tesis_analisis de transfer en cia de esfuerzo en modelo de fibra simple usando fotomecanica

8/4/2019 Tesis_analisis de Transfer en CIA de Esfuerzo en Modelo de Fibra Simple Usando Fotomecanica

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UNIVERSIDAD JUREZ AUTNOMA DE TABASCO

DIVISIN ACADMICA DE INGENIERA Y

ARQUITECTURA

ANLISIS DE TRANSFERENCIA DE ESFUERZO EN

MODELO DE FIBRA SIMPLE UTILIZANDO

FOTOMECNICA

TRABAJO RECEPCIONAL BAJO MODALIDAD DE:TESIS

PRESENTA:

ENRIQUE ALEJANDRO OVANDO

COMO REQUISITO PARA OBTENER EL TTULO DE:INGENIERO QUMICO

ASESOR:

DR. JOS MANUEL VZQUEZ RODRGUEZ

COASESOR:M.E. GERARDO CHVEZ ARCINIEGA

CUNDUACN, TABASCO AGOSTO DE 2011


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CARTA DE AUTORIZACIN

El que suscribe, autoriza por medio del presente escrito a la Universidad Jurez

Autnoma de Tabasco para que utilice tanto fsica como digitalmente la tesis de

grado denominada " ANLISIS DE TRANSFERENCIA DE ESFUERZO EN

MODELO DE FIBRA SIMPLE USANDO FOTOMECNICA", de la cual soy autor y

titular de los Derechos de Autor.

La finalidad del uso por parte de la Universidad Jurez Autnoma de Tabasco de

la tesis antes mencionada, ser nica y exclusivamente para difusin, educacin ysin fines de lucro; autorizacin que se hace de manera enunciativa ms no

limitativa para subirla a la Red Abierta de Bibliotecas Digitales (RABID) y a

cualquier otra red acadmica con las que la Universidad tenga relacin

institucional.

Por lo antes manifestado, libero a la Universidad Jurez Autnoma de Tabasco de

cualquier reclamacin legal que pudiera ejercer respecto al uso y manipulacin de

la tesis mencionada y para los fines estipulados en ste documento.

Se firma la presente autorizacin en la ciudad de Villahermosa, Tabasco a los 08

das del mes de julio del ao 2011.

AUTORIZ

ENRIQUE ALEJANDRO OVANDO


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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica

Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT i

Dedicatorias

A mis padres que afrontaron a mi lado este reto llamado ingeniera qumica, y

gracias por su inmenso apoyo y por todo su amor.

A mis hermanos Guadalupe, Fernando, Francisca y Litzy quienes me alentaron e

impulsaron durante esta travesa.

A mi querida hermana Adriana quien durante mucho tiempo ha sido mi confidente

y amiga, te quiero hermanita.

A mi hermosa novia Ana Laura, gracias por soportarme, por quererme y amarme

tanto, gracias por compartir mis sueos, mis ilusiones y fantasas, es en verdad

un privilegio tenerte como mi pareja, agradezco infinitamente a Dios por darme la

dicha de compartir tantos momentos inolvidables a tu lado, te quiero.

A mi ta Brunilda quien ha sido una segunda madre para m, y quien con todo su

cario y amor me ha impulsado durante toda mi carrera.

A mi to Gutember(qepd), que aunque ya no ests con nosotros se que desde el

cielo me apoyas y me alientas a seguir adelante, aun extrao las borracheras a tu

lado, extrao esas plticas tan elocuentes que tenamos en frente a la barda

(cuando me decas homosexual), que para m esos momentos sern inolvidables.

A toda mi familia que se embarc en esta hermosa aventura y encar

estoicamente este desafo a mi lado.


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT ii

Agradecimientos

Agradezco infinitamente a la Universidad Jurez Autnoma de Tabasco y a la

Divisin Acadmica de Ingeniera y Arquitectura, por brindarme las herramientas

necesarias para afrontar los retos que impone la ingeniera qumica.

A todos mis maestros por haberme brindado los conocimientos que me permitirn

desarrollarme como profesionista.

Agradezco a mi asesor Jos Manuel Vzquez Rodrguez por permitirme trabajar a

su lado y haberme hecho parte de este maravilloso proyecto.

A mi coasesor Gerardo Chvez Arciniega por su ayuda en la elaboracin de los

moldes y piezas necesarios para la investigacin.

A mis revisores quienes con sus observaciones me permitieron mejorar la calidad

de mi trabajo.

Mencin especial merecen mis amigos, quienes hicieron de esta etapa, la ms

bella experiencia de mi vida.

Gracias mis hermosas amigas y compaeras de proyecto Laura Ramrez Lpez y

Vianey Gmez Lpez.

Agradezco infinitamente a Luis ngel Palma Domnguez (Pinochn, el divino, el

caliente) por ser mi amigo, por acompaarme y ayudarme en la elaboracin de mi

tesis.

Agradezco de igual manera a la Tuzita (Rubn Domnguez de los Santos).


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT iii

A Gayvid (Deyvid de la Fuente Castillo), por ser mi confidente y amigo

incondicional.

A Pollo Colunga (Elder de Jess Garca Castro), por los ratos divertidos, y los

chistes mal contados que me hacen rer, gracias por ser un excelente amigo

Al organizador oficial de las fiestas del PUP, Eduardo Lara Hernndez (Tripie,

Larita).

A Jessica Mrquez Len (Gera) por regaarme y decirme mis verdades cuando

me las mereca.

A Lzaro Domnguez Gallegos (Lacho).

A Juan Carlos Lpez Lpez (Radito) por aconsejarme de vez en cuando.

A Susana Mareli Alberto Romero (mare) por tu alegra, por tu cario y que me

hacen sonrer aun en momentos adversos.

A Arianna Paola Javier Trinidad por ser mi amor platnico, te quiero un chingo mi

Ari preciosa.

A mi Simo preciosa (Adriana Caridad Vzquez Ballinas) y a Nayeli Chabl

Almeida pues con su simpata y belleza me alegraban las maanas en mi

laboratorio, gracias por su amistad.

A Susana Vasconcelos Vargas y Ana Mara Ramos Hernndez aunque se sienten

unas muecas.

A Rubn Alejandro Ruiz Eng (Rubenn).


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT iv

A Moiss Antonio Luna Hernndez y Jos Manuel Burelo.

A Esperanza Coronel (perita) y Rosa Mara lvarez Rodrguez (Rosita).

A Lorena Daz Gonzlez (Lorelina jolie) aunque en verdad no te conoc mucho

tiempo, los pocos momentos que te trate me caste muy bien, y te considero una

buena amiga.

Gracias Benjamn Snchez de la Cruz (Gordo), ms que mi mejor amigo y fiel

confidente, te considero casi mi hermano, t me conoces mejor que nadie,

conoces mis secretos, las cosas que me aquejan y creo que en parte comprendes

lo que siento y lo que pienso, gracias por apoyarme en todo momento y porescucharme siempre.

A Elda Irene Beaurregard Martnez por tu cario, por tu apoyo, por tu

comprensin, por tu compaa y por ayudarme en la concepcin de mi tesis,

durante este ltimo ao te convertiste en una persona imprescindible, gracias por

tantos momentos agradables que compartiste conmigo, por escucharme y por

impulsarme a seguir adelante, gracias por todo Irene.

A Yaneth Daz Garca, si bien no colaboraste en la elaboracin de mi trabajo en

verdad fuiste importante para m, me alegraste todas las maanas estos ltimos 5

meses, me hiciste sonrer, sonrojar y suspirar, en verdad me divert mucho

hacindote travesuras, te agradezco el haberme soportado todos estos meses, no

encuentro las palabras adecuadas para describir a la gran persona que veo en ti,

realmente eres una mujer extraordinaria.


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT v

Resumen

La tcnica experimental llamada fotoelasticidad fue usada para el anlisis de

campos de esfuerzo y deformacin. La luz emitida al propagarse por ciertos

materiales transparentes revela por medio de efectos pticos dichos campos.

Un polariscopio es un arreglo ptico usado para observar patrones fotomecnicos.

Para esta tcnica se emple luz blanca (una longitud de onda de 380 750 nm)

en el polariscopio en campo oscuro.

Las imgenes de los patrones de esfuerzo se usaron para analizar la transferenciade esfuerzos desde la matriz hacia la fibra. El mtodo ms adecuado para obtener

estos patrones es emplear un modelo de fibra simple conformado por una fibra de

polister (nombre comercial TENEX) embebida en una matriz polimrica (resina

epxica ROYAPOX 511 y agente de entrecruzamiento ENDURECEDOR 511).

La fibra fue estirada y tratada con calor en una estufa de vaco a una temperatura

de 90C durante un periodo de 24 h, despus fue embebida en resina epxica. Se

dej curar por espacio de 48 h a temperatura ambiente.

Se elaboraron los especmenes de anlisis al trmino del proceso de curado y

finalmente se llevaron a cabo las pruebas fotomecnicas en un banco fotoelstico

compuesto por un polariscopio lineal de campo oscuro y una mquina de pruebas

universales INSTRON 3384. La probeta fue sometida a carga de tensin y un

cierto tiempo despus el patrn fotoelstico fue fotografiado.

El anlisis del esfuerzo cortante por medio del mtodo fotomecnico no pudo ser

efectuado debido a la ausencia de los rdenes fotoelsticos N en los patrones

experimentales. Las cargas empleadas durante el ensayo fueron desde los 0 N

hasta 163.7 N


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT vi

ndice Pgina

Dedicatorias iAgradecimientos ii

Resumen v

ndice vi

Lista de de Figuras viii

Lista de Tablas xi

Introduccin xii

Antecedentes xiii

Justificacin xv

Objetivos xvi

Objetivo General xvi

Objetivos Especficos xvi

Captulo I. Fundamentacin terica del mtodo fotoelstico 1

1.1 Ley del esfuerzo ptico 1

1.2 Patrones de esfuerzo a flexin pura 5

1.3 Naturaleza y comportamiento de la luz 9

1.4 Luz natural y luz polarizada 10

1.4.1 Luz con polarizacin lineal 10

1.4.2 Luz con polarizacin circular 10

1.5 Polariscopio y elementos pticos de polarizacin 11

1.5.1 ptica del polariscopio lineal 12

1.5.2 ptica del polariscopio circular 14

Captulo II. Materiales compuestos 19

2.1 Interfase fibra/matriz 19

2.2 Pruebas micromecnicas 20

2.3 Modelo de transferencia de esfuerzo cortante (Modelo Shear-lag) 22


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT vii

2.3.1 Distribuciones del esfuerzo y de la deformacin 24

2.3.2 Transferencia de esfuerzo entre fibra-matriz 30

Captulo III. Metodologa 33

3.1 Material, equipo y reactivos 33

3.2 Resina epoxica y agente de entrecruzamiento 34

3.3 Anlisis mecnico de la resina 34

3.3.1 Calibracin fotoelstica de la resina 36

3.4 Caracterizacin mecnica de la fibra de polister 38

3.5 Arreglo del polariscopio 38

3.5.1 Calibracin del polariscopio 40

3.6 Elaboracin del modelo de fibra simple 413.7 Esfuerzo cortante usando fotoelasticidad para el modelo de fibra

simple. 42

Captulo IV. Resultados y discusin 44

4.1 Caracterizacin de la fibra de polister 44

4.2 Propiedades mecnicas de la resina epxica 45

4.3 Calibracin fotoelstica de la resina 46

4.4 Esfuerzo cortante por medio de fotoelasticidad para un modelo de

fibra simple 57

Conclusiones 62

Referencias bibliogrficas 63

Anexo A 66

Anexo B 68

Anexo C 70

Anexo D 71

Anexo E 72


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Lista de de Figuras

No. Descripcin Pgina

1. Esquema de flexin. Diagrama de cuerpo libre (a), diagrama de

momentos de flexin (b) y distribucin de esfuerzos (c)[15]. 7

2. Movimiento del vector elctrico en un haz de luz linealmente

polarizado [16]. 11

3. Movimiento del vector elctrico en un haz de luz polarizada

circularmente [16]. 11

4. Modelo fotoelstico sometido a esfuerzos colocado en banco depolarizacin lineal. 13

5. Modelo fotoelstico sometido a esfuerzos colocado en un

polariscopio circular de campo oscuro. 16

6. Ensayos micromecnicos en los que la carga es aplicada

directamente sobre la fibra: Pull-out (a), microgota (b) y push-out

(c) [15]. 21

7. Pruebas micromecnicas en las que la carga es aplicada sobre la

matriz: fragmentacin (a) y prueba de Broutman (b) [15]. 22

8. Esquema del modelo de Shear-lag, (a) modelo libre de fuerzas,

(b) desplazamiento axial uR inducido al aplicar un esfuerzo de

tensin paralelo a la fibra y (c) la variacin radial del esfuerzo

cortante y la deformacin en la matriz [15]. 24

9. Distribucin de esfuerzo cortante interfacial y del esfuerzo a lo

largo de una fibra embebida en una matriz considerando una

transferencia de esfuerzo totalmente elstica [15]. 3110. Distribucin del esfuerzo a tensin en la fibra (a) y del esfuerzo

cortante interfacial (b) para dos relaciones de aspecto L/r = s de

una fibra embebida en una matriz [15]. 32


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT ix

11. Dimensiones del molde para la elaboracin de la placa de resina

epoxica. 35

12. Marco de carga para flexin empleado para calibracin

fotoelastica de la resina epxica [15]. 37

13. Esquema de pruebas a tensin para las fibras en la mquina de

pruebas universales INSTRON 3384[15]. 39

14. Disposicin del banco de polarizacin lineal de campo oscuro con

marco de carga. 39

15. Fibras de polister embebidas en una placa de resina epxica

para la elaboracin de probetas del modelo de fibra simple y

dimensiones del molde. 41

17. Probetas del modelo de fibra simple sometidas a cargas detensin en la mquina de pruebas universales INSTRON 3384. 43

18. Curva de esfuerzodeformacin para una fibra tpica de polister

de acuerdo a la norma ASTM D 2343-67. 44

19. Patrones fotoelsticos de esfuerzo para una probeta sometida a

flexin, a) probeta sometida a carga de 34.4 N, b) probeta

sometida a carga de 65.2 N, c) probeta sometida a carga de 105.5

N, d) probeta sometida a carga de152.1 N, e) probeta sometida a

carga de 208 N. 47

20. Distancia desde el eje de simetra hasta cada uno de los rdenes

para el patrn fotoelstico de una probeta sometida a flexin. 48

21. Grfica de la constante fotoelstica de la probeta 1 en forma de

viga de resina epxica empleando luz blanca. 49








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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT x





27. Modelo de fibra simple libre de esfuerzos. 57

28A. Patrones de esfuerzo fotoelstico de modelo de fibra simple

sometido a cargas de tensin. 58

28B. Patrones de esfuerzo fotoelstico de modelo de fibra simple

sometido a cargas de tensin. 59

29. Comportamiento terico de un modelo de fibra simple sometido a

tensin. 60

30. Elaboracin del molde para la fabricacin de una placa de resinaepxica 70


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xi

Lista de Tablas

No. Descripcin Pgina

1. Materiales y reactivos empleados en el proyecto. 33

2. Materiales y equipos que sern utilizados para la preparacin de

la resina epxica. 33

3. Propiedades mecnicas de la fibra de polister 45

4. Propiedades mecnicas de la resina epxica. 45

5. Valores obtenidos de f para los rdenes fotoelsticos obtenidos

para la probeta 1 usando la Ec. (1.21). 496. Valores obtenidos de f para los rdenes fotoelsticos obtenidos

para la probeta 2 usando la Ec. (1.21). 50






para la probeta 5 usando la Ec. (1.21) 54


para la probeta 6 usando la ecuacin 1.21. 56

11. Propiedades mecnicas de fibra de polister 71

12. Propiedades mecnicas de resina epxica 71


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xii

Introduccin

En el diseo de materiales compuestos, la adherencia lograda entre las fases

constituyentes es uno de los parmetros ms importantes. La adherencia se

puede determinar mediante un mtodo micromecnico.

La distribucin de esfuerzos puede ser analizada tambin por medio de sistemas

pticos que generan patrones de franjas de interferencia. Una tcnica de anlisis y

diseo mecnico es la fotoelasticidad, en la que dos haces luminosos con

polarizacin lineal interfieren entre s al propagarse a travs de un material

sometido a una carga. La interferencia de estos haces produce imgenes con

patrones de franjas que muestran la distribucin y el nivel de los esfuerzosgenerados en el material.

La ley de esfuerzo ptico relaciona la propagacin de la luz a travs de diferentes

ndices de refraccin en un material o modelo fotoelstico con la distribucin de

esfuerzos en l al estar sometido a una carga.

El anlisis por medio de un sistema ptico de un modelo de material compuesto

genera imgenes con patrones de franjas que estn relacionadas con la

distribucin de los esfuerzos en todo el modelo. De esta manera se correlacionar

la distribucin de esfuerzos obtenida aplicando la tcnica de fotoelasticidad y la

distribucin equivalente obtenida a partir de las teoras de transferencia de

esfuerzo cortante.

Este trabajo est integrado por cuatro captulos. En el primero se establece la

teora del mtodo fotoelstico. El segundo captulo implica los fundamentos demateriales compuestos, en el tercer captulo se describe el desarrollo

metodolgico de la investigacin, el captulo cuarto expone los resultados y la

discusin de los mismos.


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xiii

Antecedentes

Las tecnologas modernas requieren de materiales innovadores, con una

combinacin inusual de propiedades imposible de conseguir con materiales

convencionales, estas necesidades hacen que las tendencias en el uso de los

diversos tipos de materiales se orienten progresivamente hacia el uso de

materiales compuestos [22-23].

Los materiales compuestos se forman cuando dos o ms materiales se combinan

para formar un material totalmente nuevo con una combinacin inusual de

propiedades imposible de conseguir con materiales tradicionales. Las propiedades

mecnicas de los materiales compuestos estn ntimamente ligadas a parmetrosde interaccin matriz/refuerzo.

Las interacciones entre las fibras y la matriz son extremadamente complejas y no

completamente entendidas. El modelo de transferencia de esfuerzo cortante es

descrito por Cox [18-19] e intenta explicar el proceso de refuerzo de las fibras. Su

investigacin fue desarrollada posteriormente por otros investigadores como

Outwater, Rosen y Dow [20]; que se centran en la transferencia del esfuerzo de

tensin de la matriz a la fibra por medio de fuerzas a cortante [17-19].

Zhao et al [23], plantean en el articulo Photoelastic analysis of matrix stresses

around a high modulus sapphire fibre by means of phase-stepping automated

polariscope que la adhesin interfacial en un modelo de fibra simple compuesto

por una fibra de zafiro y la resina epoxi es relativamente dbil, debido a la rpida

fragmentacin de la interface lograda entre ambos componentes.

Uno de los estudios recientes sobre el anlisis de interfaces en materiales fibro-

reforzados, es descrito por Vzquez Rodrguez [15], en su tesis doctoral Anlisis

de interfaces en materiales compuestos de fibra termoplstica y matriz termofija

por medio de la tcnica de fotoelasticidad, el cual se toma como base para la


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xiv

presente investigacin de describir el diseo del material reforzado con una sola

fibra y los posibles patrones de fotoelasticidad.

Deuschle et al [24] en su trabajo Simulation of photoelasticity in a glass fiber

polymer matrix composite describen el comportamiento de un modelo de fibra

simple mediante simulacin numrica en 3D, tomando como base de apoyo los

patrones de esfuerzo obtenidos mediante la tcnica experimental fotoelasticidad,

sometiendo las probetas de fibra simple a esfuerzo de 10N/mm2, 20N/mm2 y

30N/mm2


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xv

Justificacin

Actualmente muchos de los productos manufacturados que comnmente se

utilizan en nuestra vida diaria son elaborados con base a materiales compuestos.

Cuando los materiales comunes son incapaces de satisfacer las especificaciones

distintas de diseo para una determinada aplicacin, una de las soluciones ms

factibles puede ser emplear un material compuesto, la idea principal del desarrollo

de un material compuesto radica en la combinacin de dos o ms materiales

diferentes para obtener otro con propiedades superiores a la de sus componentes

individuales.

Son ampliamente conocidas las cualidades que posee un material compuesto ylas ventajas de su uso cotidiano, sin embargo se desconoce comportamiento fsico

de la fase de refuerzo y de la distribucin de los esfuerzos a travs de un material

compuesto.

Los estudios de Zhao et al [23] sealan que en un material compuesto de fibra de

zafiro y resina epxica, la zona que posee la mayor cantidad de esfuerzo se

encuentra en la regin ms cercana a los extremos de la fibra. Este hecho ha

propiciado que las investigaciones en el rea de materiales avanzados se centren

en el anlisis de campos de esfuerzos.

La trascendencia de esta investigacin radica en la obtencin de patrones

fotoelsticos de esfuerzo que permitan analizar la distribucin de las cargas en un

material compuesto de fibra simple sometido a cargas de tensin, teniendo como

fundamento principal la necesidad de explicar el comportamiento de las fibras en

un material compuesto fibro-reforzado y el anlisis del nivel de adherencia logradaentre la matriz polimrica (resina epxica) y el material de refuerzo (fibra polister).


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xvi

Objetivos

Objetivo General

Obtener patrones fotoelsticos que permitan analizar la distribucin del

esfuerzo y la adherencia interfacial en materiales compuestos de fibra

simple de resina epxica y fibra de polister usando el mtodo

fotomecnico. Siendo la finalidad principal del estudio la evaluacin de la

adherencia de los materiales para su empleo como recubrimientos y

aislantes trmicos.

Objetivos Especficos

Realizar la caracterizacin mecnica de la resina epxica.

Obtener las propiedades mecnicas de la fase de refuerzo (fibra de

polister) empleada en modelo de fibra simple.

Analizar la adherencia lograda entre los materiales constituyentes del

modelo de fibra simple.

Analizar la factibilidad en el uso del material compuesto como revestimiento

anticorrosivo y aislante trmico con base a los resultados de adherencia

interfacial obtenidos durante el estudio.


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Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT 1

Captulo I. Fundamentacin terica del mtodo fotoelstico

Fotoelasticidad es un mtodo experimental que se emplea en mecnica de

materiales para el anlisis de campos de esfuerzo y deformacin [1, 2].

1.1Ley del esfuerzo ptico

Casi todos los materiales poseen la propiedad de doble refraccin temporal bajo

carga. Dependiendo del material, el fenmeno puede deberse a esfuerzos,

deformaciones, o ambas. La doble refraccin temporal, tambin es denominada

birrefringencia inducida. Al igual que los cristales, los materiales polimricos tienenla capacidad de separar un haz de luz en dos componentes ortogonales con

polarizacin lineal, los cuales se propagan a diferente velocidad. El efecto de

doble refraccin temporal fue observada por primera vez en 1816 por Brewster [1],

siendo sta la caracterstica fsica base de la fotoelasticidad.

En general, un sistema de esfuerzo tridimensional posee tres esfuerzos principales

y tres direcciones en cualquier punto del material. En un cuerpo con doblerefraccin temporal, las direcciones de los esfuerzos principales coinciden con los

ndices de refraccin en las direcciones de los ejes cristalogrficos del material.

Maxwell formul las ecuaciones que relacionan a los esfuerzos aplicados con los

ndices de refraccin para materiales con birrefringencia inducida [3]:

322111

CCnn (1.1)

132212

CCnn (1.2)

212313

CCnn (1.3)

donde n es elndice de refraccin del material en su estado pticamente


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isotrpico, n1, n2, n3 son losndices de refraccin para las ondas propagndose en

direccin paralela a los esfuerzos principales (no isotrpicos), 1, 2, 3, son los

esfuerzos principales y C1, C2 son los coeficientes de esfuerzo ptico para un

material especfico.

Las ecuaciones anteriores fueron deducidas para materiales cristalinos, sin

embargo, pueden ser aplicadas a polmeros que permiten la refraccin de la luz.

Arreglando las Ecs. (1.1), (1.2) y (1.3) como diferencias de ndices de refraccin

no isotrpicos y eliminando nse obtiene:

212121

CCnn

21 C ,

donde 21

CCC es el coeficiente relativo de esfuerzo ptico.

De la misma manera:

3131

Cnn (1.5)

3232 Cnn (1.6)

Las Ecs. (1.5) y (1.6) relacionan los ndices de refraccin en las direcciones de los

esfuerzos principales que actan en el sistema. De manera que si el esfuerzo

normal al material es constante, y el sistema de esfuerzos a travs del mismo no

vara, la diferencia entre los ndices de refraccin inducidos por el esfuerzo ser

constante y el material actuar como una placa de retardo temporal. Entonces una

luz polarizada propagndose a travs del material, se separar en dos hacesortogonales con polarizacin lineal, que acumularn un retardo relativo entre ellos

a causa del esfuerzo aplicado; as, definiendo al retraso lineal relativo como:

21LCh , (1.7)


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Donde hL es el espesor de la probeta o la distancia recorrida por el haz de luz en

la probeta.

Las diferencias de los ndices de refraccin producen el retraso del haz que pasa

por el material. Planteando un sistema de esfuerzos en dos direcciones, el retraso

angular en radianes estara expresado de la siguiente forma:

21L C

h2R

(1.8)

2R , (1.9)

donde; R es el cambio de fase angular (retardo en radianes) entre los dos

componentes vectoriales de las ondas propagndose despus de pasar por el

material bajo carga y es la longitud de onda de la luz empleada.

La Ec. (1.8) representa la ley de esfuerzo ptico y es la base de la fotoelasticidad.

Esta ley establece que el cambio de fase angular R es linealmente proporcional a

la diferencia entre los esfuerzos principales 1 - 2 y al espesor hL del material einversamente proporcional a la longitud de onda de la luz empleada .

Reordenando la Ec. (1.8) y definiendo a Ncomo el retraso relativo en trminos de

ciclos completos (orden de franja), y a f como la deformacin necesaria para

provocar un cambio de un ciclo de una longitud de onda por unidad de espesor del

modelo (tambin es conocida como la constante de esfuerzo ptico con unidades

de N/m o lbf/plg) [2, 3]:

C

1

h

1

2

R

L

21

(1.10a)


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2

RN (1.10b)

Cf

(1.10c)

Agrupando trminos:

L

21h

1

CN

(1.11)

Finalmente, la ley de esfuerzo ptico se escribe como:

L

21h

1Nf

(1.12)

De las relaciones de esfuerzo-deformacin para un sistema bidimensional, se

sabe que la diferencia de los esfuerzos principales est relacionada con el

esfuerzo cortante mximo ( MAX ) de la siguiente forma:

MAX 221 (1.13)

Reordenando se tiene:

MAX

21

2

(1.13a)

Ahora relacionando las Ecs. (1.13a) y (1.12), el esfuerzo cortante mximo puede

ser expresado en trminos de la teora de fotoelasticidad como:


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L

MAXh

Nf

22

21

(1.14)

El orden fotoelstico N es de gran importancia en fotoelasticidad, pues en

cualquier punto el esfuerzo cortante mximo ( MAX ) es directamente proporcional

al orden fotoelstico N. Los ordenes fotoelsticos se clasifican segn el orden de

aparicin en el modelo de anlisis, siendo el orden N=0el primero en aparecer,

posteriormente emergen los ordenes N=1, N=2, N=3, N=4N=k. conforme se

aumenta la carga al espcimen

1.2Patrones de esfuerzo a flexin pura

Para convertir los patrones fotoelsticos obtenidos a valores de esfuerzo cortante

mximo o de diferencia de esfuerzos principales, debe determinarse

experimentalmente el coeficiente fotoelstico del material ( f ). El mtodo ms

adecuado para la obtener el valor de la constante es emplear una probeta en

forma de viga simplemente apoyada en flexin pura del mismo material en estudio

dentro de su intervalo de respuesta de deformacin elstica. Esta viga al ser

cargada en puntos intermedios situados generalmente a distancias de de la

longitud genera un esfuerzo flexionante constante en el tercio central. La carga es

aplicada y un cierto tiempo despus el patrn fotoelstico generado es

fotografiado. Posteriormente se determinan las posiciones de los rdenes enteros

y se estiman los esfuerzos por medio de la teora de flexin.

De la teora de elasticidad se sabe que en una probeta sometida a flexin pura, el

esfuerzo en un punto situado a una distancia ydel eje neutro de la probeta (Figura1) est dado por la Ec. (1.15):

I

yMx

, 0y , 0xy , (1.15)


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Donde Me Ison el momento flexionante y el momento de inercia de la seccin

transversal, respectivamente, yes la distancia desde el eje neutro al punto donde

se presenta un esfuerzo x, que es el esfuerzo principal (Figura 1).

La Figura 1a muestra una probeta sujeta a flexin pura. Cuando se flexiona la

probeta, la porcin superior de la probeta estar sujeta a un esfuerzo de

compresin y la parte inferior a un esfuerzo a tensin. En la parte media de la

probeta se encuentra una zona en la que la transicin entre el esfuerzo de

compresin y tensin se lleva a cabo. Esta zona en la que el esfuerzo es cero, se

llama eje neutro y est localizada en el centro de la probeta.

La Figura 1b muestra la magnitud del momento flexionante en la probeta. LaFigura 1c muestra la distribucin de los esfuerzos en la porcin central de la

probeta.

Entonces, si en un punto qa una distancia ydel eje neutro existe un esfuerzo x

que cause una diferencia de fase de una longitud de onda, entonces en todos los

puntos en la lnea horizontal (lnea AB) que pasa a travs del punto q, estarn

sometidos al mismo esfuerzo y tendrn la misma diferencia de fase formando unabanda oscura (Figura 1c). De manera similar todos los puntos en la lnea CDa una

distancia 2ydel eje longitudinal, tendrn una diferencia de fase igual a dos veces

la longitud de onda. Por lo anterior, el patrn de esfuerzos para un sistema a

flexin pura consiste de bandas horizontales paralelas oscuras y brillantes

equidistantes entre s.

En la Figura 1 se puede observar las bandas en las que las diferencias de

esfuerzo x -y permanecen constantes a una distancia y(lnea AB) y 2y(lnea

CD). La franjas fotoelsticas obtenidas por flexin son simtricas respecto al eje

neutro de la probeta. De tal forma que al generar la deformacin necesaria para la

aparicin de dos franjas, estas aparecern en la parte superior e inferior del eje


27/92



neutro. De esta manera las lneas A-B y C-D estarn sometidas a un esfuerzo de

compresin igual al esfuerzo de tensin en las lneas A-B y C-D (Figura 1).

Figura 1. Esquema de flexin. Diagrama de cuerpo libre (a), diagrama demomentos de flexin (b) y distribucin de esfuerzos (c)[15].

De tal manera que de acuerdo a la Ec. (1.11) podemos decir que una franja

fotoelstica oscura (de extincin) coincide con la trayectoria en la que se localizan

los puntos sometidos a una diferencia de esfuerzos principales constante o con un

esfuerzo cortante mximo constante. De tal manera que la aparicin de las franjas

Diagrama de momentos de flexin

M= pa

a

p p

ppa

Eje neutro

a)

b)

Diagrama de distribucin de esfuerzos

A B

C D

y qc)

2y

Eje neutro

A B

C D

Diagrama de cuerpo libre


28/92



fotoelsticas estn relacionadas directamente con el sistema de esfuerzos

generado en un material por una carga aplicada.

El momento mximo de flexin Mest definido de la siguiente forma:

paM (1.16)

donde, pes la carga empleada en Newtons (N) y aes la distancia entre apoyos

(Figura 1.1). As mismo, el momento de inercia Iest definido como:

12

hh

I

3L

(1.17)

donde h es la altura de la probeta en metros.

Sustituyendo en la Ec. (1.15), con y= h/2, se obtiene:

12

hh

2

ha

2

p

I

Nf3

L

x

(1.18)

Ahora despejandof de la Ec. (1.18) se obtiene:

2

Nh

pa3f

(1.19)

La Ec. (1.19) proporciona el valor de la constante de franja fotoelstica cuando el

orden fotoelstico mximo (N) se encuentra en los bordes de la probeta.


29/92



El situar la franja con el mximo orden fotoelstico en el borde de la probeta es

uno de los mtodos para la calibracin fotoelstica usando una viga a flexin. Un

mtodo alterno es seleccionar una carga constante py medir la distancia yhasta

cada orden fotoelstico Na partir del eje longitudinal neutro de la probeta.

En este caso, la Ec.(1.18) queda expresada de la siguiente forma:

12

hh

ya2

p

I

Nf3

L

x

(1.20)

Despejando f

3Nh

pay6f

(1.21)

La Ec. (1.21) proporciona el valor de la constante de franja fotoelstica (f) cuando

la franja fotoelstica de un orden fotoelstico (N) a cualquier distancia ydesde el

eje neutro de la probeta.Para las Ecs. (1.19) y (1.21), p, es la carga en Newtons, a

es la longitud entre apoyos en metros, hes la altura de la probeta en metros, Nes

el orden fotoelstico yf es el valor de la constante fotoelstica.

1.3Naturaleza y comportamiento de la luz

La luz tiene una naturaleza dual y obedece leyes que pueden explicarse a partir de

una corriente de partculas o paquetes de energa llamados fotones, o a partir de

ondas transversales (movimiento ondulatorio). Hasta la fecha han sido planteadas

varias teoras sobre la naturaleza de la luz. Maxwell demostr con su teora que la

luz est compuesta de fluctuaciones peridicas de un campo electromagntico,


30/92



representado por dos vectores, uno elctrico y otro magntico, perpendiculares

uno del otro y en direccin de la propagacin de la luz.

1.4Luz natural y luz polarizada

La mayora de las fuentes luminosas emiten una luz compuesta de ondas que se

propagan de forma aleatoria, cuyos vectores elctricos no tienen una orientacin

preferencial a este tipo de luz se le conoce como luz natural u ordinaria [2, 3, 5, 9].

En caso contrario, la luz polarizada se define como un conjunto de ondas en las

cuales el vector elctrico muestra una orientacin preferencial que define el eje

ptico del polarizador usado. Es decir cuando las ondas luminosas son forzadas a

vibrar de manera sistemtica en un plano normal a la direccin de propagacin, laforma de polarizacin est determinada por el vector elctrico.

1.4.1 Luz con polarizacin lineal

La luz es polarizada linealmente cuando un grupo de ondas muestran una

orientacin fija al propagarse en el espacio. La luz con polarizacin lineal es

obtenida al forzar al vector de luz a vibrar en una sola direccin llamado plano depolarizacin. Un haz luminoso con polarizacin plana puede ser separada en dos

componentes ortogonales. Estas componentes son conocidas como haz ordinario

y haz extraordinario (Figura 2) [1, 2, 3, 5].

1.4.2 Luz con polarizacin circular

Se dice que la luz es polarizada circularmente cuando el vector elctrico tiene una

magnitud constante y el extremo del vector describe una trayectoria circular

conforme la luz se desplaza a lo largo del eje vibracin (Figura 3) [1, 2, 3, 5, 9].


31/92



Figura 2. Movimiento del vector elctrico en un haz de luz linealmentepolarizado[16].

Figura 3. Movimiento del vector elctrico en un haz de luz polarizadacircularmente [16].

1.5Polariscopio y elementos pticos de polarizacin

El mtodo fotoelstico requiere el uso de un arreglo ptico denominado

polariscopio que permite la manipulacin de un haz de luz polarizado, mostrando

patrones de esfuerzos cuando este se propaga a travs de un modelo sometido a

carga. [1, 2, 4, 6, 7].

Para la obtencin de los patrones de interferencia causados por los esfuerzos, un

polariscopio requiere del uso de dos elementos pticos, el primer elemento ptico

llamado polarizador posee transmitancia selectiva a una determinada direccin de
http://es.wikipedia.org/wiki/Transmitanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Transmitancia


32/92



oscilacin de una onda luminosa. Cuando un haz de luz ordinaria atraviesa dicho

material, la luz saliente (transmitida) queda polarizada. Es decir, el polarizador

absorbe las componentes del vector luminoso que no vibran en direccin de los

ejes del polarizador [1, 2, 4, 6, 8].

El segundo elemento ptico se denomina placas de onda y tienen la capacidad de

dividir un haz de luz incidente en dos componentes ortogonales y aun ms,

haciendo que dichas componentes se propaguen a diferentes velocidades, los

materiales que exhiben esta propiedad se llaman materiales birrefringentes. Las

placas de onda son laminas de material birrefringente, Si la placa de retardo

genera una diferencia de fase de de longitud de onda o /2 radianes, la placa

es llamada placa de retardo de de longitud de onda, cuando la placa de retardogenera un desfase de longitud de onda o radianes entre el haz ordinario y

extraordinario, la placa se denomina como placa de retardo de1/2 longitud onda [1,

2, 5].

1.5.1 ptica del polariscopio lineal

La luz polarizada emergente de un polarizador plano es representada de lasiguiente manera.

K1= a sen(t ) (1.22)

Suponiendo que un plano birrefringente es colocado entre el polarizador y

analizador (Figura 4), con uno de sus ejes formando un ngulo respecto al plano

de vibracin del polarizador, el haz luminoso K1 ingresa al plano de doble

refraccin causando que el haz luminoso K1 se descomponga de la siguiente

manera.


33/92


34/92



Kf= a sen(2) [ (sen(t) cos())/2 +(sen() cos(t) sen(t))/2 ] (1.27b)

Kf= a sen(2) {(sen() cos(t))/2 [(sen(t))(1-cos())]/2} (1.27c)

Kf= a sen(2) sen( /2) [ cos(t) cos(/2) - sen(t) sen( /2)] (1.27d)

Kf= d cos(t +/2) (1.28)

Donde d = a sen(2) sen(/2) es la amplitud del haz de luz que emerge. Una

medida de la intensidad luminosa es dada en la literatura como dos veces el

cuadrado de la amplitud. En el presente caso la intensidad luminosa es:

I = 2 a2sen2(2) sen2(/2) (1.29)

La extincin de la luz se obtiene cuando la intensidad es cero, por lo tanto esta

ocurre cuando se cumple una o ambas de las siguientes condiciones.

= 0, /2, , 3/2,

/2 = 0, , . . . = 0, 2, . . . n(2) donde nes un entero.

1.5.2 ptica del polariscopio circular

Para obtener un haz de luz polarizado circularmente, es necesario que las placas

de retardo a ambos lados del modelo en el esquema del polariscopio sean de

de onda [2, 3, 6, 17-19]. Para esta condicin, el ngulo debe ser igual a /4

como se muestra en la Figura 5.


35/92



Cuando los ejes pticos del polarizador y del analizador estn con los ejes

cruzados, se obtiene un polariscopio circular de campo oscuro. La expresin para

un haz emergiendo de un polarizador circular de campo oscuro es:

K1= a sen(t) (1.30)

Cuando el haz luminoso atraviesa la primera placa de retardo, este se divide en

dos componentes ortogonales K2 y K3 a lo largo de los ejes R y L (eje rpido y

lento), dichas componentes quedan expresadas de la siguiente manera.

K2= a sen(t) cos(/4 ) = (a/ sen(t) =d sen(t) (1.31)

K3= a sen(t) sen(/4 ) =(a/ sen(t) = d sen(t) (1.32)

Estos haces emergen de la placa de onda con un retardo angular de /2, por lo

tanto, las expresiones de los haces luminosos emergiendo de la placa de retardo

quedan de esta forma:

K4=d sen (t + /2) = d cos (t) (1.33)

K5= d sen(t) (1.34)

Donde d = (a/

Las ecuaciones anteriores, son ecuaciones paramtricas de un crculo, lo cual

muestra que la luz posee polarizacin circular. Suponiendo la existencia de un

modelo doble refractante colocado en la trayectoria de la luz, con uno de sus ejes

principales formando un ngulo en la direccin del eje R (eje rpido), la luz con

polarizacin circular es descompuesta en dos componentes K4 y K5 a lo largo de

los ejes principales del modelo birrefringente.


36/92



Figura 5. Modelo fotoelstico sometido a esfuerzos colocado en un polariscopiocircular de campo oscuro.

K6= K4cos() K5sen() =d cos()cos(t) - d sen()sen(t) (1.35)

K7= K4sen() +K4cos() = d sen()cos(t) - d cos()sen(t) (1.36)

Estas ecuaciones matemticas pueden ser expresadas como:

K6= d cos (t+) (1.37)

K7= d sen (t+) (1.38)

El modelo doble refractante provoca un desfase angular generando dos haces

luminosos propagndose a travs del plano, los haces salientes del modelo son:

K8= d cos (t+-) (1.39)

K9= d sen (t+) (1.40)

Eje ptico

1er /4

Polarizador

K3

K6

K7

K1K2

K4 K5

K8K9

K10K11K12

K13

Kf

Plano de doble

refraccin

2do /4

Analizador

Eje ptico


37/92



La segunda placa de cuarto de onda est orientada de forma que sus ejes son

perpendiculares a los ejes correspondientes de la primera placa de retardo.

Las componentes del haz luminoso a lo largo de los ejes principales de la placa de

onda son:

K10= d cos()cos (t+-) +d sen() sen (t+) (1.41)

K11 = -d sen()cos (t+-) +d cos () sen (t+) (1.42)

Las componentes del vector luminoso emergentes de la segunda placa de onda

con una diferencia de fase angular de /2 se expresan como:

K12= d coscos (t+-) +d sensen (t+) (1.43)

K13= d sensen (t+-) +d coscos (t+) (1.44)

Si el analizador es orientado con su plano de vibracin perpendicular al plano de

vibracin del polarizador, el vector de luz saliente del analizado queda expresado

por:

Kf= a sen( /2) sen(t +2-/2 ) (1.45)

Por consiguiente la intensidad luminosa es:

I = 2 a2sen2(/2) (1.46)

Para esta ecuacin solo se tiene una condicin para la extincin [20, 21].

2....,2,0,02

para0 nI

Donde n es un entero que puede tomar valores de 0 a y es conocido comoorden de franja isocromtica.


38/92



De esta manera, los puntos bajo una deformacin relativa a la cual se induce un

retardo igual a un numero entero (n= 1, 2, 3,. . .), forman una franja de extincin

llamada banda isocromtica, que puede ser empleada para encontrar la magnitud

del esfuerzo cortante mximo en un modelo fotoelstico.

Cuando los ejes pticos del polarizador y del analizador estn paralelos, se

obtiene un polariscopio circular de campo claro.

La ecuacin de un haz de luz emergiendo de un polariscopio circular de campo

claro es:

Kf=a cos (/2) cos [(- 2t)/2] (1.47)

la ecuacin para la intensidad.

I = 2 a2cos2(/2) (1.48)

Las condiciones de extincin son ahora [20, 21].

2...,5,3,2

3,

22para0

21 nI

Ahora las franjas de extincin isocromticas coinciden con los rdenes

isocromticos medios y aparecen como franjas oscuras.


39/92



Captulo II. Materiales compuestos

Los materiales compuestos incorporan dos o ms materiales distintos, y estn

diseados para aprovechar las caractersticas favorables de cada material, y al

mismo tiempo eliminar o minimizar las propiedades indeseables de los

componentes, Las tecnologas modernas requieren de materiales innovadores,

con una combinacin inusual de propiedades imposible de conseguir con

materiales convencionales, estas necesidades hacen que las tendencias en el uso

de los diversos tipos de materiales se orienten progresivamente hacia el uso de

materiales compuestos [22, 23].

La mayora de los materiales compuestos se han diseado para mejorar la

combinacin de propiedades mecnicas tales como rigidez, tenacidad y

resistencia a la traccin.

Un material compuesto tpico consiste en una fase de refuerzo (generalmente en

forma de partculas, hebras o fibras) y de una fase continua llamada matriz que

mantiene unidas las partes discretas de refuerzo y les proporciona un soportenatural. Como una regla, los materiales compuestos en los que la fase discontinua

est formada por fibras, el esfuerzo de fractura de las fibras excede

considerablemente al esfuerzo de fractura de la matriz y por consiguiente tales

materiales son conocidos como materiales compuestos fibro-reforzados [4, 16,17].

2.1Interfase fibra/matriz

Gran parte de las propiedades mecnicas de los materiales polimricos reforzados

son influenciadas por parmetros ligados a la interaccin entre la matriz y la fase

de refuerzo. La interfase es la regin localizada entre la superficie de la fibra y la

matriz, la cual posee composicin y estructura propia como consecuencia de la


40/92



combinacin de propiedades fsicas mecnicas y qumicas de los materiales

constituyentes [21].

Las interfaces determinan en gran magnitud, la variedad de propiedades que un

material compuesto posee. El trmino de interfase es considerado en la literatura

en dos niveles. Primero a nivel molecular, se estudia la qumica y la fsica

molecular y en segundo lugar, la adherencia, incluyendo los aspectos tales como

la naturaleza y la densidad superficial de los enlaces de adhesin, la distribucin

de energa de estos enlaces, los rangos de accin, etc.

Desde el punto de vista de diseo, uno de los principales problemas es generar

una interface que permita la transferencia de carga por medio de un esfuerzocortante interfacial de una manera ms eficiente, que sin lugar a dudas es el

parmetro de diseo ms importante a nivel microscpico [17].

2.2Pruebas micromecnicas

Con la finalidad de obtener los parmetros de interaccin interfacial entre fibras y

matrices se han desarrollado una variedad extensa de ensayos micromecnicos.

Solo pueden considerarse como pruebas micromecnicas al grupo de ensayos en

los que los especmenes estudiados poseen una sola fibra en su estructura.

La pruebas micromecnicas suelen clasificarse en dos grupos. Al primer grupo

pertenecen la pruebas donde la carga externa directamente aplicada a la fibra

(Figura 6); dentro de este conjunto podemos destacar la prueba de extraccin de

una fibra a tensin (pull-out) [10] (Figura 6a) y sus variaciones, como la prueba de

microgota (Figura 6b) y la prueba de extraccin de una fibra a compresin (Push-

out) (Figura 6c).


41/92



El segundo grupo de ensayos lo conforman pruebas donde la carga es aplicada a

la matriz del material compuesto (Figura 7). A este tipo pruebas pertenece la

prueba de fragmentacin [11] (Figura 7a) y la prueba de Broutman [12] (Figura 7b)

Figura 6. Ensayos micromecnicos en los que la carga es aplicada directamentesobre la fibra: Pull-out (a), microgota (b) y push-out (c) [15].

.

Han surgido extensas discusiones relacionadas a la aplicacin del mtodo

micromecnico apropiado que permita la obtencin de las caractersticas de la

interfase en un material compuesto.

Es conveniente decir, que el mtodo correcto para caracterizar una interface es

aquel que experimenta una distribucin de esfuerzos similar a la de material

compuesto real.

Por lo tanto, para los materiales compuestos con matrices dctiles y fibras frgiles,la prueba de fragmentacin sera el mtodo idneo de anlisis. En caso contrario,

para los compuestos formulados en base a matrices frgiles que fallan a travs de

mltiples fracturas (con fibras de refuerzo uniendo una fractura) la prueba de Pull-

outes la ms adecuada.

F

L

a) b)

c)

Matriz

Fibra So orte

FF

L L


42/92



Figura 7. Pruebas micromecnicas en las que la carga es aplicada sobre lamatriz: fragmentacin (a) y prueba de Broutman (b) [15].

2.3Modelo de transferencia de esfuerzo cortante (Modelo Shear-lag)

Para la obtencin de materiales compuestos con buenas propiedades, es

indispensable hacer nfasis especial en uno de los factores ms influyentes en la

concepcin de materiales compuestos como lo es el proceso de refuerzo [18, 19,

20].

Las complejas interacciones entre la fase matriz y las fibras no son del todoentendidas, el modelo de transferencia del esfuerzo cortante interfacial shear-lag,

es el primer estudio que intenta explicar el proceso de refuerzo de las fibras y est

basado puramente en interacciones elsticas [13, 14, 18, 19].

La eficacia en la transferencia de fuerzas en un material compuesto, depende en

gran medida de la naturaleza y propiedades de fibras y matrices, como tambin de

la calidad de la interfase formada entre ambas [18,19, 21].

El proceso de refuerzo y las interacciones entre fibra/matriz, pueden ser

estudiadas suponiendo que la transferencia de carga se genera mediante fuerzas

a cortante y depende de las transferencia elstica de fuerzas y del nivel de

adherencia [18, 19].

(a) (b)

Matriz

Fibra


43/92



En la Figura 8a presenta un modelo de material compuesto formado por un

segmento de una fibra embebida en una matriz. Inicialmente el modelo se

encuentra libre de esfuerzos, por lo tanto la deformacin es nula, como resultado

podemos visualizar que las lneas de permanecen rectas.

Cuando inducimos un esfuerzo 1 al modelo en direccin paralela a la fibra, la

matriz se dilata en la direccin del esfuerzo (Figura 8b). Y al mismo tiempo

transfiere una cantidad de esfuerzo f a la fibra a travs la interfase, generando

una elongacin en la fibra producto de la transferencia del esfuerzo. Ahora las

lneas de referencia mostradas en La Figura 8b sufren distorsiones mostrando los

perfiles de elongacin a los cuales tanto la fibra como a la matriz circundante

estn sometidas.

Finalmente, la Figura 8c, exhibe las distorsiones producidas por la transferencia

del esfuerzo en un elemento diferencial de la fibra.

En este esquema se puede observar como las elongaciones sufridas en la matriz

por efecto del esfuerzo 1 son transmitidas a travs de un esfuerzo cortante

que aminora su intensidad hasta la superficie de la fibra. El esfuerzo cortante i

en la superficie de la fibra ocasiona que el elemento diferencial de la fibra se dilate

al ser sometido a un esfuerzo f + fd .


44/92



Figura 8. Esquema del modelo de Shear-lag, (a) modelo libre de fuerzas, (b)desplazamiento axial uR inducido al aplicar un esfuerzo de tensin paralelo a la

fibra y (c) la variacin radial del esfuerzo cortante y la deformacin en la matriz[15].

2.3.1 Distribuciones del esfuerzo y de la deformacin

De acuerdo a la Figura 8cel esfuerzo interfacial de corte en el interior de la

matriz a una distancia xa lo largo de la fibra es obtenido por medio de un balance

de fuerzas de corte que actan sobre las vecindades de un nulo con radios r1 y r2

en una longitud dx.

dxrdxr2211

22 (2.1)

1

2

2

1

r

r

(2.2)

a) b)

c)


45/92



Por lo tanto, el esfuerzo de corte en la matriz a cualquier radio desde el

centro de la fibra (Figura 8c) est relacionado con el esfuerzo cortante interfacial

entre la fibra y la matriz i de la siguiente forma:

ri (2.3)

Donde es el esfuerzo cortante en la matriz, es un radio a partir del centro de

la fibra y i es el esfuerzo cortante interfacial.

Las deformaciones generadas alrededor de la fibra pueden ser definidas en

trminos de las elongaciones ude la matriz en la direccin xrespecto a la posicin

en la que se encontraban cuando estaban libres de esfuerzos (Figura 8). El

incremento de la elongacin ,du hacia el seno de la matriz desde el centro de la

fibra est determinado por la deformacin de corte , de tal manera que:

r

GGd

du

m

i

m (2.4)

Donde d es la variacin de la distancia radial desde el centro de la fibra, du es

la variacin de la elongacin de la matriz, r es el radio de la fibra, es la

deformacin de corte, es el esfuerzo cortante en la matriz y Gm es el mdulo a

cortante de la matriz definido por:

m

mE

mG

12(2.5)


46/92



Donde Emes el mdulo de elstico de la matriz, y m es la relacin de Poisson de

la matriz.

La relacin entre la deformacin transversal y la longitudinal de define como

relacin de Poisson. Por lo tanto, para evaluar este parmetro es necesario medir

la variacin de longitud y la anchura de las probetas durante el ensayo.

Para cualquier valor de x, la diferencia entre el desplazamiento de la matriz a un

radio R y el desplazamiento que se ejerce en la interfase, puede ser definido

integrando la Ec. (2.4):

R

r

u

u

R

rm

id

G

rdu

, (2.6)

donde Ru es la elongacin a un radio R desde el centro de la fibra, ru es la

elongacin sobre la superficie de la fibra y res el radio de la fibra.

Realizando la integracin:

r

R

mG

ri

ru

Ru ln

(2.7)

Se asume que la deformacin en la matriz tiene un comportamiento lineal desde

las vecindades de la fibra hasta una posicin remota en la matriz. El radio Rest

localizado en una posicin remota donde el patrn de deformaciones es constante.

En un material compuesto con un cierto arreglo en las fibras, el valor apropiado de

(R/r) depende de la proximidad de las fibras vecinas y por consiguiente de la

fraccin volumtrica de fibra f. La relacin exacta entre (R/r) y f depende del

arreglo de las fibras, sin embargo, la relacin (R/r) en el resultado final tiene una

forma logartmica, lo que lo hace poco sensible al tipo de arreglo en las fibras.


47/92



Para un arreglo hexagonal, la fraccin volumtrica fest definida de la siguiente

forma.

32r

2

RRf

(2.8)

Reordenando:

ffr

R 1

32

2

(2.8b)

La distribucin de los esfuerzos de tensin en la fibra f , pueden definirse en

funcin del esfuerzo cortante interfacial tomando como base el balance de fuerzas

que actan sobre un elemento diferencial dxde la fibra (Figura 8c):

fidrrdx 22 (2.9)

rdx

dif

2 , (2.9b)

donde f es el esfuerzo a tensin en la fibra, xes la direccin en la que la fibra se

est elongando, i es el esfuerzo cortante generado en la interfase fibra-matriz y r

es el radio de la fibra.

La variacin del esfuerzo cortante interfacial i a lo largo de la longitud de la fibra

xes desconocida pero usando la Ec. (2.7) es posible relacionar las elongaciones

en la matriz con las deformaciones en la fibra en direccin axial asumiendo que no

existen deformaciones de corte y que la adhesin interfacial es perfecta de tal

forma que las elongaciones en la superficie de la fibra sean iguales a las de la

matriz circundante (ur= uf).


48/92



Sustituyendo las Ecs.2.5), (2.6) y (2.7) en la Ec. (2.9b) se tiene que:

f

r

uuE

dx

d

m

fRmf

1ln1

2

2

, (2.10)

donde uR y ur son las elongaciones en la matriz a dos radios diferentes desde el

centro de la fibra, Em es el mdulo de elstico de la matriz, f es el esfuerzo a

tensin en la fibra, m es la relacin de Poisson de la matriz y f es la fraccin

volumtrica de la fibra en el material compuesto.

La deformacin en la zona elstica de la fibra es:

f

f

f

f

Edx

du , (2.11)

donde uf es la elongacin en la fibra, f es la deformacin en la fibra, f es el

esfuerzo sobre la fibra y Efes el mdulo elstico de la fibra.

Para el anlisis de la matriz, si se considera que la elongacin diferencial uR se

produce en un campo lejano a la fibra, se puede asumir que la deformacin de la

matriz es casi igual a la deformacin total del material compuesto 1 . As se tiene

entonces que:

1

m

R

dx

du, (2.12)

donde uRes la elongacin en la matriz a una distancia Rdel centro de la fibra, m

es la deformacin en la matriz y 1 es la deformacin en el material compuesto.


49/92



Finalmente, la distribucin de esfuerzos a lo largo de la fibra puede ser

determinada diferenciando la Ec. (2.10) y sustituyendo en esta las Ecs. (2.11) y

(2.12) (Figura 9).

12

2

2

2

ff

f

Er

n

dx

d , (2.13)

donde el parmetro n est definido de la siguiente manera:

21

1ln1

2

fE

En

mf

m

(2.14)

La Ec. (2.13) es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden cuya solucin es

la siguiente:

rnxD

rnxBE

ffcoshsenh

1 (2.15)

Aplicando las siguientes condiciones de frontera: f = 0cuando x= L y x = - L

(Figura 9) donde L es la mitad de la longitud total embebida de la fibra y definiendo

la relacin de aspecto como L/r = s se tiene la siguiente solucin para la Ec.

(2.15).

ns

rnxEff sechcosh11 , (2.16)

donde Ef es el mdulo elstico de la fibra, 1 es la deformacin en el material

compuesto, n es el parmetro definido en la Ec. (2.14) y s es la relacin de


50/92



aspecto. La distribucin del esfuerzo cortante interfacial a lo largo de la fibra se

obtiene diferenciando la Ec. (2.16) segn la Ec. (2.9b) y [19].

nsrnx

E

nfi sechsenh2

1

(2.17)

La Figura 9 muestra el comportamiento del esfuerzo cortante interfacial i y del

esfuerzo sobre la fibra embebida f empleando las Ecs.(2.16) y (2.17), en un

modelo de material compuesto formado por una fibra embebida en una matriz.

2.3.2 Transferencia de esfuerzo entre fibra-matriz

Las Ecs. (2.16) y (2.17) permiten hacer predicciones sobre la distribucin de los

esfuerzos a lo largo de una fibra cuya longitud embebida es 2L. Un ejemplo se

presenta en la Figura 10 en ella se muestran las variaciones del esfuerzo en la

fibra y el esfuerzo cortante interfacial a lo largo de la longitud embebida de la fibra

en un material compuesto.

Las curvas de la Figura 10 corresponden a dos relaciones de aspecto diferentes

para un material compuesto modelo sujeto a un esfuerzo de tensin paralelo a lafibra. El esfuerzo a tensin es cero en los extremos de la fibra y mximo en el

centro de la misma.

Por otro lado, el esfuerzo cortante interfacial es cero en el centro y alcanza su

valor mximo en los extremos.


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Figura 9. Distribucin de esfuerzo cortante interfacial y del esfuerzo a lo largo de

una fibra embebida en una matriz considerando una transferencia de esfuerzototalmente elstica [15].

Para el caso de una relacin de aspecto s = 50, la longitud de la fibra es lo

suficientemente larga para que la transmisin del esfuerzo cortante produzca una

deformacin igual a la que presenta el material compuesto.

Este comportamiento lleva al concepto de longitud crtica de transferencia de

esfuerzo cortante entre la fibra y la matriz. Este concepto sostiene que la longitudde la fibra debe ser lo suficientemente larga para permitir una transferencia de

esfuerzo de tal forma que la deformacin en la fibra sea igual a la del material

compuesto, siempre y cuando el sistema se mantenga en la regin elstica y no

se presente una falla interfacial.

La longitud crtica depende entonces del mdulo elstico de la fibra, del mdulo

elstico de la matriz y de la calidad de la interfase. Para la relacin de aspecto

baja (s= 5 Figura 10), la longitud de la fibra no es lo suficientemente larga como

para que el esfuerzo cortante interfacial transfiera el esfuerzo necesario para que

la deformacin en la fibra y en el material compuesto sean iguales.

L


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Figura 10. Distribucin del esfuerzo a tensin en la fibra (a) y del esfuerzocortante interfacial (b) para dos relaciones de aspecto L/r = s de una fibra

embebida en una matriz [15].

s=50s=5

Distancia desde el centro de la fibra, L/(rs)

i

0

0

-1 1

f

0

Distancia desde el centro de la fibra, L/(rs)

-1 1

s=50

s=5


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Captulo III. Metodologa

3.1Material, equipo y reactivos

En la Tabla 1 y 2 se indican los materiales que se utilizaron en esta investigacin.

Tabla 1.Materiales y reactivos empleados en el proyecto.

NombreContenido del grupo

epxico(mmol/kg)

Porcentaje

del grupo

epxico

Viscosidad

a 25 C(

mPa.s)

Densidad a

25 C (g/ml)

Resina epxica ROYAPOX 511distribuida por Royal Diamond

5100 a 5600 22.4 a 23.64000 +-

10001.15 +- 0.01

NombreContenido de

amina(mgKOH/g)Viscosidad a 25 C(cP)

Densidad a

25 C(g/ml)

Agente entrecruzante

ENDURECEDOR 511 distribuido por

Royal Diamond

620 250+- 100 0.95+-0.02

Nombre Dimetro de la fibra (mm)

Fibra de polister marca distribuida

por Tenex1.36 a 1.40

Tabla 2. Materiales y equipos utilizados para la preparacin de la resina epxica.

Material Equipo

Pelcula desmoldante Balanza electrnica Ohaus Scout Pro

Placa de vidrio(29 cm x 51 cm) Maquina de pruebas universales tipo INSTRON 3384

Pelcula de polister(35 cm x 25 cm)

Vasos de polietileno(16 Oz)

Agitadores de madera


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3.2Resina epoxica y agente de entrecruzamiento

El mtodo utilizado para el anlisis del esfuerzo cortante interfacial en un modelo

de fibra simple, es la tcnica experimental denominada fotoelasticidad

(fotoesfuerzo).

La matriz polimrica empleada para esta finalidad debe poseer una respuesta

fotoelstica adecuada, debido a lo anterior se opt por utilizar una resina epxica

de nombre comercial ROYAPOX 511 y un agente entrecruzante llamado

ENDURECEDOR 511, ambos productos distribuidos por Royal Diamond. El

proceso de curado de las probetas se efectu en condiciones ambientales con un

tiempo de curado de 48 hrs.

El proveedor del agente de entrecruzamiento y la resina epxica proporcion la

relacin ptima que corresponde a 100 g de resina epxica y 50 g de

entrecruzante, relacin que result ser no adecuada para los fines de la

investigacin, debido a lo cual se decidi aumentar la cantidad de entrecruzante

en la mezcla para generar un resina ms plastificada.

Para preparar la resina epxica iniciamos pesando 100 g de resina en un vaso de

polietileno, posteriormente se agregan 75 g de agente de entrecruzamiento y se

agita la mezcla durante al menos 5 min, finalmente se vierte la resina en el molde.

3.3Anlisis mecnico de la resina

Con el propsito de realizar la calibracin mecnica de la resina se dise un

proceso metodolgico para la obtencin de las probetas para el anlisis. Este

procedimiento inicia con la fabricacin de moldes (ver Anexo B) de nylon (nombre

comercial Nylamid), cuyas proporciones y geometra se muestran en la Figura 11.


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Previo a proceder al llenado del molde con la resina epxica, debe aplicarse una

capa de pelcula desmoldante al recipiente de Nylon para extraer la probeta al

trmino del perodo de curado.

Teniendo como finalidad la obtencin de una probeta con espesor constante, debenivelarse una placa de vidrio de 29 cm de ancho y 51 cm de largo, sobre la cual

fue adherida una pelcula de polister y sobre esta fue colocado el molde de Nylon

con desmoldante.

El espacio central del molde fue llenado con resina epxica preparada segn las

especificaciones mencionadas en la seccin 3.2 (100 g resina/75 g de agente

entrecruzante) hasta lograr un espesor de 1.2 cm.

Figura 11. Dimensiones del molde para la elaboracin de la placa de resinaepoxica.

Posteriormente, se deja curar a la mezcla a temperatura ambiente por un periodo

de 48 h. Al final de ste lapso, la placa de resina fue desmoldada y sometida a un

proceso de troquelado para generar las probetas.

19cm

30 cm

14cm

25 cm

2 cm


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Finalmente las probetas fueron sometidas a un proceso de pulido con una lija de

agua calibre 2000 para proporcionar el acabado final.

Las pruebas se efectuaron en una mquina de pruebas universales INSTRON

modelo 3384, a una velocidad de 5 mm/min empleando una celda de carga de 15

kN.

3.3.1 Calibracin fotoelstica de la resina

Para la calibracin fotoelstica de la resina fue obtenida una placa plana de 1.2 cm

de espesor con el mismo mtodo empleado en la seccin 3.2. Las probetas

fueron cortadas en una sierra de disco de diamante, obteniendo especmenes de1.0 cm de altura, 10 cm de largo y con un espesor de 10 mm. Posteriormente,

cada probeta fue rectificada con una pulidora empleando una lija calibre 2000. La

tolerancia de las probetas terminadas fue de 1mm, siendo de vital importancia

que cada una est perfectamente escuadrada.

El procedimiento para la calibracin fotoelstica de la resina fue el siguiente: Las

probetas fueron colocadas en un marco de carga de flexin (Figura12) acoplado a

la mquina de pruebas universales INSTRON 3384. Se aument la carga hasta la

aparicin de una banda oscura en el centro de la probeta. Esta banda oscura es el

orden fotoelstico cero (N = 0), lo que indica que se alcanz la deformacin

suficiente para la aparicin del primer orden fotoelstico. En este punto el orden

fotoelstico uno (N= 1) se situ en los bordes exteriores de la probeta [4].

El orden fotoelstico uno (N=1) es difcil de situar sobre las orillas de la probeta,

por lo que fue necesario ejercer una carga mayor, que hace que el orden N= 1 se

desplace desde las orillas de la probeta hacia el centro de esta pudiendo ahora

localizar la franja isocromtica de manera exacta sobre la cara de la probeta.

La imagen del patrn fotoelstico anterior fue tomada unos instantes despus de

haber cargado la probeta registrando la carga aplicada.


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Figura 12. Marco de carga para flexin empleado para calibracin fotoelastica dela resina epxica [15].

El segundo orden (N = 2), se obtiene ejerciendo cargas superiores a las

empleadas para el orden N= 1, que en consecuencia migra ms hacia el centro

de la probeta hasta que se observa la aparicin de una nueva franja isocromtica

en la orilla de la probeta (orden fotoelstico N= 2). La carga fue incrementadahasta que el nuevo orden fotoelstico N = 2se ubic en la misma posicin que

inicialmente ocupaba el orden N= 1, registrando la imagen y la carga del nuevo

patrn fotoelstico unos segundos despus de aplicada la carga. Las imgenes de

los patrones fotoelsticos de orden superior fueron obtenidas con el mismo

procedimiento procurando no sobrepasar el lmite elstico del material. Se calcula

el esfuerzo de flexin correspondiente a la carga empleando la Ec. (1.19) o la Ec.

(1.21), graficado contra el orden de franja en un punto especfico. Posteriormente,

se midi la pendiente a una lnea recta que se ajust a los puntos obtenidos. La

pendiente de la lnea recta es el valor de la constante fotoelstica del material fen

Newtons por metro.

aProbeta

Puente fijo


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3.4Caracterizacin mecnica de la fibra de polister

Para este ensayo se elaboraron dos grupos de 4 probetas, la Figura 13 muestra el

esquema de las pruebas a tensin efectuadas a las fibras de polister.

Para realizar el anlisis mecnico de la fibra polister, se ejecutaron un conjunto

pruebas a tensin segn la norma ASTM D 2343-67 en una mquina de pruebas

universales INSTRON modelo 3384, la velocidad empleada para este ensayo fue

15 mm/min usando una celda de carga de 15 kN, la longitud de los especmenes

fue de 150 mm, la distancia localizada entre las mordazas fue de 50 mm.

3.5Arreglo del polariscopio

Se utiliz un banco fotoelstico lineal de campo oscuro compuesto de dos

elementos pticos, un marco de carga y una fuente de luz blanca alineados como

se muestra en la Figura 13.

La ubicacin de los ejes pticos de los elementos polarizadores en el polariscopio

fue la siguiente. El eje de ptico del primer polarizador est desfasado 90

respecto al plano de vibracin del segundo elemento de polarizacin (analizador)

[1-3]. La distancia entre el frente de la lmpara al primer polarizador fue de 15 cm,

el espacio localizado entre el primer y el segundo elemento ptico fue de 80 cm.

Finalmente el lente de la cmara se ubic a 3 cm del analizador. La fuente de luz

debe encenderse de 15 a 20 minutos antes de las pruebas para que alcancen su

mxima intensidad.


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Figura 13. Esquema de pruebas a tensin para las fibras en la mquina depruebas universales INSTRON 3384[15].

Figura 14. Disposicin del banco de polarizacin lineal de campo oscuro conmarco de carga.

Cmara

1 er PolarizadorAnalizador

Carga

Difusor

Fuente

Luminosa

Base fija

Cabezal mvil

FibraMordazas


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3.5.1 Calibracin del polariscopio

El procedimiento para la calibracin del polariscopio fue el siguiente [1]: El primer

paso fue colocar el primer polarizador y el analizador en el banco de polarizacin

con la lmpara ya encendida, para as obtener la extincin del haz de luz

propagndose en el polariscopio. Esto se logra fijando el polarizador y rotando el

analizador, hasta que la luz sea extinguida y se observe un campo oscuro como

respuesta en el analizador. Con esto, se asegura que los ejes pticos del

polarizador y el analizador estn cruzados.

El segundo paso fue localizar las direcciones de los ejes pticos del polarizador y

del analizador. Esto se puede hacer examinando un disco de un materialfotoelstico sometido a una carga especfica. Se coloca el disco y se aplica una

carga de compresin a lo largo del dimetro, asegurndose de que la carga est

orientada verticalmente.

Posteriormente, tanto el polarizador como el analizador fueron rotados

manteniendo los ejes pticos de ambos cruzados, hasta lograr la aparicin de una

franja de extincin (isoclina) a lo largo del eje de simetra del modelo. En este

punto la direccin de los ejes pticos del polarizador y del analizador son

conocidos, ya que uno de ellos (polarizador) est alineado en direccin paralela

con la carga aplicada verticalmente, quedando el eje ptico del analizador en

direccin perpendicular. La configuracin del polariscopio hasta este punto

corresponde a una polarizacin lineal de campo oscuro.

Si se desea cambiar la configuracin del polariscopio de campo oscuro a campo

claro, solo se debe rotar ya sea el polarizador o el analizador un ngulo de 90.

Mediante esta rotacin los ejes pticos del polarizador y del analizador estn

paralelos. La configuracin de campo oscuro permite obtener valores enteros de

los rdenes de franja isocromtica y con la configuracin de campo claro se


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obtienen lneas de extincin correspondientes a los rdenes medios de las franjas

isocromticas.

3.6Elaboracin del modelo de fibra simple

Al marco rectangular esquematizado en la Figura 11, le fue aplicado una capa de

pelcula desmoldante, acto seguido el molde fue situado sobre una pelcula de

polister adherida a un vidrio nivelado, procedindose despus al llenado de la

cavidad central con la resina epxica preparada con la metodologa mencionada

en la seccin 3.2 hasta lograr un espesor de 0.6 cm, seguidamente se deja curar

la resina por espacio de 5 h, en este punto la resina epxica posee la densidad y

viscosidad suficiente para sostener sobre su superficie las fibras de polisterempleadas en el modelo, la longitud de cada fibra es 1.5 cm. posteriormente se

aplica una segunda capa de resina hasta lograr de

tesis_analisis de transfer en cia de esfuerzo en modelo de fibra simple usando fotomecanica

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