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Funciones deVariasVariables

DerivadasParciales

IntegralesMúltiples

Aplicaciones

Curso Propedéutico de CálculoSesión 7:

Integrales Múltiples

Joaquín Ortega Sánchez

Centro de Investigación en Matemáticas, CIMATGuanajuato, Gto., Mexico

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DerivadasParciales


Aplicaciones

Esquema

1 Funciones de Varias Variables

2 Derivadas Parciales

3 Integrales Múltiples

4 Aplicaciones

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Funciones de Varias Variables

Hasta ahora nos hemos enfocado en funciones quedependen de una sola variable, funciones f : R→ R quetienen como dominio un subconjunto de los números reales.

Nos van a interesar ahora funciones más generales, cuyodominio va a ser un conjunto de vectores.

El caso más sencillo es el de las funciones de dosvariables, que definimos a continuación.

Llamaremos R2 al conjunto de los pares ordenados (x , y),con x ∈ R, y ∈ R.

Por ejemplo, (5,−1.6) es un elemento de R2.

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Dos elementos de R2 difieren si alguna de las componentesson distintas. Por ejemplo,(−2,5), (5,−2), (5,2) y (−2,−5)son todos elementos distintos de R2.

Por lo tanto, dos pares ordenados son iguales si y sólo si sudos componentes son iguales y aparecen en el mismoorden.

Así como representamos geométricamente a los númerosreales con los puntos en un recta, podemos representar loselementos de R2 por puntos en un plano usando un sistemade coordenadas cartesianas.

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El punto (a,b) de R2 se representa como el punto del planoque tiene coordenadas a en el eje x y b en el eje y .

a

x

y

b

De esta manera podemos identificar el conjunto R2 con elplano cartesiano.

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DefiniciónSea D ⊂ R2. Una función f : D → R es una regla que acada par ordenado (a,b) en el conjunto D le asigna unúnico elemento de R que denotamos f (a,b):

(a,b) 7→ f (a,b) ∈ R

El conjunto D es el dominio de la función. El recorrido es elconjunto de todos los valores que toma la función.

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EjemploConsideremos la función

f (x , y) =y − x

x2 + (y − 3)2

Esta función está definida salvo cuando el denominador seanula, lo que ocurre en el punto (0,3). Por lo tanto eldominio de definición de esta función es

R2 − (0,3).

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Derivadas Parciales

Consideremos una función f de dos variables x y y . Simantenemos una de los dos variables constante, porejemplo, si x = x0, entonces f (x0, y) es una función de unavariable real y .

Bajo las condiciones que estudiamos anteriormente,podemos considerar derivar esta función respecto a lavariable y , manteniendo el valor de x fijo en x0.

Si esta derivada existe la llamamos la derivada parcial de frespecto a y .

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Derivadas Parciales

DefiniciónLa derivada parcial de f respecto a y en (x0, y0) es laderivada de f (x0, y) con respecto a y en el punto y = y0(manteniendo x = x0 fijo):

∂f∂y

(x0, y0) = fy (x0, y0) = lim∆y→0

f (x0, y0 + ∆y)− f (x0, y0)

∆y.

De manera similar, la derivada parcial de f respecto a x enel punto (x0, y0) está dada por

∂f∂x

(x0, y0) = fx (x0, y0) = lim∆x→0

f (x0 + ∆x , y0)− f (x0, y0)

∆x.

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Derivadas Parciales

Para calcular la derivadas parciales podemos usar lasreglas de derivación que estudiamos para las funciones deuna variable, siempre que la otra variable se mantenga fija.

EjemploHallar las derivadas parciales de la funciónf (x , y) = x3y − 2x2 en el punto (−1,3).

Tenemos∂f∂x

= 3x2y − 4x ,∂f∂y

= x3.

En el punto (−1,3) valen

fx (−1,3) = 13, fy (−1,3) = −1.

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Derivadas Parciales

Si llamamos z al valor de la función, tenemos otra notaciónalternativa para las derivadas parciales:

∂z∂x,

∂z∂y,

y para el valor en el punto (x0, y0) usamos

∂z∂x

∣∣∣(x0,y0)

y∂z∂y

∣∣∣(x0,y0)

.

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Derivadas Parciales

Interpretación GeométricaConsideremos una superficie cuya ecuación es z = f (x , y).El plano y = y0 intersecta a esta superficie en una curvaplana y el valor de fx (x0, y0) es la pendiente de la rectatangente a esta curva en el punto (x0, y0, f (x0, y0)).

De manera análoga, el plano x = x0 corta a la superficie enuna curva plana y el valor de fy (x0, y0) es la pendiente de larecta tangente a esta curva en el punto (x0, y0, f (x0, y0)).

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Derivadas de Orden SuperiorLas derivadas parciales de una función f (x , y) son,generalmente, funciones de todas las variables originales.

En consecuencia, podemos considerar las derivadasparciales de estas nuevas funciones, que serían lasderivadas de orden superior.

Tenemos cuatro posibles derivadas de orden 2:

fxx =∂

∂x

( ∂f∂x

)=∂2f∂x2 fyy =

∂

∂y

( ∂f∂y

)=∂2f∂y2

fxy =(fx)

y =∂

∂y

( ∂f∂x

)=

∂2f∂y∂x

fyx =(fy)

x =∂

∂x

( ∂f∂y

)=

∂2f∂x∂y

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EjemploHallar las derivadas parciales de segundo orden de lafunción

f (x , y) = yex − cos(y/x)

Las primeras derivadas parciales son

fx (x , y) = yex + sen(y/x)(−y/x2),

fy (x , y) = ex + sen(y/x)(1/x)

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Derivadas Parciales

Las segundas derivadas parciales son

fxx (x , y) = yex + cos(y/x)(−y/x2)2 + sen(y/x)(2y/x3)

fyy (x , y) = cos(y/x)(1/x2)

fxy (x , y) = ex + cos(y/x)(−y/x3) + sen(y/x)(−1/x2)

fyx (x , y) = ex + cos(y/x)(−y/x3) + sen(y/x)(−1/x2)

Observamos que en este caso fxy = fyx , pero esta igualdadno es cierta siempre.

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Regla de la CadenaRecordemos la regla de la cadena para funciones de unavariable: si x es función de t y y es función de x ,y(t) = y(x(t)) y la derivada de y respecto a t es

dydt

=dydx

dxdt

Veamos una primera versión para el caso de dos variables.Sean x = x(t) , y = y(t) funciones diferenciables en t , ysea z = f (x , y) diferenciable en (x(t), y(t)). Entoncesz = f (x(t), y(t)) es diferenciable en t y

dzdt

=∂z∂x

dxdt

+∂z∂y

dydt

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ObservaciónNo hemos explicado lo que significa que una función de dosvariables sea diferenciable, pero es una condición másfuerte que pedir la existencia de las derivadas parciales.

EjemploSea z = x3y donde x = 2t y y = t2. Determine dz/dt .

dzdt

=∂z∂x

dxdt

+∂z∂y

dydt

= (3x2y)(2) + (x3)(2t) = 6(2t)2(t2) + 2(2t)3(t)

= 40t4

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Derivadas Parciales

Una segunda versión de la regla de la cadena es lasiguiente. Supongamos que x = x(s, t) y y = y(s, t) tienenprimeras derivadas parciales en (s, t) y sea z = f (x , y)diferenciable en (x(s, t), y(s, t)). Entoncesz = f (x(s, t), y(s, t)) tiene primeras derivadas parcialesdadas por

∂z∂s

=∂z∂x

∂x∂s

+∂z∂y

∂y∂s

∂z∂t

=∂z∂x

∂x∂t

+∂z∂y

∂y∂t

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Derivadas Parciales

EjemploSi z = 2x2 − 3y2, donde x = 5s + 2t , y = 4st , determine∂z/∂t en términos de s y t .

∂z∂s

=∂z∂x

∂x∂s

+∂z∂y

∂y∂s

= (4x)(2) + (6y)(4s)

= 4(5s + 2t) + 24s(4st)

= 20s + 8t + 96s2t .

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Integrales MúltiplesDefinición

Recordemos la definición de la integral definida o integral deRiemann: Si f es una función continua en el intervalo [a,b]y P es una partición de este intervalo con subintervalos delongitud ∆xk , k = 1, . . . ,n, elegimos un punto xk en elk -ésimo intervalo de la partición y formamos las sumas

n∑k=1

f (xk )∆xk

Hacemos ahora tender el tamaño de la partición a 0 y ellímite de esta sucesión es lo que llamamos la integraldefinida de f en el intervalo [a,b]:∫ b

af (x) dx = lim

||P||→0

n∑k=1

f (xk )∆xk

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Para définir la intégra de dos variables consideramos unafunción f definida en un rectángulo R con lados paralelos alos ejes

R = (x , y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d = [a,b]× [c,d ]

Formamos una partición de R en subrectángulos usandorectas paralelas a los ejes. Supongamos que la particióntiene n rectángulos que denotamos por Rk , k = 1, . . . ,n.

Sean ∆xk y ∆yk las longitudes de los lados de Rk y sea∆Ak = ∆xk ∆yk su área.

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En el intervalo Rk escogemos un punto cualquiera (xk , yk ) yformamos la suma de Riemann correspondiente

n∑k=1

f (xk , yk )∆Ak

Hacemos ahora la partición cada vez más fina, de modoque todos los rectángulos Rk sean más pequeños.

Para esto llamamos ||P|| a la longitud de la mayor diagonalentre todos los rectángulos

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DefiniciónSea f una función continua definida en R = [a,b]× [c,d ].Definimos la integral doble de f en R por∫∫

Rf (x , y) dA = lim

||P||→0

n∑k=1

f (xk , yk )∆Ak

Si la función f es positiva, la integral representa el volúmendel sólido bajo la superficie z = f (x , y) y sobre el rectánguloR.

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Integrales MúltiplesPropiedades

Propiedad 1La integral doble es lineal, es decir,∫∫

Rkf (x , y) dA = k

∫∫R

f (x , y) dA,

∫∫R

[f (x , y) + g(x , y)] dA =

∫∫R

f (x , y) dA +

∫∫R

g(x , y) dA,

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Propiedad 2La integral dobre es aditiva en rectángulos que tienen unlado común∫∫

Rf (x , y) dA =

∫∫R1

f (x , y) dA +

∫∫R2

f (x , y) dA,

R1 R2

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Propiedad 3La integral dobre es monótona:Si f (x , y) ≤ g(x , y) para todo (x , y) en R, entonces∫∫

Rf (x , y) dA ≤

∫∫R

g(x , y) dA

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Hemos definido la integral doble pero no hemos visto comocalcularla.

La idea fundamental es iterar la integración de las variablesconsiderando la(s) otra(s) variables como fijas.

Si queremos integrar la función f (x , y) sobre el rectánguloR = [a,b]× [c,d ] podemos hacerlo de dos maneras, comoindicamos a continuación∫∫

Rf (x , y) dA =

∫ d

c

[ ∫ b

af (x , y) dx

]dy

=

∫ b

a

[ ∫ d

cf (x , y) dy

]dx

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EjemploHalle la integral de la función f (x , y) = 3x + 2y sobre elrectángulo R = [1,2]× [2,4].

Tenemos∫∫R

f (x , y) dA =

∫ 4

2

[ ∫ 2

1(3x + 2y) dx

]dy

=

∫ 4

2

[32

x2 + 2xy)]2

1dy

=

∫ 4

2

[92

+ 2y]

dy

=[9

2y + y2

]4

2=

92

(4− 2) + (16− 4)

= 21

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EjejmploHalle el volúmen V del sólido sobre el rectánguloR = (x , y) : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 y bajo la superficiez = 4− x2 − y .

V =

∫∫R

(4− x2 − y) dA =

∫ 2

0

∫ 1

0(4− x2 − y) dx dy

=

∫ 2

0

[4x − x3

3− yx

]1

0dy =

∫ 2

0(4− 1

3− y) dy

=[11

3y − 1

2y2]2

0=

223− 2 =

163

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Vamos a considerar ahora integrales sobre regiones queson mas complejas que un rectángulo. Comenzamos pordefinir las regiones que vamos a considerar.

Un conjunto S es y-simple si existen funciones φ1 y φ2 en[a,b] tales que

S = (x , y) : φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x),a ≤ x ≤ b.

Un conjunto S es x-simple si existen funciones ψ1 y ψ2 en[c,d ] tales que

S = (x , y) : ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y), c ≤ y ≤ d.

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a b

S

φ2(x)

φ1(x)

cd

S ψ2(x)ψ1(x)

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Supongamos ahora que queremos evaluar la integral doblede una función f (x , y) sobre un conjunto y-simple S.Consideramos un rectángulo R que contenga a la región Sy hacemos f (x , y) = 0 fuera de S. Entonces∫∫

Sf (x , y) dA =

∫∫R

f (x , y) dA

=

∫ b

a

[ ∫ d

cf (x , y) dy

]dx

=

∫ b

a

[ ∫ φ2(x)

φ1(x)f (x , y) dy

]dx

En la integral interior, x se mantiene fijo.

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Si el conjunto S es x-simple, un razonamiento similarconduce a la fórmula∫∫

Sf (x , y) dA =

∫ d

c

[ ∫ ψ2(y)

ψ1(y)f (x , y) dx

]dy

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Integrales MúltiplesEjemploEvalúe la integral iterada∫ 5

3

∫ x2

−x(4x + 10y) dy dx

∫ 5

3

∫ x2

−x(4x + 10y) dy dx =

∫ 5

3

[4xy + 5y2

]x2

−x

=

∫ 5

3

[(4x3 + 5x4)− (−4x2 + 5x2)

]dx

=

∫ 5

3(5x4 + 4x3 − x2) dx

=[x5 + x4 − x3

3

]5

3

= 3393.33

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EjemploEvalúe la integral iterada∫ 1

0

∫ y2

0(2yex ) dx dy

∫ 1

0

∫ y2

0(2yex ) dx dy =

∫ 1

0

[ ∫ y2

02yex dx

]dy

=

∫ 1

0

[2yex

]y2

0dy =

∫ 1

0(2yey2 − 2y) dy

=[ey2 − y2

]1

0

= e − 2.

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Integrales MúltiplesMediante un cambio en el orden de integración, evalúe∫ 4

0

∫ 2

x/2ey2

dy dx

La integral interior no se puede evaluar pues ey2no tiene

una primitiva en términos de funciones elementales.

Esta integral iterada es igual a∫∫S

ey2dA

donde

S = (x , y) : x/2 ≤ y ≤ 2,0 ≤ x ≤ 4= (x , y) : 0 ≤ x ≤ 2y ,0 ≤ y ≤ 2

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Si escribimos esta integral doble como una integral iteradarealizando primero la integración respecto a x , obtenemos∫ 2

0

∫ 2y

0ey2

dy =

∫ 2

0

[xey2

]2y

0dy

=

∫ 2

02yey2

dy =[ey2]2

0

= e4 − 1.

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Integrales MúltiplesCambio de Variables

La fórmula de cambio de variables en el caso de integralesdobles es más complicada que en el caso de las integralesde una variable.

Presentamos el resultado sin demostración.

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Integrales MúltiplesCambio de Variables

Supongamos que G es una transformación uno a uno de R2

a R2, que transforma la región acotada S en el plano uv enla región acotada R del plano xy .

Si G tiene la forma G(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) entonces∫∫R

f (x , y) dx dy =

∫∫S

f (x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|du dv

donde J(u, v) se conoce como el Jacobiano y es igual aldeterminante

J(u, v) =

∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣ =∂x∂u

∂y∂v− ∂x∂v

∂y∂u.

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EjemploEvalúe

∫∫R

cos(x − y) sen(x + y) dA, donde R es el

triángulo con vértices (0,0), (π,−π) y π, π).

Sean u = x − y y v = x + y . Resolviendo para x , yobtenemos

x =12

(u + v) y12

(v − u)

Podemos describir la región R a través de las condiciones

−x ≤ y ≤ x , 0 ≤ x ≤ π,

que es la región S en el plano uv .

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Integrales MúltiplesSi sustituimos u y v en estas expresiones obtenemos

−12

(u + v) ≤ 12

(v − u) ≤ 12

(u + v), 0 ≤ 12

(u − v) ≤ π

que se reduce a

u ≥ 0, v ≥ 0, 0 ≤ u + v ≤ 2π.

0 1 2 3 4

−3

−1

01

23

R

0 2 4 6 8

01

23

45

67

S

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El Jacobiano de esta transformación es

J(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣12

12

−12

12

∣∣∣∣∣∣ =12

Por lo tanto∫∫R

cos(x − y) sen(x + y) dA =

∫∫S

cos u sen v∣∣12∣∣dv du

=12

∫ 2π

0

∫ 2π−u

0cos u sen v dv du

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12

∫ 2π

0

∫ 2π−u

0cos u sen v dv du =

12

∫ 2π

0cos u(1− cos(2π − u)) du

=12

∫ 2π

0cos u(1− cos(u)) du

=12

∫ 2π

0(cos u − cos2(u)) du

=12

∫ 2π

0

(cos u − 1 + cos(2u)

2

)du

=12

[sen u − 1

2u − 1

4sen 2u

]2π

0

= −12π.

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AplicacionesProbabilidad

Consideremos un espacio de probabilidad (Ω,F ,P) y dosvariables aleatorias X ,Y definidas sobre Ω.

Al igual que en el caso de una variable, el vector (X ,Y ),que toma valores en R2, tiene asociada una distribución deprobabilidad, que denotamos PX ,Y .

En el caso de variables continuas, esta distribución deprobabilidad se representa por una función de densidadfX ,Y .

Una densidad de probabilidad para un vector aleatorio(X ,Y ) es una función f : R2 → [0,1] que es positiva,f (x , y) ≥ 0 para todo x , y y cuya integral sobre R2 vale 1:∫ ∞

−∞

∫ ∞−∞

f (x , y) dx dy = 1

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Si el vector aleatorio (X ,Y ) tiene densidad fXY , laprobabilidad de que tome valores en un conjunto S estádada por

P((X ,Y ) ∈ S) =

∫∫S

fX ,Y (x , y) dA

En particular, si S es el rectángulo [a,b]× [c,d ],

P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =

∫ d

c

∫ b

af (x , y) dx dy

=

∫ b

a

∫ d

cf (x , y) dy dx

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EjemploSean X ,Y variables aleatorias con densidad conjunto

f (x , y) = Cxy , 0 ≤ x < y ≤ 1.

Halle el valor de C.

∫ 1

0

∫ 1

xCxy dy dx =

∫ 1

0Cx[ ∫ 1

xy dy

]dx

=

∫ 1

0

Cx2

(1− x2) dx =C8

y en consecuencia C = 8.

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Distribución UniformeSeaA una región con área |A|. Decimos que X y Y tienendistribución conjunta uniforme si tienen densidad conjunta

f (x , y) =

|A|−1, (x , y) ∈ A,0 en otro caso.

EjemploSi (X ,Y ) tienen distribución conjunta uniforme sobre elcírculo centrado en el origen y de radio 1, su densidad estádada por

f (x , y) =1π, 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1.

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Densidades MarginalesSi X ,Y tienen densidad f (x , y) entonces X tiene densidad(marginal)

fX (x) =

∫ ∞−∞

f (x , y) dy ,

y Y tiene densidad (marginal)

fY (y) =

∫ ∞−∞

f (x , y) dx .

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EjemploSean X ,Y variables con densidad conjunta

f (x , y) = C(x + y), 0 ≤ x , y ≤ 1

Halle• el valor de C,• la densidad marginal fX (x),• P(Y < 1/2) y• P(X < Y 2).

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Tenemos

1 =

∫ 1

0

∫ 1

0C(x + y) dx dy = C

(∫ 1

0x dx +

∫ 1

0y dy

)= C

de modo que C = 1.

La densidad marginal de X es

fX (x) =

∫ 1

0(x + y) dy =

[xy +

y2

2]1

0 = x +12

para 0 ≤ x ≤ 1.

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De manera similar se tiene que fY (y) = y + 12 para

0 ≤ y ≤ 1, y entonces

P(Y <12

) =

∫ 1/2

0(y +

12

) dy =38

P(X < Y 2) =

∫∫0≤x<y≤1

(x + y) dx dy

=

∫ 1

0

∫ y2

0(x + y) dx dy =

∫ 1

0

(12

y4 + y3)dy

=[ 1

10y5 +

14

y4]1

0=

720.

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EjemploSean (X ,Y ) v.a. con densidad conjunta dada por

f (x , y) = λµe−λx−µy , 0 ≤ x , y <∞.

Hallar las densidades marginales de X y Y y P(X < Y ).

Tenemos

fX (x) =

∫ ∞0

f (x , y) dy = λe−λx∫ ∞

0µe−µy dy

= λe−λx[− e−µy

]∞0

= λe−λx .

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P(X < Y ) =

∫∫x<y

λµe−λx−µy dx dy

=

∫ ∞0

(

∫ ∞x

µe−µy dy)λe−λx dx

=

∫ ∞0

λe−λx−µx dx dy

=λ

λ+ µ

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Otra manera de describir la distribución del vector aleatorio(X ,Y ) es a través de la función de distribución conjunta,que denotamos F (x , y) = FX ,Y (x , y), y definimos como

F (x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞f (s, t),dt ds

Es posible obtener la densidad a partir de la función dedistribución diferenciando:

∂2

∂x∂yF (x , y) = f (x , y).

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Las funciones de distribución marginales de X y Y seobtienen a parir de la f.d. conjunta:

FX (x) = limy→∞

F (x , y); FY (y) = limx→∞

F (x , y)

La función de distribución conjunta satisface

0 ≤ F (x , y) ≤ 1

para todo x , y ∈ R y la función F es creciente cuando x o ycrecen.

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Las funciones de distribución conjuntas satisfacen otrapropiedad adicional: Para a < b y c < d ,

0 ≤ F (b,d)− F (a,d)− F (b, c) + F (a, c)

= P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d)

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EjemploHallemos la f.d. para las variables con densidad

f (x , y) = x + y ,0 ≤ x , y ≤ 1.

Para 0 ≤ x , y ≤ 1,

F (x , y) =

∫ y

0

∫ x

0(s + t) ds dt =

12

xy(x + y).

Para 0 ≤ x ≤ 1, y > 1,

F (x , y) =

∫ 1

0

∫ x

0(s + t) ds dt =

12

x(x + 1).

Para 0 ≤ y ≤ 1, x > 1,

F (x , y) =

∫ y

0

∫ 1

0(s + t) ds dt =

12

y(y + 1).

Finalmente, para x , y > 1 tenemos F (x , y) = 1.

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EjemploSean X ,Y v.a. con función de distribución

F (x , y) = 1− 12x2y2

(x2 + y2 + (xy − 1)(x + y).

para x , y ≥ 1. Halle la densidad conjunta y las densidadesmarginales de X y Y .

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Diferenciando obtenemos

f (x , y) =∂2F∂x∂y

=x + yx3y3 , x , y ≥ 1.

Haciendo y →∞

FX (x) = 1− x + 12x2 , x > 1,

y derivando

fX (x) =2 + x2x3 , x > 1.

De manera similar

fY (y) =2 + y2y3 , y > 1.

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IndependenciaRecordemos la definición de independencia para eventos:Dos eventos A y B son independientes si

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

DefiniciónSean X ,Y variables con función de distribución F (x , y).Decimos que X y Y son independientes si y sólo si paratodo x , y,

F (x , y) = FX (x)FY (y)

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Podemos ver una relación entre las dos definicionesobservando que si

Ax = ω : X (ω) ≤ x y By = ω : Y (ω) ≤ y,

entonces X ,Y son independientes si y solo si Ax y By sonindependientes para todo x , y .

Si X ,Y tienen densidad conjunta f (x , y), entonces sonindependientes si, para todo x , y ,

f (x , y) = fX (x)fY (y).

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EjemploSea (X ,Y ) variables con distribución uniforme en elrectángulo 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b. Entonces la densidad es

f (x , y) =1

ab.

Las densidades marginales son

fX (x) =

∫ b

0f (x , y),dy =

1a, y fY (y) =

1b.

En consecuencia

f (x , y) =1

ab= fX (x)fY (y),

y X y Y son independientes.

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EjemploSea X ,Y variables aleatorias con distribución uniforme enel círculo unitario, con densidad

f (x , y) =1π.

Veamos que estas variables no son independientes.

fX (x) =

∫ (1−x2)1/2

−(1−x2)1/2

1π

dy =2π

(1− x2)1/2

y

fY (y) =

∫ (1−y2)1/2

−(1−y2)1/2

1π

dx =2π

(1− y2)1/2

Obviamente f (x , y) 6= fX (x)fY (y).

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EsperanzaSean X ,Y ,Z variables aleatorias tales que Z = g(X ,Y ). SiX ,Y tienen densidad conjunta f (x , y) entonces

E(Z ) =

∫∫g(x , y) f (x , y) dx dy .

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TeoremaSean X ,Y variables independientes, entoncesE(XY ) = E(X ) E(Y ).

Demostración.

E(XY ) =

∫∫xy f (x , y) dx dy

=

∫∫xy fX (x)fY (y) dx dy

=

∫x fX (x) dx

∫y fY (y) dy

= E(X ) E(Y ).

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CorolarioSi X ,Y son variables independientes,

Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ).

Demostración.

Var(X + Y ) = E(X + Y − E(X + Y ))2

= E(X − E X )2 + E(Y − E Y )2

+ 2 E[(X − E X )(Y − E Y )].

Como X y Y son independientes

E[(X − E X )(Y − E Y )] = [E(X − E X )][E(Y − E Y )] = 0

y obtenemos

Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ).

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DefiniciónLa covarianza entre dos variables X y Y se denotaCov(X ,Y ) y se define como

Cov(X ,Y ) = E[(X − E X )(Y − E Y )]

= E(XY )− E(X ) E(Y )

= Cov(Y ,X ).

Para cualquier par de variables aleatorias,

Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) + 2 Cov(X ,Y ).

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DefiniciónSi Cov(X ,Y ) = 0 decimos que las variables X y X no estáncorrelacionadas.

Si las variables X y Y son independientes, no estáncorrelacionadas, pero el recíproco no es cierto.

EjemploSea X una variables acotada distinta de 0 con distribuciónsimétrica respecto a 0: f (−x) = f (x). Sea Y = X 2,entonces Y no es independiente de X pero

Cov(X ,Y ) = E(X 3)− E(X ) E(X 2) = 0.

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DefiniciónLa función de correlación ρ(X ,Y ) de X y Y se define como

ρ(X ,Y ) =Cov(X ,Y )

(Var(X ) Var(Y ))1/2

La correlación tiene dos ventajas importantes. Por un lado,al estar normalizada toma valores en [−1,1] y por otro, unatransformación lineal de las variables no cambia el valor dela correlación, salvo, quizás, por el signo.

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EjemploConsideremos de nuevo variables X ,Y con distribuciónuniforme en el círculo unitario. Ya vimos que estas variablesno son independientes.

Es fácil ver que, por simetría, E(X ) = E(Y ) = E(XY ) = 0 ypor lo tanto las variables no están correlacionadas, aunqueno son independientes.

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