UNIVERSIDAD DE HOLGUNOSCAR LUCERO MOYA

FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE MECNICA APLICADA

VIBRACIONES MECNICAS

Dr C Ing. Ramn Martnez Batista

2010

TABLA DE CONTENIDO.

Contenido. Pg.1. GENERALIDADES. . 1 1.1. Introduccin. .. 1 1.2. Movimiento armnico. .. 5 1.3. Respuesta en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. 72. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. ... 9

2.1. Sistema masa - resorte - amortiguador. .. 92.2. Vibraciones libres no amortiguadas. . 102.3. Vibraciones libres amortiguadas. ... 122.4. Vibraciones forzadas no amortiguadas. 202.5. Vibraciones forzadas amortiguadas. . 242.6. Equilibrio de fuerzas en el sistema. .. 302.7. Transmisibilidad. .. 312.8. Vibraciones torsionales. .. 332.9. Vibraciones excitadas desde la base. .. 352.10. Problemas resueltos. . 39

3. SISTEMAS DE DOS Y MS GRADOS DE LIBERTAD. 553.1. Introduccin. .. 553.2. Vibraciones libres no amortiguadas. . 563.3. Vibraciones libres amortiguadas. ... 603.4. Vibraciones forzadas amortiguadas. . 623.5. Ejemplo: Modelo dinmico de una zaranda de clasificacin de minerales. 64

3.6. Sistemas de ms de dos grados de libertad. .. 76 3.7. Vibraciones libres no amortiguadas para ms de dos grados de libertad .. 81 3.8. Vibraciones forzadas amortiguadas para ms de dos grados de libertad .. 83 3.9. Anlisis modal. .. 89 3.10. Problemas resueltos ...................................................................... .......................... 944. APLICACIONES DE LA TEORA DE LAS VIBRACIONES. .. 97 4.1. Introduccin. .... 97 4.2. Aislamiento de las vibraciones. .. 98 4.3. Vibraciones laterales en rboles. 118 4.4. Vibraciones laterales (de flexin) de vigas. . 121 4.5. Vibraciones en mquinas mviles. . 127 4.6. Peligros de la exposicin a las vibraciones. . 135 4.7. Problemas resueltos. 1405. MODELOS DINMICOS DE LOS SISTEMAS VIBRATORIOS. .. 157 5.1. Sustitucin de masas por masas concentradas equivalentes. . 157 5.2. Reduccin de masas y momentos de inercia. . 160 5.3. Reduccin de fuerzas y momentos de fuerzas. .. 161 5.4. Parmetros de rigidez. . 163 5.5. Parmetros de rigidez torsional en transmisiones mecnicas. . 168 5.6. Reduccin de los parmetros inerciales, de rigidez y de amortiguamiento. ... 174 5.7. Simplificacin de los modelos dinmicos. . 177 5.8. Fuentes excitadoras de vibraciones. . 181BIBLIOGRAFA. . 213

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1. GENERALIDADES. 1.1. Introduccin. La teora de las vibraciones mecnicas estudia un conjunto de fenmenos que han atrado la atencin no slo del tcnico y del cientfico, sino incluso de cualquier hombre que en su vida corriente haya encontrado alguna de las muy diversas manifestaciones de los mismos.

Los sistemas mecnicos, al sufrir un choque, o al ser sometidos a la accin de fuerzas variables con el tiempo, principalmente peridicas, responden variando sus estados de equilibrio y, consecuentemente, presentan cambios de configuracin que perturban su normal funcionamiento, resultan molestos para el personal que se encuentra en su presencia y acortan su vida til a causa del dao producido al material por efecto de la fatiga y de las sobrecargas.

Una caracterstica muy significativa de dichos fenmenos, cuando la excitacin tiene unas frecuencias particulares, para cada sistema dado, son los cambios de configuracin que alcanzan amplitudes notables y ocasionan generalmente un fallo estructural del material sometido a esfuerzos de rotura. Este riesgo existe incluso cuando las intensidades de la acciones excitadoras son muy pequeas.

Sin embargo, no conviene olvidar que estos fenmenos de efectos perniciosos, que suponen una primera preocupacin del tcnico y son los ms conocidos del profano, presentan, por el contrario, un aspecto enormemente positivo, derivado de la posibilidad de obtener con estmulos insignificantes efectos notables, que, canalizados convenientemente por la tcnica, ha llevado a muchas aplicaciones provechosas, tambin familiares para el profano, tanto en fenmenos mecnicos, objeto de nuestro estudio, como en otros fenmenos anlogos que se presentan en los campos electromagntico, acstico, trmico, etc.

Cualquier proyecto industrial de una estructura que haya de estar sometida a acciones peridicas de este tipo, debe necesariamente ser elaborado sin prescindir del conocimiento de esta materia, cuyo olvido conduce a fallos lamentables, de los que ha habido muchos y contundentes ejemplos en la historia de las realizaciones tcnicas.

Historia de la Teora de las Vibraciones. Los orgenes de la Teora de las Vibraciones se remonta al diseo y desarrollo de instrumentos musicales. Se conoce que en la China y en la India existieron tambores, flautas e instrumentos de cuerdas desde varios milenios antes de nuestra era (ANE). Tambin los antiguos egipcios y griegos estudiaron el sonido desde los puntos de vista prctico y analtico. Los egipcios conocan el arpa desde el ao 3000 ANE. El filsofo, matemtico y msico griego Pitgoras (conocido por el famoso teorema de la Geometra, que lleva su nombre), quien vivi entre los aos 582 y 502 ANE, realiz experimentos sobre los sonidos generados por los herreros (forjadores) y los relacion con la Msica y la Fsica. Los chinos desarrollaron un sismgrafo mecnico (instrumento para detectar y medir las vibraciones producidas por los terremotos) dos siglos antes de nuestra era.

La teora moderna de las vibraciones fue probablemente establecida por cientficos (matemticos y fsicos) tales como Robert Hooke (conocido por la famosa Ley de Hooke), que vivi entre 1635 y 1703 de nuestra era (DNE), quien experiment sobre las vibraciones de cuerdas; Issac Newton (1642 1727), quien nos leg el clculo matemtico y las leyes de la mecnica, que permiten analizar las vibraciones; Daniel Bernoulli (1700 1782) y Leonard Euler (1707 1783), quienes estudiaron las vibraciones en vigas y tambin exploraron la mecnica de fluidos y la dinmica; Joseph Lagrange (1736 1813), quien estudi las vibraciones de cuerdas y tambin el enfoque energtico en la formulacin de las ecuaciones de la dinmica; Charles Coulomb (1736 1806), que estudi las vibraciones torsionales y la friccin; Joseph Fourier (1768 1830), quien desarroll la teora del anlisis de frecuencia de las seales; y Simeon-Dennis Poisson (1781 1840), que analiz las vibraciones en membranas y realiz estudios sobre la elasticidad (conocido por el coeficiente de Poisson).

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Como resultado de la revolucin industrial y el desarrollo de mquinas con elementos rotatorios, que llev aparejado, surgi una urgente necesidad de avances en el anlisis y diseo de dichas mquinas, y en la medicin y el control de las vibraciones. Muchos mritos se deben atribuir a los cientficos e ingenieros que continuaron desarrollando esta teora. Entre los ms destacados estn: Rankine (1820 1872), quien estudi las velocidades crticas de rotacin de los rboles; Kirchhoff (1824 1887), que analiz las vibraciones en lminas; Rayleigh (1842 1919), quien hizo contribuciones a la teora de las vibraciones y el sonido, y desarroll tcnicas de clculo de las frecuencias naturales; de Laval (1845 1913), que estudi el problema del balanceo de discos rotatorios; Poincar (1854 1912), que estudi las vibraciones no lineales; y Stodola (1859 1943), quien estudi las vibraciones de rotores, cojinetes y sistemas continuos.

Notables ingenieros investigadores, que hicieron grandes aportes a la teora y prctica de las vibraciones, fueron tambin: Timoshenko, Den Hartog, Clough y Crandall.

A continuacin se exponen los conceptos y definiciones ms importantes, referentes a la teora de las vibraciones. Todos ellos aparecern frecuentemente en el desarrollo del curso y quedarn suficientemente aclarados en las partes correspondientes; sin embargo, parece aconsejable exponerlos aqu, con objeto de familiarizar al lector con el lxico de la materia, al tiempo que se le suministra un esquema de conjunto de las ideas ms utilizadas.

Movimiento vibratorio. Movimiento vibratorio, o vibracin, es la variacin de la configuracin de un sistema con respecto al tiempo, alrededor de una posicin de equilibrio estable. Generalmente supone variaciones relativamente pequeas de la configuracin, porque fuera de ellas dejan de tener validez la mayora de las hiptesis que se establecen para su estudio; pero esto no implica una restriccin importante en su concepto.

A veces se emplea la palabra oscilacin como sinnimo de vibracin, aunque la frecuencia de su uso es menor cuando se trata de las vibraciones mecnicas, en comparacin con el estudio de las de otra naturaleza, como, por ejemplo, las elctricas, electromagnticas, acsticas, trmicas, etc. No hay definiciones precisas, y los autores no han llegado a un completo acuerdo sobre qu se debe entender por vibracin y qu por oscilacin. Parece que oscilacin deba tener el sentido ms amplio de variacin de una magnitud, que adquiere alternativamente valores mayores y menores que un determinado valor de referencia. Este curso se limita al estudio de las vibraciones mecnicas que se presentan en los sistemas msicos, es decir, en los sistemas que son objeto de estudio de la mecnica y, ms concretamente, a sistemas ideales de un nmero finito de puntos-masa, o bien a sistemas mas reales de un nmero infinito, pero dentro de la consideracin de slido elstico, y prescindiendo, por tanto, de vibraciones en medios fluidos.

Vibraciones libres y forzadas. Hablaremos de vibraciones libres, cuando se producen por algn desequilibrio inicial del sistema, que cesa inmediatamente, y sin la accin de fuerzas o momentos excitadores exteriores a lo largo del tiempo. Las vibraciones forzadas se producen bajo la accin de fuerzas o momentos excitadores exteriores variables con el tiempo.

En el primer caso el movimiento tiene su origen solamente en la perturbacin inicial (campos vectoriales de desplazamientos y velocidades iniciales), mientras que, en el segundo, se superpone a esta causa un permanente estmulo de fuerzas o momentos claramente determinados, funciones del tiempo y que, generalmente, no dependen del movimiento del sistema.

Vibraciones autoexcitadas. Es un caso particularmente interesante, que no encaja rigurosamente en ninguna de las dos clases de vibraciones definidas. Se trata de vibraciones que tienen su origen en el

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propio movimiento del sistema, es decir, que son funciones de los vectores posicin, velocidad, e incluso aceleracin del mismo, en cada instante.

Si no existe perturbacin inicial, el sistema permanece en su posicin de equilibrio, pero al presentarse alguna perturbacin, el movimiento que se inicia origina fuerzas excitadoras de vibraciones. A pesar de la existencia de excitacin y debido al especial carcter de la misma, estas vibraciones tienen mas afinidad con las vibraciones libres que con las forzadas.

Choques. Se debe resaltar la relacin que pueden presentar los choques con las vibraciones, que consiste simplemente en el hecho de que aquellos originan una perturbacin inicial de la posicin de equilibrio del sistema, que generalmente conduce a subsiguientes vibraciones libres, o bien, en algunos casos, forzadas (s durante el movimiento que sigue al choque actan fuerzas o momentos directamente aplicados).

En el momento del choque, es decir, al someter el sistema durante un tiempo considerablemente pequeo a fuerzas considerablemente grandes (lo que se entiende por someterlo a percusiones o impulsiones), su posicin cambia considerablemente poco, pero su campo de velocidades adquiere altos valores, que hacen que el momento final del choque se presente como momento inicial de un proceso vibratorio.

Excitacin determinista y excitacin aleatoria. Se presenta uno u otro caso, segn sea que la excitacin, funcin del tiempo, tenga un carcter determinista o aleatorio, en el conocido sentido con que

estos conceptos se diferencian en Matemtica. Las vibraciones que se presentan, por una u otra excitacin, tienen, en correspondencia, el correspondiente carcter determinista o aleatorio.

El primer caso se presenta cuando la excitacin, funcin del tiempo, puede ser perfectamente descrita por medio de una expresin matemtica exacta. Es una excitacin determinista la fuerza de inercia, que surge en una masa rotatoria desbalanceada, como se muestra en la figura 1.1.1.

El segundo caso se presenta cuando la excitacin, funcin del tiempo, aparece al azar. Es una excitacin aleatoria la que producen las fuerzas, que surgen en los resortes y amortiguadores de la suspensin de un automvil, al desplazarse este sobre una superficie, en la que aparecen irregularidades al azar, como se muestra en la figura 1.1.2.

Fuerzas conservativas y no conservativas. El hecho de que las acciones que intervengan, tanto aplicadas como de ligadura, tengan carcter conservativo o no conservativo, tiene gran importancia para el movimiento vibratorio resultante, ya que condicionan en gran manera las caractersticas del mismo.

Conocemos como fuerzas conservativas aquellas que derivan de un potencial, es decir, aquellas en que el vector fuerza es el gradiente de una funcin potencial y el trabajo elemental de ellas es una diferencial exacta o diferencial total. Consecuentemente se tiene que el trabajo total entre dos instantes slo depende de las configuraciones en estos instantes, sin depender de las configuraciones intermedias.

No conservativas son aquellas que no cumplen dichos requisitos. En las primeras, la energa que comunican al sistema entre dos posibles pasos sucesivos del sistema por la misma configuracin es

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nula, mientras que en las segundas, generalmente es distinta de cero. Segn sea positivo o negativo este valor no nulo, las fuerzas no conservativas se conocen respectivamente por amplificativas o disipativas.

Entre las conservativas son importantes las fuerzas de ligadura de tipo elstico (siempre que las deformaciones se encuentren por debajo del limite elstico) cuyo trabajo se traduce en energa de deformacin (flexin, torsin, traccin, etc.), as como algunas msicas, como las fuerzas gravitatorias, aunque estas son generalmente de una importancia relativa muy pequea.

Entre las no conservativas son muy importantes las fuerzas disipativas de rozamiento. Los rozamientos ms importantes son el conocido por viscoso (proporcional a la velocidad), los del tipo Coulomb o rozamientos superficiales en el deslizamiento (mas secundarios son los de rodadura y pivotamiento) y los de histresis o rozamiento interno molecular de los slidos.

Las fuerzas no conservativas amplificativas son ms excepcionales; pero, cuando se presentan, tienen un efecto muy significativo. Las vibraciones autoexcitadas tienen su origen en fuerzas de este tipo.

Sistemas lineales y no lineales. Los sistemas se conocen por lineales cuando la relacin entre excitacin y respuesta admite el principio de superposicin. Esto se traduce en que el modelo matemtico que se plantea en su estudio, bien en forma de ecuaciones diferenciales, ecuaciones integrales, etctera, es lineal. Los no lineales, por exclusin, son los que no renen estas caractersticas.

Sin embargo, bien entendida, la linealidad es una hiptesis en la formulacin matemtica del problema, a la que unos sistemas responden mejor que otros para una cierta bondad de aproximacin exigida en los resultados. En todo caso, el estudio lineal siempre constituye una primera aproximacin y con satisfactoria validez para un campo limitado de variabilidad de los parmetros que definen el problema.

El estudio de los sistemas no lineales se encuentra poco avanzado, como sucede en otras materias, debido al estancamiento propio de los modelos matemticos correspondientes.

Grados de libertad. Este concepto tiene el sentido general que se le da en mecnica. Aunque sobradamente conocidas, conviene que, a titulo de recordatorio, se puntualicen algunas ideas. Se entienden por parmetros o coordenadas generalizadas, las variables que, en nmero mnimo, definen la configuracin del sistema, teniendo en cuenta las relaciones de ligadura. Sin embargo, grados de libertad es el nmero mnimo de variaciones virtuales independientes de los parmetros, que definen el desplazamiento virtual, mas general posible, del sistema, compatible con las ligaduras.

Si el sistema es holnomo, es decir, si todas las ligaduras son holnomas (analticamente expresables por relaciones finitas entre las coordenadas) el nmero de coordenadas generalizadas y el de grados de libertad coinciden. Sin embargo, en sistemas no holnomos, es decir, con alguna ligadura no holnoma, el nmero de parmetros es superior al nmero de grados de libertad y su diferencia es el nmero de ligaduras no holnomas que presentan.

Los sistemas que se estudian normalmente son holnomos y la coincidencia anterior evita esta matizacin, pero pueden estudiarse sistemas no holnomos en los que conviene tener presente la diferencia expuesta. Los grados de libertad de un sistema real son infinitos pero las idealizaciones de los mismos, o hiptesis simplificativas que se les aplican, hacen posible realizar el estudio sobre un sistema de un nmero finito de grados de libertad y en muchos casos, bastante satisfactoriamente sobre sistemas de un nmero muy pequeo de grados de libertad.

AdministradorResaltado

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Acoplamiento. Se dice que un sistema presenta acoplamiento entre dos parmetros, cuando la variacin de uno de ellos produce fuerzas que tienden a modificar el valor del otro. Segn la naturaleza de estas fuerzas, se conoce por acoplamiento elstico, msico, disipativo, etc.

Movimientos peridicos y aperidicos. Los movimientos se dicen peridicos cuando la configuracin del sistema se repite en intervalos iguales de tiempo. El valor de este intervalo se conoce por perodo; su inverso es llamado frecuencia. Se llaman aperidicos, cuando no tienen aquellas caractersticas.

En estos ltimos, si los valores mximos de todos los parmetros se hacen sucesivamente mas pequeos, se dicen amortiguados; y si el valor mximo de algn parmetro aumenta, se llaman amplificados.

Intervalos transitorio y estacionario. En la concurrencia de un movimiento peridico y uno aperidico amortiguado superpuestos, existe un primer intervalo de tiempo, en el cual el movimiento aperidico tiene valores apreciables, que se conoce por intervalo transitorio. Al intervalo que sigue, en el cual el movimiento aperidico prcticamente ha desaparecido, se le conoce por intervalo estacionario.

1.2. Movimiento armnico. Dado que las excitaciones ms frecuentes son armnicas, lo cual se traduce en una variacin temporal de las vibraciones tambin de tipo armnico, este movimiento adquiere una singular importancia en el estudio de fenmenos vibratorios. En la figura 1.2.1. se presenta la descripcin grfica del movimiento armnico simple.

Incluso cuando las excitaciones son aleatorias, si el sistema es lineal, con la ayuda del anlisis de Fourier y del principio de superposicin, que es posible aplicar, podemos concretarnos al estudio de las vibraciones mecnicas con funciones armnicas.

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Este movimiento es sobradamente conocido y no nos extenderemos en su exposicin. En la figura 1.2.2. se presenta el vector asociado a dicho movimiento y sus derivadas (velocidad y aceleracin). En la figura se observa que, dado dicho movimiento por una funcin coseno, por ejemplo:

)tcos(X)t(x

La velocidad estar dada por la expresin:

)2

tcos(X)t(Xsen)t(x

La aceleracin vendr dada por la expresin:

)tcos(X)tcos(X)t(x 22

De estas expresiones se deduce que la velocidad y la aceleracin son funciones armnicas de igual frecuencia que el desplazamiento y estarn adelantadas 90 y 180, respectivamente, a dicho desplazamiento. Las constantes que intervienen se conocen por:

X, amplitud ;

, frecuencia angular o circular;

, fase;

Y las que se derivan de : 2/F : frecuencia;

/2T : perodo.

Es interesante resaltar, por ser muy til en los desarrollos matemticos, que:

)t(iXeR)tcos(X)t(x Y, as mismo:

)t(iXeI)t(Xsen)t(x Donde R e I indican parte real y parte imaginaria del nmero complejo que comprenden. Expresado el movimiento por la funcin coseno, es inmediato que su velocidad:

)t(ieXiR)t(senX)t(x Y su aceleracin:

)t(i22 eXR)tcos(X)t(x Se obtienen expresiones anlogas, tomando una funcin seno para representar el movimiento.

Se pueden utilizar otras formas de representar o interpretar el movimiento armnico simple. En la figura 1.2.3. se presenta el esquema vectorial

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cinemtico de un movimiento armnico simple. Los vectores velocidad y aceleracin se adelantan 90 grados y 180 grados, respectivamente, al vector desplazamiento.

1.3. Respuesta en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Las vibraciones son las respuestas oscilatorias de los sistemas mecnicos dinmicos. Las vibraciones naturales, en estos sistemas, ocurren debido a las conversiones sucesivas (directas e inversas) entre las dos formas de almacenamiento de la energa mecnica: la energa cintica y la energa potencial.

La energa cintica es la energa acumulada en las masas de los elementos, que se mueven a una determinada velocidad. La energa potencial se presenta en dos modos: la energa potencial elstica, que se acumula en los elementos que sufren determinadas deformaciones elsticas (el caso tpico es el de los resortes o muelles); y la energa potencial gravitacional, que depende de la altura, a la que se encuentra el cuerpo, con respecto a una referencia dada.

En una determinada posicin, cuando la velocidad es nula, el sistema, deformado al mximo, poseer solamente energa potencial, que luego se ir transformando en energa cintica, a medida que disminuye la deformacin y aumenta la velocidad. En una determinada posicin intermedia, el sistema slo poseer energa cintica, ya que la deformacin ser nula y la velocidad ser mxima. Alcanzada esta posicin, el sistema continuar movindose por inercia, y la energa cintica se ir transformando en energa potencial, a medida que el sistema se acerca a la deformacin mxima. Este ciclo se repite sucesivamente, manteniendo las vibraciones en el sistema.

Se debe notar, sin embargo, que una fuerza variable peridicamente puede obligar a un sistema dinmico a responder con un movimiento vibratorio, usualmente a la misma frecuencia de la fuerza excitadora, an en ausencia de las dos formas de almacenamiento de energa, mencionadas anteriormente. Tales movimientos se denominan vibraciones forzadas, a diferencia de las vibraciones libres o naturales, que ocurren por las conversiones sucesivas de energa potencial a energa cintica y viceversa, que se producen despus de excitar el sistema con determinadas perturbaciones iniciales.

Las vibraciones mecnicas, libres o forzadas, pueden aparecer en una gran cantidad de situaciones prcticas. Varias de estas vibraciones pueden ser tiles o deseables, y otras indeseables, por lo que deben ser disminuidas o eliminadas. Las vibraciones, que ocurren en los instrumentos musicales, producen sonidos generalmente agradables y deseables; las vibraciones en una zaranda son tiles, aunque no agradables; las vibraciones, que aparecen en un automvil, cuando este pasa sobre las irregularidades de la carretera, son desagradables y dainas; etc.

Durante el diseo y desarrollo de un sistema mecnico, independientemente de si este est destinado a generar vibraciones o a operar sin vibraciones, un modelo analtico del sistema puede jugar un importante papel. El modelo representa el sistema dinmico y puede ser analizado y modificado muchas veces, antes de producir el primer prototipo. Un modelo en el dominio del tiempo es un conjunto de ecuaciones diferenciales, que contiene como variable independiente al tiempo (t). La respuesta en el dominio del tiempo describe el comportamiento del movimiento del cuerpo a medida que el tiempo transcurre.

En muchos casos, las fuerzas excitadoras de vibraciones varan peridicamente con una determinada frecuencia, teniendo generalmente un carcter sinusoidal (o cosinusoidal). Un ejemplo muy simple es la fuerza de inercia que surge en un elemento rotatorio, que presenta una cierta excentricidad. En trminos bsicos, la respuesta en el dominio de la frecuencia () de un sistema dinmico es la respuesta a una excitacin sinusoidal. A medida que cambian la amplitud y frecuencia de la fuerza excitadora, tambin vara la respuesta. La variacin de la respuesta, en un determinado rango de frecuencia, constituye la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia.

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Lo expuesto en el prrafo anterior es tambin aplicable para fuerzas excitadoras que no sean sinusoidales. En efecto, una seal arbitraria en el dominio del tiempo puede ser transformada a una suma de seales sinusoidales simples en el dominio de la frecuencia por medio de la transformacin de Fourier. Dicha suma (serie) contiene las componentes de diferentes frecuencias de la seal, lo que permite, teniendo en cuenta el principio de superposicin, aplicable a los sistemas lineales, obtener la respuesta del sistema a dicha excitacin en el estudio de las vibraciones forzadas.

En la figura 1.3.1, se representa una seal compleja (amplitud) en el dominio del tiempo, y su equivalente (espectro) en el dominio de la frecuencia.

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2. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. 2.1. Sistema masa-resorte-amortiguador. Supongamos el sistema, esquematizado en la figura 2.1.1, formado por una masa, un elemento recuperador elstico (muelle) y un dispositivo amortiguador, en el que hacemos las siguientes hiptesis:

a) La masa tiene una gua vertical, sin rozamiento, que permite nicamente desplazamientos verticales, e impide los otros dos desplazamientos y los tres giros.

b) El muelle tiene una masa despreciable frente a la masa principal del sistema y su fuerza recuperadora elstica es proporcional a su deformacin.

c) El dispositivo amortiguador tiene sus masas mviles despreciables frente a la masa principal del sistema y est basado en un rozamiento tipo viscoso; es decir, con fuerza de rozamiento opuesta a la velocidad y proporcional a ella.

d) El sistema se supone situado en el vaco, o lo que es igual, se desprecia la resistencia del aire.

Este sistema necesita un solo parmetro para definir su configuracin. Este parmetro ser la distancia vertical de la posicin del centro de gravedad de la masa, relativa a una posicin fija. Esta posicin fija puede ser la del equilibrio esttico (p. e. e.) que adopta el sistema debido a la tensin inicial del muelle y a la fuerza de la gravedad (supuesta esta en la direccin de la vertical).

Estableciendo la notacin siguiente:

m: masa principal.

k: constante de rigidez elstica del resorte [N/m]. Fsicamente representa la fuerza necesaria para una deformacin unidad. Esta constante es esencialmente positiva.

c: constante de amortiguamiento viscoso [N.s/m]. Fsicamente representa la fuerza necesaria para mover el amortiguador con velocidad unidad. Esta constante es esencialmente positiva.

F: componente vertical de la resultante de las fuerzas exteriores directamente aplicadas. Se toma positiva hacia abajo.

x: desplazamiento del centro de gravedad respecto a la posicin de equilibrio esttico. Se toma positivo hacia abajo.

estx : deformacin en la condicin de equilibrio esttico.

0L : longitud del muelle no sometido a ninguna carga.

Las fuerzas que actan sobre la masa, en direccin vertical (positivas hacia abajo), son:

Fuerza de inercia, - xm && . Fuerza elstica, .. - )xx(k est+ . Fuerza amortiguadora, .. - . xc& Fuerza exterior directamente aplicada, F.

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Fuerza de la gravedad, ... m g.

La ecuacin de equilibrio dinmico permite establecer, por tanto, la expresin:

Fkxxcxm =++ &&& (2.1.1) Ya que . estxkgm =La expresin anterior constituye la forma ms general para describir el movimiento vibratorio de sistemas con un grado de libertad.

Por las hiptesis adoptadas, obtenemos una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes, la cual resulta particularmente simple para su integracin. Refiriendo los desplazamientos a partir de la posicin de equilibrio esttico, vemos que se puede prescindir del sistema de fuerzas, equivalentes a cero en todo momento, que determinan ese estado de equilibrio.

Sistemas ms complejos, pero anlogos al anterior, estn regidos por una ecuacin equivalente. La expresin anterior tiene validez de primera aproximacin cuando las caractersticas elsticas y amortiguadoras no cumplen la hiptesis de proporcionalidad admitida anteriormente.

Las fuerzas directamente aplicadas, que particularmente nos interesan, son aquellas de variacin temporal de carcter peridico, y por tanto, debido al anlisis armnico y a la aditividad de soluciones del problema lineal que resulta, podemos, sin prdida de generalidad, suponer expresiones armnicas para estas fuerzas. La presencia del trmino constante en el anlisis de Fourier se reduce a cambiar la posicin de equilibrio de referencia que resulta al considerar esta fuerza constante y prescindir, por tanto, de ella en todo lo sucesivo.

El comportamiento vibratorio es distinto segn la ausencia o presencia de algunos trminos en la expresin general, por lo que conviene distinguir los siguientes casos:

Vibraciones forzadas o no forzadas (libres), segn haya o no fuerzas exteriores aplicadas. Ecuacin diferencial completa (no homognea) o incompleta (homognea).

Vibraciones amortiguadas o no amortiguadas (neutras), segn haya o no fuerza disipadora de energa. Ecuacin diferencial con trmino proporcional a la primera derivada o sin l.

En lugar de analizar la expresin general y particularizar las diversas circunstancias, empezaremos estudiando los casos ms simples y despus continuaremos con los ms complejos.

2.2. Vibraciones libres no amortiguadas.

Es el caso ms sencillo de movimiento vibratorio, por suponer la ausencia de amortiguamiento y de fuerzas exteriores aplicadas. Las vibraciones se producirn por alguna accin perturbadora del equilibrio del sistema (desplazamiento inicial, velocidad inicial, choque, etc.), que cesa

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inmediatamente despus de iniciado el movimiento vibratorio. En la figura 2.2.1., se presenta un sistema masa - resorte sin amortiguamiento y sin fuerza exterior aplicada.

La ecuacin que rige el movimiento se reduce a la expresin:

0kxxm =+&& (2.2.1) Esta expresin puede presentarse tambin como:

0xmkx =+&& (2.2.2)

O en la forma:

0xx 2n =+&& (2.2.3) El parmetro:

mk

n = (2.2.4) Es una constante del sistema, que depende de sus caractersticas elsticas y msicas, y es denominada frecuencia natural, frecuencia propia o autofrecuencia. Aqu se obtienen ya dos importantes conclusiones cualitativas, que generalizaremos despus para sistemas ms complejos:

a) Al aumentar (o disminuir) la rigidez elstica del sistema aumenta (o disminuye) su frecuencia natural.

b) Al aumentar (o disminuir) la masa del sistema disminuye (o aumenta) su frecuencia natural.

Solucin general. La solucin general de la ecuacin diferencial anterior puede ser la siguiente:

)t(Xsen)t(x n += (2.2.5) Donde X (amplitud) y (ngulo de fase) son dos constantes a determinar por las condiciones iniciales.

La velocidad estar dada por la expresin:

)tcos(X)t(x nn +=& (2.2.6) Y la aceleracin, por la expresin:

(2.2.7) )t(Xsen)t(x n2n +=&&

Solucin particular. La ecuacin diferencial, por si sola, no determina el movimiento particular que se produce en cada caso. Para ello es necesario acompaarla de unas condiciones en los lmites, que se darn en la forma habitual en dinmica de condiciones iniciales.

As, para : desplazamiento inicial; velocidad inicial. 0t = ,x0 ,x0&Particularizando las expresiones de la solucin general y de su derivada, para estos valores, se tiene que:

Xsenx0 = (2.2.8) cosXx n0 =& (2.2.9)

Elevando al cuadrado las ecuaciones (2.2.8) y (2.2.9):

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senXx 2220 = ; cosXx 22n220 =&Transformando y sumando ambas ecuaciones anteriores:

)cossen(Xx

x 2222n

202

0 +=+&

De donde obtenemos la amplitud:

2n

202

0

xxX

&+= (2.2.10)

Dividiendo (2.2.8) entre (2.2.9), obtenemos:

0

n0

n0

0

xx

tancos

senxx

&& ==

Despejando el ngulo de fase:

0

n0xxtana &= (2.2.11)

La solucin particular, en este caso, estar dada por una expresin de la forma:

tBsentcosA)t(x nn += (2.2.12) Y la velocidad ser:

tcosBtsenA)t(x nnnn +=& (2.2.13)

Para se tendr que: 0t = 00 xAAx == y n

0n0

xBBx&& ==

Sustituyendo los valores de A y B en (2.2.12), la solucin particular correspondiente ser:

tsenxtcosxx n

n

0n0

&+= (2.2.14)

Obtenemos as un movimiento armnico con la frecuencia natural del sistema y con amplitud determinada por la magnitud de la perturbacin inicial, es decir, por el desplazamiento inicial (o lo que es equivalente, energa de deformacin inicial) y por la velocidad inicial (o lo que es equivalente, energa cintica inicial).

En sentido energtico el movimiento se desarrolla por medio de conversiones sucesivas (peridicas) de energa cintica en energa potencial (de deformacin) y viceversa, de manera que al no existir ningn dispositivo disipador de energa (amortiguador) la suma de ambas energas permanece constante, e igual a la comunicada inicialmente al sistema.

2.3. Vibraciones libres amortiguadas. Suponemos en este caso la ausencia de fuerzas exteriores aplicadas, pero si la presencia de amortiguamiento. En la figura 2.3.1, se presenta un sistema masa-resorte-amortiguador sin fuerza exterior aplicada. Las vibraciones se producirn por alguna accin perturbadora del equilibrio del sistema (desplazamiento inicial, velocidad inicial, choque, etc.), que cesa inmediatamente despus de iniciado el movimiento vibratorio.

13

La ecuacin diferencial toma la forma:

0kxxcxm =+ + (2.3.1) &&&

stXe)t(x =

stXse)t(x =&

La solucin general se obtiene por combinacin lineal de dos soluciones particulares. Para encontrar estas soluciones se ensaya una funcin exponencial:

(2.3.2)

La velocidad estar dada entonces por la expresin:

Y la aceleracin por: st2eXs)t(x =&&

Sustituyendo (2.3.2) y sus derivadas en (2.3.1), se obtiene:

0kXecXseemXs ststst2 =++ Simplificando la expresin anterior, se obtiene la ecuacin caracterstica:

0kcsms 2 =++ Que se puede expresar tambin, como:

0mks

mcs (2.3.3) 2 =++

Cuyas races sern:

mk

m2c

m2cs,s

2

21

= (2.3.4)

Segn la naturaleza de estas races tendremos unos movimientos esencialmente diferentes.

Las races pueden ser:

Dos races reales negativas, si 0k > mm2

c 2

Una raz doble, real y negativa, si 0mk =

m2c 2

Dos races imaginarias conjugadas con parte real negativa, si 0mk

14

0m4

km4c0

mk

m2c

2

2cr

2cr ==

Para que lo anterior se cumpla, el numerador tiene que ser igual a cero, es decir:

km2c0km4c cr2cr == (2.3.5)

Partiendo del mismo razonamiento se puede llegar a otra expresin, como se muestra a continuacin:

2n

22cr2

2cr

2cr m4c

mk

m4c0

mk

m2c ===

De donde se obtiene:

ncr m2c = (2.3.6) Tanto la expresin (2.3.5), como la (2.3.6), corroboran que el amortiguamiento crtico es una propiedad del sistema, que depende de las caractersticas msicas y elsticas de este.

De las tres posibilidades de movimiento, slo el tercero tiene un inters real, dada la fuerte amortiguacin de las dos primeras, que hace desaparecer completamente el carcter vibratorio. No obstante, se analizarn primeramente las posibilidades de movimiento no vibratorio.

Amortiguamiento superior al crtico.

En este caso, y la solucin general ser: crcc >ts

2ts

121 eCeC)t(x += (2.3.7)

La velocidad ser entonces: ts

22ts

1121 esCesC)t(x +=& (2.3.8)

Las constantes C1 y C2 se determinan a partir de las condiciones iniciales:

Para : desplazamiento inicial; y : velocidad inicial. :0t = 0x 0x&Establecindose que:

210 CCx += (2.3.9) 22110 sCsCx +=& (2.3.10)

De (2.3.9) se obtiene:

102 CxC = (2.3.11) Sustituyendo (2.3.11) en (2.3.10):

202110210110 sx)ss(Cxs)Cx(sCx +=+= && De donde se obtiene:

21

2001 ss

sxxC = & (2.3.12)

Sustituyendo (2.3.12) en (2.3.11):

15

21

20020102

21

20002 ss

sxxsxsxCss

sxxxC +=

= && De donde:

12

1002 ss

sxxC = & (2.3.13)

Las constantes C1 y C2 determinan la correspondiente solucin particular.

Dicha solucin puede presentar uno de los distintos aspectos, representados en la figura 2.3.2. Todas las curvas tienden a amortiguar rpidamente la perturbacin, sin que aparezcan vibraciones, y vuelven a la posicin de equilibrio en un tiempo tericamente infinito, aunque en la prctica alcanzan esta posicin en un corto intervalo.

Amortiguamiento igual al crtico. La solucin general ser:

ts21

1e)CtC()t(x += (2.3.14) Desarrollando (2.3.14):

ts2

ts1

11 eCteC)t(x += (2.3.15) La velocidad, entonces ser:

(2.3.16) ts12ts

11ts

1111 esCetsCeC)t(x ++=&

A partir de las condiciones iniciales (para t=0), se obtiene:

20 Cx = ; 2110 CsCx +=& ; De donde:

16

02 xC = ; 0101 xsxC = & ; (2.3.17) Las constantes C1 y C2 particularizan cada solucin. Estas soluciones presentan una disposicin anloga a las del caso anterior, como se representan en la figura (2.3.3).

Amortiguamiento inferior al crtico. En este caso la expresin bajo el radical de la ecuacin (2.3.4) se hace negativa y se puede transformar de la siguiente forma:

222

m2c

mki

m2c

mk)1(

mk

m2c

=

=

(2.3.18)

Y si se hace:

2

crn

2

cr

2

r cc1

cc1

mk

m2c

mk

=

=

= (2.3.19)

La frecuencia se denomina frecuencia natural con amortiguamiento. r

Recordando la expresin (2.3.4), las races sern:

r21 im2cs,s = (2.3.20)

Por tanto, la expresin de la solucin general ser:

)t(Xsene)t(x rt

m2c

+= (2.3.21) La velocidad en este caso ser:

17

)t(Xsenm2ce)tcos(Xe)t(x r

tm2c

rrt

m2c

+

++= &

Las constantes ( y X ) se determinan, para cada solucin particular, a partir de las condiciones iniciales. Para t=0, el desplazamiento (2.3.21) y la velocidad toman las formas:

Xsenx0 = (2.3.22)

)senm2c

cos(Xx r0 =& (2.3.23) De (2.3.22):

senx

X 0= (2.3.24)

Sustituyendo (2.3.24) en (2.3.23):

)senm2c

cos(sen

xx r

00 =& (2.3.25)

Aplicando la ley distributiva en (2.3.25):

tanx

m2cxxm2

tanx

m2cxx

m2cx

tanxx r000r0000r00 =+=+=

&&&

De la expresin anterior se obtiene:

18

cxxm2mx2tana

00

r0+= & (2.3.26)

Sustituyendo el ngulo en la expresin (2.3.24), se obtiene la amplitud X .

La solucin particular anterior nos da un movimiento armnico pero con una amplitud que decrece exponencialmente con el tiempo, tanto ms cuanto mayor es el amortiguamiento. La curva que representa esta funcin, como se indica en la figura 2.3.4, es tangente a los exponenciales

(t

m2c

Xe ), en los puntos correspondientes a:

+= 2)1n2(

1t

rn

(2.3.27)

En estos puntos coinciden las ordenadas y las tangentes.

La frecuencia natural con amortiguamiento ( ) est relacionada, en forma adimensional, con la frecuencia natural sin amortiguamiento ( ), por la siguiente ecuacin, obtenida de la expresin (2.3.19):

r

n

1cc

2

cr

2

n

r =

+

Cuya representacin en un sistema cartesiano es una circunferencia.

El valor r

'

2T = establece una periodicidad en

el sentido de que la sucesin de valores n de la amplitud, obtenidos en instantes sucesivos separados por el tiempo T, forman una progresin geomtrica. En particular los puntos de tangencia con las curvas exponenciales tienen amplitudes en esta progresin. En efecto, sean Xn y Xn+1 dos amplitudes diferidas T, en el tiempo. Si:

)t(XseneX nrt

m2c

nn += ;

( ) ( ))t(Xsene)2t(XseneX nr

'Ttm2c

nr

'Ttm2c

1nnn +=++= +++

Se tiene que:

.ConsteeXX m

c'T

m2c

1n

n r ===+

Decremento logartmico. En la figura 2.3.5. se presenta un movimiento armnico amortiguado y se indican las amplitudes en dos ciclos sucesivos. Los logaritmos de las amplitudes anteriores estarn en una progresin aritmtica, y el logaritmo de la razn de stas, se denomina decremento logartmico.

19

Su valor ser:

mc

XXln

r1n

n ==+

(2.3.28)

El decremento logartmico tiene gran inters prctico, ya que de un registro experimental de las vibraciones podemos fcilmente obtener las amplitudes, y as determinar el coeficiente de amortiguamiento, como se ver a continuacin. La expresin (2.3.28) tambin se puede presentar en otra forma, como se muestra a continuacin:

2

cr

cr2

crn c

c1

cc

2

cc1m

c

=

= (2.3.29)

Para pequeas relaciones de amortiguamiento (c/ccr

20

2.4. Vibraciones forzadas no amortiguadas. En la figura 2.4.1. se presenta un sistema vibratorio sin amortiguamiento y con una fuerza exterior variable aplicada. Aqu se supone la ausencia de amortiguamiento, pero se excitan vibraciones con una fuerza exterior que, sin perder generalidad, se considera armnica.

La ecuacin diferencial adopta la expresin no homognea siguiente:

tcosFkxxm =+&&

)t(x)tcos(X)t(x Pn ++

(2.4.1)

En la expresin anterior, la frecuencia angular () de variacin de la fuerza excitadora es independiente de la frecuencia natural del sistema (n).

La solucin general se compone de la general de la homognea ms una particular de la no homognea, as:

= (2.4.2) Siendo X y dos constantes a determinar por las

condiciones iniciales y determinada la solucin particular arbitraria por una expresin de la forma:

tcosX)t(x pP = (2.4.3) Para esta solucin particular, la velocidad ser:

tsenXx pP =& (2.4.4) Y la aceleracin:

tcosXx 2pP =&& (2.4.5) La solucin particular debe satisfacer independientemente la ecuacin diferencial del movimiento vibratorio. Sustituyendo (2.4.3) y (2.4.5) en (2.4.1):

tcosFtcoskXtcosmX p2

p =+ Simplificando:

FX)mk(FkXmX p2

p2

p ==+ De la expresin anterior, queda completamente determinada Xp por:

)mk(FX

2p = (2.4.6)

Que se obtiene al hacer que la solucin particular cumpla la ecuacin (2.4.1). Dividiendo entre k el numerador y el denominador de (2.4.6), se obtiene:

2n

2p

1

k/FX

= (2.4.7)

Sustituyendo (2.4.7) en (2.4.2), la solucin general queda como:

AdministradorResaltar

21

tcos

1

k/F)tcos(Xx

2n

2n

++= (2.4.8)

Por tanto, en un sistema no amortiguado y forzado armnicamente, el movimiento se compone de la suma de dos armnicos, uno con la frecuencia natural del sistema y otro con la frecuencia de la fuerza excitadora. En la figura 2.4.2. se representan tres casos de superposicin de movimientos libres y forzados, para tres combinaciones de la frecuencia natural y la frecuencia de la fuerza excitadora.

En el primer caso la frecuencia natural del sistema se diferencia notablemente de la frecuencia de la fuerza excitadora; en el segundo, ambas frecuencias se diferencian poco, presentndose el fenmeno de pulsacin; y en el tercero, ambas coinciden, presentndose el fenmeno de resonancia.

La amplitud del primer movimiento, con la frecuencia natural, depende de las condiciones iniciales y slo se anula para unos valores particulares de estas. La amplitud del segundo movimiento, que se produce con la frecuencia de la fuerza excitadora, depende de la proximidad de la frecuencia excitadora a la frecuencia natural del sistema y de la deflexin esttica.

La proximidad de la frecuencia de la fuerza excitadora a la frecuencia natural se expresa por medio del factor de resonancia, cuya expresin es la siguiente:

AdministradorResaltar

22

2n

2

1

1

(2.4.9)

La deflexin esttica ( ), es la deflexin del resorte, que provocara la aplicacin de una fuerza constante de mdulo igual a la amplitud de la fuerza excitadora.

k/Fxest =

Al derivar la solucin (2.4.8), se obtiene la velocidad:

tsen

1

k/F)t(senXx

2n

2nn

+=& (2.4.10)

Para t=0, los valores iniciales y sern: 0x 0x&

2n

20

1

k/FcosXx

+= ; senXx n0 =&

De donde:

2n

20

1

k/FxcosX

= (2.4.11)

n

0

x

Xsen&= (2.4.12)

Dividiendo (2.4.12) entre (2.4.11), se obtiene:

2n

20

n

0

1

k/Fx

x

tan

=

&

De donde:

=

2n

20

n

0

1

k/Fx

x

tana

&

(2.4.13)

Elevando al cuadrado (2.4.11) y (2.4.12):

AdministradorResaltar

23

2

2n

2022

1

k/FxcosX

= (2.4.14)

2

n

022

x

senX

= & (2.4.15)

Sumando (2.4.14) y (2.4.15):

2

n

0

2

2n

202

x

1

k/FxX

+

= &

De donde:

2

n

0

2

2n

20 x

1

k/FxX

+

= & (2.4.16)

De (2.4.13) y de (2.4.16) se determinan fcilmente X y , que permiten obtener la solucin particular:

)tcost(cos

1

k/Ftsenx

tcosxx n

2n

2nn

0n0

++= & (2.4.17)

Resonancia. Como caso lmite, cuando las frecuencias (excitadora y natural) coinciden exactamente, aparece el fenmeno de la resonancia. Analicemos este fenmeno, acercando la frecuencia excitadora a la frecuencia natural.

El denominador del factor de resonancia es una diferencia de cuadrados, que se puede desarrollar como sigue:

+=

+=

n

n

n

n

nn2n

2

1

1

1

Como las frecuencias excitadora y natural estn cercanas, se puede plantear que:

n

2n

2

2

1 (2.4.18)

Por otro lado, en el tercer trmino de la derecha de la expresin (2.4.17), el factor:

t2

sent2

sen2)tcost(cos nnn

+=

Teniendo en cuenta la cercana de las frecuencias excitadora y natural, se puede plantear que:

AdministradorResaltar

24

t2sentsen2)tcost(cos nn

(2.4.19)

En la solucin general, dada por la expresin (2.4.17), en la zona de resonancia los dos primeros trminos de la derecha son despreciables ante el tercero, por lo que se puede escribir dicha solucin, teniendo en cuenta (2.4.18) y (2.4.19), de la siguiente forma:

tsen2t2sen

/2k/Fx n

n=

Cuando la frecuencia excitadora se acerca a la natural, entonces:

0 2t

t2sen

Y la amplitud del movimiento, tiende a:

)t(sentk2

Fx nn = (2.4.20) La expresin (2.4.20) muestra que la amplitud crece indefinidamente hasta un valor infinito. En la prctica siempre aparecer un determinado amortiguamiento, que limita el crecimiento de la amplitud, por lo que se producir una gran amplitud; pero que no llega a ser infinita.

2.5. Vibraciones forzadas amortiguadas. En la figura 2.5.1. se presenta un sistema vibratorio amortiguado, sobre el que acta una fuerza exterior variable. Responde al esquema completo, tal como lo presentamos al iniciar el captulo.

Este movimiento vibratorio se describe por la ecuacin no homognea siguiente:

tFsenkxxcxm =++ &&& (2.5.1) La solucin general es la suma de la general de la homognea mas una particular de la no homognea; es decir:

)t(x)t(senXe)t(x Prt

m2c

++= (2.5.2) La primera de stas al cabo de un tiempo, generalmente breve, se reduce a un valor despreciable, tanto para el caso de amortiguamiento inferior al crtico, al cual corresponde la expresin anterior, como para los casos de

amortiguamiento crtico o superior al crtico.

El segundo sumando, que predomina despus de este perodo transitorio, se obtiene ensayando una solucin de la forma:

)t(senX)t(x pP = (2.5.3) es el ngulo de fase entre el desplazamiento y la fuerza excitadora. Por lo general, el desplazamiento se retrasa con respecto a la fuerza excitadora.

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25

En la figura 2.5.2. se representan un movimiento libre amortiguado, un movimiento forzado y la superposicin de ambos. Cuando coincide la frecuencia de excitacin con la frecuencia natural con amortiguamiento, se produce la resonancia.

Derivando (2.5.3), se obtiene la velocidad:

)tcos(Xx pP =& (2.5.4) Y derivando (2.5.4), se obtiene la aceleracin:

)t(senXx 2pP =&& (2.5.5) Sustituyendo (2.5.3), (2.5.4) y (2.5.5) en (2.5.1), se tiene:

tFsen)t(senkX)tcos(Xc)t(senXm ppp2 =++

Agrupando y transformando:

tsenXF)tcos(c)t(sen)mk(

p

2 =+ (2.5.6)

El miembro de la derecha de (2.5.6) se puede transformar como:

[ ]sen)tcos(cos)t(senXF)t(sen

XF

pp+=+ (2.5.7)

Teniendo en cuenta (2.5.7), e igualando en los dos miembros de (2.5.6) los coeficientes del seno y del coseno de ( , tenemos: )t

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26

cosXF)mk(

p

2 = (2.5.8)

senXF

cp

= (2.5.9)

Dividiendo (2.5.9) entre (2.5.8), se obtiene el ngulo de fase del desplazamiento con respecto a la fuerza excitadora:

2mkc

tan =

De donde se obtiene que:

2mkctana = (2.5.10)

Elevando al cuadrado (2.5.8) y (2.5.9):

cosXF)mk( 2

2p

222 = (2.5.11)

senXF)c( 2

2p

22 = (2.5.12)

Sumando (2.5.11) y (2.5.12):

)sen(cos 22 +XF)c()mk(

2p

2222 =+

De donde:

222p

)c()mk(

FX+

= (2.5.13)

La expresin (2.5.10) puede transformarse, como se muestra a continuacin:

2n

2

2n

222

1

m2c2

tana

km1

mk2mc2

tana

km1

kc

tanamkctana

=

=

==

De donde se obtiene, para el desfase:

2

n

ncr

1

cc2

tana

= (2.5.14)

La representacin grfica del desfase se muestra en la figura 2.5.3, para coeficientes de amortiguamiento desde el valor casi nulo al crtico. Para relaciones de frecuencias menores que la unidad, es decir, antes de la resonancia, a valores menores de la relacin de amortiguamiento le

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27

corresponden menores ngulos de desfase. Despus de la resonancia, es decir, para relaciones de frecuencias mayores que la unidad, a valores menores de la relacin de amortiguamiento le corresponden mayores ngulos de desfase. El ngulo de desfase (), cualquiera que sea la relacin de amortiguamiento, para la relacin de frecuencias igual a la unidad, es decir, en la resonancia, toma el valor de 90 grados (/2), es decir, que todas las curvas se cortan en el punto (1, /2).

Si en la expresin (2.5.13) se divide numerador y denominador entre k:

222p

kc

km1

k/FX

+

=

Transformando dentro del radical del denominador:

222p

mk2mc2

km1

k/FX

+

=

Si se hace , de la expresin anterior se obtiene, para una fuerza excitadora, cuya amplitud (F) es independiente de la frecuencia:

estXk/F =

2

ncr

2

2n

2est

p

cc2

1

1XX

+

= (2.5.15)

A la relacin (2.5.15) se le denomina coeficiente de magnificacin, e indica en que relacin est la amplitud de las vibraciones, con respecto a la deflexin esttica de los elementos elsticos, bajo la accin de la fuerza excitadora, aplicada como una fuerza esttica. Este factor constituye una importante caracterstica del sistema, que depende slo de los parmetros msicos, elsticos y disipativos de este.

La representacin de la amplitud adimensional o coeficiente de magnificacin, en el caso de fuerza de amplitud constante, independiente de la frecuencia, se indica en la figura 2.5.4.

Para c = 0:

n2n

2est

p cuando

1

1XX

=

Para c = ccr:

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28

2n

2est

p

1

1XX

+=

Para otro coeficiente de amortiguamiento (c) cualquiera, comprendido entre los anteriores, resulta una curva comprendida entre las representativas de esos dos casos extremos. Todas tienden a cero para frecuencias que tienden a infinito.

El mximo se obtiene de:

0XX

dd

est

p =

Derivando la expresin (2.5.15) e igualando a cero:

0

cc2

1n

2

crn2n

2=

Simplificando:

0cc2

1

2

cr2n

2

n=

Para que se satisfaga la igualdad anterior debe cumplirse que:

)sentidotieneno(0

n= ; )resonaciadepico(

cc21

2

crn

=

Este ltimo se va trasladando de uno, para c = 0, a cero, para 2/cc cr= . Si la fuerza excitadora es proporcional a una masa desbalanceada y al cuadrado de la frecuencia de trabajo, es decir: (siendo md la masa desbalanceada, y e una constante con dimensiones de longitud, que puede ser la excentricidad), como en el caso de la fuerza de inercia centrfuga, que surge en una pieza rotatoria, entonces la expresin (2.5.15) toma la forma:

emF 2d =

2

ncr

2

2n

2

2

ndp

cc2

1

mm

eX

+

= (2.5.16)

Este ltimo caso es el ms frecuente en la prctica, en el que las piezas desbalanceadas de una mquina son las que engendran las fuerzas excitadoras, que no son ms que las fuerzas de inercia, que surgen con el movimiento de dichas piezas.

El producto de la masa desbalanceada (md) por la excentricidad (e) se denomina desbalance. Este parmetro debe ser inferior a un determinado valor, en dependencia del tipo de mquina y del trabajo que le est encomendado, para evitar que las amplitudes sean superiores a un deteminado lmite establecido. La expresin anterior puede ser utilizada en ambos sentidos, es decir, si se conoce el

29

desbalance, se puede obtener la amplitud; y si se conoce la amplitud mxima permisible, se puede obtener el desbalance mximo permisible.

El valor mximo permisible de la amplitud de las vibraciones depende del tamao y masa del sistema vibratorio, de las caractersticas del montaje de dicho sistema, y del uso que se le de a la mquina. Por lo general, con el aumento del tiempo de uso se notar un aumento de la amplitud de las vibraciones, lo que se debe al desgaste de las piezas y al surgimiento de otros defectos en el sistema mecnico. Por eso, la amplitud permisible inicial debe ser estrictamente controlada.

La representacin grfica del coeficiente de magnificacin (expresin 2.5.16), en el caso de fuerza excitadora de amplitud proporcional a la masa y al cuadrado de la frecuencia, se indica en la figura 2.5.5. En este caso, todas las curvas parten de cero y tienden asintticamente a la unidad, despus de pasar la zona de resonancia.

Para c = 0:

n2n

2

2

n

d

p cuando

1

emXm

=

Para c = ccr:

2

n

2

n

d

p

1

emXm

+

=

Para otro coeficiente de amortiguamiento (c) cualquiera, comprendido entre los anteriores, resulta una curva comprendida entre las representativas de esos dos casos extremos.

El mximo se obtiene de:

0e

Xdd p =

Derivando (2.5.16) y teniendo en cuenta que las masas son constantes:

0

cc2

1

2n

22

cr2n

2

n

=

+

Se tiene que cumplir que:

)sentidotieneno(0

n= ; )resonaciadepico(

cc21

1

2

cr

n

=

Este ltimo se va trasladando desde uno, para 0c = , a infinito, para 2/cc . cr=

30

2.6. Equilibrio de fuerzas en el sistema. Una mejor comprensin del comportamiento de los sistemas vibratorios puede lograrse estudiando el equilibrio de las fuerzas, que actan en dichos sistemas, en cada regin de la relacin de frecuencias

. En la figura 2.6.1. se muestran el esquema vectorial cinemtico y las fuerzas que actan en un sistema vibratorio forzado amortiguado de un grado de libertad.

)/( n

En todo momento este sistema de fuerzas debe encontrarse en equilibrio dinmico, es decir, que la fuerza exterior aplicada, la fuerza elstica del resorte, la fuerza de amortiguamiento y la fuerza de inercia deben anularse en conjunto. A continuacin se analizar como ocurre esta anulacin en cada zona de la relacin de frecuencias ( . )/ n

)

Zona antes de la resonancia . En la figura 2.6.2. se

presenta el polgono de fuerzas para esta zona. Para pequeos valores de la razn de frecuencias, tanto la fuerza de inercia, como la fuerza de amortiguamiento, son pequeas, lo que trae como

consecuencia que el ngulo de fase () sea tambin pequeo, es decir, que hay poco retraso del desplazamiento con respecto a la fuerza exterior excitadora. En este caso, la fuerza exterior excitadora se equilibra, principalmente, con la fuerza elstica del resorte.

)1/( n >

)

31

2.7. Transmisibilidad. En muchos casos, en que se tiene un sistema vibratorio montado sobre una determinada estructura, y dicho sistema est sometido a una fuerza excitadora peridica, interesa que la fuerza transmitida a la estructura tenga menor amplitud que la fuerza excitadora. Esto se logra por medio de una suspensin, formada por un elemento elstico y un amortiguador, convenientemente proyectados a tal efecto.

Aunque en las realizaciones particulares se pueden presentar disposiciones bastante complejas, la idea de su fundamento la expondremos con el esquema sencillo de la figura 2.7.1., en la que se presentan la fuerza del resorte y la fuerza del amortiguador, que son las fuerzas que se transmiten a la base. En un determinado momento, la suma de estas dos fuerzas ser:

[ ])tcos(c)t(ksenXxckxFtr p +=+= & (2.7.1) La fuerza transmitida (Ftr) ser armnica de igual frecuencia que la fuerza excitadora, con un determinado desfase (), que tiene un inters secundario.

La fuerza del resorte y del amortiguador estn desfasadas 90 grados, por lo que la amplitud (mdulo) de la fuerza transmitida, ser:

22p )c(kXFtr += (2.7.2)

En el epgrafe 2.5 se obtuvo la expresin 2.5.13, que relaciona la amplitud (XP) de las vibraciones forzadas amortiguadas con la amplitud (mdulo) de la fuerza excitadora (F), que recordamos a continuacin:

222p )c()mk(

FX+

= (2.5.13)

La expresin (2.7.2), teniendo en cuenta (2.5.13), toma la forma:

222

22

)c()mk(

)c(kFFtr

++= (2.7.3)

32

La expresin (2.7.3) puede ser presentada tambin como:

2

ncr

2

2n

2

2

ncr

cc2

1

cc21

FFtr

+

+

= (2.7.4)

Se denomina coeficiente de transmisibilidad a la relacin entre las amplitudes mximas de la fuerza transmitida a la base y de la fuerza aplicada (excitadora), y cuya expresin (en forma adimensional, claro est) ser:

2

ncr

2

2n

2

2

ncr

cc2

1

cc21

FFtrTr

+

+

== (2.7.5)

La expresin (2.7.5) est representada grficamente en la figura 2.7.2., para diferentes relaciones de amortiguamiento.

Todas estas curvas pasan por el punto ( 2 , 1). Para valores de la frecuencia excitadora mayores que 2 veces la frecuencia natural, el coeficiente de transmisibilidad es menor que la unidad; por tanto, interesa que el sistema trabaje en esta zona y con una relacin de frecuencias lo ms alta posible; es decir, interesan resortes con coeficientes de rigidez pequeos, ya que sobre la masa es difcil de actuar.

)/( n

Se observa que el amortiguamiento es perjudicial precisamente en la zona antes mencionada; sin embargo, existe una razn que lo hace aconsejable: la mayora de las veces estas fuerzas armnicas provienen de un mecanismo rotatorio que, aunque trabaja durante su rgimen nominal a una velocidad

angular muy superior a la de resonancia, durante el perodo de arranque se hace ineludible su paso por la primera zona, con coeficientes de transmisibilidad mayores que la unidad, y aunque este paso sea rpido, conviene que el pico de la fuerza transmitida no sea muy notable.

En resumen: resulta preferible un coeficiente de amortiguamiento medio y un coeficiente de rigidez del resorte bajo.

33

2.8. Vibraciones torsionales. Vibracin torsional es el movimiento angular peridico de rboles, ejes u otros elementos elsticos, que tienen piezas rgidamente unidos a ellos. Estas piezas, en los casos ms frecuentes, son en forma de discos o rotores, como volantes, poleas, ruedas dentadas, etc. Prcticamente todas las mquinas tienen rboles, los que constituyen, en esencia, resortes de torsin, y las piezas montadas sobre ellos completan sistemas vibratorios torsionales o angulares.

Los momentos variables, que surgen durante la explotacin de estas mquinas, excitan vibraciones, que se superponen al movimiento de rotacin de los rboles, provocando tensiones variables en el material de dichos rboles y, por tanto, la

aparicin del conocido proceso de fatiga. El sistema torsional bsico se muestra en la figura 2.8.1., en la que el rbol se presenta empotrado en un extremo, para simplificar el anlisis.

Este sistema se analiza igual que el de las vibraciones rectilneas, con las siguientes correspondencias:

VIBRACIONES LINEALES VIBRACIONES TORSIONALES

Desplazamiento lineal ............................ x

Masa ...................................................... m

Coeficiente de rigidez lineal .................. k

Coeficiente de amortiguamiento c

Fuerza .................................................... F

Frecuencia natural .......................... mk

n =

......................... Desplazamiento angular.

I ................................ Momento de inercia.

K ............... Coeficiente de rigidez angular.

C .. Coefic. de amortiguamiento angular.

M .................................... Momento torsor.

IK

n = ................. Frecuencia natural.

En la prctica los casos que ms se presentan son los de rboles no empotrados, sobre los que estn montados elementos con forma de disco. En la figura 2.8.2. se presenta un rbol que puede girar libremente, sobre los extremos del cual estn montados dos discos de determinados momentos de inercia I e I . 1 2

Cuando se aplican momentos torsionales iguales y de sentido contrario a los dos discos, el rbol se deforma elsticamente acumulando energa potencial. Si a continuacin se liberan los discos estos ejecutarn un movimiento vibratorio libre, con desplazamientos angulares en sentidos opuestos. Puede deducirse que debe haber una seccin del rbol que debe mantenerse estacionaria, sin participar en los desplazamientos de una u otra parte de este, por lo que, para el anlisis, puede considerarse como si esta seccin constituyera un empotramiento intermedio. As se considera el sistema dividido en dos ms simples, formados por un disco y la parte del rbol desde este hasta la seccin estacionaria.

Dado que el movimiento de ambos discos debe ser siempre en sentido contrario, tiene que cumplirse que las frecuencias naturales de ambos sistemas sean iguales. Llamndole K1 y K2 a los coeficientes de rigidez angular de los tramos del rbol, se puede plantear que:

34

2

2

1

1n I

KIK

== (2.8.1)

Si el rbol es macizo y de dimetro constante, el coeficiente de rigidez angular estar dado por la siguiente expresin:

LJGK =

Donde:

J momento polar de inercia de la seccin del

rbol ).32dJ(

4=

G mdulo de elasticidad a cortante del material.

L longitud del rbol.

Sustituyendo en la expresin (1.10.1) se tiene que:

2211 ILJG

ILJG =n =

(2.8.2)

De donde se deduce que debe cumplirse que:

2211 ILIL = (2.8.3) De la expresin anterior se obtiene la relacin en que deben estar las longitudes de los tramos del rbol, que definen la posicin de la seccin estacionaria, o lo que es lo mismo, la posicin del nodo de las vibraciones, como se conoce a esta seccin:

1

2

2

1II

LL =

La longitud total del rbol estar dada por la suma de las longitudes de los tramos, as:

21 LLL += (2.8.4) Despejando de (2.8.3) L1 y sustituyendo en (2.8.4), se obtiene:

+=

+=+==

1

122

1

222

1

22

1

221 I

IIL1IILL

IILL

IILL

De la expresin anterior, se obtiene:

12

12 II

LIL += (2.8.5)

Sustituyendo L2 en (2.8.2), se obtiene:

35

+=

+=

21

212

21

1n

IIIIL

JG

III

LIJG

De donde se obtiene:

+=

21

21n

IIIIK

(2.8.6)

Como se puede ver, la frecuencia natural de cada subsistema es igual a la frecuencia natural del sistema como un todo, utilizando en el clculo la constante de rigidez (K) del rbol completo, como si este estuviera empotrado en un extremo, y un momento de inercia equivalente, que contempla los momentos de inercia de ambos discos. Este momento de inercia equivalente, como se observa en la expresin anterior, estar dado por:

21

21eq II

III += (2.8.7)

Teniendo en cuenta estos ltimos razonamientos, finalmente podemos plantear que:

eqn I

K = (2.8.8)

2.9. Vibraciones excitadas desde la base.

En muchos casos el sistema vibratorio es excitado por el movimiento de la base o punto de soporte, como se muestra en la figura 2.9.1. Sea y el desplazamiento armnico de la base y midamos el desplazamiento x de la masa m con respecto a una referencia inercial.

En la posicin desplazada las fuerzas transmitidas desde la base se deben al amortiguamiento y al resorte, y la ecuacin diferencial del movimiento ser:

)yx(c)yx(kxm &&&& = (2.9.1) Haciendo, para el desplazamiento relativo (x-y), la sustitucin:

yxz = (2.9.2) Teniendo en cuenta la expresin (2.9.2), la ecuacin (2.9.1) se convierte

en:

0kzzc)yz(m =+++ &&&&& Que se puede escribir tambin como:

ymkzzczm &&&&& =++ (2.9.3)

36

Supngase que el desplazamiento de la base responde a un movimiento armnico, dado por la siguiente expresin:

tsenYy = (2.9.4) La velocidad de la base ser:

tcosYy =& (2.9.5) Y la aceleracin:

tsenYy 2=&& (2.9.6) Sustituyendo la expresin (2.9.6) en la ecuacin (2.9.3), se obtendr:

tsenYmkzzczm 2=++ &&& (2.9.7) El miembro de la derecha de la ecuacin (2.9.7), que es el producto de la masa suspendida por la aceleracin de la base, no es mas que una fuerza de inercia, semejante a las fuerzas de inercia centrfugas (me2sent), que aparecen en los elementos rotatorios desbalanceados. Teniendo esto en cuenta, se puede suponer una solucin de la ecuacin diferencial (2.9.7) de la siguiente forma:

)t(senZz = (2.9.8) La primera derivada ser:

)t(cosZz =& Y la segunda derivada ser:

)t(senZz 2 =&& Sustituyendo la funcin (z) y sus derivadas en la ecuacin (2.9.7), se tendr:

tsenYm)t(senZk)t(cosZc)t(senZm 22 =++ (2.9.9) Agrupando y transformando:

tsenmY)tcos(cZ)t(sen)mk(Z 22 =+ (2.9.10) El miembro de la derecha de (1.11.10) se puede transformar como:

[ ]sen)tcos(cos)t(senmY)t(senmY 22 +=+ (2.9.11) Teniendo en cuenta (2.9.11), e igualando en los dos miembros de (2.9.10) los coeficientes del seno y del coseno de , tenemos: )t(

cosmY)mk(Z 22 = (2.9.12) (2.9.13) senmYcZ 2=

Dividiendo (2.9.13) entre (2.9.12), se obtiene el ngulo de fase del desplazamiento relativo (z) con respecto al desplazamiento de la base:

22 mkctanatan

mkc

== (2.9.14)

37

Elevando al cuadrado (2.9.12) y (2.9.13):

cosmY)mk(Z 2422222 = (2.9.15) (2.9.16) senmY)c(Z 242222 =

Sumando (2.9.15) y (2.9.16):

( ) )sen(cosmY)c()mk(Z 224222222 +=+ (2.9.17) Entonces la amplitud del desplazamiento relativo (Z) estar dada por la expresin:

( ) ( )2222

cmk

mYZ+

= (2.9.18)

Tanto la amplitud del desplazamiento relativo (Z), como el ngulo de fase (), se comportan como la amplitud y el ngulo de fase de un sistema excitado directamente con una fuerza de inercia rotatoria, como se analiz en el epgrafe 2.5, y se ajustan a las curvas de las figuras 2.5.3 y 2.5.5, con los cambios apropiados de ordenadas. Si se desea obtener el movimiento absoluto de la masa suspendida, se debe hacer la sustitucin inversa:

yzx += (2.9.19) Utilizando la forma exponencial del movimiento armnico (que es ms adecuado en este caso), se tendr que:

tieYy = (2.9.20) tii)t(i eeZeZz == (2.9.21)

Las primeras derivadas proporcionan las velocidades:

tieiYy =& (2.9.22) (2.9.23) ieeZz tii=&

Las segundas derivadas dan las aceleraciones: ti2 eYy =&& (2.9.24)

2tii eeZz =&& (2.9.25) Sustituyendo las funciones y sus derivadas en la ecuacin (2.9.3), se obtendr:

( ) ( ) ( ) ( )ti2tiitii2tii eYmeeZkieeZceeZm =++ (2.9.26) En un primer paso de simplificacin de la ecuacin (2.9.26), se obtiene:

( )( ) ti22tii eYmkicmeeZ =++ (2.9.27) Simplificando y organizando la ecuacin (2.9.27), se obtendr:

( )( ) YmcimkeZ 22i =+ (2.9.28)

38

Organizando la ecuacin (2.9.28), se tendr que:

cimkYmeZ 2

2i

+= (2.9.29)

Teniendo en cuenta las expresiones (2.9.19), (2.9.20) y (2.9.21), se puede plantear que:

( ) ( ) tiititii eYeZxeYeeZx +=+= (2.9.30) Sustituyendo (2.9.29) en (2.9.30), se obtiene:

ti2

2ti

2

2

eY1cimk

mxeYcimk

Ymx

++=

++= (2.9.31)

Transformando la expresin (2.9.31), se obtiene:

ti2

ti2

22

eYcimk

cikxeYcimk

cimkmx

++=

+++= (2.9.32)

Para el estado estacionario, la amplitud del desplazamiento absoluto de la masa suspendida ser:

Ycimk

cikX 2

++= (2.9.33)

La expresin (2.9.33) se puede transformar como:

( ) ( ) ( ) ( ) ciYkYciXmkXYcikcimkX 22 +=++=+ (2.9.34) Los sumandos de la expresin (2.9.34) representan las fuerzas, que actan en el sistema. Las fuerzas de inercia, de amortiguamiento y elstica son vectores. La direccin de la fuerza de inercia es la misma que la direccin de la fuerza elstica, pero ambas estn en sentido contrario, por lo que sus mdulos se pueden sumar algebraicamente. La direccin de la fuerza de amortiguamiento, vectorialmente, es perpendicular a la direccin de las fuerzas de inercia y elstica, lo que debe ser tenido en cuenta al sumarlas. As, al sumar las fuerzas, la expresin (2.9.34) tomar la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222222222222222 ckYcmkXcYkYcXmkX += ++=+ Transformando la expresin anterior, se puede obtener:

( )( ) ( )22222

2

2

cmk

ckYX

++=

Finalmente, se obtiene la relacin, en que estar la amplitud del movimiento de la masa suspendida, con respecto a la amplitud del movimiento de la base:

( )( ) ( )22222

cmk

ckYX

++= (2.9.35)

39

2.10. Problemas resueltos. Problema 1. Mquina con rotor desbalanceado.

La mquina, cuyo esquema se presenta en la figura 2.10.1, pesa 35 kgf y posee una pieza rotatoria desbalanceada, con un peso de 16 kg, y una excentricidad de 2 mm. La mquina est suspendida sobre cuatro resortes iguales, con coeficientes de rigidez de 1400 N/m, y cuatro amortiguadores iguales, con coeficientes de amortiguamiento de 40 Ns/m. La mquina arranca y pasado un breve intervalo de tiempo alcanza la velocidad nominal (n = 750 rpm). El sistema slo puede desplazarse en la direccin vertical.

Conteste y argumente las siguientes preguntas:

a) Se corre el riesgo de que aparezcan grandes amplitudes en el perodo de arranque?

b) Cul es la magnitud de la fuerza transmitida a la base en el momento de la resonancia?

c) Aparecen grandes amplitudes durante el trabajo a la velocidad nominal?

d) Se transmite una gran fuerza a la base durante el trabajo a la velocidad nominal?

e) Obtenga el grfico de comportamiento del coeficiente de magnificacin de cero a 80 rad/s.

f) Obtenga el grfico de comportamiento del coeficiente de transmisibilidad de cero a 80 rad/s.

Notas aclaratorias:

Como los cuatro resortes y amortiguadores son iguales y estn distribuidos uniformemente en la base, y como la mquina slo se desplaza en la direccin vertical, este sistema se puede analizar como un sistema de un grado de libertad, como se muestra en la figura 2.10.2.

En este caso, las vibraciones son excitadas por la fuerza de inercia, que surge en la masa desbalanceada.

Solucin. El primer paso que se debe dar es definir claramente los datos iniciales:

Peso total de la mquina: Wmaq = 35 kgf. Peso de la pieza rotatoria desbalanceada: Wd = 16 kgf. Excentricidad de la pieza desbalanceada: exc = 2 mm = 0,002 m. Cantidad de soportes: Cs = 4. Nmero de revoluciones de la pieza desbalanceada: n = 750 rpm. Constante de rigidez de cada resorte: k = 1400 N/m. Constante de amortiguamiento de cada amortiguador: c = 40 Ns/m.

40

De los datos iniciales, directamente se pueden obtener otros datos necesarios:

Masa total de la mquina: mmaq = 35 kg. Masa de la pieza rotatoria desbalanceada: md = 16 kg. A continuacin se determinarn otros parmetros, cuyo conocimiento es necesario para responder las preguntas planteadas. Tanto los resortes, como los amortiguadores, se encuentran en paralelo, por lo que ser necesario sumar sus coeficientes correspondientes, para obtener los totales. Como son iguales, respectivamente, lo que se hace es multiplicarlos por el nmero de soportes.

Coeficiente de rigidez total: m/N560014004kCskt === Coeficiente de amortiguamiento total: m/sN160404cCsct === Velocidad angular de la pieza desbalanceada: s/rad54,78tr

602rpm750tr ==

Frecuencia angular natural del sistema: s/rad649,12kg35

m/N5600mmaq

ktn ===

Coeficiente de amortiguamiento crtico:

m/sN438,885s/rad649,12kg352nmmaq2ccr ===

Relacin de amortiguamiento: 18,0m/sN438.885

m/sN160ccrct =

=

A continuacin se comienza a responder las preguntas planteadas.

a) Riesgo de aparicin de grandes amplitudes en el perodo de arranque.

En algn momento del perodo de arranque aparecer el pico de resonancia, pues la frecuencia angular parte de cero y al final alcanza un valor mucho mayor que la frecuencia natural. Por eso se debe determinar la relacin de las frecuencias, para la que aparece dicho pico.

034,1

ccrct21

1n

res2=

=

La frecuencia de resonancia ser: s/rad084,13649,12034,1res == Con los datos anteriores, se evala el coeficiente de magnificacin con respecto a la excentricidad.

22

2

2

2

nres

ccrct2

nres1

nres

mmaqmd

exc1ampl

+

=

Sustituyendo: 286,1)37,0()07,0(

07,1457,0exc

1ampl22=

+=

Como se puede apreciar el coeficiente de magnificacin es pequeo, aunque superior a la unidad. La amplitud que se alcanzar, al pasar el sistema por la zona de resonancia ser:

41

mm572,2mm2286,1exc286.11ampl === La amplitud de las vibraciones es grande, lo que se debe a la gran excentricidad que presenta la pieza desbalanceada.

b) Fuerza transmitida a la base en el momento de la resonancia.

Se calcular primero el mdulo de la fuerza de inercia, que acta en ese momento.

N478,5)084,13(002,016resexcmd1Fin 22 === El coeficiente de transmisibilidad ser:

807,21Tr

nres

ccrct2

nres1

nres

ccrct21

1Fin1ftrans1Tr

22

2

2

2

=

+

+==

La fuerza transmitida a la base ser: N378,15478,5807,21Fin1Tr1ftrans === Aunque el coeficiente de transmisibilidad es medio, la fuerza que se transmite a la base es pequea, ya que la fuerza excitadora es pequea.

c) Amplitudes durante el trabajo a la velocidad nominal.

Para el rgimen nominal la relacin de las frecuencias angulares es: 209,6649,1254,78

ntr ==

El coeficiente de magnificacin se obtendr por medio de la expresin:

22

2

2

2

ntr

ccrct2

ntr1

ntr

mmaqmpiez

exc2ampl

+

=

Sustituyendo en la expresin anterior, se obtiene:

[ ] [ ] 468,0209,618,02)209,6(1)209,6(

mmaqmpiez

exc2ampl

222

2

=+

=

El coeficiente de magnificacin es pequeo. La amplitud en este rgimen ser:

mm937,0mm2468,0exc468,02ampl === Aunque el coeficiente de magnificacin es pequeo, la amplitud de las vibraciones es relativamente grande para el rgimen nominal, lo que se debe a la gran excentricidad de la pieza desbalanceada.

d) Fuerza transmitida a la base durante el trabajo a la velocidad nominal.

El mdulo de la fuerza de inercia para el rgimen nominal ser:

N392,197)54,78(002,016trexcmpiez2Fin 22 === La fuerza transmitida a la base se obtiene a partir del coeficiente de transmisibilidad.

42

065,02Tr

ntr

ccrct2

ntr1

ntr

ccrct21

2Fin2ftrans2Tr

22

2

2

2

=

+

+==

La fuerza transmitida a la base ser: N89,12392,197065,02Fin2Tr2ftrans === Como demuestra este resultado, la fuerza transmitida a la base en el rgimen nominal es pequea.

e) Comportamiento del coeficiente de magnificacin.

En la figura 2.10.3 se muestra el comportamiento del coeficiente de magnificacin, para el intervalo de la frecuencia angular de cero a 80 radianes por segundo. En la curva se nota claramente el pico de resonancia y la cada posterior de los valores, a medida que la frecuencia angular se hace ms grande.

f) Comportamiento del coeficiente de transmisibilidad.

En la figura 2.10.4 se muestra el comportamiento del coeficiente de transmisibilidad. En esta curva tambin se nota claramente el pico de resonancia y la cada de los

valores del coeficiente de transmisibilidad, a medida que aumenta la frecuencia angular.

Analizando los resultados obtenidos, se puede llegar a la conclusin de que la suspensin presenta buenas cualidades para la atenuacin de las amplitudes, ya que, tanto en la resonancia, como en el rgimen de trabajo nominal, los coeficientes de magnificacin son pequeos. Las grandes amplitudes que aparecen en el sistema se deben a la gran excentricidad, que presenta la pieza rotatoria. Para el aislamiento de las fuerzas excitadoras, tambin el sistema presenta buenas cualidades, si se tiene en cuenta que el paso por la resonancia, donde el coeficiente de transmisibilidad es ms alto, es rpido, y la fuerza excitadora es pequea, lo que hace menos problemtica la situacin.

43

Problema 2. Suspensin de una motobomba. Una motobomba de 200 kgf de peso total rota a 900 rpm. El impelente, que est desbalanceado, pesa 30 kgf y presenta una excentricidad de 2 mm. La motobomba debe ser montada sobre cuatro resortes helicoidales de acero iguales, para evitar la transmisin de las vibraciones al piso de la planta, durante su funcionamiento, como se muestra en la figura 2.10.5. No se dispone de dispositivos amortiguadores independientes, y la relacin de amortiguamiento, que garantizan los resortes, es de 0,005. El coeficiente de transmisibilidad no debe ser superior a 0,15. Determine los siguientes parmetros:

a) Coeficiente de rigidez total y de cada resorte. Deflexin esttica de los resortes.

b) Frecuencia natural y frecuencia natural con amortiguamiento del sistema.

c) Coeficiente de transmisibilidad real.

d) Amplitud de las vibraciones durante el arranque y parada de la mquina (en la zona de resonancia).

e) Fuerza transmitida al piso durante el arranque y parada (en la zona de resonancia).

f) Amplitud de las vibraciones durante el funcionamiento a la velocidad de trabajo.

g) Fuerza transmitida al piso durante el funcionamiento a la velocidad de trabajo.

Notas aclaratorias:

Como los cuatro resortes sern iguales y estn distribuidos uniformemente en la base, este sistema se puede analizar como un sistema de un grado de libertad, como se muestra en la figura 2.10.6, con la consiguiente simplificacin de los clculos.

Como la relacin de amortiguamiento es tan pequea, en los clculos preliminares se puede despreciar el amortiguamiento, lo que simplifica significativamente el problema.

Solucin. El primer paso que se debe dar es definir claramente los datos iniciales:

Peso total de la motobomba: Wt = 200 kgf. Peso del impelente desbalanceado: Wd = 30 kgf. Excentricidad de la pieza