2-cap 2. n irrac - log - función - relación

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTEMatemáticas II

Luis A. Cadogan A. Prof. Titular, Ingeniero Capítulo 2: Funciones – Relaciones

INDICE

1. NÚMEROS IRRACIONALES INTERESANTES...........................................2

1.1. El número PI ()....................................................................................................2

1.2. El número e............................................................................................................2

1.3. El número de oro PHI (). Sección áurea, proporción áurea o razón áurea..........2

2. ESCALA LOGARITMICA................................................................................3

2.1. Logaritmo decimal.................................................................................................3

2.2. Logaritmo natural o Neperiano.............................................................................3

2.3. Propiedades de los logaritmos...............................................................................3

3. FUNCIÓN Y RELACIÓN..................................................................................5

3.1. Función..................................................................................................................5

3.2. Relación.................................................................................................................5

3.3. Clasificación general de funciones........................................................................5

4. CONJUNTO SOLUCIÓN – LUGAR GEOMÉTRICO..................................6

4.1. Criterio de la recta vertical....................................................................................6

4.2. Dominio – Rango..................................................................................................7

4.3. Simetría del Lugar Geométrico.............................................................................7

4.4. Función inversa.....................................................................................................7

4.5. Criterio de la recta horizontal................................................................................8

5. FUNCIÓN CRECIENTE O DECRECIENTE EN UN PUNTO.....................20

6. MISCELÁNEA DE EJERCICIOS....................................................................22

Cap.2 - 1



1. NÚMEROS IRRACIONALES INTERESANTES.

1.1. El número PI ().

: 3,141592654…………….

Perímetro de una Circunferencia (CIA): 2R.

El perímetro de cualquier circunferencia dividido por su diámetro es igual a .

1.2. El número e.

e = 2,718281828………….. Base de los logaritmos naturales

1.3. El número de oro PHI (). Sección áurea, proporción áurea o razón áurea.

Encontrar la razón A/B si un punto divide al segmento de recta definido por los

puntos P1 y P2; de modo que: “La proporción entre el segmento total de recta y el

segmento mayor es igual a la proporción entre el segmento mayor y el menor”.

Segmento Total: A + B.Segmento Mayor: A.Segmento Menor: B.

(A + B)B = A2. AB + B2 = A2.

Escribimos una ecuación de segundo grado en A: A2 – B.A – B2 = 0.

Número de oro.

ABSURDO, se desprecia, por ser negativo, razón de distancias

con igual orientación.

Cap.2 - 2

P1

A

BP2



2. ESCALA LOGARITMICA.

b es la base del logaritmo, .

2.1. Logaritmo decimal

base 10 Lg X = Y 10Y = X.Lg (Nº negativo) No existe

Lg 1 = 0 100 = 1.

Lg 10 = 1 101 = 10.

Lg 100 = 2 102 = 100.

Lg 1.000 = 3 103 = X.

2.2. Logaritmo natural o Neperiano.

base e = 2,718281828…………….

Ln X = Y eY = X.

Ln 1 = 0 e0 = 1.

Ln e = 1 e1 = e.

Ln (Nº negativo) No existe

2.3. Propiedades de los logaritmos.

Lg b(X) = Y bY = X.

Lg (A.B) = LgA + LgB.

Lg (A/B) = LgA – LgB.

Lg (A)N = N.LgA.

Ejercicio 2.1. Si aplicamos logaritmo podemos linearizar la ecuación.

1.1. w = aY.

Ln(w) = YLn(a).

1.2. w = esecY.

Ln(w) = secY.Ln(e) Ln(e) = 1.

Ln(w) = secY.

1.3. Y = K.eaX.

Ln(Y) = Ln(K) + aX Ln(e) Ln(e) = 1.

Ln(Y) = Ln(K) + aX.

Cap.2 - 3



Ejercicio 2.2. Escala de Ritcher se usa para medir intensidad de temblores de tierra.

Ritcher diseño la escala donde la primera expresión se basaba en la

destrucción observada: un temblor de rango 4 rompía platos, ventanas y un

poco más. E es la energía (en ergio) liberada por un temblor, la magnitud M

en la escala de Ritcher está relacionada con E por: Lg E = 1,5M + 11,4. Las

constantes 1,5 y 11,4 se determinaron empíricamente y pueden ajustarse.

2.1. ¿Cuánta energía es liberada por un temblor de rango 5 en la escala de Ritcher?

Lg E = 1,5 (5) + 11,4 E = 7,94 x 1018.

2.2. Mostrar que un temblor de rango 7 es como 30 veces mas fuerte que uno de rango 6.

LgE = 1,5 (6) + 11,4 E1 = 2,51 x 1020.

LgE = 1,5 (7) + 11,4 E2 = 7.94 x 1021. .

Ejercicio 2.3. Umbral de audición: Intensidad mínima de sonido que impresiona el oído.

Nivel permitido de exposición sonora: 80 dB. D {dB} el número de dB

para medir la intensidad de un sonido se relaciona con la potencia P del

sonido (medido en Watt/cm2): D = 10Log{P.1016}. Encontrar el número de

decibeles en un sonido en el nivel de conversación de 3,2 x 10–10 W/cm2.

D = 10Lg{P1016} = 65 dB

3.1. ¿Cuanta Potencia hay en un sonido de 30 dB?

.

3.2. ¿Cuanto aumento la Potencia sobre el nivel permitido para un incremento de 3 dB?

se suplicó.

Para 80 dB

Para 83 dB

Para un incremento de 3 dB

Cap.2 - 4



3. FUNCIÓN Y RELACIÓN.

3.1. Función.

Tenemos una función Y = f(X) cuando a cada elemento de X (Dominio de la

función) corresponde un solo valor de Y (Rango de la función). Para cada valor de X

f(X) asigna una sola imagen sobre el eje Y.

3.2. Relación.

Es cualquier conjunto de pares ordenados en el plano cartesiano. Cada elemento de

X puede tener más de una imagen en Y.

3.3. Clasificación general de funciones.

F. Algebraica: X puede estar sometida a las operaciones de: adición, producto,

cociente, potenciación y/o radicación. Pueden ser:

F. Explícita: Y está explícitamente definida. Y = X4 – 6 (F. Explícita;

algebraica racional entera).

F. Implícita: Y está implícitamente definida. X2 + Y2 = 1.

F. Polinómica. F. Constante. F. Líneal (Y = X – 5). F. Cuadrática, etc.

FA Racional: X.

FAR Natural o Entera: la variable X está sometida a exponentes

naturales. No aparece en el denominador: Y = 5 – X/4

FA R Fraccionaria: X está en el denominador: .

FA Radical o Irracional: X esta con exponentes fraccionarios:

.

.

F.A. Potencial: . La F. Potencial y la F. radical son inversas.

Cap.2 - 5



F. Trascendente: X aparece como exponente o índice del radical.

F. Exponencial: Y = aX Y = eX;

F. Logarítmica: Y = Lg(X); Y = Ln(X)

F. Trigonométrica (FT): todas las funciones trigonométricas.

F. Trigonométrica inversa (FTI).

F. Trigonométrica Hiperbólica (FTH).

F. Trigonométrica Hiperbólica Inversa (FTHI).

F. Par: substituyendo X por – X la función no cambia. f(– X) = f(X)

X.

F. Impar: substituyendo X por – X la función cambia. f(– X) = – f(X)

X.

F. Periódica: se repite a partir de un periodo de tiempo . f(t) = f(t + ).

F. Inyectiva: elementos diferentes del Dominio tienen imágenes diferentes en el

Rango (Codominio), a a' A (dominio) f(a) f(a') B (Codominio).

F. Sobreyectiva: el conjunto de imágenes f(a) coincide con el Rango f(a) = B.

F. Biyectiva: Si f(X) es Inyectiva y Sobreyectiva en forma simultánea, f(X) es

Biyectiva y en ese caso es posible definir la función inversa.

F. Inversa: f(X) es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente es biyectiva, en ese

caso puede definirse la función inversa. .

F. Multiforme (Relación): A cada valor de X le corresponden varios valores de

Y. Un elemento del Dominio puede tener más de una imagen en Y.

4. CONJUNTO SOLUCIÓN – LUGAR GEOMÉTRICO.

Es la figura o el conjunto de puntos en el plano cartesiano (Plano XY) que representa

a la ecuación dada.

4.1. Criterio de la recta vertical.

Para determinar fácilmente si estamos en presencia de una función se puede aplicar

el criterio de la recta vertical, para esto se toma un valor de X que esté dentro de la

Cap.2 - 6



figura y trazamos por ese punto una recta perpendicular al eje X, si esta corta al

Lugar geométrico en un solo punto estamos en presencia de una función: Y = f(X).

4.2. Dominio – Rango.

Son los campos de variación de las variables: X (Dominio) e Y (Rango). Los valores

de una de las variables para los cuales la otra se hace imaginaria carecen de sentido.

El Dominio de una función o de una relación es el conjunto de todos los valores de

X de modo que el par ordenado (X, Y) está en ella.

El Rango de una función o de una relación es el conjunto de todos los valores de Y

de modo que el par ordenado (X, Y) está en ella.

4.3. Simetría del Lugar Geométrico.

Para determinar la Simetría con respecto al eje X: reemplazar: Y por – Y: si la

ecuación es igual a la original entonces es simétrica con respecto al eje X.

Para determinar la Simetría con respecto al eje Y: reemplazar: X por – X: si la

ecuación es igual a la original entonces la gráfica es simétrica con respecto al eje Y.

Para determinar la Simetría con respecto al origen: reemplazar: X por – X e Y

por –Y: si la ecuación es igual a la original, existe simetría con respecto al origen.

4.4. Función inversa.

Si una función es inyectiva y sobreyectiva en forma simultánea f(X) es Biyectiva y

en ese caso se puede definir la función inversa, dada existirá .

Cap.2 - 7



4.5. Criterio de la recta horizontal.

Para determinar la existencia de la función inversa usamos el Criterio de la Recta

Horizontal (CRH): f(X) tendrá función inversa si una recta horizontal trazada por

un punto del Rango corta a su Lugar Geométrico en un solo punto.

FUNCION INVERSA: Si

Si f(X) es un conjunto de pares ordenados (X; Y) su función inversa g(Y) será el

conjunto de pares ordenados (Y; X).

Ejercicio 2.4. Para la ecuación dada: Y = 3X + 2.

4.1. Graficar su Lugar Geométrico.

Ecuación de una línea recta; la recta queda definida por dos

puntos: Si:

X = 0 Y = 2

P1 = (0; 2)

Y = – 1 X = – 1

P2 = (– 1; –1).

4.2. Determinar Dominio y Rango.

La variable X puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción: D (– ; ).

La variable Y puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción: R (– ; ).

Cap.2 - 8

Conjunto de X

Dominio de f

Rango de g

Conjunto de Y

Rango de f

Dominio de g



Ejercicio 2.5. Encontrar el Lugar Geométrico de la Función Identidad f(X) = X X.

5.1. Determinar si es una función o una relación.

Aplicando el Criterio de la Recta Vertical (CRV), por un punto sobre X trazamos

una recta vertical que corta a la figura en un punto, es una función.

5.2. ¿Se podrá definir la función inversa?

Aplicando el Criterio de la Recta Horizontal (CRH) una recta horizontal cortará a la

figura en un solo punto, eso significa que existe:

5.3. Determinar el Dominio y el Rango.

La variable X puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción: D (– ; ).

La variable Y puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción: R (– ; ).

Ejercicio 2.6. Encontrar el Lugar Geométrico de la Función Constante: f(X) = K X.

Cap.2 - 9

X

Y

K

X

Y



Ejercicio 2.7. Para la Ecuación :

7.1. Determinar Lugar Geométrico.

Circunferencia: C(0; 0) y radio R = 4.

7.2. Determinar si es una relación:

Aplicándole el Criterio de la Recta Vertical (CRV): es una relación.

7.3. Determinar Dominio

(16 – X2 0) 16 X2. X 4

– 4 X + 4 D: [– 4; 4]

7.4. Determinar Rango.

(16 – Y2 0) 16 Y2. Y 4 – 4 Y + 4

R : [– 4; 4]

Cap.2 - 10



Ejercicio 2.8. Para la ecuación: X2 + Y2 = 25.

8.1. Determinar el Lugar Geométrico.

Circunferencia: centro C(0; 0) y radio: R = 5.

8.2. Determinar si corresponde a una función o a una relación.

CRV: trazamos una recta vertical por un punto del Dominio y la misma corta al

Lugar Geométrico en dos puntos, la ecuación corresponde a una relación.

Si tomamos la ecuación:

; la misma corresponde a una función, y

corresponde a una función.

ecuación que corresponde a una función multiforme.

8.3. Determinar: Dominio y Rango.

Dominio: D: [– 5; 5] Rango: R: [– 5; 5].

8.4. Determinar las Simetrías.

Simetría con respecto a X:

X2 + ( – Y)2 = 25. Existe simetría con respecto al eje

X.

Simetría con respecto a Y:

(– X)2 + Y2 = 25. Existe simetría con respecto al eje Y.

Simetría con respecto al origen:

(– X)2 + ( – Y)2 = 25. Existe simetría con respecto al origen.

Cap.2 - 11

X

Y



Ejercicio 2.9. Para: Y = X2.


Parábola con vértice en el origen y eje

sobre Y.

9.2. Determinar si es una relación.

Usando el Criterio de la Recta Vertical (CRV): tenemos que es una función.

Es una función No Inyectiva. Por lo tanto no es Biyectiva y no tendrá Función

Inversa, esto puede verse aplicando el Criterio de la Recta Horizontal (CRH) la cual

corta a la figura en dos puntos.

9.3. Determinar la Simetría.

Respecto a X:

(– Y) = X2; diferente a la ecuación original, no existe simetría con respecto al eje X.

Respecto a Y:

Y = (– X)2: la ecuación no varía, Existe simetría con respecto al eje Y.

Respecto al origen:

(– Y) = (– X)2: diferente a la original, no existe simetría con respecto al origen.


Dominio: la variable X no tiene ninguna restricción, por lo tanto puede variar desde

– hasta . D (– ; ).

Rango: Y no puede asumir valores negativos: Y 0 R (0; ).

Cap.2 - 12



Ejercicio 2.10. Dada la ecuación: X = Y2.

10.1. Determinar su Lugar Geométrico.

. Parábola con vértice

en el origen y eje sobre X.

10.2. Determinar si es una función o una relación.

Usando el criterio de la recta vertical (CRV) vemos que es una Relación.


Dominio: X no puede asumir valores negativos por estar debajo de una raíz

cuadrada: X 0 D[0; ).

Rango: La variable Y no tiene restricciones por lo tanto R: (– ; ).

Ejercicio 2.11. Encontrar el Lugar Geométrico de la Función Valor absoluto.

Cap.2 - 13

X

Y



Ejercicio 2.12. Determinar Dominio y Rango para:

12.1. Función Factorial: f(X) = X! X > 0.

.

12.2. Función Potencial: f(X) = XA X.

.

12.3. Función Exponencial: f(X) = aX

.

Ejercicio 2.13. Para: Y = X3.


13.2. Determinar el Dominio y Rango.

La variable X no tiene ninguna restricción, tampoco la variable Y:

Dominio: . Rango: .

13.3. Analizar simetrías.

Simetría con respecto al eje X:

(– Y) = X3; ecuación diferente a la original por lo tanto No existe simetría con

respecto al eje X.

Simetría con respecto al eje Y:

Y = (– X)3 = – X3; ecuación diferente a la original por lo tanto No existe simetría con

respecto al eje Y.

Simetría con respecto al origen: (– Y) = (– X)3 = – X3.

Y = X3 igual que la ecuación original Existe simetría con respecto al origen.

Cap.2 - 14



Ejercicio 2.14. Para la ecuación: ;

14.1. Encontrar el Lugar Geométrico:

Elipse con centro en el origen y eje principal sobre X.

14.2. Determinar si es una relación.

Aplicando el Criterio de la Recta Vertical (CRV): es una relación, la recta vertical

corta a la figura en 2 puntos.

14.3. Determinar dominio y rango.

Dominio:

(5 + X)(5 – X) 0 Para que el producto sea positivo ambos factores deben ser

positivos o ambos negativos.

(5 + X) 0 X – 5. (5 – X) 0 X + 5 D: [– 5; + 5].

Rango:

(4 + Y)(4 – Y) 0 ambos factores deben

ser positivos o ambos negativos.

(4 + Y) 0 Y – 4. (4 – Y) 0 Y + 4 R: [– 4; + 4].

Cap.2 - 15



Ejercicio 2.15. Para la ecuación: ;


Hipérbola con centro en el origen y eje principal sobre X.

15.2. Determinar se el Lugar Geométrico corresponde a una relación.

Usando el Criterio de la Recta Vertical (CRV): es una relación.


Dominio: D:(– ; – 5)(5; ). Rango: R:(– ; ).

Ejercicio 2.16. Dada la función f = {(0; 3); (1; 5); (3; 9); (5; 13)}, encontrar la función

inversa.

La función inversa será: g = {(3; 0); (5; 1); (9; 3); (13; 5)}.

Cap.2 - 16



Ejercicio 2.17. Analizar la ecuación: Y = 2X – 3.

Y = f(X) para cada X0 del Dominio, tendremos un Y0 = f(X0) en el Rango:

f ( – 2) = – 7; f( –1) = – 5; f(0) = – 3; f(1) = – 1; f(2) = 1.

La función es inyectiva y sobreyectiva en forma simultánea, es una función

biyectiva por lo tanto tendrá Función Inversa: X = g(Y): .

toma un valor del Rango y lo convierte a un valor del Dominio:

.

Ejercicio 2.18. Una función puede no tener inversa: Analizar si Y = X2, arco parabólico,

tiene función inversa.

Por el criterio de la recta vertical es una función

pero es NO INYECTIVA. Elementos

diferentes del Dominio tienen la misma

imagen en el Rango.

Cap.2 - 17



Ejercicio 2.19. Analizar sí la función dada es par o impar.

19.1. F(X) = 3X4 – 4X2 + 2;

F(– X) = F(X). La función algebraica es: racional entera y par.

19.2. F(X) = 3X3 – 4X;

F(– X) = – F(X) La función es impar.

19.3. F(X) = 3X3 – 4X + 1;

F(– X) F(X) F(– X) – F(X) Una función puede no ser par ni impar.

Ejercicio 2.20. Utilizamos la Fórmula de Euler: eiX = cos(X) + i sen(X). Verificar si:

20.1. La función trigonométrica es impar.

Para f(X) = senX f(– X) = – f(X) f(X) = senX es impar.

sen(0) = 0 sen(2) = 0

La función es trascendente (trigonométrica), impar y periódica de período: = 2.

Cap.2 - 18



20.2. La función trigonométrica es par.

Para f(X) = cosX f(– X) = f(X) f(X) = cosX es par.

cos(0) = 1 cos (2) = 1

cos() = –1 cos(+ 2 ) = cos(3) = –1

La función es trascendente (trigonométrica), par y periódica de período: T = 2.

20.3. La función trigonométrica f(X) = tgX es par o impar.

tgX es el cociente de función impar dividido por una función par, el resultado es

impar.

Ejercicio 2.21. Determinar si la función es par o impar.

es el cociente de funciones impares, el resultado es par.

Cap.2 - 19



5. FUNCIÓN CRECIENTE O DECRECIENTE EN UN PUNTO.

Dada f(X) la evaluamos en un punto X0; usamos una variable auxiliar h > 0;

si: f(X0 – h) < f(X0) < f(X0 + h) f(X) es creciente en X0

Si f(X) siempre crece para X creciente tenemos una función monótona creciente.

si: f(X0 – h) > f(X0) > f(X0 + h) f(X) es decreciente en X0

Si f(X) siempre decrece para X creciente tenemos una función monótona decreciente.

Ejercicio 2.22. Analizar sí la función: Y = X – 3 es creciente en X0 = 5.

f(X0 – h) = 5 – h – 3 = 2 – h

f(X0) = 2

f(X0 + h) = 5 + h – 3 = 2 + h

El criterio permite afirmar que f(X) es creciente en X0.

En este caso f(X) siempre crece para X creciente por eso se dice que f(X) es

monótona creciente.

Ejercicio 2.23. Graficar Y = X.

X –2 –1 0 1 2 3 4 5

Y –2,00 –1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00

Función impar monótona creciente.

Cap.2 - 20



Ejercicio 2.24. Analizar si la función: Y = 2 – X, es decreciente en el punto X = 1.

f(X0 – h) = 2 – 1 + h = 1 + h

f(X0) = 1

f(X0 + h) = 2 – 1 – h = 1 – h

El criterio permite afirmar que f(X) es decreciente en X0 en este caso f(X) siempre

decrece para X creciente por eso se dice que la f(X) es monótona decreciente.

Ejercicio 2.25. Graficar Y = – X.

X –2 –1 0 1 2 3 4 5

Y 2,00 1,00 0,00 –1,00 –2,00 –3,00 –4,00 –5,00

Función monótona decreciente.

Cap.2 - 21



6. MISCELÁNEA DE EJERCICIOS.

Ejercicio 2.26. Dada la ecuación: 9X2 + 16Y2 = 144

26.1. Investigar la simetría con respecto a los ejes de coordenadas, al origen.

Simetría respecto a X.

9X2 + 16(– Y)2 = 144. Simétrica con respecto al eje X.

Simetría respecto a Y.

9(– X)2 + 16Y2 = 144. Simétrica con respecto al eje Y.

Simetría respecto al origen.

9(– X)2 + 16(– Y)2 = 144 Sim. respecto al origen.

26.2. Encontrar el dominio y el rango.

Dominio: D: [– 4; 4]

Rango: R: [– 3; 3]

Ejercicio 2.27. Dada la función exponencial F(X) = 2X. calcular:

27.1. F(X + 3).

27.2. F(X –1).

27.3. F(X + 3) – F(X –1).

Cap.2 - 22



Ejercicio 2.28. Para la relación: Y2 = X2 – 4X + 3.

28.1. Determinar la simetría con respecto a los ejes de coordenadas y al origen.

Simetría con respecto al eje X. Reemplazamos Y por – Y.

F1 = (– Y)2 = X2 – 4X + 3 F = F1: Existe simetría con respecto al eje X.

Simetría con respecto al eje Y. Reemplazamos X por – X.

F2 = Y2 = (– X)2 – 4(– X) + 3 F2 = Y2 = X2 + 4 X + 3

F2 F: No es simétrica con respecto al eje Y.

Simetría con respecto al origen. Reemplazamos X por – X e Y por – Y.

F3 = (– Y)2 = (– X)2 – 4(– X) + 3

F3 = Y2 = X2 + 4 X + 3 F3 F: la gráfica no es simétrica con respecto al origen.


Dominio: Y = f(X) Y

(X – 1)(X – 3)

Si ambos son positivos:

(X – 1) 0 X 1 (X – 3) 0 X 3 X [3; )

Si ambos son negativos:

(X – 1) 0 X 1 (X – 3) 0 X 3 X (– ; 1]

D: (– ; 1] [3; ).

Rango: X = F(Y):

(1 + Y2) 0 Y

R : (– ; ).

Cap.2 - 23



Ejercicio 2.29. Determinar la gráfica de la ecuación: .

X –4 –3 –2 –1,15 0 1 1,15 2 3 4

Y –6 –1,87 0 0,38 0 –0,37 –0,38 0 1,87 6

Ejercicio 2.30. Graficar la relación: .

X –2 –1 0 1 2 3 4 5

Y –0,50 –0,67 –0,50 0 0,17 0,18 0,17 0,15

Cap.2 - 24



Ejercicio 2.31. Encontrar el Dominio de definición para cada una de la funciones:

31.1. D: [–1; 1].

31.2. D: [– 3; 5].

31.3. f(X) = LnX D: [1; ).

31.4. D: (0; ).

Ejercicio 2.32. Encontrar el Conjunto Solución de:

32.1. 2X + 3Y = 5.

Ecuación de una línea recta con pendiente m = – 2/3.

32.2. S = {(X, Y): 2X2 – 3Y2 = 6}

. Hipérbola con Eje Real sobre X.

32.3. 16X2 – 25Y2 = 400.

Hipérbola con Eje Real sobre el eje X.

32.4. 16Y2 – 25X2 = 400.

Hipérbola con Eje Real sobre el eje Y.

32.5.

Elipse con eje mayor sobre el eje X.

Cap.2 - 25



Ejercicio 2.33. Encontrar el Conjunto Solución de:

33.1.

Elipse con eje mayor sobre el eje Y.

33.2. Y 2 + 3XY + 2X2 = 0

Escribir como una ecuación de segundo grado en Y.

(Y + 2X)(Y + X) = 0 Ec.de dos líneas rectas: (Y + 2X) = 0 y (Y + X) = 0.

33.3. .

33.4. X4 – 4X2 + Y2 = 0.

Ejercicio 2.34. Dada la relación: Y2 = X2 – 4X + 3. Encontrar el DOMINIO y el RANGO.

(X – 2)2 – Y2 = 1 Hipérbola con centro en C(2; 0)

Determinación del Dominio:

El término que está dentro de la raíz debe ser positivo: (X – 1)(X – 3) > 0 para eso:

ambos factores deben ser positivos: (X – 1) >0 X > 1 (X – 3) > 0 X > 3

o ambos factores deben ser negativos: (X – 1) <0 X < 1 (X – 3) < 0 X < 3

El Dominio será: D (– ; 1] [3; )

Determinación del Rango: como Y está elevada al cuadrado puede asumir valores

positivos o negativos y por lo tanto puede variar de R (– ; )

Cap.2 - 26



Ejercicio 2.35. Dada la ecuación: Y2 – 2Y – 4X + 9 = 0.

35.1. Encontrar su lugar geométrico.

Escribimos como una ecuación de segundo grado en Y:

A = 1; B = – 2 ; C = – 4X + 9

O completamos cuadrados en Y: (Y – 1)2 – 1 – 4X + 9 = 0

(Y – 1)2 = 4X – 8

Ecuación de una parábola con vértice en el punto V(2; 1) eje paralelo al eje X.

35.2. Encontrar Dominio y Rango.

D: [2; ) R: (– ;+ )

35.3. Determinar las simetrías.

No existe simetría con respecto a X.

No existe simetría con respecto a Y.

No existe simetría con respecto al origen.

Ejercicio 2.36. Investigación de las simetrías:

36.1. X2 – 6Y + 12 = 0.

Cambiamos X por – X y la ecuación no varia, existe simetría con respecto a Y.

36.2. Y2 – 4X – 7 = 0.

Cambiamos Y por – Y y la ecuación no varia, existe simetría con respecto a X.

36.3. X3 + X + Y3 = 0.

Cambiamos X por – X e Y por – Y y la ecuación no varia, existe simetría con

respecto al origen.

Cap.2 - 27



Ejercicio 2.37. Dada la siguiente ecuación: XY – 2Y – X = 0.

37.1. Determinar su Lugar Geométrico.

X –5 –2 –1 0 1 2 3 4 5

Y 0,71 0,5 0,3 0 – 1 ¿? 3 2 1,6


D: (– ; ) excepto para X = 2

R: (– ; + ) excepto para Y = 1

37.3. Determinar simetrías.

XY – 2Y – X = 0.

Cambiamos X por – X: no existe simetría con respecto a Y.

Cambiamos Y por – Y: no existe simetría con respecto a X.

Cambiamos X por – X e Y por – Y: no existe simetría con respecto al origen.

Cap.2 - 28



Ejercicio 2.38. Dada la ecuación: X2Y– 4Y + X = 0.


X –5 –4 –3 –2.5 –2 –1.5 –1 0 1 1.5 2 2.5 3 4 5

Y 0.23 0.33 0.6 1.1 ¿? –0.8 –0.3 0 0.3 0.8 ¿? –1.1 –0.6 –0.3 –0.2

38.2. Determinar dominio y rango.

D: (– ; – 2) ( – 2; 2) ( 2; ).

R: (– ; ).

Ejercicio 2.39. Encontrar el Lugar Geométrico de: X2 – X + XY + Y – 2Y2 = 0.

X2 + X(Y – 1) + (Y – 2Y2) = 0.

Debemos encontrar dos cantidades que al sumar nos de (Y – 1) y al multiplicar

(Y – 2Y2)

(X – Y)(X + 2Y – 1) = 0

X – Y = 0 Ec. de una línea recta.

X + 2Y – 1 = 0 Ec. de una línea recta.

Cap.2 - 29



Ejercicio 2.40. Determinar los puntos reales que satisfacen cada una de las ecuaciones:

40.1. (X + 4)2 + (Y – 2)2 = – 5

no existen puntos reales que satisfagan la ecuación dada.

40.2. X2 + Y2 = 0.

Se satisface solamente para P(0; 0).

40.3. X2 + Y2 – 8X + 2Y + 17 = 0.

Completamos cuadrados en X e Y:

(X – 4)2 + (Y + 1)2 = 0; se satisface para P(4; – 1).

40.4. X2 + (2i – 1)X – (6i + 5)Y – 1 = 0.

Agrupamos parte real y parte imaginaria.

(X2 – X – 5Y – 1) + i2(X – 3Y) = 0.

Re + iIm = 0

(X2 – X – 5Y – 1) = 0

(X – 3Y) = 0 Y = X/3.

X1 = 3; Y1 = 1.

X2 = – 1/3; Y2 = – 1/9

Ejercicio 2.41. Resolver el sistema de ecuaciones:

4X2 + Y2 = 100 (1)

9X2 – Y2 = 108 (2)

(1) + (2): 13X2 = 208 X = 4. Y = 6.

Los puntos de intersección son:

P1 (– 4; 6) P2 (– 4; – 6)

P3 ( 4; 6) P4 ( 4; – 6).

Cap.2 - 30



Ejercicio 2.42. Dada la siguiente ecuación: 25X2 – 36Y2 – 150X + 144Y + 981 = 0.

42.1. Considerando la ecuación completa de 2º Grado en XY:

AX2 + BXY + CY2 + DX + EY + F = 0.

Determinar el tipo de ecuación, calculando el discriminante: = B2 – 4AC.

> 0 Ec. Hiperbólica.

42.2. Encontrar el Lugar Geométrico de la misma.

25(X – 3)2 – 225 – 36(Y – 2)2 + 144 + 981 = 0

25(X – 3) 2 – 36 (Y – 2) 2 = – 900

.

Hipérbola con C (3; 2); eje transversal paralelo al eje Y; a = 5; b = 6.

42.3. Especificar si corresponde a una función o a una relación y explicar por que.

Es una Relación, porque a cada valor de X le corresponde dos valores de Y.

42.4. Encontrar el DOMINIO y el RANGO.

D: (– ; + ); R: (–; – 3] [7; ).

42.5. Determinar si existe simetría con respecto al eje: X, Y y con respecto al origen.

Simetría con respecto al eje X: 25X 2 – 36(– Y) 2 – 150X + 144 (– Y) + 981 = 0.

25X 2 – 36Y 2 – 150X – 144Y + 981 = 0. No existe simetría con respecto al eje X.

Simetría con respecto al eje Y: 25(– X) 2 – 36Y 2 – 150(– X) + 144 Y + 981 = 0.

25X 2 – 36Y 2 + 150X + 144Y + 981 = 0. No existe simetría con respecto al eje Y.

Simetría con respecto al Origen:

25(–X) 2 – 36(– Y) 2 – 150(– X) + 144 (– Y) + 981 = 0.

25X 2 – 36Y 2 + 150X + 144Y + 981 = 0. No existe simetría con respecto al Origen.

Cap.2 - 31



Ejercicio 2.43. Dada la siguiente ecuación: 25X2 – 36Y2 – 150X + 144Y – 819 = 0.

43.1. Determinar el tipo de ecuación, calculando el discriminante.

Discriminante: = B2 – 4AC. > 0 Es una Ec. Hiperbólica.

43.2. Encontrar el Lugar Geométrico de la misma.

25(X – 3)2 – 225 – 36 (Y – 2)2 + 144 – 819 = 0

25(X – 3)2 – 36 (Y – 2)2 = 900

.

Hipérbola: C(3; 2); Eje Real paralelo a X; a = 6; b = 5. .

43.3. Especificar si corresponde a una función o a una relación y explicar por que.

Es una Relación, porque a cada valor de X le corresponde dos valores de Y.

43.4. Encontrar el DOMINIO y el RANGO.

D:(– ; – 3] [9; ) R: (– ;+ )

.

43.5. Determinar si existe simetría con respecto a los ejes X, Y y con respecto al origen.

Simetría con respecto al eje X: 25X 2 – 36(– Y) 2 – 150X + 144 (– Y) – 819 = 0.

25X 2 – 36Y 2 – 150X – 144Y – 819 = 0. Diferente de la ecuación original

No existe simetría con respecto al eje X.

Simetría con respecto al eje Y: 25(– X) 2 – 36Y 2 – 150(– X) + 144 Y – 819 = 0.

25X 2 – 36Y 2 + 150X + 144Y – 819 = 0. Diferente de la ecuación original

No existe simetría con respecto al eje Y.

Simetría con respecto al Origen:

25(–X) 2 – 36(– Y) 2 – 150(– X) + 144 (– Y) – 819 = 0.

25X 2 – 36Y 2 + 150X – 144Y – 819 = 0. Diferente de la ecuación original

No existe simetría con respecto al Origen.

Cap.2 - 32

2-cap 2. n irrac - log - función - relación

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