1. logica

Lgica Matemtica y Conjuntos

Juan Carlos Damin Sandoval

Universidad San Martin de Porres

Marzo del 2013

J.C.Damin . S (USMP) Lgica Matemtica y Conjuntos Marzo del 2013 1 / 22

Contenido

1 Lgica Matemtica


Es el estudio de los procesos vlidos del razonamiento humano.


Enunciado

Es toda frase u oracin que se emite.Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas,interrogativas; otros en cambio pueden ser verdaderos o falsos.

EjemploQu curso te has matriculado? Por qu estudias Matemticas? viva el Per!Jorge es Ingeniero.


Ununciado Abierto

Son expresiones que contienen variables y que no tienen la propiedadde ser verdaderos o falsos.

Ejemplox + 5 < 9x + 3 = 9El estudia matemticas.


Proposicin

Se llamara proposicin a todo enunciado al cual es posible asignarleuno y slo uno de los siguientes valores:Verdadero(V) o Falso (F).

EjemploLuis estudia Medicina en la USMP.Si estudio matemtica, entonces aprobar el examen.El cuadrado de todo nmero par tambin es par.

NotacinGeneralmente a las proposiciones se les denota con las letrasminsculas tales como p,q,r,s,t. . . alas que les denomina variablesproposicionales.


Clases de Proposiciones

Proposiciones SimplesLas proposiciones simples, llamadas tambin proposiciones atmicaso elementales, son aquellas expresiones que tiene un solo sujeto yun solo predicado.

EjemploPamela tine 15 aos.Tres es un nmero primo.El sol es una estrella.Ramn Castilla fue Presidente del Per.


Proposiciones CompuestasLas proposiciones compuestas llamadas tambin proposicionesmoleculares son aquella que estn constituidas por dos o masproposiciones simples.

EjemploSi est lloviendo, entonces hay nubes en el cielo.Si estudio matemtica, entonces aprobar el examen


Conectivos Lgicos

Son expresiones que enlazan dos o mas proposiciones. Entre estas, setiene: y, o,"si...entonces","si y solo si","no",etc.

DENOMINACN SIGNIFICADO OPERADORConjuncin y

Disyuncin Dbil o Inclusiva o Disyuncin Fuerte o Exclusiva o. . . o Y o por

Condicional Si,. . . ,entonces Bicondicional Si y solo si Negacin No; no es cierto


La validez de estos conectivos pueden representarse en tablas deverdad.

ObservacinSi tenemos kproposiciones p1, p2,3 , . . . , pk habrn 2kcombinaciones de valores.


OPERACIONES PROPOSICIONALES

ConjuncinLa conjuncin de las proposiciones p y q, denotada por p q, que selee p y q es la proposicin definida por la siguiente tabla devalores.

p q pqV V VV F FF V FF F F

Es importante tener presente que en el lenguaje comn se utilizan laspalabras "pero", "sin embargo", "mas an", "adems",etc. consignificado equivalente al de la palabra .


Disyuncin InclusivaLa disyuncin de las proposiciones p y q, denotada por p q, que selee p o q es la proposicin definida por la siguiente tabla devalores.

p q pqV V VV F VF V VF F F

Relaciona dos o ms proposiciones con la palabra O; que esdenotada por


Disyuncin ExclusivaLa disyuncin exclusiva o fuerte de las proposiciones p y q, denotadapor pq, que se lee p o q pero no ambos es la proposicindefinida por la siguiente tabla de valores.

p q pqV V FV F VF V VF F F

EjemploEmilio esta muerto o esta vivo.O hoy es lunes o hoy es mircoles.


CondicionalLa condicional de las proposiciones p y q, denotada por p q, quese lee Si p, entonces q es la proposicin definida por lasiguiente tabla de valores.

p q pqV V VV F FF V VF F V

En toda proposicin condicional, p q, la proposicin p se denominaantecedente y la proposicin q, consecuente de la condicin.


Tambin son conectivos condicionales los trminos:"por que","puesto que","ya que","Si","cuando","cada vez que","siempreque.etc.Todas se caracterizan por que despus de cada uno de estosconectivos est el antecedente.EjemploEl tringulo ABC es issceles, si es equiltero.Arturo no viaj a Europa por que perdi sus documentos.Si ahorro mucho dinero entonces pobre comprar un Auto.15 es mltiplo de 3 puesto que 15 es un nmero impar.


BicondicionalLa bicondicional de las proposiciones p y q, denotada por p q, quese lee p si y slo si q es la proposicin definida por la siguientetabla de valores.

p q pqV V VV F FF V FF F V

EjemploFernando comprar un automvil si y slo si obtiene un prstamo delBanco.


NegacinLa negacin de una proposicin p, denotada por p, que se leeno p no es cierto que p"se define mediante la tabla de valores.

p pV FF F

Es decir si p es verdadero,entonces p es falsa; si p es falsa, p esverdadera.Ejemplo1. Las rosas son rojas.2. Las rosas no son rojas.3. Es falso que las rosas son rojas.4. Las rosas son amarillas.

Como se puede notar (2) y (3) son cada una la negacin de (1) encambio (4) no es negacin de (1).


EVALUACIN DE ESQUEMAS MOLECULARES

PROCEDIMIENTO1. Se asigna a cada variable el nmero de valores de verdad

aplicando la frmula; 2n donde n es el nmero de proposiciones2. Se construyen las columnas de referencia al margen izquierdo del

esquema con todas las posibilidades de V y F .3. Se procede al aplicar la regla de cada uno de los operadores,

empezando por el de menor alcance y terminando con el demayor jerarqua.


Esquema Molecular es una:

TautologoaSi todos los valores de verdad del conectivo de mayor jerarqua sonverdaderos.

ContradicconSi todos los valores de verdad del conectivo de mayor jerarqua sonfalsos.

Contingenciacuando su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad.


EjemploEstable si el esquema molecular dado es una Tautologa,contradiccin o contingencia.

(p q) ( p q)

Solucin:Nmeros de valores de verdad 22 = 4

p q (p q) ( p q)V V F V V F F FV F V F V F V VF V V F V V V FF F V F V V V V

Notamos que el esquema molecular es una Tautologa.


EJERCICIOS

1. Simbolizar las siguientes proposiciones1. Luis sabe operar bien, sin embargo no es matemtico.2. Fernando es ingeniero industrial y pedro es administrador de

empresas.3. O Carlos va a trabajar en bicicleta o en auto.4. Jos es medico pero no ejerce su profesin.5. Martin es peruano pero no conoce lima.

2. Si el esquema molecular (q p) (r p) es falso, determineel valor de verdad de: (p x) (m y)

3. Si el esquema molecular ( p q) ( s r) es falso,determine el valor de verdad de:

( p q) [( r r) s]


EJERCICIOS

4. Evaluar los siguientes esquemas moleculares, especificando suresultado y decir si es una tautologa, contradiccin ocontingencia.1) [(p q) p] (p q)2) [(p q) p] ( p q)3) [(p q) r ] ( q p)4) [( p q) r ] [r (p q)]5) [(p q) ( q p)] p


Lgica Matemtica

1. logica

Documents