1 asignatura: autor: análisis numérico césar menéndez titulación: planificación: materiales:...

1

Asignatura:

Autor:

Análisis Numérico

César Menéndez

Titulación:

Planificación:

Materiales:

Conocimientos previos:

Aproximación

Ingeniero Técnico Informático

6 Teoría+1Tablero+0.5Laboratorio

MATLAB y apuntes

Tmas. básicos de Cálculo – Desarrollos de Taylor – Sistemas lineales –

Ultima actualización: 21/04/23

Análisis Numérico por César Menéndez Fernández

2

Aproximación

Ejemplo

Ensayos en laboratorio que miden, con un cierto error, la permeabilidad de un material para diferentes presiones

Estimar su permeabilidad para presiones intermedias Determinar la “medida” de la aproximación y

seleccionar la base de funciones– ¿Existencia y unicidad de solución?– ¿Buena aproximación?

Descripción

Objetivos

Temario

Bibliografía

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

presión(atm)

perm

eabi

lidad

Ajuste por mínimos cuadrados

InicialP

1 (x)

P2 (x)

P3 (x)

P4 (x)


3

Aproximación

Aproximación

Aprender los diferentes tipos de aproximación dependiendo de la “medida” y su interpretación geométrica

Entender la similitud entre el planteamiento de la minimización del error continua y discreta

Comprender la generación de la aproximación por mínimos cuadrados y los cambios de variable para linealizar el problema

Conocer las ventajas de los polinomios ortogonales para mejorar el condicionamiento del sistema

Ser capaz de valorar la fiabilidad del ajuste usando

gráficas o apreciaciones cuantitativas

Descripción

Objetivos

Temario

Bibliografía


4

Aproximación

Planteamiento

Sustitución de una función (conocida o tabulada) por otra “próxima” más simple

Función de ajuste como combinación de la base de un espacio funcional:

– Funciones base: polinómicas, trigonométricas, … Tipos de aproximación:

– Funcional: aproxima a otra función en un intervalo– Discreta (ajuste): aproxima un conjunto de datos

Función de aproximación es la “más próxima” a la función o datos conocidos

– ¿Cómo se mide la “proximidad”– Aproximación en espacios normados o cuasinormados

1

m

i ii

x x

Descripción

Objetivos

TemarioIntroducción

- Distancias- Minoración- Ejemplos

Mínimos cuadradosAprox. Uniforme

Bibliografía


5

Descripción

Objetivos




Bibliografía

Aproximación

Medidas

¿Cómo se mide la proximidad de un elemento a otro? Definición: Un espacio métrico es un conjunto M (a cuyos

elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada (también llamada métrica) que satisface las siguientes propiedades

– Si no cumple la última es un espacio pseudo-métrico Ejemplos:

– Distancia trivial: d(x,y)=1 para puntos diferentes– Distancia euclídea (en un espacio vectorial de dimensión n):

Pseudodistancia en los enteros: d(x,y)=resto(|x-y|,2) Habitualmente se trabaja con conjuntos que son espacios

vectoriales normados sobre el cuerpo R

:d M M R

, 0 ,

, 0

, , ,

, , , , ,

, 0 ,

d x y x y M

d x x x M

d x y d y x x y M

d x y d x z d z y x y z M

d x y x y x y M


6

Descripción

Objetivos




Bibliografía

Aproximación

Normas

Definición: Un espacio vectorial normado sobre un cuerpo K es un conjunto V (a cuyos elementos se les denomina vectores) con una función norma que satisface las siguientes propiedades

– Si no cumple la última es un espacio pseudo-normado Ejemplos (sobre el cuerpo de los reales):

Una norma siempre define una distancia

:V K x V x

0

,

,

0 0

x x V

x x x V K

x y x y x y V

x x

2

1 2 11 1

maxn n

nk k k

k nk k

V R x x x x x x

2

1 2, max

b b

a a a x bV f C a b f f x dx f f x dx f f x

,d x y x y


7

Aproximación

Producto escalar

Definición: Un espacio vectorial prehilbertiano sobre un cuerpo K es un conjunto V (a cuyos elementos se les denomina vectores) con una función producto escalar que satisface las siguientes propiedades

– Si el espacio vectorial es de dimensión finita se denomina euclídeo– Si no cumple la última propiedad es un espacio pseudo-prehilbertiano– En un espacio euclídeo el producto escalar viene asociado a una forma

sesquilineal, hermítica y definida positiva – Si el cuerpo es R, entonces la forma es bilineal y definida positiva

Ejemplos:

Un producto escalar siempre define una norma Una norma a veces define un producto escalar

,x x x

, : , ,V V K x y V x y

, 0

, , , ,

, , , , ,

, , ,

, 0 0

x x x V

x y x y x y V K

x y z x z y z x y z V

x y y x x y V

x x x

1

,

, , ,

nn

n b tk k a

k

V R V f C a b V M

x y x y f g f x g x dx A B tr B A

2 2 212 2

, : 2, 1 , ( 1, 1), 3x y x y x y x SI x NO x y

Descripción

Objetivos




Bibliografía


8

Aproximación

Minoración (minimización) del error

Seleccionado el espacio funcional y el valor n, encontrar que hagan mínima la distancia

Para asegurar la existencia y unicidad de solución, se debe trabajar en espacios normados o prehilbertianos

Tipos de aproximaciones: continua/discreta (norma/pseudonorma)– Mínimos cuadrados (norma 2)

– Uniforme (norma infinito)

1k k

x

2

1,2,1 1 2

2

11 1

2

1

min min

Discreta: ,

Continua: ,

i

m m

i i i i ii m

i i

N mN

k k i i i k kkk i

mb

i i iai

f x x x f x E

x f x E x f x

a b E x f x dx

1

, ,m

i ii

d f x x d f x x

1

n

i k

1,2,1 1

1 11

1

min min

Discreta: , max

Continua: , max

i

m m

i i i i ii m

i i

mN

k k i i i k kk k Ni

m

i i ia x b

i

f x x x f x E

x f x E x f x

a b E x f x

Descripción

Objetivos




Bibliografía


9

Aproximación

Representación (caso discreto)

Aproximación Error Máximo Promedio

Caso I MC 1.4839 (5) 2.3921

Unif 1.1210 (5) 2.6870

Caso II MC 17.1213 (6) 18.2036

Unif 10.2395 (6) 28.3372

Descripción

Objetivos




Bibliografía


10

Aproximación

Representación (caso continuo): cos(x)

Aproximación Error Máximo Area

Caso I MC 0.6366 0.2976

Unif 0.5000 0.3562

Caso II MC 0.8493 0.3447

Unif 0.7500 0.3757

Descripción

Objetivos




Bibliografía


11

Aproximación

Obtención de la aproximación por M.C.

Puesto que el error es siempre positivo, los valores para los que se alcanza el mínimo son iguales para

Los puntos minimales verifican que las parciales son nulas

Denotando por

se obtiene

que conduce a un sistema lineal cuya resolución calcula los coeficientes

1

, , 1, 2,m

i k i ki

x x x f x k m

2 21 2 1,2, 1,2,

y , , min mini i m i ii m i mE E E E

1 1 1 2 1 11

1 2 2 2 2 2 2

1 2

, , , ,

, , , ,

, , , ,

m

m

mm m m m m

x x x x x x x f x

x x x x x x x f x

x x x x x x x f x

21 2 3, , ,

0 1,2,n

k

Ek m

11

Discreta: ,, ,

Continua: ,

NN

k k k k kk

b

a

x x x yx x x x

x x dx a b

Descripción

Objetivos

TemarioIntroducciónMínimos cuadrados

- Planteamiento- Aprox. Discreta- Aprox. Continua- Linealización- No lineal- Ponderación- Valoración

Aprox. Uniforme

Bibliografía


12

Aproximación

Aproximación polinómica por M.C.

El espacio sobre el que se proyecta son los polinomios. Este espacio tiene infinitas bases, si bien la más conocida es

la base canónica– B={1,x,x2,x3,x4,…xn}– B={(1-x) n,x(1-x) n-1,x2(1-x) n-2,x3(1-x) n-3,x4(1-x) n-4,…xn}– …

Una base se denomina ortogonal cuando verifica

Una base ortogonal es ortonormal cuando

El sistema anterior se convierte en diagonal cuando la base es ortogonal, lo que lo hace muy sencillo de resolver. La dificultad se traslada a la obtención de la base ortogonal, ya que depende del intervalo (continua) o de los puntos (discreta)

0,

0i j

i jx x

i j

0,

1i j

i jx x

i j

Descripción

Objetivos


- Planteamiento- Aprox. Discreta- Aprox. Continua- No lineal- Ponderación- Valoración

Aprox. Uniforme

Bibliografía


13

Aproximación

Aproximación polinómica discreta por M.C. (I)

Tomando la base canónica, el sistema se escribe como:

Denotando por

Donde

Se tiene

2 1

1 1 1 1

2 1

1 1 1 1

2 2 2 2 2 1

1 1 1 1

1 1 1 2 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1

1

1

N N N Nm

k k kk k k k

N N N Nm

k k k k k k kk k k k

N N N Nm


N N N Nm m m m m


x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

2 11 2 31

1

1

12

23

1

1

1

1

mmx x x x x x x

N

kk

N

k kk

N

k kk

m

Nm

k kk

y

x y

x y

x y

A b

2 1

1 1 1 12 1

2 2 2 2

2 133 3 3

2 1

1

1

,1

1

m

m

m

mN

N N N

x x x y

x x x y

X Y yx x x

yx x x

t tk ky f x A X X b X Y

t tX X X Y

Descripción

Objetivos


- Planteamiento- Aprox. Discreta- Aprox. Continua

- No lineal- Ponderación- Valoración

Aprox. Uniforme

Bibliografía


14

Aproximación

Ej.1.-Aproximación polinómica discreta

Ejemplo: Obtener la mejor aproximación de la función constante f(x)=2 mediante funciones de la forma 0+1x+2x2 por mínimos cuadrados discreta utilizando los puntos {-2,-1, 0 ,1, 2}.

5 5 52

1 1 1

5 5 52 3

21 1 1

5 5 52 2 3 4

1 1 12

52

12

5

1

52

1

1

1 2 2 21 1 1 2

, 21 0 0

21 1 12

1 2 2

k kk k k

tk k k

k k k

k k kk k k

kk

tk k

k

k kk

x x

A X X x x x

x x x

X Y

y

b X Y x y

x y

0 0

1 1

2 2

5 0 10 10 2

0 10 0 0 0

10 0 34 20 0

A b

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía


15

Aproximación

Ej.2.-Aproximación polinómica discreta (I)

Ejemplo: Obtener la mejor aproximación por mínimos cuadrados de la función de Runge f(x)=(1+x2)-1 tomando la base {1,x}y utilizando los puntos {-2,-1, 0 ,1, 2}. Repetir el proceso tomando {1,x2}

15

5 5 51

21 1 1

5 5 52

12

1 1 11

5

12122550 0

1 1

1 2

1 1 1

,1 0 1

1 1

1 2

5 00

00 10 0

k kk k kt t

k k k kk k k

x y

X Y A X X b X Y

x x x y

A b y x

1225

2

15

5 5 52 212

1 1 12

5 5 52 4 2

122

1 1 112 5

1250

1352

1 2

1 1 1

, 11 0

1 1

1 2

5 10 5 10

10 34

k kk k kt t

k k k kk k k

x y

X Y A X X b X Y

x x x y

A b

13912 121755 5 0 2 13911

70 1751113 11705 5 2

5 10

10 34 0 14y x

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía


16

Aproximación

Ej.2.-Aproximación polinómica discreta (II)

Ejemplo: Obtener la mejor aproximación por mínimos cuadrados de la función de Runge f(x)=(1+x2)-1 tomando la base {1,x} y utilizando los puntos {-2,-1, 0 ,1, 2}. Repetir el proceso tomando {1,x2}

2

12251

2 1391170 1752

1

10

f xx

y x

y x

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Mínimos cuadrados discreta

Función

(1,x), E=0.13084

(1,x2), E=0.057371

Datos

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía


17

Aproximación

Aproximación polinómica continua (I)

Tomando la base canónica, y definido el intervalo [a,b] donde se desea aproximar la función, el sistema se escribe como:

2 1

12 1

2

2 2 2 2 2 1 3

1 1 2 1 1 1

1 1 1 1 1

1

1

1

b b b b m

a a a a

b b b b m

a a a a

b b b b m

a a a a

mb b b bm m m m m

a a a a

dx xdx x dx x dx

xdx x xdx x x dx x x dx

x dx x x dx x x dx x x dx

x dx x x dx x x dx x x dx

2 11 2 31

2

1

1

mmx x x x x x x

b

a

b

a

b

a

b m

a

f x dx

x f x dx

x f x dx

x f x dx

A b

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía


18

Aproximación

Ej.1.-Aproximación polinómica continua

Ejemplo: Obtener la mejor aproximación de la función constante f(x)=2 mediante funciones de la forma 0+1x+2x2 por mínimos cuadrados en el intervalo [-2,2].

2 2 2 22

2 2 2 20

2 2 2 22 312 2 2 2

2 2 2 222 3 4 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 23

2 2 2

2 2

2

1 2

2

2

1 4 2 8

0 0 2 0

16

3

dx xdx x dx dx

xdx x dx x dx x dx

x dx x dx x dx x dx

dx dx

xdx x dx x dx

x dx

2 24 2

2 2

0 0

1 1

2 2

64 322

5 316

4 03 8 2

160 0 0 0

332 0

16 640 3

3 5

x dx x dx

A b

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía


19

Aproximación

Ej.2.-Aproximación polinómica continua (I)

Ejemplo: Obtener la mejor aproximación por mínimos cuadrados de la función de Runge f(x)=(1+x2)-1 en el intervalo [-2,2] tomando la base {1,x}. Repetir el proceso tomando {1,x2}

22 2 2222 2 1

2 2 22 4 222 2 22

2 2

22 2

2 22 222 2

2 4

2

0

1

11 1

1

11

1 4 2.21431

16 10

3 164

5

2.21434 5.3

1.78575.3 12.8

dxdx x dx x

x dx x dx x dxx

dx dxx

x dx x dxx

x dx

0

1

2

0.8270

0.2051

0.2051 0.8270y x

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía

22 2

222 2 1

2 2 22 22 2 22

2 2

22 2

2 2

22 2

2 2

2

0

1

0

1

11 1

1

11

1 4 2.21431

10 0

116

34 0 2.2143

0 5.3 0

0.5536

0

dxdx xdx x

xdx x dx x dxx

dx dxx

xdx x dxx

x dx

0 0.5536y x


20

Aproximación

Ej.2.-Aproximación polinómica continua (II)

Ejemplo: Obtener la mejor aproximación por mínimos cuadrados de la función de Runge f(x)=(1+x2)-1 en el intervalo [-2,2] tomando la base {1,x}. Repetir el proceso tomando {1,x2}

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía

2

1

22

1

10 0.5536

0.2051 0.8270

f xx

y x

y x


21

Aproximación

Linealización

Tanto en el caso discreto como en el continuo, los cálculos se han basado en la linealidad de la función, esto es,y= 1 f1(x) + 2 f2(x) + … m fm(x)

Cuando la función es NO LINEAL bien se linealiza (si es posible), o bien se resuelve el sistema no lineal obtenido (ver tema de resolución de sistemas no lineales)

Linealización de funciones habituales

– Exponencial

– Potencial

– Crecimiento

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía ˆln ln lnbx bxy ae y ae a bx y A bx

ˆ ˆln ln ln lnb by ax y ax a b x y A bx 1 1

ˆ ˆax bx c b c

y y A Bxbx c y ax a a x


22

Aproximación

Pesos

En ocasiones interesa que el error se minore más en una parte del intervalo (continua) o para ciertos puntos (discreta), para la que se introduce una función de ponderación o unos pesos, que deben ser siempre positivos

Ejemplos de funciones de peso en un intervalo (extrapolable al valor en un punto)

– Mayor importancia en el centro: w(x)=exp(-x2)– Mayor importancia en los extremos w(x)=1-exp(-x2)

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía

11 1

Discreta: , 1,

Continua: , 1

N NN

k k k k k kkk k

b b

a a

x y x xx x

a b x x x dx x dx


23

Aproximación

Cuantificación del error

Dada la función conocida y la de ajuste, el error viene dado por

pero ¿es grande o pequeño? Es necesario un estudio estadístico que indique cuanta variación de y

explica x: coeficiente de regresión

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía

2

1 11

2

2

Discreta: ,1

Continua: ,1

: 1 con 1

N N

k kN k k

k k yk

b b

a ay

y x ry x

y

y y yx y S y

N m NVarianza f xf x y dx f x dx

a b S yN m b a

S SCorrelación r S

S N m

0

2

11

2

, Error Cuadrático ,

Discreta: ,

Continua: ,

n

i i ri

NN

k k r k kkk

b

r a

f x x x S f x x f x x

x f x S f x x

a b S f x x dx


24

Aproximación

Intervalos de confianza de los coeficientes

Dada la función conocida y la de ajuste, el error viene dado por

pero ¿es grande o pequeño? Es necesario un estudio estadístico que indique cuanta variación de y

explica x: coeficiente de regresión

1

2

11

2

, Error Cuadrático ,

Discreta: ,

Continua: ,

m

i i ri

NN

k k r k kkk

b

r a

f x x x S f x x f x x

x f x S f x x

a b S f x x dx

2

1 11

2

2

Discreta: ,1

Continua: ,1

: 1 con 1

N N

k kN k k

k k yk

b b

a ay

y x ry x

y

y y yx y S y

N m NVarianza f xf x y dx f x dx

a b S yN m b a

S SCorrelación r S

S N m

Descripción

Objetivos



Aprox. Uniforme

Bibliografía


25

Aproximación

Aproximación polinómica por M.C.

El espacio sobre el que se proyecta son los polinomios. Este espacio tiene infinitas bases, si bien la más conocida es

la base canónica– B={1,x,x2,x3,x4,…xn}– B={(1-x) n,x(1-x) n-1,x2(1-x) n-2,x3(1-x) n-3,x4(1-x) n-4,…xn}– …

En ocasiones interesa que el error se minore más en una parte del intervalo (continua) o para ciertos puntos (discreta), para la que se introduce una función de ponderación o unos pesos, que deben ser siempre positivos

– Ejemplos de funciones de peso en un intervalo (extrapolable al valor en un punto)

11

Discreta: ,,

Continua: ,

NN

k k k k k kk

b

a

x x x yx x

x x x dx a b

Descripción

Objetivos



Mínimos cuadrados- Planteamiento- Aprox. Discreta- Aprox. Continua- Linealización- No lineal- Ponderación- Valoración

Aprox. Uniforme- Planteamiento- Aprox. Discreta- Aprox. Casi

continua- Aprox. Continua

Bibliografía

1 asignatura: autor: análisis numérico césar menéndez titulación: planificación: materiales:...

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