vibraciones mecánicas - introducción a la teoría de las...

Contenido Damping 1dgl (Viscoso) Libre Casos

Vibraciones MecanicasIntroduccion a la teorıa de las vibraciones mecanicas

Profesor

Dr. Ing. Martın Sanchez

Jefe de Trabajos Practicos

Ing. Gustavo Rosenthal

Universidad Tecnologica Nacional - Facultad Regional La Plata

Departamento de Ingenierıa Mecanica

24 de Abril 2013


1 Amortiguamiento viscosoDefinicionDesarrollo analıticoEjemplo de amortiguacion viscosa

2 Sistemas de un grado de libertad con amortiguamiento viscosoDefinicion: 1gdl (Recordatorio)Ecuacion de movimiento para el sistema con amortiguamiento

3 Respuesta libre de los sistemas de 1gdl (Viscoso)Solucion de la ecuacion diferencialAmortiguamiento crıtico

4 Distintos casosSistema sobre-amortiguado - (ζ > 1)Sistema crıticamente amortiguado - (ζ = 1)Sistema sub-amortiguado - (ζ < 1)


Definicion del amortiguamiento viscoso

La amortiguacion viscosa es el mecanismo de amortiguacionmas comunmente utilizado en el analisis de vibracion.

Cuando los sistemas vibran en un medio fluido (aire, gas,agua, o aceite) la resistencia ofrecida por el fluido haceque la energıa se disipe.

La fuerza de amortiguacion es proporcional a la velocidaddel cuerpo vibrante.


Desarrollo analıtico

Amortiguamiento viscoso en placas paralelas

Una placa fija y la otra movil con velocidad v

Las velocidades del fluido intermedias varıan linealmente(entre 0 y v)

De acuerdo a la segunda ley de Newton de viscosidad:

τ = µdu

dy

donde du/dy = v/h es el gradiente de velocidades. La fuerza decorte F sera:

F = τA =µAv

h= cv

donde la constante de amortiguamiento viscoso sera:

c =µA

h


Amortiguamiento en cojinetes

La velocidad tangencial del fluido en contacto es v = Rω

Asumiendo variacion lineal =⇒ v(r) = rRω/d

La tension de corte es τ = µRω/d

La fuerza torsional en el eje sera:

T = (τA)R =2πµR3lω

d

con A = 2πRl

Ası la constante deamortiguamiento sera:

ct =T

ω=

2πµR3l

d


Recordar: Sistemas de un grado de libertad (SDoF)

¿Que son las vibraciones?Todo movimiento que se

repite despues de un intervalo

de tiempo.

¿Que son los GdL?Mınimo de coordenadas

independientes para

determinar las posiciones de

todas las partes.


Ecuacion de movimiento: Newton

La ecuacion diferencial ordinaria de 2◦ orden sera:

mx(t) + cx(t) + kx(t) = f (t)

con condiciones iniciales:

x(t=0) = X0

x(t=0) = V0


Respuesta libre con amortiguamiento (i)

La respuesta libre se basa en:

mx(t) + cx(t) + kx(t) = 0 (1)

cuya solucion es de la forma:

x(t) = Cest (2)

Introduciendo 2 en 1 ⇒ Ecuacion Caracterıstica

ms2 + cs + k = 0

con:

s1,2 =−c ±

√c2 − 4mk

2m= − c

2m±√( c

2m

)2− k

m


Respuesta libre con amortiguamiento (ii)

La solucion sera:x(t) = C1e

s1t + C2es2t

Amortiguamiento crıtico

Se define como cc al valor de c para:( cc2m

)2− k

m= 0

por lo tanto

cc = 2m

√k

m

Factor de amortiguamiento =⇒ ζ = c/cc

La solucion sera:

x(t) = C1e

(−ζ+√ζ2−1

)ω0 + C2e

(−ζ−√ζ2−1

)ω0


Sistema sobre-amortiguado - (ζ > 1)

Con ζ > 1 se obtiene que√ζ2 − 1 > 0

Las raıces s1 y s2 son reales y distintas:

s1 =(−ζ +

√ζ2 − 1

)ω0 < 0

s2 =(−ζ −

√ζ2 − 1

)ω0 < 0

con s2 << s1.

La solucion sera:

x(t) = C1e

(−ζ+√

1−ζ2)ω0t + C2e

(−ζ−√

1−ζ2)ω0t


Sistema crıticamente amortiguado - (ζ = 1)

Con ζ = 1 ambas raıces s1 y s2 son iguales y reales.

s1 = s2 = − cc2m

= −ω0

La solucion sera:

x(t) = (C1 + C2t) e−ω0t


Sistema sub-amortiguado - (ζ < 1)

Para ζ < 1 la condicion ζ2 − 1 es negativa y las raıces seran:

s1 =(−ζ + i

√1− ζ2

)ω0

s2 =(−ζ − i

√1− ζ2

)ω0

La solucion sera:

x(t) = C1e

(−ζ+i√

1−ζ2)ω0t + C2e

(−ζ−i√

1−ζ2)ω0t

x(t) = e−ζω0t

{C1e

(i√

1−ζ2)ω0t + C2e

(−i√

1−ζ2)ω0t}


Sistema sub-amortiguado - (ζ < 1)

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