02 pd mat1bach cc sol mec - wordpress.com27 3. a)cosa =–3/5; tga =4/3 b)sena =– /3; tga =– /2...

25

PÁGINA 103

1. La altura del árbol es de 864,65 cm.

2. BC––= 42 m

3. CA––= 1470 m

4. a) x = b) y =

PÁGINA 104

1. tg a = 0,42

Con calculadora:

sß 0,39 =t={≠…¢“«∞«|£‘≠‘°}2. cos a = 0,62

Con calculadora:

st 1,28=©={≠…\‘∞\¢¢≠¢‘£|}

PÁGINA 105

1. cos a = –0,78 tg a = –0,79

2. sen a = –0,56 tg a = 0,67

3. sen a = –0,68 cos a = 0,74

4.

PÁGINA 106

1. a) 2 397° = 6 í 360° + 237°

b) 2 397° = 7 í 360° – 123°

sen 2397° = –0,84

cos 2397° = –0,54

tg 2397° = 1,54

2. a) 396° = 396° – 360° = 36°

b) 492° = 492° – 360° = 132°

c) 645° = 645° – 360° = 285° =

= 285° – 360° = –75°

d) 3 895° = 3895° – 10 í 360° = 295° =

= 295° – 360° = –65°

e) 7 612° = 7612° – 21 í 360° = 52°

f) 1 980° = 1980° – 5 í 360° = 180°

PÁGINA 107

1. a) –sen 30° = –1/2 b) cos 120° = –1/2

c) –tg 135° = 1 d) cos 45° =

2. Es un ángulo que difiere de 90° una cantidadtan pequeña que, a pesar de las muchas cifrasque la calculadora maneja, al redondearlo da90°.

PÁGINA 109

1.

2. • sen 358° = –sen 2° = –0,0349

cos 358° = cos 2° = 0,9994

tg 358° = –tg 2° = –0,03492

• sen 156° = sen 24° = 0,4067

cos 156° = –cos 24° = –0,9135

tg 156° = –tg 24° = –0,4452

sen cos tg55º 90º – 35º 0,82 0,57 1,43125º 90º + 35º 0,82 –0,57 –1,43145º 180º – 35º 0,57 –0,82 –0,70215º 180º + 35º –0,57 –0,82 0,70235º 270º – 35º –0,82 –0,57 1,43305º 270º + 35º –0,82 0,57 –1,43325° 360° – 35° –0,57 0,82 –0,70

√22

270° 300° 315° 330° 360°

sen –1 –√—3/2 –√

—2/2 –1/2 0

cos 0 1/2 √—2/2 √

—3/2 1

tg — –√—3 –1 –√

—3/3 0

135° 150° 180° 210° 225° 240°

sen √—2/2 1/2 0 –1/2 –√

—2/2 –√

—3/2

cos –√—2/2 –√

—3/2 –1 –√

—3/2 –√

—2/2 –1/2

tg –1 –√—3/3 0 √

—3/3 1 √

—3

0° 30° 45° 60° 90° 120°

sen 0 1/2 √—2/2 √

—3/2 1 √

—3/2

cos 1 √—3/2 √

—2/2 1/2 0 –1/2

tg 0 √—3/3 1 √

—3 — –√

—3

√32

√22

4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

26

• sen 342° = –sen 18° = –0,3090

cos 342° = cos 18° = 0,9511

tg 342° = –tg 18° = –0,3249

3. a) cos a ≈ –0,86; tg a ≈ 0,58

b) sen a ≈ –0,66; tg a ≈ –0,88

c) sen b ≈ 0,7; cos b ≈ –0,7

d) sen a ≈ –0,9; cos a ≈ –0,45

PÁGINA 111

1. a) a = 17,43 cm b) b = 26,84 cm

c) c = 396,69 m; A^

= 39° 3' 57"

d) b = 56,01 cm e) c = 66,05 cm

2. El poste mide 5,87 m.

3. Área = 14122,80 m2

PÁGINA 113

1. c = 154,18 m

2. MP—

= 60,49 m

3. b = 26,35 cm

4. Altura del edificio = 125,97 m

Distancia al edificio = 139,9 + 40 = 179,90 m

PÁGINA 114

1. sen^

A = ò h = b sen^

A

sen^

B = sen (180° –^

B ) = ò h = a sen^

B

b sen^

A = a sen^

B ò =

2.

sen^

A = ò h = c sen^

A

sen^

C = ò h = a sen^

C

c sen^

A = a sen^

C 8 =

PÁGINA 115

3. • b = 1,5 cm. No tiene solución.

• b = 2 cm;^

A = 90º

• b = 3 cm;^

A1 = 41° 48' 37,1"^

A2 = 138° 11' 22,9"

• b = 4 cm;^

A1 = 30º. La solución^

A2 = 150°no es válida.

PÁGINA 117

4. a) A^

= 48° 30' 33"

B^

= 92° 51' 57,5"

C^

= 38° 37' 29,5"

b) c = 17,24 cm

A^

1 = 15° 7' 44,3"

A^

2 = 164° 52' 15,7" 8 No es válida.

B^

= 124° 52' 15,7"

c) A^

= 92° 51' 57,5"

B^

= 48° 30' 33"

C^

= 38° 37' 29,5"

d) a = 5,59 cm

B^

1 = 43° 43' 25,3"

B^

2 = 136° 16' 34,7" 8 No es válida.

C^

= 31° 16' 34,7"

e) A^

= 75° b = 2,93 m c = 3,59 m

f) B^

= 110° a = 3,05 m c = 3,05 m

5. a) El otro lado mide 11,872 cm.

Área = 84,93 cm2

6. 36,4 km y 40,4 km

7. GA–– = 25,2 m; GB–– = 26,9 m; Altura = 24,3 m

PÁGINA 122

1. a) cos a = 1/2 tg a = √—3

b) sen a = √—2/2 tg a = 1

c) sen a = √—21/7 cos a = 2√

—7/7

d) cos a = √—55/8 tg a = 3√

—55/55

e) sen a = 0,69 tg a = 0,96

f) sen a = 3√—10/10 cos a = √

—10/10

2.sen a 0,92 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96

cos a –0,39 –0,8 – 0,12 – 0,8 –0,87 –0,24

tg a –2,36 –0,75 –8,25 –0,75 –0,57 –4c

sen^

Ca

sen^

A

ha

hc

b

c

a

B

C

H

h

A

b

sen^

B

a

sen^

A

ha

hb

27

3. a) cos a = – 3/5; tg a = 4/3

b) sen a = – /3; tg a = – /2

c) cos a = – /10; sen a = 3 /10

4. a) sen 150º = sen 30º b) cos 135º = –cos 45º

c) tg 210º = tg 30º d) cos 255º = –sen 15º

e) sen 315º = –sen 45º

f) tg 120º = –tg 60º

También tg 120º = –

g) tg 340º = –tg 20º

h) cos 200º = –cos 20º

i) sen 290º = –cos 20º

También sen 290º = –sen 70º

5. a) 0,35 b) 0,94 c) –0,35

d) –0,35 e) 0,94 f) 0,35

6. a) 2 /13 b) 3 /13

c) 3/2 d) 2 /13

e) –3 /13 f) –2/3

7. a) 228º 35' 25'' b) 248º 17' 3,7''

c) 234º 4' 17,4'' d) 283º 17' 49,6''

8. a) c = 13 cm

A^

= 22º 37' 11,5º; B^

= 67º 22' 48,5º

b) B^

= 90º – 37º = 53ºc = 71,45 m; b = 57,06 m

c) A^

= 32º; c = 13,2 m; b = 11,2 m

d) B^

= 19º; a = 5,48 m; b = 1,89 m

9. A^

= 36° 52' 11,6''

10. Llega a una altura de 1,53 m.

Está separada 1,29 m de la pared.

11. d = 5,2 cm; D = 15,2 cm

12. a) A'B'—

= 4,64 cm

b) A'B'—

= 9,64 cm

c) A'B'—

= 14,49 cm

d) A'B'—

= 0 cm

13. a) h = 7,98 cm

h = 13,25 cm

h = 8,18 cm

b) A = 87,78 cm2

A = 99,38 cm2

A = 114,52 cm2

14. A^

= 112° 43' 35''

B^

= 41° 48' 37''

C^

= 25° 27' 48''

15. Distancia = 27,47 cm

PÁGINA 123

16. a = 12,33 m b = 9,68 m

17. C^

= 36° 50' 6'' b = 29,98 m

18. a) B^

= 103° a = 10 m c = 11,67 m

b) A^

= 35° 25' 9'' C^

= 39° 34' 51''

c = 19,79 m

19. Distancia de A a la iglesia 8 411,14 m

Distancia de B a la iglesia 8 322,62 m

20. a = 20,42 m

21. A^

= 15° 34' 41''

B^

= 43° 7' 28''

C^

= 121° 17' 51''

22. a) c = 21,9 cm

A^

= 29º 56' 8''; B^

= 110º 3' 52''

b) b = 79,87 cm

C^

= 40° 18' 5''; A^

= 74° 41' 55''

c) A^

= 30° 10' 29''

B^

= 17° 48' 56''

C^

= 133° 0' 35''

23. La distancia es de 77,44 m.

24. a) A^

= 70°; b = 77,83 m; c = 94,82 m

III

II

I

III

II

I

√13√13√13√13

1tg 30°

√10√10√5√5

28

b) B^

= 75°; a = 16,54 m; c = 10,09 m

c) c = 75,3 m

A^

= 62° 43' 49,4''; B^

= 44° 16' 10,6''

d) b = 281,6 m

A^

= 22° 1' 54,45''; C^

= 37° 58' 55,5''

e) A^

= 38° 37' 29,4''; B^

= 48° 30' 33''

C^

= 92° 51' 57,6''

f) A^

= 32° 39' 34,4''; B^

= 93° 17' 46,7''

C^

= 54° 2' 38,9''

g) B^

= 27° 21' 46,8''; C^

= 22° 38' 13,2''

c = 7,54 m

h) B^

= 38° 58' 35,7''; A^

= 84° 1' 24,3''

a = 9,5 m

25. 0,58 m

26. 27,8 km

27. Octógono inscrito: l = 3,82 cm

Octógono circunscrito: l' = 4,14 cm

28.^

B = 99° 3' 1" b = 9 cm

C^

= 30° 56' 59" c = 4,7 cm

29. 120°

30.—EA = 9,38 km

—EB = 6,65 km

31. 60°

PÁGINA 124

32.—

AB =—CD = 6,6 m;

—

BC =—AD = 14,7 m

—BD = 13,9 m; Área = 91 m2

33. A las 3 de la tarde los barcos distarán más de168350 m. No podrán ponerse en contacto.

34. 5,6 cm

35. 79,82 m

36. 74,97 m

37. 1) Verdadera 2) Verdadera 3) Falsa

4) Falsa 5) Verdadera 6) Verdadera

7) Verdadera 8) Verdadera 9) Falsa

10) Verdadera 11) Falsa 12) Verdadera

38. En 8 = =

En 8 =

—

BC = a;^

A' =^

A;—A'C = 2R; = 90°

La igualdad queda:

= 8 = = 2R

Sustituyendo en la primera expresión:

2R = = =

39. • a2 = b2 + c2 – 2bc cos^

A

1,52 = ( )2 + c2 – 2 c cos 60°

c2 – c + 0,75 = 0

c = = m

La ecuación de segundo grado solo tieneuna raíz. Solo hay una solución.

• Podemos resolverlo con el teorema del se-no:

^

B = 90°.

Pero:^

C +^

B = 135° + 90° > 180° ¡Imposible!No hay ningún triángulo con esos datos.

PÁGINA 125

40. 2,18 m

41. 156,96 m

42. 301,04 cm2

43. 45° 14' 23"

√32

√—3 ± √—3 – 32

√3

√3√3

c

sen^

C

b

sen^

B

a

sen^

A

2R1

a

sen^

A

2Rsen 90°

a

sen^

A

ìA'BC

—A'C

senìA'BC

—BC

sen^

A'

�A'BC

c

sen^

C

b

sen^

B

a

sen^

A

�ABC

29

AUTOEVALUACIÓN

1. C^

= 35° 41' 7''

B^

= 54° 18' 53''

2. • sen 154° = sen 26°

cos 154° = –cos 26°

tg 154° = – tg 26°

• sen 207° = –sen 27°

cos 207° = –cos 27°

tg 207° = tg 27°

• sen 318° = –sen 42°

cos 318° = cos 42°

tg 318° = –tg 42°

• sen 2456° = –sen 64°

cos 2456° = cos 64°

tg 2456° = –tg 64°

3. a) cos a = –3/5

b) tg a = –4/3

c) sen (180° + a) = –4/5

d) cos (90° + a) = –4/5

e) tg (180° – a) = 4/3

f) sen (90° + a) = –3/5

4. a = st 3,5 ±= {–|¢…≠∞¢\≠¢}Hay dos soluciones:

a1 = 285° 56' 43'' a2 = 105° 56' 43''

sen a1 = –0,96 sen a2 = 0,96

cos a1 = 0,27 cos a2 = –0,27

30

PÁGINA 128

1. a) 2π; b) 57° 17' 44,8"; c) 90°; d) 3π/2

PÁGINA 129

2. a) rad ≈ 0,52 rad b) rad ≈ 1,26 rad

c) rad ≈ 1,57 rad d) rad ≈ 2,22 rad

e) rad ≈ 3,49 rad f) rad ≈ 5,24 rad

3. a) 114° 35' 29,6" b) 47° 33' 19,8" c) 36°

d) 150° e) 200° 32' 6,8" f) 180°

4. La tabla completa está en el siguiente apartado(página 130) del libro de texto. Tan solo faltala última columna, que es igual que la primera.

PÁGINA 133

1. cos (a – b) = cos (a + (–b)) =

= cos a cos (–b) – sen a sen (–b) =

= cos a cos b – sen a (–sen b) =

= cos a cos b + sen a sen b

2. tg (a – b) = tg (a + (–b)) =

=(*)= =

=

(*) Como ò tg (–a) = – tg a

3. tg (a – b) = =

=(*)=

= =

(*) Dividimos por cos a cos b el numerador yel denominador.

4. cos 12° = 0,98; tg 12° = 0,2

cos 37° = 0,8; tg 37° = 0,75

49° = 12° + 37°

sen 49° = 0,748; cos 49° = 0,664; tg 49° = 1,12

25° = 37° – 12°

sen 25° = 0,428; cos 25° = 0,904; tg 25° = 0,478

5. = =

= =

6. sen 2a = sen (a + a) =

= sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a

cos 2a = cos (a + a) =

= cos a cos a – sen a sen a = cos2 a – sen2 a

tg 2a = tg (a + a) = =

7. sen 60° = sen (2 · 30°) = /2

cos 60° = cos (2 · 30°) = 1/2

tg 60° = tg (2 · 30°) =

8. sen 90° = sen (2 · 45°) = 1

cos 90° = cos (2 · 45°) = 0

tg 90° = tg (2 · 45°) = 8 No existe.

9. = =

= =

PÁGINA 134

10. cos a = cos (2 · ) = cos2 – sen2

1 = cos2 + sen2

a) Sumando ambas igualdades:

1 + cos a = 2 cos2 ò cos = ±a2

a2 √1 + cos a

2

a2

a2

a2

a2

a2

1 – cos a1 + cos a

2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)

2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a

2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a

2 · 11 – 1

√3

√3

2 tg a1 – tg2 a

tg a + tg a1 – tg a tg a

1tg a

cos asen a

2 cos a cos b2 sen a cos b

cos (a + b) + cos (a – b)sen (a + b) + sen (a – b)

tg a – tg b1 + tg a tg b

sena cosb cosa senb—————— – ——————cosa cosb cosa cosbcosa cosb sena senb—————— + ——————cosa cosb cosa cosb

sen a cos b – cos a sen bcos a cos b + sen a sen b

sen (a – b)cos (a – b)

sen (–a) = –sen acos (–a) = cos aØ∞±

tg a – tg b1 + tg a tg b

tg a + (– tg b)1 – tg a (– tg b)

tg a + tg (–b)1 – tg a tg (–b)

5π3

10π9

127π180

π2

2π5

π6

5. FUNCIONES Y FÓRMULASTRIGONOMÉTRICAS

31

b) Restando las igualdades (2-ª – 1-ª):

1 – cos a = 2 sen2 ò sen = ±

c) tg = =

11. sen 78° = 0,98; tg 78° = 4,9

sen 39° = 0,63; cos 39° = 0,77; tg 39° = 0,82

12. sen 30° = sen (60°/2) = 0,5

cos 30° = cos (60°/2) = 0,866

tg 30° = tg (60°/2) = 0,577

13. sen 45° = sen (90°/2) =

cos 45° = cos (90°/2) =

tg 45° = tg (90°/2) = 1

14. 2 tg a · sen2 + sen a =

= 2 tg a · + sen a =

= (1 – cos a) + sen a =

= sen a ( + 1) == sen a ( ) == sen a · = = tg a

15. = =

= = = tg2

PÁGINA 135

16. Sumando 8 cos (a + b) + cos (a – b) =

= 2 cos a cos b (1)

Restando 8 cos (a + b) – cos (a – b) == –2 sen a sen b (2)

Sustituyendo a = , b = en (1) y

(2), se obtiene:

(1) 8 cos A + cos B = 2 cos cos

(2)8 cos A – cos B = –2 sen sen

17. a) /2; b) /2; c) – /2

18. tg 3a

PÁGINA 137

1. a) x1 = 60°; x2 = 300°; x3 = 180°

b) x1 = 45°; x2 = 135°; x3 = –45° = 315°; x4 = 225°

c) x1 = 0°; x2 = 180°; x3 = 45°; x4 = 225°

d) x1 = 0°; x2 = 60°; x3 = –60° = 300°

2. a) x1 = 51° 19' 4,13"; x2 = –51° 19' 4,13";x3 = 180°

b) x1 = 90°; x2 = 270°; x3 = 210°; x4 = 330° = –30°

c) x1 = 90°; x2 = 180°

d) x1 = 0°; x2 = 180°; x3 = 30°; x4 = 150°;

x5 = 210°; x6 = 330°

3. x1 = 45°; x2 = 135°; x3 = 225°; x4 = 315°;

x5 = 0°; x6 = 180°

4. a) x1 = rad, x2 = rad

b) La ecuación no tiene solución.

5. a) x = 120° + k · 180° = + k π rad,

k éZ

b) x = + k π rad, k éZ

c) x = + k π rad, k éZ

d) x = k π rad, k éZ

PÁGINA 142

1. a) 30° b) 120° c) 240°

d) 225° e) 210° f) 810°

2. a) 85° 56' 37" b) 183° 20' 47"

c) 286° 28' 44" d) 157° 33' 48"

π2

π4

2π3

7π6

11π6

√2 √6 √6

A + B2

A – B2

A + B2

A – B2

A – B2

A + B2

a2





sen acos a

1cos a

1 – cos a + cos acos a

1 – cos acos a

sen acos a

1 – cos a2

a2

√22

√22

√1 – cos a1 + cos a

sen a/2cos a/2

a2

√1 – cos a2

a2

a2

32

3. a) 2π/9 ≈ 0,7 rad b) 3π/5 ≈ 1,88 rad

c) 3π/4 ≈ 2,36 rad d) 4π/3 ≈ 4,19 rad

e) 3π/2 ≈ 4,71 rad f) 7π/10 ≈ 2,2 rad

4. a) –2 b) –1 c) 3

5. a) 4 · + · + (–1) = 2 + 1 – 1 = 2

b) 2 · + 4 · – 2 · 1 = 3 + 2 – 2 = 3

6. a) b) –2 c)

7. a) – b) + c) –2

8. a) a1 = 0,33 a2 = 2,82

b) a1 = 0,95 a2 = 5,33c) a1 = –0,98 a2 = 2,16d) a1 = –0,68 a2 = 3,82

9. a) 2.º cuadranteb) 3.er cuadrantec) 4.º cuadrante

10. sen 75° = ( + )/4; cos 75° = ( – )/4

tg 75° = 2 +

11. a) –24/25 b) 3 c) (3 – 4)/10

d) (3 – 4)/10 e) /10 f ) 1/7

PÁGINA 143

12. sen 15° = 0,258819; cos 15° = 0,965926;

tg 15° = 0,267949

13. a) 4 /9 b) c) (3 + 5)/15

14. a) –3/5 b) – /5

15. a) – /4 b) 3/4 c) 1/8

d) e) –3/4 f) /8

16. sen 41° = 0,664; cos 41° = 0,748; tg 41° = 0,8877

17. tg 2b = –84/13

18. a) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ

b) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ

x3 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ

c) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x3 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x4 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ

19. a) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ

b) x1 = 45° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 135° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x3 = 225° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x4 = 315° + k · 360° = + 2k π, k éZ

c) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 210° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x3 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ

d) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ

x3 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x4 = 210° + k · 360° = + 2k π, k éZ7π6

π6

11π6

7π6

π2

7π4

5π4

3π4

π4

3π2

π2

11π6

π6

3π2

π2

π2

3π2

π2

√8√7√7

√5

√15√9 – 4√—5√5

√10√3

√3

√3

√2√6√6√2

2√33

12

√22

5√33

√2 + 22

12

√32

√3

√22

√212

33

20. a) x1 = + 2k π = 60° + k · 360°, k éZ

x2 = + 2k π = 300° + k · 360°, k éZ

b) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x3 = 45° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x4 = 225° + k · 360° = + 2k π, k éZ

c) x1 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ

d) x1 = + 2k π = 45° + k · 360°, k éZ

x2 = + 2k π = 225° + k · 360°, k éZ

21. a) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ

x3 = 45° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x4 = 315° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x5 = 135° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x6 = 225° + k · 360° = + 2k π, k éZ

b) x1 = 36° 52' 11,6" + k · 360° ≈

≈ (π/5) + 2k π, k éZx2 = 216° 52' 11,6" + k · 360° ≈

≈ (6π/5) + 2k π, k éZx3 = 135° + k · 360° = (3π/5) + 2k π, k éZx4 = 315° + k · 360° = (7π/5) + 2k π, k éZ

c) x1 = 90° + k · 360° = (π/2) + 2k π, k éZx2 = 270° + k · 360° = (3π/2) + 2k π, k éZ

d) x = k · 360° = 2k π, k éZ

e) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x3 = 60° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x4 = 300° + k · 360° = + 2k π, k éZ

22. = =

= =

23. 2 tg x cos2 – sen x =

= 2 · – sen x =

= =

= = = tg x

24. cos (x + ) – cos (x + ) == [cos x cos – sen x sen ] –– [cos x cos – sen x sen ] == [(cos x) – (sen x) ] –– [(cos x) (– ) – (sen x) ] = cos x –

– sen x + cos x + sen x = cos x

25. cos a cos (a – b) + sen a sen (a – b) =

= cos a (cos a cos b + sen a sen b) +

+ sen a (sen a cos b – cos a sen b) =

= cos2 a cos b + cos a sen a sen b +

+ sen2 a cos b – sen a cos a sen b =

= cos2 a cos b + sen2 a cos b =

= cos b (cos2 a + sen2 a) = cos b · 1 = cos b

√32

12

√32

12

√32

12

12

√32

2π3

2π3

π3

π3

π3

2π3

sen x [1 + cos x – cos x]cos x

sen xcos x

sen x (1 + cos x) – sen x cos xcos x

sen xcos x

1 + cos x2

x2

sen a cos b cos a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bsen a cos b cos a sen b——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b

tg a + tg btg a – tg b

sen (a + b)sen (a – b)

sen a cos b + cos a sen bsen a cos b – cos a sen b

5π3

π3

3π2

π2

7π4

3π4

5π4

π4

5π4

π4

5π6

π6

5π4

π4

3π2

π2

5π3

π3

34

PÁGINA 144

26. 1,25 rad = 71° 37' 11"

27. R = 4,8 cm

28. 3π/4

29. = =

= =

=

30. =

Si a = ò = 2

31. = =

= = = tg2

32. 1

33. a) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x3 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ

b) x1 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 210° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x3 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x4 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ

c) x1 = 90° + k · 360° = (π/2) + 2k π, k éZx2 = 270° + k · 360° = (3π/2) + 2k π, k éZx3 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π,

k éZx4 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π,

k éZ

d) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ

x3 = 240° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x4 = 120° + k · 360° = + 2k π, k éZ

e) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ

x2 = 120° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x3 = 240° + k · 360° = + 2k π, k éZ

f) x1 = k · 180° = k π, k éZ

x2 = 30° + k · 90° = + k · , k éZ

g) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ

x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZx3 = 71° 33' 54,2" + k · 360° ≈ (2π/5) + 2k π,

k éZx4 = 251° 33' 54,2" + k · 360° ≈ (7π/5) + 2k π,

k éZ

34. a) x1 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ

b) x1 = 15° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 75° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x3 = 195° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x4 = 255° + k · 360° = + 2k π, k éZ

c) x1 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ

x2 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ

d) x1 = 157,5° + k · 360°, k éZ

x2 = 67,5° + k · 360°, k éZ

x3 = 337,5° + k · 360°, k éZ

x4 = 247,5° + k · 360°, k éZ

11π6

5π6

17π12

13π12

5π12

π12

5π6

π6

π6

π2

4π3

2π3

2π3

4π3

11π6

5π6

7π6

π6

5π6

π6

π2

a2





sen 2a1 – cos2 a

π4

2 cos asen a

sen 2a1 – cos2 a

1 + tg a tg b1 – tg a tg b

cos a cos b sen a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bcos a cos b sen a sen b——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b

cos a cos b + sen a sen bcos a cos b – sen a sen b

cos (a – b)cos (a + b)

35

35. a) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácti-cos).

b) x1 = k · 180° = k π, k éZ

x2 = 30° + k · 180° = (π/6) + k π, k éZ

x3 = 150° + k · 180° = (5π/6) + k π, k éZ

36. a) cos (a + b) cos (a – b) = (cos a cos b –

– sen a sen b) (cos a cos b + sen a sen b) =

= cos2 a cos2 b – sen2 a sen2 b =

= cos2 a (1 – sen2 b) – (1 – cos2 a) ·

· sen2 b = cos2 a – cos2 a sen2 b – sen2 b +

+ cos2 a sen2 b = cos2 a – sen2 b

b) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácti-cos).

c) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácticos).

37. sen a · cos 2a – cos a · sen 2a = –sen a

38. a) (90°, 30°); b) (0°, 0°); c) (30°, 60°)

39. Se justifica (ver CD de Recursos Didácticos).

40. sen 4a = 4 (sen a cos3 a – sen3 a cos a)

cos 4a = cos4 a + sen4 a – 6 sen2 a cos2 a

PÁGINA 145

41. sen = sen ; cos = –cos ;

tg = – tg

42. a) ò tg (π – a) = – tg a

b) ò tg (π + a) = tg a

c) ò

ò tg (2π – a) = – tg a

43. a) A (x) = –2 sen x b) A (x) = 0

c) A (x) = –sen x + cos x

44.

45.

46. a) (60°, 60°); b) (30°, 45°); c) (45°, 15°)

47. a), b) y c) Se demuestran (ver CD de RecursosDidácticos).

AUTOEVALUACIÓN

1. rad = 135°

rad = 450°

2 rad = 144° 35' 30''

2. a) 60° = rad = 1,05 rad

b) 225° = rad = 3,93 rad

c) 330° = rad = 5,76 rad

3. l = 24 cm

4. La gráfica corresponde a b) y = cos 2x.

Su periodo es π.

11π6

5π4

π3

5π2

3π4

–—

a) 1

0

–1

π–π π2—π

2–— π

4—π

4–— —3π

4–—3π

4

b) 1

0

–1

π–π π2—π

2π4—π

4–— —3π

4–—3π

4

d) 1

0

–1

π–π π2—π

2π4—π

4–— —3π

4–—3π

4

c) 1

0

–1

π–π

π2—π

2–— π

4—π

4–— —3π

4–—3π

4

1

0

–1

ππ2—π

4— —3π

2—7π4

—5π4

—3π4

sen (2π – a) = –sen acos (2π – a) = cos aØ

∞±

sen (π + a) = –sen acos (π + a) = –cos aØ

∞±

sen (π – a) = sen acos (π – a) = –cos aØ

∞±

4π5

π5

4π5

π5

4π5

π5

36

( , ), ( , – ), (– , 0)5. a) sen 2a = –

b) cos (π + a) =

c) tg =

d) sen ( – a) =

6. a) y b) Se demuestran (ver CD de Recursos Di-dácticos).

7. a) x1 = 360° · k, k éZ

x2 = 180° + 360° · k, k éZ

x3 = 30° + 360° · k, k éZ

x4 = 150° + 360° · k, k éZ

b) x1 = 45° + 360° · k, k éZ

x2 = 225° + 360° · k, k éZ

8. a) 1 b) 2

–1 – 3√58

π6

√5/3a2

14

√158

π4

12

4π3

12

5π6

37

PÁGINA 147

Extraer fuera de la raíz

� a) 4 b) 10

Potencias de

� a) – b) 1 c)

¿Cómo se maneja k · ?

� a) 0 b) 0 c)

Expresiones del tipo a + b ·

� a) –1 – 5 b) –3 –

� a) –18 – 54 b) 28 – 16

Multiplicaciones

� a) 3 + 4 b) –16 + 40

c) 41 – d) 29

Ecuaciones de segundo grado

� a) x1 = –5 + 2√—–1, x2 = –5 – 2√

—–1

b) x1 = 3√—–1, x2 = –3√

—–1

PÁGINA 149

1. • Reales: 7, 0 y –7

Imaginarios: 5 – 3i, + i, –5i, i,

–1 – i, 4i

Imaginarios puros: –5i, i, 4i

2. a) z1 = 2i, z2 = –2i

b) z1 = –3 – i, z2 = –3 + i

c) z1 = –3i, z2 = 3i

d) z1 = –3, z2 = 3

3. a) Opuesto: –3 + 5i

Conjugado: 3 + 5i

–3 + 5i 3 + 5i

3 – 5i

–3 3

3i

–3i

–3 + i

–3 – i

2i

–2i

i— + — i12

54

5 – 3i

4i

–5i

7–7–1 – i

√—3i

1

√3

√354

12

√–1

√–1√–1

√–1√–1

√–1√–1

√–1

√–1385

√–1

√–1√–1

√–1

√–1√–1

6. NÚMEROS COMPLEJOS

38

b) Opuesto: –5 – 2i

Conjugado: 5 – 2i

c) Opuesto: 1 + 2i

Conjugado: –1 + 2i

d) Opuesto: 2 – 3i

Conjugado: –2 – 3i

e) Opuesto: –5

Conjugado: 5

f) Opuesto: 0

Conjugado: 0

g) Opuesto: –2i

Conjugado: –2i

h) Opuesto: 5i

Conjugado: 5i

4. i3 = –i i4 = 1 i5 = i i6 = –1

i20 = 1 i21 = i i22 = –1 i23 = –i

CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y loescribimos como sigue:

in = i4c + r = i4c · i r = (i4)c · i r =

= 1c · i r = 1 · i r = i r

Por tanto, in = i r, donde r es el resto de di-vidir n entre 4.

PÁGINA 151

1. a) 18 – 18i b) –9i c) 16 + 2i

d) 28 + 3i e) 16 – 2i f ) i

g) – i h) – i i) + i

j) + i k) –2 – 4i l) –9 + i

m) + i274

94

65

1125

2325

35

–115

1617

417

1310

–110

5i

–5i

2i

–2i

0

5–5

–2 + 3i

–2 – 3i 2 – 3i

–1 – 2i

–1 + 2i 1 + 2i

–5 – 2i

5 + 2i

5 – 2i

39

2. a) x2 – 4x + 7

b) x2 + 9

c) x2 + (–4 + 2i )x + (11 + 2i )

3. Hay dos soluciones: x1 = –25, x2 = 25

4. z1 + z2 = 5 + 7i

PÁGINA 153

1. a) 1 + i = 260° b) + i = 230°

c) –1 + i = 135° d) 5 – 12i = 13292° 37'

e) 3i = 390° f) –5 = 5180º

2. a) + i b) – + i

c) – + i d) – – i

e) –5 f) 4i

3. Opuesto: –z = r180° + a

Conjugado: –z = r360° – a

4. z = 830° = 4 + 4i

5. a) z1 = 2 + 2 i; z2 = – – i

b) z1 · z2 = –12i = 12270°

= = ( )150°c) z1 · z2 = 12270°

= = ( )150°

PÁGINA 155

1. a) 5180° = –5

b) 230° = + i

c) 6120° = –3 + 3 i

d) 560° = + i

e) 3260° = 16 + 16 i

f) 4i = 490º

2. a) (230º)3 = 890º = (2150º)3 = (2270º)3

b) (260º)4 = 16240º = (2150º)4 = (2330º)4

(2270º)4 = 161080º = 160º

3. a) 1060° b) ( )15° c) ( )300° d) 10

4. cos 3a = cos3 a – 3 cos a sen2 a

sen 3a = 3 cos2 a sen a – sen3 a

PÁGINA 157

1. Las seis raíces son:

10° = 1 160° = + i

1120° = – + i 1180° = –1

1240° = – – i 1300° = – i

2. z1 = 360° = + i

z2 = 3180° = –3

z3 = 3240° = – – i32

3√32

32

3√32

1

12

√32

12

√32

12

√32

12

√32

54

12532

√3

52

5√32

√3

√3

34

3210°460°

z2z1

34

–6√—3 + 6i16

z2z1

32

3√32

√3

√3

3√32

32

√2√2

√2√252

5√32

√2

√3√3

7i

i

5i

z1 + z2

z1

z2

1 2 3 4 5

40

3. a) Las tres raíces son: 190° = i,

1210° = – – i, 1330° = + i

b) Las cuatro raíces son:

230° = + i, 2120° = –1 + i,

2210° = –1 – i, 2300° = – i

c) Las dos raíces son: 590° = 5i ; 5270° = –5i

d) Las tres raíces son: 25°; 145°; 265°

4. a) Las cuatro raíces son:

145° = + i ; 1135° = – + i ;

1225° = – – i ; 1315° = – i

b) Las seis raíces son:

230° = 2 ( + i ) = + 1

290° = 2i

2150° = 2 (– + i ) = – + i

2210° = 2 (– – i ) = – – i

2270° = –2i

2330° = 2 ( – i ) = – i

5. z y w raíces sextas de 1 8 z6 = 1, w6 = 1

(z · w )6 = z6 · w6 = 1

( )6 = = = 1

z2 = (z2)6 = z12 = (z4)3 = 13 = 1

z3 = (z3)6 = (z4)4 · z2 = 14 · 12 = 1

6. 536° 52' + 90° = 5126° 52' = –3 + 4i

536° 52' + 180° = 5216° 52' = –4 – 3i

536° 52' + 270° = 5306° 52' = 3 – 4i

7. a) Las dos raíces son: 390° = 3i ; 3270° = –3i

b) Las tres raíces son:

z1 = 360° = + i

z2 = 3180° = –3

z3 = 3300° = – i

c) Las tres raíces son:

z1 = 105° = –0,37 + 1,37i

z2 = 225° = –1 – i

z3 = 345° = 1,37 – 0,37i

z1

z2

i

–i

z3

–1

1

√2

√2

√2

z1

z2

z3

–3

32

3√32

32

3√32

–3i

3i

11

z6

w6zw

√312

√32

√312

√32

√312

√32

√312

√32

√22

√22

√22

√22

√22

√22

√22

√22

6√26√26√2

√3√3√3√3

12

√32

12

√32

z1

z2

z3

–3

41

d) Las tres raíces son:

190° = i

1210° = – – i

1330° = – i

e) Las cinco raíces son:

z1 = 218° = 1,9 + 0,6i

z2 = 290° = 2i

z3 = 2162° = –1,9 + 0,6i

z4 = 2234° = –1,2 – 1,6i

z5 = 2306° = 1,2 – 1,6i

f) Las tres raíces son:

z1 = 230º

z2 = 2150º

z3 = 2270º

PÁGINA 158

1. a) Re z = 3

b) –1 Ì Im z < 3

c) |z| = 3

d) |z| > 2

e) Arg z = 90°

2. a)

b)

c)

d)

z1z2

z3

z1

z2

z3

z4 z5

1210° 1330°

i

12

√32

12

√32

42

e)

PÁGINA 162

1. a) 9 + 6i b) –4 + 2i

c) –5 – 22i d) 18 + 24i

2. a) 3 + 6i b) – i

c) + i d) = + i

3. a) 22 – 6i b) –13 – 19i

c) – + i d) – – i

e) 1 + i f) –10 + i

4. a) i b) –1 c) i d) 1 e) 1

5. a) z2 = – – i; 1 + z + z2 = 0

b) = – – i = z2

6. m = –7; n = 5

7. k = 3

8. Hay dos soluciones:

a1 = –2, b1 = –1; a2 = 2, b2 = 1


a1 = 2/3, b1 = –3; a2 = –2, b2 = 1

10. a = 11/5; b = –108/5

11. a) b = –2 b) b = 8

12. a1 = –2, a2 = 2

13. x1 = –1, x2 = 2

14. a) 1 – i = 315°

Opuesto: –1 + i = 135°

Conjugado: 1 + i = 45°

b) –1 + i = 135°

Opuesto: 1 – i = 315°

Conjugado: –1 – i = 225°

c) + i = 230°

Opuesto: – – i = 2210°

Conjugado: – i = 2330°

d) – – i = 2210°

Opuesto: + i = 230°

Conjugado: – + i = 2150°

e) –4 = 4180°

Opuesto: 4 = 40°

Conjugado: –4 = 4180°

4–4

√—3 + i

√—3 – i–

√—3 + i–

√3

√3

√3

√—3 + i

√—3 – i√

—3 – i–

√3

√3

√3

–1 – i

–1 + i

1 – i

√2

√2

√2

1 – i

–1 + i 1 + i

√2

√2

√2

√32

12

1z

√32

12

373

413

613

95

75

1310

–710

2313

1513

720

920

43

f ) 2i = 290°

Opuesto: –2i = 2270°

Conjugado: –2i = 2270°

g) – i = ( )270°Opuesto: i = ( )90°Conjugado: i = ( )90°

h) 2 + 2 i = 60°

Opuesto: –2 – 2 i = 240°

Conjugado: 2 – 2 i = 300°

15. a) + i b) + i c) –

d) 17 e) i f ) –5i

g) – + i h) –0,69 + 3,94i

16. a) 830º b) 1275º c) 6225º

d) 1,545º e) 2210º f) 1,5105º

g) 4180º h) 640º i) 81180º

17. a) (–1 – i )5 = ( 225°)5 = 4 + 4ib) =

Las cuatro raíces son:

75°, 165°, 255°, 345°

c) =

Las cuatro raíces son: 2 0° = 2 ,

2 90° = 2 i, 2 180° = –2 ,

2 270° = –2 i

d) =

Las tres raíces son:

230° = + i, 2150° = – + i, 2270° = –2i

e) (–2 + 2i )6 = 4 096180° = –4 096f) (3 – 4i )3 = 125200° 36'

18. a) + i

b) Las tres raíces son:

6

23° 51'= 0,785 + 0,347i

6

143° 51'= –0,693 + 0,56i

6

263° 51'= –0,092 – 0,853i

1

i

√ 25

√ 25

√ 25

–1

–— + —i14

14

–14

14

√3

√3 √3

3√8i 3√890°

√2 √2

√2 √2 √2 √2

√2 √2

4√64 4√640°

4√2 4√2 4√2 4√2

4√1 – √—3 i

4√2300°

√2

12

√32

√232

3√32

√2√2

2 + 2 3i√—

–2 – 2 3i√—

2 – 2 3i√—

√14√3

√14√3

√14√3

3i/4

–3i/4

34

34

34

34

34

34

2i

–2i

44

19. a)Las tres raíces son:

2100° = –0,35 + 1,97i

2220° = –1,53 – 1,26i

2340° = 1,88 – 0,68i

b) Las cuatro raíces son:

245° = + i

2135° = – + i

2225° = – – i

2315° = – i


230° = + i

2150° = – + i

2270° = –2i

PÁGINA 163

20. a) (1 + i )5 =16 – 16 i

b) (–1 – i )6 ( – i ) = 128330° =64 – 64i

c) =

Las cuatro raíces son:

30° = + i

120° = – + i

210° = – – i

300° = – i

d) = 225° = –1 – i

e) =

Las seis raíces son:

230° = + i 290° = 2i 2150° = – + i

2210° = – – i 2270° = –2 2330° = – i

f ) =

Las dos raíces son:

112° 30' = –0,46 + 1,1i

292° 30' = 0,46 – 1,1i

g) =

Las tres raíces son: 190° = i

1210° = – – i 1330° = – i

h) = ( )180°Las dos raíces son:

( )90°= i

( )270°

= – i

21. a) z = 2300°; –z = 2120°;–z = 260°

b) z = 2 225°; –z = 2 45°;–z = 2 135°

c) z = 4150°; –z = 4330°;–z = 4210°

22. a) Las cinco raíces son:

118°, 190°, 1162°, 1234°, 1306°

b) Las seis raíces son: 130°, 190° , 1150° , 1210°,1270° , 1330°

1

1

√2√2√2

√ 23√ 2

3

√ 23√ 2

3

23√ 2 – 2i

–3 + 3i

12

√32

12

√32

3√1270°3√–i

4√2

4√2

√√—2225°√–1 – i

√3√3

√3√3

6√64180°6√–64

√28(1 – i )5

√62

√22

√2

√22

√62

√2

√62

√22

√2

√22

√62

√2

4√4120°4√–2 + 2√—3 i

√3√3√3

√3√3

2 2

2√3

√3

2 2

2 2√2√2

√2√2

√2√2

√2√2

2

2 2

45

c) Las cuatro raíces son:

7° 30, 97° 30, 187° 30, 277° 30'

23. a) z1 = –2i; z2 = 2i

b) z1 = – – i; z2 = – + i

c) z1 = – – i; z2 = – + i

d) z1 = – i; z2 = + i

24. a) Las cinco raíces son:

236°; 2108°; 2180°; 2252°; 2324°

b) Las tres raíces son: 390°; 3210°; 3330°


290° = 2i; 2210° = – – i; 2330° = – i

d) Las cuatro raíces son:

22° 30' = 1,3 + 0,5i

112° 30' = –0,5 + 1,3i

202° 30' = –1,3 – 0,5i

292° 30' = 0,5 – 1,3i

25. a) z1 = 2135°; z2 = 2315°

b) z1 = 1 – 2i; z2 = 1 + 2i

c) z1 = – i; z2 = i

d) z1 = 2i = 290º; z2 = –2i = 2270º;

z3 = 3i = 390º; z4 = –3i = 3270º

26. a) Las cuatro raíces son:

10° = 1; 190° = i; 1180° = –1; 1270° = –i

b) Las cuatro raíces son: 245° = + i;

2135° = – + i; 2225° = – – i;

2315° = – i

c) Las cuatro raíces son:

0; 20° = 2; 2120° = –1 + i; 2240° = –1 – i

27. a) z = –2 + 3i; w = 1 – i

b) z = 2 – 5i; w = 3i

28. Hay dos soluciones: m = –4 y m = 4

29. Los números son: 6π/6 y 2π/6

30. Hay cuatro soluciones:

z1 = 122° 30; w1 = 267° 30'

z2 = 1112° 30; w2 = 2337° 30'

z3 = 1202° 30; w3 = 2247° 30'

z4 = 1292° 30; w4 = 2157° 30'

31. Hay tres soluciones:

w1 = 260°; z1 = 4120°

w2 = 2180°; z2 = 4

w3 = 2300°; z3 = 4240°

32. Los números son: 123π/12 y 211π /12; o bien111π/12 y 223π /12

33. cos 75° = sen 75° =

34. cos 15° = sen 15° =

35. x1 = 2; x2 = –2

36. |z| = = 1

37. x = 14

PÁGINA 164


z1 = 4 + 3i 8 –z1 = 4 – 3i

z2 = 4 – 3i 8 –z2 = 4 + 3i

39. Los números son: z = 2 + 2i ; w = 1 – i

40. Las tres raíces son:

z1 = 75°; z2 = 195°; z3 = 315°√2√2√2

√1 + x2

√1 + x2

√—6 – √

—2

4√—6 + √

—2

4

√—6 + √

—2

4√—6 – √

—2

4

√3√3

√2√2

√2√2√2√2

√2√2

√5√5

√2√2√2√2

√3√3

√32

12

√32

12

√192

32

√192

32

√152

12

√152

12

√—2

√2√2√2√2

46

La longitud del lado del triángulo es l = .

41. • Las tres raíces cúbicas de 8i son:

z1 = 230°; z2 = 2150°; z3 = 2270°

• Las tres raíces cúbicas de –8i son:

z1 = 290°; z2 = 2210°; z3 = 2330°

• Las tres raíces cúbicas de 8 son:

z1 = 20°; z2 = 2120°; z3 = 2240°

• Las tres raíces cúbicas de –8 son:

z1 = 260°; z2 = 2180°; z3 = 2300°

42. No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de unnúmero complejo, formarían entre cada dos deellas un ángulo de 90°; y ni siquiera forman elmismo ángulo, como vemos en la representa-ción gráfica:

43. • 1.er hexágono:

z1 = 20° = 2

z2 = 260° = 1 + i

z3 = 2120° = –1 + i

z4 = 2180° = –2

z5 = 2240° = –1 – i

z6 = 2300° = 1 – i

• 2.° hexágono:

z1 = 230° = + i

z2 = 290° = 2i

z3 = 2150° = – + i

z4 = 2210° = – – i

z5 = 2270° = –2i

z6 = 2330° = – i

44. Sí son las raíces quintas de un número complejo.z = (228°)5 = 32140°

45. Los otros vértices son: 3112°; 3184°; 3256°; 3328°

El número es z = (340°)5 = 243.

46. 1 + i = 45°

Las otras raíces cúbicas son:

45° + 120° = 165°; 165° + 120° = 285°

z = –2 + 2i

47. x2 – 2x + 2 = 0

48. a) x2 + 25 = 0

b) x2 – 4x + 13 = 0

49. a) z = 0; w = –1 + 2i

b) z = 2 – i; w = –3 + 2i

√2√2√2√2

√2

√3

√3

√3

√3

√3

√3

√3

√3

1

i

3√–83√8

z1

z2

z3

z1

z2

z3

3√–8i3√8i

z1z2

z3

z1

z2 z3

√6

√—2

120°

z1

l

z2

z3

47

50. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

51.

52. a)

b)

c)2

–2

1 2–1–2

x = —32x = – —3

2

1–1x = 0

1–1–2

x = – —32

45°

3

3

–2 5

3

–1

3

0

1

2

48

53. a) Re z = –3 b) Im z = 2

c) –1 Ì Re z ≤ 1 d) 0 Ì Im z < 2

e) f) |z| = 3

PÁGINA 165

54. No, también son reales los números con argu-mento 180° (los negativos).

55. ra + 180° = –z (opuesto de z)

r360° – a =–z (conjugado de z)

56. z = a + bi = ra 8 –z = a – bi = r360° – a

w = c + di = r'b 8 –w = c – di = r'360° – b

a) –z + –w = (a + c) – (b + d ) i = —z + w

b) –z · –w = (r · r')360° – a + 360° – b =

= (r · r')360° – (a + b) =—z · w

c) k –z = ka – kbi =—kz

57. = = ( )–a = ( )360° – a8

8 | | = =

58. Sí. Por ejemplo:

z = i, w = i

z · w = i · i = i2 = –1 é Á

59. iz = 4i – 3i2 = 3 + 4i

60. Se diferencian en 180°.

61. Ha de tener módulo 1.

62. La longitud del lado es l = 2,6 unidades.

63. z = 245°, w = 4135°

64. a) = ( )5π/3

b) = ( )270°

c) = – – i

Si z = ra, entonces = ( )360° – a

65. a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.

b) Circunferencia de centro en (5, 2) y radio 3.

66. |z – (1 + i )| = 3

1z

1r

–1 + i

1–1 + i———

1–1 + i

12

12

2i

–1/2i

12i

12

π/3

3π/3

(1/3–π/3) –π/3

13π/3

13

90°

4 – 3i

3 + 4i

1

|z|

1r

1z

1r

1r

10°ra

1z

–3 < Re z < 2–2 < Im z < 3

°¢£

49

AUTOEVALUACIÓN

1. – + i

2. z = 4240° = –2 – 2 i

3. b = –7, a = –4

4. z1 = 5 + 2i, z2 = 5 – 2i


x1 = 2, x2 = –2

6. l = 2 u

7. a)

b)

c) a + bi + a – bi = –4 8

8 2a = –4 8 a = –2

8. Los números son 6120° y 3330° o bien 6300° y3150°.

9. z · z– = a2 + b2 = |z|2

10. cos 120° = – ; sen 120° =

11. z = + i

√3

3710

1910

2 + 3√32

2√3 – 32

√32

12

1–2

3

3

5

1

√3

50

PÁGINA 166

1. c = 4 cm

a = 2 cm

B^

= 56° 18' 36''

C^

= 33° 41' 24''

2. Perímetro = 33,3 cm

3. El mástil mide 7,32 m y el cable, 24,99 m.

4. sen a = ; cos a =

sen2 a + cos2 a ? 1.

Por tanto, no existe ningún ángulo que verifi-que las dos condiciones a la vez.

5. Perímetro = 61,48 cm

Área = 83,23 cm2

6. a) cos 297° = cos 63°

a) cos 297° = cos 63°

b) sen 1252° = sen 8°

c) tg (–100°) = tg 80°

d) sen = sen

7. a) cos 2a = –3/5

b) sen ( – a =

c) sen =

d) tg ( + a = –3

8. a) 8 IV

b) 8 III

c) 8 I

d) 8 II

9. cos4 x – sen4 x =

= (cos2 x + sen2 x)(cos2 x – sen2 x) =

= cos2 x – sen2 x =

= cos2 x – (1 – cos2 x) =

= 2cos2 x – 1

10. a) x1 = 0° + 360° k, k é Z 8 Vale

x2 = 126° 52' 12'' + 360° k, k é Z

x3 = 233° 7' 48'' 8 No vale

b) x1 = 30°, y1 = 30°

x2 = 50°, y2 = 90°

x3 = 130°, y3 = –270°

x4 = 150°, y4 = –210°

11. z– = 3300°

–z = 3240°

=300°

12. = i

13. x2 + 2x + 4 = 0

14. Los números son 5 + i y 5 – i.

15. A = 1 + i = 260°; B = 2150°;

C = 2240°; D = 2330°; l = 2 u√2

√3

√15√15

i10 – 2i7

2 + i33

)13(1z

)π4

5 – √—5√ 10

a2

√55)π

2

2π5

13π5

34

12

√13

BLOQUE II. TRIGONOMETRÍAY NÚMEROS COMPLEJOS

02 pd mat1bach cc sol mec - wordpress.com27 3. a)cosa =–3/5; tga =4/3 b)sena =– /3; tga =– /2...

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