RESISTENCIA DE MATERIALES

RESISTENCIA DE MATERIALESUNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATOING. FERNANDO URRUTIA.

ContenidoESFUERZO SIMPLE21033104.-5105.10106.14107.18108.20109.22110.24111.27112.29113.32ESFUERZO CORTANTE35114.35115.39116.42117.45118.47119.50120.53121.56ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO58123.59124.62125.65126.Error! Marcador no definido.127.Error! Marcador no definido.128.Error! Marcador no definido.129.Error! Marcador no definido.

ESFUERZO SIMPLE

103.- Determine el mximo peso W que pueden soportar los cables mostrados en la figura. Los esfuerzos en los cables AB y AC no deben exceder los 100 MPa y 50 MPa, respectivamente. Las reas transversales de ambos son: 400 Para el cable AB y 200 Para el cable AC.

CB45O O300WA

DATOS.ab= 100 MPaac= 50 MPaAREA AB= 400 = 4 * AREA AC= 200 = 2 * SOLUCION. Procedemos a sacar el valor de P respecto al cable AB y cable AC, aplicando la siguiente formula: Respecto al cable AB.

P = 40 KN.Respecto al cable AC.

P = 10 KN. Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto a Y e igualamos a cero para de esta manera cumplir con la condicin de equilibrio.fy= 0Sen45*Tac + Sen30*Tab W = 0Sen45*(10KN) + Sen30*(40KN) W = 0W = 7.07KN + 20KNW = 27.07 KN.104.- Calcule para la armadura de la figura los esfuerzos producidos en los elementos DF, CE Y BD. El rea transversal de cada elemento es 1200 Indique la tensin (T) o bien la compresin (C).

EDA6m4m4m3m3mBF100KN200KN

FDFDyRfyEFNODO F

CE200 KNEDEFNODO E

NODO BBABCBD

DATOS.df= ?ce= ?bd= ?AREA TRANSVERSAL= 1200 = 120 x SOLUCION. Realizamos la sumatoria de fuerza en A respecto a Y. Y la sumatoria de momentos de A.MA= 0-4m(100KN) 7m(200KN) + 10 Rfy = 0(-400 1400 = -10Rfy)*(-1) Multiplicamos por -1 para dejar los trminos positivos. 1800 = 10RfyRfy = 180 KN.F.Ay= 0Ray + Rfy 100KN 200KN = 0Ray + Rfy = 300 KNRay = 300 KN 180KNRay = 120 KN Encontramos el ngulo que se ubica en el tringulo DEF.Tangente = 4/3= (4/3)= 53.13 Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto al nodo F y calculamos el esfuerzo DF.F.fy= 0Rfy + FD*Sen53.13= 0FD = FD = FD = - 225 KN.

F.fx= 0- EF FD*Cos53.13= 0-EF = -(-225*Cos53.13) = 0-EF = 224*Cos53.13EF = -134.40 KNdf= df= df= -187500 kpadf= -187.5 mpaConcluimos que el esfuerzo en DF est comprimiendo a la estructura, porque es negativo. Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto al nodo E y calculamos el esfuerzo EC.F.ey= 0ED 200KN= 0ED=200KNF.ex= 0EF - CE=0CE=134.40 KNec= ec=112000 kpa ec=112.mpaConcluimos que el esfuerzo es de tensin puesto que este es positivo. Sacamos el valor del ngulo y ngulo para aplicarlo en el nodo BTangente = 4/6 = (4/6) = 33.69Tangente = 4/6 = (3/2) = 56.31 Realizamos la sumatoria de fuerza para A.Tangente = 4/6 = (6/4) = 56.31F.ay= 0Ray + AB*Sen56.3 = 0AB= AB= -144.239KN

F.ax= 0AC 144.239*Cos56.3 = 0AC= 80.2KN Efectuamos la sumatoria de fuerzas respecto al nodo B y calculamos el esfuerzo BD.F.bx= 0-AB*Sen33.6 + BD*Sen56.31 = 0BD= BD= - 95.93 KNdf= bd= bd= - 79943.67 kpabd= - 79.943 mpaConcluimos que el esfuerzo en BD est comprimiendo a la estructura, porque es negativo.

FB40KN8mE50KNCDA8m3m3m6mG105.- Determine, para la armadura de la figura las reas transversales de las barras BE, BF y CF de modo que los esfuerzos no excedan de 100 MN/ En tensin, ni de 80 MN/En compresin. Para evitar el peligro de un pandeo, se especifica una tensin reducida en la compresin.

BPGGExGEyEEBEBxEBy50 KNFCEBx40 KNFG

DATOStorsion= 100 MN/compresion= 80 MN/ABE= ? ABF= ?ACF= ?SOLUCION. Procedemos a sacar el valor de los ngulos y .Tangente = 8/6 = (8/4) = 53.13

Tangente = 8/6 = (8/3) = 69.4 Realizamos una sumatoria de momentos respecto a F.mf= 0-50KN*(3m) + (EB*Cos53.13KN)*4m = 0-150 + 2.40*EB = 0EB= EB= 62.49 KN = PEBReemplazamos EB para sacar sus components en X y Y.Eby = EB * Sen Eby = 62.49 *Sen53.13Eby = 50 KNEbx = EB * Sen Ebx = 62.49 *Sen 69.4Ebx = 37.5 KN Efectuamos la sumatoria respecto al nodo F e igualamos a 0, para cumplir con la condicin de equilibrio.F.fy = -40 -50 + eby + FB*senF.fy = -40 -50 + 50 + FB*Sen69.40 = -40 -50 + 50 + FB*Sen69.4FB*Sen69.4 = 40FB =42.73 KN = PFBF.fx = -FC ebx FB*Cos69.40 = -FC - 37.5 KN 42.73*Cos69.4FC = - 37.5 KN 15.03KNFC = 52.53 KN = PFC Para la compresin usamos el esfuerzo de 80 MN/ Y la tensin de FC.cf= cf= ACF= ACF= 6.55 x ACF= 655 El rea en compresin con un esfuerzo de es de 655 Para la tensin empleamos el esfuerzo 100 MN/ Y la tensin de BF y BE.bf= bf= BF= ABF= 4.27 x ABF= 427 El rea en tensin con un esfuerzo de es de 427 be= be= ABE= ABE= 6.249 x ABE= 624 El rea en tensin con un esfuerzo de 6 es de 624

106.- Todas las barras de la estructura articulada de la figura tienen una seccin de 30 mm por 60 mm: determine la mxima carga P que puede aplicarse sin que los esfuerzos excedan a los fijados en el problema 105.

B8mCA10m3mP

ABCCyByxPAByABACABxAyAB

BCxBAyBCyBAxBABCxPDATOS.T = 100 MPacortante = 80 MPaA = (30 * 60)A = 1800 A = 1.8 * SOLUCION. Aplicando la ley de cosenos se obtiene y , asi:64 = 36 + 100 2(60)Cos= ()= 53.13

36 = 64 + 100 -2(80)Cos= ()= 36.87 Procedemos a sacar el valor de x situado en el triangulo Cos 36.87 = X = 6.4m Con la sumatoria de momentos(-6.4m)P + (10)Cy = 0Cy = 0.64 P

Hacemos sumatoria respecto a XFy = 0Ay + Cy = PAy = P 0.64PAy = 0.36 p Respecto al nodo A sumatoria de fuerzas en X e Y.F.Ax = 0AC + AB*Cos36.87 = 0AC = - AB*Cos36.87 ECUACION 1

F.Ay = 0Ay + AB*Sen36.87 = 0Ay = - AB*Sen36.87 Aplicamos sumatoria de fuerzas en x, respecto al nodo BF.Bx = 0BC*Cos53.13 BA*Cos36.87 = 0BA = BA = 0.75BC ECUACION 2

F.By = 0-BA*Sen36.87 BC*Sen53.13 = P-(0.75BC) *Sen36.87 BC*Sen53.13 = PBC(-0.75BC*Sen36.87 Sen53.13) = PBC(-1.25) = PBC = -0.8P COMPRESION Remplazamos BC en ECUACION 2.BA = 0.75 * BCBA = 0.75 * (-0.8P)BA = - 0.6P COMPRESION Remplazamos BA en ECUACION 1.AC = - AB*Cos36.87AC = -(-0.6P) * Cos36.87AC = 0.48P TENSION Aplicando la formula de esfuerzo calcular el valor de P, respecto a los tres puntos analizados antes. Con dichos resultados obtenemos la carga mxima P que puede aplicarse.= BA= (80 * Pa) * (1.8 * = - 0.6PP = 240 KN

BC= (80 * Pa) * (1.8 * = - 0.8PP = 180 KN ES LA CARGA MAXIMA QUE SE DEBE APLCIAR, SI SE APLICA MAS SE ROMPERAN LOS SOPORTESAC= (80 * Pa) * (1.8 * = 0.48PP = 375 KN

107.- Una columna de hierro fundido (o Fundicin) soporta una carga axial de comprensin de 250 KN. Determine su dimetro interior si el exterior es de 200 mm y el mximo esfuerzo no debe exceder de 50 MPa.

Di200 mm

DATOS.max= mpaP= 250 KNDimetro Exterior= 200 mm = 0.2m = DeDimetro Interior = Di = ?SOLUCION. Empleamos la formula del esfuerzo y aplicando la ecuacin del rea, despejamos el valor del dimetro. = A= A= Remplazamos el valor de A en la siguiente ecuacin:

0.02

0.0336 0.1834 183.4 El dimetro interno es de 183.4 m.

108.- Calcule el dimetro exterior de un tirante tubular de acero que debe soportar una fuerza de tensin de 500KN con un esfuerzo mximo de 140MN/m2: Suponga que el espesor de las paredes es una dcima parte del dimetro exterior.

0.8*x0.1*xx

DATOS.P = 500KN = 140 mpaDimetro Externo = ?SOLUCION.= A = Ecuacin 1Ecuacin 2 Igualamos la ecuacin 1 y ecuacin 2 para obtener el valor del dimetro exterior.

0.2827 3.5714

El dimetro externo del tirante tubular es de 112.3 mm

450mm450mm109.- En la figura se muestra parte del tren de aterrizaje de una avioneta. Determine el esfuerzo de compresin en el tornapunta AB producido al aterrizar por una reaccin del terreno R=20KN, AB forma un ngulo de 53.1o con BC.

R.ABRcyRBC

DATOS.= ?R = 20 KNDimetro Interno = Di = 30mm = 0.03mDimetro Externo = De = 40mm = 0.04mSOLUCION. Realizamos momento respecto al punto C.M.c =00 = -R(650mm) + AB*Sen 53.1(450mm)20KN(650mm) =AB*Sen 53.1*(450mm)

36.125350KN36125.350N Encontramos el rea y aplicamos la frmula para hallar el esfuerzo.

= = = Se produce un esfuerzo de compresin de 65.72 MN/ En el tornapunta, cuando el avin aterriza.

A=200A=500A=4003P3p2PPAluminioAceroBronce1m2m2,5m110.- Un tubo de acero se encuentra rgidamente sujeto por un perno de aluminio y por otro de bronce, tal como se muestra en la figura. Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados. Calcule el mximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80 MPa en el aluminio; de 150 MPa en el acero ; 0 de 100 MPa en el bronce.

Acero.-2P400mm2P MaxAluminio.PP Max200mm2

Bronce.-4P500mm2P Max

DATOS..al = 80 MPa .Ace = 150 MPa .Bron = 100 MPa rea.al= 200 rea.Ace= 400 rea.Bron= 500 P.al = ?P.Ace = ?P.Bron = ?SOLUCION. Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos el valor de P respecto al aluminio.= P = 80 mpa * P = 0.016MN.P = -16KN.El valor mximo de P respecto al aluminio es de -16KN, debido a que esta se dirige de derecha a izquierda, es decir en sentido anti horario (negativo). Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos el valor de P respecto al Acero.= P = 150 mpa * P = 0.06MN.P = 60 KN.Realizamos sumatoria de fuerzas respecto a X para obtener el valor mximo de P en la unin del Acero. P -3P + P = 0P = 2PP = KNP = 30 KNEl valor mximo de P respecto al acero es de 30 KN. Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos el valor de P respecto al Bronce.= P = 100 mpa * P = 0.05MN.P = 50 KN.Realizamos sumatoria de fuerzas respecto a X para obtener el valor mximo de P en la unin del Bronce. P -3P - 2P + P = 0P = 4PP = KNP = 12.5 KN El valor mximo de P respecto al bronce es de 12.5 KN.

111.- Una barra homognea AV (de 150Kg) soporta una fuerza de 2KN, como puede verse en la figura. La barra esta sostenida por un perno (en B) y un cable (CD) de 10mm de dimetro. Determine el esfuerzo ejercido en el cable.

ABC4m2m3m2KND3m

4mCBAD3m2 KN150 Kg3m

DATOS.W= 150 KgF= 2KNDiametro Cable= 10mm = 0.01 m

SOLUCION. Procedemos a encontrar el ngulo que se encuentra en el triangulo BCD.Tangente = 4/3 = (4/3) = 53.13 Aplicamos la sumatoria de momentos respecto al punto B.2KN*(6m) + (150Kg*9.8)*(3m) - (CD*Sen )*(3m) = 012knm + 4410Nm = (CD*Sen53.13) *(3m)1200Nm + 4410Nm =CD*2.3999m

Encontramos el rea del cable que sostiene a la barra.A= * A= * A= 0.000078539 Empleando la formula de esfuerzo encontramos su valor.= = = 87062286.25 Pa.= 87.062 MPaConcluimos que el esfuerzo que realiza el cable para sostener a la barra es 87.062 MPa.

112.- Calcule el peso del cilindro mas pesado que se puede colocar en la posicin que se indica en la figura; sin rebasar un esfuerzo de 50MN/m2 en el cable BC: Desprecie el peso de la barra AB . El rea transversal del cable BC es de 100mm2.

ACBWP

DATOS.max = 50MN/m2A = 100 mm2 = 0.0001 m2W = ? SOLUCION. Encontramos los ngulos y .Tangente = 6/10 = (6/10) = 36.86Para el ngulo : = 90 36.86 = 53.14 Realizamos la sumatoria de momentos respecto A, para encontrar el valor del peso del cilindro.M.a =0

6m4m530370RBCAYAXR * (4) + BC* (sen 53.14.)(10) = 0BC = - BC = - De la frmula del esfuerzo se tiene

Reemplazando se tiene: = Despejando R se tieneR = 10 KN

R1WR370Del diagrama del cuerpo libre del cilindro se tiene:Fy=0W = R. sen37W= 10 () W = 6 KN

W = 6 KNEl peso mximo que debe tener el cilindro es de 6 KN para que pueda soportar ubicado en la posicin indicada.

113.- Una barra homognea AB (de 1000Kg de masa) pende de dos cables AC Y BD, cada uno de los cuales tiene un rea transversal de 400 mm2, como se observa en la figura. Determine la magnitud P. As como la ubicacin de la fuerza adicional mxima que se puede aplicar a la barra. Los esfuerzos en los cables AC y BD tiene un limite de 100MPa y 50 MPa, respectivamente.

B1,8m1,8mCDxP2m

BDWACPx1m

DATOS.M = 1000Kgrea = 400 mm2 = 0.0004 m2P = ?X = ?.AC = 100 MPa. BD = 50 MPaSOLUCION. Aplicando la formula de esfuerzo, sacamos los valores de las tensiones para AC y BD..AC = PAC = 100 MPa * 0.0004 m2PAC = 0.004 MN.PAC = 40000 N.BD = PBD = 50 MPa * 0.0004 m2PBD = 0.002 MN.PBD = 20000 N Efectuamos la sumatoria de fuerzas en Y, para obtener el valor de PF.y =0TAC P (1000Kg * 9.8m/s2) + TBD = 040000N P 9800N +20000 = 0P = 50200NP = 50.2 KN.El valor de la fuerza mxima (P) que se debe aplicar a la barra es de 50.2KN. Realizamos sumatoria de momentos respecto al nodo A, para obtener el valor de x.M.a =0-P(x) 9800N*(1m) + 20000N(2m) = 0-50200N*(x) 9800Nm + 40000Nm = 0X = X = X = 0.602 mLa ubicacin de la fuerza mxima que debe aplicarse en la barra es de 0.602 m

ESFUERZO CORTANTE

114.- Se desea punzonar una placa, tal como se indica en la figura 1-10c, que tiene un esfuerzo cortante ultimo de 300 MPa. a) Si el esfuerzo de compresin admisible en el punzon es 400 MPa, determine el mximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100mm de dimetro.b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcule el mximo dimetro que puede punzonarse.

DATOS =300 MPa (al hablar de un esfuerzo cortante ultimo se deduce que es lo mximo que la placa puede soportar el corte).=400 mpa.(a)d= 0,1m t=?(b) t=0,01m d=?SOLUCIN(a)

V=carga cortanteRemplazamos en la formula.

Al remplazar aun se obtienen dos incgnitas por lo que usamos otro de los datos proporcionados en el problema. El anlisis lo realizamos en el punzn, ya que el esfuerzo de contacto se produce en el.P: carga A: rea de el punzn

A= ( x )/4A= ( /4) Remplazamos y A en la frmula

P=) (7,954x)P=3,14 x Con el valor obtenido de la carga podemos remplazar en el esfuerzo cortante para as obtener el espesor de la placa t.El rea a la que nos referimos en este esfuerzo y el rea del punzn son dos reas distintas.

V=PA= *d*t El rea en este esfuerzo se refiere al corte que el punzn provoque en la placa. Por lo que se debe multiplicar el permetro del punzn por el espesor de la placa (a). Remplazamos A, V Y en la formula.

Al tener t como nica incgnita se la despeja y se habr encontrado el valor de el espesor.

t=0,0333m(b)Al buscar el dimetro el procedimiento es muy similar, remplazamos los valores tanto de como de

Al tener ambas ecuaciones en funcin del mismo dimetro, y al notar tambin que V=P, podemos igualar las dos ecuaciones para encontrar el dimetro:

115.- La figura muestra la unin de un tirante y la base de una armadura de madera. Despreciando el rozamiento.a) Determine la dimensin b si el esfuerzo cortante admisible es de 900KPa.b) Calcule tambin la dimensin c si el esfuerzo de contacto no debe exceder de 7 MPa.

DATOSPa(a)P= 50KN(b)= 7SOLUCIN(a) El problema seala que existe un esfuerzo cortante, para este esfuerzo tenemos una carga de 50KN, pero no se menciona el lugar donde la fuerza acta por lo cual se debe determinar el rea donde la carga trabaja.

Px=V=PcontPPy30

= + Al tener un ngulo se deduce que la fuerza es la resultante de la sumatoria de otras dos fuerzas =V=Pcont= P Cos30= Psen30 Del anlisis del grafico se determina el rea del esfuerzo cortante y la fuerza que actan en ella para as encontrar b:

0,15 =V= P Cos30

b

A= b x 0,15m el rea debe ser paralela a la fuerza para que le provoque un corte.Remplazando valores en la frmula dada:900N/m= b=b= 3,208(b) De la misma manera, se debe analizar tanto la fuerza como el rea para la cual se pueda usar el valor dado en el ejercicio.=

C0,15 =Pcont= P Cos30

A=c x 0,15m se toma un rea que sea perpendicular a la carga y que adems este compuesta con la medida de c.Remplazamos en la frmula7Pa= C=C=0,04124m

116.- En el dispositivo del tren de aterrizaje descrito en el Prob.109, los pernos en A y B trabajan a cortante simple y el perno en c a cortante doble. Determine los dimetros necesarios si el esfuerzo cortante admisible es de 50 MN/.

450mm200mmmBAC

Detalle C.DATOS =50MN/.AB=53,1R=20KNSOLUCION Para encontrar los dimetros se debe realizar un clculo que implique al esfuerzo cortante.

A= Realizamos una sumatoria de momentos que actan en el dispositivo e igualamos a cero (equilibrio) para as obtener la carga V.

P=VRcyRCB

Para AB.mc=0-20x N(0,65)+P(Sen 53,1) (0,45)=0P=P=36125,35P=V=36125,35N Al tener el dato de la carga y del esfuerzo podemos encontrar el ltimo dato que aun no se ha obtenido.

A=A= 7,2250. Con el valor del rea, se puede obtener el radio al remplazar en la formula de rea:A= =dd=0,0303mPara C Realizamos el mismo procedimiento para encontrar la carga, es decir; sumamos los momentos en el punto b.

ARcyRCB

mb=0-20(0,2)+Rc(sen53,1)(0,45m)=0-400+Rc(sen 53,1)(0,45)=0Rc=Rc=11115,4925NRc=V Con el valor de la carga y de se calcula el rea, al hablar de un cortante doble multiplicamos el rea obtenida por dos ya que despus del corte son dos las reas que se obtendrn.

A=A= 2,2230X2A=4,446 Se usa la formula del rea en funcin del dimetro.A= D= D=0,0238m

117.- Una polea de 750mm sometida a la accin de las fuerzas que indica la figura esta montada mediante una cua en un eje de 50mm de dimetro. Calcule el ancho b de la cua si tiene 75mm de longitud y el esfuerzo cortante admisible es de 70MPa.

Cua75mm10mm10 KN50 mm6 KN

DATOS=70Dext= 0,75mDint= 0,0 50mSOLUCINPartimos de la frmula de el esfuerzo cortante.

Dado que no contamos con los suficientes datos nos basamos en el grafico para el clculo tanto de carga como de rea. Al contar con fuerzas externas aplicada a la polea, realizamos una sumatoria de todas estas fuerzas incluida la carga cortante que buscamos, determinamos el sentido de la carga cortante tomando en cuenta que esta debe ser paralela al area de estudio que debe estar relacionada con b.

V

fx=0V-10KN+6KN=0V=10-6V=4KNLa carga encontrada es perpendicular (puesto que esta cortando el impulso de las poleas) a las cargas dadas, por lo que debemos encontrar un rea que cumpla con las mismas caractersticas ya que se habla de un esfuerzo cortante.A=b(0.075) Remplazamos los valores encontrados en la formula70b=b=0,00076mAl remplazar los valores y despejar b se encuentra el valor del ancho de la misma.

118.- La palanca acodada que representa la figura P-118 esta en equilibrio. a) Determine el dimetro de la barra AB si el esfuerzo normal esta limitado a 100 MN/m2.b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador en D, de 20 mm de dimetro.

B200mmDPA60C30KN

DATOS(a)=100N/(b)d=0,02SOLUCIN(a) Para encontrar el dimetro se debe usar el esfuerzo dado y una carga (perpendicular al dimetro de AB) se procede a sumar las fuerzas externas tanto en y como en x.El anlisis se realiza en D, ya que es un punto en el cual podemos acceder al resto de las fuerzas.

PPPy60RESISTENCIA DE MATERIALES

ING. FERNANDO URRUTIAPgina 5

Fx=0Dx-P-30KNcos60=0 (1)

Fy=0Dy-30Sen60=0Dy=30Sen60Dy=25,98KN

Al tener una ecuacin con dos incgnitas no se puede resolver el sistema, por lo que buscamos otra ecuacin aplicando momento de una fuerza.mx=0P(0,2)-30knsen60*0,24=0P=P=31,17KNP en 1Dx=15KN+31,17Dx=46,18KN

Al tener los valores de X e Y de la fuerza D, se encuentra su modulo.D=D=D=52,98 Teniendo los valores de las cargas remplazamos en la formula de esfuerzo simple:= 100N/= d=d=0,0199mAl remplazar los valores en la formula y al despejar d se encuentra el dimetro de la barra AB.

(b)Del grafico concluimos que en D se produce un esfuerzo cortante doble por lo que su area se multiplicara por dos.

V=D Remplazamos en la formula

N/Remplazando los valores dados se obtiene el esfuerzo cortante al cual se le multiplica 2 en su rea ya que son dos reas las que se cortaran.

119.- La masa de la barra homognea AB mostrada en la figura P-119 es 2000Kg. La barra est apoyada, mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa en A. Determine el dimetro del perno ms pequeo que puede usarse en B si su esfuerzo cortante est limitado a 60MPa: El detalle del apoyo en B es idntico al apoyo D mostrado en la figura P-118.

BA 6m10m W

DATOSM=2000KgW=mgW=19600N=60 Pa.SOLUCIN ByRaBxWPara encontrar el dimetro aplicamos un procedimiento similar al del ejercicio 118, es decir realizamos una sumatoria de todas las fuerzas y momentos en el punto B.

fy=0By-19600N=0By=19600N

MB=0-w(3m)+8Ra=0Ra=Ra=7350N

fx=0Bx-Ra=0 (1)Bx=Ra Remplazando Ra en (1)Bx=7350N La carga que se necesita para que se produzca un corte es B ya que esta es paralela al rea de estudio, al tener sus componentes en X e Y buscamos su modulo.B B= B=20932,81N Remplazamos B y en la formula de esfuerzo cortante, al tener el rea aun en funcin del dimetro es posible encontrarlo al remplazar los valores conocidos.A=

60 PaD= D=0,0149mD=14,9mm

120.- Dos piezas de madera de 50mm de ancho y 20mm de espesor, estn pegadas como indica la figura. a) Aplicando las ideas que se expresan en la figura 1-4a, determine la fuerza cortante el esfuerzo cortante en la unin si P=6000N. b) Generalice el procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una seccin inclinada un ngulo respecto a una seccin transversal de rea A, tiene un valor dado por = (P/2A)(sen 2).

6050mm

PAxPPparal=VP0,050,0260

DATOSP=6000N(b) T = (P/2A)(sen 2 )SOLUCIN(a)Al analizar el grafico notamos que existen dos secciones, se especifica que el esfuerzo en la unin as que tomamos una de las secciones para nuestro estudio. En este caso tomamos la pieza izquierda. Para el anlisis buscamos un rea paralela en la unin y a la carga, por lo que descomponemos la fuerza P en una componente axial y una paralela.V=Pcos60V=6000Cos60V=3000N Para encontrar el rea usamos el ngulo dado:

x0,0560

A=X(0,02)Cos30=X=Cos30(0,05)X=0,057A=X(0,02)A=(0,02)( 0,057)A= 0,00114A= 1,14m(b)Para el caso particular de un rea inclinada la carga ser igual a PCos, y su rea ser A/Sen. Esto se deduce en el grafico ya que el rea de estudio es un rea inclinada y el rea a la que nos referimos como A no lo es.

Nos basamos en la entidad geomtrica del ngulo doble:Sen2 Para apoyarnos en esta entidad es necesario realizar un artificio matemtico; dividimos tanto el primer miembro como el segundo para 2.

=la formula de .

Sen 2Remplazando valores se obtiene una formula general para casos similares.

121.- Un cuerpo rectangular de madera, de seccin transversal de 50mm x 10mm, se usa como elemento de compresin, segn se muestra en la figura.

Pinc.P20 Determine la fuerza axial mxima P que pueda aplicarse con confianza al cuerpo si el esfuerzo de compresin en la madera esta limitado de 20 MN/m2 y el esfuerzo cortante paralelo a las vetas lo esta a 5 MN/m2. Las vetas forman un ngulo de 20o con la horizontal, segn se muestra. (Indicacin: Use los resultados del Problema 120).

DATOS= 20 N/m2 5 N/m2=20 oSOLUCIN

PPara poder determinar la carga se debe tomar en cuenta las dos cargas tanto de corte como de compresin.Tomamos en cuenta en primera instancia al esfuerzo de corte.

P=V

Buscamos el valor del rea inclinada que es paralela a la fuerza cortante:

A= x*(0,05)

P= 77NEl anlisis es similar con el esfuerzo simple, se debe tomar en cuenta que el rea es perpendicular a la carga P.:

A=(0,1)(0,05)

P=-1NAl tener el resultado de ambas cargas se las analiza y como conclusin se nota que la carga de 77N, soportara perfectamente corte y compresin. Si se tomara la carga de -1N soportara compresin pero no corte por lo que no es la mas adecuada.

ESFUERZO DE CONTACTO O APLASTAMIENTO.

123.- En la figura se supone que el remache tiene 20mm de dimetro y une placas de 100 mm de ancho.a) Si los esfuerzos admisibles son de 140 MN/m2 para el aplastamiento y de 80 MN/m2 para el esfuerzo cortante, determinar el mnimo espesor de cada placa. b) Segn las condiciones especificadas en la parte (a), Cul ser el mximo esfuerzo medio de tensin en las placas?

PP

PP

DATOS.Dremache = 20mm = 0.02mAnchoplaca= 100mm = 0.1m = 140 MN/m2= 80 MN/m2Espesor= ?SOLUCION. Con las ecuaciones de y , igualamos las tensiones ejercidas respectivamente y encontramos el espesor de la placa. = V = * AV = (80 * 106 N/m2) * () Ecuacin 1. = P = * AP = (140 * 106 N/m2) * (0.1*Espesor) Ecuacin 2. Igualamos la Ecuacin 1 y Ecuacin 2, sabiendo que P y V son iguales puesto que ambas son tensiones.V = P(80 * 106 N/m2) * () = (140 * 106 N/m2) * (0.02*Espesor)(80 * 106 N/m2) * () = (140 * 106 N/m2) * (0.02m*Espesor)25132.74 N/m4= 2800000 N/m3 * EspesorEspesor = 0.008976 mEspesor = 8.976 mmEl espesor mnimo de la placa es de 8.976 mm Encontrar la tensin(V) que se aplica para el esfuerzo de corte y lo aplicamos en la tensin que se emplea para el esfuerzo de compresin (P). = V = (80 * 106 N/m2) * ()V = 25132.74 N

= = = = 35298792.13 N/m = 35.30 KN/mEl mximo esfuerzo que se puede aplicar para compresin es de 35.30 KN/m.

124.- La junta que se muestra en la figura esta sujeta mediante tres remaches de 20mm de dimetro. Suponiendo que P= 50KN, determine a) el esfuerzo cortante en cada remache.b) el esfuerzo de contacto en cada placa.c) el mximo esfuerzo promedio en cada placa. Suponga que la carga aplicada P esta distribuida igualmente entre los tres remaches.

d=20t=25mm130 mmP

DATOS.Dremache = 20mm = 0.02mP = 50KN = ? b = ? = ?

SOLUCION. Empleando la ecuacin de esfuerzo cortante encontrar el valor de = = = = 53078556.26 Pa = 53.078 MPaEl esfuerzo cortante que se aplica a cada remache es de 53.078 MPa. Con la formula de esfuerzo de contacto, encontrar su valor respecto a cada placa. b = b = b = b = 33333333.33 Pa = 33.333 MPaEl esfuerzo de contacto para cada placa es de 33.333 MPa. Aplicando la formula de esfuerzo de contacto, encontramos el mximo esfuerzo promedio en cada placa, tomando en cuenta que el rea es igual al rea total de la placa, menos el rea de los pernos. = = = = = 18181818.18 Pa = 18.18 MPaEl esfuerzo promedio aplicado en cada placa es de 18.18 MPa Se debe tomar en cuenta que para el ltimo clculo no hay que multiplicar por 3 pernos, por la forma en la que estos estn ubicados (uno tras otro, mas no: uno junto al otro).

125.- Para la junta traslapada del problema 124, determine la mxima carga P que pueda aplicarse con confianza si el esfuerzo cortante en los remaches esta limitado, a 60 MPa; el esfuerzo de contacto en las placas, a 110 MPa; y el esfuerzo de tensin medio en las placas, a 140 MPa.

PP

DATOS.Dremache = 20mm = 0.02m = 60mpa b = 110 MPa = 140 MPaPmaximo = ?SOLUCION. Empleando la ecuacin de esfuerzo cortante (), encontrar el valor de V. = V= * AV = V = 0.056548667 MNV = 56548.667 NV = 56.55 KN Con la formula de esfuerzo de contacto (b), encontrar el valor de Pb. b = Pb = b * APb = (110 mpa )* * Pb = 0.165 MNPb = 165000 NPb = 165 KN Aplicando la formula de esfuerzo de contacto (), encontrar el valor de P. = = P = * P = (140 mpa ) * P = 0.385 MNP = 385000 NP = 385 KNLa carga mxima P que debe aplicarse con confianza es de 56.55KN, puesto que si se trabaja con la carga de 165KN O 385KN la junta traslapada colapsara y se rompera.Se debe tomar en cuenta que solamente para el ltimo clculo no hay que multiplicar por 3 pernos, por la forma en la que estos estn ubicados (uno tras otro, ms no; uno junto al otro).

126.- En la articulacin de la figura, determine el dimetro mnimo de perno, el mnimo espesor de cada rama de la horquilla si debe soportar una carga P = 55KN, sin sobrepasar un esfuerzo cortante de 70mpa ni uno de 140mpa a compresin.

b

DATOS.Dminimo= ?Espesorminino= ?P= V = 55KN = 70mpab = 140mpaSOLUCION. Con la ecuacin de ; despejamos y calculamos el valor del Dimetro. = = D2 = D2 = D2 = 0.000500201m2 Aplicando Raz en ambos lados encontramos el dimetro. D = 0.022365mEl dimetro mnimo del perno es de 0.022365 m. Aplicando la ecuacin de esfuerzo, encontramos el valor del espesor mnimo.b = b = Espesor = Espesor = Espesor = 0.008782855 mEl espesor mnimo para cada rama de la horquilla es de 0.00878 m Es importante mencionar que se multiplica por dos (2) en las respectivas formulas, puesto que se trata de un esfuerzo cortante doble.

127.- Un tornillo de 22.2 mm de dimetro exterior y 18.6 mm en el fondo e la rosca, sujeta dos piezas de madera, como se indica en la figura P-127: Se aprieta la tuerca hasta tener un fuerza de 34 KPa en el tornillo. (a)Calcular el esfuerzo cortante en la cabeza del mismo y en la rosca. (b) Determine tambin el dimetro exterior de las arandelas si el interior es de 28 mm y el esfuerzo de aplastamiento admisible en la madera es de 6 MPa.

DATOSDext=0,0222mDint=0,0186m=34KPa (b)En arandelasDint=0,028m=6 N/m2

SOLUCION

P=V

(CABEZA)

h

= *A= V Calculamos en la rosca= = =40.62 MPa Calculamos en el fondo de la rosca.= = =40.62 MPa=36.366 MPa(b) Con los valores dados se puede obtener fcilmente el rea; la que contiene a las arandelas.b= A = (A = (Remplazamos A en b = 6*10^6 = de=4,17mm

128.- En la figura P-128 se muestra el esquema de una armadura y en le croquis (b) el detalle de la unin de las barras, mediante una placa, en el nudo B. Cuantos remaches de 19 mm de dimetro se necesitan para unir la barra BC a la placa, si los esfuerzos admisibles son = 70mpa. Y b= 140mpa? Cuntos para la barra BE? Cul es el esfuerzo medio de compresin o tensin en BC y BE?

DATOSD=0,019m= 70Pab= 140PaSOLUCINAl tener los esfuerzos se deben buscar tanto sus reas como sus cargas. Por esttica y analizando el grafico se pueden calcular las cargas.

Con los datos es posible encontrar la reaccin en A.

fy=0Ray-96-200-96+Rhy=0Ray=196KN

ma=0-96(4)-200(8)-96(12)+16Rhy=0-3136000+16rhy=016rhy=3136Rhy=196KN Aplicando el mtodo de secciones para resolver armaduras; tomamos una parte del sistema y lo resolvemos.

Tan==36,87 o

fx=0-BDcos36,87 o +BEcos36,87 o +CE=0 (1)Fy=0196-96-BE Sen36,87 o -BD Sen36,87 o =0(3)

100 -0,600BE -0,600BD=0BE=

Usamos el momento de una partcula para encontrar CE.M=0-196(4)+CE(3)=0CE=261,33CE EN (1)-BDcos36,87 o +BEcos36,87 o +261,33=0 (2) Al tener dos ecuaciones con dos incgnitas se resuelve el sistema de ecuaciones.BE en (2)-BDcos36,87 o +()Cos36,87 o +261,33=00,4799BD +0,4799BD -79,999-260,73=0BD=246,667 Para encontrar BE remplazo BD en (2).-(246,667)Cos36,87 o +becos36,87 o +261,33=0BE=-80,00ANALISIS EN BC

N=4,845= N=N=6,0157

Se necesitan 7 remaches ya que estos soportaran perfectamente los esfuerzos tanto de corte como de contacto. Al usar un nmero menor de remaches la estructura inminentemente se romper y si se usa un nmero mayor tan solo se perdern recursos.Anlisis en BE.

N=4,0315=140=N=N=5,0126Al igual que en el anlisis anterior se toman 6 remaches que soportaran ambos esfuerzos.

129.- Repetir el problema anterior con remaches de 22 mm de dimetro sin variar los dems datos.

DATOSD=0,022m= 70Pab= 140PaBD=246,78KNBE=80KNBC=96KNSOLUCINAl tener los esfuerzos se deben buscar tanto sus reas como sus cargas. Por esttica y analizando el grafico se pueden calcular las cargas.Anlisis en BC.

N=

N=3,614

=140=N=N=5,196

PARA EL CASO DE BC SE DEBEN USAR 6 REMACHES. Anlisis en BE.

N=N=2,363

=140=N=N=4,335

Al igual que en el anlisis anterior se toman 5 remaches que soportaran ambos esfuerzos.Al ser los dimetros diferentes el nmero de remaches vara en ambos ejercicio, al ser mayor el rea del remache se usaran menos remache.