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Estudio analítico de las cónicas y sus propiedades geométricas
1º Bachillerato CiencasJuan Carlos Ballabriga
IES Benjamín de Tudela
El tema de las secciones cónicas no pertenece a la geometría elemental.El tratamiento más antiguo que ha llegado hasta nosotros es el que aparece en las Cónicas escrito por Apolonio de Perga, en el siglo II a.C.
Una SECCION CONICA es la curva que se traza sobre un cono, al ser intersectado por un plano.
Se define como el conjunto de puntos del plano que cumplen una misma propiedad
Se obliga de forma analítica a qué cumpla la condición y se deduce la ecuación que se busca
Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos dados
R(a,b)
Q(a’,b’)r
d(P,Q)=d(P,R)
P(x,y)
Desarrollando sale la ecuación general de una recta
2222 '' byaxbyax
Lugar geométrico de puntos que equidistan de dos rectas dadas
P(x,y)
r’:=A’x+B’y+C’=0
r:=Ax+By+C=0
d(P,r)=d(P,r’)
)',(''
'''),(
2222rPd
BA
CyBxA
BA
CByAxrPd
Para resolver la expresión con el valor absoluto se obtienen dos soluciones que corresponden a las dos bisectrices que se generan geométricamente
rr’
bisectrices
Lugar geométrico de puntos que están a la misma distancia de otro llamado centro
C(a,b)P(x,y)
La distancia constante la llamaremos radio
Radio
Centro
22222),( RbyaxRbyaxCPd
22222 22 Rbabyaxyx De donde podemos deducir que para el caso general, podemos escribir
02 pnymxyx
222
2
2
Rbap
bn
am
con
Es decir cualquier polinomio de 2 variables y segundo grado de la forma anterior es siempre la ecuación de una circunferencia
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a 2 puntos fijos llamados focos es constante
P(x,y)
F
cteFPdFPd )',(),(
2a Eje mayor. Por tanto a es el semieje mayor
2b
a
c
La constante es 2a, con a el semieje mayor. Supondremos una elipse centrada en el origen
F(-c,0)
F(c,0)
aFPdFPd 2)',(),(
d(P,F)+d(P,F’)=2a aycxycx 22222
P(x,y)
b a
ca
222 bca
2222 2 ycxaycx 2
2222 2
ycxaycx
222222222 4242 ycxayccxxayccxx
222
22 cxaycxa
cxaxcayccxxa 22242222 2)2(
)()( 22222222 caayaxca
222222 bayaxb
222 bca
22
22
22
22
22
22
ba
ba
ba
ya
ba
xb
12
2
2
2
b
y
a
x
simplificando
dividiendo
Lugar geométrico de los puntos del plano cuya resta de distancias a 2 puntos fijos llamados focos es constante
cteFPdFPd ),()',(P
2c
2a
La constante es 2a, con a el semieje mayor. Supondremos una hipérbola centrada en el origen
d(P,F)-d(P,F’)=2a aycxycx 22222
P(x,y)
F(c,0)F’(-c,0)
2222 2 ycxaycx 2
2222 2
ycxaycx
222222222 4242 ycxayccxxayccxx
222
22 cxaycxa
cxaxcayccxxa 22242222 2)2(
)()( 22222222 caayaxca
222222 bayaxb
222 bca
22
22
22
22
22
22
ba
ba
ba
ya
ba
xb
12
2
2
2
b
y
a
x
simplificando
dividiendo
Centrada en el origen
Centrada en un punto cualquiera
Con el eje focal vertical
P(x,y)
F(c,0)F(-c,0)
P(x,y)
F(x0+c, y0)F(x0-c, y0)
P(x,y)
F(0,-c)
F(0,c)
x0
y0
12
2
2
2
b
y
a
x1
)()(2
20
2
20
b
yy
a
xx
12
2
2
2
b
x
a
y
xa
by
Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta llamada directriz y de un punto, el foco
P
),(),( dPdFPd
d
p
V
O F=(p/2,0)
X= -p/2
),(),( dPdFPd 22
22y
px
px
),(),( dPdFPd
222
22y
px
px
desarrollando
22222 yppxxppxx pxy 22
Ecuación de una parábola
pxy 22
El vértice no es el origen
La directriz es horizontal
)(2)( 02
0 xxpyy
V(x0, y0)
)(2)( 02
0 yypxx
V(x0, y0)
Coeficiente de sustentación
Coeficiente de resistencia
Coeficiente de fuerza lateral
t
L
SV
LC
2
21
t
D
SV
DC
2
21
t
Y
SV
YC
2
21
Tiro parabólico
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ELIPSE Y CICLISMO
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Bobby Julich, GANADOR de la Paris Niza 2005 con plato elíptico Harmonic O.Symetric
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