11. objetivos del estudios de las conicas

8/14/2019 11. Objetivos Del Estudios de Las Conicas

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140 III Coloquio de Matemtica

OBJETIVOS DEL ESTUDIO DE LAS CNICAS

William Wilfredo Reyes Prez

Objetivos

Origen y estudio del desarrollo del conocimiento de las cnicas.

Aportes de las principales matemticos de la antigedad.

Apolonio y su importancia en el estudio de las cnicas.

Introduccin

Dentro de las cnicas, las que son conocidas son la elipse y la parbola,

ya que las cuales se pueden observar directamente en la naturaleza. La

trayectoria de un objeto al lanzarlo al aire, el reflejo de la luna en la superficie

de las aguas calmadas de un rio, la forma de los peces o en el corte de las

ramas de las plantas bajo un cierto ngulo de inclinacin, son ejemplos de ello.De all que podemos entender que la concepcin intuitiva y el desarrollo

posterior de las cnicas, son tan antiguas como la misma geometra, desde

una fase de geometra primitiva a la geometra moderna que hoy conocemos, las cuales se dieron en

las diversas culturas ms antiguas del mundo.

Como explicar sino el grado de precisin que tena el cazador para lanzar una piedra o una

lanza, para defenderse o capturar el animal que luego se convertira en el alimento del da, si es que

no se conoca intuitivamente la trayectoria descrita.

Otro ejemplo evidente es en la construccin de las primeras herramientas utilizadas por el

hombre primitivo, se puede observar que la forma de elipse plana, eran las ms buscadas, las cualeseran trabajadas para transformarlas y utilizarlas en diferentes actividades.

Es por ello que no debe sorprendernos, el hecho de que el estudio de las

cnicas haya tenido tal inters, y que una gran cantidad de matemticos

hayan realizados trabajos de investigacin sobres sus propiedades.

Menecmo 370 - 325 a.n.eTriada de Menecmo, primeros estudios de lascurvas que luego se llamaran cnicas.

Euclides 330 - 275 a.n.e Estudio de las cnicas

Arqumedes de Siracusa 287 - 212 a.n.e Cuadratura de la parbola

Apolonio de Perga 260 - 200 a.n.e Tratado sobre las cnicasHypatia de Alejandra 375 - 415 Comentario sobre las cnicas de Apolonio

Eutocio de Escaln Alrededor de 560 Comentario sobre las cnicas de Apolonio

Jhon Wallis 1616 - 1703 Estudio de las cnicas en la geometra analtica

Vctor Poncelet 1788 - 1867 Hexgono circunscrito a las cnicas

El aporte de los diferentes matemticos es importante, y no se puede menospreciar ya que el

contexto en el que se desenvolvieron permiti estos logros, de estos aportes el de Apolonio es el ms

completo, y han permanecido hasta la actualidad.


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Objetivos del estudio de las cnicas

141III Coloquio de Matemtica

LAS TRIADAS DE MENECMO Y EL PROBLEMA DE LA DUPLICACIN DEL CUBO

Discpulo de Eudoxio, de la Academia platnica descubre la existencia de un grupo de curvas que

dan solucin a uno de los problemas dlicos, la duplicacin del cubo. Menecmo utiliza unas de las

figuras geomtricas espaciales para conseguir dichas curvas, y las cuales se generan con el trazado de

un plano perpendicular a la generatriz de conos rectos de tres tipos, segn que el ngulo en el vrticefuera agudo, recto u obtuso.

Erastoteles, le atribuye a Hipcrates la idea de que el problema quedara resuelto si se consigue

la interseccin de dos medias en proporcin continua entre dos segmentos, uno de los cuales es el

doble del otro, es decir:

Siendoa yb los dos segmentos dados

yx ey los buscados.

a

x

x

y

y

b= = ( )... I

Agrupando convenientemente

a

x

x

y= ( )... II x2 =ay

x

y

y

b= ( )... III y2 =bx

De la primera y segundo razn de (I) x2 =ay ... (IV)

De la primera y tercera razn de (I) xy =ab ... (V)

Finalmente multiplicando (IV) y (V) x3 =a2b

Si reemplazamosb = 2a x3 = 2a3

Como se puede observar en la segunda fila de la

tabla adjunta, especficamente en la ltima columna,

estn los principios de las cnicas:

Menecmo demostr que para encontrar la solucin

del problema planteado, era suficiente intersecar

una parbola y de una elipse, o dos parbolas, este

segundo mtodo era mas sencillo que el primero,

como se observa en la grfica adjunta, al intersecar

las expresiones que representan a cada parbola se

obtiene:x3 = 2a3.

Lo admirable de Menecmo, era el hecho de

haberse dado cuenta que exista una familia de curvas

construidas a mano, que cumplan con las condiciones

requeridas. Estas curvas se obtenan cortando un cono

circular recto por una plano perpendicular a una generatriz del cono, este hallazgo importantsimo

recibiran luego el nombre de parbola, elipse e hiprbola.

y

x

x2 = ay

y2 = 2ax


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A partir del cono circular recto de una sola hoja, y de tal manera que las generatrices formen con

el eje, un ngulo de 45, el plano de corte perpendicular a una de las generatrices, determina una curva

(parbola) que tiene la forma de:y2 = dx, donde d es una constante que depende directamente de la

distancia del vrtice del cono al plano de la seccin.

Para la construccin de las otras secciones cnicas, como laelipse

y lahiprbola

, el ngulo en el

vrtice del cono circular recto, debera ser agudo y obtuso respectivamente.

OBTENCIN DE LAS TRIADAS DE MENECMO

4545

Oxitoma Ortotoma Ambliotema

Seccin determinada por

un plano perpendicular a la

generatriz de un cono agudo.

Que hoy conocemos como

elipse.



generatriz de un cono recto.


parbola.



generatriz de un cono obtuso.


hiprbola.

Observacin.- Al mencionar cono agudo, cono recto y cono obtuso, en este caso se esta haciendo

referencia al ngulo determinado por dos generatrices diametralmente opuestas.

LAS CNICAS DE APOLONIO

Apolonio de Perga (260 - 200 a. n. e.), por los aportes en las matemticas, es considerado

uno de los tres ms grandes matemticos de la poca, la cual es denominadaLa edad

de oro de la matemtica griega. Se diferencia tanto de Euclides y Arqumedes, en

el sentido de la especializacin, y por la forma de de analizar y escoger los temaspareciere que tuviera una cierta competencia con Arqumedes

Vivi algunos aos en Prgamo en donde se haba construido una Universidad, la

cual tiene las mismas caractersticas que la de Alejandra, pero no la magnitud de esta.

Tal es la trascenda de sus obra en el estudio de las cnicas, que sustituyo los tratados

que sobre el mismo asunto escribieran Tanto Menecmo y Euclides. Se dice que por la forma de

analizar los problemas de su poca, fue un precursor de la geometra analtica. De all que fue conocido

comoEl Gran Gemetra.


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En su tratado sobre las secciones cnicas, hay tanta informacin e investigacin, que en

la actualidad son pocas cosas que se le han incrementado, y estos es obviamente utilizando las

matemticas modernas.

Igualmente al rumbo que han tenido diversos tratados de otros matemticos, gran parte de ellos,

se han perdido las originales y si es que existen algunos de ello son traducciones al rabe.

El aporte fundamental de Apolonio, es el hecho de poder obtener las secciones cnicas, a partir de

la interseccin de un plano con un cono, sin importar el ngulo que forman la generatriz y el eje, como

afirmaba Menecmo. El tipo de seccin cnica obtenida dependa fundamentalmente de la inclinacin del

plano secante con el eje. Este mismo concepto le permiti un mejor anlisis de los mismos. Apolonio fue

mas all de ello, ya que tambin planteo que la construccin de estas secciones cnicas, era independiente

del tipo de cono utilizado, es decir, podra ser un cono circular recto u oblicuo.

Elipse Parbola

H

Hiperbola

Otro aspecto que Apolonio, reviso de los textos anteriores sobre el tema, es el hecho de considerar

al cono circular recto, no como un cono de una sola hoja sino, como la composicin de dos conos

orientados en sentidos opuestos, donde las generatrices de uno son la prolongacin de las generatrices

del otro.

De all el error de algunos gemetras al mencionar a las dos hiprbolas, en vez de las ramas de

una hiprbola nica, no reconociendo el carcter dual de esta seccin cnica.

El nombre de las seccin cnicas, otro aporte de Apolonio es el nombre que le asigno a lo que

antes se le llamaba las triadas de Menecmo. De hecho que las palabras Elipse, Parbola y Hiprbola

fueron utilizados en la soluciones de ecuaciones cuadrticas por el mtodo de aplicacin de reas, Elipse

(Ellipsis) significaba deficiencia, Hyperbola significaba exceso y parbola donde no haba ni deficiencia ni

exceso. Fue Apolonio por sugerencia de Arqumedes, que coloca estos nombres y son los que con los que

se les conoce hasta la actualidad. Si bien es cierto que los nombres no podran significar mucho, pero en

esto caso, nos invita a tener presente la relacin de estas figuras con el algebra, que ya ms tarde John

Wallis con la ayuda de la geometra analtica, desarrollara ampliamente.


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Por otro lado algo que se tenia que superar (lo cual lo consigui Apolonio) sin duda era el hecho

de que las cnicas no se definan como lugares geomtricos de puntos del plano que satisfacen

una condicin determinada, tal como se suele hacer hoy, sino que se describan de una manera

estereomtrica como secciones de una figura tridimensional por un plano. Apolonio, al igual que

sus predecesores, obtena sus curvas a partir de un cono en el espacio tridimensional, pero luego

logro prescindir del cono lo ms rpidamente posible. A partir del cono dedujo una propiedad plana

fundamental o sntoma de la seccin, que viene a dar una condicin necesaria y suficiente para que

un punto est situado sobre la curva, y desde ese momento abandon ya el cono y procedi a estudiar

dicha curva por mtodos planimtricos exclusivamente.

Tal, es al avance y el aporte de Apolonio en las secciones cnicas, que en su misma poca, as

como tambin posteriormente, ya sea por error, por omisin o por envidia, an haba dificultades para

poder interpretar estos aportes. Por ejemplo uno de estos comentarios, planteaba la utilidad de la

profundizacin de las cnicas, otro propona una interpretacin incorrecta que an est muy extendida,

al respecto de que las nombres que Apolonio asigno a las secciones cnicas, fue segn el plano trazado

y su relacin con la segunda hoja del cono.

ElipseCuando el plano de corte quedaba corto respecto a

la segunda hoja del cono.

ParabolaCuando el plano de corte marchaba paralelamente

a la segunda hoja del cono.

HiperbolaCuando el plano de corte intersecaba a la segunda

hoja del cono.

Como obtiene Apolonio la ecuacin de las cnicas.

A partir del anlisis de que todo cono circular recto tiene no slo un sistema infinito de seccionescirculares paralelas a la de la base, sino tambin otro conjunto infinito de secciones circulares a las que

l llamo secciones subcontrarias (o anti paralelas) a las primeras.

V

FT

L

TN

R

M

A B

Sea el cono de base circular oblicuo, cuyo

dimetro esAB.

Se obtiene la seccin circular circunscrita

al NFR, determinado por un plano secante

paralelo a la base del cono.

Trazamos un segundo plano secante,

determinado la regin triangular TVL, de tal

modo que sea semejante a la regin triangular

VNF, orientados de manera opuesta.

Por relaciones mtricas en la circunferencia que

contiene a los vrtices del tringuloNRF:

MR2 = (NM)(MF)

Como el mVNF = mVLT, entonces:

TNM~FLM

NM(MF) = TM(ML)


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Si TM=x, TL=a yRM=y entonces se obtieney2 =x (a x)

x

ay

a

+ =

2 2

22

2

Como se observa es la ecuacin de una circunferencia.

Como se explico anteriormente, el hecho de obtener las secciones cnicas de forma estereomtrica,

lo hacia complicado de estudiar, pero he aqu la forma como Apolonio logro despojar a las cnicas de

esta condicin.

Obtencin de la propiedad de la elipse

1. Construccin del cono circular oblicuo.

2. Se traza el planoH, la cual obviamente interseca a todas las generatrices del cono.

3. Este plano interseca a las generatrices diametralmente opuestas AB yAC, en los puntos HyK

respectivamente. La interseccin de los segmentosHK yBC es el punto G.

4. Sea el segmentoPQ paralelo a la base del cono, que interseca al segmentoHKen el puntoM.

5. Trazamos por el segmento PQ un plano paralelo a la base del cono determinado una circunferencia

que contiene a los puntosD,PyE.

6. Se observa: HDM~ HBG

EntoncesDM

HM

BG

HGy DM

HM BG

HG= =

...( )I

7. Se observa: MEK~ KCG

EntoncesME

MK

CG

KGy ME

MK CG

KG= =

( )... II

8. En la circunferencia: por relaciones mtricas.

PM2 =DMME ...(III)

9. Reemplazando (I) y (II) en (III):

PM

HM BG

HG

MK CG

KG

2 =

A

E

K

H Q

D

P

M

BC

G

Si PM = y, HM = x yHK =

2a , la propiedad que expresa

la igualdad anterior se puede

expresar as:y2 = kx (2a x)

La cual representa una elipse que

tiene aHKcomo eje mayor.


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DESCRIPCIN DEL LIBRO DE APOLONIO

El inters que le puso Apolonio y el afn de que esto se conozca en el mundo matemtico, nos

puede indicar el individualismo que la historia le asigna, lo cual puede observarse en la siguiente carta

con que remiti a Eudemo el primer libro de las Cnicas. Dice as: Cuando estaba contigo en Prgamo

supe que deseabas conocer lo que he escrito sobre las cnicas, y por eso te envo el primer libro.Los otros te los mandare cuando pueda repasarlos, porque creo que no habrs olvidado que me

compromet a escribirlos a ruego del gemetra Necucrates cuando estuvo a verme en Alejandra,

y me encontr obligado a transcribrselos sin volverlos a ver porque se marchaba de viaje. Ahora,

que tengo tiempo, no los repartir sin haberlos corregido; pero como algunos amigos tienen los dos

primeros libros sin corregir, no te extraes si encuentras algn pasaje modificado. Los especialistas

han confirmado que es el libro V de los 8 libros, es el que tiene mayor importancia, por la investigacin

y el anlisis que lleg.

Apolloni PergaeiCONICORUM

Libro I


Libro II


Libro III

Inicia con la generacin de

las cnicas, pero una vez

que se obtienen mediante

consideraciones estereomtricas

las relaciones bsicas entre lo

que llamaramos las coordenadas

de un punto de la curva en

el plano, expresadas por lasecuaciones descritas, Apolonio

se dedica a estudiar por mtodos

planimtricos las propiedades

fundamentales de las cnicas.

Abunda en nuevas propiedades

y hace un estudio exhaustivo de

las asntotas. Al final del Libro

estudia el problema de trazar una

tangente que forme un ngulo

dado con el dimetro que pasa

por el punto de contacto.

Estudia primero propiedades

de tringulos y cuadrilteros

determinados por tangentes y

dimetros conjugados y otras

propiedades de las tangentes.


Libro IV


Libro V


Libro VI

Se estudian los puntos de

interseccin de las cnicas.

Destaca la Proposicin 9 que

exhibe un mtodo de trazar dos

tangentes a una cnica desde un

punto.

Es una de las principales obras

maestras de la Geometra griega.

Est dedicado a los segmentos

mximos y mnimos, es decir, a

la distancia mxima y mnima de

un punto a los de una cnica las

rectas normales

Est dedicado a la igualdad y

semejanza de cnicas. Sobresalen

en este Libro las Proposiciones

28, 29 y 30, donde se resuelve el

problema de dados una cnica y

un cono circular recto hallar una

seccin del cono que sea igual a

la cnica dada.


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Libro VII


Libro VIII

Relaciona numerosas propiedades de los dimetros

conjugados entre las que sobresalen las de lasProposiciones 12 y 13 acerca de la constancia de

la suma en la elipse y la diferencia en la hiprbola

de los cuadrados de los dimetros conjugados.

Se perdi, y se presume contena resultados para

determinar los dimetros conjugados de unacnica de tal manera que algunas funciones de sus

longitudes tuvieran valores dados.

SEMEJANZA EN LAS CNICAS

Tambin podemos darle importancia, en cuanto a los aportes de

Apolonio, el hecho de plantear la semejanza de las cnicas lo que esta

plasmado en el libro VI, a pesar de las limitaciones en cuanto al uso

de las coordenadas. A pesar de que es justamente es Apolonio quiense le atribuye los principios de la geometra analtica de Descartes.

Con un sistema que se anticipa a la geometra analtica, Apolonio

plantea (en el libro I) que la ecuacin de la cnica mantiene su forma

al realizar una transformacin de coordenadas basado en la tangente

y el dimetro que pasan por un punto Mde la cnica, a otro sistema

determinado por la tangente y el dimetro correspondientes a un

segundo punto Nsobre la misma cnica.

Utilizando los conceptos anteriores, Apolonio establece que todas

las parbolas son semejantes, y que una parbola no puede sersemejante a una elipse ni a una hiprbola, ni tampoco una elipse a

una hiprbola.

Tambin Apolonio, formula que al trazar planos paralelos entre si, pero secantes a un cono arbitrario

darn lugar a dos secciones semejantes, ya sea hiprbola o elpticas.

Bibliografa

Carl B. Boyer, Historia de la Matemtica, Versin espaola de Mariano Martnez Prez, Obra

fundamental y bastante completa que detalla el desarrollo de las matemticas.

Francisco Vera,Breve historia de la geometra, Un texto que tiene bastante anlisis en cuanto a los

diferentes aportes de las sociedades, en cuanto a la geometra.

A. I. Markushevich, Curvas Maravillosas, Interesante texto sobre el estudio de las curvas notables,

como las cnicas, lemniscata, etc.

A. Berenice Guerrero G., Geometra en el plano y en el Espacio, No presenta aspectos de la

geometra, sino tambin explica aspectos tericos bastante importantes de los slidos geomtricos,

entre ello el cono de revolucin.

11. objetivos del estudios de las conicas

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