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cios euclideanos, todos los profesores se dan cuen-ta de un hecho fundamental: el orden lógico nocoincide con el orden pedagógico.

Sin embargo, un rasgo notorio de nuestro sis-tema de enseñanza de las matemáticas es el altogrado de formalismo que caracteriza los cursos: se"presenta" materia en una forma sintética de "de-fmición -teorema- demostración" sin motiva-ción y contexto. Aunque este formalismo se debe.en parte a circunstancias históricas (es en ciertogrado un subproducto de la onda de "nuevasmatemáticas" de los años sesentas, agravado poruna rápida expansión de las labores docentes conpersonal poco capacitado para la investigación),refleja sobre todo la diferencia de madurez mate-mática entre el profesor y el estudiante. Un profe-sor que ya domina un tema prefiere organizadosegún un orden lógico; su pregunta preferida esel ¿cómo? El estudiante que enfrenta novedadesnecesita motivación y contexto; la pregunta suyaes el ¿por qué? El profesor está contento con elargumento "supongamos A; A implica B, B impli-ca C, C implica Di luego D es cierto". El estudian-te, en cambio, primero quiere saber por qué sequiere comprobar D, por cuál motivo se debe su-poner A, y a quién se le ocurrió pensar que B im-plicaría C. Sin explicaciones de esta naturaleza,que reestructuran la materia en un orden pedagó-gico, el estudiante puede fácilmente obtener laimpresión (muy difundida entre el público gene-ral) de que la matemática es un proceso de razona-miento mecánico sin contenido intuitivo.

Otra manera de jerarquizar los contenidos deun curso es seguir el orden histórico, es decir, lasucesión cronológica de la invención (o descubri-miento) de las nociones y técnicas involucradas.Ciertamente nadie seguiría este orden ciegamente

LA ENSE~ANZA DE LAS MATEMATICAS CON UN ENFASIS HISTORICO

Summary: We reconsider the problem ofwhen and how to integra te the history of mathe-matics into the undergraduate mathematics cu-rrículum. A number of altematives are reviewed,and one in particular is proposed: the design anduse of textbooks with an historical setting andemphasis. We outline a classroom experiencebasedon this method.

Resumen: Se reconsidera el problema de cuán-to y cómo integrar la historia de la matemáticaen el currículo de pregrado universitario en mate-máticas. Se pasa revista a varias alternativas y sepropone una en particular: el diseño y el uso detextos con un enfoque y un énfasis históricos.Se esboza una experiencia docente basada en estemétodo.

1. Cada vez que un profesor se enfrenta a latarea de enseñar un tema de matemáticas (o biende cualquier otra disciplina), se encuentra que sutópico puede organizarse mediante tres jerarquíasno necesariamente compatibles: el orden lógico,el orden pedagógicoy el orden histórico. Las ma-temáticas, entre todas las disciplinas, se prestanmás al orden lógico de exposición: se puede co-menzar, al estilo de Euclides, con una coleccióndedefíniciones, postulados y resultados conocidos,y seguir directamente por una cadena de razona-mientosdeductivoshasta alcanzar la meta propues-ta. Para un tema relativamente avanzado (porejemplo, la clasificación de las álgebras de Lie),estemétodo resulta muy conveniente; pero su em-pleo en contextos avanzados se apoya en la madu-rez matemática del estudiante. A la hora de ense-ñar tópicos más elementales, como el cálculo in-fínitesimal,el álgebra lineal o la topología de espa-

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un curso restringido a tópicos "elementales":geometría clásica, álgebra elemental (resoluciónde ecuaciones), el concepto de límites, derivadasy rectas tangentes, representación plana de nú-meros complejos. Cualquier intento de profun-dizar en tópicos más sofisticados (como la cons-tructibilidad por regla y compás, sumas de Ríe-mann e integrales, series de Taylor, funcionesanalíticas, grupos de matrices, clasificación decurvas y superficies) tropieza con la dificultadde que el estudiante carece de bases formalespara comprender esos temas integramente. Pa-ra poder abarcar temas más avanzados, tiene mássentido colocar el curso de Historia de Matemá-tica en el último año de la carrera de bachillera-to, y así se hace efectivamente en la Universidadde Costa Rica. Pero con eso regresamos al puntode partida, ya que se elimina (del currículo foromal, pero también en la práctica) la formacióndel marco histórico de las matemáticas a lo lar-go de los años anteriores.

Otra posible solución al problema de la inte-gración histórica de las matemáticas, sería unaespecie de minicurso o seminario, organizadoal fmal de cada año de la carrera, en donde elestudiante debe hacer un balance de las raíceshistóricas de lo que aprendió en el año. Este se-minario podría culminar con un proyecto derecopilación bibliográfica sobre un tema histó-rico-matemático específico. Desafortunadamen-te, ignoro si se han hecho experimentos con estetipo de seminario o que resultados podrían es-perarse.

La solución ideal, cuando sea factible, es quelos propios estudiantes tomen la iniciativa y foromen un club para el estudio extracurricular detópicos matemáticos. (El autor participó en unclub de este tipo durante sus años de pregrado).Estos clubes suelen orientarse en tres direccionesque son de interés directo para los estudiantes:(a) introducciones a temas avanzados (¿qué sonfunciones elípticas? ¿qué son las distribuciones?¿cómo se clasifican los grupos fmitos?; (b) aplica-ciones de la matemática (espacios de Hilbert enla física cuántíca, ecuaciones diferenciales paracircuitos eléctricos. análisis combinatoria de al-goritmos de computación); (e) temas históricos(¿cómo se inventó el cálculo diferencial? ¿cómose resolvieron las ecuaciones cúbicas? ¡.de dóndesurgieron las matrices y los espacios vectoriales?¿cuálesel origen de la teoría de conjuntos?). De

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para enseñar un curso de matemáticas; pero tam-poco es del todo irrelevante. Es precisamenteeste orden histórico que revela la importanciade un determinado concepto o procedimientoenseñado. Por ejemplo, podemos afirmar quela geometría lobachevsquíana es interesante ydigna de estudio debido a (i) los dos rnileniosde intentos frustrados de demostrar el quintopostulado de Euclides; (íí) el descubrimientode Bolyai de que pueden plantearse sistemasde postulados diferentes; (ííí) la conexión entreesta geometría y la teoría de funciones auto-morfas de Klein y Poincaré; (iv) su relevanciapara estudiar la teoría de la relatividad; (v) surol central en la clasificación de variedades tri-dimensionales, un tema de investigación actual(3,7).

La reconciliación de estos tres ordenes delsaber, para formar una labor docente armónicay exitosa, es la tarea permanente de la enseñan-za de la matemática. Como profesores, tenemosel deber no solamente de ejecutar una buenalabor didáctica con una adecuada motivaciónpedagógica, sino también de situar lo que en-señamos dentro de un contexto amplio, conraíces en el pasado y ramificaciones hacia el fu-turo. Tenemos que poner en relieve que la mate-mática es una creación de la imaginación humanaen respuesta a los problemas enfrentados por ca-da generación. Así, nuestros estudiantes apren-derán que la matemática es una ciencia vivadonde todavía queda mucho por hacer.

2. ¿Cómo, entonces, integrar un enfoquehistórico en nuestra labor docente? ¿Debemossometer los estudiantes tempranamente a uncurso de Historia de Matemática? En principio,ésta no es una mala idea. El conocimiento histó-rico de muchos estudiantes, al entrar en la Uni-versidad, a veces no va más allá de saber que losbabilonios desarrollaron sistemas numéricos yque los antiguos griegos inventaron la geome-tría. Es imprescindible empezar de una vez for-mando el marco histórico donde pueden situarlos conocimientos que irán acumulando en lospróximos años. De hecho, un curso de Historiade matemática para el primer año es perfecta-mente factible: el libro clásico de D. E. Smith(6), por ejemplo, puede servir como texto.

Sin embargo, el curso temprano de historiatiene serios inconvenientes. Necesariamente es

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hecho, en la Universidad de Costa Rica, la asocia-ción de estudiantes de matemática ha emprendidovarios intentos de formar este tipo de grupo de es-tudio, con un éxito parcial: como no hay una tra-dición y una estructura formal ya establecidas, lasiniciativas tienden a ser esporádicas y discontínuas.Pero hay una esperanza de que estos intentos deautoformación eventualmente se consolidarán:sólo requieren que los estudiantes tomen concien-cia clara de su rol de aprendedores y no de meros"educandos" o receptores de conocimientos.

3. Si no podemos confiar solamente en cursosde Historia de Matemáticas, y si a corto plazo nopodemos esperar gestos espontáneos de los estu-diantes, ¿qué alternativa nos queda? Lo que hayque hacer es intercalar la formación del marco his-tórico en los cursos regulares de matemáticas. Esnecesario reorientar el contenido de los cursos parainsertar en ellos el contexto, pasado y actual, delos temas que componen cada curso. Por ejemplo,un curso de cálculo diferencial debe incluir unabreve sinopsis de los logros de Descartes, Fermat,Newton y Leibniz; pero también podría incluirseuna mención de los modernos métodos "no stan-dard" (5) que permiten rigorizar y explotar a fon-do las ideas de Leibniz sobre infinitésimos para po-der hacer "cálculo intuitivo".

Un prerrequisito indispensable aquí es la capa-cidad del profesor de dar un curso con un enfoquehistórico. En las circunstancias actuales, encontra-mos que muchos profesores han sido formadosbajo el mismo sistema ahistórico que ahora estántransmitiendo a la próxima generación. Se necesi-ta entonces un proceso de capacitación para algu-nos de ellos, para llenar lagunas que ellos podrántener en sus conocimientos acerca de los antece-dentes de los temas que enseñan y sobre su desa-rrollo actual (la historia no es solamente el pasa-do). De esta manera, un enfoque histórico obligaa los profesores, aun más que los estudiantes, a em-prender un esfuerzo continuo de actualización.

Podemos distinguir dos formas de introducirun contenido histórico en un curso de matemáti-ca. La primera forma es por medio de anécdotasy datos biográficos sobre los creadores de la mate-mática. A manera de ejemplo, el libro de análisisreal de Bartle (1) (que es un excelente texto de se-gundo año de bachillerato), cuando menciona lasseries de Taylor o los multiplicadores de Lagrange,dedica tres o cuatro renglones para informar al lec-

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tor de quienes eran Taylor y Lagrange. Por otraparte, varios profesores suelen sazonar sus leccio-nes con anécdotas sobre la muerte de Galois, elfracaso de Weierstrass como estudiante, el graffitode Hamilton sobre el puente, etc. A primera vista,ésto no tiene mucho valor, puesto que se enfatízacosas inesenciales en la vida de esos matemáticos.Sin embargo, tiene la ventaja de estimular el inte-rés del estudiante y de hacerlo ver que la matemá-tica es una creación de seres humanos y no unateoría seca y terminada.

La segunda forma de combinar la matemáticacon su historia es la de usar argumentos matemáti-cos históricos en una forma integral. Podemos afir-mar que el "contenido" de un curso de matemáti-ca consiste en introducir varios conceptos y técni-cas, amén de trazar sus consecuencias y sus relacio-nes con conceptos y técnicas ya conocidos. Porejemplo, un curso introductorio de cálculo en va-rias variables debe introducir derivadas parciales,planos tangetes, diferenciales, integrales múltiplesy de línea, orientación de superficies; a la vez se vela relación de estas nociones con el cálculo de unavariable, con problemas de máximos y mínimos,con el cálculo de volúmenes y de longitudes de ar-co. Al enfrentarse con un concepto novedoso, elestudiante puede preguntar ¿cómo es posible deque eso hubiera ocurrido a alguién por primeravez? Aquí hay una excelente oportunidad de ilu-minar el camino, dando un bosquejo del procesohistórico en que tal concepto se desarrolló. (porejemplo, se puede indicar cómo el teorema deGreen surgió de problemas en la teoría de magne-tismo, o esbozar el descubrimiento de Móbiusde un polígono tridimensional que no posee área(2)). Lo importante es dar, en forma resumida, elargumento matemático que condujo al descubri-miento y desarrollo del nuevo concepto. De estemodo, el estudiante puede ubicar el concepto enun marco de ideas y así comprender mejor su im-portancia.

4. Se percibe que un enfoque histórico que vamás allá de 10 puramente anecdótico requerirádel profesor un esfuerzo de preparación considera-ble. En principio, podríamos esperar que el profe-sor haga este esfuerzo en forma automática, comoparte de su profesionalismo docente. Desgraciada-mente, la realidad es otra: muchos profesores,abrumados por sus labores de investigación, o res-tringidos por la escasez de recursos bibliográficos,

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o simplemente desanimados por la burocracia desu academia, no están en condiciones de empren-der esta tarea de autocapacitación. Por lo tanto seimpone una necesidad de dar acceso fácil a la in-formación histórica requerida.

Una manera de proporcionar esta información,tanto al profesor como al estudiante, es por mediode textos matemáticos con un enfoque histórico.A modo de ejemplo, consideramos el libro de cál-culo de Priestley (4). Este texto reestructura elorden usual de un curso de cálculo para poder pre-sentar todas las ideas centrales en su contextohistórico. Además enfatiza el desarrollo y el proce-so de creación del cálculo infmitesimal, aún cuan-do ésto implica andar por caminos más largos quelos del tratamiento habitual. llustra bien la famo-sa frase de André Weill: "la lógica es la higiene delmatemático, pero no es su fuente de comida".

Otro tópico que puede ser enseñado con un tex-to con un enfoque histórico, es la geometría ele-mental. He probado este método con un texto quefue diseñado para estudiantes costarricenses (vEle-mentos de Geometría Plana" (8)). La secuenciade los tópicos sigue de manera aproximada el or-den histórico: geometría euclideana, trigonometría,geometría analítica, geometría inversiva y proyec-tiva, grupos de transformaciones. Cada tema estádividido en secciones, separadas por notas explica-tivas de naturaleza histórica y técnica. De este mo-do, el profesor (y el estudiante) puede pasar revis-ta al origen y desarrollo de ciertos tópicos impor-tantes. Más importante aún, el estudiante tiene asu disposición, sin tener que hacer una gran revi-sión bibliográfica, un esbozo del contexto históri-co de los temas de la geometría.

Como ejemplo, la sección sobre la medición deángulos y las funciones trigonométricas contienenotas bibliográficas sobre Hipparcos y Tolomeo,una mención de los datos astronórnicos de los ba-bilonios que sirvieron de fuente para la trigonome-tría, la derivación etimológica de la.palabra "se-no", una nota sobre el cálculo de longitudes de ar-co, y varias aproximaciones antiguas al valor depi.

La reacción de los estudiantes ha sido positiva,en los dos semestres en que he tenido oportunidadde enseñar la geometría con base en este texto. Porlo general, han mostrado gran interés en los mate-máticos que crearon la teoría que están aprendien-do, y más interés todavía en el manejo históricode las ideas. Participan en clase bastante más queen otras clases en donde se usan textos tradiciona-les. Algunos de ellos han indicado el deseo de tenermás textos con una estructura semejante.

S. En vista de lo anterior, se puede proponeruna posible solución a la dificultad de situar elcontexto histórico en la enseñanza de la matemáti-ca. Consiste en la preparación y el uso de libros detexto que combinan una presentación moderna deun tema de matemáticas con el desarrollo históri-co del tema, dando, en paralelo con el orden peda-gógico del tema, una exposición de los argumentosmatemáticos originales usados en la creación de losconceptos estudiados. Esto tiene la doble ventajade estimular el interés del estudiante y de propor-cionar al profesor una herramienta apta para latarea de una enseñanza integral de las matemáti-cas.

NOTAS

(1) R. G. Bartle. The Elements of Real Analysis,2a edición, Wiley, New York, 1976.

(2) F. Klein, Elementary Mathematics from a1l Ad-vanced Viewpoint: Vol. 2, Geometry , Dover, New York,1958.

(3) J. Milnar, Hyperbolic geornetry: the first 150years, Bull. Amer. Math. Soco 6 (1982), 9-24.

(4) W. M. Priestley, Calculus: An Historical Approach,Springer, Heidelberg, 1979.

(5) A. Robinson, Non-standar Analysis, 2a edición,American EIsevier, New York, 1974.

(6) D. E. Smith, History of Mathematics, 2 tomos,Dover, New York, 1958.

(7) W. P. Thruston, Three dimensional manifolds, Klei-nian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math.Soco 6 (1982),357-381.

(8)J. C. Várilly, Elementos de Geometría Plana, enmanuscrito, San José, 1982.