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III Taller Iberoamericano de Enseñanza sobre Educación en Ciencia e Ingeniería de Materiales (TIECIM’02)

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NO LINEALIDAD DEBIDA AL COMPORTAMIENTO DEL MATERIAL EN MECÁNICA DE SÓLIDOS: ESTUDIO DE UNA VIGA FLEXIONADA

T. Beléndez1, C. Neipp2 y A. Beléndez2

1Departamento de Ciencia y Tecnología de los Materiales.

Universidad Miguel Hernández de Elche. Avda. del Ferrocarril, s/n. E-03202 Elche (Alicante). España. [email protected]

2Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal. Universidad de Alicante. Apartado 99. E-03080 Alicante. España

Resumen

En este trabajo se presenta una forma de introducir el concepto de no linealidad debida al comportamiento del material mediante el análisis de la flexión de una viga en voladizo, considerando que el material del que está fabricada es elástico no lineal. Se ha considerado la no linealidad del material de tipo Ludwick y se ha obtenido la ecuación diferencial de la elástica de la viga, analizando la situaciones en la que, a pesar de la existencia de no linealidad del material, esta ecuación diferencial es integrable de forma inmediata (hipótesis de linealidad geométrica). Se ha estudiado el comportamiento de la viga, obteniendo la flecha y la ecuación de la elástica en función de los parámetros que definen, en cada caso, la relación tensión-deformación. 1. Introducción

Muchos problemas en Mecánica de Materiales pueden resolverse utilizando el análisis lineal [1]. Sin embargo, esta situación cambia cuando se trata de plantear y solucionar problemas no lineales. Entre las causas de no linealidad en Mecánica de Materiales se encuentran la no linealidad geométrica, la no linealidad debida al comportamiento del material y la no linealidad debida a las condiciones de contorno [2]. En todos los casos la solución analítica suele ser complicada o inexistente salvo en situaciones sencillas, por lo que es necesario recurrir a técnicas de solución mediante métodos numéricos. En los libros de Física General y Mecánica y en los textos elementales de Mecánica de Materiales se estudian únicamente problemas cuya solución puede encontrarse bajo la hipótesis del análisis lineal, mientras que los problemas no lineales apenas se analizan, aún cuando hay muchas situaciones reales bastante comunes que son claramente no lineales. En el presente trabajo se plantea una forma sencilla de introducir el concepto de no linealidad debida al comportamiento del material en los primeros cursos universitarios. Para ello se va a analizar la flexión de una viga en voladizo de material elástico no lineal. El material elástico no lineal que se ha considerado es el conocido como de tipo Ludwick [3-5] pues presenta la ventaja de incluir al material elástico lineal como caso particular, junto con un tratamiento matemático sencillo, lo cual es didácticamente interesante pues permite a los estudiantes deducir las ecuaciones para el material elástico lineal, que les son más familiares, de las más generales del material no lineal de tipo Ludwick.

2. Ecuación momento-curvatura para una viga de material elástico no lineal

Sea una viga de sección rectangular constante sometida a una serie de cargas externas que la deforman. Existe en la viga una superficie que no está ni comprimida ni estirada y que se conoce como superficie neutra [6]. Para pequeñas flexiones de vigas simples la línea que une los centros de gravedad de las secciones transversales de la viga no sufre deformación y


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se conoce como línea neutra. Esto es cierto para flexión pura. Además se considerará que que toda sección plana perpendicular a la directriz permanece plana y perpendicular a la misma después de la deformación. Si el comportamiento del material es lineal, la ley de Bernoulli-Euler indica que el momento flector es inversamente proporcional al radio de curvatura, sin embargo si el comportamiento del material no es lineal esto so se cumple.

Si el material es elástico no lineal de tipo Ludwick, la relación entre el esfuerzo σ y la deformación unitaria ε se escribe [3-5]:

nE /1εσ = (1)

donde E y n son constantes características del material. Por ejemplo, en la aleación de aluminio N.P.8 se tiene E = 455.7 MPa y n = 4.785 y para cobre endurecido E = 458.5 MPa y n = 2.160 [4]. Como σ = dF/dS y ε = Δl/l es posible escribir la fuerza dF que actúa sobre una superficie dS situada a una distancia y del eje neutro (Figura 1):

dSyEdF n/1)/( ρ= (2)

Figura 1.- Sección transversal de la viga.

Las fuerzas actúan sobre el pequeño segmento de la viga, en un sentido por encima del

eje neutro y en el otro por debajo, dando lugar a un “momento flector”, que se calcula integrando la fuerza dF multiplicada por la distancia al eje neutro (Figura 1) en una de las caras del segmento, y utilizando la ecuación (2) queda:

nnIEM /1ρ

= (3)

donde In es el “momento de orden (n + 1)/n” de la sección transversal respecto a un eje horizontal que pasa por su centro de gravedad:

∫ += Snn

n dSyI/)1( (4)

El radio de curvatura ρ de una curva de ecuación z = z(x) (ecuación de la “elástica” de

la viga) puede calcularse mediante la expresión [6]:

2/3222

])/(1[/1dxdzdxzd

+=

ρ (5)

b

h

dyy

dS

eje neutro


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Para pequeñas pendientes de la curva elástica se puede despreciar el término (dz/dx)2 frente a la unidad en la ecuación (5) y escribir la ecuación diferencial aproximada de la elástica en la forma:

n

nIEM

xdzd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=2

2 (6)

Si la sección transversal de la viga es rectangular de base b y altura h (Figura 1), de la

ecuación (4) In queda:

nnnn

n hbnnI /)12(

/)1(

1221 +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (7)

que, en el caso de comportamiento lineal del material (n = 1) da lugar al momento de inercia de la sección, I1 = bh3/12 [1].

Por otra parte, es posible calcular las tensiones que se ejercen sobre las distintas fibras. De las ecuaciones (1) y (3), teniendo en cuenta que ε = Δl/l = y/ρ, queda:

n

n

IMy /1

=σ (8)

Figura 2.- Flexión de una viga en voladizo para pequeñas pendientes. (a) Fuerzas que actúan sobre la viga. (b) Elástica de la viga y definición de la flecha.

3. Elástica y flecha para una viga en voladizo

Considérese una viga de longitud L y sección rectangular constante empotrada en un extremo (Figura 2), sobre la que se aplica una fuerza concentrada F en el extremo libre y una fuerza P uniformente distribuida a lo largo de la longitud de la viga (por ejemplo, el peso de la propia viga). El momento flector tiene la expresión [1]:

2)(2

)()( xLL

PxLFxM −+−= (9)

Sustituyendo en la ecuación diferencial de la elástica (6) para pequeñas pendientes,

ésta toma la forma:

n

nn

nxL

FLPxL

EIF

xdzd

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= )(

21)(2

2 (10)

F P

(a)

z

L x

δX

Z F(b)


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con las condiciones de contorno z(0) = 0 y z’(0) = 0. En general, la ecuación (10) debe resolverse numéricamente. Sin embargo, se pueden considerar algunos casos de interés didáctico para los que la integración es inmediata. 3.1.- Viga sometida a una fuerza puntual F en el extremo libre (F ≠ 0 y P = 0)

La ecuación de la elástica se obtiene integrando la ecuación (6):

])2()[()2)(1(

1 212 +++ −++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= nnnn

nLxLnxL

IEF

nnz (11)

Para calcular la flecha basta sustituir x = L en la ecuación (11):

n

n

n

IEF

nL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

2

2δ (12)

que para n = 1 da lugar al valor conocido δ = FL3/3EI1 [1, 6]. Otro parámetro importante es la pendiente máxima de la elástica que tiene lugar en el punto x = L y cuyo valor es:

n

n

n

Lx EIF

nL

dxdz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

= 1tan

10ϕ (13)

cuyo cuadrado tiene que ser mucho menor que la unidad para que sea válida la aproximación para pequeñas pendientes considerada en este trabajo. En la Figura 3 se han representado, para el caso E = 458.5 MPa y n = 2.160, los valores de ϕ0 y δ/L frente al parámetro ξ = Ln+1(Fn/EIn)n calculados mediante las ecuaciones (12) y (13) comparados con los valores que se obtienen resolviendo la ecuación diferencial de la elástica sin hacer ninguna aproximación para pequeñas pendientes [5]. En esta figura es fácil ver la zona de validez de la aproximación considerada en este trabajo (aproximadamente hasta ξ = 1). 3.2.- Viga sometida a una fuerza distribuida P a lo largo de su longitud (F = 0 y P ≠ 0)

En este caso la flecha es:

n

nn

n

IEP

nL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

+

+

)1(2 12

δ (14)

que para n = 1 es δ = PL3/8EI1 [1]. 3.3.- Viga sometida a una fuerza puntual F y a una fuerza distribuida P


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[ ]n

n

n

IEF

FnnPnnFnL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+++=

+

)3)(2(2)2()3(22δ (16)

Figura 3.- Valores de ϕ0 y δ/L frente al parámetro ξ calculados mediante la aproximación para pequeñas pendientes comparados con los correspondientes valores exactos.

4.- Conclusiones

Partiendo de la hipótesis de que el material del que está fabricada una viga flexionada es elástico no lineal de tipo Ludwick, se ha obtenido la ecuación diferencial de la elástica de la viga. Esta ecuación diferencial se ha simplificado considerando el caso de pequeñas pendientes de la curva elástica (que corresponde a pequeños desplazamientos de la directriz de la viga: hipótesis de linealidad geométrica) y se ha resuelto para una viga empotrada en un extremo sometida a distintos tipos de cargas. Se han obtenido las ecuaciones de la elástica y la flecha, las cuales pueden compararse con las correspondientes al caso de material elástico lineal. Este trabajo permite presentar a los estudiantes que el comportamiento elástico de las materiales no es siempre lineal y que los resultados que se obtienen son diferentes dependiendo de cómo sea este comportamiento. Por último, en el desarrollo se han utilizado conceptos físicos de gran interés en un curso de Mecánica (esfuerzo, momento flector, fuerza puntual, fuerza distribuida, elástica, momento de inercia de una sección plana, flexión, deformación, etc.), así como de cálculo infinitesimal (derivada, integral, radio de curvatura de una curva, etc.). Referencias

[1] E. P. Popov, Mecánica de Sólidos (Pearson Educación, México, 2000). [2] M. Sathyamoorthy, Nonlinear Analysis of Structures (CRC Press, Boca Raton, 1998). [3] A. M. Freudenthal, The Inelastic behavior of Engineering Materials and Structures

(John Wiley, New York, 1950). [4] G. Lewis y F. Monasa, “Large deflections of cantilever beams of non-linear materials of

the Ludwick type subjected to an end moment”, Int. J. Non-linear Mech. 17, 1 (1982). [5] K. Lee, “Large deflections of cantilever beams of non-linear elastic material under a

combined loading”, Int. J. Non-linear Mech. 37, 439 (2002). [6] R. C. Hibbeler, Mecánica de Materiales (Prentice Hall, México, 1998).

2.52.01.51.00.50.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

exacto

pequeñas pendientes

δ/L

ξ

exacto

pequeñas pendientes

ξ2.52.01.51.00.50.0

0

10

20

30

40

ϕ (°)0

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