05-interaccion tunel sostenimiento

Interacción Túnel Sostenimiento E.T.S.E.C.C.P.B. – U.P.C.

INTERACCIÓN TÚNEL SOSTENIMIENTO

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN 2. DETERMINACIÓN DE LA CURVA CARACTERÍSTICA 2.1. Elasticidad. Túnel circular en deformación plana 2.2. Elasticidad. Excavación esférica 2.3. Elastoplasticidad. Túnel circular en deformación plana-criterio de rotura de

Mohr-Coulomb 2.4. Elastoplasticidad-cavidad esférica. Criterio de rotura de Mohr-Coulomb 2.5. Deformación plana. Criterio de rotura de Hoek-Brown 2.6. Comentarios finales 3. DETERMINACIÓN DE LA CURVA DE CONFINAMIENTO (O CURVA

DE SOSTENIMIENTO) 3.1. Introducción 3.2. Revestimiento anular de hormigón 3.3. Cerchas metálicas 3.4. Bulones 4. DETERMINACIÓN DE LA DEFORMACIÓN PREVIA A LA

INSTALACIÓN DEL SOSTENIMIENTO. UTILIZACIÓN DEL MÉTODO DE CONVERGENCIA-CONFINAMIENTO

4.1. Macizo en régimen elástico. Túnel sin revestir 4.2. Macizo en régimen elastoplástico. Túnel sin revestir 4.3. Túnel revestido

Ingeniería Geológica. Excavaciones Subterráneas 1


INTERACCIÓN TÚNEL-SOSTENIMIENTO

1. INTRODUCCIÓN Bajo ciertas condiciones de simetría de carga y geometría regular de la excavación (excavación cilíndrica o esférica) es posible efectuar un análisis simplificado de la interacción terreno-sostenimiento que permita el proyecto de este último. Aunque el análisis es relativamente sencillo, se tienen en cuenta parámetros fundamentales del terreno (módulos elásticos, criterios de rotura, deformabilidad post-rotura) y del sostenimiento (rigidez y su última carga). La idea fundamental del procedimiento se esquematiza en la Fig. 1. Supongamos un túnel profundo de forma que, con buena aproximación, se pueda prescindir en el entorno del túnel del gradiente de tensiones que introduce la gravedad (en la práctica ello supone recubrimientos de al menos 10 veces el diámetro). Se supone también un estado isótropo de tensiones de intensidad p0. Consideremos (en la Fig. 1) el avance de la excavación y cuatro secciones significativas. Lejos del frente, en la roca (sección AA’), sobre el futuro contorno teórico del túnel actúa la tensión p0. Esta sección aún no se ha deformado, de manera que el desplazamiento radial, ui de los puntos de la sección teórica del túnel es nulo.

Fig. 1. Esquema de una sección longitudinal del avance del túnel En la sección BB’, ya excavada y próxima al frente, la tensión p0 ha desaparecido y el contorno del túnel ha experimentado un desplazamiento hacia el interior (ui). Debido a la marcada tridimensionalidad del problema no es posible en principio efectuar un análisis bidimensional en sección plana. De hecho, en estas condiciones (2D, deformación plana) una sección circular sin presión interior se deformaría



considerablemente más que lo que se observaría en una sección como la BB’ próxima la frente. Sin embargo se podría mantener el análisis bidimensional si se supusiera la existencia de una presión pi ficticia tal que su aplicación conduzca al mismo desplazamiento radial ui que en el caso real tridimensional. En este caso la variación continua desde pi= p0 hasta pi=0 reproduciría el complejo proceso de deformación desde una sección AA’, sin alterar por la construcción del túnel hasta la sección del túnel sin revestimiento alguno y alejada del frente, para evitar su efecto 3D. La relación entre esta pi y ui constituye la denominada ‘curva característica’ o ‘curva de convergencia’ del túnel y sólo depende de las propiedades del terreno (para una geometría circular). Esta relación se ha representado, de forma cualitativa en la Fig. 2 (curva CC (curva característica)). Lo normal, sin embargo, es que a una cierta distancia del frente d (sección CC’) se coloque un determinado sostenimiento (bulones, hormigón proyectado, cerchas, revestimientos continuos o una combinación de alguno de ellos) que inmediatamente entrará en carga al menos por dos razones:

• El progresivo alejamiento del frente lo que supone la disminución virtual de la carga pi y por tanto un incremento de deformación radial.

• Las deformaciones diferidas de la roca al transcurrir el tiempo. En primera aproximación el revestimiento reaccionará con una determinada rigidez constante (k) frente a las deformaciones impuestas.

Fig. 2. Representación de las distintas curvas en un gráfico pi vs ui

Teniendo en cuenta que se instala una vez que la roca se ha deformado una magnitud ud, la respuesta del revestimiento se puede escribir:

)( dii uukp −= (1) El desplazamiento ud corresponde a una determinada presión virtual sobre el túnel pd. La ecuación (1) anterior se denomina CF (curva de confinamiento) en la Fig. 2.



Finalmente, túnel y revestimiento alcanzarán una posición única de equilibrio (sección DD’) cuando se alcancen la presión y desplazamiento (peq, ueq) comunes a las dos curvas CC y CF. Para una determinada curva CC el proyectista o constructor puede optar por la instalación de un revestimiento muy próximo al frente (ud1) o lejos de él (ud2), Fig. 3. Puede también elegir la rigidez del sostenimiento (rígido: k1; deformable kn). En principio, cuanto más rígido sea un sostenimiento y más próximo al frente se instale, mayor será la presión de equilibrio que ha de soportar y menor el desplazamiento radial (o convergencia) del túnel.

Fig. 3. Distintas opciones a la hora de elegir el sostenimiento Para aplicar este método es necesario:

• Determinar la curva CC (que sólo depende de las características del terreno) • Determinar la rigidez del sostenimiento (k). • Determinar la deformación del túnel ud (o de forma equivalente, pd)

correspondiente a la instalación del sostenimiento. Para determinar la curva característica del terreno se considerará sucesivamente el comportamiento elástico y elastoplástico del terreno. Se presentan soluciones para dos criterios de rotura: • Criterio de Mohr-Coulomb, por ser de uso generalizado, tanto en macizos rocosos

como en suelos. Permite de forma natural tratar las condiciones no drenadas (c = cu, ϕ = 0) y puramente friccionales (c = 0, ϕ).

• Criterio de Hoek-Brown, por su fidelidad para reproducir las envolventes de rotura no lineales observadas en rocas.

Se examinará el caso de túnel circular en deformación plana y el caso esférico (comportamiento elástico y criterio de Mohr-Coulomb). La cavidad esférica, aparte del interés que tiene en si misma para el análisis de excavaciones subterráneas de formas diversas, es una aproximación interesante al comportamiento en las proximidades del frente y proporcionan información útil para entender sus condiciones de estabilidad.



El método descrito tiene las limitaciones que se derivan de las hipótesis o condiciones que conducen a su formulación. Las más sobresalientes son:

• Estado de tensiones inicial isótropo y homogéneo. • Geometrías circulares. • Dificultades para adaptar el comportamiento tridimensional del frente y en para

estimar el movimiento ud. Como ventajas se señala que es posible obtener soluciones analíticas para muchos casos, que la comparación con otros métodos más avanzados (numéricos) es bastante satisfactoria y que proporciona un buen entendimiento de los fenómenos de interacción entre terreno y sostenimiento. 2. DETERMINACIÓN DE LA CURVA CARACTERÍSTICA 2.1. ELASTICIDAD. TÚNEL CIRCULAR EN DEFORMACIÓN PLANA El problema clásico se representa en la Fig. 4. Se conocen soluciones en elasticidad en función del coeficiente de empuje K0. Si K0 = 1 el problema se simplifica pues la única componente no nula del campo de desplazamientos es el desplazamiento radial u, que únicamente depende de r: u(r). Se adopta como valor positivo de u el que sigue a la dirección de r. En coordenadas cilíndricas (r,θ, z), la ecuación de equilibrio en dirección r es:

0=−

+rdr

d rr θσσσ (2)

Las dos tensiones σr, σθ son tensiones principales por lo que τrθ = 0 en este caso. Para deformaciones correspondientes εr y εθ se adopta el criterio de signos siguiente:

• Deformación de compresión: positiva • Deformación de extensión: negativa

Se define por tanto,

drdu

r −=ε ; ru

−=θε (3)

Suponiendo terreno elástico isótropo (constantes; E, υ) las relaciones tensión-deformación son

))((1zrr E

σσυσε θ +−= (4a)



))((1zrE

σσυσε θθ +−= (4b)

))((1θσσυσε +−= rzz E

(4c)

donde σr, σθ y σz son tensiones principales. Teniendo en cuenta que εz = 0 (deformación plana) 4ª y 4b se convierten en

−−

−= θσ

υυσυε

11 2

rr E (5a)

−−

−= rE

συ

υσυε θθ 11 2

(5b)

Fig. 4. Túnel circular en deformación plana que interesa también escribir en forma incremental

∆

−−∆

−= θσ

υυσυε

11 2

rr E (6a)



∆

−−∆

−= rE

συ

υσυε θθ 11 2

(6b)

A partir de (5) y (3), también

+

−−=+

−=

drdu

ruEE

r 121

112

1 1)(

1υ

υευε

υσ θθ (7a)

+

−−=+

−=

ru

drduEE

rr 121

112

1 1)(

1υ

υευε

υσ θ (7b)

donde υυυ −= 1/1 ; . )1/( 2

1 υ−= EE Sustituyendo estas expresiones en (2) se obtiene

02

22 =−+ u

drdur

drudr (7)

que es la ecuación de equilibrio en función del corrimiento. Esta ecuación no depende de las constantes elásticas. Las soluciones de (7) son del tipo

rBAru += (8)

donde A y B son constantes que se determinan con las condiciones de contorno

• si r = ri σr = pi (9a)

• si ∞→r σr = p0 (9b)

lo que resuelve el problema. Se obtiene, finalmente, la siguiente expresión para las tensiones

)( 0

2

0 ii

r pprr

p −

−=σ (10a)

)( 0

2

0 ii pprr

p −

+=θσ (10b)

que se dibujan cualitativamente en la Fig. 5.



Fig. 5. Relación de tensiones en función del radio

La tensión σθ se mantiene por encima de la σr y alcanza un máximo en el contorno de la excavación. El valor de σr por el contrario, crece continuamente con el radio hasta alcanzar la tensión p0. Teniendo en cuenta que 02 pr =+ θσσ (ecuación 10) y que si

)(0 θσσυσε +=→= rzz (ec. 4c),la tensión σz en el entorno del túnel tiende a ser intermedia entre σθ y σr para los valores usuales de υ (0.3-0.5). Deformaciones y desplazamientos Si se adopta como estado de referencia (movimientos nulos) el correspondiente a la equicompresión inicial, las deformaciones están inducidas por los cambios experimentados por las tensiones:

)( 0

2

ii

r pprr

−

−=∆σ (11a)

)( 0

2

ii pprr

−

=∆ θσ (11b)

A partir de (5):

)(10

2

ii pprr

E−

+=

υεθ (12a)

)(10

2

ii

r pprr

E−

+−=

υε (12b)

Comprobamos que la deformación volumétrica es nula en cualquier punto: 0=++= zr εεεε θυ (13)



En la pared del túnel (r = ri)

G

pppp

Eru i

ii

i

2)(1 0

0−

=−+

=−=υεθ (14)

donde )1(2 υ+

=EG es el módulo de deformación de corte.

La ecuación (14) proporciona la curva característica del túnel en régimen elástico, representada en la Fig. 6 como relación entre pi y el movimiento ui, normalizado con relación al radio del túnel.

Fig. 6. Curva característica del túnel en régimen elástico

2.2. ELASTICIDAD. EXCAVACIÓN ESFÉRICA En un campo tensional uniforme de intensidad p0 el problema tiene simetría puntual. Los únicos desplazamientos no nulos (u) se dirigen hacia el centro de la esfera.

Fig. 7. Esquema para el problema elástico con cavidad esférica



En un sistema de coordenadas esférico (r, θ, α)(Fig. 7), σθ = σα y la ecuación de equilibrio en dirección radial se escribe

0)(2=

−+

rdrd rr θσσσ (15)

Las deformaciones normales son ahora

ru

−== θα εε ; drdu

r −=ε (16)

Las relaciones tensión deformación son idénticas a las (4), sustituyendo en la tercera z por α. Teniendo en cuenta que σθ = σα; εθ = εα,

[ rEυσυσε θθ −−= )1(1 ] (17a)

[ θυσσε 21−= rr E

] (17b)

Y en forma incremental

[ rEσυυσε θθ ∆−−∆= )1(1 ] (18a)

[ θσυσε ∆−∆= 21rr E

]

)

(18b)

Las relaciones inversas, a partir de (17) son (19a) ))1(2(* υευεσ θ −+= rr E (19b) (*

rE υεεσ θθ += donde

)21)(1/(* υυ −−= EE Sustituyendo (19) en (15) y haciendo uso de (16):

0222

22 =−+ u

drdur

drudr (20)

que es la ecuación de equilibrio, en términos de desplazamiento radial, para el problema esférico.



Su solución se escribe

2rBAru += (21)

donde A y B son constantes que se determinan con las condiciones de contorno (9). Se obtiene fácilmente la solución siguiente para las tensiones

3

00 )(

−−=

rrppp i

irσ (22a)

3

00 )(21

−+=

rrppp i

iθσ (22b)

Se observa que las tensiones disminuyen ahora con el cubo del radio. De nuevo σθ = σα se mantienen por encima de σr. Deformaciones y desplazamientos Los cambios de tensiones, con relación al estado de referencia (p0) son

3

0 )(

−−=∆

rrpp i

irσ (23a)

3

0 )(21

−=∆

rrpp i

iθσ (23b)

y a partir de (18):

3

0

4

−

=rr

Gpp ii

θε (24a)

3

0

2

−

−=rr

Gpp ii

rε (24b)

Comprobamos también que la deformación se produce a volumen constante: 02 =+= rεεε θυ (25) En el contorno del túnel, r = ri

G

ppru i

i

i

40 −

=−=θε (26)



que es la curva característica elástica para la excavación esférica, que se ha representado también en la Fig. 6. Se comprueba la mayor rigidez global de la cavidad esférica con relación a la cilíndrica. 2.3. ELASTOPLASTICIDAD. TÚNEL CIRCULAR EN DEFORMACIÓN PLANA. CRITERIO DE ROTURA DE MOHR-COULOMB El descenso paulatino de pi puede provocar la plastificación del contorno del túnel y la formación de una corona plástica de espesor e = re – ri creciente (Fig. 8). En el entorno del túnel distinguimos pues, dos zonas.

• Zona elástica (r > re)

Fig. 8. Esquema para el problema elastoplástico

Es valido el desarrollo anterior modificando las condiciones de contorno (9) que ahora son:

r = re ; σr = σre (27a)

∞→r ; σr = po (27b)

donde σre es la tensión radial en el contacto entre las zonas elásticas y plástica. Se obtiene

)( 0

2

0 ree

r prrp σσ −

−= (28a)

)( 0

2

0 ree prrp σσθ −

+= (28b)



Procediendo de forma similar, se calculan las deformaciones

)(10

2

ree prr

Eσυεθ −

+

= (29a)

)(10

2

ree

r prr

Eσυε −

+

−= (29b)

En la frontera, r = re

G

pru re

e

e

20 σεθ

−=−= (30)

y las tensiones son σr = σre (31a)

rep σσθ −= 02 (31b) • Zona elastoplástica (ri < r < re) Si σ1 y σ3 son las tensiones principales mayor y menor, el criterio de rotura de Mohr-Coulomb se escribe (ver también Fig. 9a y 9b), pp KcK 231 += σσ (32) donde

ϕϕ

sensen

−K p

+=

1 (33) 1

es el “coeficiente de empuje pasivo”, ϕ el ángulo de rozamiento interno, c la cohesión y

ϕ

ϕsenp −1

cosK = (34)

Por lo expuesto anteriormente, los puntos del terreno próximos al contorno seguirán típicamente la trayectoria de tensiones t señalada en la Fig. 9b. A partir de un estado isótropo de tensiones, σθ (identificable con σ1) aumenta, mientras que σr (identificable con σ3) disminuye. La condición límite se alcanza en la envolvente (32). Se supondrá asimismo que tras alcanzar la superficie límite las deformaciones continúan a tensión desviadora constante (plasticidad perfecta). Se supone también una ley de plasticidad no asociada a fin de calcular las deformaciones plásticas. Se adopta un potencial plástico similar a (32) con un ángulo de dilatancia ψ:



(35) 0),( 3*

131 =−−= CKg pσσσσ

Fig. 9. Trayectoria de tensiones



donde

ψψ

sensenK p +

−=

11* (36)

y C es una constante. La ecuación de equilibrio (2), con la condición de rotura (32) σ1 = σθ, σ3 = σr, conduce a la ecuación

r

KcKdr

d pprr2)1( +−

=σσ (37)

que puede integrarse entre (ri, r) y (pi, σr):

[ ]

+−

−=

−1

2)1(1

1 pK

ippi

p rrKcKp

Kθσ (38)

y, teniendo en cuenta (32):

[ ] pp

K

ippi

p

p KcKcrrKcKp

KK p

222)1(1

1

+

−

+−

−=

−

θσ (39)

Caso ϕ = 0 ; c = cu Un caso particular de interés, especialmente cuando se analizan condiciones no drenadas o a corto plazo en materiales arcillosos, corresponde al criterio de rotura

ur c2+= σσθ (40) En ese caso, la ecuación (37) se convierte en

rc

drd ur 2

=σ (41)

y tras su integración se obtiene r p iui rrc /ln2+=σ (42a) )/ln1(2 iui rrcp ++=θσ (42b)



Caso c = 0, ϕ En materiales puramente friccionales, (38) y (39) se convierten en

1−

=

pK

iir r

rpσ (43a)

1−

=

pK

iip r

rpKθσ (43b)

Extensión de la zona plástica Para obtener el radio de plastificación se harán compatibles las tensiones radiales calculadas en la zona elastoplástica y en la zona elástica (en el límite, cuando las tensiones elásticas deben encontrarse en rotura). En efecto, las tensiones dadas por (31) deben cumplir el criterio de Mohr-Coulomb:

err →

prepre KcKp 22 0 +=− σσ (44) lo que proporciona σre:

1

22 0

+

−

p

p

KKcp

=reσ (45)

Esta tensión debe ser igual a la que se deduce de (38) (zona elastoplástica) cuando . Esta igualdad permite obtener el radio de la zona plástica: err =

11

0

2)1(

2)22(11 −

+−

+−−

−

=

pK

ppi

ppp

p

ie KcKp

KcKcpKK

rr (46)

La plastificación se inicia en el contorno del túnel cuando r ie r= . Esta condición conduce a

1

22 0

+

−=

p

pi K

Kcpp (47)

que se obtiene también si se obliga a que las tensiones elásticas en la pared del túnel ( ir p=σ ; io pp −= 2θσ ) cumplan el criterio de rotura (32). En condiciones no drenadas (ϕ = 0 ; c = cu) se encuentra el radio re haciendo que el valor de σr, para dado en (42a) sea igual al valor límite en la zona elástica dado por (45) para (

err ==pK 1 0=ϕ ) y c = cu:



i

euiure r

rcpcp ln20 +=−=σ (48)

y por consiguiente

−−⋅=

u

uiie c

cpprr2

exp 0 (49)

En el caso puramente friccional (c = 0, ϕ), a partir de (45) y (46).

1

2+

=p

ore K

pσ (50a)

rK

pi

oie

p

Kpprr

−

+=

1

)1(2 (50b)

A partir de las expresiones (42) (zona plástica) y (28) (zona elástica) para condiciones no drenadas, en la Fig. 10 se dibuja la distribución de tensiones normalizadas uc/θσ y ur c/σ en función del radio normalizado ( ) para dos valores de la presión interior

irr /0=ip y ui cp 4= . En los casos dibujados se supone

que la tensión isotrópica de confinamiento es 6 pu qc 3= , siendo qp la resistencia a compresión simple. Si se compara esta distribución con la dibujada en la Fig. 5, se observa la profunda modificación que impone la plastificación del terreno. El pico que se observa en la distribución de σθ corresponde a la posición del radio del borde exterior de la zona plástica.

Fig. 10. Relaciones tensión-deformación normalizadas



Deformaciones y desplazamientos. Curva característica Consideremos las deformaciones experimentadas por un punto de la zona elastoplástica desde el inicio de la excavación. Ese punto habrá experimentado, hasta llegar a su estado de tensiones, cambios en régimen elástico (EL) y cambios en régimen elastoplástico (EP). La deformación final total a lo largo de su historia de cambios de tensiones se puede escribir, para el caso circunferencial, por ejemplo

∫ ∫ ∫∫ ++=+=EL EL

p

EP

ee

EP

epeθθθθθθ εεεεεε &&&&& (51)

Si hacemos la hipótesis de que, una vez alcanzada la plastificación las deformaciones elásticas son despreciables frente a las plásticas, podríamos escribir (52) ∫ ∫ +=+=

EL

pe

EP

epeθθθθθ εεεεε &&

donde es la (máxima) deformación elástica experimentada antes de alcanzar la envolvente de rotura y es la deformación plástica total a partir de ese momento.

eθε

pθε

Cabe escribir la misma expresión para . Teniendo en cuenta la expresión de las deformaciones totales en función del corrimiento (3), se cumple:

rε

pr

err dr

du εεε +=−= (53a)

pe

ru

θθθ εεε +=−= (53b)

Las deformaciones elásticas máximas se alcanzaban en el punto en cuestión cuando estrictamente se llegue a la plastificación. Las expresiones de y se pueden obtener a partir de (22a) cuando r = r

eθε e

rεe:

G

p ree

20 σ

εθ−

= (54a)

e

rε −= (54b) eθε

y, teniendo en cuenta (45):

)1(2

2)1(0

+

+−=

p

ppe

KG

KcKpθε (55a)

(55b) ee

r θεε −=



Valores que no dependen del radio. Dependen únicamente de las constantes elásticas y plásticas y de la tensión de confinamiento. La ley de fluencia plástica nos permite obtener la relación entre y . En efecto, teniendo en cuenta (35)

prε p

θε

λσ

λεθ

θ ⋅=∂∂

= 1gp (56a)

λσ

λε ⋅−=∂∂

= *p

r

pr Kg (56b)

y por tanto: (57) p

ppr K θεε *−=

La ecuación (53a), teniendo en cuenta (53b) y (57) se escribe

0)1( ** =−++ pe

p KruK

drdu

θε (58)

Que es una ecuación diferencial integrable ( es constante). La solución en el dominio r

eθε

ei rr ≤≤ , con la condición de contorno. ; ; (59) err = euu = e

er θε− es

rK

KKr

rr

up

pe

p

eeK

ep

*

*

* 11

12

*

+

−−

+

−= θθ ε

ε (60)

y en la pared del túnel (r = ri , u = ui):

ip

pe

p

eeK

i

ei r

KK

Kr

rr

up

*

*

* 11

12

*

+

−−

+

−= θ

θ εε

(61)

que es la curva característica del túnel (ui, pi). La variable pi se encuentra incluida en el radio re (expresión 46) y la deformación está dada por (55a). e

θε Caso no drenado ( 0==ψϕ ; c uc= ) Recordando la expresión (4a) y que la deformación elástica (55a) se convierte en



G

cue

2=θε (62)

la curva característica (61) se reduce a

−−−=

u

uiuii c

cppGcr

u 0exp2

(63)

Esta expresión es válida siempre que se haya iniciado la plastificación, es decir siempre que la presión interior pi sea inferior a (47), que para el caso no drenado es simplemente ui cpp −= 0 (64) Para valores de pi mayores que ucp −0 , la curva característica viene dada por (14). En la Fig. 11 se representa la curva característica correspondiente a las condiciones de la distribución de tensiones de la Fig. 10 es decir uo cp 6= . La propia estructura de la expresión (63) permite normalizar las convergencias relativas ( ) con relación al parámetro adimensional c . El parámetro tiende a ser constante para amplias clases de suelos y rocas siempre que no cambie mucho el rango de deformaciones. En la Fig. 12 se recoge información en este sentido publicada por Jardine et. al. (1989) para suelos con diferente grado de sobreconsolidación ( ).

ui cu /Gu / Gcu /

3/uEG =

Fig. 11. Curvas características de Mohr-Coulomb



2.4. ELASTOPLASTICIDAD. CAVIDAD ESFÉRICA. CRITERIO DE ROTURA DE MOHR-COULOMB

Nos referimos de nuevo a la Fig. 8 suponiendo condiciones esféricas.

Fig. 12. Forma de hallar el cu

• Zona elástica ( )err > Es de aplicación el desarrollo efectuado en el Apartado 2.2 modificando las condiciones de contorno (9) por las (27). Se obtienen las tensiones

3

00 )(

−−=rr

pp erer σσ (65a)

)(21

0

3

0 ree prr

p σσσ αθ −

+== (65b)

De forma análoga a lo expuesto en el Apartado 2.2. se calculan las deformaciones



3

0

4

−=

rr

Gp ereσ

εθ (66a)

3

0

2

−−=

rr

Gp ere

rσ

ε (66b)

En el límite de la zona plástica ( err = ),

G

p rer 2

0 σε

−−= (67a)

G

p re

40 σ

εθ−

= (67b)

A partir de (66), los corrimientos en la zona elástica son

3

0

4

−=−

rr

Gp

ru ereσ

(68a)

Las tensiones en la frontera ( ) son, a partir de (65), err =

rer σσ = (69a)

)3(21

0 rep σσσ αθ −== (69b)

• Zona elastoplástica ( ei rrr ≤≤ ) En el caso esférico se cumple αθ σσσ ==1 y 3σσ =r y el criterio de rotura será: 02),( =−−= prpr KcKF σσσσ θθ (70) La ecuación de equilibrio (15) y la condición (70) conducen a

0)2)1((2

=−−

+r

KcK

drd pprr

σσ (71)

que puede integrarse entre ( ) y (rri , rip σ, ):

−

+−

−=

−

p

K

ippi

pr Kc

rrKcKp

K

p

4)4)1(2()1(2

1)1(2

σ (72)



y teniendo en cuenta (70):

pp

K

ippi

p

p KcKcrrKcKp

KK p

24)4)1(2()1(2

)1(2

+

−

+−

−=

−

θσ (73)

El caso no drenado (ϕ = 0 ; cu) se resuelve teniendo en cuenta que el criterio de rotura es ahora ur c2+= σσ θ (74) La ecuación de equilibrio (15) y (74) conducen a

rc

drd ur 4

=σ

(75a)

y por tanto iuir rrcp /ln4+=σ (76a) )/ln21(2 iui rrcp ++=θσ (76b)

• Extensión de la zona plástica El procedimiento para obtener se expuso en el apartado anterior. Teniendo en cuenta que las tensiones elásticas en la frontera

er

err = (ecuación 69) han de cumplir el criterio de rotura (70) se deduce

12

43 0

+

−=

p

pre K

Kcpσ (77)

Por equilibrio, esta tensión debe ser igual a la calculada en la zona elastoplástica (ecuación 72, para ). Esta igualdad conduce al valor siguiente para : err = er

)1(21

0

4)1(2

4)43(12)1(2 −

+−

+−+

−

=

pK

ppi

ppp

p

ie KcKp

KcKcpKK

rr (78)

La presión interior que inicia la plastificación en el contorno se puede obtener a partir de (78) haciendo directamente a partir de las expresiones elásticas para las ie rr =



tensiones (22) en irr = , imponiendo que se cumpla el criterio de rotura. En ambos casos se calcula

p

p

p

p

er

er

12

43 0

+

−=

p

pi K

Kcp (79)

En condiciones no drenadas (0, ) se inicia la plastificación si uc

ui cp34

0 −= (80)

Y en un terreno puramente friccional cuando

12

3 0

+=

pi K

p (81)

En condiciones no drenadas, la tensión radial en la frontera (cálculo elastoplástico) viene dada por la expresión (76a), que ahora debe ser igual a la (77):

err =

3

43ln4 0 u

i

eui

cprrc −

=+ (82)

Lo que permite obtener la posición de la frontera elastoplástica

−−=

u

iui c

pcpr4

3/4exp 0 (83)

En el caso puramente friccional, a partir de (78) se calcula

)1(2

1

0

)12(3 −

+=

pK

pii Kp

pr (84)

Utilizando las expresiones para la zona elástica (65), con reσ y dadas por (77) y (83) y las correspondientes a la zona elastoplástica (ecuaciones 76), se ha dibujado en la Fig. 13 la distribución de tensiones en función del radio para los mismos casos representados en la Fig. 10.

er

La comparación de ambas figuras revela que el alcance de la plasticidad es mucho más reducido en el caso esférico. En la Fig. 14 se comparan las distribuciones de tensiones en los casos esférico y cilíndrico en deformación plana, en ausencia de sostenimiento, para mostrar claramente la diferencia entre ambas soluciones.



Fig. 13. Distribución de tensiones en función del radio

• Deformaciones y desplazamientos. Curva característica Análogamente a lo expuesto en el apartado anterior, se obtiene la ecuación que describe la distribución de corrimientos en la zona elastoplástica que es equivalente a la (58):

0** =+++ ep

erp K

ruK

drdu

θεε (85)

con la salvedad de que ahora (ver ecuaciones 66). La solución de (85) con la condición de contorno u en

eer θεε −≠

erreu= = es:

rKK

Kr

rr

p

ep

er

p

eer

e

Ke

p

*

*

* 11

*

−

+−

+−

= θθ εεεεu (86)

Las deformaciones máximas se calculan a partir de (66) para teniendo en cuenta (77). Se obtiene finalmente

er

e εεθ , err =

−+

++

+−−= rKr

rr

KGKKcKp

u pe

Ke

pp

ppp

)2(31

)12(2)1(6)1(3

**

0*

(87)

con dado por (78), expresión que permite obtener la curva característica en el caso esférico haciendo

er

irr = . Como caso particular, en condiciones no drenadas se obtiene:

−−=

32

2i

i

eui

rrr

Gcu donde en r1* == pp KK ir= (88)



con dado por (83). En definitiva er

−

−−−=

31

23/4exp

20

u

iuuii c

pcpG

cru (89)

Fig. 14. Comparación entre las distribuciones de tensiones en los casos esférico

y cilíndrico en deformación plana, en ausencia de sostenimiento. Esta expresión, cuando ui cpp 3/40 −< , unida a la expresión elástica (26), cuando

, permiten obtener la curva característica completa en el caso esférico. En la figura 11 se ha dibujado esta curva para el caso

ui cpp 3/40 −>6/0 =ucp . Allí se compara con la

curva característica equivalente obtenida en el caso cilíndrico con deformación plana.

Fig. 15. Extensión aproximada de la corona de plastificación en

una sección longitudinal de un túnel para los casos indicados



Se aprecia claramente la mejor capacidad de la forma esférica para resistir la disminución de presión interior. Si las condiciones del frente se asimilan en primera aproximación a una cavidad esférica, este resultado explica que los frentes sean más estables que el túnel propiamente dicho. Utilizando las expresiones (49) y (83) para el radio de la zona plástica en condiciones cilíndricas y esféricas respectivamente, en la Fig. 15 se ha representado de forma aproximada la extensión aproximada de la corona de plastificación en una sección longitudinal de un túnel para los casos y

. 3.1/0 =ucp

4.2/ =uo cp 2.5. ELASTOPLASTICIDAD. TÚNEL CIRCULAR EN DEFORMACIÓN PLANA. CRITERIO DE ROTURA DE HOEK-BROWN Este caso se resuelve de nuevo con referencia a la geometría y condiciones de contorno indicados en la Fig. 8. La solución elástica para desarrollada en el apartado 2.3. sigue siendo válida aquí.

err >

• Zona elastoplástica ei rrr <<

El criterio de rotura de Hoek-Brown se escribe

21

2331 )( cc sm σσσσσ ++= (90)

donde m y s son parámetros relacionados con el grado de fracturación, litología y estructura de la roca y cσ es su resistencia a compresión simple. En materiales arcillosos saturados, en condiciones no drenadas uc c2=σ . Se supondrá que una vez alcanzada la tensión desviadora máxima (pico) el terreno sufre un reblandecimiento brusco hasta alcanzar condiciones residuales. Este comportamiento se ha representado en la Fig. 16c. De este modo se definen dos criterios de rotura, para condiciones de pico y residuales, con parámetros distintos. Teniendo en cuenta que

θσσ ≡1 y rσσ ≡3 estos criterios se escriben

Pico: 0)(),( 21

2 =+−−= crcrr smF σσσσσσσ θθ (91)

Residual: 0)(),( 21

2 =+−−= crrcrrrr smF σσσσσσσ θθ (92)

Con referencia a la Fig. 8, la roca alcanzará su condición límite de pico en , lado elástico. El estado de tensiones en ese punto (

err =

eI rσσθ , ) corresponde a las condiciones de pico mientras que en esa misma frontera, lado elastoplástico, la roca se habrá degradado instantáneamente hasta sus condiciones residuales ( ),

eII rσσθ donde ahora ),(

eII rσσθ satisfacen la condición (92).



Las condiciones de rotura de la roca se caracterizan por tanto por los cinco parámetros que aparecen en (92) y (93): crr smsm σ,,,, . Se supondrá, por último, una ley de plasticidad asociada de forma que el potencial plástico para las deformaciones irreversibles corresponda a las condiciones de pico (91). Esta asociatividad se ha representado gráficamente en la Fig. 16a y b. En la zona elastoplástica (II) la ecuación de equilibrio (2) unida al criterio de rotura (91) conduce a la ecuación diferencial

r

smdr

d crrcrr2/12 )( σσσσ +

= (93)

Fig. 16. que integrando entre ),( rip σ y permite obtener las tensiones radiales: ),( rri



icricrii

crr pspm

rr

rrm

++

+

= 2/122 )(lnln

4σσσσ (94)

La tensión θσ se puede obtener a partir de (92). Con el fin de obtener la tensión radial en err = )( rer σσ = se impone la condición de que en este límite las tensiones elásticas dadas por (28) deben satisfacer el criterio de rotura de pico (91). Esta condición permite obtener Mp cre σσ −= 0 (95a) donde el parámetro M viene dado por

842

12/12

0 msmpmMc

−

+

+=

σ (95b)

El radio de la zona plástica se obtiene de nuevo imponiendo el equilibrio de tensiones radiales a un lado y a otro de la frontera err = . Igualando rσ de (94) (con r ) y (95) se obtiene

er=

+−= 2/12 )(2exp cricr

crie spm

mNrr σσ

σ (96a)

con

2/1220 )(2 Mmspm

mN crcrcr

cr

σσσσ

−+= (96b)

La plastificación se inicia en el contorno del túnel para un valor de que conduzca a que . Imponiendo esta condición en (96a) se obtiene

ip

ic rr = ci Mpp σ−= 0 (97) que se deduce también si se especifica que las tensiones elásticas para (10) satisfacen la condición de pico (91).

irr =

• Deformaciones y desplazamientos. Curva característica Se aplicará el procedimiento expuesto en el Apartado 2.3. Las deformaciones elásticas máximas dadas por (54), si se tiene en cuenta (95a) vienen dadas por



G

M ce

2σ

εθ = (98a)

(98b) ee

r θεε −= La ley de fluencia plástica (91) permiten obtener las componentes plásticas de la deformación:

λσ

λεθ

θ =∂∂

=Fp (99a)

fsmmF

crcc

r

pr λσσσ

σλ

σλε −=

+−−=∂∂

= − 2/12 )(2

1 (99b)

donde es un parámetro que controla el valor relativo de las componentes de la deformación plástica:

f

fp

r

p 1−=

εεθ (100)

A partir de (53a), teniendo en cuenta (100) y (98) se obtienen la siguiente ecuación diferencial para el corrimiento u:

0)1(2

=−++ fG

Mruf

drdu cσ

(101)

donde f depende de forma no lineal con rσ que a su vez es función de r (ecuación (94)). En la hipótesis de que f sea constante (por ejemplo, el valor medio en la zona elastoplástica), la ecuación diferencial (101) admite solución analítica:

+−

+−=

+1

21

)1(

fec

rrfr

fGM

uσ

(102)

La curva característica, una vez plastificada la pared del túnel ( ci Mpp σ−< 0 ), será

+

−+

−=+1

21

)1(

f

i

ei

ci r

rfrfG

Mu

σ (103)

que se ha de completar con el tramo elástico, dado por (14):

G

ppru i

ii 20 −

−= (104)



siempre que ci Mpp σ−< 0 . Las ecuaciones (103) y (104) definen, de forma aproximada, la curva característica asociada al criterio de Hoek-Brown en las hipótesis de plasticidad asociada y transición brusca (sin deformación adicional) del estado de pico al residual. Mediante integración numérica de (101) se puede obntener una solución que reconozca el carácter no constante de f. 2.6. COMENTARIOS FINALES Las curvas características determinadas no tienen en consideración el gradiente de tensiones que la gravedad introduce en el entorno del túnel. Por ello no se respetan estrictamente las condiciones de equilibrio (en ecuaciones como (2) no aparecen las fuerzas de masa). Con el fin de paliar los errores derivados, se ha propuesto que la curva característica correspondiente a la bóveda se modifique, descontando de el peso del anillo plastificado al que, de esta forma, no se le reconoce capacidad de resistencia al corte. De manera simétrica se puede pensar que la contrabóveda se ve beneficiada por un beso estabilizador de la misma intensidad (Fig. 17). Este peso es simplemente

ip

(105) )( ie

si rrp −=∆ γ

y comienza a ‘actuar’ a partir del momento en que comienza la plastificación del terreno. Las curvas características obtenidas en los apartados anteriores se pueden considerar representativas de los hastiales del túnel.

Fig. 17. Representación de las curvas características en bóveda, contrabóveda y hastiales



3. DETERMINACIÓN DE LA CURVA DE CONFINAMIENTO (O CURVA DE SOSTENIMIENTO) 3.1. INTRODUCCIÓN Consideremos un revestimiento continuo elástico de radio y espesor, e, pequeño comparado con y sometido a una presión uniforme en el contorno, de intensidad . La carga T que soporta el anillo se obtiene fácilmente, por equilibrio (Fig. 18).

ir

ir ip

T (106) ii rp= La deformación circunferencial del revestimiento será

kp

eErp

Eru iii

i

i ===−= θθ

σε (107)

donde ir

Eek = , que tiene las dimensiones de un módulo de deformación, reune

propiedades del material del revestimiento (su módulo E) y geométricas (e, ) y puede considerarse la rigidez del revestimiento (Fig. 19). Una vez conocida, es una simple

operación determinar la convergencia relativa

ir

i

i

ru

y por tanto obtener la curva de

confinamiento. La expresión anterior se puede generalizar a los tipos de sostenimiento y revestimiento generalmente utilizados en la construcción de túneles: anillos de hormigón de espesor finito (hormigonados ‘in situ’ o bien materializados mediante hormigón proyectado), revestimientos prefabricados por dovelas, cerchas metálicas, bulones,... En los apartados siguientes se dan algunas expresiones de k. Por otra parte el revestimiento puede alcanzar una carga de rotura . En definitiva la curva de sostenimiento se determina si se conoce k, y la convergencia previa a su instalación .

maxp

maxp du Si actúan varios tipos de revestimiento simultáneamente con rigideces diferentes, cada uno de ellos responderá a la deformación común

jk

θε con una presión de sostenimiento (108) θεj

ji kp =

La carga total de sostenimiento será ( )∑ ∑ ===

jj

jii kkpp θθ εε (109)



Fig. 18. Carga T que soporta el revestimiento

Fig. 19. Rigidez del revestimiento Es decir, siempre que actúen simultáneamente a la rigidez conjunta es la suma de las rigideces individuales.

Fig. 20. Actuación conjunta de distintos tipos de sostenimiento



Si los sostenimientos actúan en tiempos o distancias al frente diferentes como es el caso representado en la Fig. 20, su composición debe tener en cuenta este hecho, como allí se indica. 3.2. REVESTIMIENTO ANULAR DE HORMIGÓN Si su espesor es y el radio interior R, su rigidez es ct

[ ]

[ ]22

22

)()21()1()(

ccc

cc

tRRtRRE

k−+−+

−−=

υυ (110)

y la carga máxima

+−= 2

2*

max )(1

21

ccs tR

Rp σ (111)

cE , cυ y son el módulo, coeficiente de Poisson y resistencia a compresión simple

del anillo (habitualmente hormigón).

*cσ

En general, el armado que se introduce conjuntamente con el hormigón proyectado prácticamente no cambia su rigidez (su papel es asegurar la continuidad de la protección y evitar fisuraciones locales). Si se trata de dovelas prefabricadas se ha de tener en cuenta la reducción de rigidez asociada a las juntas. Estas se pueden suponer representadas por zonas de menor espesor (Fig. 21). Se define un módulo equivalente (utilizable en la expresión 110). cE

ceqc EE

ββαα

+−=

)1( (112)

donde α y β se definen en la figura 21. En general β es pequeño ( ) por lo que la rigidez de un revestimiento por dovelas no se ve prácticamente alterado por la presencia de juntas.

310−≈

3.3. CERCHAS METÁLICAS Teniendo en cuenta la geometría definida en la Fig. 22, la rigidez, , y la carga máxima están dadas por:

sK

maxsp

22

3 21

)(2)cos()((1

ϖθ

θθθθθ

B

B

ss

i

ss

i

g EtS

sensen

IESr

AESr

k+

−

++= (113)



donde : módulo elástico del material de los bloques de apoyo; sE ω : anchura de cada bloque y : sección de la cercha; : momento de inercia; S: espaciamiento entre cerchas en dirección longitudinal

sA sI

Fig. 21. Dovelas y juntas

( )[ ])cos(1)(2/1(323

max θθσ

−+−+=

XtrXAISrIA

pBissi

yssss (114)

donde X es el canto de las cerchas y ysσ la resistencia a tracción del acero. La rigidez de un sistema de cerchas depende mucho de las características del material de acuñado (madera todavía en muchos casos o acero en general). 3.4. BULONES Los bulones no inyectados, es decir, los anclados entre dos puntos con longitud libre l (Fig. 23), son elementos relativamente flexibles. Movimientos locales, por ejemplo asociados a una fisura E, son absorbidos por una deformación uniforme del bulón a lo largo de su longitud libre. Por el contrario, un bulón inyectado en esta misma situación reaccionaría con mucha mayor rigidez, deformándose en una pequeña longitud en el entorno de la fisura. En un bulón inyectado es fácil calcular la relación entre alargamiento ( ∆ ) y carga T. En efecto

u

Ed

Tllub2

4π

ε ==∆ (115)



donde es el diámetro del bulón y E su módulo elástico. Si los bulones se colocan con espaciamientos (dirección longitudinal) y (dirección transversal) su presión equivalente es

bd

ls tseqp

tl

eq

ssTp = (116)

Fig. 22. Cerchas

Fig. 23. Bulones

Si definimos un módulo de rigidez asociado a los bulones como i

eq

rukp ∆

= , se obtiene,

a partir de (115) y (116):

=

Edl

rss

k bi

tl2

41π

(117)



En la práctica los bulones son más deformables debido a movimientos y reajustes de la zona de anclaje y de la placa de apoyo. Hoek-Brown modifican (117) de forma que:

+= Q

Edl

rss

k i

tl2

41π

(118)

y dan valores de Q a partir de ensayos de carga. La carga máxima se suele obtener también en ensayos de carga llevados hasta rotura

: rotT

tl

rots ss

Tp =max (119)

Hoek-Brown citan los valores

bulónφ Q rotT 16 mm

mNmQ 24.003.0 −= mNTrot ⋅−= 062.005.0

19 mm mNmQ 126.0029.0 −= mNTrot ⋅−= 098.0051.0

22 mm mNmQ 126.0032.0 −= mNTrot ⋅−= 214.005.0

25.4 mm mNmQ 143.0018.0 −= mNTrot ⋅−= 323.0089.0

En la mayoría de los casos citados el anclaje se conseguía mediante mecanismos de expansión. Los bulones inyectados refuerzan el macizo rocoso lo que se traduce en un incremento de su módulo de deformación, que se hace anisótropo y en cambio en sus parámetros de rotura, que también variarán con la dirección en cada punto. El problema se complica y afecta a las hipótesis de partida del método de convergencia-confinamiento. En la práctica la utilización de bulones inyectados se puede reflejar en una mejora de las propiedades resistentes de la roca (por ejemplo los parámetros m y s del criterio de Hoek-Brown). Un cálculo de la rigidez de los sistemas de sostenimiento normalmente empleados revela que los bulones tienden a ser uno o dos órdenes de magnitud más flexibles que los revestimientos continuos. La máxima rigidez se logra con anillos de hormigón moldeados ‘in situ’.



4. DETERMINACIÓN DE LA DEFORMACIÓN PREVIA A LA INSTALACIÓN DEL SOSTENIMIENTO. UTILIZACIÓN DEL MÉTODO DE CONVERGENCIA-CONFINAMIENTO El problema de la determinación de requiere la solución del problema tridimensional asociado al frente y por tanto no puede ser resuelto dentro del conjunto de hipótesis simplificadas del método de convergencia-confinamiento. En la práctica se ha recurrido a realizar estudios de sensibilidad, utilizando métodos de elementos finitos con el fin de encontrar leyes simples que relacionen la convergencia con la distancia al frente. Estudios de este tipo han sido realizados por Panet y Guénot (1982); Bernand y Rousset (1992), Nguyen Minh y Guo 81993).

du

4.1. MACIZO EN RÉGIMEN ELÁSTICO. TÚNEL SIN REVESTIR Si se conociera la función

)0()()0()(

)(ii

ii

uuuxu

xa−∞−

= (120)

El desplazamiento u a distancia d se escribiría d

[ ] )0()0()()()( iiiid uuuxaduu +−∞== (121) Se ha propuesto (Panet, 1995), a partir de análisis elásticos por elementos finitos:

2

1)(

+

−=xmr

mrxa

i

i (122)

donde m es una constante que puede tomarse igual a 0.8. En régimen elástico y túnel cilíndrico en deformación plana, u se determinó previamente (ecuación (14)):

)(∞i

Gpr

Gpp

r iiii 22

00 =−

=u (123)

puesto que en el túnel no revestido 0=ip . Los análisis numéricos muestran que conm buena aproximación, el frente se deforma radialmente un 27% del valor correspondiente al caso bidimensional:

Gpri

i 227.0)0( 0=u (124)

La función a(x) se representa en la Fig. 24.



4.2. MACIZO EN RÉGIMEN ELASTOPLÁSTICO. TÚNEL SIN REVESTIR Se puede mantener la aproximación anterior y en concreto la forma de la presión a(x) introduciendo un factor de corrección ζ :

2

1)(

⋅+

−=xmr

mrxa

i

i

ζ (125)

donde ζ es la relación entre la convergencia elástica (2D), dada por (123) y la ley que se obtiene en el análisis elastoplástico (por ejemplo, expresión (61) para modelo de Mohr-Coulomb)

)(

12

0

∞=

i

i

uGpr

ζ (126)

Esta expresión se usaría de nuevo para buscar . du

Fig. 24. Representación de a(x) 4.3. TÚNEL REVESTIDO Es lógico que la presencia del revestimiento con su rigidez asociada controle (disminuyendo) los valores de u(x) que se calculan para túnel no revestido. El valor de

dependerá de la distancia al frente, de las propiedades del macizo rocoso (en principio sintetizadas en la curva característica) y de la rigidez del revestimiento. Esta última se puede expresar ventajosamente de forma relativa a la rigidez elástica del terreno k .

du

Gkn /= Como alternativa a u y a fin de incorporar la propia curva característica del terreno, el valor de puede quedar definido por la presión equivalente correspondiente a u , denominada en la Fig. 25.

d

du ip d

dp



Fig. 25. Obtención del a partir de la curva du

característica del túnel A partir de estudios paramétricos, utilizando leyes elastoplásticas y variando la rigidez relativa , N. Minh y Guo (1993) han publicado la Tabla 1 que relaciona con la distancia relativa al frente y la rigidez relativa k . Esta tabla permite la obtención de u a partir de la curva característica y de conocer la posición de ka curva de confinamiento del revestimiento.

nk dp

n d

d ir/

nk 0.25 0.50 0.75 1 1.25 1.50 2

0 0.42 0.27 0.19 0.14 0.11 0.09 0.06

0.5 0.44 0.29 0.21 0.15 0.12 0.1 0.07

1 0.49 0.33 0.23 0.17 0.14 0.11 0.08

2 0.52 0.35 0.25 0.19 0.15 0.12 0.09

5 0.56 0.38 0.28 0.21 0.16 0.14 0.09

10 0.52 0.40 0.30 0.22 0.17 0.14 0.09

∞ 0.6 0.41 0.31 0.23 0.18 0.15 0.10

Tabla 1. Relación entre pd/p0 y kn

La presión y convergencia de equilibrio se obtienen mediante intersección de las curvas CC y CF (Fig. 2). Por ejemplo si la curva característica es la elástica correspondiente a túnel circular (ecuación 14) se obtiene:



KG

ru

GpKp i

d

eq +

−−

=2

20

(127a)

KG

ru

Kp

ru i

d

i

eq

+

−+

=−2

0

(127b)

En el caso esférico se calcula

KG

ru

GpKp i

d

eq +

−−

=4

40

(128a)

KG

ru

Kp

ru i

d

i

eq

+

−+

=−4

0

(128b)

Cuando se inicia el régimen elastoplástico el punto de intersección de las curvas CC y CF es solución de una ecuación no lineal que puede resolverse por un procedimiento iterativo. No se dan criterios para definir los valores de y u . En el NATM se alcanza la convergencia de equilibrio y el sostenimiento a aplicar tras un proceso de observaciones en el tiempo y la aplicación flexible del sostenimiento. Interesa en general conseguir que las curvas convergencia-tiempo tiendan asintóticamente al equilibrio. Las aceleraciones inesperadas de los movimientos desencadenan en general el refuerzo del sostenimiento. Interesa, por un lado, que la roca no trabaje exclusivamente en régimen elástico (por antieconómico) ni que se alcancen plastificaciones excesivas con espesores de plastificación superiores al radio del túnel, que degraden en exceso la roca, lo que supone un ‘cambio’ de material y unas convergencias altas. En rocas de calidad buena y media las convergencias no suelen superar algunos mm. Son comunes en rocas de peor calidad convergencias del orden de centímetros. Convergencias de decímetros son ya excesivas.

eqp eq



BIBLIOGRAFIA

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Institution of Mining and Metallurgy.

• JARDINE D. J., M.J. SYMES AND J.B. BURLAND (1984) –The measurement et soil Stiffnes in the triaxial apparatus. Géotechnique, 34, 3, 323-340.

• NGUYEN MINH D., GUO C., (1993) –Sur un principle d’iteration massif-

soytènement des tunnels an avancement stationnaire. Eurock 93. Ribeiro, Sousa et Grossmann (Edits.). Rotterdam, Balkema.

• PANET, M (1995) –Le calcul des tunnels par la méthode convergence-

confinement. Presses des Ponts et Chaussées. Paris.


05-interaccion tunel sostenimiento

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