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Vectores/JHT 1 / 19

Curso de Física I:

Vectores

Jesús Hernández Trujillo

Facultad de Química, UNAM

Octubre de 2020

Vectores en ℜ2 y ℜ3

❖ Vectores en ℜ2 y

ℜ3

❖ Sistemas decoordenadas❖ Operacionesbásicas de vectores

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Vector:

Cantidad matemática que tiene magnitud y dirección

(segmento dirigido).

Gráficamente:

P

Q# »

PQ

• Hay leyes físicas que se expresan mediante vectores.

Ejemplo:

#»

F = m #»a


ℜ3


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Definiciones:

ℜ2 = {(a, b)|a, b ∈ ℜ}

ℜ3 = {(a, b, c)|a, b, c ∈ ℜ}

a, b, c : componentes

(a, b) : par ordenado

(a, b, c) : terna ordenada

Un segmento dirigido es la representación grá-

fica de un par o una terna ordenada

Sistemas de coordenadas


ℜ3


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En coordenadas cartesianas (rectangulares), se requiere:

1. Un punto de referencia fijo llamado origen, O.

2. Un conjunto de rectas perpendiculares entre sí (2 ó 3)

que se cruzan en el orígen, cada una con una etiqueta.

3. La asignación de una dirección positiva y una unidad

de longitud para cada eje.

Además, a un punto se le asignan coordenadas

correspondientes a cada eje.


ℜ3


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Cuadrantes en ℜ2:


ℜ3


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Puntos e ℜ2:


ℜ3


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El segmento dirigido de P1(x1, y1) a P2(x2, y2) es:

#»u =# »

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1) = (u1, u2)

#»u está anclado a P1

Magnitud:

|| #»u|| =√

u2

1+ u2

2

=√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Dirección:

θ = arc cosu1

|| #»u||= arc cos

x2 − x1

√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

~u = (u1, u2) es equivalente a la magnitud + dirección de ~u


ℜ3


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A partir de ||~u|| y θ:

~u = (||~u|| cos θ, ||~u|| sen θ)

Otra notación para la norma o magnitud del vector:

u ≡ ||~u||


ℜ3


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En ℜ3:


ℜ3


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Octantes ℜ3:


ℜ3



Sistema derecho de coordenadas:

Se utiliza la regla de la mano derecha


ℜ3



#»u =# »

PQ = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) = (u1, u2, u3)

Magnitud:

||~u|| =√

∆2 + (z2 − z1)2

donde

∆ =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

por lo que

||~u|| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2


ℜ3



Dirección:

Ángulos directores: α, β, γ


ℜ3




ℜ3



α = arc cosx2 − x1

√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

Además:

β = arc cosy2 − y1

√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

γ = arc cosz2 − z1

√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2


ℜ3



Vector de posición:

~v =# »

OP = (x1 − 0, y1 − 0, z1 − 0)

= (x1, y1, z1)


ℜ3



Igualdad de vectores:

Dos vectores son iguales cuando la primera componente del

primer vector es igual a la primera componente del segundo

vector, la segunda componente del primer vector es igual a la

segunda componente del segundo vector, etc.

Por ejemplo, sean ~u = (u1, u2) y ~v = (v1, v2):

~u = ~v ↔ u1 = v1 & u2 = v2

Operaciones básicas de vectores


ℜ3



En ℜ2:

Suma de vectores.

Sean ~u = (u1, u2) y ~v = (v1, v2):

~u + ~v = (u1 + v1, u2 + v2)

Gráficamente:

~u

~v

La definición es similar en ℜ3.


ℜ3



Multiplicación por un escalar:

Sean ~u = (u1, u2) y k ∈ ℜ:

k~u = k(u1, u2) = (ku1, ku2)

Gráficamente:~u

k~u, k > 1

k ∈ [0, 1]

k ∈ [−1, 0]

k < 1

La definición es similar en ℜ3.

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