. IX.1.2 Cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas.

IX.2 Rotor. IX.2.1 Densidad superficial de circulación alrededor de una dirección n

(normal al plano de circulación).

La componente del rotor de v

en esa dirección. IX.2.2 Cálculo del rotor en coordenadas cartesianas.

IX.3 Propiedades de los operadores divergencia y rotor

IX.4 Aplicaciones.

IX.5 Divergencia y rotor en otros sistemas de coordenadas.

IX.6 Interpretación gráfica de la divergencia y rotor de un campo vectorial.

IX.7 Campos vectoriales conservativos.

Tema X Teoremas integrales del cálculo vectorial.

X.1 Teorema de Stokes.

X.2 Teorema de Green.

X.3 Teorema de Gauss - Ostrogradski o de la divergencia.

X.4 Teorema de la divergencia en 2 .

X.5 Aplicaciones de los teoremas Integrales

METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA:

Las clases tendrán modalidad teórico – práctica y serán del tipo expositivas, pretendiendo que las mismas sean una herramienta más para la comprensión y el aprendizaje. En el transcurso de las clases se alentará a los estudiantes a pensar en forma visual y numérica. Se desarrollarán fundamentos conceptuales y estrategias para la resolución de problemas.

Las guías de trabajos prácticos contendrán ejercicios y preguntas de repaso. Los ejercicios estarán orientados a estimular el pensamiento crítico y se pretende que ofrezcan una revisión de los métodos, ideas y aplicaciones claves. Para responder las preguntas de repaso, el estudiante deberá reflexionar sobre los conceptos y verbalizar su comprensión, sin calcular respuestas numéricas, siendo estas preguntas apropiadas para ejercicios de redacción.

Por último, se concertarán dos clases semanales de tres horas cada una, y se trabajará en dos comisiones.


MODALIDAD DE EVALUACIÓN: Exámenes escritos I (parciales)

Se concertarán tres exámenes parciales en las fechas señaladas en el cronograma.

Consistirán en la resolución de problemas teórico – prácticos o ejercicios prácticos sobre los

temas que se evalúen en cada parcial y preguntas o desarrollos teóricos.

La calificación de cada examen será

APROBADO (si se resuelve correctamente entre un 50% y un 70% del examen)

DESAPROBADO (si no se logra resolver correctamente al menos un 50% del examen)

PROMOCIONADO (Nota) (si se resuelve correctamente 70% o más del examen, la nota

será 10%obtenido )

Exámenes escritos II (recuperatorios) Se podrá acceder a un examen recuperatorio por cada parcial, con la finalidad de mejorar la

calificación obtenida en los mismos.

El examen tendrá características similares al parcial que se recupera.

La calificación obtenida en el recuperatorio (sea mayor, igual o menor que la obtenida en el

parcial que se recupera) será la definitiva.

Los recuperatorios tendrán lugar al final del cuatrimestre en la fecha indicada en el

cronograma.

La calificación de los recuperatorios tendrá iguales características que la de los parciales.

Trabajos Prácticos Consistirán en la resolución de problemas teórico – prácticos o ejercicios prácticos sobre los

temas de cada unidad que serán asignados por los docentes de cada comisión y deberán ser

entregados dentro de los plazos preestablecidos.

Condiciones para regularizar la materia

Estarán en condiciones de regularizar la materia quienes hayan aprobado y/o promocionado los tres parciales y los trabajos prácticos.

Condiciones para promocionar la materia

Estarán en condiciones de promocionar la materia quienes hayan obtenido la calificación

“promocionado” en los tres parciales y hayan aprobado los trabajos prácticos. La nota final será un promedio de las notas obtenidas en los parciales.


MODALIDAD DE EVALUACIÓN EN EXÁMENES FINALES

Examen final escrito (final teórico práctico) Consistirá en la resolución de ejercicios prácticos y/o teórico-prácticos sobre diferentes temas

de la materia.

Cada ejercicio tiene asignado un porcentaje y para aprobar hace falta tener al menos un 50%

sobre cada una de las partes fundamentales de la asignatura.

La calificación de cada examen estará comprendida en una escala del cero al diez.

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: DÍAS Y HORARIOS DE CLASES

Consultar los horarios actualizados en: https://sisinfo.unrc.edu.ar/bedepub/

COMISIÓN INGENIERÍA ELECTRICISTA y EN TELECOMUNICACIONES

Docentes: Guillermo Bossio y Daniel Forchetti

LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES

13

14 Aula 1

Planta Piloto

Aula 1

Planta Piloto

15

16

17

COMISIÓN INGENIERÍA QUÍMICA

Docentes: Alba Lema y Javier Zizzias


13

14 Aula 16

Pab. 1

Aula 16

Pab. 1

15

16

17

COMISIÓN INGENIERÍA MECÁNICA

Docentes: David Palumbo y Leticia Firman


13 Aula 6

Pab. 1

14 Aula 6

Pab. 1

15

16

17


CRONOGRAMA DE LA MATERIA (COMISIONES MARTES Y JUEVES)

Semanas Fecha Clase Detalle de temas (modalidad teórico práctico)

1° 11 de marzo 1

Presentación de la materia

Geometría analítica en el espacio

I.1 Breve repaso de vectores

I.2 Ecuaciones de la recta y el plano.

I.3 Superficies cuádricas

13 de marzo 2

Geometría analítica en el espacio

I.4 Superficies cilíndricas

I.5 Superficies de revolución

I.6 Invariantes

I.7 Sistemas de coordenadas

2° 18 de marzo 3

Funciones en cálculo vectorial

II.1 Funciones en cálculo vectorial

II.2 Representación de curvas y superficies

20 de marzo 4

Funciones en cálculo vectorial

II.2 Representación de curvas y superficies

II.3 Conjuntos de nivel

Límite y Continuidad

III.1 Límite y Continuidad

III.2 Generalización d los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales.

3 25 de marzo 5

Diferenciación de funciones escalares de varias variables

IV.1 Derivadas parciales

IV.2 Linealidad local y el diferencial

27 de marzo 6


IV.2 Linealidad local y el diferencial

IV.3 Gradiente y derivadas direccionales

4° 1 de abril 7


IV.3 Gradiente y derivadas direccionales

IV.4 Derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas

3 de abril 8 Diferenciación de funciones escalares de varias variables

IV.4 Derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas

5 8 de abril 9


IV.5 Diferenciales de orden superior

IV.6 Fórmula de Taylor de varias variables

10 de abril 10 Optimización

V.1 Extremos locales: Optimización no restringida

6 15 de abril 11 Optimización

V.2 Extremos de funciones con variables ligadas: Optimización restringida

7 22 de abril 12 Integrales múltiples

Vl.1 Integrales dobles

24 de abril 13

Integrales múltiples

Vl.2 Integrales triples

Vl.3 Cambio de variables

25-04-2014

Primer Parcial - Temas I.1 al IV.3 inclusive


8 29 de abril 14

Integrales múltiples

Vl.5 Aplicaciones de las integrales dobles

Vl.4 Aplicaciones de las integrales triples

9 6 de mayo 15 Curvas y superficies parametrizadas

VII.1 Curvas parametrizadas

8 de mayo 16

Curvas y superficies parametrizadas

VII.1 Curvas parametrizadas

VIl.2 Superficies parametrizadas

10 13 de mayo 17

Campos vectoriales. Integrales curvilíneas y de superficie

VIII.1 Campo vectorial

VIII.2 Integrales de trayectoria

15 de mayo 18 Campos vectoriales. Integrales curvilíneas y de superficie

VIII.3 Integrales de línea

11 20 de mayo 19

Campos vectoriales. Integrales curvilínes y de superficie

VIII.4 Integrales de funciones escalares sobre superficies

VIII.5 Integrales de funciones vectoriales sobre superficies

22 de mayo 20

Operadores diferenciales sobre campos vectoriales

IX.1 Divergencia

IX.2 Rotor

12 27 de mayo 21

Operadores diferenciales sobre campos vectoriales

IX.3 Aplicaciones

IX.4 Divergencia y rotor en otros sistemas de coordenadas

IX.5 Interpretación gráfica de la divergencia y rotor

IX.6 Propiedades de los operadores divergencia y rotor

IX.7 Campo vectoriales conservativos

29 de mayo 22

Teoremas integrales del cálculo vectorial

X.1 Teorema de Stokes

X.2 Teorema de Green

30-05-2014

Segundo Parcial – Temas IV.4 al VI.4 inclusive

13 03 de junio

23


X.3 Teorema de la divergencia en divergencia en 3

X.4 Teorema de la divergencia en divergencia en 2

05 de junio


X.5 Aplicaciones de los teoremas integrales

14 27-06-2014

Tercer Parcial - Tema VII.1 al X.5

15

Recuperatorio Parciales


BIBLIOGRAFÍA: Bibliografía Básica

Título Autor/s Editorial Año de Edición

Ejemplares Disponibles

Cálculo II (Apuntes de la cátedra)

Lema, Morelli 2014

Cálculo vectorial Pita Ruiz Prentice Hall

Hispanoamericana S.A 1995 22

Cálculo Vectorial 5ª Ed.

Mariden y Tromba Addison-Wesley 2004 1

Cálculo Vectorial Mariden y Tromba Addison-Wesley 1991 32

Bibliografía de Consulta Título Autor/s Editorial Año de

Edición Ejemplares Disponibles

Cálculo. Varias variables

George B. Thomas Addison Wesley Pearson 2006 1

Cálculo - 9a ed Cálculo

Multivariable STEWART JAMES

International Thompson Editores

2002 1

Cálculo Diferencial de varias variables

Pérez, Hernández y montaner

International Thompson Editores

2002

Cálculo de varias variables

Besada, García, Mirás, Vásquez

Prentice Hall 2001

Cálculo y geometría analítica. Vol. II

Larson, Hostetler, Edwards

Mc. Graw Hill 1999

Cálculo de varias variables – Vol. 2

BRADLEY, SMITH Prentice Hall 1998

Cálculo de varias variables

Mc Callum, gleason, Hughes Hallett

Compañía Editorial Continental

1998

Firma Docente Responsable Firma Secretario Académico

programa analÍtico -...

Documents