Vibraciones Mecánicas.

El aumento permanente de las potencias en máquinas, junto con una disminución simultánea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad industrial, hacen que el análisis dinámico de las vibraciones mecánicas en máquinas e instalaciones industriales sea cada vez más exacto.

El Ingeniero debe ser capaz de trabajar sobre vibraciones, calcularlas, medirlas, analizar el origen de ellas y aplicar correctivos. Hace más o menos 40 años, la temática de vibraciones mecánicas se constituyó en parte integral de la formación de ingenieros mecánicos en los países industrializados.

El fenómeno de las vibraciones mecánicas debe ser tenido en cuenta para el diseño, la producción y el empleo de maquinaria y equipos de automatización. Así lo exige un rápido desarrollo tecnológico del país.

Aunque este artículo se enfoca hacia las vibraciones en sistemas mecánicos, el texto y los métodos analíticos empleados son compatibles con el estudio de vibraciones en sistemas no mecánicos.

Después de saber en una pequeña introducción que son y qué podemos hacer con las vibraciones mecánicas. Veremos cuál es la definición correcta para vibración.

DEFINICION DE VIBRACIÓN. (Monografías http://www.monografias.com/trabajos81/vibraciones-mecanicas/vibraciones-mecanicas2.shtml#vibraciona)

No existe una definición bien exacta de VIBRACION; más sin embargo, se pueden considerar como vibraciones, las variaciones periódicas temporales de diferentes magnitudes.

Específicamente, una vibración mecánica es el movimiento de una película o de un cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio.

Al intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se le llama PERIODO de la vibración. El número de ciclos por unidad de tiempo define la FRECUENCIA del movimiento y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se llama AMPLITUD de la vibración.

Las causas de las vibraciones mecánicas son muchas, pero básicamente las vibraciones se encuentran estrechamente relacionadas con tolerancias de mecanización, desajustes, movimientos relativos entre superficies en contacto, desbalances de piezas en rotación u oscilación, etc.; es decir, todo el campo de la técnica.

Los fenómenos anteriormente mencionados producen casi siempre un desplazamiento del sistema desde su posición de equilibrio estable originando una vibración mecánica.

DEFINICION DE VIBRACION. (Wiki pedía http://es.wikipedia.org/wiki/Vibraci%C3%B3n )

Se denomina vibración a la propagación de ondas elásticas produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio continuo (o posición de equilibrio).

No debe confundirse una vibración con una oscilación. En su forma más sencilla, una oscilación se puede considerar como un movimiento repetitivo alrededor de una posición de equilibrio. La posición de "equilibrio" es a la que llegará cuando la fuerza que actúa sobre él sea cero. Este tipo de movimiento no involucra necesariamente deformaciones internas del cuerpo entero, a diferencia de una vibración.

CONSECUENCIAS DE LAS VIBRACIONES.

La mayor parte de vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables porque aumentan los esfuerzos y las tensiones y por las pérdidas de energía que las acompañan. Además, son fuente de desgaste de materiales, de daños por fatiga y de movimientos y ruidos molestos. " Todo sistema mecánico tiene características elásticas, de amortiguamiento y de oposición al movimiento; unas de mayor o menor grado a otras; pero es debido a que los sistemas tienen esas características lo que hace que el sistema vibre cuando es sometido a una perturbación ". " Toda perturbación se puede controlar, siempre y cuando anexemos bloques de control cuya función de transferencia sea igual o invertida a la función de transferencia del sistema ". " Si la perturbación tiene una frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema, la amplitud de la respuesta puede exceder la capacidad física del mismo, ocasionando su destrucción.

CLASIFICACION DE LAS VIBRACIONES MECANICAS.

Las vibraciones mecánicas pueden clasificarse desde diferentes puntos de vistas dependiendo de: a) la excitación, b) la disipación de energía, c) alinealidad de los elementos y las características de la señal.Dependiendo de la excitación

•Vibración Forzada•Vibración libre

Una Vibración libre es cuando un sistema vibra debido a una excitación del tipo instantánea, mientras que la vibración forzada se debe a una excitación del tipo permanente. Esta importante clasificación nos dice que un sistema vibra libremente si solo existen condiciones iniciales del movimiento, ya sea que suministremos la energía por medio de un impulso (energía cinética) o debido a que posee energía potencial, por ejemplo deformación inicial de un resorte.Dependiendo de la disipación de energía

•No amortiguada•Amortiguada

El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios y se manifiesta con la disminución del desplazamiento de vibración. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material por ejemplo la fricción, o bien, o como un elemento físico llamado precisamente amortiguador. Por lo tanto, la vibración amortiguada es aquella en la que la frecuencia de oscilación de un sistema se ve afectada por la disipación de la energía, pero cuando la disipación de energía no afecta considerablemente a la frecuencia de oscilación entonces la vibración es del tipo no amortiguada

VIBRACIONES LIBRES.

Aunque los sistemas vibratorios generalmente trabajan como sistemas forzados el análisis de sistema libres adquiere importancia debido a que uno de los problemas a los que "las maquinas temen" es la resonancia. Según su concepto la resonancia se presenta cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia de resonancia. La frecuencia natural es la frecuencia de los sistemas vibratorios en la vibración libre, de aquí que el cálculo de frecuencias naturales es importante.

MOVIMIENTO ARMONICO.

El movimiento armónico es importante de estudiar ya que tiene similitud con muchos movimientos de sistemas vibratorios, todo movimiento periódico debe satisfacer: X (t) = X (t +ζ)

EC 3.1 Vamos a ver qué significa esto. Un movimiento periódico es un movimiento que se repite a intervalos de tiempo llamados periodos ‘ζ ’. La frecuencia se define como el número de ciclos por unidad de tiempo, de tal forma que se relaciona con el periodo de la forma = 1/ζ

(EC. 3.2) Las unidades de la ecuación 3.2 son ciclos/seg.

6.1- VIBRACIONES NO AMORTIGUADAS.

6.1.1 VIBRACIONES LIBRES

El amortiguamiento es un sinónimo de la perdida de energía de sistemas vibratorios. Este hecho puede aparecer como parte del comportamiento interno de un material, de rozamiento, o bien, un elemento físico llamado amortiguador.Un sistema es no amortiguado si no existe en su composición ningún elemento que disipe energía. Es la vibración resultante de separar un sistema de su posición de equilibrio y liberarlo sin excitación externa alguna.En un sistema de estas características, se mantendrá indefinidamente en el tiempo la vibración libre que se produce tras alejarlo de su posición de equilibrio y liberarlo.

ANALISIS DEL EJEMPLO

Así, son los ejemplos de vibración libre la vibración de un trampolín tras el salto del nadador, o la vibración resultante en una estructura tras golpearla con un martillo.Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez.Los grados de libertad de un sistema dependen del número de variables necesarias para describir dicho moviendo.

Por ejemplo, en la figura A1 la masa se mueve a consecuencia de la vibración el muelle que se supone combinada en la vertical, y su movimiento puede describirse con una coordenada, por lo que posee un único grado de libertad. La barra suspendida de dos muelles en la figura B1 necesita dos variables, tal como se muestra y por consiguiente posee dos grados de libertad.

FIGURA A1 FIGURA B1

VIBRACION LIBRE NO AMORTIGUADA.

En este apartado se estudiara el modelo más simple de tal modo que una ecuación matemática denotara su comportamiento. Este modelo lo llamaremos el modelo típico, y la ecuación diferencial que determinase su comportamiento lo llamaremos la forma canónica de un sistema libre no amortiguado. La figura, muestra este modelo un sistema de masa ‘m’ y una constante elástica ‘k’ vamos a realizar un estudio estático y cinético con el fin de determinar la ecuación diferencial que determinara el movimiento, posteriormente veremos la solución de la ecuación diferencial para ver la respuesta en el tiempo del sistema, así como la formula que determina el cálculo de la frecuencia natural.

6.1.1 VIBRACIONES LIBRES DE LA PARTICULA Y CUERPOS RIGIDOS.

Determinación de la Energía Cinética de un Cuerpo Rígido Sujeto a Movimiento Plano General.

De la cinética de partículas es bien conocido que la energía cinética de una partícula está dada por:

Por lo tanto, la energía cinética de un cuerpo rígido B está dada por:

Donde M es una partícula arbitraria, cuya masa es dm. Expresando la velocidad de la partícula en términos de la velocidad del centro de masas, vea la figura 1 se tiene que

Por lo tanto, la ecuación (2) se reduce a

Donde | ω | es la magnitud del vector velocidad angular ω y ˆu es un vector unitario a lo largo de la dirección de la velocidad angular.

Es evidente que

Sustituyendo estos resultados en la ecuación (4), se tiene que la energía cinética de un cuerpo rígido sujeto a movimiento plano general está dada por

Ahora bien, sin pérdida de generalidad, se supondrá que el plano de movimiento del cuerpo del cuerpo rígido sujeto a movimiento plano general se reduce a

Determinación de la Energía Cinética de un Cuerpo Rígido Sujeto a Movimiento de Traslación.

Si el cuerpo rígido está sujeto a movimiento de traslación, se tiene que

Por lo tanto, la energía cinética de un cuerpo rígido sujeto a movimiento de traslación está dada por

Esta ecuación corresponde precisamente a la energía cinética de una partícula.

Determinación de la Energía Cinética de un Cuerpo Rígido Sujeto a Movimiento de Rotación Baricéntrica.

Si el cuerpo rígido está sujeto a movimiento de rotación baricentrica, se tiene que el centro de masas del cuerpo, G, está localizado en el eje de rotación y, por lo tanto,

Por lo tanto, la energía cinética de un cuerpo rígido sujeto a movimiento de rotación Bari céntrica está dada por

Suponga que el cuerpo rígido está sujeto a movimiento de rotación no Bari céntrica, entonces suponga que el eje de rotación intersecta el plano de movimiento del cuerpo en el punto O —este punto no tiene velocidad—, es decirV O=0 y la velocidad del centro de masas, G, está dado por

Donde, puesto que se emplea el concepto de placa representada,w y rGO

son perpendiculares.

Por lo tanto, se tiene que la energía cinética de un cuerpo rígido sujeto a movimiento de rotación no Bari céntrica está dada por

Donde se aplicó el teorema de Steiner o de ejes paralelos para obtener

3. Determinación del Trabajo Realizado por las Fuerzas Internas Cuando un Cuerpo Rígido Sufre un Desplazamiento Euclideo.

En esta sección determinaremos el trabajo realizado por las fuerzas internas cuando un cuerpo rígido sufre un desplazamiento Euclideo. Considere dos partículas Pi y Pj que pertenecen a un cuerpo rígido, B, cuyo centro de masas está dado por G, vea la figura 2. Las velocidades de estos puntos, en términos de la velocidad de G, están dadas por

Figura 2: Determinación del Trabajo Realizado por las Fuerzas Internas de un Cuerpo Rígido Sujeto a Movimiento Plano General.

La diferencial del trabajo efectuado por la pareja de fuerzas que actúan sobre Pi y Pj y que son producidas por Pj y Pi respectivamente, está dado por

Sin embargo,

De manera que

Sin embargo, de la figura dos se tiene que

Por lo que

Debe notarse que mientras que f ij es paralela a la línea que conecta las partículas Pi y Pj, el vector w y r Pi/P j es

necesariamente perpendicular a esa misma línea, por lo tanto

Este resultado indica que el trabajo realizado por la pareja de fuerzas internas f ij y f jicuando un cuerpo rígido sufre un desplazamiento Euclideo es nulo. Por lo tanto, extrapolando este resultado a la totalidad de las fuerzas internas que actúan sobre un cuerpo rígido B, se tiene que

Este resultado indica que el trabajo realizado por las fuerzas internas cuando un cuerpo rígido sufre un desplazamiento Euclideo es nulo y no necesita considerarse en la aplicación del método de trabajo y energía aplicado a cuerpo rígido.

Determinación el Trabajo Realizado por un Par de Fuerzas Sobre un Cuerpo Rígido Sujeto a Movimiento Plano General.

En esta sección determinaremos el trabajo realizado por un par de fuerzas sobre un cuerpo rígido sujeto a movimiento plano general. Considere dos partículas Pi y Pj que pertenecen a un cuerpo rígido, B, cuyo centro de masas está dado por G, vea la figura 3. Las velocidades de estos puntos, en términos de la velocidad de G.

La diferencial del trabajo efectuado por el par de fuerzas,F que actúan sobre Pi y Pj está dado por.

Sin embargo

De manera que

DondeT Fes el momento o torque producido por el par de fuerzas F aplicado a las partículas Pi y Pj . Debe reconocerse que, en movimiento plano general los ´únicos momentos que pueden producir trabajo son aquellos cuya dirección coincide con la dirección del vector velocidad angular W , perpendicular al planode movimiento del cuerpo rígido. En esas circunstancias, es posible prescindir del carácter vectorial de la ecuación (20) y reducirla a

De modo que el trabajo realizado por el par de fuerzas se reduce a

En particular, si la magnitud del par de fuerzas permanece constante durante el periodo para el cual se determina el trabajo, se tiene que

Determinación de las Ecuaciones del Método de Trabajo y Energía para Cuerpos Rígidos.

En esta sección, los resultados obtenidos en la aplicación del método de trabajo y energía para una partícula se extrapolarán a cuerpos rígidos. Considere la ecuación de trabajo y energía para una partícula, dada por

Donde Ti es la energía cinética de la partícula en la posición i y U1→2 es el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas a la partícula durante la trayectoria seguida por la misma partícula al pasar de la posición 1 a la posición 2. Por lo tanto, cuando se considera un cuerpo rígido la ecuación del método de trabajo y energía, (24), se transforma en

Donde ahora la integral

Representa la energía cinética del cuerpo rígido en la posición i y, de acuerdo a la ecuación (8), está dada por

o por alguno de los casos particulares indicados en la sección 2. Por otro lado, la integral

Representa el trabajo efectuado por todas las fuerzas aplicadas sobre todas las partículas del cuerpo rígido. Sin embargo, los resultados obtenidos en la sección3 indican que el trabajo realizado por las fuerzas internas al cuerpo rígido es nulo. Por lo tanto U1→2 representa el trabajo efectuado por todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo rígido.

Finalmente, la ecuación que representa el método de trabajo y energía para cuerpos rígidos está dada por

6.1.2 VIBRACIONES FORZADAS

En la figura 19.22, la masa m está suspendida de un muelle de constante k y sometida a una fuerza perturbadora periódica F=coswt Analizar el movimiento.

ANALISIS

La ecuación diferencial, comparada con la de las vibraciones libres, posee ahora un término adicional:

−kx+F coswt=m d2 xd t 2

d2 xd t 2

+ kxm

= Fmcoswt

Según la teoría de ecuaciones diferenciales, la solución de esta ecuación consta de la suma de dos partes: (1) la solución para el caso en que el segundo miembro es cero (parte transitoria) y (2) una solución que satisfaga

d2 xd t 2

+ kxm

= Fmcoswt

Supongamos que la segunda solución, llamada solución estacionaria, sea de la forma x=Xcos wt . Entonces, dxdt

=−Xw senwt y d2 xd t 2

=−X w2 coswt .

Sustituyendo,

−X w2coswt+ km

=Fmcoswt

Por tanto, X debe valer (F /k ) (1−w2m /k ) .

Sea ∆F la deformación que la fuerza F produciría en el muelle si actuase sobre el estáticamente; es decir, ∆F=F /k . Nótese también que wn

2=k /m, donde wn es la pulsación natural en ausencia de fuerza perturbadora.

Entonces, X puede escribirse

∆F1−¿¿

Por comodidad, hacemos w /wn=r , con lo que la solución estacionaria podemos escribirla

x=∆F1−r2

coswt

Obsérvese que la pulsación es la misma que la pulsación de la perturbación.

La solución completa será

x=A sen√ km t+Bcos √ km t+ 11−r2

∆F coswt

Los dos primeros términos, que representan las vibraciones libres, son de naturaleza transitoria pues siempre hay algo de viscosidad que causa el amortiguamiento de esas vibraciones. Por tanto, nos ocupamos solo de la solución

x=∆F1

1−r 2coswt

Su valor máximo, que se da cuando coswt=1, es ∆F /(1−r2¿)¿ y se conoce como amplitud. El cociente de la

amplitud del estado estacionario dividida por la deformación estática ∆F que F causaría recibe el nombre de factor de amplificación. Su valor es

∆F/ (1−r2)

∆F= 11−r2

Que, como r=w /wn=f / f n puede escribirse

11−¿¿

Este valor puede ser positivo o negativo, según que f sea o no sea menor que f n. Cuando f=f n tiene lugar la resonancia y la amplitud se hace teóricamente infinita. En realidad, el amortiguamiento viscoso que siempre está presente, mantiene la amplitud en un valor infinito.

En la Figura 19.23 se muestra una gráfica de la amplificación en función de la relación de frecuencias r.

El valor negativo r > 1 indica que la fuerza F y el desplazamiento x son de sentidos contrarios. Nótese que cuando r=√2, el factor de amplificación es

11−¿¿

Esto significa que si la relación r se hace mayor que √2, el factor de amplificación es menor que 1. Así pues, en tales condiciones, la fuerza perturbadora produce un desplazamiento menor que si se aplicara estáticamente.

EJEMPLOS:

Problema 1. El cilindro uniforme A de 4 kg, cuyo radio r = 150mm, tiene velocidad angular ω0 = 50rad/s cuando se pone en contacto con un cilindro idéntico B que está en reposo. El coeficiente de fricción cinética en el punto de contacto D es μk. Después de un periodo de deslizamiento los cilindros alcanzan, al mismo tiempo, velocidades angulares constantes de igual magnitud y dirección opuesta. Si el cilindro A ejecuta tres revoluciones antes de llegar a la velocidad angular constante, y el cilindro B completa una revolución antes de alcanzar la velocidad angular constante, determine a) la velocidad angular final de cada cilindro, b) el coeficiente de fricción cin´etica.1

Solución: La figura 5 muestra los diagramas de cuerpo libre de ambos cilindros.

Diagrama de cuerpo libre de dos cilindros sujetos a fricción

En la aplicación del método de trabajo y energía para cuerpos rígidos, se necesitan determinar cuáles son las posiciones 1 y 2. En este caso, las posiciones están determinadas por

1. La posición 1 ocurre justo cuando los discos se ponen en contacto. En este caso, para cada uno de los discos

2. La posición 2 ocurre cuando ambos discos tienen la misma velocidad angular, en sentidos opuestos, y por lo tanto, no hay deslizamiento. Para esta posición, para cada uno de los discos, IA = IB, por lo que

Finalmente, es necesario calcular el trabajo efectuado por las fuerzas que sirealizan trabajo, que en este caso son los momentos producidos por las fuerzas de fricción

Y

Por lo tanto para el disco A

Y para el disco B

Restando termino a término ambas ecuaciones se obtiene que

O

Finalmente la velocidad angular de ambos discos es

Problema 2. Una fuerza perturbadora de 9N actúa armónicamente sobre una masa de 5kg suspendida de un muelle de constante 6N /mm. ¿Cuál es la amplitud de su carrea si la frecuencia perturbadora es (a) 1hz, (b) 5,40Hz, (c) 50Hz?

Solución

La frecuencia natural del sistema es

f n=12π √ km= 1

2 π √ 60005 =5,51Hz

La deformación que la fuerza perturbadora produciría en el muelle si se aplicase estáticamente es ∆F= 9/6 = 1,5 mm.

(a) La relación de frecuencias es r = f / f n = 1/5,51 = 0,185; por tanto, la amplitud es ∆F/ (1 - r2) = 1,5/(1 – 0,3229) = 1,551 mm.

(b) La relación de frecuencia es r = 5,40/5,51; por tanto, la amplitud es 37,9 mm. (c) La relación de frecuencias es r = 50/5,51; por tanto, la amplitud es -0,018 mm. Nótese que en este caso

la amplitud es de sentido contrario al de la aplicación de la fuerza, pero su valor es despreciable.

Problema 3.

Un objeto de 10 kg está suspendido por dos muelles idénticos de constante elástica K=500 N/m asociados en

serie, y un amortiguador de tipo viscoso de constante c=90 N·s/m.

Calcular:

a) Coeficiente de amortiguamiento crítico

b) Factor de frecuencias (Ω)

c) Valor del pseudoperiodo justificando su existencia

d) Si, inicialmente, se separa de su posición de equilibrio estable

5cm, calcular la energía total en ese instante

e) Indicar el principio de conservación de la energía que cumple

Solución:

a) Constante equivalente (serie)

a) Factor de frecuencias

Comprobación:

b) Pseudoperiodo, existe por ser un amortiguamiento subcrítico

d) Cumple el principio de conservación de la energía total, el principio de conservación de la energía

mecánica no lo cumple por existir fuerza amortiguadora disipadora de energía

Problema 4.

Un bloque de 4 kg. de masa se mueve entre guías verticales suspendido por dos muelles iguales de constante

recuperadora elástica K1 = K2 = 50 N/m, como se indica en la figura.

Calcular:

a) Ecuación de las pequeñas oscilaciones del sistema.

b) Periodo y frecuencia del movimiento resultante.

c) Velocidad y aceleración máxima del bloque si la amplitud del movimiento es

a=60 mm.

Solución:

a) Los muelles están asociados en paralelo y oscilan con vibración libre sin amortiguamiento de

acuerdo a la ecuación:

mx ' '+k p x=0 ; 4 x' '+100 x=0 ; x ' '+25 x=0

k p=k1+k 2=100Nm

a) La frecuencia natural y el periodo son:

= W n=√ km=5 rads; T=2π

W n = 2π5

=1,25 s

c) La velocidad máxima del bloque para una amplitud de a=60 mm es:

xmax' =aW n=0,3

ms

Y la aceleración máxima es:

xmax' =aW n

2=1,5

m

s2