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F2F2Bach

Fundamentos de Mecánica

Magnitudes vectorialesDerivación

IntegracióngCinemática

DinámicaEnergía mecánicaEnergía mecánica

Dinámica del sólido rígido

1. Magnitudes vectorialesg

• Magnitudes escalares y vectoriales.

/ / /u i u j u k

g y• Vectores unitarios:

–Componentes cartesianas de un vector / , / , / x y xu i u j u kComponentes cartesianas de un vector.–Operaciones con vectores: Suma, resta, multiplicación por un escalar, módulo de un vector, componentes cartesianas de un vector

• Producto escalar y vectorial de vectores

, , punitario.

y

( ) ( )=

x y z x y z

a b a b cos

a b a i a j a k b i b j b k

θ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = + + ⋅ + + ( ) ( )=

x y z x y z

a b a b sen

a b a i a j a k b i b j b k

θ× ⋅ ⋅

× = + + × + +( ) ( )x y z x y z

x x y y z z

x x y y z z

j j

a b a b a b a b

a b a b a bθ

⋅ = + +

+ +

( ) ( )

x y z

i j ka b a a a× =

Fundamentos de mecánica 2º Bach 2

x x y y z zcosa b

θ =⋅ x y zb b b

Ejemplo 1Ejemplo 1 Dados los vectoresDados los vectores uu yy uu determina:determina: 1 2 3 6u i j k= + +Ejemplo 1.Ejemplo 1. Dados los vectores Dados los vectores uu11 y y uu22, determina:, determina:

-- El vector suma:El vector suma:2 2 3u i j k= + +

-- El producto escalar:El producto escalar:

-- El producto vectorial:El producto vectorial:

-- El ángulo que forman:El ángulo que forman:

Ejemplo 2.Ejemplo 2. La suma de dos vectores La suma de dos vectores uu11 y y uu22 nos da un vector nos da un vector vv, cuyas , cuyas d d (1d d (1 1 6) i d l d t t i l d1 6) i d l d t t i l d ddcoordenadas son (1, coordenadas son (1, --1, 6); siendo el producto vectorial de 1, 6); siendo el producto vectorial de uu11 ×× uu22 = = ww de de

coordenadas (3, 9, 1); Calcula las componentes de los vectores coordenadas (3, 9, 1); Calcula las componentes de los vectores uu11 y y uu22 ..


2. Cálculo diferencial

• Derivada de una funciónSi d b í f ió ( ) d t i d– Si deseamos saber como varía una función y(x) en un determinado

intervalo de x, hacemos: yΔΔ

– Pero si Δx es extremadamente pequeño, y(x) es una función continua de x no discreta y queremos determinar como varía y(x) en

xΔ

continua de x no discreta, y queremos determinar como varía y(x) en un instante, en un infinitésimo de x, en este caso escribimos lo siguiente:

li yΔg

– Este valor en el límite, cuando Δx 0, es lo que se conoce como 0

limx

yxΔ → Δ

, , qderivada de y respecto de x.

( ) ( )lim limdy y y x x y xΔ + Δ −= =

Fundamentos de mecánica 2º Bach 40 0

lim limx xdx x xΔ → Δ →

= =Δ Δ

• Propiedades de las derivadasd– La derivada de una constante es cero. 0dadt

=

– La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas.( )d f g df dg+

= +

– Derivada de un producto de funciones:dt dt dt

= +

p

( )d f g dg dff gdt dt dt⋅

= ⋅ + ⋅

– Derivada de un producto de una función por un número:

dt dt dt

p p( )d a f dfadt dt⋅

= ⋅


dt dt

– La derivada de un cociente:df dg

2

df dgg fd f dt dtdt g g

⋅ − ⋅⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

– La regla de la cadena, cuando f es una función de x, y x es una

dt g g⎝ ⎠

función de t:( )d f df dxdt dx dt

= ⋅•Derivada parcial: Sea una función f(x,y,z) de varias variables. Derivada parcial de esta

dt dx dt

( ,y, ) pfunción respecto a una de sus variables, es la derivada con respecto a dicha función considerando las demás constantes y se representa:

fx

δδ


• Vector gradiente de una función escalarSea V(x,y,z) una función escalar dependiente de tres variables.– Se define gradiente del siguiente modo:

grad ( , , ) V V VV x y z i j kx y z

δ δ δδ δ δ

= + +

Es un vector, que tiene por componentes las derivadas parciales de la

y

q p p pfunción con respecto a cada una de las componentes. Para representarlo también se utiliza el operador nabla, ∇.

grad ( , , )V x y z V i j k Vδ δ δδ δ δ⎛ ⎞

= ∇ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

g ( , , )y jx y zδ δ δ⎜ ⎟

⎝ ⎠


3. Cálculo integral

La integración es la operación inversa a la derivación, así la integral de una función f(x) es otra función y(x) tal queuna función f(x) es otra función y(x) tal que

( )dy f xdx

=

• Integral indefinida: la integral de una función es otra función, no hay límites de integración

dx

límites de integración.

( )( ) ( ) porque ( ) ( )df x dx y x C y x C f xd

= + + =∫• Integral definida: tiene límites de integración y suele dar un valor. Es una suma de infinitos sumandos infinitamente pequeños

( )dx∫

una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

0lim ( ) ( )

x

ixf x x f x dx

Δ →⋅Δ =∑ ∫Fundamentos de mecánica 2º Bach 8

00x i x

Δ →

Algunas derivadas importantes Algunas integrales importantes

1n nd d C− ∫

( )

1

2

n na x an x dx x Cdxd x

⋅ = ⋅ = +∫

∫( )1

sen cos2

n

d xax a x x dx Cdxd x +

= ⋅ = +∫

( )cos sen1

1 1

nd xax a x x dx Cdx nd

= − ⋅ = ++∫

( ) 1 1ln lnd ax dx x Cdx x x

= = +∫


Deriva las siguientes funcionesDeriva las siguientes funciones Integra las siguientes expresionesIntegra las siguientes expresiones

27 4 3 5y x x dx= − + =∫( ) 22 sen 3 3

3

y x x x dx= − =∫( )3

2

32 7 cos 2

1 2

y x x dxx

= − ⋅ =∫

( ) 2

3

1 2ln 33

xy x dxx x

= − =−∫

( )3

2

1

3 2 3cos

xy x dxx −

= − =∫


4. Cinemática del punto material

Ci á i

4. Cinemática del punto material

• Cinemática• Conceptos previos:

MovimientoΔr

y Δs

– Movimiento– Punto material– Sistema de referencia

r1 r2

• Magnitudes cinemáticas:– Trayectoria

Vector de posición

x

r xi y j xk= + +– Vector de posición– Vector desplazamiento– Espacio recorrido

r xi y j xk= + +

2 1r r rΔ = −sΔ

– Velocidad– Aceleración


• Trayectoria es el lugar geométrico de las posiciones sucesivaspor las que pasa un cuerpo en su movimiento. Depende delsistema de referencia.

• Vector de posición es el vector que une el origen decoordenadas con el móvil y depende del tiempo:y p p

• Vector desplazamiento es el vector diferencia entre dos( ) ( ) ( )r x t i y t j z t k= + +

• Vector desplazamiento es el vector diferencia entre dosvectores de posición.

Δ• Espacio recorrido es la longitud medida sobre la trayectoria.

2 1r r rΔ = −

Es una magnitud escalar.s rΔ ≠ Δ


• Velocidad– Velocidad media es el desplazamiento recorrido m

rv Δ=Δdesplazamiento recorrido

en la unidad de tiempo

m tΔ

– Velocidad instantánea es el valor de la velocidad media en un instante, cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

lim r d rv vd

Δ= ⇒ =

La velocidad es siempre tangente a la trayectoria. Coordenadas cartesianas e intrínsecas de la elocidad

0t t d tΔ → Δ

Coordenadas cartesianas e intrínsecas de la velocidad.

x y z tv v i v j v k v v u= + + =Fundamentos de mecánica 2º Bach 13

x y z tj

• Aceleración– Aceleración media es el cambio de velocidad en la unidad

de tiempo. vΔde tiempo.

A l ió i t tá l l d l l ió

mvat

Δ=Δ

– Aceleración instantánea es el valor de la aceleración en un instante, cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

0lim

t

v dva at tΔ →

Δ= ⇒ =

Δ Δ

Coordenadas cartesianas e intrínsecas de la aceleración.2d 2

x y z t ndv va a i a j a k a u udt r

= + + = +


Movimientos rectilíneos en una dimensión

• MRU: Movimiento con trayectoria rectilínea y velocidad• MRU: Movimiento con trayectoria rectilínea y velocidad constante.

x tdxv dx v dt dx v dt x x v t= ⇒ = ⇒ = ⇒ = +∫ ∫• MRUA: Movimiento con trayectoria rectilínea y aceleración

000x

v dx v dt dx v dt x x v tdt

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = +∫ ∫

constante.v tdva dv a dt dv a dt v v a t= ⇒ = ⇒ = ⇒ = +∫ ∫0

00

21( )

v

x t

a dv a dt dv a dt v v a tdtdxv dx v dt dx v at dt x x v t a t

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = +

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + +

∫ ∫

∫ ∫0

0 0 00( )

2xv dx v dt dx v at dt x x v t a t

dt= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + +∫ ∫


Movimientos rectilíneos en dos dimensiones

• Tiro horizontal: – En el eje x, un MRU de velocidad inicial v0.– En el eje y, un MRUA de aceleración g

00x

x v tv v ==21

2yv g t y g t= − = −


Movimientos rectilíneos en dos dimensiones

• Tiro oblicuo: – En el eje x, un MRU de velocidad inicial v0x.– En el eje y, un MRUA de aceleración g y velocidad inicial v0y.j y, g y 0y

00

2

coscos1sen

xx v tv v

v v g t t t

ααα

==

– Alcance máximo (xm cuando y=0)

20 0sen sen

2yv v g t y v t g tα α= − = −

2 2Alcance máximo (xm cuando y 0)

Altura máxima (y cuando v =0)

20 sen 2

mvx

gα

=

– Altura máxima (ym cuando vy=0)2 20 sen

2mvy

gα

=


g

• Movimiento circularSon siempre movimientos acelerados; tienen aceleración centrípeta

– Magnitudes angulares:Magnitudes angulares:Espacio angular:Velocidad angular:

θdθω =Velocidad angular:

Aceleración angular: ddtωα =

dtω =

– Relación entre magnitudes lineales y angulares

( )s r

ds d rv rdt dt

θθ ω

=

= = =

( )dt dtdv d ra rdt dt

ω α= = =


– Carácter vectorial de la velocidad y aceleración angular

v rω= ×

M i i t i l if MCU

ta rα= ×

• Movimiento circular uniforme MCUEs un movimiento de trayectoria circular y velocidad angular constante

tθ θ +0 tθ θ ω= +

• Movimiento circular uniformemente acelerado MCUAEs un movimiento de trayectoria circular y aceleración angular constante

0 tω ω α= +0

20

12

t tθ θ ω α= + +


2

Ejemplo 3.Ejemplo 3. La ecuación de la velocidad de una partícula que se mueve en La ecuación de la velocidad de una partícula que se mueve en línea recta iene dada en nidades del SI por la e presión:línea recta iene dada en nidades del SI por la e presión:línea recta viene dada en unidades del SI por la expresión:línea recta viene dada en unidades del SI por la expresión:

S bi d l i d ti l ó il t 3 d l dS bi d l i d ti l ó il t 3 d l d

34 6 2v t t= − +Sabiendo en el origen de tiempos el móvil se encuentra 3 m desplazado a Sabiendo en el origen de tiempos el móvil se encuentra 3 m desplazado a la derecha del origen. Calcular:la derecha del origen. Calcular:La ecuación de la posición en cualquier instanteLa ecuación de la posición en cualquier instanteLa ecuación de la posición en cualquier instante.La ecuación de la posición en cualquier instante.La ecuación de la aceleración.La ecuación de la aceleración.La velocidad del móvil en el origen de tiemposLa velocidad del móvil en el origen de tiemposLa velocidad del móvil en el origen de tiempos.La velocidad del móvil en el origen de tiempos.La aceleración media entre los tiempos tLa aceleración media entre los tiempos t11=1 y t=1 y t22=2 s.=2 s.

Ejemplo 4.Ejemplo 4. De arriba de una torre se lanza una piedra con una velocidad de 20 m/s y un ángulo de 37º La piedra alcanza el suelo a una distanciade 20 m/s y un ángulo de 37º. La piedra alcanza el suelo a una distancia de 160 metros con respecto a la base de la torre. Cual es laaltura de la torre. Sol.: 371,1 m


altura de la torre. Sol.: 371,1 m

Ejemplo 5.Ejemplo 5. Dos proyectiles se lanzan de abajo hacia arriba con 2 s de Dos proyectiles se lanzan de abajo hacia arriba con 2 s de i l l i l id d i i i l d 50 / l di l l i l id d i i i l d 50 / l dintervalo, el primero con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo intervalo, el primero con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con una velocidad inicial de 80 m/s.con una velocidad inicial de 80 m/s.¿Cuál será el tiempo transcurrido hasta que los dos se encuentren a la¿Cuál será el tiempo transcurrido hasta que los dos se encuentren a la¿Cuál será el tiempo transcurrido hasta que los dos se encuentren a la ¿Cuál será el tiempo transcurrido hasta que los dos se encuentren a la misma altura? ¿A qué altura sucederá? ¿Que velocidad tendrá cada uno misma altura? ¿A qué altura sucederá? ¿Que velocidad tendrá cada uno en ese momentoen ese momento?? 3,623,62 s; 117,8 m; 14,5 m/s; 54,1 m/ss; 117,8 m; 14,5 m/s; 54,1 m/sen ese momentoen ese momento? ? 3,62 3,62 s; 117,8 m; 14,5 m/s; 54,1 m/ss; 117,8 m; 14,5 m/s; 54,1 m/s

Ejemplo 6.Ejemplo 6. Un avión en vuelo horizontal, a una altura de 7840 m lleva Un avión en vuelo horizontal, a una altura de 7840 m lleva una velocidad de 450 km/h deja caer una bomba al pasar por la verticaluna velocidad de 450 km/h deja caer una bomba al pasar por la verticaluna velocidad de 450 km/h, deja caer una bomba al pasar por la vertical una velocidad de 450 km/h, deja caer una bomba al pasar por la vertical de un punto A del suelo.de un punto A del suelo.¿Al cabo de cuanto tiempo se producirá la explosión de la bomba con el¿Al cabo de cuanto tiempo se producirá la explosión de la bomba con el¿Al cabo de cuanto tiempo se producirá la explosión de la bomba con el ¿Al cabo de cuanto tiempo se producirá la explosión de la bomba con el suelo?suelo?¿Que distancia habrá recorrido entre tanto el avión?¿Que distancia habrá recorrido entre tanto el avión?¿Que distancia habrá recorrido entre tanto el avión?¿Que distancia habrá recorrido entre tanto el avión?¿A qué distancia del punto A se producirá la explosión?¿A qué distancia del punto A se producirá la explosión?¿Cuánto tiempo tardará en oírse la explosión desde el avión desde el¿Cuánto tiempo tardará en oírse la explosión desde el avión desde el


¿Cuánto tiempo tardará en oírse la explosión desde el avión desde el ¿Cuánto tiempo tardará en oírse la explosión desde el avión desde el momento en que se lanzó la bomba?momento en que se lanzó la bomba?

5. Dinámica5. DinámicaMasa, Fuerza, Impulso lineal ( ) y Cantidad de movimiento o momentolineal( )

• Leyes de la Dinámica:P i L L d i i

lineal( ).

Todo cuerpo permanece en equilibrio (reposo o mru) si no actúa ninguna fuerza neta sobre él

– Primera Ley o Ley de inercia

sobre él.0 equilibrio ó mruF v cte= ⇒ = ⇒∑

Segunda Ley o Ley fundamental de la dinámica– Segunda Ley o Ley fundamental de la dinámicaSi sobre un cuerpo actúa una fuerza neta resultante, éste experimenta una aceleración proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpoproporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

0 d pF F m ad

≠ ⇒ = =∑Fundamentos de mecánica 2º Bach 22

d t∑

– Tercera ley o Principio de acción y reacciónA toda acción le corresponde otra reacción igual y de sentido contrario. La acción y la reacción actúan simultáneamente sobre cuerpos distintos.

F F

– Conservación del momento linealij jiF F= −

Si sobre un sistema no se ejerce fuerza neta alguna, el momento lineal total del sistema se conserva.

d p0 0d pSi F p cted t

= ⇒ = ⇒ =

• Trabajo y Energía– Trabajo mecánicoEs el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento

2 2

Si F es constante cos

Si F no es constante cos

W F r W F r

W F d r W F dr

α

α

⇒ = ⋅Δ ⇒ = ⋅Δ ⋅

⇒ = ⇒ =∫ ∫Fundamentos de mecánica 2º Bach 23

1 1Si F no es constante cosW F d r W F drα⇒ = ⋅ ⇒ =∫ ∫

– Trabajo de fuerzas conservativasFuerza central es aquella que, independientemente del movimiento del cuerpo, el vector fuerza está siempre dirigido hacia le mismo punto.

Son fuerzas centrales la gravitatoria la electrostática y la elásticaSon fuerzas centrales la gravitatoria, la electrostática y la elástica.

El trabajo realizado por una fuerza depende tanto de los límites de integración como del camino seguido, C y para un camino cerrado el trabajo no tiene por qué ser nulo.camino seguido, C y para un camino cerrado el trabajo no tiene por qué ser nulo.

2 2

1 2 1 21 1 y 0C CA B

C CA B C

W F d r W F d r W F d r⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

= ⋅ ≠ = ⋅ = ⋅ ≠∫ ∫ ∫C

Hay un conjunto de fuerza para las que el trabajo no depende del camino, estas son las fuerzas conservativasEl trabajo reali ado por las f er as conser ati as para despla ar n c erpo entre dos

2 2

El trabajo realizado por las fuerzas conservativas para desplazar un cuerpo entre dos puntos no depende del camino seguido, y si se realiza a lo largo de una trayectoria cerrada el trabajo es nulo.

2 2

1 21 1Si F es conservativa

Si F es conservativa 0C CA B

C

W F d r F d r U U U

W F d r

⇒ = ⋅ = ⋅ = − = −Δ

⇒ = ⋅ =

∫ ∫

∫T d l f l i


CTodas las fuerza centrales son conservativas.

Ejemplo 7Ejemplo 7. Calcula la aceleración con la que se á l i f d dmoverá el sistema formado por dos masas

representadas en la figura, así como la tensión de la cuerda si el coeficiente de rozamiento esde la cuerda, si el coeficiente de rozamiento es de 0,3. Las masas son m1 = 1 kg y m2 = 5 kg y el ángulo del plano inclinado es de 30º

Ejemplo 8Ejemplo 8. La Tierra es un sistema de rotación y, por tanto, no inercial. Teniendo en cuenta que su radio es de 6370 km y que efectúa una

t ió l t 23 h 56 i t d t i l frotación completa en 23 horas y 56 minutos, determina la fuerza centrifuga que actúa sobre una persona de masa 70 Kg situada: a) en un punto del ecuador;a) en un punto del ecuador; b) un punto de latitud 40º; c) en el Polo.

6. Energía mecánica del punto material6. Energía mecánica del punto material

Energía, Energía cinética y Energía potencial.

Toda fuerza conservativa lleva asociada una energía potencial.

T d l í i éti d l f i• Teorema de la energía cinética o de las fuerzas vivas.

El trabajo realizado por la fuerza resultante queEl trabajo realizado por la fuerza resultante queactúa sobre un punto material es igual al incrementode su energía cinética.

B B BW F d r F d r F d r= ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

B dvm dr= ⇒∫ntA A AW F d r F d r F d r= ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

2 21 12 2

B

A

A

v

B A B Av

m drdt

W mvdv mv mv Ec Ec W Ec

= ⇒

= = − = − ⇒ = Δ

∫

∫Fundamentos de mecánica 2º Bach 26

2 2Av∫

• Teorema de la energía potencia.Cuando se trata de fuerzas conservativas, el trabajo desarrollado por este tipo defuerzas no depende del camino seguido y únicamente depende de la posicióni i i l fi l S d d fi i f ió d d l d d d linicial y final. Se puede definir una función de estado que solamente depende de laposición y a la que se denomina energía potencial.

2 2

1 21 1Si F es conservativa

C CA B

W F dr F d r U U U⇒ = ⋅ = ⋅ = − = −Δ∫ ∫El t b j li d l f ti i t di i ióEl trabajo realizado por las fuerzas conservativas se convierte en una disminuciónde la energía potencial.

Son fuerzas conservativas la gravitatoria, la electrostática y la elástica.

El nombre de conservativo se debe a que, bajo su exclusiva acción, la energíamecánica de un cuerpo se conserva.


• Teorema de conservación de la energía mecánicaSegún el teorema de la energía cinética el trabajo realizado por cualquier fuerza originaun incremento de la energía cinética.

l d l i l l b j li d l fY según el teorema de la energía potencial el trabajo realizado por las fuerzasconservativas se convierte en una disminución de la energía potencial.

S l ú f i

( )2 1 2 1S l F tiW F d r Ec Ec Ec U U

E⎫= ⋅ = Δ − = − −⎪⎬

∫

– Solo actúan fuerzas conservativas

( )2 1 2 1

1 1 2 2

Solo F es conservativa Em cteEc U Ec UW F d r U

⎪⇒ ⇒ =⎬+ = += ⋅ = −Δ ⎪⎭

∫∫

– Actúan cualquier tipo de fuerzas.

( )C NC NCW F F d r Ec Ec U WEc F d r F d r⎫= + ⋅ = Δ Δ + Δ =Δ = ⋅ + ⋅⎪∫ ∫ ∫( )Actúa cualquier F

C NC NCC NC

NCNCC

W F F d r Ec Ec U WEc F d r F d rEm WEc U WW F d r U

+ Δ Δ + ΔΔ = ⋅ + ⋅⎪⇒ ⇒⎬ Δ =Δ = −Δ += ⋅ = −Δ ⎪⎭

∫ ∫ ∫∫


Ejemplo 9Ejemplo 9. Se lanza un cuerpo de 2 kg por un plano horizontal en el que l fi i d i l 0 2 Si l l id d i i i l d 4 /el coeficiente de rozamiento vale 0,2. Si la velocidad inicial es de 4 m/s,

calcular el trabajo total realizado por la fuerza de rozamiento hasta pararsepararse.

Sol.: -16 J

Ejemplo 10Ejemplo 10. Un coche de 1500 kg acelera pasando de 0 a 100 km/h en 9 s Si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo es de 0 1s. Si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo es de 0,1, calcular el trabajo producido por el motor del coche, así como el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.p

Sol.: 762454 y183750 J

7. Dinámica del sólido rígido7. Dinámica del sólido rígido

– Sólido rígidoSe define el sólido rígido como un cuerpo indeformable, de modo que las posicionesrelativas de las partículas que lo constituyen se mantienen invariables

– Centro de masasEs la posición del cuerpo donde se puede considerar aplicada toda su masaEs la posición del cuerpo donde se puede considerar aplicada toda su masa

o si el sistema es contínuo i icm cm

rdmm rr r

M M= =∑ ∫

– Momento de una fuerza respecto de un puntoM M

E l d t t i l d l t d i ió d l f l fr FEs el producto vectorial del vector de posición , de la fuerza por la fuerza .r F

M r F= ×


– Momento angularLEs el momento de la cantidad de movimiento L r p= ×

– Teorema del momento angulargLa variación del momento angular de un sistema que se mueve en relación a unpunto material es igual al momento, respecto a dicho punto, de las fuerzas exteriores

b l ique actúan sobre el sistema

( )d r pd L d r p×

= = ×d pr r F M+ × = × =p

dt dt dt= = × r r F M

dt+ × = × =

– Principio de conservación del momento angularp g

Si el momento, respecto a un punto, de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema es nulo (aislado) el momento angular respecto al mismo punto permanecesistema es nulo (aislado), el momento angular respecto al mismo punto permanece constante

Si 0 0d LM L ctedt

= ⇒ = ⇒ =


dt

– Momento de inerciaEs una medida de la inercia rotacional de un cuerpo

2 2 2i iI mr I m r I r dm= = =∑ ∫

– Ecuación fundamental de la dinámica de rotacióni i∑ ∫

Cuando se aplica un momento externo a un sólido rígido experimentará una aceleraciónCuando se aplica un momento externo a un sólido rígido experimentará una aceleración angular proporcional al momento aplicado e inversamente proporcional a su momento de inercia.

– Trabajo y Energía cinética de rotaciónM Iα=

Trabajo y Energía cinética de rotaciónsen senrot rotW Fd r F dr F r d W M d

W E

φ φ φ φ= = = ⇒ =

Δ

∫ ∫ ∫ ∫

212

rot rot

rotrot

W EcEc IdW M d I d I d I d

dt

ω ωωφ α φ φ ω ω

= Δ

⇒ == = = =∫ ∫ ∫ ∫


0dt∫ ∫ ∫ ∫

Ejemplo 11Ejemplo 11. Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2,6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a

ó d 5 t d l j di l l dirazón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro del disco? Sol: ωf = 0,96 rad/s

Ejemplo 12Ejemplo 12 Un patinador con los brazos extendidos y las piernasEjemplo 12Ejemplo 12. Un patinador, con los brazos extendidos y las piernas abiertas y con un momento de inercia respecto a su eje vertical de 7 Kg·m2 , inicia un giro sobre si mismo con una aceleración de 2 rad/s2

durante 6 segundos, momento en el cual encoge los brazos y acerca sus piernas al eje hasta tener un momento de inercia de 4 Kg·m2. D t i l id d d i fi l S l 21 d/Determinar su velocidad de giro final. Sol.: 21 rad/s

Ejemplo 13Ejemplo 13 Un disco de 2 Kg de masa y 10 cm de radio gira alrededorEjemplo 13Ejemplo 13. Un disco de 2 Kg de masa y 10 cm de radio gira alrededor de su eje a 180 r.p.m.. Encima, pero sin que exista contacto, se encuentra otro disco de 1 Kg de masa, del mismo radio y en reposo. Cuando el disco superior se deja caer, ambos se mueven solidariamente. Calcular la velocidad angular final. Sol.: 120 rpm


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