Vectores y suma de vectoresAlgunas cantidades fsicas, como tiempo , temperatura , masa y densidad se pueden describir completamente como un numero y una unidad .No obstante , en fsica muchas otras cantidades importantes estn asociadas con una direccion y no pueden describirse con un solo numero un ejemplo sencillo es el movimiento de un avin :para describirlo plenamente ,debemos indicar no solo q tan rpidamente se mueve sino tambin hacia donde .para ir de Chicago a new york , un avin debe volar al este no al sur .la rapidez del avin combinada con su direccion constituye una cantidad llamada velocidad .Otro ejemplo es la fuerza q en fsica es empuje o tirn aplicado a un cuerpo .para describir plenamente una fuerza hay q indicar no solo su intensidad sino tambin en q direccion tira o empuja

Cuando una cantidad fisicia se describe con un solo numero ,decimos q es una cantidad escalar. En cambio , una cantidad vectorial , tiene tanto una magnitud (el q tanto )como una direccion en el espacio .los clculos q combinan cantidades escalares usan las operaciones aritmticas ordinarias por ejemplo 6kg +3kg =9kg o 4s x2s =8s no obstante ,combinar vectores requiere un conjunto de operaciones diferentes .Para entender mejor los vectores y su combinacin comencemos con la cantidad vectorial mas sencilla ,el desplazamiento ,q es simplemente un cambio en la posicin de un punto .

Enla figura 1.9a representamos el cambio de posicin del punto P1 al punto P2 con una lnea que va de P1 a P2, con una punta de flecha en P2 para indicar la direccion. El desplazamiento es una cantidad vectorial porque debemos decir no solo cuanto se mueve la partcula, sino tambin hacia donde. Caminar 3 Km al norte desde nuestra

casa no nos lleva al mismo sitio que caminar 3 km al sureste; ambos desplazamientos tienen la misma Magnitud, pero diferente direccion. Frecuentemente representamos una cantidad vectorial como el desplazamiento con una sola letra, como en la figura. En este libro siempre simbolizaremos los vectores con letras negritas y cursivas con una flecha arriba B , como recordatorio de que las cantidades vectoriales tienen propiedades diferentes que las cantidades escalares; la flecha nos recuerda que los vectores tienen direccion. Los smbolos manuscritos de los vectores suelen subrayarse o escribirse con una flecha arriba (figura1.9a). Siempre escriba los smbolos vectoriales con una flecha arriba. Si no distingue entre cantidades vectoriales y escalares en su notacin, probablemente tampoco lo har en su mente, y se confundir.

Al dibujar un vector, siempre trazamos una lnea con punta de flecha. La longitud de la lnea indica la magnitud del vector, y su direccion es la del vector. El desplazamiento siempre es un segmento recto dirigido del punto inicial al punto final, aunque la trayectoria real seguida por la partcula sea curva.

Vector es un trmino que se deriva de un vocablo latino y que significa que conduce. Un vector es un agente que transporta algo de un lugar a otro. Su significado, de todas formas, vara de acuerdo al contexto. As tambin podemos decir que un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio.

Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:Un origen o punto de aplicacin: A. Un extremo: B. Una direccin: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un mdulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

De la misma forma hay que subrayar que se pueden llevar a cabo un importante nmero de operaciones con dichos elementos. Entre las ms frecuentes se encuentra la suma, el producto por un escalar, la obtencin de una derivada ordinaria entre otras.

ELEMENTOS DE UN VECTOR.-Los elementos principales de un vector son 3: Modulo, direccin y sentido.Magnitud o Modulo del vector: Es la longitud o medida de un vector. Desde el inicio hasta el final del vector y siempre es positivo.

Direccin de un vector: Por convenio determinaremos la direccin de un vector con el ngulo que forma con el eje de las X del sistema de coordenadas, o con la direccin respecto a los puntos cardinales cuando se trata de un plano geogrfico. Se llama direccin de un vector, a la direccin de la recta que lo contiene.

Sentido de un vector: Dos vectores que tienen la misma direccin pueden tener igual o diferente sentido, dependiendo de los signos positivos (mas), o negativo (menos) que se le asigne a cada vector.

Suma de vectoresSuponga que una partcula sufre un desplazamiento A, seguido por un segundo desplazamiento B (Figura .11a). El resultado final es el mismo que si la partcula hubiera partido del mismo punto y sufrido un solo desplazamiento como se muestra. Llamamos suma vectorial, o resultante, de los desplazamientos AyB Expresamos esta relacin simblicamente como C = A+ B

SUMA DE VECTORES.-

MTODO DEL PARALELOGRAMO.-Consideremos dos vectores cualesquiera P y Q que estn en el espacio. Si los vectores se trasladan a un punto u origen comn O, se encontraran en un plano como se muestra en la figura:

Con los vectores P y Q construimos el paralelogramo mostrado. Se define la suma de los dos vectores al vector S que se dibuja en la diagonal del paralelogramo:

MTODO DEL POLGONO.-El mtodo del polgono es ms prctico que el mtodo del paralelogramo y lo usaremos con ms frecuencia. Consideremos la suma de los mismos vectores anteriores P y Q. Para sumar los dos vectores por el mtodo del polgono dibujamos los vectores uno a continuacin del otro a partir del punto O. Primero dibujamos el vector P y a continuacin el vector Q como se muestra en la figura:

RESTA O DIFERENCIA DE VECTORES.-La operacin resta o diferencia de dos vectores puede realizarse como una operacin de suma, y utilizar cualquiera de los mtodos grficos desarrollados anteriormente para la suma.Consideremos dos vectores A y B como los mostrados en la figura. La diferencia entre el vector A y el vector B, operacionalmente se escribe como:

La ecuacin anterior puede escribirse como:

En esta ltima ecuacin el vector diferencia D es el resultado de una operacin de suma del vector A ms el vector -B. Usando cualquiera de los dos mtodos de la suma podemos hallar el vector diferencia. Por ser ms cmodo usaremos el mtodo del polgono.

Producto de un nmero real por un vectorSi es un vector libre y un nmero real, se define el producto como un nuevo vector que tiene por mdulo el producto por direccin la misma d y sentido el mismo de si es positivo, y opuesto, si es negativo. El producto de un nmero real por un vector tiene las siguientes propiedades:

ANGULOS ENTRE VECTORES EN DOS DIMENSIONESEJEMPLO.Qu ngulo forma el vector a=2i+3j con b=4i+3j?SolucinDatosa=2i+3jb=4i+3jResolucinLa definicin de producto escalar nos permite el clculo del ngulo que forman los vectores:ab=abcos()cos()=abab

Ahora ya estamos en condiciones de calcular el coseno del ngulo que forman:

Y por tanto el ngulo que forman:

=cos1 (0.942)=0.339rad=19.44

transformacin de rectangular a geogrficas R= (-5; 8) M= (RAIZcuadrada) 5 al cuadrado + 8 al cuadrado m=9,433 tang=y/x tang=8/5 tg=-16tg-1=58 (9,433; o 58 n) est en el 4 cuadrante