conicas

ESCUELA POLITCNICA NACIONAL PATRICIO JARRN CALCULO VECTORIAL

CNICAS Y CUDRICAS

CNICAS

Se puede decir que la ecuacin general nica, vlida para todas las cnicas cuyos ejes son paralelos a los de sus coordenadaspodemos escribirla:

3Parbola:La parbola es la seccin producida en una superficie cnica de revolucin por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. = La parbola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

Elipse:La elipse es la seccin producida en una superficie cnica de revolucin por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ngulo mayor que el que forman eje y generatriz. < La hiprbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dosramas separadas.

CUDRICAS

Una superficie cudrica en el espacio es una ecuacin de segundo grado de la forma con A , B, C no todos nulos.

Elipsoide:Tiene por ecuacin cannica:

Donde, su centro es c(h,k,l).

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Hiperboloide de una hoja:

Tiene por ecuacin cannica:

Y si supones que h=0,k=0, l=0.Se tiene

Hiperboloide de dos hojas:Tiene por ecuacin cannica:

Y si supones que h=0,k=0, l=0.Se tiene

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8INTERSECCIN CON LOS EJES COORDENADOS Llamaremos interseccin de una superficie sobre un eje coordenado a la coordenada correspondiente del punto de interseccin de la superficie y el eje coordenado.

Interseccin con el eje X:

b ) Interseccin con el eje Y:

C ) Interseccin con el eje Z:

INTERSECCIN CON LOS PLANOS COORDENADOS Interseccin con el plano coordenado XY (z=0).

Interseccin son el plano coordenado XZ (y=0).

C ) Interseccin con el plano coordenado YZ (x=0).

INTERSECCIN CON LOS PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS Interseccin con los planos paralelos al plano YZ ( x=k )

Interseccin con los planos paralelos al plano XZ ( y=k )

C ) Interseccin con los planos paralelos al plano XY ( z=k )

Si K < 0

Si K > 0

Representacin de las superficies en R3Pasos para la construccin de superficies:En las intercepciones con los ejes, los puntos tienen la forma en el plano X (x, 0, 0) en el plano Y(0, y, 0) en el plano Z(0, 0, z), que como pertenecen a la ecuacin de la superficie, satisfacen la misma, y al hacerlo, podemos encontraren valor dex, yyz.

2. Verificar los interceptos con los ejes coordenados:Un razonamiento similar al de los interceptos nos lleva a encontrar las trazas de la superficie, que son las figuras que forma esa superficie cuando se intercepta con alguno de los ejes coordenados, entonces aqu buscamos ecuaciones sencillas. Los puntos de las trazas en los planos correspondientes tienen la siguiente expresin: en el plano XY(x, y, 0) en el plano XZ(x, 0, z) y en el plano YZ(0, y, z), que como pertenecen tambin a la superficie, deben satisfacer su ecuacin, por lo que al sustituir cada uno de esto puntos en la ecuacin de la superficie se determina la curva correspondiente (la ecuacin) de la traza en sus planos respectivos.

Tabla de simetraSi la ecuacin de la superficie no se altera cuando las variablesx, yyzson reemplazadas por:La superficie es simtrica respecto al:-x, y, zPlano YZx, -y, zPlano XZx, y, -zPlano XY-x, -y, zEje Z-x, y, -zEje Yx, -y, -zEje X-x, -y, -zOrigenVerificar las trazas:Para verificar la simetra de una superficie nos ayudamos de la siguiente tabla que dice:

4. Verificar la simetra de la superficie:Para hacerlo, se trazan planos paralelos a la superficie para observar que curva se forma cuando se interceptan. Ahora los puntos toman la forma: en el plano XY(x, y, k), k = z, en el plano XZ(x, k, z), k = y y en el plano YZ(k, y, z), k = x. 5. Verificar secciones. 6. Definir la extensin de la superficie.

Bibliografa:

http://www.vitutor.com/geo/coni/f_1.html

http://es.slideshare.net/josenorbeys/calculo-iii-larson?qid=19fad91e-55a1-4c0d-afc2-00851cc6a783&v=default&b=&from_search=2

http://es.slideshare.net/leosch/formulas-conicas-y-cuadricas

http://www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/cuadricas.pdf

https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/7287/2/2-Geometr%C3%ADa%20Anal%C3%ADtica.pdf