Ecuaciones diferenciales parciales Prefacio (v)1. SOLUCIN DE ECUACIONES Y EIGEN VALOR PROBLEMAS 1-621.1 Solucin de ecuaciones algebraicas y trascendentales, 11.1.1 Introduccin, 11.1.2 Aproximacin inicial para un procedimiento iterativo, 41.1.3 Mtodo de False Posicin, 61.1.4 Mtodo de Newton-Raphson, 111.1.5 Mtodo general iteracin, 151.1.6 Convergencia de los mtodos de iteracin, 191.2 Sistema lineal de ecuaciones algebraicas, 251.2.1 Introduccin, 251.2.2 Mtodos directos, 261.2.2.1 Mtodo de Gauss Eliminacin, 281.2.2.2 Mtodo de Gauss-Jordan, de 33 aos1.2.2.3 inversa de una matriz por el mtodo de Gauss-Jordan, de 35 aos1.2.3 Los mtodos iterativos, 411.2.3.1 Mtodo de Gauss-Jacobi iteracin, 411.2.3.2 Gauss-Seidel Mtodo de iteracin, 461.3 Valor Eigen Problemas, 521.3.1 Introduccin, 521.3.2 Mtodo de alimentacin, 531.4 Respuestas y Consejos, 592. INTERPOLACIN Y APROXIMACIN 63-1082.1 Introduccin, 632.2 Interpolacin con Puntos distribuidas de manera desigual, 642.2.1 Interpolacin de Lagrange, 64La interpolacin Diferencia Dividido 2.2.2 de Newton, de 72 aos2.3 Interpolacin con Puntos espaciados uniformemente, 80Delantero interpolacin Diferencia Frmula 2.3.1 de Newton, 89Backward interpolacin Diferencia Frmula 2.3.2 de Newton, 922.4 Spline de interpolacin y Splines cbicos, 992.5 Respuestas y Consejos, 1083. diferenciacin numrica E INTEGRACIN 109-1793.1 Introduccin, 1093.2 Diferenciacin numrica, 1093.2.1 Mtodos basados en diferencias finitas, 1093.2.1.1 Uso de Derivados Forward Diferencia frmula de Newton, 1093.2.1.2 Uso de Derivados Backward Diferencia frmula de Newton, 1173.2.1.3 Uso de Derivados Dividido Diferencia frmula de Newton, 1223.3 Integracin Numrica, 1283.3.1 Introduccin, 1283.3.2 Reglas de integracin basada en uniforme de malla Espaciado, 1293.3.2.1 Trapecio Regla, 1291/3 Regla 3.3.2.2 de Simpson, 1363.8 Regla 3.3.2.3 de Simpson, 1443.3.2.4 Mtodo de Romberg, 1473.3.3 Reglas de integracin basada en la no-uniforme de malla Espaciado, 1593.3.3.1 Gauss-Legendre Reglas Integracin, 1603.3.4 Evaluacin de integrales dobles, 1693.3.4.1 Evaluacin de integrales dobles Usando Trapecio Regla, 1693.3.4.2 Evaluacin de integrales dobles por la regla de Simpson, 1733.4 Respuestas y Consejos, 1774. PROBLEMAS valor inicial para ORDINARIOECUACIONES DIFERENCIALES 180-2404.1 Introduccin, 1804.2 Paso de uno o varios mtodos de paso, 1824.3 Mtodo de Taylor Series, 1844.3.1 Modificados Mtodos de Euler y de Heun, 192Mtodos 4.4 Runge-Kutta, 2004.5 Sistema de Primer Orden Problemas de valor inicial, 2074.5.1 Mtodo de Taylor Series, 2084.5.2 Runge-Kutta de cuarto Mtodo Orden, 2084.6 Multi Mtodos Paso y prediccin-correccin Mtodos, 2164.6.1 Mtodos Predictor (Mtodos de Adams-Bashforth), 2174.6.2 Mtodos del corrector, 2214.6.2.1 Mtodos de Adams-Moulton, 221Mtodos 4.6.2.2 Milne-Simpson, 224Mtodos 4.6.2.3 Predictor-corrector, 2254.7 Estabilidad de Mtodos Numricos, 2374.8 Respuestas y Consejos, 2385. problemas de contorno EN DIFERENCIALES ORDINARIASECUACIONES Y INICIALES Y PROBLEMAS DE VALOR LMITE ENEcuaciones en derivadas parciales 241-3095.1 Introduccin, 2415.2 Lmites Valor Problemas Gobernado por segundo orden ecuaciones diferenciales ordinarias ,2415.3 Clasificacin de los lineales de segundo orden ecuaciones diferenciales parciales , 2505.4 Mtodos finitos diferencia para Laplace y Poisson Ecuaciones , 2525.5 Mtodo de diferencias finitas para la Conduccin de Calor ecuacin , 2745.6 Mtodo de diferencias finitas para la ecuacin de onda , 2915.7 Respuestas y Consejos, 308 241

Problemas de contorno son de gran importancia en la ciencia y la ingeniera. En este captulo,vamos a discutir la solucin numrica de los siguientes problemas:(A) problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias.problemas (b) Valor Lmite gobernados por ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden.Vamos a discutir la solucin de la ecuacin de Laplace uxx + uyy = 0 y elPoisson ecuacin uxx + uyy = G (x, y).(C) problemas de contorno iniciales que se rigen por diferencial parcial lineal de segundo ordenecuaciones. Vamos a discutir la solucin de la ecuacin del calor ut = c2uxx y la olaecuacin UTT = c2uxx en las condiciones iniciales y de contorno dadas.! "#"$$% & '# & "#(("$)" &Una segunda ecuacin diferencial ordinaria orden general est dada pory "= f (x, y, y '), x [a, b]. (5,1)Como la ecuacin diferencial ordinaria es de segundo orden, tenemos que recetar doscondiciones adecuadas para obtener una solucin nica del problema. Si se prescriben las condicionesen los puntos extremos x = a y x = b, entonces se llama una de dos puntos problema de contorno. Para nuestrodiscusin en este captulo, se tendr en cuenta nicamente el diferencial ordinaria lineal de segundo ordenecuacina0 (x) y "+ a1 (x) y '+ a2 (x) y = d (x), x [a, b] (5,2)o, en la forma______________________________________________________

242MTODOS NUMRICOSy "+ p (x) y '+ q (x) y = r (x), x [a, b]. (5.3)Vamos a suponer que existe la solucin de la Ec. (5.3) y es nico. Esto implica quea0 (x), a1 (x), a2 (x) y d (x), o p (x), q (x) y r (x) son continuas para todo x [a, b].Las dos condiciones necesarias para resolver la Ec. (5.2) o la Ec. (5.3), puede ser prescrita en el siguientetres maneras:(I) Condiciones de contorno de primera clase La variable dependiente y (x) se prescribe en elextremo puntos x = a y x = b.y (a) = A, y (b) = B. (5,4)(Ii) Las condiciones de contorno de segunda clase El derivado normal de y (x), (pendiente de lacurva solucin) se prescribe en los puntos extremos x = a y x = b.y '(a) = A, y' (b) = B. (5,5)(Iii) Las condiciones de contorno del tercer tipo o condiciones de contorno mixtasa0 y (a) - a1 '(a) = y A,b0y (b) + b1 y '(b) = B, (5,6)donde a0, a1, b0, b1, A y B son constantes tales quea0a1 0, | a0 | + | a1 | 0, b0b1 0, | b0 | + | b1 | 0, | a0 | + | b0 | 0.Vamos a considerar la solucin de la Ec. (5.2) o la Ec. (5.3) bajo las condiciones de contorno deprimera clase nica, es decir, vamos a considerar la solucin del problema de contornoy "+ p (x) y '+ q (x) y = r (x), x [a, b]y (a) = A, y (b) = B. (5,7)Mtodo de diferencias finitas subdividir el intervalo en n subintervalos [b a] la igualdad. La longituddel subintervalo se llama la longitud del paso. Denotamos la longitud del paso por Dx o h. Por lo tanto,? X = h = b an-, O b = a + nh.Los puntos a = x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, ....., xi = x0 + ih, ....., xn = x0 + nh = b, se llamanlos nodos o puntos nodales o puntos de la red (Fig. 5.1).a = x0 x1h hx2hxi xi-1 xi + 1 xn = bFig. 5,1 nodos.Denotamos la solucin numrica en cualquier punto xi por yi y la solucin exacta por y (xi).En el captulo 3, hemos derivado las siguientes aproximaciones a los derivados.Aproximacin a y '(xi) en el punto x = xi(I) Avanzar aproximacin de diferencias de primer orden o O (h) la aproximacin:y '(xi) 1h[Y (xi + 1) - y (xi)], o y'i =1h[Yi + 1 - yi]. (5,8)

243Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... (Ii) Backward aproximacin de diferencias de primer orden o O (h) la aproximacin:y '(xi) 1h[Y (xi) - y (xi-1)], o y'i =1h[Yi - yi-1]. (5.9)(Iii) la diferencia central aproximacin de segundo orden o O (h2) aproximacin:y '(xi) 12h[Y (xi + 1) - y (xi-1)], o y'i =12h[Yi + 1 - yi-1]. (5,10)Aproximacin a y "(xi) en el punto x = xiDiferencia central aproximacin de segundo orden o O (h2) aproximacin:y "(xi) 1h2[Y (xi + 1) - 2y (xi) + y (xi-1)],o y "i =1h2[Yi + 1 - 2yi + yi-1]. (5,11)La aplicacin de la ecuacin diferencial (5.3) en el nodo punto x = xi, obtenemosy "(xi) + p (xi) y '(xi) + q (xi) y (xi) = r (xi). (5,12)Puesto que y (a) = y (x0) = A e y (b) = y (x) = B se prescriben, necesitamos determinar lasoluciones numricas en el n - 1 puntos nodales x1, x2, ..., xi, ...., xn-1.Ahora, y '(xi) se aproxima por una de las aproximaciones dadas en las ecuaciones. (5,8), (5,9), (5,10)y y "(xi) se aproxima por la aproximacin dada en la Ec. (5.11). Dado que las aproximaciones(5.10) y (5.11) son ambos de segundo orden, la aproximacin de la ecuacin diferencial es desegundo orden. Sin embargo, si y '(xi) se aproxima por (5.8) o (5.9), que son de primer orden, entoncesla aproximacin de la ecuacin diferencial es solamente de primer orden. Pero, en muchas prcticasproblemas, sobre todo en Mecnica de Fluidos, aproximaciones (5,8), (5,9) dan mejores resultados (no oscilatoriosoluciones) que la aproximacin diferencia central (5.10).Uso de las aproximaciones (5.10) y (5.11) en la Ec. (5.12), obtenemos1h2[Yi + 1 - 2yi + yi-1] +p xh(Yo)2[Yi + 1 - yi-1] + q (xi) yi = rio 2 [yi + 1 - 2yi + yi-1] + hp (xi) [yi + 1 - yi-1] + 2H2 q (xi) yi = 2H2 ri.El cobro de los coeficientes, podemos escribir la ecuacin comoai yi-yi + 1 + bi ci yi + 1 = di, i = 1, 2, ..., n - 1 (5,13)donde ai = 2 - CV (xi), bi = - 4 + 2H2 q (xi), ci = 2 + hp (xi), di = 2h2r (xi).Apliquemos ahora el mtodo en los puntos nodales. Tenemos las siguientes ecuaciones.En x = x1, o i = 1:a1 + b1 y0 y1 + y2 = c1 d1 o b1 c1 y1 + y2 = d1 - a1A = d1*. (5.14)En x = xi, i = 2, 3, ..., n - 2:ai yi-yi + 1 + bi ci yi + 1 = di (5.15)244 MTODOS NUMRICOSEn x = x n-1, o i = n - 1:an-1 yn-2 + bn-1 yn-1 + cn-1 yn = dn-1, o un-1 yn-2 + bn-1 yn-1 = dn-1 - cn-1 B = dn-1*. (5.16)Ecs. (5.14), (5.15), (5.16) dan lugar a un sistema de (n - 1) x (n - 1) ecuaciones Ay = D para elincgnitas y1, y2, ..., yi, ..., yn-1, donde A es la matriz de coeficientes yy = [y1, y2, ..., yi, ..., yn-1] T, d = [d1*, D2, ..., di, ..., dn-2, dn-1*] T.Es interesante estudiar la estructura de la matriz de coeficientes A. Consideremos el casocuando el intervalo [a, b] se subdivide en n = 10 partes. Entonces, tenemos 9 incgnitas, y1, y2, ....,Y9, y la matriz de coeficiente A es como se indica a continuacin.Observacin 1 Reconoce la estructura de A? Es un sistema tri-diagonal de ecuaciones algebraicas.Por lo tanto, la solucin numrica de la ecuacin. (5.2) o la Ec. (5.3) por diferencias finitas da lugar a unasistema tri-diagonal de ecuaciones algebraicas, cuya solucin se puede obtener mediante el uso de la Gaussmtodo de eliminacin o el algoritmo de Thomas. Sistema Tri-diagonal de ecuaciones algebraicas esel ms fcil de resolver. De hecho, incluso si el sistema es muy grande, su solucin puede obtenerse en unapocos minutos a un moderno PC de escritorio.A =b ca b ca b ca b ca b ca b ca b ca b cb c1 12 2 23 3 34 4 45 5 56 6 67 7 78 8 89 90 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0????????????????????????Observacin 2 Puede el sistema de ecuaciones (5.13) siempre convergen? Tenemos el siguiente suficientescondicin: Si el sistema de ecuaciones (5.13) es diagonal dominante, entonces siempre converge.El uso de las expresiones de ai, bi, ci, podemos tratar de encontrar el rumbo a h para los que esta condicin essatisfecho.Ejemplo 5.1 Deducir las ecuaciones en diferencias para la solucin del problema de contornoy "+ p (x) y '+ q (x) y = r (x), x [a, b]y (a) = A, y (b) = Butilizando aproximacin diferencia central para y "y hacia adelante aproximacin diferencia para y '.Solucin Utilizando las aproximacionesy '' = + - + - '= + -hs s s sh i i i i i yi yi1212 [1 1], [1]en la ecuacin diferencial, obtenemos12 2 1 1 1 hs s sp xhi i i y y q x y r xyo[] I i i i i()+ - + - + [+ -] + () = ()____________________________________________________________________Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 245o [yi + 1 - 2yi + yi-1] + hp (xi) [yi + 1 - yi] + h2 q (xi) yi = h2rio bi yi yi yi + ci-1 + + 1 = di, i = 1, 2, ..., n - 1donde bi = - 2 - CV (xi) + q h2 (xi), ci = 1 + hp (xi), di = h2ri.El sistema produce de nuevo un sistema de tri-diagonal de ecuaciones.Ejemplo 5.2 Deducir las ecuaciones en diferencias para la solucin del problema de contornoy "+ p (x) y '+ q (x) y = r (x), x [a, b]y (a) = A, y (b) = Butilizando aproximacin diferencia central para y "y hacia atrs aproximacin diferencia para y '.Solucin Utilizando las aproximacionesy '' = + - + -hi yi yi yi12 2 [1 1], y '= - -hi yi yi1[1]en la ecuacin diferencial, obtenemos12 2 1 1 1 hs s sp xhi i i y y q x y r xyo[] I i i i i()+ - + - + [- -] + () = ()o [yi + 1 - 2yi + yi-1] + hp (xi) [yi - yi-1] (xi) yi + h2 q = h2rio ai yi-1 + bi + yi yi + 1 = di, i = 1, 2, ..., n - 1donde ai = 1 - CV (xi), bi = - 2 + hp (xi) + H2Q (xi), di = h2ri.El sistema produce de nuevo un sistema de tri-diagonal de ecuaciones.Ejemplo 5.3 Resolver el problema de valores en la frontera xy "+ y = 0, y (1) = 1, y (2) = 2 por segundo ordenmtodo de diferencias finitas con h = 0.25.Solucin Tenemos h = 0.25 yn =b ah- = 2 - 10.25= 4.Tenemos cinco puntos nodales x0 = 1.0, x1 = 1,25, x2 = 1.5, x3 = 1,75, x4 = 2,0.Se nos ha dado los valores de los datos y (x0) = y0 = y (1) = 1, y (x4) = y4 = y (2) = 2.Estamos para determinar las aproximaciones para y (1.25), y (1.5), y (1.75). Utilizando el centroaproximacin de diferencias para y "i, obtenemosXhi s s s s2 [i + 1 - 2 i + i-1] + i = 0, o 16xi yi-1 + (1 - 32xi) yi + 16xi yi + 1 = 0.Tenemos las siguientes ecuaciones en diferencias.Para i = 1, x1 = 1,25, y0 = 1.0: 20Y0 - 39y1 + 20y2 = 0 o - 39y1 + 20y2 = - 20Para i = 2, x2 = 1.5: 24y1 - 47y2 + 24y3 = 0.Para i = 3, x3 = 1,75, y4 = 2.0: 28y2 - 55y3 + 28y4 = 0 o 28y2 - 55y3 = - 56.246 MTODOS NUMRICOSTenemos el siguiente sistema de ecuaciones---????????????????=--????????39 20 024 47 240 28 5520056123yyy.Podemos resolver este sistema mediante la eliminacin de Gauss. Obtenemos- --- -????????---- -????????39 20 0 2024 47 24 00 28 55 56 391 20 39 0 20 3924 47 24 00 28 55 56, 1,R / /, R2 - 24R1,1 20 39 0 20 390 1353 39 24 480 390 28 55 56 1353 391 20 39 0 20 390 1 936 1353 480 13530 28 55 562-- -- -????????---- -????????/ // /,(/),/ // /R,R3 - 28R2,1 20 39 0 20 390 1 936 1353 480 13530 0 48207 1353 89208 1353--- -????????/ // // /De la ltima ecuacin, obtenemos y3 =8920848207= 1,85052.Volver sustitucin da y2 =48013539361353+ (1,85052) = 1,63495,y1 =2039(1 + 1,63495) = 1,35126.Ejemplo 5.4 Utilizando el mtodo de diferencias finitas de segundo orden, encontrar y (0.25), y (0.5), y (0.75) que satisfacela ecuacin diferencial y "- y = x y con sujecin a las condiciones y (0) = 0, y (1) = 2.Solucin Tenemos h = 0.25 yn =b ah- = 1-00.25= 4.Tenemos cinco puntos nodales x0 = 0.0, x1 = 0,25, x2 = 0.5, x3 = 0,75, x4 = 1,0.Se nos ha dado los valores de los datos y (x0) = y0 = y (0) = 0, y (x4) = y4 = y (1) = 2.Estamos para determinar las aproximaciones para y (0.25), y (0.5), y (0.75). Utilizando el centroaproximacin de diferencias para y "i, obtenemos12 2 1 1 h[+ Yi - yi yi +] - yi = xi, o 16yi-1 - 33yi + 16yi + 1 = xi.Tenemos las siguientes ecuaciones en diferencias.Para i = 1, x1 = 0,25, y0 = 0.0: 16y0 - 33y1 + 16y2 = 0.25 o - 33y1 + 16y2 = 0,25,Para i = 2, x2 = 0.5: 16y1 - 33 y2 + 16y3 = 0.5,Para i = 3, x3 = 0,75, y4 = 2.0: 16y2 - 33y3 + 16y4 = 0,75 o 16y2 - 33y3 = - 31.25.Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 247Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones---????????????????=-????????33 16 016 33 160 16 33025053125123yyy....Podemos resolver este sistema mediante la eliminacin de Gauss. Obtenemos--- -????????-- --- -????????33 16 0 0 2516 33 16 0 50 16 33 3125 331 0 48485 0 0 00757616 33 16 0 50 16 33 561...,,. ..R, R2 - 16r1,1 0 48485 0 0 0075760 25 2424 0 16 621 2160 16 33 3125 25 24241 0 48485 0 0 0075760 1 0 63 385 0 02 4610 16 33 31252- --- -????????-- -- -- -????????. .. ..,(.),. .. ..R,R3 - 16R2,1 0 48485 0 0 0075760 1 0 63 385 0 02 4610 0 22 8584 30 85624- -- -- -????????. .. .. ..De la ltima ecuacin, obtenemos y3 =30 8562422 8584..= 1,34989.Volver sustitucin day2 = - 0,02461 + 0,63385 (1,34989) = 0.83102,y1 = - + 0,007576 0,48485 (0,83102) = 0,39534.Ejemplo 5.5 Resolver el problema de valores en la frontera y "+ 5y '+ 4y = 1, y (0) = 0, y (1) = 0 por finitamtodo de la diferencia. Utilice aproximaciones en diferencias centrales con h = 0.25. Si la solucin es exactay (x) = x + Ae-Be-4x + 0,25, donde A =e ee----34 (1 3), B = - 0,25 - Aencontrar la magnitud del error y error relativo porcentaje en x = 0,5.Solucin Tenemos h = 0.25 yn =b ah- = 1-00.25= 4.Tenemos cinco puntos nodales x0 = 0.0, x1 = 0,25, x2 = 0.5, x3 = 0,75, x4 = 1,0.Se nos ha dado los valores de los datos y (x0) = y0 = y (0) = 0, y (x4) = y4 = y (1) = 0.Estamos para determinar las aproximaciones para y (0.25), y (0.5), y (0.75). Utilizando el centroaproximaciones de diferencia, obtenemos1252 1 1 2 1 1 hs s sh[I + - i + i-] + (+ yi - yi) + 4yi = 1,o 16 [yi + 1 - 2yi + yi-1] + 10 (yi + 1 - yi-1) + 4yi = 1, o 6yi-1 - 28yi + 26yi + 1 = 1.__________________________________________________________________248 MTODOS NUMRICOSTenemos las siguientes ecuaciones en diferencias.Para i = 1, x1 = 0,25, y0 = 0.0: 6y0 - 28y1 + 26y2 = 1 o - 28y1 + 26y2 = 1.Para i = 2, x2 = 0.5: 6y1 - 28y2 + 26y3 = 1.Para i = 3, x3 = 0,75, y4 = 0: 6Y2 - 28y3 + 26y4 = 1 o 6Y2 - 28y3 = 1.Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones---????????????????=????????28 26 06 28 260 6 28111123yyy.Podemos resolver este sistema mediante la eliminacin de Gauss. Obtenemos---????????-- ---????????28 26 0 16 28 26 10 6 28 1 281 0 92857 0 0 035716 28 26 10 6 28 1, 1,R. ., R2 - 6R11 0 92857 0 0 035710 22 42858 26 1214260 6 28 1 22 42 8581 0 92857 0 0 035710 1 115924 0 054140 6 28 12- ---????????-- -- --????????. .. . ,(.),. .. .RR3 - 6R2,1 0 92857 0 0 035710 1 115924 0 054140 0 2104456 132484- -- --????????. .. .. ..De la ltima ecuacin, obtenemos y3 =1324842104456.-.= - 0,06295.Volver sustitucin day2 = - 0,05414 a 1,15924 (0,06295) = - 0,12711,y1 = - 0,03571 a 0,92857 (0,12711) = - 0,15374.Tambin tenemos A = - 0,70208, B = 0,45208, y (0,5) = Ae-0.5 + Sea-2 = 0.11465.Ahora, | de error en x = 0.5 | = | y2 - y (0.5) | = | - 0.12711 + 0.11465 | = 0,01246.Error relativo porcentual =0 012460 11465..(100) = 10,8%.Ejemplo 5.6 Resolver el problema de contorno(1 + x2) y "+ 4xy '+ 2y = 2, y (0) = 0, y (1) = 1/2por el mtodo de diferencias finitas. Utilice aproximaciones en diferencias centrales con h = 1/3.Solucin Tenemos h = 1/3. Los puntos nodales son x0 = 0, x1 = 1/3, x2 = 03.02, x3 = 1.Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ...

___________________________________________________________________ Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias 249

Utilizando las aproximaciones en diferencias centrales, obtenemos1

1 2422 221 1 1 1 hx y y yXhi i i i s s syo(+) [+ - + -] + (I + - i-) + i = 2o [9 (1 2) 6] [2 18 (1)] [9 (1) 6]12 2+ Xi - xi yi + - + yi xi + + + xi xi yi + 1 = 2.Tenemos las siguientes ecuaciones en diferencias.Para i = 1, x1 = 1/3, y0 = 0:9 1192 2 181 199 119? + 0 1 2?

?-?? ??? ?+ -? +?

??? ??? ?+? +?

?+?? ??? ?y y y2 = 2o - 18y1 + 12y2 = 2.Para i = 2, x1 = 2/3, y3 = 1/2:9 1494 2 181 499 149? + 1 2 4?

?-?? ??? ?+ -? +?

??? ??? ?+? +?

?+?? ??? ?y y y3 = 2o 9y1 - 24y2 = - 6,5.Resolviendo las ecuaciones- 9y1 + 6Y2 = 1, 9y1 - 24y2 = - 6,5obtenemos y1 =151620 09259249 5162=. , 2 = = 0 305556.y. .PREGUNTAS DE REPASO1. Escriba las primeras aproximaciones de diferencia orden para y '(xi) en base a (i) las diferencias hacia adelante,(Ii) las diferencias hacia atrs.Solucin(I) y '(xi) = [yi + 1 - yi] / (h), (ii) y' (xi) = [yi - yi-1] / h, donde h es la longitud del paso.2. Escriba las aproximaciones segundo de diferencia fin de (i) y '(xi), (ii) y "(xi) basado en el centrodiferencias.Solucin (i) y '(xi) = [yi + 1 - yi-1] / (2h), (ii) y "(xi) = [yi + 1 - 2yi + yi-1] / h2,donde h es la longitud del paso.3. Mtodos de diferencias finitas cuando se aplica a lineal de segundo orden problemas de contornoen ecuaciones diferenciales ordinarias producen un sistema de ecuaciones lineales Ay = b.Cul es la estructura de la matriz de coeficientes A?Matriz Solucin Tridiagonal.4. Qu tipos de mtodos para la solucin del sistema lineal de algebraicaecuaciones?Solucin (i) Los mtodos directos. (Ii) los mtodos iterativos.____________________________________________________________________ 250 MTODOS NUMRICOS5. Cuando se usan mtodos iterativos para resolver el sistema lineal de ecuaciones algebraicas,en qu condiciones de convergencia a la solucin exacta est garantizada?Solucin Una condicin suficiente para la convergencia es que la matriz de coeficientes A debeser diagonal dominante, es decir, | | | |,aii unj i jn ij= 1. Es decir, en este caso es la convergenciagarantizada. Dado que es una condicin suficiente, implica que el sistema puede convergerincluso si el sistema no est en diagonal dominante.EJERCICIO 5.1Resuelve los siguientes problemas de contorno utilizando el mtodo de diferencias finitas y el centroaproximaciones de diferencia.1. y "= xy, y (0) = 0, y (1) = 1 con h = 0,25.2. Y "= y + 1, y (0) = 0, y (1) = e - 1 con h = 1/3. Si la solucin exacta es y (x) = ex - 1, encontrar laerrores absolutos en los puntos nodales.3. Y "= (y + 1) / 4, y (0) = 0, y (1) = e - 1 con h = 1/4.4. Y "= y, y (0) = 1, y (e - 1) '+ 1 (1) = 2 con h = 1/3. Si la solucin exacta es y (x) = 2ex - x - 1,encontrar los errores absolutos en los puntos nodales.5. Y "- y = - 4xex, y (0) = 0, y (1) = 1 con h = 0,25.6. y "= 2x-2y + x-1, y (2) = 0, y (3) = 0 con h = 1/3.7. Y "+ 3y '+ 2y = 1, y (0) = 1, y (1) = 0 con h = 1/3.8. Y "- 3y '+ 2y = 0, y (1) = 2, y (2) = 0 con h = 1/4.9. x2y "= 2y - x, y (2) = 0, y (3) = 0 con h = 1/3.10. Resuelva el valor lmite problema y "- 10y '= 0, y (0) = 0, y (1) = 1 con h = 0.25, mediante el uso deaproximacin diferencia central ay "y (i) aproximacin central de diferencia para y ', (ii)hacia atrs diferencia aproximacin a y ', (iii) la diferencia hacia adelante aproximacin a y'. Sila solucin exacta es y (x) = (e10x - 1) / (e10 - 1), compara las magnitudes de errores en elpuntos nodales en los tres mtodos.?? * $ "&&? (?" ????? ($ ??? "? Y? ??? ?????"???" $ ?? ((?????? "$?)? "???? YEn este y posteriores secciones, estudiaremos la solucin numrica de algunos segundos orden linealecuaciones diferenciales parciales. La mayora de los modelos matemticos de los sistemas fsicos danelevarse a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales lineales o no lineales. Dado que los mtodos analticosno siempre estn disponibles para resolver estas ecuaciones, tratamos de resolver por mtodos numricos.Los mtodos numricos en trminos generales pueden clasificarse como mtodos de elementos finitos y finitamtodos de diferencias. Estaremos considerando slo los mtodos de diferencias finitas para resolveralgunas de estas ecuaciones._______________________________________________ 251Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias En primer lugar, clasificamos la segunda orden ecuacin diferencial parcial linealAUXx + 2Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0 (5.17)donde A, B, C, D, E, F y G son funciones de X, Y o son constantes reales.La ecuacin diferencial parcial se llama unaEcuacin elptica si B2 - AC 0. (5,18 iii)Observacin 3 Algunos libros escriben el coeficiente de UXY en la Ec. (5.17) como B. Entonces, la condicin en laEc. (5.18) cambia a B2 - 4AC. Tenga en cuenta que los trminos de orden inferior no contribuyen a la clasificacinde la ecuacin diferencial parcial.Los ejemplos ms simples de las ecuaciones anteriores son las siguientes:Ecuacin parablica: ut = c2uxx, (Una ecuacin del calor unidimensional). (5.19)Ecuacin hiperblica: UTT = c2uxx, (Una ecuacin de onda unidimensional). (5,20)Ecuacin elptica: uxx + uyy = 0, (dos dimensiones ecuacin de Laplace). (5.21)Podemos comprobar queen la ecuacin (5.19), A = c2, B = 0, C = 0 y B2 -. AC = 0.en la ecuacin (5.20), A = c2, B = 0, C = -. 1 y B2 - AC = c2> 0.en la ecuacin (5.21), A = 1, B = 0, C = 1 y B2 -. AC = - 1 0. En el caso de la unoecuacin de onda unidimensional (Ec. (5.20)), x vara de 0 a L y t> 0.252 MTODOS NUMRICOSEjemplo 5.7 Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales parciales.(A) uxx = 6ux + 3uy. (B) 2uxx + 3uyy - ux + 2uy = 0.(C) UTT + 4utx + 4uxx + 2ux + ut = 0. (d) uxx + 2xuxy + (1 - y2) uyy = 0.Solucin(A) Escriba la ecuacin dada como uxx - 6ux - 3uy = 0. Tenemos A = 1, B = 0, C = 0 yB2 - AC = 0. Por lo tanto, la ecuacin diferencial parcial dado es una ecuacin parablica.(B) tenemos A = 2, B = 0, C = 3 y B2 - AC = - 6 0, es decir, fuera del crculo unitariox2 + y2 = 1, la ecuacin diferencial parcial dadaes una ecuacin hiperblica. Si x2 + y2 - 1= 0, es decir, en el crculo unitario x2 + y2 = 1, laecuacin diferencial parcial dado es una parablicaecuacin. Si x2 + y2 - 1 0, una red rectangular de mallalneas. Deje que el intervalo [0, l] se dividir en partes iguales M. Entonces, la longitud de malla a lo largo de lax-eje es h = l / M. Los puntos a lo largo del eje x son xi = ih, i = 0, 1, 2, ..., M. Deja la longitud de mallaa lo largo del eje-t ser k y definir tj = jk. Los puntos de malla son (xi, tj) Llamamos tj como el tiempo jnivel (vase Fig.5.20). En cualquier punto (xi, tj), denotamos la solucin numrica de ui, j y la exactasolucin u (xi, tj).Observacin 9 mtodos de diferencias finitas sonclasificado en dos categoras: explcitamtodos y mtodos implcitos. En explcitamtodos, la solucin en cada punto nodalen la hora actual nivel se obtienecmputos simples (adiciones, sustracciones,multiplicaciones y divisiones)utilizando las soluciones a la anterior oms niveles. En los mtodos implcitos, resolvemosun sistema lineal de ecuaciones algebraicas paratodas las incgnitas sobre cualquier lnea de malla t = tj + 1.Cuando un mtodo utiliza los valores nodales endos niveles de tiempo tj + 1 y tj, como en la Fig. 5,20,entonces se llama una frmula de dos niveles. Cuandoun mtodo utiliza los valores nodales en tresniveles de tiempo tj-1, y tj tj + 1, entonces se denominatres frmula nivel.Vamos a derivamos algunos mtodos.Mtodos explcitosEn el captulo 2, hemos derivado de las relaciones entre los derivados y las diferencias hacia adelante.Denotemos Dt como la diferencia hacia adelante en el t-direccin. Entonces, podemos escribir la Ec. (2.31) comout kuku t t t = + = - + ?? ??? ?111 12[Log ()] 2 .... (5.37)Ahora, utilice la aproximacinut kuku ui jt i j i j i j??

? = + -,[,,]1 1 1. (5.38)tNivel j + 1Nivel jNivel j - 1x Nivel 0OFig. 5.20. Nodos.276 MTODOS NUMRICOSEl uso de diferencias centrales, tambin tenemos la aproximacin22 222 1 11 12ux huhu u ui jx i j i j i j i j??

? = + - + -,[,,,]. (5,39)Por lo tanto, una aproximacin a la ecuacin de conduccin de calor (5,35) en el punto (xi, tj + 1), es11 222 1 1 ku uch[I, j + - i, j] = [+ ui, j - ui, j + ui-, j].o ui, j + 1 - ui, j = [ui + 1, j - 2ui, j + ui-1, j]o ui, j + 1 = ui, j + [ui + 1, j - 2ui, j + ui-1, j]o ui, j + 1 = ui-1, j + (1 - 2) ui, j + ui + 1, j (5.40)donde = kc2 / h2, se llama el parmetro de relacin de malla.Tenga en cuenta que el valor ui, j + 1 en el nodo(Xi, tj + 1) se obtuvo de forma explcita el uso de lavalores de la anterior tj nivel de tiempo. Los nodosque se utilizan en los clculos se dan enFig.5.21. Este mtodo se llama el Schmidtmtodo. Es un mtodo de dos niveles.Error de truncamiento del mtodo SchmidtTenemos el mtodoui, j + 1 - ui, j = [ui + 1, j - 2ui, j + ui-1, j].La expansin en serie de Taylor, se obtiene la mano izquierda y los lados de la mano derecha comou x t k u x t u kutk utReino Unidoutk ut (i, j +) - (i, j) = + + + ... ...?????? -?? ???? ??= + +?? ??? ?2 222 22 2 2 [u (xi + 1, tj) - 2u (xi, tj) + u (xi-1, Tj)]=kch22 u huXh uXh uXu u huXh uXh uX+ + + +??????- + - + - +???????? ???? ??2 223 332 223 32 6 322 6... ...=kchhuXh uX222224 412 4+ +?? ???? ... =KC2222 412 4uXh uX+ +?? ??? ?...donde todos los trminos en los laterales de la mano derecha se evalan al (xi, tj). Se da el error de truncamientoporTE = u (xi, tj + k) - u (xi, tj) - [u (xi + 1, tj) - 2u (xi, tj) + u (xi-1, Tj)]= Kutk utkcuXh uX+ +?? ??? ?- + +?? ??? ?2 222222 42 12 4... ...i, j + 1i - 1, j i, j i + 1, jNivel j + 1Nivel jFig. 5.21. Mtodo de Schmidt.Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 277= KutcuX-??

?222 +k utkh c uX2 222 2 42 12 4- + ...Ahora, usando la ecuacin diferencialutcuX= 222Y 22ut tut= ??

?= C2t uX22??

?= C4222x 2uX??

?= C444uX,obtenemosT.E =k c uXkh c uXkh c uX2 4 442 2 442 2 42 12 12 46 1 - + = - +??

?... () ... (5,41)El orden del mtodo est dado pororder =1k(T.E) = O (h2 + k). (5.42)Observacin 10 Para un valor fijo de , es decir, = kc2 / h2 = fija, tenemos k = h2 / o c2k = O (h2). Por lo tanto, a partir de (5.42), para un valor fijo de , el mtodo es de orden O (h2). Eso es elvalores de h y k se reducen de tal manera que el valor de es siempre igual.Observacin 11 Para = 1/2, el mtodo de Schmidt se simplifica aui, j + 1 =12(Ui-1, j + ui + 1, j). (5.43)Este mtodo tambin se conoce como mtodo de Bender-Schmidt. Este mtodo tambin es de orden O (h2) paraun fijo.Observen 12 Para = 1/6, el trmino principal en la expresin de error dada en (5.41) se anula. Por lo tanto,el error de truncamiento del mtodo es del orden O (k + 3 KH4). El orden del mtodo es O (k2 +h4). Por lo tanto, para un valor fijo de = 1/6, el mtodo es de orden O (h4) (Vase la observacin 10). Losmayor mtodo fin est dado porui, j + 1 =16[Ui-1, j + 4ui, j + ui + 1, j]. (5,44)Observacin 13 Para la solucin de un problema de contorno (para las ecuaciones de Laplace o Poisson),convergencia del sistema de ecuaciones es importante. Hemos sealado que una condicin suficiente parala convergencia de los mtodos de iteracin es que la matriz de coeficientes es diagonal dominante. Enla solucin de un problema de valor inicial, el tiempo t juega un papel importante. Tericamente, desde t> 0,estamos realizando ciclos infinitos de clculo. Por lo tanto, la estabilidad de los clculos numricosjuega el papel importante. Estabilidad significa que el efecto acumulativo de todos los errores (de redondeo yotros errores numricos) 0 cuando el clculo progresa a lo largo de t-eje. Anlisis de la Schmidtmtodo da que el mtodo es estable si = kch2212. (5,45)278 MTODOS NUMRICOSTenga en cuenta que el mtodo de Bender-Schmidt utiliza el valor = 1/2. Desde la condicin (5.45), seencontrar que el mtodo de orden superior (5,44), que utiliza el valor = 1/6, es tambin estable.Procedimiento computacionalLa condicin inicial u (x, 0) = f (x) da la solucin en todos los puntos nodales en la lnea inicial(Nivel 0). Las condiciones de contorno u (0, t) = g (t), u (l, t) = h (t), t> 0 dan las soluciones en toda la nodalpuntos de las lneas de lmite x = 0 y x = l, (llamados puntos de frontera), para todos los niveles de tiempo. Nosotros elegimosun valor para y h. Esto da el valor de la longitud del paso de tiempo k. Alternativamente, podemos elegir elvalores de h y k. Se obtienen las soluciones en todos los puntos nodales, (llamados puntos interiores), en el nivel 1utilizando el mtodo explcito. Los clculos se repiten para el nmero requerido de pasos. Si nosotrosrealizar m pasos de computacin, entonces hemos calculado las soluciones a tiempo tm = mk.Vamos a ilustrar el mtodo a travs de algunos problemas.Ejemplo 5.16 Resolver la ecuacin de conduccin de calorut = uxx, 0 x 1, con u (x, 0) = sen ( x), 0 x 1, u (0, t) = u (1, t) = 0utilizando el mtodo de Schmidt. Supongamos que h = 1/3. Calcule con (i) = 1/2 para dos pasos de tiempo,(Ii) = 1/4 para cuatro pasos de tiempo, (iii) = 1/6 para seis pasos de tiempo. Si la solucin es exactau (x, t) = exp (- 2 t) sen ( x), compara las soluciones en el tiempo t = 1/9.Solucin El mtodo Schmidt est dada porui, j + 1 = ui-1, j + (1 - 2) ui, j + ui + 1, jSe nos ha dado h = 1/3. Por lo tanto, tenemos cuatro nodos en cada lnea de malla (vase Fig.5.22). Tenemospara encontrar la solucin a los dos puntos interiores.La condicin inicial da los valoresu1303, 1,0 pecado?? ??? ?= = ?? ??? ?u =32,u u23, 0 2,0?? ??? ?= = Sen2332 ?? ??? ?= = 0,866025.Las condiciones de contorno dan los valores de u0, j = 0, u3, j = 0,para todo j.(I) Hemos = 1/2, h = 1/3, k = h2 = 1/18. Loslos clculos se deben hacer para dos pasos de tiempo, es decir,hasta t = 1/9. Para = 1/2, obtenemos el mtodoui, j + 1 =12(Ui-1, j + ui + 1, j), j = 0, 1; i = 1, 2.Contamos con los siguientes valores.Para j = 0: i = 1: u1, 1 = 0,5 (u0,0 + u2, 0) = 0,5 (0 + 0,866025) = 0,433013.i = 2: u2, 1 = 0,5 (u1,0 + u3, 0) = 0,5 (0,866025 + 0) = 0,433013.t0 1/3 2/3 1 xFig. 5.22. Ejemplo. 5.16.Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 279Para j = 1: i = 1: u1, 2 = 0,5 (u0, 1 + u2,1) = 0,5 (0 + 0,433013) = 0,216507.i = 2: u2, 2 = 0,5 (u1,1 + u3,1) = 0,5 (0,433013 + 0) = 0,216507.Despus de dos pasos t = 2k = 1/9. Por lo tanto,u 13192319,, 0,216507. ?? ??? ?= ?? ??? ?u (Ii) Hemos = 1/4, h = 1/3, k = h2 = 1/36. Los clculos son que hacer durante cuatro pasos de tiempo,es decir, hasta t = 1/9. Para = 1/4, obtenemos el mtodoui, j + 1 =14(Ui-1, j + 2ui, j + ui + 1, j), j = 0, 1, 2, 3; i = 1, 2.Contamos con los siguientes valores.Para j = 0: i = 1: u1,1 = 0,25 (u0,0 + 2u1,0 + u2,0) = 0,25 [0 + 3 (0.866025)] = 0,649519.i = 2: u2,1 = 0,25 (u1,0 + 2u2,0 + u3,0) = 0,25 [3 (0,866025) + 0] = 0,649519.Para j = 1: i = 1: u1,2 = 0,25 (u0,1 + 2u1,1 + u2,1) = 0,25 [0 + 3 (0.649519)] = 0,487139.i = 2: u2,2 = 0,25 (u1,1 + 2u2,1 + u3,1) = 0,25 [3 (0,649519) + 0] = 0,487139.Para j = 2: i = 1: u1,3 = 0,25 (u0,2 + 2u1,2 + u2,2) = 0,25 [0 + 3 (0.487139)] = 0,365354.i = 2: u2,3 = 0,25 (u1,2 + 2u2,2 + u3,2) = 0,25 [3 (0,487139) + 0] = 0,365354.Para j = 3: i = 1: u1,4 = 0,25 (u0,3 + 2u1,3 + u2,3) = 0,25 [0 + 3 (0.365354)] = 0,274016.i = 2: u2,4 = 0,25 (u1,3 + 2u2,3 + u3,3) = 0,25 [3 (0,365354) + 0] = 0,274016.Despus de cuatro pasos t = 4k = 1/9. Por lo tanto,u13192319,, 0.274016 ?? ??? ?= ?? ??? ?u ,(Iii) Hemos = 1/6, h = 1/3, k = h2 = 1/54. Los clculos son que hacer durante seis pasos de tiempo,es decir, hasta t = 1/9. Para = 1/6, obtenemos el mtodoui, j + 1 =16(Ui-1, j + 4ui, j + ui + 1, j), j = 0, 1, 2, 3, 4, 5; i = 1, 2.Contamos con los siguientes valores.Para j = 0: i = 1: u1,1 =16(U0,0 + 4u1,0 + u2,0) =16[0 + 5 (0,866025)] = 0,721688.i = 2: u2,1 =16(U1,0 + 4u2,0 + u3,0) =16[5 (0.866025) + 0] = 0,721688.Para j = 1: i = 1: u1,2 =16(U0,1 + 4u1,1 + u2,1) =16[0 + 5 (0,721688)] = 0,601407.i = 2: u2,2 =16(U1,1 + 4u2,1 + u3,1) =16[5 (0.721688) + 0] = 0,601407.280 MTODOS NUMRICOSPara j = 2: i = 1: u1,3 =16(U0,2 + 4u1,2 + u2,2) =16[0 + 5 (0,601407)] = 0,501173.i = 2: u2,3 =16(U1,2 + 4u2,2 + u3,2) =16[5 (0.601407) + 0] = 0,501173.Para j = 3: i = 1: u1,4 =16(U0,3 + 4u1,3 + u2,3) =16[0 + 5 (0,501173)] = 0,417644.i = 2: u2,4 =16(U1,3 + 4u2,3 + u3,3) =16[5 (0.501173) + 0] = 0,417644.Para j = 4: i = 1: u1,5 =16(U0,4 + 4u1,4 + u2,4) =16[0 + 5 (0,417644)] = 0,348037.i = 2: u2,5 =16(U1,4 + 4u2,4 + u3,4) =16[5 (0.417644) + 0] = 0,348037.Para j = 5: i = 1: u1,6 =16(U0,5 + 4u1,5 + u2,5) =16[0 + 5 (0,348037)] = 0,290031.i = 2: u2,6 =16(U1,5 + 4u2,5 + u3,5) =16[5 (0.348037) + 0] = 0,290031.Despus de seis pasos t = 6k = 1/9. Por lo tanto,u13192319,, 0.290031 ?? ??? ?= ?? ??? ?u .Las magnitudes de los errores en x = 1/3 y en x = 2/3 son iguales. La solucin exacta en t = 1/9 esu u13192319 9 30 2892502,, Exp pecado. . ?? ??? ?= ?? ??? ?= -?? ??? ??? ??? ? Las magnitudes de errores son los siguientes: = 1/2: | ,216507-0,289250 | = 0,072743. = 1/4: | 0,274016-0,289250 | = 0,015234. = 1/6: | 0,290031-,289250 | = 0,000781.Tomamos nota de que el mtodo de orden superior produce mejores resultados.Ejemplo 5.17 Resuelva uxx = 32 ut, 0 x 1, tomando h = 0,5 yu (x, 0) = 0, 0 x 1, u (0, t) = 0, u (1, t) = t, t> 0.Utilice un mtodo explcito con = 1/2. Calclese para cuatro pasos de tiempo.Solucin La ecuacin diferencial parcial dada esut =1321322 ?? ??? ?Uxx yc =.Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 281La longitud del paso es h = 0,25. Tenemos cinco nodalpuntos en cada lnea de malla (vase Fig.5.23). Hemos de encontrarlas soluciones en tres puntos internos.El mtodo Schmidt est dada porui, j + 1 = ui-1, j + (1- 2) ui, j + ui + 1, j.Para = 1/2, el mtodo se convierteui, j + 1 = 0,5 (ui-1, j + ui + 1, j),j = 0, 1, 2, 3; i = 1, 2, 3.Tenemos k =hc221211632 1 = ?? ??? ?() =.La condicin inicial da la u0 valores, 0 = = u1,0 u2,0 = u3,0 = u4,0 = 0.Las condiciones de contorno dan los valores de u0, j = 0, u4, j = tj = jk = j, para todo j.Obtenemos las siguientes soluciones.Para j = 0: i = 1: u1,1 = 0,5 (u0,0 + u2,0) = 0.i = 2: u2,1 = 0,5 (u1,0 + u3,0) = 0.i = 3: u3,1 = 0,5 (u2,0 + u4,0) = 0.Para j = 1: i = 1: u1,2 = 0,5 (u0,1 + u2,1) = 0,5 (0 + 0) = 0.i = 2: u2,2 = 0,5 (u1,1 + u3,1) = 0,5 (0 + 0) = 0.i = 3: u3,2 = 0,5 (u2,1 + u4,1) = 0,5 (0 + 1) = 0,5.Para j = 2: i = 1: u1,3 = 0,5 (u0,2 + u2,2) = 0,5 (0 + 0) = 0.i = 2: u2,3 = 0,5 (u1,2 + u3,2) = 0,5 (0 + 0,5) = 0,25.i = 3: u3,3 = 0,5 (u2,2 + u4,2) = 0,5 (0 + 2) = 1,0.Para j = 3: i = 1: u1,4 = 0,5 (u0,3 + u2,3) = 0,5 (0 + 0,25) = 0.125.i = 2: u2,4 = 0,5 (u1,3 + u3,3) = 0,5 (0 + 1.0) = 0.5.i = 3: u3,4 = 0,5 (u2,3 + u4,3) = 0,5 (0,25 + 3) = 1,625.Las soluciones aproximadas son u (0,25, 4) 0,125, u (0.5, 4) 0,5, u (0,75, 4) 1.625.Mtodos implcitosLos mtodos explcitos tienen la desventaja de que tienen una condicin de estabilidad de la relacin de mallaparmetro . Hemos visto que el mtodo de Schmidt es estable durante 0,5. Esta condicin severamenterestringe los valores que pueden ser utilizados para las longitudes de paso h y k. En la mayora de los problemas prcticos,donde el clculo se debe hacer hasta gran valor de t, estos mtodos no son tiles porqueel tiempo empleado es demasiado alto. En tales casos, se utilizan los mtodos implcitos. Discutiremos mst0 0,25 0,5 0,75 1XFig. 5.23. Ejemplo 5.17. 282 MTODOS NUMRICOSmtodo popular y til llama el mtodo de Crank-Nicolson. Hay un nmero de maneras dederivando este mtodo. Se describe una de las formas simples. Denotemos t como la diferencia hacia atrs en ella direccin del tiempo. A partir de la Ec. (2.32), escribimos la relacinkut= - - t u = t + t + t +?

?log (1) ...12132 3 u. (5.46)Ahora, k aproximadautt t utt? + ?

?- ??

?12 1 1 22(/)u. (5,47)Si ampliamos el operador en el lado derecho, obtenemos- = ? - ?

?= ? + + +?

?-ttt t t t t 1 121121121412(/)...lo que concuerda con los dos primeros trminos en el lado derecho de (5.46). Aplicando el diferencialecuacin en el punto nodal (i, j 1), (vase Fig.5.24), obtenemosutcui j x i j?? ??? ?=?? ??? ?, 1, +2221. (5.48)Utilizando la aproximacin dada en (5.47) a la parte izquierda y la aproximacin diferencia central(5.39) a la derecha, obtenemos11 12 1222k 1ucht uti j x i j- ??

?+ = + (/), o ui t, j + 1 =kch22 1122- 1 ?? ??? ?t x ui, j +,o tui, j + 1 = 2x ui j t x ui j12112, + - , + ?? ??? ?,o = - ?? ??? ?t ui, j + 1 x ui, j + x t ui, j +212112 .o = - - ?? ??? ?t ui, j + 1 x ui, j + x ui, j + ui, j212112 ?,o = - - ?? ??? ?t ui, j + 1 x ui, j + {x ui, j + x ui, j}21211 22 ,o ui t, j + 1 = (x ui, j + + x ui, j)2122 , (5.49)o ui, j + 1 - ui, j = (x ui, j + + x ui, j)2122 ,o ui, j + 1 - x ui, j + = ui, j + x ui, j2122 2 Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 283o ui, j + 1 - (ui + 1, j + 1 - ui, j + 1 + ui-1, j + 1) = ui, j + (ui + 1, j - ui, j + ui-1, j) 2222 ,o - - + + + + - + + = - + - + + 212 211 1 1 1 1 1 2 1 ui, j () ui, ui j, j ui, j () ui, ui j, j, (5.50)donde = KC2 / h2. Este mtodo se llama el mtodo de Crank-Nicolson.Los puntos nodales que se utilizan en el mtodo se dan en la Fig.5.24.l- 1, j + 1 l, j + 1 l + 1, j + 1l - 1, j l, l j + 1, jNivel j + 1Nivel jFig. 5.24. Los nodos en el mtodo de Crank-Nicolson.Observacin 14 Desde el lado derecho de la Ec. (5.49), se observa que es la media de la zona centralaproximaciones en diferencias, 2x u, al lado derecho de la ecuacin diferencial en el nivel jy j + 1. Este concepto de tomar la media de las aproximaciones de diferencias centrales a la derechalado de una ecuacin diferencial dada es a menudo generalizarse a diferencial ms complicadoecuaciones.Observacin 15 El orden del mtodo de Crank-Nicolson es O (k2 + h2).Observacin 16 mtodos implcitos a menudo tienen muy fuertes propiedades de estabilidad. Anlisis de estabilidad de laMtodo de Crank-Nicolson muestra que el mtodo es estable para todos los valores del parmetro de relacin de malla. Esto implica que no hay ninguna restriccin en los valores de las longitudes de malla h y k.Dependiendo del problema particular que se est resolviendo, podemos usar lo suficientemente grandes valores deel paso de longitudes. Tales mtodos son llamados mtodos incondicionalmente estables.Procedimiento computacional La condicin inicial u (x, 0) = f (x) da la solucin en absoluto la nodalpuntos en la lnea inicial (nivel 0). Las condiciones de contorno u (0, t) = g (t), u (l, t) = h (t), t> 0 dar elsoluciones en todos los puntos nodales en las lneas x = 0 y x = l para todos los niveles de tiempo. Elegimos un valorpara y h. Esto da el valor de la longitud del paso de tiempo k. Alternativamente, podemos elegir los valorespara h y k. Las ecuaciones en diferencias en todos los puntos nodales en el primer nivel de tiempo se escriben. Estesistema de ecuaciones se resuelve para obtener los valores en todos los puntos nodales en este nivel de tiempo. Losclculos se repiten para el nmero requerido de pasos. Si realizamos m pasos de clculo,entonces hemos calculado las soluciones hasta el tiempo tm = mk.Observacin 17 Reconoce el sistema de ecuaciones que se obtiene si aplicamos el CrankMtodo Nicolson? De nuevo, es un sistema de tri-diagonal de ecuaciones. Utiliza los tres consecutivoincgnitas ui-1, j + 1, ui, j + 1 y ui + 1, j + 1 en el nivel de tiempo actual. Esta es la ventaja de lamtodo.Vamos a ilustrar la aplicacin del mtodo.284 MTODOS NUMRICOSEjemplo 5.18 Resuelva la ecuacin ut = uxx sujeto a las condicionesu (x, 0) = sen ( x), 0 x 1, u (0, t) = u (1, t) = 0utilizando el mtodo de Crank-Nicolson con, h = 1/3, k = 1/36. Realice una etapa de tiempo.(A.u. noviembre / diciembre 2006)Solucin Tenemosc2 = 1, h =13, K =136, =kch22136= (9) =14. (Fig.5.25).Mtodo de Crank-Nicolson est dada por- - + + + + - + + = - + - + + 212 211 1 1 1 1 1 2 1 ui, j () ui, ui j, j ui, j () ui, ui j, jPara = 1/4, tenemos el mtodo- - + + + - + + = - + + +185418183411 1 1 1 1 1 8 1 ui, ui j, j ui, ui j, j ui, ui j, jo - ui-1, j + 1 + 10 UI, j + 1 - ui + 1, j + 1 = ui-1, j + 6ui, j + ui + 1, j, j = 0; i = 1, 2.La condicin inicial da los valoresu0,0 = 0, u1,0 = sin ( / 3) = (3/2) = u2,0, u3,0 = 0.Las condiciones de contorno dan los valores de u0, j = 0 = u3, j para todo j,Tenemos las siguientes ecuaciones.Para j = 0, i = 1: - u0,1 + 10 u1,1 - u2,1 = u0,0 + 6u1,0 + u2,0o 10u1,1 - u2,1 =6 32327 32+ = = 6,06218.i = 2: - u1,1 + 10u2,1 - u3,1 = u1,0 + 6u2,0 + u3,0o - u1,1 + 10u2,1 = u1,0 + = 6u2,0326 327 32+ = = 6,06218.Restando las dos ecuaciones, obtenemos 11u1,1 - 11u2,1= 0. Por lo tanto, u1,1 = u2,1. La solucin viene dada poru1,1 = u2,1 =6 062189.= 0,67358.Ejemplo 5.19 Resuelva uxx = ut en 0 0 y u (x, 0) = sin (x / 2), 0 x 2,usando? x = 0,5, Dt = 0,25 para un intervalo de tiempo de Crank-Nicolson mtodo de diferencias finitas implcitas.(A.U abril / mayo de 2003)t0 1/3 2/3 1 xFig. 5.25. Ejemplo 5.18.Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 285Solucin Tenemos c2 = 1,? X = 0,5, Dt = 0,25, =c tX220 250 25=..= 1.Crank-Nicolson mtodo de diferencias finitas implcito est dada por- - + + + + - + + = - + - + + 212 211 1 1 1 1 1 2 1 ui, j () ui, ui j, j ui, j () ui, ui j, j.Para = 1, tenemos el mtodo- - + + + - + + = - + +122121211 1 1 1 1 1 2 1 ui, ui j, j ui, ui j, j ui, jo - ui-1, j + 1 + 4ui, j + 1 - ui + 1, j + 1 = ui-1, j + ui + i, j, j = 0; i = 1, 2, 3,La condicin inicial da los valoresu0,0 = 0, u1,0 = sin ( / 4) = (1/2) = 0.70711,u2,0 = sin ( / 2) = 1, u3, 0 = sin (3 / 4) = (1/2) = 0,70711.Las condiciones de contorno dan la u0 valores, j = 0 = u4, j para todo j.t0 0,5 1,0 1,5 2,0 xFig. 5.26. Ejemplo 5.19.Tenemos las siguientes ecuaciones.Para j = 0, i = 1: - u0,1 + 4u1,1 - u2,1 = u0,0 + u2,0 o 4u1,1 - u2,1 = 1,i = 2: - u1,1 + 4u2,1 - u3,1 = u1,0 + u3,0 o - u1,1 + 4u2,1 - u3,1 = 1,41421,i = 3: - u2,1 + 4u3,1 - u4,1 = u2,0 + u4,0 o - u2,1 + 4u3,1 = 1.Restando la primera y tercera ecuaciones, obtenemos 4u1,1 - 4u3,1 = 0. Por lo tanto, u1,1 = u3,1. Nosotrostener el sistema de ecuaciones como4u1,1 - u2,1 = 1, y - 2u1,1 + 4u2,1 = 1,41421.El uso de determinantes, la solucin se obtiene comou1,1 =5 4142114.= 0,38673, u2,1 =7 6568414.= 0,54692.Ejemplo 5.20 Resuelve por el mtodo de Crank-Nicolson la ecuacin uxx = ut sujetos au (x, 0) = 0, u (0, t) = 0 y u (1, t) = t,por dos pasos de tiempo. (A.U noviembre / diciembre 2003, noviembre / diciembre 2006)286 MTODOS NUMRICOSSolucin Puesto que no se dan los valores de las longitudes de paso h y k, supongamos h = 0,25 y = 1. Por lo tanto, k = h2 = 0,0625. (Fig. 5.27).Crank-Nicolson mtodo de diferencias finitas implcito est dada por- - + + + + - + + 211 1 1 2 1 1 ui, j () ui, ui j, j= 211 2 1 ui-, j + (-) ui, j + + ui, j.Para = 1, tenemos el mtodo- - + + + - + + = - + +122121211 1 1 1 1 1 2 1 ui, ui j, j ui, ui j, j ui, jo - ui-1, j + 1 + 4ui, j + 1 - ui + 1, j + 1 = ui-1, j + ui + 1, j, j = 0; i = 1, 2, 3 ..La condicin inicial da la ui valores, 0 = 0 para todo i.Las condiciones de contorno dan la u0 valores, j = 0, para todo j y u4, j = tj = jk = 0,0625 j.Tenemos las siguientes ecuaciones.Para j = 0, i = 1: - u0,1 + 4u1,1 - u2,1 = u0,0 + u2,0 o 4u1,1 - u2,1 = 0,i = 2: - u1,1 + 4u2,1 - u3,1 = u1,0 + u3,0 o - u1,1 + 4u2,1 - u3,1 = 0,i = 3: - u2,1 + 4u3,1 - u4,1 = u2,0 + u4,0 o - u2,1 + 4u3,1 = 0,0625.El sistema de ecuaciones viene dada por4 1 01 4 10 1 4000 06251 12,13 1-- --??

?

??

?

=??

?

uuu,,..Resolvemos este sistema mediante la eliminacin de Gauss.4 1 01 4 10 1 4000 0625-- --??

?

??

?

., Realice R14, Entonces R2 + R1.1 14 0 00 154 1 00 1 4 0 0 625---??

?

//.,RealizarR2(15/4), Entonces R3 + R2.1 14 0 00 1 415 00 0 56 15 0 0 625--??

?

///.,La ltima ecuacin da u3,1 = 0,06251556?? ??? ?= 0,01674.La segunda ecuacin da u2,1 =4154153 1 0 01 674 0 00 446?? ??? ?= ?? ??? ?u,. =. .La primera ecuacin da u1,1 =14142,1 0 00 446 0 00 112?? ??? ?= ?? ??? ?u. =. .t0 0,25 0,5 0,75 1 xFig. 5.27. Ejemplo 5.20.Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 287Para j = 1, i = 1: - u0,2 + 4u1,2 - u2,2 = u0,1 + u2,1 = 0 + 0,00446,o 4u1,2 - u2,2 = 0,00446.i = 2: - u1,2 + 4u2,2 - u3,2 = u1,1 + u3,1 = 0,00112 + 0,01674 = 0,01786.i = 3: - u2,2 + 4u3,2 - u4,2 = u2,1 + u4,1 = 0,00446 + 0,o - u2,2 + 4u3,2 = 0,00446 + 0,12946 = 0,125.El sistema de ecuaciones viene dada por4 1 01 4 10 1 40 004460 017860 129461 22,23 2-- --??

?

??

?

=??

?

uuu,,....Resolvemos este sistema mediante la eliminacin de Gauss.4 1 0 0 00 4461 4 1 0 01 7860 1 4 0 12 946-- --??

?

.... RealizarR14, Entonces R2 + R1.1 1 4 0 0 001 1150 15 4 1 0 018 9750 1 4 0 12 946---??

?

/./...RealizarR2(15/4), Entonces R3 + R2.1 1 4 0 0 001 1150 1 4 15 0 00 5060 0 56 15 0 13 452--??

?

/././..La ltima ecuacin da u3, 2 =1556?? ??? ?0.13452 = 0.036032.La segunda ecuacin da u2, 2 =4154153 2 0 036032 0 014669?? ??? ?= ?? ??? ?u,. =. .La primera ecuacin da U1, 2 =14142,2 0 014 669 0 004 782?? ??? ?= ?? ??? ?u. =. .PREGUNTAS DE REPASO1. Escriba la ecuacin de conduccin de calor unidimensional y las condiciones asociadas.Solucin La ecuacin de conduccin de calor est dada porut = c2uxx, 0 x l, t> 0.Las condiciones asociadas son las siguientes.Condicin inicial En el tiempo t = 0, la temperatura se prescribe, u (x, 0) = f (x), 0 x l.Las condiciones de contorno Desde la barra es de longitud l, condiciones de contorno en x = 0 y enx = l deben ser prescritos.u (0, t) = g (t), u (l, t) = h (t), t> 0.288 MTODOS NUMRICOS2. Qu es un mtodo explcito para la solucin de la ecuacin de conduccin de calor?Solucin En mtodos explcitos, la solucin en cada punto nodal en el nivel de tiempo actual esobtenido mediante clculos sencillos (adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones)utilizando las soluciones a los uno o ms niveles anteriores.3. Escriba el mtodo de Schmidt para resolver la ecuacin de conduccin de calor unidimensional.Solucin El mtodo Schmidt para resolver la ecuacin de conduccin de calorut = c2uxx, 0 x l, t> 0est dada por ui, j + 1 = ui-1, j + (1 - 2) ui, j + ui + 1, j; j = 0, 1, ....; i = 1, 2, ...donde = KC2 / h2, es el parmetro de relacin de malla y h y k son las longitudes de paso en el xy camisetas direcciones respectivamente.4. Cul es el error de orden y el truncamiento del mtodo Schmidt?Solucin El fin del mtodo es O (k + h2). Para un valor fijo de , el mtodo se comportacomo un mtodo de O (h2). El error de truncamiento del mtodo viene dado porT.E =kh c uX2 2 412 4(6 1) ...- +??

?5. Escribe el mtodo Bender-Schmidt para resolver la ecuacin de conduccin de calor unidimensional.Mtodo Solucin El Bender-Schmidt para resolver la ecuacin de conduccin de calorut = c2uxx, 0 x l, t> 0est dada por ui, j + 1 =12(Ui-1, j + ui + 1, j). Este mtodo es un caso particular de la Schmidtmtodo en el que utilizamos el valor = 1/2.6. Escribe el caso particular del mtodo de Schmidt, que es de orden O (k2 + h4).El mtodo de orden superior O Solution (K2 + h4) se obtiene mediante el establecimiento de = 1/6 en el Schmidtmtodo. El mtodo est dada porui, j + 1 =16[Ui-1, j + 4ui, j + ui + 1, j].Para un valor fijo de , el mtodo se comporta como un mtodo de O (h4).7. Cundo llamamos un mtodo numrico tan estable?Solucin Un mtodo numrico se dice que es estable cuando el efecto acumulativo de todos los errorestienden a cero como el clculo progresa.8. Cul es la condicin de estabilidad para el mtodo de Schmidt?Schmidt mtodo de solucin es estable cuando el parmetro de relacin de malla satisface la condicin 1/2.9. Es el mtodo de Bender-Schmidt para resolver la ecuacin de conduccin de calor estable?El mtodo de solucin Bender-Schmidt se obtiene a partir del mtodo de Schmidt configurando = 1/2. Schmidt mtodo es estable cuando el parmetro de relacin de malla satisface la condicin 1/2. Por lo tanto, el mtodo de Bender-Schmidt tambin es estable.

Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 28910. Definir un mtodo implcito para la resolucin de la ecuacin de conduccin de calor.Solucin En los mtodos implcitos, resolvemos un sistema lineal de ecuaciones algebraicas para toda laincgnitas sobre cualquier lnea de malla t = tj + 1.11. Definir dos niveles y tres mtodos de nivel.Solucin Cuando un mtodo utiliza los valores nodales en dos niveles de tiempo y tj tj + 1, entonces esllamado una frmula de dos niveles. Cuando un mtodo utiliza los valores nodales en tres niveles de tiempotj-1, tj + 1 y tj, entonces se llama una frmula de tres niveles.12. Escriba el mtodo de Crank-Nicolson para resolver la conduccin de calor unidimensionalecuacin.Solucin El mtodo de Crank-Nicolson para resolver la conduccin de calor unidimensionalecuacin ut = c2uxx, 0 x l, t> 0, est dada porui, j + 1 - 2 2212Xui, j + = ui, j + x ui, jo - - + + + + - + + = - + - + + 212 211 1 1 1 1 1 2 1 ui, j () ui, ui j, j ui, j () ui, ui j, jdonde = KC2 / h2, es el parmetro de relacin de malla y h y k son las longitudes de paso en el xy camisetas direcciones respectivamente.13. Cul es el orden del mtodo de Crank-Nicolson para resolver la ecuacin de conduccin de calor?Solucin El orden del mtodo de Crank-Nicolson es O (k2 + h2).14. Cul es la condicin de estabilidad para el mtodo de Crank-Nicolson?Solucin El mtodo de Crank-Nicolson es estable para todos los valores del parmetro de relacin de malla. El mtodo tambin se llama un mtodo incondicionalmente estable.15. Qu tipo de sistema de ecuaciones Qu obtenemos cuando aplicamos el mtodo de Crank-Nicolson aresolver la ecuacin de conduccin de calor uno dimensional?Solucin obtener un sistema tridiagonal lineal de ecuaciones algebraicas.EJERCICIO 5.41. Resuelve ut = uxx, 0 x 1, con u (x, 0) = x (1 - x), 0 x 1 y u (0, t) = u (1, t) = 0 para todost> 0. Utilice mtodo explcito con h = 0,25 y = 0,25. Calclese para cuatro pasos de tiempo.2. Resolver uxx = 16ut, 0 x 1, con u (x, 0) = x (1 - x), 0 x 1 y u (0, t) = u (1, t) = 0 para todost> 0. mtodo de uso Schmidt con h = 0,25 y = 1/6. Calclese para cuatro pasos de tiempo.3. Resolver uxx = 4ut, 0 x 1, con u (x, 0) = 2x para x [0, 1/2] y 2 (1 - x) para x [1/2, 1]; yu (0, t) = u (1, t) = 0 para todo t> 0. mtodo Uso Schmidt con h = 0,25 y = 0,5. Calcule paracuatro pasos de tiempo.4. Resolver la conduccin ecuacin del calor ut = uxx, 0 x 1, con u (x, 0) = sen (2 x), 0 x 1, yu (0, t) = u (1, t) = 0 utilizando el mtodo de Schmidt. Supongamos que h = 0,25. Calcule con(I) = 1/2 para dos pasos de tiempo, (ii) = 1/4 para cuatro pasos de tiempo, (iii) = 1/6 para seis pasos de tiempo.290 MTODOS NUMRICOS5. Resolver ut = uxx, 0 x 5, t 0, dado que u (x, 0) = 20, u (0, t) = 0, u (5, t) = 100. Compute udurante un intervalo de tiempo con h = 1, por el mtodo de Crank-Nicolson. (A.U abril / mayo de 2005)6. Resolver la ecuacin del calor ut = uxx, 0 x 1, con sujecin a las condiciones iniciales y de contornou (x, 0) = sen ( x), 0 x 1, u (0, t) = u (1, t) = 0utilizando el mtodo de Crank-Nicolson con, h = 1/3, = 1/6. Integrar a un paso de tiempo. Encontrarel error mximo absoluto si la solucin exacta es u (x, t) = exp (- 2 t) sen (x).7. Encuentra la solucin de la ecuacin ut = uxx, sujeta a las condicionesu (x, 0) = 6x, para x [0, 1] y 6 (2 - x), x [1, 2], u (0, t) = 0 = u (2, t)utilizando el mtodo de Crank-Nicolson con h = 0,4, = 1/2. Integrar a un paso de tiempo.8. Resolver la ecuacin del calor ut = uxx, 0 x 1, con sujecin a las condiciones iniciales y de contornou (x, 0) = sen (2 x), 0 x 1, u (0, t) = u (1, t) = 0utilizando el mtodo de Crank-Nicolson con, h = 0,25, = 0,8. Integrar a dos pasos de tiempo.Si la solucin exacta del problema es u (x, t) = exp (- 42 t) sen (2x), encontrar las magnitudes delos errores en el segundo paso de tiempo.9. Encontrar la solucin de la ecuacin 16uxx = ut, 0 x 1 sujeto a las condicionesu (x, 0) = 1 - x, para 0 x 1, u (0, t) = 1 - t, u (1, t) = 0utilizando el mtodo de Crank-Nicolson con h = 0,25, = 1/2. Integrar a dos pasos de tiempo.10. Halla la solucin de la ecuacin 4ut = uxx, 0 x 1 sujeto a las condicionesu (x, 0) = 3x, para x [0, 1/2] y 3 (1 - x), x [1/2, 1], u (0, t) = 0 = u (1, t)utilizando el mtodo de Crank-Nicolson con h = 0,25, k = 1/32. Integrar a dos pasos de tiempo.??? ????????????? ???????? ???? ????????En la seccin 5.3, hemos definido el segundo fin ecuacin diferencial parcial linealAUXx + 2Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu + G = 0como una ecuacin hiperblica si B2 - AC> 0. Una ecuacin hiperblica sostiene en un dominio abierto o en undominio semi-abierta. El ejemplo ms simple de una ecuacin hiperblica es la onda dimensionalecuacin.Estudio del comportamiento de las ondas es una de las reas importantes en ingeniera. Todo vibracinproblemas se rigen por ecuaciones de onda.Considere el problema de una cuerda elstica que vibra de longitud L, que se encuentra en el eje x en elintervalo [0, l]. Sea u (x, t) denotan el desplazamiento de la cadena en el plano vertical. Entonces lavibraciones de la cuerda elstica se rige por la ecuacin de onda unidimensionalUTT = c2uxx, 0 x l, t> 0. (5.51)donde c2 es una constante y depende de las propiedades del material de la cadena, la tensin T en elcadena y la masa por unidad de longitud de la cadena.Con el fin de que existe la solucin del problema y es nica, tenemos que prescribir elsiguientes condiciones.Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 291(I) condicin de desplazamiento inicial en el tiempo t = 0 o desplazamiento inicial est dada poru (x, 0) = f (x), 0 x l. (5.52 a)Velocidad inicial: ut (x, 0) = g (x), 0 x l. (5.53 b)(Ii) Las condiciones de contorno Consideramos el caso cuando los extremos de la cuerda estn fijados. Desdelos extremos son fijos, tenemos las condiciones de contorno comou (0, t) = 0, u (l, t) = 0, t> 0. (5.53)Dado que se prescriben tanto las condiciones iniciales y de contorno, el problema se llama una inicialproblema de contorno.Generacin de malla La malla se genera como en el caso de la ecuacin de conduccin de calor. Sobreponeren la regin 0 x l, t> 0, una red rectangular de lneas de malla. Deje que el intervalo [0, l] serM dividido en partes. Entonces, la longitud de malla a lo largo del eje x es h = l / M. Los puntos a lo largo de los eje xson xi = ih, i = 0, 1, 2, ..., M. Que la longitud de malla a lo largo del eje t sea k y definir tj = jk. Losmalla son puntos (xi, tj), tal como figura en la Fig. 5.20. Llamamos tj como el nivel de tiempo j. En cualquier punto (xi, tj),denotamos la solucin numrica de ui, j y la solucin exacta por u (xi, tj).Como en el caso de la ecuacin de conduccin de calor, podemos derivar mtodos explcitos e implcitospara la solucin de la ecuacin de onda.Vamos a derivamos algunos mtodos.Mtodos explcitosEl uso de diferencias centrales, escribimos las aproximaciones22 222 1 11 12ux huhu u ui jx i j i j i j i j?? ??? ? = + - + -,[,,,]. (5,54)22 222 1 11 12ut kuku u ui jt i j i j i j i j?? ??? ? = + - + -,[,,,] (5.55)La aplicacin de la ecuacin diferencial (5.51) en el punto nodal (xi, tj), y usando el centro deaproximaciones de diferencia, (5.54), (5.55), obtenemos12 2 2 1 122 1 1 ku u uch[I, j + - i, j + i, j-] = [+ ui, j - ui, j + ui-, j]o ui, j + 1 - ui, j + ui, j -1 = r [+ ui, j - ui, j + ui-, j]22 1 2 1o ui, j + 1 = ui, j - ui, j-1 + r [+ ui, j - ui, j + ui-, j]22 1 2 1o ui, j + 1 = (- r) ui, j + r [+ ui, j + ui-, j] - ui, j-2 22 1 1 1 1 (5.56)donde r = kc / h, que se llama el parmetro de relacin de malla.Los nodos que se utilizan en los clculos se dan en la Fig.5.28.

292 MTODOS NUMRICOSi - 1, ji, j + 1i, j i + 1, ji, j - 1Nivel j + 1Nivel jNivel j - 1Fig. 5.28. Los nodos de mtodo explcito.Observacin 18 Observamos que el nmero mnimo de niveles requeridos por cualquier mtodo (explcito oimplcita) es tres. Por lo tanto, el mtodo es siempre un mtodo de tres niveles. El valor de ui, j + 1 en elnodo (xi, tj + 1) se obtiene por la frmula de la ecuacin. (5.56), utilizando de forma explcita los valores de laniveles de tiempo anteriores y tj tj-1.Error de truncamiento del mtodo explcitoTenemos el mtodoui, j + 1 - ui, j + ui, j -1 = r [+ ui, j - ui, j + ui-, j]22 1 2 1.La expansin en serie de Taylor, obtenemosu (xi, tj + k) - 2u (xi, tj) + u (xi, tj - k)= U kutk utk utk ut+ + + + +????????2 223 334 42 6 24 4...- + - + - + -??????

?22 6 242 223 334 44 u u kutk utk utk ut...= Kutk ut2224 412 4+ +??

?...r2 [u (xi + 1, tj) - 2u (xi, tj) + u (xi-1, Tj)]=k chu huXh uXh uXh uX2 222 223 334 42 6 24 4+ + + + +????????...- + - + - + -??????

?22 6 242 223 334 44 u u huXh uXh uXh uX...=k chhuXh uX2 222224 412 4+ +??

?... = K2c2222 412 4uXh uX+ +??

?...donde todos los trminos en los laterales de la mano derecha se evalan al (xi, tj). Se da el error de truncamientoporProblemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 293TE = [u (xi, tj + k) - 2u (xi, tj) + u (xi, tj - k)] - r2 [u (xi + 1, tj) - 2u (xi, tj) + u (xi -1, tj)]= Kutk utk c huXh uX2224 442 2 2222 412 12 4+ +??

?- + +??

?... ...= K2222224 442 2 2 412 12 4utcuXk utk h c uX-?? ??? ?+ - + ...Ahora, usando la ecuacin diferencial22222utcuX= Y44ut= C222224222244t 4uXcXuXcuX?? ??? ?=?? ??? ?=obtenemosT.E. =k c uXk h c uXk h cruX4 4 442 2 2 442 2 22412 12 12 41- + = - +?? ??? ?... () ... (5,57)ya k = (h) / c.El orden del mtodo est dado pororder =1k2(T.E) = O (h2 + k2). (5,58)Observacin 19 Para un valor fijo de r, es decir, r = kc / h = fija, tenemos k = rh / c o k = O (h). Por lo tanto, paraun valor fijo de r, el mtodo es de orden O (h2). Es decir, los valores de h y k se reducen de tal manera queel valor de r es siempre igual.Observen 20 Para r = 1, el trmino principal en la expresin de error dada en (5.57) se anula. Por lo tanto,el error de truncamiento del mtodo es del orden O (k6 + k2h4). El orden del mtodo esO (k4 + h4). Por lo tanto, para el valor fijo de r = 1, el mtodo es de orden O (h4). El orden superiormtodo obtiene cuando r = 1 est dada porui, j + 1 - 2ui, j + ui, j-1 = ui + 1, j - 2ui, j + ui-1, jo ui, j + 1 = 2ui, j - ui, j-1 + [ui + 1, j - 2ui, j + ui-1, j]= Ui + 1, j + ui-1, j - ui, j-1. (5,59)Los nodos que se utilizan en los clculos se dan en la Fig. 5.29.i - 1, ji, j + 1i, j - 1i + 1, jNivel j + 1Nivel jNivel j - 1Fig. 5.59. Los nodos de mtodo explcito para r = 1.294 MTODOS NUMRICOSCuando los valores de h y k no se prescriben en ningn problema en particular, podemos elegirestos valores tales que r = 1.Observacin 21 En el caso de la ecuacin de onda tambin, la estabilidad de los clculos numricosjuega un papel importante. Anlisis del mtodo da que el mtodo es estable sir =kch 1. (5.60)Tenga en cuenta que el mtodo de orden superior (5,59) utiliza el valor de r = 1. Por lo tanto, el orden ms altomtodo tambin es estable.Procedimiento computacionalDado que el mtodo explcito (5.56) o (5.59) es de tres niveles, necesitamos datos sobre dos niveles de tiempo t =0 y t = k, para iniciar los clculos.Las condiciones de contorno u (0, t) = g (t), u (l, t) = h (t), t> 0 dar las soluciones en toda lapuntos nodales en las lneas x = 0 y x = l para todos los niveles de tiempo. Elegimos un valor para k y h. Esteda el valor de r. Alternativamente, podemos elegir los valores de H y R. Para r = 1, c = 1, tenemostener h = k.La condicin inicial u (x, 0) = f (x) da la solucin en todos los puntos nodales en la iniciallnea (nivel 0). Los valores requeridos en el nivel t = k se obtiene escribiendo una aproximacin adecuadaa la condicin inicialut(X, 0) = g (x).Si escribimos la aproximacin diferencia central, obtenemosutXk(, 0) [ui, ui,] g (xi)12 1 1 - - =. (5,61)Esta aproximacin presenta los puntos externos ui, -1. Despejando ui, -1 a partir de (5.61), obtenemosui, -1 = ui, 1 - 2 kg (xi). (5,62)Ahora, utilizamos el mtodo (5.56) o (5.59) en los nodos en el nivel de t = k, es decir, para j = 0.Obtenemosui, 1 (r) ui, r [ui, ui,] ui2022 = 1 - 1 + 0 + -1 0 a -1. (5.63 a)El puntos ui externo, -1, que se introducen en esta ecuacin se eliminan mediante el uso dela relacin en (5.62).ui, 1 = 2 (1 - r2) ui, 0 + r2 [ui + 1,0 + ui-1,0] - [ui, 1 - 2 kg (xi)]o 2ui, 1 = 2 (1 - r2) ui, 0 + r2 [ui + 1,0 + 1,0-ui] + 2kg (xi). (5.63 b)Esto le da a los valores en todos los puntos nodales en el nivel t = k.Por ejemplo, si la condicin inicial se prescribe como ut(X, 0) = 0, entonces obtenemos de(5.62), ui, ui = -1, 1. La frmula (5.63b) se convierteProblemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 2952ui, 1 = 2 (1 - r2) ui, 0 + r2 [ui + 1,0 + ui-1,0]o ui, 1 = (1 - r2) ui, 0 +r22[Ui + 1,0 + ui-1,0]. (5,64)Para r = 1, el mtodo se simplifica aui, 1 =12[Ui + 1,0 + ui-1,0]. (5,65)Por lo tanto, se obtienen las soluciones en todos los puntos nodales en el nivel 1. Para t> k, es decir para j 1,usamos el mtodo (5.56) o (5.59). Los clculos se repiten para el nmero requerido depasos. Si realizamos m pasos de computacin, entonces hemos calculado las soluciones hasta el momentotm = mk.Vamos a ilustrar el mtodo a travs de algunos problemas.Ejemplo 5.21 Resolver la ecuacin de ondaUTT = uxx, 0 x 1, con sujecin a las condicionesu (x, 0) = sen ( x), ut (x, 0) = 0, 0 x 1, u (0, t) = u (1, t) = 0, t> 0utilizando el mtodo explcito con h = 1/4 y (i) k = 1/8, (ii) k = 1/4. Calclese para cuatro pasos de tiempo para(I), y dos pasos de tiempo para (ii). Si la solucin exacta es u (x, t) = cos ( t) sen ( x), comparar lasoluciones en tiempos t = 1/4 y t = 1/2.Solucin El mtodo explcito est dada porui, j + 1 = 2 (1 - r2) ui, j + r2 [ui + 1, j + ui-1, j] - ui, j-1.Se nos ha dado c = 1 y h = 1/4. Por lo tanto, tenemos cinco nodos en cada nivel de tiempo (vaseFig.5.30). Tenemos que encontrar la solucin en tres puntos interiores.Las condiciones iniciales dan los valores(A) ui, 0 = sin (i / 4), i = 0, 1, 2, 3, 4u0, 0 = 0, u1, 0 = sin ( / 4) = (1/2) = 0.70711, u2,0 = sin ( / 2) = 1,u3,0 = sin (3 / 4) = (1/2) = 0.70711, u4,0 = sin () = 0.(B) ut (x, 0) = 0 da ui, ui = -1, 1.Las condiciones de contorno dan la u0 valores, j = 0, u4, j = 0, para todo j.(I) Cuando k = 1/8, obtenemos r =kh= = 18412(). El mtodose convierte enui, j + 1 = 2 11414-1 en 1 ?? ??? ?ui, j + [+ ui, j + ui-, j] - ui, j-= 1.5ui, j + 0,25 [ui + 1, j + ui-1, j] - ui, j-1,j = 0, 1, 2, 3; i = 1, 2, 3. (5.66)Los clculos estn por hacer para cuatro tiempopasos, es decir, hasta T = 1/2 o j = 0, 1, 2, 3.t0 0,25 0,5 0,75 1,0 xFig. 5.30. Ejemplo. 5.21.296 MTODOS NUMRICOSContamos con los siguientes valores.Para j = 0: Ya ut (x, 0) = 0 obtenemos ui, ui = -1, 1. El mtodo se simplifica aui, 1 = 0.75ui, 0 + 0.125 [ui + 1,0 + ui-1,0].i = 1: u1,1 = 0.75u1,0 + 0.125 (u2,0 + u0,0)= 0,75 (0,70711) + 0,125 (1 + 0) = 0,65533.i = 2: u2,1 = 0.75u2,0 + 0.125 (u3,0 + u1,0)= 0,75 + 0,125 (0,70711 + 0,70711) = 0,92678.i = 3: u3,1 = 0.75u3,0 + 0.125 (u4,0 + u2,0)= 0,75 (0,70711) + 0.125 (0 + 1) = 0,65533.Para j = 1: Utilizamos la frmula (5.66).i = 1: u1,2 = 1.5u1,1 + 0,25 [+ u2,1 u0,1] - u1,0= 1,5 (0.65533) + 0,25 (0,92678 + 0) - 0,70711 = 0,50758.i = 2: u2,2 = 1,5 + 0,25 u2,1 [+ u3,1 u1,1] - u2,0= 1,5 (0,92678) + 0,25 (0,65533 + 0,65533) - 1,0 = 0,71784.i = 3: u3,2 = 1.5u3,1 + 0,25 [+ u4,1 u2,1] - u3,0= 1,5 (0,65533) + 0.25 (0 + 0,92678) - 0,70711 = 0,50758.Para j = 2:i = 1: u1,3 = 1.5u1,2 + 0,25 [+ u2,2 u0,2] - u1,1= 1,5 (0.50758) + 0,25 (0,71784 + 0) - 0,65533 = 0,28550.i = 2: u2,3 = 1.5u2,2 + 0,25 [+ u3,2 u1,2] - u2,1= 1,5 (0,71784) + 0,25 (0,50788 + 0,50788) - 0,92678 = 0,40377.i = 3: u3,3 = 1.5u3,2 + 0,25 [+ u4,2 u2,2] - u3,1= 1,5 (0,50758) + 0.25 (0 + 0,717835) - 0,65538 = 0,28550.Para j = 3:i = 1: u1,4 = 1.5u1,3 + 0,25 [+ u2,3 u0,3] - u1,2= 1,5 (0,285499) + 0,25 (0,403765 + 0) - 0,50758 = 0,02161.i = 2: u2,4 = 1.5u2,3 + 0,25 [+ u3,3 u1,3] - u2,2= 1,5 (0,4037625) + 0,25 (2) (0,285499) - 0,717835 = 0,03056.i = 3: u3,4 = 1.5u3,3 + 0,25 [+ u4,3 u2,3] - u3,2= 1,5 (0,285499) + 0.25 (0 + 0,40377) - 0,50758 = 0,02161.Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 297(Ii) Cuando k = 1/4, h = 1/4, obtenemos r =kh= = 14(4) 1.Los clculos estn por hacer para que el dos vecespasos, es decir, hasta t = 1/2 o j = 0, 1. Para r = 1, obtenemos el mtodouuuuijijijij,,,, + - + - = + - 1 1 1 1, j = 0, 1; i = 1, 2, 3. (5.67)Contamos con los siguientes valores.Para j = 0: ui, -1 = ui, 1, simplifica el mtodo como seui, 1 = ui-1,0 + ui + 1,0 - ui, 1, o ui, 1 = 0,5 (ui-1,0 + ui + 1,0).i = 1: u1,1 = 0,5 (u0,0 + u2,0) = 0,5 [0 + 1] = 0,5.i = 2: u2,1 = 0,5 (u1,0 + u3,0) = 0,5 (2) (0,70711) = 0,70711.i = 3: u3,1 = 0,5 (u2,0 + u4,0) = 0,5 (1 + 0) = 0.5.Para j = 1: Utilizamos la frmula (5.67).i = 1: u1, 2 = u0, 1 + u2,1 - u1,0 = 0 + ,70711-,70711 = 0.0i = 2: u2,2 = u1,1 + u3,1 - u2,0 = 0,5 + 0,5 a 1,0 = 0,0.i = 3: u3,2 = u2,1 + u4,1 - u3,0 = 0,70711 + 0-,70711 = 0,0.La solucin exacta y las magnitudes de errores son los siguientes:En t = 0,25: u (0,25, 0,25) = u (0,75, 0,25) = 0,5, u (0.5, 0.25) = 0,70711.Para r = 1/2: Las magnitudes de errores son los siguientes:| U (0,25, 0,25) - u1,2 | = | ,50758-0,5 | = 0,00758,| U (0.5, 0.25) - u2,2 | = | 0,717835-0,70711 | = 0,0107,| U (0,75, 0,25) - u3,2 | = | ,50758-0,5 | = 0,00758.Para r = 1, obtenemos la solucin exacta.En t = 0,5: u (0,25, 0,5) = u (0,75, 0,5) = u (0.5, 0.5) = 0.0.Para r = 1/2: Las magnitudes de los errores son 0,02161, 0,03056 y 0,02161.Para r = 1, obtenemos la solucin exacta.Ejemplo 5.22 Resolver UTT = 4uxx, con condiciones de contorno u (0, t) = 0 = u (4, t), t> 0 y lacondiciones iniciales ut (x, 0) = 0, u (x, 0) = x (4 - x).(A.u., noviembre / diciembre de 2006)Solucin Tenemos c2 = 4. Los valores de la etapalongitudes h y k no se prescriben. El nmero depasos de tiempo hasta que los clculos deben serrealizado no se prescribe. Por lo tanto, asumamosque utilizamos un mtodo explcito con h = 1 yk = 0,5. Que el nmero de pasos de tiempo hasta quelos clculos se deben realizar sea 4. A continuacin,tenemost0 1,0 2,0 3,0 4,0XFig. 5.31.298 MTODOS NUMRICOSr =ckh= 2 051(.)= 1.La frmula explcita viene dado por (ver (5.59))ui, j + 1 = ui + 1, j + ui-1, j - ui, j-1. , J = 0, 1, 2, 3; i = 1, 2, 3. (5.68)Las condiciones de contorno dan la u0 valores, j = 0, u4, j = 0, para todo j (ver Fig. 5.31).Las condiciones iniciales dan los siguientes valores.u (x, 0) = x (4 - x), da u0,0 = 0, u1,0 = u (1, 0) = 3,u2,0 = u (2, 0) = 4, u3,0 = u (3, 0) = 3, u4,0 = u (4, 0) = 0.Central de aproximacin diferencia para ut (x, 0) = 0 da ui, ui = -1, 1.Contamos con los siguientes resultados.Para j = 0: Ya, ui, ui = -1, 1, la frmula se simplifica a ui, 1 = 0,5 (ui + 1,0 + ui-1,0).i = 1: u1,1 = 0,5 (u2,0 + u0,0) = 0,5 (4 + 0) = 2,i = 2: u2,1 = 0,5 (u3,0 + u1,0) = 0,5 (3 + 3) = 3,i = 3: u3,1 = 0,5 (u4,0 + u2,0) = 0,5 (0 + 4) = 2.Estas son las soluciones en los puntos interiores en el nivel de tiempo t = 0,5.Para j = 1: Utilizamos la frmula (5.68), para dar ui, ui = 2 + 1,1 + ui-1,1 - ui, 0.i = 1: u1,2 = u2,1 + u0,1 - u1,0 = 3 + 0-3 = 0,i = 2: u2,2 = u3,1 + u1,1 - u2,0 = 2 2-4 = 0,i = 3: u3,2 = u4,1 + u2,1 - u3,0 = 0 + 3-3 = 0.Estas son las soluciones en los puntos interiores en el nivel de tiempo t = 1,0.Para j = 2: Utilizamos la frmula (5.68), para dar ui, ui = 3 + 1,2 + ui-1,2 - ui, 1.i = 1: u1,3 = u2,2 + u0,2 - u1,1 = 0 + 0-2 = - 2,i = 2: u2,3 = u3,2 + u1,2 - u2,1 = 0 + 0-3 = - 3,i = 3: u3,3 = u4,2 + u2,2 - u3,1 = 0 + 0-2 = - 2.Estas son las soluciones en los puntos interiores en el nivel de tiempo t = 1,5.Para j = 3: Utilizamos la frmula (5.68), para dar ui, ui = 4 + 1,3 + ui-1,3 - ui, 2.i = 1: u1,4 = u2,3 + u0,3 - u1,2 = - 3 + 0-0 = - 3,i = 2: u2,4 = u3,3 + u1,3 - u2,2 = - 2 - 2 - 0 = - 4,i = 3: u3,4 = u4,3 + u2,3 - u3,2 = 0 - 3 - 0, = - 3.Estas son las soluciones a los puntos interiores a nivel t cuarto tiempo requerido = 2,0.Ejemplo 5.23 Resolver uxx = UTT, 0 0 dar las soluciones en toda lapuntos nodales en las lneas x = 0 y x = l para todos los niveles de tiempo. Elegimos los valores de k y h.Esto le da al valor de la relacin de malla parmetro r. Alternativamente, podemos elegir los valores parary h.En el nivel 1, usamos la misma aproximacin como en el caso del mtodo explcito, es decir, nosaproximadoui, -1 = ui, 1 - 2 kg (xi).Ahora, aplicamos el mtodo finita diferencia (5.72) o (5.74) en el nivel 1.Por ejemplo, considere el mtodo indicado en (5.72). Obtenemos para j = 0,uru u uri, 1 x i, i, i, x ui,221 0 1222 122- = - - + -o ui, 1 -ru u u kg rx i i i i x KGI ui221 0 1221 22 22, =, - (-) + (- 2)o 2 1 2 2 2 221 1 1 1 1 02ui, - r (ui +, - ui, + ui-,) = ui, + KGI - KR (gi + 1 - gi + gi-1). (5,75)Si la condicin inicial es, ut (x, 0) = 0, entonces el mtodo simplifica como- R ui ui r r ui ui21 1212-, + 2 (1 +), - +1,1 = 2, 0. (5.76)El lado derecho de (5.75) o (5.76) se calcula. Para i = 1, 2, ..., M - 1, obtenemos unsistema de ecuaciones para u1,1, u2,1, ..., UM-1, 1. Este sistema de ecuaciones se resuelve para obtener elvalores en todos los puntos nodales en el nivel de tiempo 1. Para j> 0, se utiliza el mtodo (5.72) o (5.74)y resolver un sistema de ecuaciones en cada lnea de malla. Los clculos se repiten para lanmero requerido de pasos. Si realizamos m pasos de computacin, entonces hemos calculado lasoluciones hasta el tiempo tm = mk.Observacin 25 Reconoce el sistema de ecuaciones que se obtiene en cada nivel de tiempo?De nuevo, es un sistema de tri-diagonal de ecuaciones. Se utiliza el tres incgnitas consecutivos ui-1, j + 1,ui, j + 1 y ui + 1, j + 1 en el nivel de la hora j + 1.Vamos a ilustrar la aplicacin de los mtodos.Ejemplo 5.24 Resolver la ecuacin de ondaUTT = uxx, 0 x 1, con sujecin a las condicionesu (x, 0) = sen ( x), ut (x, 0) = 0, 0 x 1, u (0, t) = u (1, t) = 0, t> 0.Utilice un mtodo implcito con h = 1/4 y k = 1/4. Calcule por dos niveles de tiempo.Solucin Tenemosc = 1, h =14, K =14, R =kch h= 1(4) = 1. (Fig.5.34).Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 303Para r = 1, tenemos el mtodo (5.72) comoui, j + 1 - x ui, j + = ui, j - ui, ui j- + x, j-21 12112212 o ui, j + 1 - (ui + 1, j + 1 - ui, j + 1 + ui-1, j + 1) = ui, j - ui, j-1 + (ui + 1, j-1 - ui, j-1 + ui-1, j-1)122 2122o - 0.5ui-1, j + 1 + 2ui, j + 1 - 0.5ui + 1, j + 1 = 2ui, j - 2ui, j-1 + 0.5 (ui-1, j-1 + ui + 1, j-1)j = 0,1; i = 1, 2, 3.Las condiciones de contorno dan la u0 valores, j = 0 = u4, j para todo j.La condicin inicial u (x, 0) = sen ( x), da los valoresu0,0 = 0, u1,0 = sin ( / 4) = (1/2),u2,0 = sin ( / 2) = 1,u3,0 = sin (3 / 4) = (1/2), u4,0 = 0.La condicin ut inicial (x, 0) = 0, da los valoresui, -1 = ui, 1.Por lo tanto, para j = 0, obtenemos la ecuacin- 0.5ui-1,1 + 2ui, 1 - 0.5ui + 1,1= 2ui, 0 - 2ui, -1 + 0,5 (ui-1, -1 + ui + 1, -1)o - ui-1,1 + 4ui, 1 - ui + 1,1 = 2ui, 0.Tenemos las siguientes ecuaciones para j = 0.i = 1: - u0,1 + 4u1,1 - u2,1 = 2u1,0o 4u1,1 - u2,1 = 2122?? ??? ?= = 1,41421.i = 2: - u1,1 + 4u2,1 - u3,1 = 2u2,0 = 2.i = 3: - u2,1 + 4u3,1 - u4,1 = 2u3,0o - u2,1 + 4u3,1 = 2122?? ??? ?= = 1,41421.Restando la primera y tercera ecuaciones, obtenemos 4u1,1 - 4u3,1 = 0. Por lo tanto, u1,1 = u3,1.Por lo tanto, tenemos las ecuaciones4u1,1 - u2,1 = 1,41421, y - 2u1,1 + 4u2,1 = 2.La solucin viene dada poru1,1 =7 656841405469210 82842143 1 2 1 0 77 346.. ,.= = U, u, = =. .t0 1/4 2/4 3/4 1,0 xFig. 5.34. Ejemplo. 5.24.304 MTODOS NUMRICOSPara j> 0, se utiliza el mtodo de (5.72).uru u uri, j + 1 - x i, j + = i, j - i, j-x + ui, j-221 1222 122 o uri, j + 1 - (+ ui, j + - ui, j + + ui-, j +)21 1 1 1 1 22= 221 22u u 1 1 1 1 1ri, j - i, j- + (ui +, j- - ui, j- + ui-, j-).Para j = 1, obtenemos (con r = 1)i = 1: - 0.5u0,2 + 2u1,2 - 0.5u2,2 = 2u1,1 - 2u1,0 + 0,5 (u2,0 + u0,0)o 2u1,2 - 0.5u2,2 = 2 (0.54692) - 2 (0.70711) + 0,5 (1,0 + 0) + 0.5 (0) = 0,17962.i = 2: - 0.5u1,2 + 2u2,2 - 0.5u3,2 = 2u2,1 - 2u2,0 + 0,5 (u3,0 + u1,0)= 2 (0,77364) - 2 (1) + 0,5 (2) (0,70711) = 0,25403.i = 3: - 0.5u2,2 + 2u3,2 - 0.5u4,2 = 2u3,1 - 2u3,0 + 0,5 (u4,0 + u2,0)o - 0.5u2,2 + 2u3,2 = 2 (0.54692) - 2 (0.70711) + 0,5 (0 + 1.0) + 0.5 (0) = 0,17962.Restando la primera y tercera ecuaciones, obtenemos 2u1,2 - 2u3,2 = 0. Por lo tanto, u1,2 = u3,2.Por lo tanto, tenemos las ecuaciones2u1,2 - 0.5u2,2 = 0,17962, y - u1,2 + 2u2,2 = 0,25403.La solucin viene dada poru1,2 =0 486255350138930 6876835 3 2 2 2... ,.. = = U, u, = = 0,19648.PREGUNTAS DE REPASO1. Escribir la ecuacin de una onda unidimensional que rige las vibraciones de una cuerda elstica.Solucin La ecuacin de una onda unidimensional que rige las vibraciones de un elsticocadena est dada porUTT = c2uxx, 0 x l, t> 0.donde c2 depende de las propiedades del material de la cadena, la tensin T en la cadena dey la masa por unidad de longitud de la cadena.2. Escriba un mtodo explcito para resolver la ecuacin de onda unidimensionalUTT = c2uxx, 0 x l, t> 0.Se da solucin Un mtodo explcito para resolver la ecuacin una onda unidimensionalporui, j + 1 = (- r) ui, j + r [+ ui, j + ui-, j] - ui, j-, j =,,, ..., i =,,, ...2 22 1 1 1 1 0 1 2 1 2 3

Problemas de contorno en las ecuaciones diferenciales ordinarias ... 305donde r = (kc) / h, y h y k son longitudes de paso en la direccin x y t direccionesrespectivamente.3. Cul es el orden y el error de truncamiento del mtodo dado en el problema 2?Solucin El fin del mtodo es O (k2 + h2). El error de truncamiento est dada porT.E. =k h cruX2 2 22412 4(- 1) + ...??

?.4. Escriba un mtodo explcito para resolver la ecuacin de onda unidimensionalUTT = c2uxx, 0 x l, t> 0cuando r = [(kc) / h] = 1.Solucin El mtodo se da poruuuuijijijij,,,, + + - - = + - 1 1 1 1.5. Para qu valores de r = [(kc) / h] es el mtodo explcito para la onda unidimensionalecuacin estable?Solucin El mtodo explcito es estable para r 1.6. Para qu valores de , el mtodo explcito para resolver la ecuacin hiperblica22 222u 1x cut= Es estable, donde =c tX? (A.u. abril / mayo de 2003)Solucin Para 1.7. Qu entiende usted por error en el anlisis de errores? (A.u. noviembre / diciembre 2003)Solucin En el anlisis de error, error significa el error de truncamiento del mtodo. Nosotros escribimoslos desarrollos en serie de Taylor de todos los trminos del mtodo y simplificar. El ldertrmino de esta serie (el primer trmino no desaparicin) se llama el error de truncamiento.8. Escribir un mtodo implcito para la resolucin de la ecuacin de onda unidimensionalUTT = c2uxx, 0 x l, t> 0.Solucin Un mtodo implcito est dada poruru u uri, j + 1 - x i, j + = i, j - i, j- + Xui, j-221 1222 122 o -ru r uri j i j ui j21 12121 1 21+ + + 2 - +, + (+), -,= 2 + + - - + - + - -21221 1212u 1 1ru r uri, j, j () i, j ui, jj = 0, 1, 2, ...; i = 1, 2, 3, ...9. Para qu valores de r = [(kc) / h] es el mtodo implcito para la onda unidimensionalecuacin estable?306 MTODOS NUMRICOSSolucin El mtodo implcito es estable para todo valor de r, es decir, el mtodo es incondicionalmenteestable.10. Qu tipo de sistema de ecuaciones Qu obtenemos cuando aplicamos el mtodo implcito para resolverla ecuacin de onda unidimensional?Solucin obtener un sistema tridiagonal lineal de ecuaciones algebraicas. Se utiliza eltres incgnitas consecutivos ui-1, j + 1, ui, j + 1 y ui + 1, j + 1 en el nivel de la hora j + 1.EJERCICIO 5.51. Resolver la ecuacin de onda UTT = uxx, 0