¡QUE DECIDA LA MAYORIA!

ALaCiMaMatemáticas – Nivel 7-9

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Al finalizar la actividad los estudiantes:

• describirán la conexión entre matemáticas y las disciplinas de gobierno, historia, ética y deportes.

• desarrollarán destrezas en razonamiento matemático y aplicarán estas destrezas a situaciones del diario vivir.

• compararán diferentes métodos de sufragio para determinar las ventajas y desventajas de cada uno.

• describirán formas en que se pueden manipular los resultados de un sufragio para los diferentes métodos.

EXPLORACIÓN DE CONOCIMIENTO PREVIO:

Completa las burbujas de la tirilla cómica para mostrar el razonamiento matemático que utilizan los amigos para analizar los resultados.

ACTIVIDAD I:

• Supongamos que los estudiantes sugieren tres alternativas para una excursión de la clase: Planetario (P), Museo (M) y Obra de Teatro (O).

• Queremos contar, por ejemplo, el número de estudiantes que eligieron;1ra preferencia: Museo (M)2da Preferencia: Obra (O)3ra Preferencia: Planetario (P) colocar la cantidad en la en la columna 4 de la tabla que sigue (Preferencias: M O P ). Similarmente, se quiere contar la cantidad de estudiantes que ordenaron sus preferencias de una forma diferente.

Tabla Actividad I

PMPOMO3ra Preferencia

MPOPOM2da Preferencia

0

O

6

O

10

M

4

M

3

P

12

P1ra Preferencia

Tabla de Preferencias – Excursión de Grupo

Número de Estudiantes

Tabla 1

Preguntas de discusión:

1. Si se elige por votación única se toma en cuenta únicamente el candidato preferido por cada alumno (un voto por alumno, la información de la fila nombrada “1ra Preferencia”). Bajo la Regla de la Pluralidad, el ganador es la alternativa que más votos obtiene. Explica o demuestra como decides el ganador para la tabla de arriba bajo la Regla de Votación Única y Pluralidad. Usando la información de la fila 1ra Preferencia los votos únicos serían:P: 12 + 3 = 15 M: 10 + 4 = 14 O: 6 + 0 = 6Por pluralidad, la opción Planetario gana.

Preguntas de discusión:

2. ¿Habrá una mayoría contenta con los resultados de la pregunta 1? Explica.

La mayoría no estará contenta, pues de 35 estudiantes, 15 votaron por P y 20 votaron en contra. Por lo tanto estos 20 estarán descontentos con la decisión. La mayoría pierde.

Preguntas de discusión:

3. ¿Crees que el sistema de Votación Única con Pluralidad es un sistema “justo” ? Justifica tu respuesta.

Hay muchos estudiosos del asunto, opinan que las situaciones hoy día son muy complicadas para una regla tan simple. Dicen que la regla de pluralidad es un método que es conveniente en situaciones donde existen solamente dos alternativas entre las cuales elegir, así el voto dominante representa la mayoría. Tan pronto se presenten más de dos candidatos para un puesto (o tres respuestas a una sola pregunta) la situación llega a ser más complicada y un voto sí-no simple ya no es conveniente ya que deja a la mayoría sin representación.

Preguntas de discusión:

4. ¿Por qué crees que el sistema de Votación Única con Pluralidad es un sistema tan usado hoy día, a pesar de que sus desventajas?

Algunas razones podrían incluir tradición y que los métodos de escrutinio son más simples y rápidos.

Preguntas de discusión:

5. Trata de proponer otra forma de determinar un ganador utilizando la demás información que provee la tabla. ¿Crees que tu sistema dejará más electores satisfechos que el sistema de Votación Única con Pluralidad? Justifica tu respuesta.

Con esta pregunta solo intentamos poner a los alumnos a pensar en la posibilidad de atender las desventajas del Sistema de Voto Único con Pluralidad. Tal vez a alguno se le ocurre un método similar a algunos de los que se presentan en las actividades siguientes. Esta pregunta se presta para ser evaluada con una rúbrica.

ACTIVIDAD II: ¡MI VOTO CUENTA!

El Club de Matemáticas decide tener un “Pizza Party”, se debe elegir el ingrediente adicional de la pizza. Cada miembro coloca en orden de preferencia los ingredientes:Peperoni (A)Pollo (B)Cetas (C)Pimiento Verde (D).

Los resultados se muestran a continuación.

¡MI VOTO CUENTA!

Votos

1ra preferencia A B D D

2da preferenciaB D B C

3ra preferenciaC C C B

4ta preferenciaD A A A

7 5 4 2

PARTE I: MÉTODO DE HARE

1. ¿Cuál ingrediente será el ganador bajo el método de Votación Única con Pluralidad? Explica como llegas a tu respuesta.

Ganaría la opción A, peperoni, ya que tiene 7 votos. Tiene más votos como primera preferencia que las demás alternativas, a pesar de que 11 estudiantes (una mayoría) NO desean peperoni.

PARTE I: MÉTODO DE HARE

2. Diversos países, como Australia, Irlanda e Irlanda del Norte, utilizan un sistema llamado Voto Simple Transferible, introducido por Thomas Hare in Inglaterra en los 1850.a) Ordena los votos por el número de votos para el primer lugar que cada uno recibe. b) Elimina la alternativa con menos votos. c) Transfiere los votos de la opción eliminada a su próxima preferencia- lo que significa que su voto todavía cuenta. d) Repite el proceso hasta quedar con un ganador.

PARTE I: MÉTODO DE HARE

Ejemplo: En la primera vuelta, si eliminamos el que menos votos obtuvo, por lo tanto, se elimina c.

La tabla, queda así:

Votos

1ra preferencia  A B D D

2da preferencia B D B B

3ra preferencia D A A A

7 5 4 2

PARTE I: MÉTODO DE HARE

Votos

1ra preferencia  A B D

2da preferencia B D B

3ra preferencia D A A

7 5 6

La tabla anterior se puede simplificar ya que las últimas dos columnas se pueden combinar. La tabla más simple, luego de la eliminación de C, será:

PARTE I: MÉTODO DE HARE

• A continuación, muestra los pasos que se siguen si continúas aplicando el Método de Hare. ¿Cuál ingrediente gana?Segunda vuelta: Se elimina B. La tabla anterior se reduce a:

Votos

1ra preferencia  A D D

2da preferencia D A A

7 5 6

PARTE I: MÉTODO DE HARE

La tabla anterior

simplifica a:

Votos

1ra preferencia  A D

2da preferencia D A

7 11

Ahora entre, A y D, ganaría la alternativa D, o sea el ingrediente sería Pimiento Verde.

PARTE I: MÉTODO DE HARE

3. ¿Qué piensas sobre este método de votación? ¿Qué ventajas o desventajas le ves?

Podrían decir que al elegir D, queda más gente inconforme de su primera preferencia, ya que al elegir A, habían 11 insatisfechos, y ahora hay 12 insatisfechos. Sin embargo, también se puede decir, que tomando en cuentas las primeras dos preferencias, se ha podido complacer a 11 personas, y sólo hay 7 personas completamente insatisfechas.

PARTE II: MÉTODO DE BORDA Un sistema alternativo es el Conteo de Borda, llamado así por Jean-Charles de Borda, quien lo desarrolló en 1781. De nuevo, la idea es la de tratar de tomar en cuenta las preferencias de cada votante por cada uno de los candidatos.

a) Se asigna una cantidad de puntos a cada posición de preferencia. En este caso hay 4 alternativas.b) Otorga a cada alternativa 3 puntos por cada

selección en primer lugar.c) Otorga a cada alternativa 2 puntos por cada

selección en segundo lugard) Otorga a cada alternativa 1 puntos por cada

selección en tercer lugarc) Otorga a cada alternativa 0 punto por cada selección

en el último lugar. e) Suma los puntos otorgados a cada alternativa. f) La alternativa con el mayor número de votos es

declarado el ganador.

PARTE II: MÉTODO DE BORDA

Ejemplo, Usaremos la tabla original:

Votos

1ra preferencia  A7X3=2

1

B 5X3=1

5

D 4X3=1

2

D 2X3=6

2da preferencia B 7X2=1

4

D 5X2=1

0

B 4X2=8

C 2x2=4

3ra preferencia C 7x1=1

C 5X1=5

C 4x1=4

B 2X1=2

4ta preferencia D 7X0=0

A 5X0=0

A 4X0=0

A 2X0=0

7 5 4 2

PARTE II: MÉTODO DE BORDATabla Método Borda: Total de puntos para cada alternativa

Alternativa

Puntos ganados:

1ra preferencia

Puntos ganados:

2da preferencia

Puntos ganados:

3ra preferencia

TOTAL

A 21 0 0 21

B 15 14+8=22 2 39

C 0 4 7+5+4=16 20

D 12+6=18 10 0 28

¿Cuál ingrediente gana?

Gana la alternativa B, por lo tanto el ingrediente elegido es pollo.

PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET

En 1785 el Marqués de Condorcet propuso que la única forma justa de decidir como contar los votos en elecciones con tres o más candidatos era escoger el individuo que vencía a cualquier otro candidato en una competencia uno a uno. Este enfoque es conocido hoy día como el Sistema de Condorcet.

PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET

Para decidir el ganador Condorcet del Club de Matemáticas utilizaremos la tabla original de los datos.

Votos

1ra preferencia  A B D D

2da preferencia B D B C

3ra preferencia C C C B

4ta preferencia D A A A

7 5 4 2

Leyenda: Peperoni (A), Pollo (B), Cetas (C) y Pimiento Verde (D).

PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET

Para crear una tabla nueva. En la nueva tabla, colocaremos entre paréntesis la cantidad de votos que obtiene cada alternativa al competir contra su contrincante.

Por ejemplo, en la lucha de A contra B, A está encima de B en la columna 1, por lo tanto A gana 7 puntos y B, gana 0. En la segunda columna, 5 votantes ponen a B encima de A, por lo tanto B obtiene 5 puntos y A obtiene 0. Similarmente, en las columnas 3 y 4, B obtiene 4 y 2 puntos respectivamente y A obtiene 0. En total, A obtiene 7 puntos y B obtiene 11. Por lo tanto, B es el ganador.

PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET

Haciendo lo anterior para cada par de competidores.

Pareja Ganador

A ( 7 ) vs. B ( 5+4+2=11) B

A ( 7 ) vs. C ( 5+4+2=11) C

A ( 7 ) vs. D( 5+4+2=11 ) D

B ( 7+5+4=16 ) vs. C ( 2 ) B

B ( 7+5=12 ) vs. D ( 4+2=6 ) B

C ( 7 ) vs. D ( 5+4+2=11 ) D

PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET

1. Muestre como se aplica el método Condorcet para determinar el ingrediente ganador. ¿Cuál ingrediente gana?

El ganador Condorcet es la opción B, Pollo.

PARTE III – MÉTODO DE CONDORCET

2. ¿Será posible NO encontrar un ganador mediante este método? Ilustre tu respuesta mediante ejemplos.

En este caso si en la columna 1 los 7 votantes cambian su preferencia a A,C,B,D los resultados de Condorcet sólo cambiarían para B (5+4) vs C (7+2), donde ya no habría ganador. En general, estarían empatado B y D con dos votos cada uno. No se puede determinar un ganador.

CIERRE ¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!

1. ¿Qué tienen en común los métodos usados? (si algo)Todos eliminan la opción más baja.

2. Compara las proporciones de los que resultaron ganadores en cada método.Método de Hare: Gana la opción D con 11/68 61%

Método Borda: Gana B con 39/108 39%

Método Condorcet: gana B con 11/68 61%

3. Describe una situación en la cual utilizas un voto para tomar una decisión. Enumera las alternativas existentes. Finalmente, desarrolla una tabla de listas de preferencias en la cual el ganador es el mismo por al menos dos de los métodos utilizados durante las actividades anteriores.

RÚBRICACriterios 4 3 2 1  Puntos

Ofrece explicaciones

detalladas

Describe y explica sus procedimientos

con claridad y detalladamente.

Describe y explica con algunos

detalles pero las explicaciones son

confusas.

Explicaciones no están claras. No

ofrece suficientes detalles.

Explicaciones superficiales que

omiten puntos claves.

____

Construcción de tablas

Se construyen dos tablas, una para cada

método, que muestran el número

de votantes que tiene una orden de

preferencias

La información se presenta

apropiadamente pero está

incompleta.

Una o más tablas están

incompletas y/o presentan la

información de forma

inapropiada

No se construyó tablas.

____

Aplicación de los métodos de votación

Aplicó los métodos de votación elegidos

correctamente. Realizó cómputos apropiados que no

tienen errores.

Pocos errores, errores leves al

aplicar los métodos de y/o

en los cómputos, aunque éstos no

son graves.

Muchos errores en la aplicación

de los métodos o en los procesos

de razonamiento

Errores graves en la aplicación

de los métodos o en los procesos

de razonamiento

____

ConclusionesConclusiones son

consistentes con los datos presentados.

No todas las conclusiones son consistentes con

los datos presentados.

Conclusiones NO se evidencian con los datos presentados,

Conclusiones no existen o no son consistentes con

los datos.

____

        Total----> ____

CIERRE ¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!

4. Construye un mapa conceptual sobre métodos de sufragio. Los mapas de los alumnos variarán.

CIERRE ¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!

NOTA: El siguiente mapa conceptual presenta una explicación de lo que es un mapa conceptual:

CIERRE ¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!

NOTA:

• Los conceptos se colocan dentro de la elipse.• Las palabras enlace se escriben sobre o junto

a la línea que une los conceptos.•

• CONCEPTOS ..................................... ELIPSE

• PALABRAS ENLACE .....................LINEA

CIERRE ¡QUE GANE EL QUE YO QUIERA!

NOTA: Aplicando estas ideas, un ejemplo de una parte del mapa que un alumno podría preparar la frase: El método de Voto por Pluralidad elige sólo un ganador mediante la regla “Gana el candidato con mayor número de votos”.

que elige

es

un ganador

mediante la regla

“Gana el candidato que recibe la mayor cantidad de votos .”

Se comienza a leer el mapa desde el centro

Voto por Pluralidad

Un método de sufragio