1.3 LA GEOMETRIA DE LAS OPERACIONES VECTORIALES.

Representacin geomtrica del producto por escalar.

La multiplicacin de un vector por un escalar

.

Figura No 1.5

Si el vector conserva su direccin; si el vector obtenido tiene la direccin contraria.

Representacin geomtrica de la suma y la resta de vectores.

Para vectores posicin la suma es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados estn conformados por los vectores y. La resta o es el vector representado por la otra diagonal (al hacer el punto final del vector es y el inicial, por eso la flecha, si fuera el punto final sera el de y el vector tendra la direccin opuesta)

Figura No 1.6

1.4 OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES.

Multiplicacin y divisin de un vector por un escalar.

El producto de un vector A y un escalar a, que da aA, se define como un vector con magnitud aA. El sentido de aA es el mismo que A siempre que a sea positivo, y es opuesto a A si a es negativo. En particular, el negativo de un vector se forma multiplicando el vector por un escalar (-1)La divisin de un vector entre un escalar se puede definir usando las leyes de la multiplicacin, ya que A/a= (1/a), a0.

Suma de vectores

Dos vectores A y B, tal como los de fuerza o posicin, figura 1.7a, pueden sumarse para formar un vector resultante R= A + B, usando la ley del paralelogramo. Para hacer esto, A y B se unen en sus colas, figura 1.7b. Se trazan lneas desde la cabeza de cada vector cortndose en un punto comn, formando as los lados adyacentes de un paralelogramo. Como se muestra, la resultante R es la diagonal del paralelogramo, la cual se extiende desde las colas de A y B hasta la interseccin de las lneas.Tambin podemos sumar A y B usando una construccin triangular, un caso especial de la ley del paralelogramo, en donde el vector B se suma al vector A en forma de cabeza de cola, esto es, conectado la cabeza de A a la cola de B, figura 1.7c. La resultante R se extiende desde la cola de A hasta la cabeza de B. De manera similar, R tambin puede ser obtenida sumando A y B, figura 1.7d. Por comparacin, se ve que la suma vectorial es conmutativa; en otras palabras, los vectores pueden sumarse en cualquier orden, es decir:R= A + B = B + A.

BComo un caso especial, si los 2 vectores A y B son colineales, es decir, si ambos tienen la misma lnea de accin, la ley del paralelogramo se reduce a una suma algebraica o suma escalar R= A + B, como se muestra en la figura 1.7

A

R=A + BAR=A + BR=A + BA

(c)BAB

(d)(b) Ley del paralelogramo(a)B

Figura No 1.6. Suma vectorial.

R

BA

Figura No 1.7 Suma de vectores colineales.

Resta de vectores: La diferencia entre 2 vectores A y B, del mismo tipo puede ser expresada como: R = A - B = A + (- B)

- BEsta suma vectorial se muestra grficamente en la figura 1.8. Dado que la resta se define como un caso especial de la suma, las reglas de la suma vectorial tambin se aplican a la resta vectorial.

A

RA R

AB

Ley del paralelogramoConstruccin triangular.- B

Figura 1.8 Resta vectorial.

Respecto a la suma y resta de vectores en los vectores resultantes son igual que l para la diagonal. Principal del paralelogramo para la suma y la otra diagonal con las mismas observaciones para la resta como podemos ver en la siguiente figura.

Figura No 1.9

1.5 DESCOMPOSICION VECTORIAL EN 3 DIMENSIONES

La tcnica de bifurcacin de un vector en sus componentes en las tres dimensiones es denominada descomposicin de vectores en tres dimensiones.Estos componentes actan en sus respectivas direcciones.El componente-Xes el componente en el eje X, y el componente-Y es el componente a lo largo del eje Y, y el componente-Z es el componente en el eje z.La nocin de suma vectorial y la descomposicin del vector estn ligadas una con la otra.De acuerdo con la ley del tringulo del vector, Si dos lados de un tringulo son representados por dos vectores continuos y, entonces el tercer lado del tringulo que est en la direccin opuesta es el resultante de los dos vectores.Inversamente, puede afirmarse que un vector puede ser representado como la suma de otros dos vectores.O ms en general, podemos concluir que un vector puede ser considerado como el equivalente de la sumatoria de dos vectores.Esta idea fue la base de la descomposicin de vectores.Por encima se muestran los fundamentos de los vectores del sistema de coordenadas Cartesiano.Estos son vectores perpendiculares entre s, cada uno en una direccin de los tres espacios dimensionales.

Sea construya el ngulo, y con el eje x, y e z respectivamente. = Entonces podemos escribir,Px = P cos (0x ) cos (0x) = Px/ P = APy = P cos (0y ) cos (0y) = Py/ P = BPz = P cos (0z ) cos (0y) = Pz/ P = C = + + O,P = Px+ Py+ PzCon la ayuda de la geometra plana se puede demostrar que,P2 = Px2 + Py2 + Pz2O,

Esto es igual a la magnitud de P. cos (0x), cos (0y) y cos (0y) nos dan la direccin P en el espacio, por lo cual estas se conocen como cosenos deDireccin. P. cos2 (0x) + cos2 (0y) + cos2 (0y) = [Px/ P]2 + [Py/ P]2 + [Pz/ P]2 = Px2+ Py2+ Pz2/ P2 = P2 / P2 = 1os2 (0x) + cos2 (0y) + cos2 (0y) = 1A2 + B2 + C2 = 1Un ejemplo ilustrativo sera de mucha ayuda,

Escriba los cosenos direccionales de = 2i - 3j - k

Sea = ax + ay + az

ax = 2ay = 3az = 1Y conocemos que, a = =

= Por tanto, cos (0x) = ax/ a = 2/cos (0y) = ay/ a = 3/cos (0y) = az/ a = 1/El vector de descomposicin es un concepto fundamental por dos razones.Primeramente, nos ayuda a determinar la consecuencia de alguna cantidad fsica en una direccin determinada y en segundo lugar, constituye la base del anlisis algebraico de un vector debido a que nos ayuda en la representacin de un vector en trminos de tres vectores que actan en los tres ejes de un sistema de coordenadas Cartesianas.De manera similar un vector tambin puede ser descompuesto en dos dimensiones, lo que se denomina descomposicin planar.