1

Ecuaciones de Movimiento:Ecuaciones de Movimiento:Flujo viscosoFlujo viscoso

ClaudeNavier

(1785-1836)

GeorgesStokes

(1819-1903)

Osborne Reynolds (1842-1912)

Fluido ViscosoFluido Viscoso--Fluido NewtonianoFluido Newtoniano•• En los flujos viscosos no En los flujos viscosos no

despreciamos el efecto de despreciamos el efecto de la viscosidad sobre el la viscosidad sobre el movimiento del fluido.movimiento del fluido.

•• En los fluidos newtonianos En los fluidos newtonianos admitimosadmitimos

•• Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (caso que vamos a analizar en estas clases)(caso que vamos a analizar en estas clases)

PIprrrrrr

+−=σ

EIudivPrrrrrrr

µλ 2* +=

EPrrrr

µ2=

Ecuación de conservación de la masaEcuación de conservación de la masa

0=++∂∂ udivdivut

rr ρρρ

PIprrrrrr

+−=σ

0=+ udivDtD rρρ

No hay cambios porque no depende de la relación constitutivaNo hay cambios porque no depende de la relación constitutiva

Si el flujo es incompresibleSi el flujo es incompresible

0)( ==+∂∂

= udivdivutDt

D rrρρρ

EcEc. De . De ConservacConservac. . CantCant. . MovMov. Lineal. Lineal

•• Sustituyendo nos quedaSustituyendo nos queda

•• Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (Ecuación de Navier(Ecuación de Navier--StokesStokes))

•• Que se puede escribir Que se puede escribir también comotambién como

( ) ( ) ( )( ) ( )uudivgradpgradfDtuD

vrrrr

2* ∇+++−= µµλρρ

( ) ( )upgradfDtuD

vrrr

21∇+−= υ

ρ

( ) ( )ωυρ

rrr

rotpgradfDtuD

v +−=1

Ecuación de la VorticidadEcuación de la Vorticidad

•• Partiendo de NPartiendo de N--S bajo la S bajo la forma forma

•• Considerando un flujo Considerando un flujo incompresible y que las incompresible y que las fuerzas volumétricas fuerzas volumétricas derivan de una función derivan de una función potencial, Si aplicamos el potencial, Si aplicamos el operador rotor y operador rotor y efectuamos sucesivos efectuamos sucesivos desarrollos llegamos adesarrollos llegamos a

( ) ( )ωυρ

rrr

rotpgradfDtuD

v +−=1

( ) ( )ωυωω rrrr

2∇+= ugradDtD

Resumen EcuacionesResumen Ecuaciones

Relación de Relación de GibbsGibbsEntropía específicaEntropía específicaCoefCoef. Calóricos (. Calóricos (e=cvTe=cvT))Energía int. Esp.Energía int. Esp.ConsCons. Energía (1). Energía (1)Temperatura (1)Temperatura (1)Ecuación de Estado (1)Ecuación de Estado (1)Densidad (1)Densidad (1)ConservConserv. Masa (1). Masa (1)Presión (1)Presión (1)ConsCons. . CantCant. . MovMov (3)(3)Velocidad (3)Velocidad (3)

VariablesVariablesIncognitasIncognitas

Sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de 4x4

Desaparecen los términos de orden elevado. Permanece la no linealidad

Soluciones simples cuando se aceptan simplificaciones: v.g. si flujo unidimensional

Vt=Vt=??Vt=0Vt=0

Vn=0Vn=0Vn=0Vn=0

CondCondFronteraFronteraFluidos No Fluidos No viscososviscosos

Cond. Cond. FornteraFornteraFluidos Fluidos RealesReales

2

ObjetivosObjetivos

•• Analizar la formulación de las ecuaciones de Analizar la formulación de las ecuaciones de conservación considerando un fluido newtoniano e conservación considerando un fluido newtoniano e incompresibleincompresible

–– AdimensionalizaciónAdimensionalización de de laslas ecuacionesecuaciones de de conservaciónconservación–– NúmeroNúmero de Reynolds de Reynolds críticocrítico: regimen laminar: regimen laminar-- régimenrégimen

turbulentoturbulento–– InterpretacionesInterpretaciones físicasfísicas del del númeronúmero de Reynoldsde Reynolds–– FlujosFlujos con el con el mismomismo númeronúmero de Reynoldsde Reynolds–– CasosCasos límitelímite del del númeronúmero de Reynoldsde Reynolds–– Panorama de Panorama de soluciónsolución de de problemasproblemas par par fluidosfluidos newtonianosnewtonianos..

AdimensionalizaciónAdimensionalización de las de las ecuaciones de conservaciónecuaciones de conservación

t*t*=t=t/(L/U/(L/U∞∞))L/UL/U∞∞tttiempotiempo

presiónpresión

densidaddensidad

VelocidadVelocidad

LongitudLongitud

MagnitudMagnitud

PP

ρρ

(x(x11,x,x22,x,x33))

Variables Variables RealesReales

P*P*=P=P//ρρ00UU∞∞22ρρ00UU∞∞22

ρρ *= *= ρρ //ρρ00ρρ00

L/UL/U∞∞

(x(x11*,x*,x22*,x*,x33*)=(x*)=(x11/L, x/L, x22/L, x/L, x33/L)/L)LL

Variables AdimensionalesVariables AdimensionalesParámetro que Parámetro que adimensionalizaadimensionaliza

( ) ( ) ( )( )∞∞∞= UuUuUuu /,/,/ 321*r

),,( 321 uuuu =r

Ecuaciones de ConservaciónEcuaciones de Conservación0=++

∂∂ udivdivut

rr ρρρ

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )**

*

*

*

*

*

****

**0

*0

****

*0

*

1

0

divLz

zzy

yyx

xx

div

zyxdiv

UudivLdivLUutt

t

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

=++∂∂

∂∂

∞∞

rr ρρρρρρ

( ) ( ) ( ) ( ) 0*******

*

=++∂∂ udivdivut

rr ρρρ

t=tt=t*(L/U*(L/U∞∞))

ρρ = = ρρ** ρρ00

(x(x11,x,x22,x,x33)=(x)=(x11* L, x* L, x22** L, xL, x33

* * L)L)

( ) ( ) ( )( )∞∞∞= UuUuUuu *3

*2

*1 ,,r

( ) 0** =udiv rFlujo Incompresible

Ecuaciones de ConservaciónEcuaciones de Conservación

( ) ( )upgradfDtuD

vrrr

21∇+−= υ

ρ

t=tt=t*(L/U*(L/U∞∞))

P=PP=P* * ρρUU∞∞22

ρρ = = ρρ** ρρ00

(x(x11,x,x22,x,x33)=(x)=(x11* L, x* L, x22** L, xL, x33

* *

L)L)

( ) ( ) ( )( )∞∞∞= UuUuUuu *3

*2

*1 ,,r

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )2*2

2

2*

2*

22*

2*

22*

2*

22*

2*

22*

2*

22*

2*

22*

2*

22*

2*

22*

2*

22

2*

2

2*

2

2*

2

2*

2

2*

2

2*

2

2*

2

2*

2

2*

22*

**

*

*

*

*

*

****

1

1

∇=∇

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂=∇

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

L

izz

zyy

yxx

xi

zz

zyy

yxx

xi

zz

zyy

yxx

x

izyx

izyx

izyx

gradL

izz

zi

yy

yi

xx

xgrad

iz

iy

ix

grad

zyx

zyx

zyx

zyx

(((

(((

(((

(((

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∞∞

∞∞∞

∇+−=

=+∂∂

∂∂

UuL

UpgradL

f

UugradL

Uutt

tUu

v*2*

22

0**

0*

****

*

*

111

1

rr

rrr

υρρρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞∞∞∞∞ ∇+−=+

∂∂ Uu

LUpgrad

LfUugrad

LUu

LU

tu

v*2*

22

0**

0*

***2

*

* 1111 rrrrr

υρρρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2*2

**2

***

2*

2

*

* 1 uLUpgrad

LUfugrad

LUu

LU

tu

vrrrr

r

∇+−=+∂∂ ∞∞∞∞ υ

ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2****2

****

* 1 uLU

pgradULfugradu

tu

vrrrr

r

∇+−=+∂∂

∞∞

υρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2****2

****

*

Re111 upgrade

Frugradu

tu

zr(rr

r

∇++−=+∂∂

ρ

υLU∞=RegL

UFr ∞=

Video

ResumiendoResumiendo

( ) ( ) ( )*2******

*

Re11 upgrad

tDuD rr

∇+=ρ

( ) ( ) ( ) ( ) 0*******

*

=++∂∂ udivdivut

rr ρρρ

( ) ( )upgradDtuD rr

21∇+= υ

ρ

0=++∂∂ udivdivut

rr ρρρ

A resolver con las condiciones fronteras e iniciales del escurrA resolver con las condiciones fronteras e iniciales del escurrimientoimiento

Vt=0Vt=0Vn=0Vn=0

VtVt*=0*=0VnVn*=0*=0

3

AnálogamenteAnálogamente

( ) ( )ωυωω rrrr

2∇+= ugradDtD

0=++∂∂ udivdivut

rr ρρρ

( ) ( )*2******

*

Re1 ωωωω rrr

r

∇+= gradtD

D

( ) ( ) ( ) ( ) 0*******

*

=++∂∂ udivdivut

rr ρρρ

Número de Reynolds CríticoNúmero de Reynolds CríticoRégimen LaminarRégimen Laminar--Régimen TurbulentoRégimen Turbulento

Osborne Reynolds (1842-1912)

VideoVideo

Flujo Laminar Flujo Laminar vsvs Flujo TurbulentoFlujo Turbulento

Video

Video

Flujo Laminar Flujo Laminar vsvs Flujo TurbulentoFlujo Turbulento

•• VideoVideo

Interpretaciones Físicas del Número Interpretaciones Físicas del Número de Reynoldsde Reynolds

•• Relaciones entre Relaciones entre FuerzasFuerzas

–– Fuerzas de InerciaFuerzas de Inercia

–– Fuerzas viscosasFuerzas viscosas

–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds

( )

( ) ( )L

LUuu

≈∇

≈∇ ∞2

ρρ rr

( ) ( ) ( )2

22

2

LLUu ≈∇≈∇ ∞µµ r

( ) ( )upgradfDtuD

vrrr

21∇+−= υ

ρ

υµ

ρLU

LULU

asVisFInerciaF ∞

∞

∞

=

==

2

2

cos..Re

Video Re elevado Esfera1

Video Re bajo Esfera 2

Interpretaciones Físicas del Número Interpretaciones Físicas del Número de Reynoldsde Reynolds•• Relaciones entre Relaciones entre

longitudes característicaslongitudes características

–– Longitud Longitud CaractCaract. Difusión . Difusión ViscosaViscosa

–– Longitud de ConvecciónLongitud de Convección

–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds

τυ=2ViscdifL

τ∞=ULconv

( )( ) υτυ

τ LUULL

LL

visc

convcaractong ∞∞ === 2Re

[ ]sm2

=υ

4

Interpretaciones Físicas del Número Interpretaciones Físicas del Número de Reynoldsde Reynolds•• Relaciones entre tiempos Relaciones entre tiempos

característicoscaracterísticos

–– Tiempo Característico de Tiempo Característico de difusióndifusión

–– Tiempo Característico de Tiempo Característico de convecciónconvección

–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds

υτ

2Viscdif

dif

L=

∞

=ULconv

convτ

υττ LU

conv

dif ∞==Re

Interpretaciones Físicas del Número de ReynoldsInterpretaciones Físicas del Número de Reynolds

•• Relaciones entre flujosRelaciones entre flujos–– Flujo Flujo convectivoconvectivo

vorticidadvorticidad

–– Flujo Flujo difusoriodifusorio vorticidadvorticidad

–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds

( ) ( )ωµωρωρ rrrr

2∇+= ugradDtD

( ) ( )LL

Uu

LU

LUUu

≈∇≈×∇≈

=≈∇

∞

∞∞∞

rr

rr

ω

ρρωρ 2

2

2

( ) ( )2

2

32

LLUu

LU

≈∇≈×∇=

≈∇

∞

∞

r

r

ω

µωµ

υLU

FlujoFlujo

dif

conv ∞==Re

Interpretaciones Físicas del Número de ReynoldsInterpretaciones Físicas del Número de Reynolds

•• Relaciones entre flujosRelaciones entre flujos

–– Flujo Flujo convectivoconvectivo cantidad cantidad de movimientode movimiento

–– Flujo Flujo difusoriodifusorio cantidad de cantidad de movimientomovimiento

–– Número de ReynoldsNúmero de Reynolds

( ) ( )L

LU

LUUuu

≈∇

=≈∇ ∞∞∞

2

ρρρ rr

( ) ( )2

2

22

L

LUu

≈∇

≈∇ ∞µµ r

υLU

FlujoFlujo

dif

conv ∞==Re

( ) ( )upgradfDtuD

vrrr

2∇+−= µρρ

ResumiendoResumiendo

Flujos dominados por los Flujos dominados por los efectos de Inerciaefectos de InerciaFenómenos de convección Fenómenos de convección prevalecen sobre los deprevalecen sobre los deDifusiónDifusión

Flujos dominados por Flujos dominados por los efectos viscososlos efectos viscososFenómenos de difusión Fenómenos de difusión prevalecen sobre los de prevalecen sobre los de convecciónconvección

ττconvconv<< << ττdifdifττdifdif<< << ττconvconv

FluFluconvconv>>>>FluFludifdifFluFludifdif>>>>FluFluConvConv

L >>L L >>L ViscosasViscosasL L Viscosas Viscosas >>L>>L

FFInerciaInercia >> F >> F Viscosas Viscosas F F Viscosas Viscosas >>F >>F InerciaInercia

Re grandesRe grandesRe pequeñosRe pequeños

Flujos con el mismo número de ReynoldsFlujos con el mismo número de Reynolds

( ) ( )*2******

*

Re1 ωωωω rrr

r

∇+= gradtD

D

Video

Mas que caracterizar los flujos indicando que son con alta o bajMas que caracterizar los flujos indicando que son con alta o baja viscosidad, alta o a viscosidad, alta o baja velocidad, alta o baja dimensión característica resulta másbaja velocidad, alta o baja dimensión característica resulta más apropiado apropiado analizarlos en términos del número de Reynolds analizarlos en términos del número de Reynolds

Video0Video0 Video1Video1 Video2 Video2 Video3Video3 Video4Video4 Video5Video5 Video6Video6

En coordenadas adimensionales el campo de velocidades o de vortiEn coordenadas adimensionales el campo de velocidades o de vorticidad para una cidad para una dada condición frontera e inicial sólo depende de un único parámdada condición frontera e inicial sólo depende de un único parámetro adimensional: etro adimensional: El número de ReynoldsEl número de Reynolds

Esto permite efectuar estudios sobre maquetas o valernos de resuEsto permite efectuar estudios sobre maquetas o valernos de resultados ltados experimentales obtenidos previamenteexperimentales obtenidos previamente

( ) ( ) ( )*2******

*

Re11 upgrad

tDuD rr

∇+=ρ

Algunos valores de Re en la Algunos valores de Re en la naturalezanaturaleza•• Glaciar ReGlaciar Re≈≈1010--1111

•• Bacteria en Agua ReBacteria en Agua Re≈≈1010--55

•• Espermatozoides en líquido Espermatozoides en líquido seminal Reseminal Re≈≈1010--33

Baja Velocidad

Pequeña dimensión

5

•• Pez de Acuario RePez de Acuario Re≈≈101022

•• Persona nadando RePersona nadando Re≈≈101055

•• Serpiente de Agua ReSerpiente de Agua Re≈≈101066

•• Pájaro RePájaro Re≈≈101066

•• Tiburón ReTiburón Re≈≈101088

Flujos para los cuales el número de Flujos para los cuales el número de Reynolds es muy bajo (Flujo Reynolds es muy bajo (Flujo StokesStokes))•• Se ajustan a este tipo Se ajustan a este tipo

de modelos de modelos fenómenos de fenómenos de –– Lubricación a través Lubricación a través

de fluidosde fluidos–– Procesos como Procesos como

producción producción filmsfilms, , cintas magnéticascintas magnéticas

–– Biomecánica Biomecánica

( ) ( ) ( )*2******

*

Re11 upgrad

tDuD rr

∇+=ρ

L

Video Cavidad

Propiedad: Flujos con inercia Propiedad: Flujos con inercia cuasicuasi nula nula son son cinemáticamentecinemáticamente reversiblesreversibles

Video 1

Video 2

Flujos para los cuales el número de Flujos para los cuales el número de Reynolds es muy altoReynolds es muy alto

( ) ( ) ( )*2******

*

Re11 upgrad

tDuD rr

∇+=ρ

Se ajustan a este tipo de modelos Se ajustan a este tipo de modelos los flujos externoslos flujos externos

710Re ≈

610Re ≈

L

U∞

LU∞

Propulsión y número de ReynoldsPropulsión y número de Reynolds

•• Flujos con alto Re Flujos con alto Re (inercia domina) Debe (inercia domina) Debe lograr la impulsión a lograr la impulsión a partir de fuerzas de partir de fuerzas de InerciaInercia

Impulsión por fuerzas de inercia (Acción-Reacción)

A: Cohete

B: Jet detrás de la lancha

C: Impulso de líquido con la cola

•• Flujos con bajo Re (viscoso domina) Debe Flujos con bajo Re (viscoso domina) Debe lograr el impulso a partir de la generación lograr el impulso a partir de la generación de fuerzas viscosasde fuerzas viscosas

Video 1 Propulsores en agua Re~103

Video 2 Propulsor en glicerina Re<<1

Video 3 Propulsor en glicerina Re<<1

Flujos Re ~10-5 Video

ConclusionesConclusiones

•• Un fluido newtoniano escurriendo en régimen incompresible Un fluido newtoniano escurriendo en régimen incompresible desarrolla un campo de velocidades que depende de un parámetro desarrolla un campo de velocidades que depende de un parámetro adimensional : el número de Reynoldsadimensional : el número de Reynolds

•• Este parámetro cuantifica la importancia relativa de los fenómenEste parámetro cuantifica la importancia relativa de los fenómenos os de convección frente a los de difusiónde convección frente a los de difusión

•• Es un parámetro que indica asimismo la proximidad a la pérdida dEs un parámetro que indica asimismo la proximidad a la pérdida de e estabilidad de la solución que se pueda hallar. Permite entoncesestabilidad de la solución que se pueda hallar. Permite entoncesconocer si el flujo se encuentra en régimen laminar o en régimenconocer si el flujo se encuentra en régimen laminar o en régimenturbulentoturbulento

•• Si el flujo es a bajos números de Reynolds el escurrimiento es Si el flujo es a bajos números de Reynolds el escurrimiento es laminar y las soluciones de NS son válidas.laminar y las soluciones de NS son válidas.

•• Si el flujo es turbulento se requiere reformular el problema parSi el flujo es turbulento se requiere reformular el problema para a tener en cuenta este fenómeno tener en cuenta este fenómeno