ejercicios resueltos conicas

7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas

1/34

Las cnicas responden a la ecuacin general del tipo F( x , y ) = 0La ecuacin general de una cnica es:

0

minmincosmin

22 =+++++nteindependieotr

linealesostrcuadrtioctr

FEyDxCyBxyAx (I)

Bxy trmino rectangular, cuando aparece este trmino significa la cnica estarotada, en esta gua slo vamos a ver B=0(sin termino rectangular)

CIRCUNFERENCIA: Definicin: Es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un punto llamado

Centro y esa distancia es el radio. Ecuacin Cannica: 222 )()( ryx =+

Centro: ),( Radio: r En (I) A=B Cuando en (I) aparece A=B es del tipo Circunferencia, pero puede degenerar en un punto

o en no existe lugar geomtrico.

1) 1.1 Halle y grafique el lugar geomtrico de los puntos P(x,y)que distan 3 unidades de C(-2,3).1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas sea C(-2,3).Cules son las coordenadas de C en el sistema trasladado?1.3 Exprese la ecuacin de la cnica que obtuvo en 1 tomando como referencia el sistema(Ci,j)

1.1 C(-2.3) r=3Reemplazamos directamente en la ecuacin cannica de la Circunferencia:

222 )()( ryx =+

9)3()2(22

=++ yx1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas

sea C(-2,3).Cules son las coordenadas de C en el sistema trasladado?

Las ecuaciones de traslacin son:

=

=

yy

xx

'

'donde ),( es el centro de la circunferencia

=

+=

3'

2'

yy

xx

1.3 Exprese la ecuacin de la cnica que obtuvo en 1 tomando como referencia elsistema (Ci,j)Reemplazando las ecuaciones de traslacin en la ecuacin cannica obtenemos:

9''22 =+ yx

2) Halle las ecuaciones de las siguientes circunferencias:2.1 C(3,-4), r = 5


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Directamente reemplazamos el centro y el radio en la ecuacin cannica de la circunferencia:222 )()( ryx =+

25)4()3( 22 =++ yx

2.2 C(2,-1), pasa por el origen

En la ecuacin cannica de la circunferencia reemplazamos el centro:222

)()( ryx =+ 222 )1()2( ryx =++

Como el origen pertenece a la circunferencia verifica la ecuacin:222

)10()20( r=++214 r=+ 52 =r

5)1()2( 22 =++ yx

2.3 Su centro esta sobre el eje Y; que pasa por A(-1,1) y B(2,3)

222 )()( ryx =+

Como el centro esta sobre el eje y, cualquier punto del eje la componente x vale cero,

reemplazando en la ecuacin:

222)()0( ryx =+ (I)

El punto A verifica la ecuacin, reemplazamos en (I)222 )1()01( r=+

Lo mismo el punto B:222

)3()02( r=+

=++

=++

)(694

)(211

22

22

IIr

Ir

Igualando (I) y (II)

22 61322 +=+ 21326 = 114 = 4

11=

Reemplazando el valor de4

11= en 222 )1()01( r=+

22)4

111(1 r=+

2

16

491 r=+ 16

652=r

Reemplazamos en (I) : 222 )()0( ryx =+

16

65)

4

11( 22 =+ yx


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2.4 Su centro esta sobre la recta 2x + y = 0, que pasa por el origen y su radio es 5 .

Si el centro ),( esta sobre la recta verifica la ecuacin de la recta: y=2x 2=

Reemplazamos en la ecuacin cannica de la circunferencia 2= y r = 5222 )()( ryx =+

5)2()(22 =+ yx *

Pasa por el origen (0,0) pertenece a la circunferencia:5)20()0( 22 =+

5422 =+

55 2=

12= 11 ==

Reemplazamos en *:

5)2()1( 22 =+ yx o 5)2()1( 22 =+++ yx

3) Analice si las siguientes ecuaciones representan circunferencias e indique, cuandosea posible, las coordenadas del centro y el valor del radio:

12641.3 22 =++ yxyx

Completamos cuadrados, asociamos los trminos en x e y:

12)6()4( 22 =++++ yyxx

Dividimos el coeficiente del trmino lineal por 2(ese valor va a ser el segundo trmino

del binomio) y lo elevamos al cuadrado

Ese trmino lo sumamos a ambos miembros para que no altere la expresin

9412)96()44( 22 ++=++++ yyxx

25)3()2(22 =++ yx

Es una circunferencia de centro (-2,3) y radio 5

010242.322 =+++ yxyx

10)2()4( 22 =++++ yyxx

1410)12()44(22 ++=++++ yyxx

5)1()2( 22 =++ yx

Si observamos tenemos dos trminos elevados al cuadrado sumando, nunca nos puede dar unnmero negativo no existe lugar geomtrico

010623.3 22 =+++ yxyx

10)6()2( 22 =++++ yyxx

1910)96()12( 22 ++=++++ yyxx

0)3()1(22 =++ yx

Para que la suma de dos trminos nos de por resultado el valor cero puede pasar que los dos

trminos sean opuestos o los dos nulos, como estn elevados al cuadrado la nica alternativa esque sean cero.


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El valor de x que hace cero el primer trmino es 1 y el valor de y que hace cero el segundo

trmino es -3 Es el punto (1,-3)

Como podemos observar en estas tres ecuaciones, los coeficientes de los trminos cuadrticosson iguales, eran del tipo circunferencia, pero vimos que podan degenerar en un punto o no

existe lugar geomtrico.

4) Para qu valores reales de k las siguientes ecuaciones representan:i) circunferenciasii) puntos (escrbalos)iii) ningn lugar geomtrico real

021.4 22 =+++ kxyxCompletamos cuadrados.

2)( 22 =+++ ykxx

42)

4(

22

22 ky

kkxx +=+++

4

8)

2(

222 =++

ky

kx

Circunferencia:4

82 k>0 82 >k 8>k 22>k

Punto:4

82 k= 0 82 =k 8=k 22=k

k = 22 P(- 2 ,0)

k = - 22 P( 2 ,0)

No existe lugar geomtrico:4

82 kk

013462.4 22 =+++ kykxyx

kyykxx 13)4()6( 22 =++++

4913)44()96(2222

++=++++ kkyykkxx4139)2()3( 222 +=++ kkykx (*)

4139 2 + kk =0

18

513

18

2513 =

=k k = 1 k =

9

4


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- Cualquier valor entre9

4y 1 que reemplace en (*) no da por resultado un valor negativo,

los dems valores dan positivo.

k>1 k>9

4circunferencia

k = 1 k = 9

4Punto

k9

4 no existe lugar geomtrico

01464443.4 22 =++++ kkyxyx

Asociamos los trminos en x e y y en ambos casos sacamos factor comn 4

14)4

6(4)(4 22 =++++ kkyyxx

2222

49114)

169

23(4)

41(4 kkkkyyxx ++=++++

Tengamos en cuenta que al sumar4

1en el 1 miembro esta afectado por el 4, entonces en el 2

tengo que sumar4

1por 4. Lo mismo que el

16

9k2

kkkyx 44

9)

4

3(4)

2

1(4 222 =++

0)4

4

9( =kk

=

=

9

16

0

k

k

Puntos

=

=

)3

4,2

1(9

16

)0,2

1(0

k

k

k>0 y k son dos puntos0= un punto

0


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222 )333()2( rxx =+++222 )63()2( rxx =++

03636944 222 =++++ rxxxx0)40(3210 22 =++ rxx

0= 0)40(10.432 22 = r

040160010242 =+ r 57640 2 =r

5722 =r

5

72)3()2( 22 =++ yx

PARBOLA: DEFINICIN: Es el lugar geomtrico de los puntos P(x, y) que equidistan de una recta

fija llamada directriz y un punto fijo llamado foco. Vrtice ),(

En la ecuacin general de una cnica: 022

=++++ FEyDxCyAx , para que sea del tipoparbola A C tiene que ser cero Tengamos en cuenta que una parbola puede degenerar en un par de rectas, 1 recta o no

existe lugar geomtrico Eje focal paralelo al eje x

Vrtice : ),(

Foco: ),2

( +p

Directriz:2

py =

Lado recto: p2 Eje focal: =y

Ecuacin: )(2)( 2 = xpyEje focal paralelo al eje y:

Vrtice : ),(

Foco: )2

,( +p

Directriz:2

px =

Lado recto: p2

Eje focal: =x

Ecuacin : )(2)( 2 = ypx

6) Halle y grafique el lugar geomtrico de los puntos P( x , y ) que equidistan:6.1 del punto F(1,0) y de la recta x = -1

Si dibujamos la recta y el foco nos damos cuenta que la parbola es de eje focal coincidente con

el eje x y que el vrtice es el origen:


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)(2)( 2 = xpy

pxy 22 = por ser )0,0(),( =V

F(1,0) 12

=p

p=2 2p=4

Reemplazamos en la ecuacin xy 42 =

6.2 del punto F(0,-5) y de la recta y = 5.

Si analizamos como en el ejercicio anterior , concluimos que eje focal es coincidente con el eje y

y que tambin el vrtice es el origen

)(2)( 2 = ypx

pyx 22 =

F(0,-5) 52

=p

p = -10 2p = -20

yx 202 =

7) Obtenga las ecuaciones de las siguientes parbolas:7.1 V(0,0) , F(-2,0)El foco esta sobre el eje x eje focal x

Como el vrtice es el origen ecuacin : pxy 22 =

Foco(-2,0) 22

=p

p = -4 2p = -8

xy 82 =

7.2 V(0,0)pasa por P 0 (2,3) y su eje focal es el eje x

pxy 2

2 =

Si pasa por el punto P 0 (2,3) verifica la ecuacin 2.232 p=

2

92 =p

xy2

92 =

7.3V(-4,3)F(-4,1)Si marcamos estos puntos concluimos que la parbola es de eje paralelo al eje y

)(2)( 2 = ypx

reemplazamos las componentes del vrtice

)3(2)4( 2 =+ ypx

El foco es )2

,( +p

=(-4,1)

Si a este par ordenado le restamos las componentes del vrtice nos da p/2 22

=p

p = 4

2p = 8Por ltimo reemplazamos en la ecuacin


9/34

)3(8)4( 2 =+ yx

7.4 Eje paralelo al eje x, V(1,3), que pasa por (-1,-1)Eje paralelo al eje x )(2)( 2 = xpy

Vrtice =(1,3) )1(2)3( 2 = xpy

pasa por (-1,-1) verifica la ecuacin: )11(2)31( 2 = p16 = 2p(-2) 2p = -8

)1(8)3( 2 = xy

8) Para cada una de las siguientes ecuaciones8.1 04352 2 =++ xyx

8.2 322 += xxy

8.3 722 += yyxse pide:a) Completando cuadrados obtenga una ecuacin del tipo

)(2)()(2)(22 == xpyypx

b) Efectu una traslacin conveniente para que el nuevo origen de coordenadas coincidecon el vrtice de la parbola.

c) Obtenga las coordenadas del foco y del vrtice, la longitud del lado recto y lasecuaciones de la directriz y del eje focal(sugerencia: use las ecuaciones quecaracterizan la traslacin) .

d) Grafique

8.1 04352 2 =++ xyxCompletamos cuadrados, asociamos los trminos en x y sacamos factor comn 2

45)2

3(2

2 =+ yxx

8

945)

16

9

2

3(2 2 +=+ yxx

8

235)

4

3(2

2 = yx

)40

23

(5)4

3

(2

2

+= yx

respuesta: a) )40

23(

2

5)

4

3( 2 += yx

Vrtice : )40

23,

4

3( , parbola de eje focal paralelo al eje y


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ecuaciones de traslacin:

+=

=

40

23'

4

3'

yy

xx

reemplazando en la ecuacin obtenida en a)

'

2

5'2 yx = respuesta b)

2p =2

5 p =

4

5

8

5

2=

p

S(O,x,y) S(O,x,y)

Vrtice (0,0) )40

23,4

3(

Foco(0,-

8

5) )8

540

23,4

3(

Eje focal X=0x-

4

3=0

Directriz

Y= 8

5

Y+ 40

23

= 8

5

Lado recto

25 2

5

8.2 322 += xxya)

13)12( 2 +=+ yxx

2)1(2 = yx

b) ecuaciones de traslacin que reemplazamos en la ecuacin

=

=

2'

1'

yy

xx

''2

yx =2p = 1 p =

2

1

4

1

2=

p

S(O,x,y) S(O,x,y)

Vrtice (0,0) )2,1(

Foco(0,

4

1) (1,2+

4

1)

Eje focal X=0x-

4

3=0

Directriz Y= -41 Y-2= -

41

Lado recto 1 1

8.3 722 += yyx

722 = xyy


11/34

17)12( 2 +=+ xyy

6)1( 2 = xy

a) )6()1(2 += xy

b)

=

+=

1'

6'

yy

xx ''2 xy =

2p = -1 p = -2

1 4

1

2=p

S(O,x,y) S(O,x,y)

Vrtice (0,0) (-6,1)

Foco(-

4

1,0) (

4

25 ,1)

Eje focal Y=0 y-1=0

Directrizx=

4

1x+6=

4

1

Lado recto 1 1

9) Halle la ecuacin del arco parablico de base b y altura h representado en la figura.

Como observamos en la figura de la gua es una parbola de eje paralelo al eje y, cuya ecuacin

es: )(2)( 2 = ypx (I)

(0,0) pertenece a la parbola )0(2)0( 2 = p

Vrtice: (2

b,h) )0(2)

20(

2hp

b=

)(24

2

hpb =

2p = -h

b

4

2

Reemplazando 2p y el vrtice en (I)

)(4

)2

(2

2 hyh

bbx =

ELIPSE: Definicin: Es el lugar geomtrico de los puntos P(x,y) tales que la suma a dos puntos fijos

llamados focos es constante e igual a 2.a Semieje mayor: a , eje mayor: 2a Semieje menor: b , eje menor 2b Distancia focal: 2c Relacin pitagrica de la Elipse: 222 cba +=


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Lado rectoa

b22=

Excentricidada

c= (en la elipse b 0

22 =++++ FEyDxCyAx Para que sea del tipo elipse el signo de A debe ser igual alsigno de C

Tengamos en cuenta que una elipse puede degenerar exactamente igual que unacircunferencia, en un punto y no existe lugar geomtrico

Centro en el origen (0,0), Eje focal x Vrtices: ( 0,a ) Focos: ( 0,c ) Vrtices secundarios: ),0( b Ecuacin eje focal y = 0

Directrices e

a

x =

Ecuacin cannica 12

2

2

2

=+b

y

a

x

Centro en el origen (0,0), eje focal y Vrtices: ( a,0 ) Focos: (0, c ) Vrtices secundarios: )0,( b Ecuacin eje focal x = 0

Directricese

ay =

Ecuacin cannica 12

2

2

2

=+a

y

b

x

Centro ),( ,eje paralelo al eje x Vrtices: ( ,a ) Focos: ( ,c ) Vrtices secundarios: ),( b

Ecuacin eje focal =y

Directrices

e

ax =

Ecuacin cannica 1)()(

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

Centro ),( , eje paralelo al eje y Vrtices: ( a , ) Focos: ( c , ) Vrtices secundarios: ),( b Ecuacin eje focal =x


13/34

Directricese

ay =


2

2

2

2

=

+

a

y

b

x

10) Para cada una de las siguientes elipses, halle los semiejes mayor y menor, las coordenadasde vrtices y focos, y la excentricidad. Grafique.10.1 144169 22 =+ yx

10.2 623 22 =+ yx

10.3 1132 22 =+ yx

10.1 144169 22 =+ yxDividimos ambos miembros por 144

144916

22

=+yx

El denominador con mayor valor es 2a2a =16 a = 4 semieje mayor2b = 9 b = 3 semieje menor

222 cba += 222 bac = 2c =16-9 c = 7

Como a esta en el termino x , la elipse es de eje focal x

Vrtices: )0,4( Focos )0,7( excentricidad =

4

7

10.2 623 22 =+ yx

132

22

=+yx

2a =3 a = 3 semieje mayor2b = 2 b = 2 semieje menor

222 cba += 222 bac = 2c =3-2 c = 1

Como a esta en el termino y , la elipse es de eje focal y

Vrtices: )3,0( Focos )1,0( excentricidad =3

1


14/34

10.3 1132 22 =+ yx

1

3

11

2

11

22

=+yx

2a =211 a = 2

11 semieje mayor

2b =3

11 b =

3

11semieje menor

222 cba += 222 bac = 2c =3

11

2

11 c =

6

11

Como a esta en el termino x , la elipse es de eje focal x

Vrtices: )0,2

11

( Focos )0,6

11

(

excentricidad =6

11:

2

11e =

11

2.

6

11e =

3

1

11) En cada caso halle la ecuacin de la elipse que satisface las condiciones dadas:11.1 V 2,1 ( 5,0) Focos( 4,0)

11.2 Vrtices(0, 10) Excentricidad5

4

11.3 Focos (0, 4) Excentricidad5

4

11.4 Ejes coincidentes con los ejes coordenados y pasa por (4,3) y (-1,4)11.5 Focos( 3,0), pasa por (4,1)

11.1 V 2,1 ( 5,0) Focos( 4,0)

Si marcamos estos elementos concluimos que la elipse tiene centro en el origen y eje focal x

ecuacin: 12

2

2

2

=+b

y

a

x

a =5 y c = 4 que nos dan los vrtices y los focos, que son datos

Nos falta calcular b: 222 cba +=222 cab =

16252 =b

b 2 =9


15/34

1925

22

=+yx

11.2 Vrtices(0,

10) Excentricidad 5

4

Si ubicamos los vrtices vemos que en el punto medio esta el centro (0,0) y el eje focal es el eje

y 12

2

2

2

=+a

y

b

x

La componente del vrtice es a = 10

Por otro lado nos dan como dato la excentricidad 5

4=e

5

4=

a

c

Un error muy comn es suponer que c=4 y a=5 ESTA MAL

5

4=

a

cy a=10 ac

5

4= 10

5

4=c c=8

nos falta calcular el valor de b 222 cba +=222 cab =

641002 =bb 2 =36

Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuacin: 12

2

2

2

=+a

y

b

x

110036

22

=+yx

11.3 Focos (0, 4) Excentricidad5

4

Con los focos deducimos que el centro esta en el origen y el eje focal y

12

2

2

2

=+a

y

b

x

c = 4 dato del foco

5

4=e

5

4=

a

c ac

5

4= ca

4

5= 4

4

5=a a = 5

Nos falta el valor de b 222 cba +=

222 cab =

16252 =bb 2 =9

1259

22

=+yx

11.4 Ejes coincidentes con los ejes coordenados y pasa por (4,3) y (-1,4)


16/34

Con los ejes coincidentes con los ejes coordenados sabemos que el centro es el origen, pero

dndonos dos puntos no sabemos si es de eje focal x o y

Suponemos que es de la forma 12

2

2

2

=+b

y

a

xy despus vemos que pasa con la solucin

Los puntos pertenecen a la elipse entonces verifican la ecuacin:

(4,3) 1342

2

2

2

=+ba

191622=+

ba 1916

22

22

=+ba

ab 22 916 ab + = 22ba (I)

(-1,4) 14)1(

2

2

2

2

=+

ba 1

16122=+

ba 1

16122

22

=+

ba

ab 22 161 ab + = 22ba (II)

Igualamos (I) y (II): 22 916 ab + = 22 161 ab + 22 715 ab =

227

15ba =

Reemplazamos en (II)

2222

7

15

7

15.16 bbbb =+ sacamos factor comn 2b y dividimos por 2b

2

7

15

7

2401 b=+

2

7

15

7

247b=

15

7.

7

2472=b

15

2472=b

22

7

15ba =

15

247

7

152=a

7

2472=a

Reemplazamos los valores obtenidos en 12

2

2

2

=+b

y

a

x

1

15

247

7

247

22

=+yx

11.5Focos( 3,0), pasa por (4,1)

Con los focos deducimos que el centro es el origen y el eje focal es el x, tambin que c=3

12

2

2

2

=+ b

y

a

x

222 cba += 922 += ba *

(4,1) verifica la ecuacin : 111622

=+ab

222216 baab =+ reemplazando *2222 )9(916 bbbb +=++


17/34

098 24 = bb

2

9.46482 +=b2

1082 =b

b 2 = -1 que no puede ser o b 2 =9

Reemplazando el valor en 922 += ba

182 =aPor ltimo reemplazamos en la ecuacin:

1918

22

=+yx

12) Para cada una de las siguientes elipses:12.1 0482 22 =++ yxyx

12.2 017165489 22 =++ yxyxse pide:

a) Completando cuadrados obtenga una ecuacin del tipo

1)()(

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x

b) Efectu una traslacin conveniente para que O coincida con el centro de la elipse.c) Obtenga las coordenadas de focos , vrtices, la longitud del lado recto y las ecuaciones

de las directrices y del eje focal.

12.1 0482 22 =++ yxyx

Completamos cuadrados:

0)2(2)8( 22 =++++ yyxx

2160)12(2)168( 22 ++=++++ yyxx

18)1(2)4(22 =++ yx dividimos por 18

a) 19

)1(

18

)4( 22=

++

yx

b)

+=

=

1'

4'

yy

xx

c) 19

'

18

' 22 =+ yx

182 =a 2318 ==a

92 =b b = 3222 cba += 222 bac = 9182 =c =2c 9 c = 3


18/34

2

1

23

3==e lado recto = 24,4

23

9.22 2=

a

b

S(O,x,y) S(O,x,y)

Centro (0,0) (4,-1)

Vrtices )0,23( )1,234(

Focos ( 3,0) (4 3,-1)VrticesSecundarios

(0, 3) (4, 3-1)

Eje focal Y=0 Y = -1

Directrices 6' =x 64 =x

12.2 017165489 22 =++ yxyx

17)2(8)6(9 22 =+++ yyxx

88117)12(8)96(9 22 ++=+++ yyxx

72)1(8)3(9 22 =+ yx

19

)1(

8

)3( 22=

+

yx

b)

=

=

1'

3'

yy

xx

c) 19

'

8

' 22=+

yx

92 =a a = 3

82 =b 228 ==b222 cba += 222 bac = 892 =c c = 1

3

1=e lado recto =

3

162 2=

a

b

S(O,x,y) S(O,x,y)

Centro (0,0) (3,1)

Vrtices )3,0( )31,3(

Focos (0, 1) (3,1 1)Vrtices

Secundarios( 2 2 ,0) (3 2 2 ,1)

Eje focal X=0 X=3

Directrices 9' =y 91 =y


19/34

13) Determine el lugar geomtrico de los puntos que verifican:0)3249)(1( 2222 +


20/34

Semieje transverso: a , eje transverso: 2a Semieje conjugado o imaginario: b , eje conjugado 2b Distancia focal: 2c Relacin pitagrica de la Hiprbola : 222 bac +=

Lado rectoa

b22=

Excentricidada

c= (en la hiprbola >1)

En la hiprbola nosiempre a > b 0

22 =++++ FEyDxCyAx Para que sea del tipo hiprbola el signo de A debe ser distintoal signo de C

Tengamos en cuenta que la hiprbola puede degenerar en dos rectas concurrentes (queseran sus asntotas)

Centro en el origen (0,0), Eje focal x Vrtices: ( 0,a )

Focos: ( 0,c ) Vrtices secundarios: ),0( b Ecuacin eje focal y = 0

Directricese

ax =

Asntotas xa

by =

Ecuacin cannica 12

2

2

2

=b

y

a

x(trmino negativo relacionado con b)

Centro en el origen (0,0), eje focal y Vrtices: ( a,0 ) Focos: (0, c ) Vrtices secundarios: )0,( b Ecuacin eje focal x = 0

Directricese

ay =

Asntotas xb

ay =

Ecuacin cannica 12

2

2

2

=+a

y

b

x

Centro ),( ,eje paralelo al eje x Vrtices: ( ,a ) Focos: ( ,c ) Vrtices secundarios: ),( b

Ecuacin eje focal =y

Directricese

ax =


21/34

Asntotas )( = xa

by


2

2

2

2

=

b

y

a

x

Centro ),( , eje paralelo al eje y Vrtices: ( a , ) Focos: ( c , ) Vrtices secundarios: ),( b Ecuacin eje focal =x

Directricese

ay =

Asntotas )( = xb

ay


2

2

2

2

=

+

a

y

b

x

15) Para cada una de las siguientes hiprbolas, halle las longitudes de los semiejestransverso y conjugado, las coordenadas de vrtice y focos, la excentricidad y las ecuacionesdel eje focal, las directrices y las asntotas. Grafique.

15.1 144916 22 = yx

15.2 0360014425 22 =+ yx

15.3 0632 22 = yx

15.1 144916 22 = yx

1169

22

= yx eje focal x, con centro en el origen

392 == aa semieje transverso

162 =b b = 4 semieje conjugado222 bac += 2c = 9+16 c = 5

Vrtices: ( 3,0) Focos: ( 5,0) A 2,1 (0, 4)

Excentricidad e =3

5eje focal y = 0 directrices x =

5

9Asntotas y =

3

4x

15.2 0360014425 22 =+ yx

360014425 22 = yx

125144

22

=+yx

hiprbola con centro en el origen y eje focal y



22/34

1442 =b b = 12 semieje conjugado222

bac += 2c = 144+25 c = 13

Vrtices: (0, 5) Focos: (0, 13) A 2,1 ( 12,0)

Excentricidad e = 5

13

eje focal x = 0 directrices y = 13

25

Asntotas y= 12

5

x

15.3 0632 22 = yx

632 22 = yx

123

22

=yx

Hiprbola con centro en el origen y eje focal x


22 =b b = 2 semieje conjugado222 bac += 2c = 3+2 c = 5

Vrtices: ( 3 ,0) Focos: ( 5 ,0) A 2,1 (0, 2 )

Excentricidad e =3

5eje focal y = 0 directrices x =

5

3Asntotas y =

3

2x

16) En cada uno de los casos, obtenga la ecuacin de la hiprbola que satisfacen las

condiciones dadas:16.1 Vrtices( 5,0) Focos ( 7,0)

16.2 Vrtices(0, 7) e =3

4

16.3 e = 5 , focos en el eje x, centro en el origen y pasa por (3,2)16.4 Vrtices( 2,0) Asntotas y = 2x16.5 Centro en (-1,4), F1 (-1,2) V 1 (-1,3)16.6 Asntotas (2x-y = 0) y (2x + y = 0) y pasa por (3,2)

16.1Vrtices( 5,0) Focos ( 7,0)

A partir de los vrtices y focos deducimos: hiprbola con eje focal x, centro en el origen , a = 5y c = 7

Ecuacin: 12

2

2

2

=b

y

a

xnos falta el valor de b

222bac += 222 acb = =2b 49-25 =2b 24


23/34

12425

22

=yx

16.2Vrtices(0, 7) e =3

4

Con el vrtice deducimos que es de eje focal y, con centro en el origen y a =7

12

2

2

2

=+a

y

b

xnos falta b

e=3

4

a

c=3

4c=

3

4a c=

3

47 c =

3

28

222 bac += 222 acb = =2b 499

784 =2b

9

343

149

9

343

22

=+yx

16.3e = 5 , focos en el eje x, centro en el origen y pasa por (3,2)

La ecuacin tiene la forma: 12

2

2

2

=b

y

a

x

e = 5a

c= 5 c = 5 a

222 bac += 2225 baa += 22 4ab =

Reemplazando en la ecuacin : 1

42

2

2

2

=a

y

a

x

Y por ltimo el punto (3,2) 14

4922

=aa

182

=a

2a =8

224ab = 322 =b

1328

22

=yx

16.4Vrtices( 2,0) Asntotas y = 2xAl ubicar los vrtices en los ejes deducimos que tiene eje focal x, centro en el origen y el valor

de a = 2, la ecuacin tiene la forma 12

2

2

2

=by

ax

Por otro lado la asntota es y = 2x donde 2 =a

bb= 2a b=4 reemplazando en la

ecuacin:

1164

22

=yx


24/34

16.5Centro en (-1,4), F 1 (-1,2) V 1 (-1,3)En este ejemplo el centro no esta en el origen, y al ubicar el vrtice y el foco vemos que es de

eje focal paralelo al eje y, cuya ecuacin es de la forma: 1)()(

2

2

2

2

=

+

a

y

b

x

Centro ),( =(-1,4) 1)4()1(

2

2

2

2

=++a

y

b

x

Vrtices: ( a , )=(-1,3) si al vrtice le restamos el centro nos da el valor de a: a=1

Focos: ( c , )=(-1,2) si al foco le restamos el centro nos da c: c =2

Nos falta el valor de b: 222 bac += 222 acb = =2b 4-1 =2b 3

11

)4(

3

)1( 22=

+

+

yx

16.6Asntotas (2x-y = 0) y (2x + y = 0) y pasa por (3,2)Si dibujamos las asntotas deducimos que el centro es el origen, pero no sabemos si es de

eje focal x o y , pero al marcar el punto que pertenece a la hiprbola deducimos que es de

eje focal x

12

2

2

2

=b

y

a

x

De la asntota se deduce que: 2 =a

bb= 2.a, reemplazando en la ecuacin 1

4 2

2

2

2

=a

y

a

x

y por ltimo el punto (3,2): 14

4922

=aa

182

=a

2a =8

22 4ab = 322

=b

1328

22

=yx

17) Para cada una de las siguientes ecuaciones que corresponden a hiprbolas:17.1 03282 22 =+ yxyx

17.2 036362449 22 = yxxyse pide:

a) Completando cuadrados obtenga una ecuacin del tipo

1)()( 2

2

2

2

=

by

ax

b) Efectu una traslacin conveniente para que O coincida con el centro de la hiprbola.c) Obtenga las longitudes de los semiejes transverso y conjugado, las coordenadas de

focos , vrtices, la excentricidad las ecuaciones del eje focal y de las asntotas.d) Grafique

17.1 03282 22 =+ yxyx


25/34

Completamos cuadrados

3)2()4(2 22 =+++ yyxx

183)12()44(2 22 +=+++ yyxx

4)1()2(222 =+ yx

1

4

)1(

2

)2( 22=

+

yx

+=

=

1'

2'

yy

xx1

4

'

2

' 22=

yx

=2a 2 a = 2 semieje transverso2b =4 b = 2 semieje conjugado

222 bac += 422 +=c c = 6

excentricidad e =a

c= 3

2

6=

lado recto = 242

4.22 2==

a

b

S(o,xy) S(o,x,y)

Centro (0,0) (2,-1)

Vrtices ( 2 ,0) (2 2 ,-1)

Focos ( 6 ,0) (2 6 ,-1)

A 2,1 (0, 2) (2,-1 2)

Eje focal Y=0 Y+1=0

asntotas Y= 2 x Y+1= 2 (x-2)

17.2 036362449 22 = yxxy

36)4(9)6(4 22 =++++ yyxx

363636)44(9)96(4 22 +=++++ yyxx

36)2(9)3(4 22 =++ yx

14

)2(

9

)3( 22=

+

+

yx

=

+=

2'

3'

yy

xx1

4

'

9

' 22=+

yx

=2a 4 a =2 semieje transverso2b =9 b = 3 semieje conjugado

222 bac += 942 +=c c = 13

excentricidad e =a

c=

2

13

lado recto = 92

9.22 2==

a

b


26/34

S(o,xy) S(o,x,y)

Centro (0,0) (-3,2)

Vrtices (0,

2) (-3,2

2)Focos (0, 13 ) (-3,2 13 )

A 2,1 ( 3,0) (-3 3,2)

Eje focal X=0 X+3=0

asntotasY=

3

2x Y-2=

3

2(x+3)

18) Obtenga la ecuacin cannica, identifique y grafique las siguientes cnicas:18.1 0124721694 22 =+++ yxyx

18.2 015164 2 =+ xx18.3 09201644 22 =+ yxyx

18.4 01298150425 22 =++ yxyx

18.5 034222 = yxyx

18.6 04422 =+++ yyx

18.1 0124721694 22 =+++ yxyx

124)8(9)4(422

=++++ yyxx 14416124)168(9)44(4 22 ++=++++ yyxx

36)4(9)2(4 22 =++ yx

14

)4(

9

)2( 22=

++

yx

Elipse con Centro (-2,4),eje focal // al eje x

18.2 015164 2 =+ xx

8

15.4.41616 2 =x

8

416 =x

=

=

2

3

2

5

x

x

2 rectas //

18.3 09201644 22 =+ yxyx

9)5(4)4(4 22 =++++ yyxx


27/34

25169)4

255(4)44(4 22 +=++++ yyxx

0)2

5(4)2(4 22 =++ yx

0)2

5()2( 22 =++ yx

2

52 +=+ yx

x+2=y+2

5 x+2=-y-

2

5

2

1= xy

2

9= xy 2 rectas concurrentes

18.4 01298150425 22 =++ yxyx

129)2(4)6(25 22 =++++ yyxx

4225129)12(4)96(25 22 +=++++ yyxx

92)1(4)3(25 22 =++ yx

1

23

)1(

25

92

)3(22

=+

+ yx

Hiprbola de eje transverso // al eje x con centro (-3,-1)

18.5 034222 = yxyx

3)4()2( 22 =+++ yyxx

413)44()12( 22 +=+++ yyxx

0)2()1(22 =+ yx

21 += yx

x-1 = y + 2 x-1= -y + 2

y = x-3 y = -x-1

2 rectas concurrentes

18.6 04422 =+++ yyx

4)4( 22 =+++ yyx44)44( 22 +=+++ yyx

0)2( 22 =++ yx

Es un punto el (0,-2)


28/34

19) 19.1 Para cada p>0 , la ecuacin:ppyppx 2)2( 222 +=++

representa una elipse. Determine (en funcin de p) la excentricidad y las coordenadas delos focos.

19.2 deduzca la ecuacin cartesiana de la hiprbola que tiene los mismos focos que la

elipse de la parte a), y que tiene excentricidad 3 .

19.1 Para cada p>0 , la ecuacin:ppyppx 2)2(

222 +=++

representa una elipse. Determine (en funcin de p) la excentricidad y las coordenadas delos focos.

)2()2( 22 +=++ ppyppx

como p>0 podemos asegurar que p(p+2) 0, podemos dividir por esta expresin1

)2(

)2(

)2(

22

=+

++

+ pp

yp

pp

px

1)2(

22

=++ p

y

p

xel mayor de los dos denominadores es p+2 es de eje focal x, centro en el

origen de coordenadas

=2a p+22b =p

Para poder calcular el foco necesitamos el valor de c222 bac = =2c p+2-p =2c 2 2=c

Foco ( 2 ,0) excentricidad e =2

2

2

2

+=

+=

ppa

c

19.2 deduzca la ecuacin cartesiana de la hiprbola que tiene los mismos focos que laelipse de la parte a), y que tiene excentricidad 3 .

Foco ( 2 ,0) e = 3

La hiprbola tiene centro en el origen y el eje focal es x, 2=c

e = 3 e= 3

2

== aa

c

3

2

3

2==

a 3

22 =a

En la hiprbola 222 bac += 222 acb = =2b 2-3

2

=2b3

4

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuacin 12

2

2

2

=b

y

a

xobtenemos:


29/34

1

3

4

3

2

22

=yx

20) Obtenga todos los valores reales de k sabiendo que el eje focal de la hiprbola:

20.1 1)1()1( 22 =++ ykxkk es paralelo al eje de abscisas20.2 012622 =+++ kyxkyx es paralelo al eje de abscisas y el eje transverso mide 4

20.3 0164 22 =++ kxyx es paralelo al eje de ordenadas y el eje transversomide 8.

20.1 1)1()1( 22 =++ ykxkk es paralelo al eje de abscisas

Si es de eje x la ecuacin es de la forma: 12

2

2

2

=b

y

a

x, por lo tanto el primer trmino, en x, es

positivo y el segundo negativok(k-1)>0 y k+1


30/34

1616

4

16

)2( 22=

+

+ k

k

y

k

x

Si la hiprbola es paralela al eje de ordenadas tiene la forma: 1)()(

2

2

2

2

=

+

a

y

b

x

El eje transverso es 2.a =8 a = 4 1616 22 == kaya

-k-16=16 k = -32, reemplazando este valor en el segundo trmino de laecuacin me da por resultado un valor negativo, que es correcto para que nos de una hiprbola.

Rta: k = -32

21) Analice la ecuacin 1)()( 22 =+ ymhxkh en cada uno de los siguientes casos:21.1 k>h>m21.2 m>h>k21.3 h>k>m

21.1 k>h>mh-km

1)()( 22 =+ ymhxkh el primer trmino es negativo y el segundo positivo, es una hiprbolade eje focal o transverso y

21.2 m>h>kh-k>0

h-mk>mh-k>0

h-m>0

1)()(22 =+ ymhxkh los dos trminos son positivos, es una elipse

Vamos a analizar si puede ser una circunferencia:

Para que sea una circunferencia los coeficientes de los dos trminos deben ser iguales:h-k=h-m

de lo cual se deduce que k=m, es falso, por lo tanto nunca puede ser circunferencia

Rta: Elipse

22) Clasifique las siguientes ecuaciones para los distintos valores de k:22.1 1

3020

22

=

+ k

y

k

x

22.2 135

22

=

+ k

y

k

x

22.3 222 8)8( kkkyxk =+


31/34

22.1 13020

22

=

+ k

y

k

x

Hay dos valores que no puede tomar k que son los que hacen cero los denominadores: parak=20 y k=30 la ecuacin no esta definida

Tenemos que analizar el signo que puede tener cada trmino dependiendo de los valores de k.

Puede pasar que los dos trminos sean positivos simultneamente y la ecuacin representara

una elipse20-k>0 y 30-k>0 k


32/34

A partir de esta ecuacin )8()8(22 kkkyxk =+ si 08 kk dividimos ambos

miembros por k(8-k):

1)8(

22

=

+k

y

k

x

Y a partir de ac analizamos como los ejercicios anteriores k>0 y 8-k>0 k>0 y k8 hiprbola de eje x

k0 k 0; B = 123.3 A = 0; B < 123.4 A = 0; B > 1

23.1 A > 0; B > 1

Si B>l

B-1>0

signo coeficiente de2

x es igual al signo del coeficiente de2

y

lacnica es del tipo ElipseSi A=B-1 es del tipo Circunferencia

23.2 A > 0; B = 1La ecuacin queda de la forma: 032

2 =+ yxAx

Al estar una variable elevada al cuadrado y la otra lineal es una parbola de eje focal y.

23.3 A = 0; B < 1La ecuacin queda del tipo : 032)1(

2 =+ yxyB Parbola de eje focal x

23.4 A = 0; B > 1 032)1( 2 =+ yxyB Parbola de eje focal x

24) Clasifique la ecuacin 0)(4 2222 =+++ mykxyxhyx en cada uno de los siguientescasos:24.1 h = k = m = 124.2 h = k = -1; m = 024.3 h = 1; k = m = 0


33/34

24.4 h = 0; k = m = 1

24.1 h = k = m = 1Si reemplazamos en la ecuacin nos queda :

04 2222 =+++ yxyxyx

422

=+ yxx completamos cuadrados 42 2 +=++ yxx

4)2

1(2 2 +=++ yxx

8

14)

16

1

2

1(2 2 ++=++ yxx

8

33)

4

1(2 2 +=+ yx

Parbola de Vrtice )8

33,

4

1( de eje focal y

24.2 h = k = -1; m = 0

Si reemplazamos en la ecuacin 0)(42222 =+++ mykxyxhyx

Nos queda de la forma: 04 2222 =++ xyxyx

422 += xy

)4(2

12 += xy Parbola de eje focal x y Vrtice (-4,0)

24.3h = 1; k = m = 0

0)(4 2222 =+++ mykxyxhyx

042222 =++ yxyx

42 2 =x

2x =2

=

=

2

2

x

x2 rectas paralelas

24.4h = 0; k = m = 10422 =++ yxyx completamos cuadrados

422 =++ yyxx

4

1

4

14)

4

1()

4

1( 22 ++=++++ yyxx

2

9)

2

1()

2

1( 22 =++ yx


34/34

Circunferencia con centro )2

1,

2

1(

CONICAS ROTADAS

1. Clasificar las siguientes cnicas:a) 4x2-2xy+y2-14x+2y+13=0b) 4y2+4xy+2x2-8y-2x+9=0c) y2+2xy-6x-8y+15=0Rtas: a) Cnica degenerada en un punto b) Elipse real c) Dos rectas concurrentes

2. Clasificar y hallar los elementos de las cnicas:a) 5x2-3xy+y2-3x+2y-5=0b) -3x2+y2-4xy+x+2y-5=0Rtas.: a) Elipse real C(0,-1) Ejes x-2y-2=0 , 9x+2y-2=0 b) Hiprbola real C(5/2,-4)

ejercicios resueltos conicas

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