UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFacultad de IngenierFacultad de Ingeniera Civila Civil

ESFUERZO EN UNA MASA DE SUELO

Dr. ZENON AGUILAR BARDALES

CENTRO PERUANO JAPONCENTRO PERUANO JAPONS DE INVESTIGACIONESS DE INVESTIGACIONESSSSMICAS Y MITIGACISMICAS Y MITIGACIN DE DESASTRES N DE DESASTRES -- CISMIDCISMID

Problemas de Deformaciones Planas TProblemas de Deformaciones Planas Tpicos.picos.

Muro de Contencin

Terrapln

Cimentacin Corrida

zY

X

zY

Xz

Y

X

Esfuerzo

Deformacin(a)

F

Esfuerzo

Deformacin(c)

Esfuerzo

Deformacin(e)

Esfuerzo

Deformacin(b)

Esfuerzo

Deformacin(d)

F FR

F = Significa en la FallaR = Significa Valor Residual

Relaciones esfuerzoRelaciones esfuerzo--deformacideformacin de materiales ideales a) eln de materiales ideales a) elstico, b) stico, b) plplstico rstico rgido, c) gido, c) elastoplelastoplsticostico, d) , d) elastoplelastoplsticostico con ablandamiento, con ablandamiento, e) relacie) relacin esfuerzon esfuerzo--deformacideformacin tn tpica con un material real.pica con un material real.

Elemento A(a)

(b)

( c)

Superficie del terreno

Th

Tu

Nu

Nh

Diagramas para ilustrar la definiciDiagramas para ilustrar la definicin de esfuerzo. a) Perfil del n de esfuerzo. a) Perfil del terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.

Nivel fretico Nivel del terreno

X X

Z

Area A

Nivel fretico

Nivel del terreno

X X

Z

Z

Area A

W

W

Z Z

Z

Z

Z

y

y

yy

y

XX

XX

X

X

X

a)y

X

Z

b)

1

2

3

a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo, b) esfuerzos principalesesfuerzos principales

Ny

X

Ty

TxHuecos (poros)

Selecciones de las partculas

Punto de contacto entrepartculas situadas por encima y debajo del plano de la seccion.

a

a

DefiniciDefinicin de los esfuerzos en un sistema de partn de los esfuerzos en un sistema de partculasculas

Concepto de Esfuerzos EfectivosConcepto de Esfuerzos Efectivos

HA

Area de CorteArea de CorteTransversal = Transversal =

a

a

Agua de PoroAgua de Poro

PartPartcula Scula Slidalida

H

ConsideraciConsideracin del esfuerzo efectivo para una columna n del esfuerzo efectivo para una columna de suelo saturado sin infiltracide suelo saturado sin infiltracinn

Area de CorteArea de CorteTransversal = Transversal =

a1 a2 a3a4

P1 P2P3

P4

Concepto de Esfuerzos EfectivosConcepto de Esfuerzos Efectivos

Fuerzas que actFuerzas que actan en los puntos de contacto de las an en los puntos de contacto de las partpartculas de suelo en el nivel del punto A.culas de suelo en el nivel del punto A.

DistribuciDistribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelon de Esfuerzos en una Masa de Suelo

Entrada

Vlvula (abierta)

H1

Z

B

C

A

H2

h * zH2

h

Estrato de suelo en un tanque con infiltraciEstrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia arriban hacia arriba

DistribuciDistribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelon de Esfuerzos en una Masa de Suelo

ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad

Esfuerzo Total, Presin de Poros Esfuerzo Efectivo

H1 W

H1 W + z sat

H1 W

(H1 +z + iz)w z( iz w)

H1 W + H2 sat (H1 + H2 + h) w H2 - h w

o

o o

H1

H1 + z

H1 + H2

(a) (b) (c)

VariaciVariacin del (a) esfuerzo total; (b) presin del (a) esfuerzo total; (b) presin de poro y (c) esfuerzo n de poro y (c) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltracefectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltraciin hacia n hacia arriba.arriba.

DistribuciDistribucin de Esfuerzos en una Masa de Suelon de Esfuerzos en una Masa de Suelo

Salida

Vlvula (abierta)

H1

Z

B

C

A

H2

h * zH2

h

Entrada Q

Estrato de suelo en un tanque con infiltraciEstrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajon hacia abajo

DistribuciDistribucin de Esfuerzos en una masa de suelon de Esfuerzos en una masa de suelo

Estrato de suelo en un tanque con infiltraciEstrato de suelo en un tanque con infiltracin hacia abajo; variacin hacia abajo; variacin del n del (a) esfuerzo total; (b) presi(a) esfuerzo total; (b) presin de poros y (d) esfuerzo efectivo con la n de poros y (d) esfuerzo efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltraciprofundidad en un estrato de suelo con infiltracin hacia abajo.n hacia abajo.

ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad ProfundidadProfundidad

Esfuerzo Total, Presin de Poro Esfuerzo Efectivo

H1 W

H1 W + z sat

H1 W

(H1 +z - zi)w z( + i w)

H1 W + H2 sat (H1 + H2 - h) w H2 + h w

o

o o

H1

H1 + z

H1 + H2

(a) (b) (c)

Esfuerzos en un Medio ElEsfuerzos en un Medio Elstico Causados por una stico Causados por una Carga Puntual.Carga Puntual.

ZZ

yy

LL

XX

rr

ZZ

XX

PP

yy

zz

xx

yy

AA

Esfuerzos causados por un Carga PuntualEsfuerzos causados por un Carga PuntualBoussinesq (1883) resolviBoussinesq (1883) resolvi el problema de los el problema de los esfuerzos esfuerzos producidos en cualquier punto de un producidos en cualquier punto de un medio homogmedio homogneo, elneo, elstico e isstico e istropo como tropo como resultado de una carga puntual aplicada sobre la resultado de una carga puntual aplicada sobre la superficie de un semiespacio infinitamente grande. La superficie de un semiespacio infinitamente grande. La solucisolucin de Boussinesq para los esfuerzos normales n de Boussinesq para los esfuerzos normales en un punto A causado por la carga puntual P esen un punto A causado por la carga puntual P es

++= 23

2

2

22

5

2

)()21(3

2 rLzy

zLLryx

LzxP

x

Esfuerzos Normales en A causados por Esfuerzos Normales en A causados por una Carga Puntualuna Carga Puntual

++= 23

2

2

22

5

2

)()21(3

2 rLzx

zLLrxy

LzyP

y

yy

2/522

3

5

3

)(23

23

zrPz

LPz

z +==

donde:donde:

22222

22

zrzyxL

yxr

+=++=+=

= relaci= relacin de poissonn de poisson

Esfuerzos en un Medio ElEsfuerzos en un Medio Elstico Causados por una Carga stico Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud InfinitaLineal Vertical de Longitud Infinita

zz

XX

NN

QQ porpor metrometro

xz

Esfuerzos Causados por unaEsfuerzos Causados por una Carga Carga Lineal Vertical de Longitud InfinitaLineal Vertical de Longitud Infinita

Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicaciLos incrementos de esfuerzo en N debidos a la aplicacin de una n de una carga lineal Q por metro, soncarga lineal Q por metro, son

222

2

222

2

222

3

)(2

)(2

)(2

zxxzQzxzxQzx

zQ

xz

x

z

+=+=+=

Esfuerzos en un Medio ElEsfuerzos en un Medio Elstico Causados por una stico Causados por una Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)

q = carga por reaunitaria

BB

XX

X X -- rr

zz

AA

drdrrr

xx

zz

Carga Uniformemente Distribuida Sobre Carga Uniformemente Distribuida Sobre una Franja Infinitauna Franja Infinita

Loa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una Loa incrementos de esfuerzos en el punto A producidos por una presipresin uniforme n uniforme qq que actque acta sobre un franja flexible infinitamente a sobre un franja flexible infinitamente larga de ancho larga de ancho BB, son los siguientes:, son los siguientes:

[ ][ ]

)2(

)2cos(

)2cos(

+=

+=

++=

sensenq

senq

senq

xz

x

z

IsIsbaras o Bulbo de Presiones Verticales baras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de FranjaBajo una Carga Flexible de Franja

q

B 2B 2.5B

B

2B

3B

4B

5B

0.7

0.5

0.3

0.2

0.06

0.08

0.1

0 B 2B

q = 0.9

q =Carga de Carga de

Franja flexibleFranja flexibleaa aa

PlantaPlanta

IsIsbaras o Bulbo de Presiones Verticales baras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo una Carga Flexible de FranjaBajo una Carga Flexible de Franja

B

2B

3B

4B

5B

6B

=0.1qV

0.2q

0.3q

0.4q

0.5q

0.6q0.8q

0.9q

Bajo el centroV

0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q q

a) b)

Franja infinita con caFranja infinita con carrga uniformemente distribuida: a) lga uniformemente distribuida: a) lneas de igual incremento de neas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical totesfuerzo vertical total, b) incremento del esfuerzo vertical total bajo el centroal bajo el centro

Carga con DistribuciCarga con Distribucin Triangular n Triangular sobre una Franja Infinitasobre una Franja Infinita

Z

N

X

XV

q

B

R1R2

Carga con DistribuciCarga con Distribucin Triangular n Triangular sobre una Franja Infinitasobre una Franja Infinita

Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a travCuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a travs del s del ancho de la franja, lo cual conduce a una distribuciancho de la franja, lo cual conduce a una distribucin triangular, n triangular, los incrementos de esfuerzo en el punto N estlos incrementos de esfuerzo en el punto N estn dados por:n dados por:

+=

+=

=

xBzq

senRRn

Bz

Bxq

senBxq

xz

x

v

22cos12

2211

221

22

21

Carga uniformemente distribuida sobre Carga uniformemente distribuida sobre una una rea circularrea circular

El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad zz bajo el bajo el centro de una centro de una rea circular flexible de radio rea circular flexible de radio R R cargada con una cargada con una presipresin uniforme n uniforme qq esta dado poresta dado por

+=

2/3

2)/(111

zRqv

Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma grgrfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962)fica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962). . En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo vertical total comovertical total como

qIv =

Factor influencia Factor influencia ll

r

V

V

Carga uniforme q

= q/

0.0020.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8

rR

=109

8

7

6

5

4

3

2.52 1.5

1.25

0

0.5

rR

rR

=0.75

=1

R

1

zzRR

Valores del factor de influencia / para calcular el incremento de esfuerzo vertical total v bajo un rea circular uniformemente cargada. (Segn Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorizacin del transportation Research board).

PZ

Z

=I.PZ

a b

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

00.01 2 4 6 6 68 8 80 0 021 1012 4 4

b/z=

Infl

uen c

e V

alue

I

a/z

b/z=0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

b/z =1.0

b/z =0.5

1.21.4

1.61.9

2.03.0

Factores de Factores de InfluenceInfluence para Esfuerzos Verticales Generados para Esfuerzos Verticales Generados por una Carga de Terraplpor una Carga de Terrapln (Obsterberg, 1957).n (Obsterberg, 1957).

IsIsbaras o Bulbo de Presiones Verticales baras o Bulbo de Presiones Verticales Bajo un Bajo un rea Cuadrada con Carga Uniformerea Cuadrada con Carga Uniforme

B BCarga uniforme q

=0.5qV

0.2q

0.1q

0.3q

0.4q

0.6q0.8q

0.9q

Bajo el centro

V

0.5B0.5B

BB

1.5B1.5B

2B2B

2.5B2.5B

0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0a) b)

a) la) lneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremenneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b) incremento to del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata. del esfuerzo vertical total bajo el centro de la zapata.

Incremento de Presiones Verticales Bajo Incremento de Presiones Verticales Bajo un un rea Rectangular con Carga Uniformerea Rectangular con Carga Uniforme

El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina El incremento en el esfuerzo vertical debajo la esquina de unde un rea rectangular cargada uniformemente viene dado por:

qIv =Donde Donde II es funcies funcin de m y n, parn de m y n, parmetros definidos metros definidos comocomo:

zLn

zBm

=

=

Valores del factor de influencia IValores del factor de influencia I para calcular el incremento de esfuerzo para calcular el incremento de esfuerzo vertical total vertical total vv bajo la esquina de una bajo la esquina de una rea rectangular uniformemente rea rectangular uniformemente cargada (Segcargada (Segn Fadum, 1948)n Fadum, 1948)

0.18 0.180.190.20

0.210.220.230.24

0.25

0.17

0.160.15

0.140.13

0.12

0.11

0.100.090.080.070.06

0.05

0.04

0.030.02

0.01

0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 8 100.2 0.3 0.40.02 0.04 0.06 0.6 0.80.00

m=0.0

m=0.1

m=0.2

m=0.3

m=0.4

m=0.5

m=0.6

m=0.7

m=0.8

m=1.0

m=1.8m=2.

m=2.4m=3.0 m=

m=1.2m=1.4m=1.6

m=0.9

Presion uniforme q

B

LV

V =qlN

Nota m n: y son intercambiablesFa

ctor

de

influ

enci

aI

Z

n

CClculo aproximado del incremento de lculo aproximado del incremento de esfuerzo verticalesfuerzo vertical

Para Para reas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, reas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede hacerse un cpuede hacerse un clculo aproximado del incremento de esfuerzo lculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye devertical total suponiendo que la carga aplicada se distribuye dentro ntro de un cono truncado o una pirde un cono truncado o una pirmide truncada formados por lados mide truncada formados por lados con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemcon pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por ejemplo, plo, si el si el rea cargada es un rectrea cargada es un rectngulo de longitud ngulo de longitud LL y ancho y ancho BB, el , el incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una incremento promedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z estarprofundidad z estar dado aproximadamente pordado aproximadamente por

))(( zBzLqLB

v ++=

Cualquier Cualquier rea cargada puede considerarse como un nrea cargada puede considerarse como un nmero discreto mero discreto de subde subreas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la reas, que distribuyen una carga puntual aplicada sobre la superficie del terrenosuperficie del terreno

1 12 2

L x B

(L+z) x (B+z)

Z

q

MMtodo aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzotodo aproximado para calcular el incremento promedio de esfuerzovertical total bajo un vertical total bajo un rea uniformemente cargada. rea uniformemente cargada.

EjercicioEjercicioUna cimentaciUna cimentacin superficial cuadrada de 2m de lado , n superficial cuadrada de 2m de lado , perfectamente flexible, transmite a un depperfectamente flexible, transmite a un depsito de suelo sito de suelo homoghomogneo e isotrneo e isotrpico una carga uniforme pico una carga uniforme qq = 200 KN/m= 200 KN/m22. . Comparar la distribuciComparar la distribucin de los incrementos de esfuerzo vertical, n de los incrementos de esfuerzo vertical, ((vv) bajo el ) bajo el centrocentro de la de la zapata considerando una carga zapata considerando una carga distribuida y una carga puntualdistribuida y una carga puntual equivalenteequivalente. Estimar a partir de . Estimar a partir de que que profundidadprofundidad los errores entre estas distribuciones son los errores entre estas distribuciones son inferiores a 0.1inferiores a 0.1qq. .

a) Carga uniformemente distribuidaa) Carga uniformemente distribuida

C

q =200 kn/m2

B BA A

D

DC

2m

4 veces

1m

Utilizando el Utilizando el baco de Fadum baco de Fadum Esquina Centro

Z(m) (m,n) (KN/m )2 (KN/m )2

O

0.25

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

- -

4

2

1

0.67

0.50

0.40

0.33

0.29

0.25

0,247

0,233

0,177

0.125

0,086

0,062

0,046

0,037

0,027

200 200

49,4

46,6

35,4

25,0

17,2

12,49,2

7,4

5,4

197,6

186,4

141,6

100,0

68,8

49,6

36,8

29,6

21,6

,

Carga puntualCarga puntualExpresiExpresin de n de BoussinesqBoussinesq

===

kxxPzP

v

8002002223

3

Z(m)V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9

0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

ComparaciComparacin entre las dos distribuciones de n entre las dos distribuciones de vvA partir de Z>2,20m A partir de Z>2,20m error absoluto (error absoluto (``vv--) /Dq < 0.1) /Dq < 0.1

4

3

2,22

1

0 50 100 150 200V

V

V

(kN/m )2

CARGA DISTRIBUIDA

CARGA PUNTUAL

z(m)

ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELOESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELOCCRCULO DE MOHRRCULO DE MOHR

Z

X XX

ZZ

Tzx

TzxTzx

TxzTxz

Txz0

A

Bc

T Resultantes de esfuerzos sobre ab

a) b)

BA

C

1

3

T

Direccin de 1

Dir

ecci

n d

e 3

(a)

2

2

1

1

3

3

-

+

2

A ( Coordenados , )T

T

Circulo de Mohr

(b)

a)a) estado de esfuerzos en estado de esfuerzos en un punto. un punto.

b)b) Diagrama de Diagrama de MohrMohr para para el estado de esfuerzos el estado de esfuerzos en un punto.en un punto.

REPRESENTACIN DE ESFUERZOS MEDIANTE EL

CRCULO DE MOHR

RepresentaciRepresentacin de los esfuerzos mediante el n de los esfuerzos mediante el ccrculo de Mohr. rculo de Mohr.

22

cos)(

2cos22

cos

3131

313123

21

sensen

sen

==

++=+=

El esfuerzo tangencial mEl esfuerzo tangencial mximo en un punto, ximo en un punto, maxmax es es siempre igual a (siempre igual a (11--3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial 3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial mmximo equivale al radio del cximo equivale al radio del crculo de Mohr. Este esfuerzo rculo de Mohr. Este esfuerzo tangencial mtangencial mximo se produce en planos que forman ximo se produce en planos que forman 4545con la direccicon la direccin del esfuerzo principal mayor.n del esfuerzo principal mayor.

EjemploEjemplo

300

4kg/cm2 4kg/cm2

2kg/cm2

2kg/cm2

B

B

Se pide calcular los esfuerzos sobre el plano BSe pide calcular los esfuerzos sobre el plano B--B. B.

1.1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).Se representa los puntos (4,0) y (2,0).2.2. Se dibuja el cSe dibuja el crculo, utilizando estos puntos para definir el dirculo, utilizando estos puntos para definir el dimetro.metro.3.3. Se traza la lSe traza la lnea nea AAAA por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual

actacta el esfuerzo (2,0).a el esfuerzo (2,0).4.4. La intersecciLa interseccin de n de AAAA con el ccon el crculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.rculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.5.5. Se traza la lSe traza la lnea nea BBBB por Opor Opp, paralela a , paralela a BB.BB.6.6. Se leen las coordenadas del punto X donde Se leen las coordenadas del punto X donde BBBB corta al ccorta al crculo de rculo de

Mohr.Mohr.

1

0

-11 2 3 4

C

AA

X

B

B

Op

C

A

432

OpB

B

RespuestaRespuesta2.5 kg/cm2

2 kg/cm2

4 kg/cm2

0.87

Sobre BBSobre BB = 2.5 = 2.5 kgkg/cm/cm22 = = --0.87 kg/cm0.87 kg/cm22

Otra soluciOtra solucinn. Los pasos 1 y 2 igual que antes.. Los pasos 1 y 2 igual que antes.3. Traza3. Trazapor el punto (4.0) la lpor el punto (4.0) la lnea nea CCCC paralela al plano sobre paralela al plano sobre el que actel que acta el esfuerzo (4.0). a el esfuerzo (4.0). CCCC es vertical.es vertical.4.4. CCCC corta al ccorta al crculo de Mohr solamente en (4.0) de forma rculo de Mohr solamente en (4.0) de forma que este punto es el polo Oque este punto es el polo Opp. Los pasos 5 y 6 an. Los pasos 5 y 6 anlogos al caso logos al caso anterior.anterior.

SoluciSolucin por medio de las ecuacionesn por medio de las ecuaciones

2

2

23

21

/866.060240224

/5.260cos3240cos224

224

120/2/4

cmkgsensen

cmkg

cmkgcmkg

===

==++====

((preguntas para el alumnopreguntas para el alumno. . Por quPor qu es es =120=120? ? El resultado El resultado habria sido diferente si habria sido diferente si = 300= 300?)?)

DIAGRAMAS pDIAGRAMAS p--qqEn muchos problemas conviene representar, sobre un En muchos problemas conviene representar, sobre un diagrama diagrama nico, muchos estados de esfuerzos para una nico, muchos estados de esfuerzos para una determinada muestra del suelo. En otros problemas se determinada muestra del suelo. En otros problemas se representa en un diagrama de este tipo el estado de representa en un diagrama de este tipo el estado de esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos resulta muy pesado trazar los cresulta muy pesado trazar los crculos de Mohr, e rculos de Mohr, e incluso mas difincluso mas difcil ver lo que se ha representado en el cil ver lo que se ha representado en el diagrama despudiagrama despus de dibujar todos los cs de dibujar todos los crculos .rculos .

Otro mOtro mtodo para dibujar el estado de esfuerzos puede todo para dibujar el estado de esfuerzos puede ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos cuyas coordenadas soncuyas coordenadas son

231 +=p

++ si si 11 forma un forma un ngulo igual o ngulo igual o menor de menor de 4545 con la verticalcon la vertical

-- si si 11 forma un forma un ngulo menor de ngulo menor de 4545 con la horizontal2

31 =qcon la horizontal

En la mayorEn la mayora de los casos en los que se utiliza la a de los casos en los que se utiliza la representacirepresentacin puntual, los esfuerzos principales actn puntual, los esfuerzos principales actan an sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la ecuaciecuacin se reduce an se reduce a

2,

2hh qp =+=

Este mEste mtodo equivale a representar un punto todo equivale a representar un punto nico de nico de un circulo de Mohr: el punto mas alto si un circulo de Mohr: el punto mas alto si qq es positivo o es positivo o el mas bajo si el mas bajo si qq es negativo. Numes negativo. Numricamente, ricamente, qq equivale equivale a la mitad del esfuerzo desviador.a la mitad del esfuerzo desviador.

Conociendo los valores deConociendo los valores de pp y y qq para un cierto estado de para un cierto estado de esfuerzos, se posee toda la informaciesfuerzos, se posee toda la informacin necesaria para n necesaria para dibujar el cdibujar el crculo de Mohr correspondiente. Sin rculo de Mohr correspondiente. Sin embargo, el empleo de un diagrama embargo, el empleo de un diagrama pp--qq no exime de no exime de utilizar el cutilizar el crculo de Mohr para determinar la magnitud rculo de Mohr para determinar la magnitud de los esfuerzos principales a partir de un determinado de los esfuerzos principales a partir de un determinado estado de esfuerzos.estado de esfuerzos.

Esfuerzos causados por un Carga PuntualEsfuerzos Causados por una Carga Lineal Vertical de Longitud InfinitaCarga Uniformemente Distribuida Sobre una Franja InfinitaCarga con Distribucin Triangular sobre una Franja InfinitaCarga uniformemente distribuida sobre una rea circularClculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical