11.2.1. definiciones básicas -...

751Und. 11 – Lógica Matemática

La rapidez de los cálculos matemáticos de unacalculadora y la sencillez con que arrojan losresultados, (gracias a un lenguaje de programa-ción), han facilitado el trabajo de estudiantes yprofesionales.

En muchas actividades las calculadoras permi-ten optimizar nuestra labor, concentrándonosmás en la lógica de nuestros razonamientos queen el cálculo.

11.2.1. Definiciones básicas

11.2.1A. Enunciado abiertoEs el tipo de enunciado en el que se hace referencia a un objeto sin precisar su valor o condición.

Ejemplo.- Son enunciados abiertos:

a) « Las rosas del jardín ».

b) « La hipotenusa del triángulo es menor que 10 m ».

c) «x < 5 »

Estos tres ejemplos tienen una característica común: no se puede precisar su valor de verdad. Así, en (a)no se sabe qué se afirma de las rosas, en (b) no sabemos la medida de la hipotenusa para concluir quees verdadero o falso, y en (c) no conocemos el valor de «x » para establecer el valor de verdad de laexpresión dada.

11.2.1B. Función proposicionalEs un enunciado abierto en el que se hace referencia a la cualidad, característica o valor, de un objeto,que no se conoce y que se representa por una variable.

Sea «A » un conjunto dado. Una función proposicional, o función lógica, de variable «x », definidasobre «A » es una expresión que se denota por:

p (x)

que tiene la propiedad de que p(a ) es verdadera o falsa para todo a A.

En otras palabras, p(x ) es una función proposicional sobre «A » si p(x ) se convierte en una proposiciónal sustituir la variable «x » por un elemento a A.

753752 Aritmética Und. 11 – Lógica Matemática

Ejemplos.- Traduzcamos, al lenguaje verbal, las siguientes expresiones simbólicas:

a) 3 7x x

Para todo número «x », perteneciente al conjunto de los números naturales, se cumple que si se leagrega 3 es mayor o igual que 7.

b) ( 1) es un número imparx x

Para todo número «x », perteneciente al conjunto de los números enteros, se cumple que si se le agrega1 es un número impar.

c) 7 es un número enteroxxx

Para todo número «x », perteneciente al conjunto de los números racionales, se cumple que si se ledisminuye 7 y se le divide entre sí mismo es un número entero.

d) 0x x

Para todo número «x », perteneciente al conjunto de los números reales, se cumple que su raíz cuadra-da es un número positivo.

11.2.2C. Cuantificador existencialEs el tipo de cuantificador que se utiliza para referir que la variable de la función proposicional puedeasumir al menos uno de los valores de un conjunto dado.

El cuantificador existencial se simboliza con , que se lee: « existe al menos un» o « existe algún».

Esquema: ( )x A p x , se lee « Existe un x que pertenece a A que cumple p(x ) ».

Ejemplos.- Traduzcamos, al lenguaje verbal, las siguientes expresiones simbólicas:

a) 3 7x x

Existe al menos un «x », perteneciente al conjunto de los números naturales, se cumple, que si se leagrega 3 es mayor o igual que 7.

b) ( 1) es un número imparx x

Existe al menos un «x », perteneciente al conjunto de los números enteros, se cumple, que si se leagrega 1 es un número impar.

c) 7 es un número enteroxxx

Existe al menos un «x », perteneciente al conjunto de los números racionales, se cumple, que si se ledisminuye 7 y se le divide entre sí mismo es un número entero.

d) 0x x

Existe al menos un «x », perteneciente al conjunto de los números reales, se cumple que su raíz cuadra-da es un número positivo.

Ejemplo 1.- Las siguientes son funciones proposicionales:

a) p(x ): «x » fue un poeta peruano.

En este caso p(x ) es una función proposicional sobre «A », el conjunto de los poetas peruanos.

b) r (x ): x + 2 > 7.

En este caso p(x ) es una función proposicional sobre , el conjunto de los números naturales.

c) q(x ): x + 5 < 3

En este caso q(x ) es una función proposicional sobre , el conjunto de los números reales. Sinembargo, q(x ) no es una función proposicional sobre , porque la desigualdad propuesta no severifica para ningún número natural.

Si p(x ) es una función proposicional sobre el conjunto «A », entonces el conjunto de elementos a Aque tienen la propiedad de que p(a ) es verdadero, se llama Conjunto de Validez, Vp, de p(x ).

p , ( ) es verdaderoV x x A p x , o simplemente: p ( )V x p x

Ejemplo 2.- De las funciones proposicionales del ejemplo anterior:

a) Si p(x ): «x » fue un poeta peruano, el conjunto de validez de p(x ) sobre el conjunto A de peruanos es:

p , es un poeta peruano C. Vallejo, Eguren, Arguedas, ...V x x A x

b) Si r(x ): x + 2 > 7, el conjunto de validez de r(x ) sobre , es:

r , 2 7 6; 7; 8; . . .V x x x

c) q(x ): x + 5 < 3, el conjunto de validez de q(x ) sobre , es:

q , 5 3V x x x

11.2.2. Cuantificadores

11.2.2A. DefiniciónLos cuantificadores son expresiones que denotan cantidad y que al ligarse con los enunciados abiertoso funciones proposicionales forman una proposición.

Son cuantificadores las expresiones: todo, todos, algún, algunos, ningún, etc. En matemática loscuantificadores se simbolizan para indicar la cantidad de valores, de un conjunto numérico de referen-cia, que se puede asignar a la variable. Estos conjuntos pueden ser: los naturales (), los enteros (), losracionales () y los reales ().

11.2.2B. Cuantificador universalEs el tipo de cuantificador que se utiliza para referir que la variable de la función proposicional puedeasumir todos los valores de un conjunto dado.

El cuantificador universal se simboliza con , que se lee: «para todo» o «para cualquier elemento de ».Este símbolo viene de la palabra alemana Allzeicher que significa totalidad.

Esquema: A ( )x p x , se lee «Para todo x que pertenece a A se cumple p(x ) ».


Comparando cada uno de los elementos de «A» con el valor obtenido, concluimos que todos verificanla relación (*).

Luego: x A, se cumple que x + 3 0 es VERDADERA.

11.2.4B. Si se emplea el cuantificador existencial Para este caso la proposición será verdadera si se encuentra por lo menos un elemento del conjunto dereferencia que hace verdadera la función proposicional.

Ejemplo.- Si B = {-3; -1; 3; 5; 7}, determinemos el valor veritativo de: x B, tal que:

x2 + 3 4

Despejando, se tiene: x2 1 . . . (**)

Inspeccionando los elementos de «B » encontramos que, al menos uno de sus elementos sí verifica larelación (**), este es: -1.

Luego: x B, tal que: x2 + 3 4 es VERDADERA.

11.2.5. Negación de los cuantificadores

La negación de los cuantificadores es como sigue:

: ( ) : ( )

: ( ) : ( )

x p x x p x

x p x x p x

Así queda establecido que la negación de una proposición con cuantificador consiste en cambiar elcuantificador existencial por el universal y viceversa. Asimismo, se niega el enunciado abierto sobre elque está aplicado el cuantificador.

Ejemplos.- Determinar la negación de:

a) 3 1 0x x :

3 1 0 3 1 0x x x x

b) 2 1 0x x

2 21 0 1 0x x x x

11.2.6. Equivalencias lógicas

11.2.6A. DefiniciónDos proposiciones se dicen lógicamente equivalentes si las matrices principales de sus tablas de verdadson idénticas.

Si dos proposiciones p y q son equivalentes, se denota así: p q

Al igual que en el caso del cuantificador universal, desde un punto de vista de la lógica proposicional,ninguna de las expresiones dadas sin cuantificador existencial no puede ser calificada como verdaderao falsa.

Queda claro que y tienen aplicaciones opuestas.

11.2.3. Propiedad fundamental

Toda función proposicional se convierte en una proposición si se determina a su variable por cualquie-ra de las siguientes formas:

i. Se asigna un valor a su variable.

ii. Se utiliza un cuantificador aplicado sobre un conjunto dado.

Ejemplos.- Convertir en proposiciones las siguientes funciones proposicionales:

a) p(x ): x + 5 > 6

a1. Dando un valor: p(4): 4 + 5 > 6

a2. Utilizando un cuantificador: 5 6x x ;

5 6x x

b) q(x ): x2 0

b1. Dando un valor: q(2): (2)2 – 3 0

b2. Utilizando un cuantificador: 2 3 0x x ;

2 3 0x x

c) r(x ): x es un número cuadrado perfecto.

c1. Dando un valor: r(4): 4 es un cuadrado perfecto.

c2. Utilizando un cuantificador: es un cuadrado perfectox x

es un cuadrado perfectox x

11.2.4. Valor veritativo de una proposición con cuantificador

11.2.4A. Si se emplea el cuantificador universal Para este caso la proposición será verdadera si la función proposicional es verdadera para todos loselementos del conjunto de referencia.

Ejemplo.- Si A = {-2; -1; 0; 1; 2}, determinemos el valor veritativo de: x A, se cumple que:

x + 3 0

Despejando, se tiene: x -3 . . . (*)


B5. De IDENTIDADp F p , p V V

p V p , p F F

B6. DEL COMPLEMENTOp ~p V , p ~p F

~~p p , ~V F , ~F V

B7. De DE MORGAN~( p q ) ~p ~q , ~( p q ) ~p ~q

B8. CONDICIONALp q ~p q , p q ~q p

B9. De ABSORCIÓNp ( p q ) p , ( p q ) q q

p ( p q ) p , ( p q ) q q

B10. BICONDICIONALp q ( p q ) ( q p )

p q ~( p q )

Ejemplo 1.- Simbolizar cada proposición compuesta y determinar una proposición equivalente indi-cando la ley lógica aplicada:

a) Es falso que Rocío y Marlon sean peruanos.

Fórmula proposicional: ~( p q )

Proposición equivalente: ~p ~q . . . (Ley de De Morgan)

Traducción: Marlon no es peruano o Rocío no es peruana.

b) No es cierto que Daniel no sea estudioso.

Fórmula proposicional: ~(~p)

Proposición equivalente: p . . . (Llamada Ley de Involución)

Traducción: Daniel es estudioso.

c) Juan juega o Pilar viaja.

Fórmula proposicional: ( p q )

Proposición equivalente: ( q p ) . . . (Ley Conmutativa)

Traducción: Pilar viaja o Juan juega.

Ejemplo 1.- Las tablas de verdad de yp q q p p q , son como sigue:

De lo cual podemos afirmar que: p q q p p q

Ejemplo 2.- Las tablas de verdad de p q y ~p q, son:

De lo cual podemos afirmar que: p q ~p q

11.2.6B. Leyes lógicasSe llama ley lógica a la equivalencia de dos proposiciones lógicas.

Las leyes lógicas permiten reducir los niveles de complejidad de determinadas proposiciones compues-tas. A este grupo de relaciones también se les conoce con el nombre de leyes del álgebra proposicional.

Todas estas equivalencias se pueden demostrar aplicando las tablas de verdad. Asimismo V y F repre-sentan una tautología o contradicción respectivamente.

Las principales leyes lógicas son:

B1. IDEMPOTENCIA

( p p ) p , ( p p ) p

B2. ASOCIATIVA

p ( q r ) ( p q ) r , p ( q r ) ( p q ) r

B3. CONMUTATIVA

( p q ) ( q p ) , ( p q ) ( q p )

B4. DISTRIBUTIVA

p ( q r ) ( p q ) ( p r ) , p ( q r ) ( p q ) ( p r )

758 Aritmética 759Und. 11 – Lógica Matemática

01.- Para la siguiente lista de expresiones, identifica conA o C si el enunciado es abierto o cerrado respectiva-mente:

a. Juan viene hoy de España. ( )

b. Las alumnas de 3ro. ( )

c. El lado del cuadrado. ( )

d. Jesús es hijo de José. ( )

e. No es cierto que Daniel venga. ( )

02.- Asignar un valor para las variables proposicionalesde modo que el siguiente grupo de funciones proposicio-nales se conviertan en proposiciones verdaderas:

a. P(x): x – 5 < 7

...........................................................

b. Q(x): 3x – 6 > 15

...........................................................

c. R(x; y): 2 yx 9 16 4 62

...........................................................

d. S(x; y): 3x 11 16 y 8

...........................................................

03.- Traducir cada una de las expresiones:

a. x x 3 2

...........................................................

...........................................................

b. x 4 x 3 8

...........................................................

...........................................................

04.- Escribir en forma simbólica cada una de los siguien-tes proposiciones:

a. Todo número entero al cuadrado es positivo.

..........................................................................

b. Existe al menos un número natural impar que es múl-tiplo de 5.

..........................................................................

c. Todo número natural es divisible entre 4.

..........................................................................

05.- El contraejemplo es un método de demostración paraprobar que una proposición es falsa y consiste en identi-ficar un caso o ejemplo en el que la proposición no severifica. Utilizando esta técnica, determina el valor deverdad de las siguientes proposiciones:

a. x 4x es múltiplo de 3.

..........................................................................

b. Si A 0; 3; 5 , x A 4x 6 13

..........................................................................

06.- Las funciones proposicionales se pueden represen-tar mediante los diagramas de Venn - Euler. Veamos elejemplo:

«Todas las cebras son mamíferos»

«Algunos mamíferos son cebras»

Escribe dos proposiciones con cuantificadores que des-criban cada diagrama mostrado:

d) Eva estudia y Leo o Javier pescan.

Fórmula proposicional: p ( q r )

Proposición equivalente: ( p q ) ( p r ) . . . (Ley Distributiva)

Traducción: Eva estudia o Leo pesca, y Eva estudia o Javier pesca.

e) Si Pedro practica, entonces aprobará el curso.

Fórmula proposicional: ( p q )

Proposición equivalente: (~q ~p ) . . . (Ley Condicional)

Traducción: Si Pedro no aprueba el curso, entonces no practica.

Ejemplo 2.- Simplificar cada proposición:

a) p q

p q p q

p q

b) p p q

p p q p p q

p p q p q

p q

c) p q

p q p q

p q p q

d) q p

q p q p q p

760 Aritmética 761Und. 11 – Lógica Matemática

Prob. 01 (cepre uni 07 – I)Si: A = {1; 2; 3; 4; 5}, determine el valor de ver-dad de las proposiciones:I. x A | x + 3 = 10II. x A | x + 3 < 5III. x A: x + 2 6A) VVV B) VFF C) FVV D) FVF E) VFV

I. x + 3 = 10 x = 7Inspeccionando los elementos del conjunto «A»nos damos cuenta que ninguno de ellos es el 7.

x A|x + 3 = 10 (Falso)

II. x + 3 < 5 x < 2 x {. . . -1; 0; 1}C.S = {. . . -1; 0; 1}

Comparando este conjunto con el conjunto «A»descubrimos que al menos un valor de «x»; estoes 1; que pertenece al conjunto «A»; satisface ladesigualdad obtenida.

x A|x + 3 < 5 (Verdadero)

III. x + 2 6 x 4 x {. . . 0; 1; 2; 3; 4}C.S = {. . . 0; 1; 2; 3; 4}

Comparando este conjunto con «A» descubrimosque no todos los elementos de «A» pertenecen aeste C.S como es el caso del 5.

x A : x + 2 6 (Falso)

Prob. 02 (cepre uni 08 – I)Dado A = {1; 2; 3; 4}; determine el valor de ver-dad de:

I. x A | 2x – 1 = 7

II. x A: x 1III. x A: 2x + 3 < 9

A) VFV B) VFF C) VVF D) FVV E) FFF

I. 2x – 1 = 7 2x = 8 x = 4

Inspeccionando los elementos del conjunto «A»descubrimos que al menos un valor de «x» o sea4; que satisface la desigualdad.

x A|2x – 1 = 7 (Verdadero)

II. 1x x > 1 x {2; 3; 4; ...}

C.S = {2; 3; 4; ...}

Comparamos este conjunto con «A», descubri-mos que no todos los elementos de «A» pertene-cen al C.S o sea existe al menos un valor de «x»que no cumple la desigualdad; como es el casodel 1.

x A: 1x (Falso)

III. 2x + 3 < 9 2x < 6 x < 3

x {...0; 1; 2} ; C.S = {...0; 1; 2}

Comparamos este conjunto con «A», descubri-mos que no todos los elementos de «A» pertene-cen al C.S o sea existe al menos un valor de «x»que no cumple la desigualdad.

x A: x + 7 16 (Falso)

Prob. 03 (cepre uni 07 – I)

Dado U = {1; 2; 3; 4; 5}, ¿cuáles de los siguientesenunciados son verdaderos?

I. x U | x + 3 10

II. x U, y U | x + y 7

III. x U: x + 4 8

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y II E) Sólo II y III

a.

................................................................

................................................................

b.

................................................................

................................................................

07.- A partir del siguiente gráfico:

Completar los enunciados con cuantificadores:

a. ........................... números naturales son múltiplos de5 pero no de 4.

b. .......................... múltiplos de 20 son múltiplos de 4.

c. ......................... múltiplos de 5 no son múltiplos de 4.

d. ................. números naturales no son múltiplos de 5.

08.- Escribe la negación de las siguientes proposiciones:

a. x A x 3 0

..........................................................................

b. 2x A x 3 8

..........................................................................

09.- Utilizando las tablas de verdad demostrar las siguien-tes leyes lógicas:

a. p q p q

b. p q p q

c. p p q p

10.- Dadas las siguientes proposiciones se pide escribirsu proposición equivalente:

a. Pedro no estudia o Miguel no estudia.

............................................................................

b. Luis juega en el parque o Raquel no navega por el río.

............................................................................



Dado el conjunto A= {1; 2; 3; 4; 5}, determine elvalor de verdad de las proposiciones:

I. x A | ( x 2 6 ) ( x 6 8 )

II. x A | ( x 2 2 ) ( x 2 2 )

III. x A, y A | x y 2

A) FFV B) VVV C) FVV D) FFF E) VVF

x {1; 2; 3; 4; 5} , y {1; 2; 3; 4; 5}

I.

; 2 6 (Falso)

; 6 8 (Falso)

x A x

x A x

|( 2 6) ( 6 8)

F F

x A x x

(Verdadero)

II.

|( 2 2) (Verdadero)

|( 2 2) (Falso)

x A x

x A x

|( 2 2) ( 2 2)

V F

x A x x

(Verdadero)

III. y si x que hace que se cumpla que:

x + y > 2 (Verdadero)


Sean A = {-1; 0; 1; 2}: N = {1; 2; 3}. Determine elvalor de verdad de los siguientes enunciados:

I. x N : y N : x y 0 x y 0

II. x A | y A: x y xy 0

III. x A | y A | x y 4

Son correctos:


D) I y II E) I, II y III

I. x {1; 2; 3 ...}

y {1; 2; 3 ...}

; : 0) ( 0)

F V

Verdadero

x N y N x y x y

II. x {-1; 0; 1; 2}

y {-1; 0; 1; 2}

| : 0

F FFalso

x A y A x y x y

III. x {-1; 0; 1; 2}

y {-1; 0; 1; 2}

x A| y A|x + y = 4 (Verdadero)


Para la siguiente proposición: «para todo númeroracional r existe un número entero n tal que n r n 1 ». Su negación es:

A) r | n ; n r n 1

B) r , n | n r n 1

C) r | n ; ( n r ) ( n 1 r )

D) r | n ; n r n 1

E) r | n ; ( n r ) ( n 1 r )

Determinemos la negación de:

| ; ( 1)r n n r r n

| ; ( )r n n r r n

| ; ( ) ( )r n n r r n r

I. x + 3 10 x 7 x {...5; 6; 7}

C.S = {...5; 6; 7}

Inspeccionando los elementos del conjunto «A»descubrimos que al menos un valor de «x» pue-de ser 5; que satisface la desigualdad.

x U | x + 3 10 (Verdadero)

II. x {1; 2; 3; 4; 5}

y {1; 2; 3; 4; 5}

x si y tal que se cumple que: x + y 7

(Verdadero)

III. x + 4 8 x 4 x {...2; 3; 4}

C.S = {...2; 3; 4}

Comparando este conjunto con «U», nos damoscuenta que no todos los elementos de «U» perte-necen al C.S como es el caso del 5.

x U: x + 4 8 (Falso)

Prob. 04 (cepre uni 06 – II)

Sea A = {0; 1; 2}, determine cuántos de los si-guientes enunciados son verdaderos:

I. 2x A, y A: y 4( x 1)

II. 2x A | y A: ( x 1) y

III. 2x A | y A: ( x 1) y

IV. 2x A | y A: ( x 1) y

V. x A, y A | x y 1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

x {0; 1; 2}

y {0; 1; 2}

I. y si x; que cumple: y24(x + 1)(Verdadero)

II. y no x; que cumple: (x – 1)2 y; como porejemplo para y = 2 no existirá valor para «x».

(Falso)

III. y no x; que cumple: (x – 1)2 y; como porejemplo para y = 0 no existirá valor para «x».

(Falso)

IV. y no x; que cumple: (x – 1)2 = y; como porejemplo para y = 2 no existirá valor para «x».

(Falso)

V. x si y; que cumple: x + y 1

(Verdadero)

Prob. 05 (UNI 2000 – I)Sea A = {1; 2; 3}, determinar el valor de verdad delas siguientes expresiones:

I. 2x A, y A | x y 1

II. 2 2x A, y A | x y 12

III. 2 2 2x A, y A, z A | x y 2z

IV. 2 2 2x A, y A, z A | x y 2z

A) VFVV B) VVFV C) VVVF

D) FVVV E) VVVV

x {1; 2; 3} , z {1; 2; 3} , y {1; 2; 3}

I. y si x; que cumple: x2< y + 1

(Verdadero)

II. x si y; que cumple: x2 + y2 < 12

(Verdadero)

III. y no x; ni y que cumple x2 + y2 2z2

como por ejemplo para y = 1; x = 1 y y = 1

(Falso)

IV. z no x ni y; que cumple: x2 + y2 2z2; estaproporción es casi la misma que la anterior.

(Falso)



Dadas las proposiciones:

2p: x | x 2 5 x , x x

q: a , -a 0 x | -x x

r: x | -x Indique el valor de verdad de sus negaciones.

A) VFF B) FVF C) VFV D) VVF E) FFV

p x x x x x2: [ | 2 5] [ , ]

F V

Verdadero

q a a x x x: [ ; - 0] [ |- ]

V V Verdadero

r x x: | - (Falso)


Sea: U | x 4 x 6x 2 2p: x: y | x y 13

2q: x | y : x 2y 10

Al simplificar:

[ ]M : ( p q ) ( r p ) ( q s )

Se obtiene:

A) p B) q C) s D) V E) F

( 4) ( 6) ( 4) ( 6)

x x x x

p q p q

Luego se tiene que: U = {0; 1; 2; 3; 4; 6}

x {0; 1; 2; 3; 4; 6}

y {0; 1; 2; 3; 4; 6}

p: x : y|x2 + y2 < 13 (Falso)

q: x| y : x2 + 2y2 < 10 (Falso)

Luego reemplazamos:

M ( ) [( ) ( )] F F F

V ? V

p q r p q s

V

V

Prob. 14

Simplificar mediante propiedades:

[p (~p q)] [~q ~p]

A) p q B) q p C) p q

D) p q E) p q

Vamos a aplicar algunas leyes lógicas:

(~ ) ~ ~p p q q p Condicional

~ (~ ) ~ ~p p q q p Absorción

~ ~ ~p q p Conmutativa

~ ~ ~p p q Condicional

~ ~p p q Absorción

~p q Conmutativa

~q q Condicional

q p


Determine la negación de la proposición:

p: x : y | x y 2 xy 3

A) x | y : x y 2 xy 3

B) x | y : x y 2 xy 3

C) x | y : x y 2 xy 3

D) x | y : x y 2 xy 3

E) x | y : x y 2 xy 3

Sabemos que: p q ~p q; luego se tiene que:

: : | ( 2) ( 3)p x y x y xy

: | : ( 2) ( 3)p x y x y xy


Dado el conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9},determine qué enunciados son correctos:

I. x A | x 7 15

II. x A | x 7 7

III. x A: x 7 16


D) I y III E) II y III

I. x + 7 < 15 x < 8 x {... 5; 6; 7}

C.S = {... 5; 6; 7}

Inspeccionando los elementos del conjunto «A»descubrimos que al menos un valor de «x»; pue-de ser 3 que satisface la igualdad.

x A | x + 7 < 15 (Verdadero)

II. x + 7 = 7 x = 0

Inspeccionando los elementos del conjunto «A»nos damos cuenta que ninguno de ellos es el cero.

x A | x + 7 = 7 (Falso)

III. x + 7 16 x 9 x {... 7; 8; 9}

C.S = {... 7; 8; 9}

Comprobando este conjunto con «A» denota-mos que A C.S es decir todos los valores posi-bles de «x» que pertenecen al conjunto «A» sa-tisfacen la condición dada.

x A: x + 7 16 (Verdadero)


Dado el conjunto A = {-2; -1; 0; 1; 2}; indiquecuál(es) de los siguientes enunciados son co-rrectos.

I. 2x A, y A: x 2 y

II. 2 2x A, y A | x y x y

III. 2 2x A, y A: x y 0

A) Sólo I B) Sólo II C) I y III

D) II y III E) Sólo III

x {-2; -1; 0; 1; 2}

y {-2; -1; 0; 1; 2}

I. x; y no se cumple que x2 + 2 > y; comopor ejemplo para x = 0; y = 2

(Falso)

II. Si existe un valor de «x» y un valor de «y»siendo éstos diferentes, donde se cumple que:x2 = y2; como por ejemplo para x = -2 y y = 2

(Verdadero)

III. x; y se cumple que: x2 + y2 0

(Verdadero)


~(~ ) (~ )p q p q p De Morgan

( ~ ) (~ )p q p q p Conmutativa

( ~ ) (~ )p p q q p Absorción

(~ )p q p Condicional

~ (~ )p q p Conmutativa

~p (p ~q) Asociativa

(~ ) ~p p q

V ~q

V Identidad


Si # es un operador lógico definido por:

p # q (p q) (p q)

entonces p # q es equivalente a:

A) Tautología B) Contradicción C) p

D) p q E) q

Elaboramos la tabla de verdad para la fórmulaproposicional dada:

Se puede visualizar que es una tautología

Prob. 20 (UNPRG 01 – II)

De las proposiciones:

I. ~(~p ~q) II. (p q) ~(~p q)

III. ~(p ~q) IV. p q

Son equivalentes:

A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III

D) I, II y III E) Todas

Elaboramos la tabla de verdad para cada unade las proposiciones:

I.

II.

III.

IV.

Sólo I y III son equivalentes.

Prob. 15Simplificar la proposición:

{(~p q) [(p q) r]} q

A) ~p B) q C) ~q

D) p q E) q p

Aplicando algunas leyes lógicas:

(~ ) ( )p q p q r q Condicional

(~ ) (~ )p q p q r q Absorción

(~ )p q q Conmutativa

(~ )q p q Conmutativa

( ~ )q q p

q

Absorción

Prob. 16

Usando las leyes lógicas simplificar la fórmulalógica:

~[(p (~p ~q)) (p (p q))]

A) V B) F C) p D) q E) p q

Vamos a usar algunas leyes lógicas:

~ { (~ ~ )} { ( )}p p q p p q

Condicional

~ {~ (~ ~ )} { ( )}p p q p p q

Absorción

~ ~ p p

Complemento

~ F

V

Prob. 17

Simplificar: [(~p q) (q p)] (~q)

A) p B) q C) ~p D) ~q E) p q

Aplicando algunas leyes lógicas:

(~ ) ( ) (~ )p q q p q

Condicional

(~ ) (~ ) (~ )p q q p q

Condicional

~(~ ) (~ ) (~ )p q q p q

De Morgan

( ~ ) (~ ) (~ )p q q p q

Conmutativa

( ~ ) ( ~ ) (~ )p q p q q

Idempotencia

( ~ ) ~p q q Conmutativa

~ ( ~ )q p q Conmutativa

~ (~ )q q p

~ q Absorción

Prob. 18

Siendo «p» y «q» proposiciones lógicas, empleelas leyes lógicas para simplificar:

[(p q) p] (q p)

A) p B) q C) p q D) p q E) V

Aplicando algunas leyes lógicas tenemos:

( ) ( )p q p q p Condicional

(~ ) (~ )p q p q p Condicional



Sean: p: Él es alto

q: Él es galán

Escribir los siguientes enunciados en forma sim-bólica con «p» y «q».

«Él es alto, o él es bajo y galán»

A) ~(~p q) B) p (~p q) C) p ~q

D) ~p ~q E) ~(~p ~q)

Del problema se tiene que:

p: Él es alto

q: Él es galán

Luego, la fórmula proposicional de la expresiónla simbolizamos así:

Él es alto o (él es bajo y galán)

( ~ )p p q

Finalmente la expresión queda como:

p (~p q)

Prob. 25 (UNCP 07 – II)

Compara e identifica las afirmaciones equivalen-tes a: «Hoy no voy al cine ni juego porque no ten-go dinero».

I. Tengo dinero, dado que hoy voy al cine yjuego.

II. Tengo dinero y no es cierto que hoy voy al cineo juego.

III. Tengo dinero o no es cierto que hoy voy alcine o juego.


D) I y II E) I y III

Identificamos las proposiciones simples y leasignamos una variable proposicional

p: Hoy voy al cine

q: juego

r: tengo dinero

Luego la fórmula proposicional de la expresióndada es:

No tengo dinero entonces hoy no voy al cine ni juego

~ (~ ~ )r p q

Así tenemos: ~r (~p ~q)

Por ley condicional: r (~p ~q)

Por ley de Morgan: r ~(p q)

Decodificando esta expresión tenemos:

«Tengo dinero o no es cierto que,voy al cine o juego».

Prob. 26 (UNFV 02 – I)

Al reducir la expresión: ~(p q) se obtiene:

A) p q B) ~q q C) q

D) ~p E) ~q

Del problema se tiene que:

~(p q)

Aplicamos la ley condicional al paréntesis:

~(~p q)

Luego aplicamos la ley de Morgan:

p ~q

Por último aplicamos la ley conmutativa:

~q p

Prob. 21 (UNFV 02 – I)

La fórmula de la expresión: «Cada vez que miento(p), me castigan (q)» es equivalente a:

A) p q B) ~p q C) p · q

D) p q E) p/q

Del enunciado del problema tenemos que:

p: Cada vez que miento

q: me castigan

Luego, la fórmula proposicional de la expresiónes:

Cada vez que miento entonces me castigan

p q

Y aplicando la ley condicional: ~p q

La expresión equivale a ~p q

Prob. 22 (UNPRG 04 – II)

Después de simplificar la proposición lógica:

( p q ) p r p

Se obtiene:

A) p q B) ~p C) ~q

D) q E) p

Se tiene: ( )p q p r p

A continuación reduciremos la expresión apli-cando las leyes lógicas adecuadas, Veamos:

Conmutativa: (~ )p p q r p

Absorción: {~ ~ }p r p

Condicional: { ~ }p r p

Conmutativa: { ~ }p p r

Absorción: p

Se obtiene «p»

Prob. 23 (UNT 03 – II)

La proposición: «Carlos no estudia o sale de casatarde», equivale a:

A) Carlos sale de casa temprano y estudia.

B) Si Carlos estudia, entonces sale de casa tem-prano.

C) No es cierto que, Carlos sale de casa tempranoo estudia.

D) Si Carlos sale de casa temprano, entonces es-tudia.

E) Si Carlos estudia entonces sale de casa tarde.

Identificamos las proposiciones simples y le asig-namos una variable proposicional:

p: Carlos estudia

q: Carlos sale de casa tarde

Luego la fórmula proposicional de la expresióndada es:

Carlos no estudia o sale de casa tarde

~ p q

Por ley condicional: ~p q p q

Y decodificando esta proposición, significa:

Si Carlos estudia entonces sale de casa tarde


Segunda parte: ~q p p

Bicondicional: ~ ~q p p p p

Condicional: ~ ~q p p p p

Idempotencia: ~q p p

Complemento: F

F

q

Identidad:

Al unir las dos partes tenemos: Fp

pDisyuntor fuerte:

p # q p

Nota: p F p


¿Cuántas de las siguientes equivalencias lógicasson correctas?

I. p (p q) p

II. p (q r) (p q) r

III. p (q r) (p q) r

IV. p (q r) (p q) r

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

I. Verdadera (Ley de absorción)

II. Falsa (la ley asociativa no se aplica para lacondicional)

III. Verdadera (en cada caso mostrar las matri-ces principales)

IV. Verdadera (en cada caso mostrar las matri-ces principales)

Son correctas 3

Prob. 31 (UNCP 02 – I)

Sean «p» y «q» dos proposiciones y asuma que«p q» es equivalente a «p ~q». Indicar la pro-posición que es equivalente a:

p q p q p q

A) ~p B) ~p ~q C) p q

D) p ~q E) ~p q

Nuestra estrategia de reducción se sustentará endeterminar la matriz principal de la tabla de ver-dad de toda la proposición dada, para lo cualdebemos determinar la matriz principal de laequivalencia propuesta

p q p ~q

Utilizando este resultado reduciremos la fór-mula proposicional dada:

Como las columnas sombreadas son idénticasconcluimos que:

( ) ( ) ( )p p p q p q p q

Prob. 27 (UNFV 06)Si: p # q (~p q) (~r r) (~q), determine unaproposición equivalente a p # q.

A) ~p B) ~q C) ~rD) ~p q E) p ~q

Reduciremos la fórmula proposicional aplican-do leyes lógicas:

Complemento: ~ (~ ) (~ )p q r r q

Identidad: ~ F (~ )p q q

Condicional: ~ Fp q

De Morgan: ~ ~ Vp q

Identidad: ~ Vp q

p # q p ~q

Prob. 28 (cepre uni 05 – II)Al simplificar la siguiente proposición compuesta:

~ p ~ p q p p q p

se obtiene:A) p B) q C) V D) F E) ~q

Descomponemos la fórmula proposicional en dospartes y luego aplicamos leyes lógicas para cadauna de ellas.

Primera parte: ~ ~p p q

Condicional: ~ ~ ~p p q

De Morgan: ~ ~p p q

Condicional:

~p p q

pAbsorción:

Segunda parte: p p q p

Condicional: ~p p q p

Absorción: p q p

Condicional: ~ p q p

De Morgan: ~ ~p q p

Conmutativa: ~ ~p p q

Asociativa: ~ ~p p q

Complemento: V ~

V

q

Identidad:

Al juntar las dos partes se tiene: V

V

p

Identidad:

Finalmente obtenemos «V»

Prob. 29 (cepre uni 05 – II)Si «#» es un operador lógico definido por:

p # q p r p p q p ~ p ,

entonces p # q es equivalente a:A) p B) q C) p q D) ~p E) ~q

Descomponemos la fórmula proposicional endos partes y aplicamos las leyes lógicas a cadauna de ellas:

Primera parte: p r p p

Condicional: ~p r p p

Conmutativa: ~p p r p

Conmutativa: ~p p p r

Absorción: p p

pIdempotencia:


II. Por existencialidad de una clase, si se pue-de concluir de la gráfica inicial (es decirdeben existir los insectos).

III. Lo cual se concluye de la gráfica inicial.

Son correctas II y III

Prob. 35 (UNI 05 – I)

La negación de «todos los rectángulos son para-lelogramos», es:

A) Todos los rectángulos no son paralelogramos.

B) Todos los no rectángulos no son paralelogramos.

C) Algunos rectángulos no son paralelogramos.

D) Algunos rectángulos son paralelogramos.

E) Todos los no rectángulos son paralelogramos.

De la premisa «Todos los rectángulos son pa-ralelogramos»:

Su negación es:

Algunos rectángulos no sonparalelogramos


Se definen los operadores «» y «» mediante:

p q ~p ~q

p q ~p q

Determine a qué es equivalente:

T = ((~q) p) ((~p) q)

A) p B) q C) p q

D) V E) F

Vamos a reemplazar las respectivas equivalen-cias en la fórmula proposicional dada:

~ ~q p p q

q p p q

~ ~p q p q

Ahora, aplicando las leyes lógicas tendremos:

Condicional: ~

V

p q p q

Complemento:

T V

Prob. 33 (UNI 04 – II)

Se tiene acceso a las siguientes proposiciones:

- Todos los docentes son personas cultas

- Algunos docentes no son ingenieros

Por lo tanto, se puede concluir que:

A) Los ingenieros son cultos.

B) Todos los ingenieros son docentes.

C) Todas las personas cultas son docentes.

D) Algunas personas cultas no son ingenieros.

E) Los que no son ingenieros no son cultos.

De las premisas podemos reconocer los siguien-tes grupos de personas: Las personas cultas, losdocentes y los ingenieros. Disponiéndolos en undiagrama de Venn- Euler, según las premisas, te-nemos:

Se concluye que algunas personascultas no son ingenieros.

Prob. 34 (UNI 04 – II)

Si la proposición: «Todos los insectos son inverte-brados», es verdadera:

Determine cuál o cuáles de las siguientes proposi-ciones son correctas:

I. Es verdad que ningún insecto es invertebrado.

II. Es cierto que algún insecto es invertebrado.

III. Es falso que algunos insectos no son inverte-brados.

De la proposición verdadera podemos elaborarel siguiente diagrama de Venn - Euler:

Luego, analizando los enunciados:

I. No se puede concluir de la gráfica.

Prob. 36 (UNI 01 – I)

De las premisas:

– Todos los cerdos vuelan.

– Ningún cerdo tiene cola.

¿Cuáles de las siguientes conclusiones son verda-deras?

I. No todos los cerdos tienen cola.

II. Ningún animal que vuela tiene cola.

III. Existen animales sin cola que vuelan.

Identificamos los grupos de animales como: losque vuelan, los cerdos y los que tienen cola. Uti-lizando los diagramas de Venn - Euler, para vi-sualizar las premisas, logramos establecer dos op-ciones que las verifican:

1ra Opción:

2da Opción:

De ambas opciones concluimos que existen ani-males sin cola que vuelan.

Sólo III es verdadera


08.- Dado el conjunto: A = {-2; -1; 0; 1; 2}; indi-que cuál(es) de los siguientes enunciados son co-rrectos:

I. x A, y A: x2 + 2 > y

II. ! x A, ! y A | x y x2 = y2

III. x A, y A : x2 + y2 0

A) Sólo I B) Sólo II C) I y III

D) II y III E) Sólo III

09.- Dado los conjuntos: A = {2; 3; 8}, B = {1; 2; 7}y los siguientes enunciados:

I. x A | y B : x + y 9

II. x1, x2 A y1, y2 B | 2(x1 + x2) = y1 + y2

III. x A, y B : x + 2y < 3

Determine cuál(es) son correctos:

A) Sólo I B) I y II C) I y III

D) I, II y III E) II y III

10.- Dado los conjuntos: A = {-2; 0; 1} y

B = {-1; 1; 2}

Indicar cuál(es) de los siguientes enunciados soncorrectos:

I. x A, y B | x + y II. x A, y B : x + y A

III. x P(A), y P(B), x | x y = {0; 1}


D) I ; II y III E) II y III

11.- Determine el valor de verdad de los siguientescuantificadores:

p: x {4; 6}: y {1; 3} | x + y xy

q: x {-2; -3} | y {-1; -2}: x – y < x2

r: x : y {1; 2}: x + y < x2 – 1

A) VVF B) VFF C) VVV

D) VFV E) FVV

12.- Se define al conectivo # por: p # q ~p qcalcular el equivalente a: (p # ~q) # (q # ~p)

A) ~p q B) p ~q C) ~q p

D) p q E) Tautología

13.- Sea el conjunto A = {1; 2; 3; 5} y las proposi-ciones:

p: x A | (x + 2 = 6) (x – 6 = 8)

q: x A | (x + 2 > 2) (x + 2 < 2)

r: x A; y A | x + y > 2

Calcular el valor de verdad de: p, q y r

A) FFF B) FVV C) FFV

D) VVF E) VVV

14.- Dado: A = {1; 2; 3; 4}, determine el valor deverdad de:

I. x A | 2x – 1 = 7

II. : 1x A x

III. x A: 2x + 3 < 9

A) VFV B) VFF C) VVF

D) FVV E) FFF

15.- Dadas las proposiciones, ¿cuáles son equiva-lentes entre sí?

I. Es necesario que Franco no vaya al cine paraque termine su tarea.

II. No es cierto que Franco termine su tarea o vayaal cine.

III. Franco no termina su tarea y no irá al cine.

A) Sólo I y II B) Sólo II y III C) Sólo I y III

D) I, II y III E) Ninguna es equivalente

16.- Dadas las siguientes premisas:

- Todos los que estudian arquitectura saben dibujar.

- Algunos estudiantes de arquitectura hacen deporte.

01.- Dado el conjunto:

, , | son múltiplos de 3A x y z

Cuál(es) de los siguientes enunciados es correcto:

: | parp x A x y z

: : imparq x A x y z z

: : | es parr x A y A x y z

A) VFF B) VVV C) FVV

D) FFF E) VFV

02.- Dado el conjunto A = {3; 4; 5; 6; 7; 8}, indi-que cuál(es) de los siguientes enunciados son co-rrectos.

I. | 8 13x A x

II. | 5 5x A x

III. : 3 12x A x

A) Sólo I y III B) Sólo I C) Sólo I y II

D) Sólo II y III E) I, II y III

03.- Dado M = {1; 2; 3; 4; 5} y los enunciados:

I. | 3 10x M x

II. , | 7x M y M x y

III. | , 7y M x M x y

IV. , 3 8x M x

V. , 3 6x M x

¿Cuántos son verdaderos?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

04.- Indique el valor de verdad de las proposicio-nes siguientes:

I. 2( | 12 12) : x x x x x II. ( : - 0) ( | - )x x x X X

III. 2| - : 0x x x x A) FVF B) FVV C) FFF

D) VVF E) VVV

05.- Dado el conjunto A = {0; 1; 2; 3; 4} determineel valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. x A | x + 4 = 9II. x A: 2x – 5 < 5III. x A | 2x – 4 = xIV. x A: x + 3 7A) FVVV B) FFVV C) VFVVD) FFFV E) VFVF

06.- Determine la negación de la proposición:p: x : y | x + y < 2 xy 3

A) x | y : x + y > 2 xy 3B) x | y : x + y 2 xy < 3C) x | y : x + y < 2 xy < 3D) x | y : x + y 2 xy < 3E) x | y : x + y 2 xy 3

07.- Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9},determine qué enunciados son correctos:

I. x A | x + 7 < 15II. x A | x + 7 = 7III. x A : x + 7 16A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) I y III E) II y III

778 Aritmética

Se deduce que:A) Ninguno que estudia arquitectura hace deporte.B) Todos los que hacen deporte saben dibujar.

C) Todos los que estudian arquitectura no nacendeporte.

D) Algunos que hacen deporte saben dibujar.E) Ninguno que hace deporte estudia arquitectura.

17.- ¿Cuál de las siguientes no es una función pro-posicional?

A) x + 3 = 8

B) «x» es una ciudad del Perú

C) 2x + 10 < 6 – x

D) (x + y)2 = x2 + 2 + y + y2

E) El segundo nombre de Félix es «x»

18.- Simplifique:

[ ) ( )] ( )p q q p p q q

A) p q B) p q C) p ~q

D) q ~p E) q p

19.- Si se define al operador por, p q q p ,simplifique:

[( ) ] [ ] ]E p q p q p q

A) p B) q C) p ~q

D) ~p E) p q

20.- Si:

- Algunos W que son Z no son T

- Todos los Z son W

- Ningún W es T

Entonces:

I. Ningún Z es T.

II. Todos los W son Z.

III. Algunos T no son W.

Respecto de estas afirmaciones, las correctas son:


D) I y III E) II y III

21.- Respecto de: «Si gana Perú, no voy a estudiar».Indique la alternativa que se puede concluir:

A) Si estudié, ganó Perú.

B) Si no ganó Perú, estudié.

C) Si no estudié, ganó Perú.

D) Si fui a estudiar, no ganó Perú.

E) Nunca estudio porque siempre gana Perú.

22.- Si ninguna persona que toma mate toma caféy algunas personas que toman té toman café, en-tonces:

A) Ninguna persona que toma té toma mate.

B) Todas las personas que toman mate toman té.

C) Algunas personas que toman mate toman café.

D) Algunas personas que toman mate no toman té.

E) Todas las personas que toman café toman té.

23.- Sean: A = {1; 2; 3; 4; . . .; 20} y

B = {x A | x < 5 }

Indique el valor de verdad de:

I. x A B A =

II. x A, y B | x +y < 6

III. x A, y B | x · y > 60

A) VVV B) VVF C) VFV

D) FVV E) FVF

03E

11A

04A

12E

20A

05A

13E

21D

06C

14B

22B

15B

23E

02A

01A

10D

19E

09A

17D

18C

07D

08D

16D

11.2.1. definiciones básicas -...

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