cuaderno de trabajo de física 4to semestre

CECYTEJ

Cuaderno de Trabajo Física

4to Semestre

Alumno:__________________________

Grado y Grupo:___ Especialidad:_____________

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Jalisco CECyTEJ #11

Ing. Edison Villacrés

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PRIMER PARCIAL Unidad de Aprendizaje

Relaciona el Conocimiento Científico y las Magnitudes Físicas como herramientas básicas para aprender los

Fenómenos Naturales

Competencia a Desarrollar

Se expresa y se comunica

Piensa, critica y reflexivamente

Trabaja en forma colaborativa

Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextos históricos

y sociales específicos.

Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana, asumiendo

consideraciones éticas

Dimensión del Aprendizaje

Actitud y Percepciones

Generalidades La Física y su impacto en la Ciencia y la Tecnología

Física es la Ciencia dedicada al estudio de la materia, la energía y sus transformaciones, cuando no hay

cambios en la estructura de la materia.

La frase “cuando no hay cambios en la estructura de la materia” significa que los procesos en donde los

cambios si existen, ya no podrán ser explicados por la Física sino por su “hija”, La Química

A la física también se le conoce como “La ciencia de las 4 fuerzas”:

a) La Fuerza de la gravedad

b) La Fuerza Electromagnética

c) La Fuerza Nuclear Fuerte

d) La Fuerza Nuclear Débil



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Mediciones Técnicas y Vectores

Magnitudes Físicas

Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden

asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón

que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el

objeto patrón. Por ejemplo, se considera que el patrón principal de longitud es el metro en el Sistema

Internacional de Unidades.

Las primeras magnitudes definidas estaban relacionadas con la medición de longitudes, áreas, volúmenes,

masas patrón, y la duración de periodos de tiempo.

Existen magnitudes básicas y derivadas, y constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la longitud,

el tiempo, la carga eléctrica, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, y la energía. En términos

generales, es toda propiedad de los cuerpos que puede ser medida. De lo dicho se desprende la importancia

fundamental del instrumento de medición en la definición de la magnitud.

Tipos de Magnitudes Físicas

Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas de acuerdo a varios criterios: Según su expresión matemática,

las magnitudes se clasifican en escalares, vectoriales o tensoriales. Según su actividad, se clasifican en

magnitudes extensivas e intensivas.

Magnitudes Escalares son aquellas que quedan completamente definidas por un número y las unidades

utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están representadas por el ente matemático

más simple, por un número. Podemos decir que poseen un módulo, pero que carecen de dirección. Su valor

puede ser independiente del observador (v.g.: la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la

posición o estado de movimiento del observador (v.g.: la energía cinética)

Magnitudes Vectoriales.- son aquellas que quedan caracterizadas por una cantidad (intensidad o módulo), y

una dirección. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa mediante un

segmento orientado. Ejemplos de estas magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo

eléctrico, intensidad luminosa, etc. Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un

observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan

invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes

observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. En mecánica clásica también el campo

electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad esta magnitud,

al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de una magnitud tensorial.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_f%C3%ADsico

http://es.wikipedia.org/wiki/Medici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Metro



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Magnitudes Tensoriales.- son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables

mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado

a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación. De acuerdo con el tipo de magnitud,

debemos escoger leyes de transformación de las componentes físicas de las magnitudes medidas, para poder

ver si diferentes observadores hicieron la misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador,

conocidas las de otro cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean conocidos.

Magnitud Intensiva.- es aquella cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema. Las magnitudes

intensivas tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes consideradas como

subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema termodinámico en equilibrio.

Magnitud Extensiva.- es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el cuerpo o sistema.

Las magnitudes extensivas son aditivas. Si consideramos un sistema físico formado por dos partes o

subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma de sus valores en cada una de las

dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o sistema, la energía de un sistema termodinámico,

etc.

El Sistema Internacional de Unidades

El Sistema Internacional de Unidades se basa en dos tipos de magnitudes físicas:

1. Las siete que toma como fundamentales, de las que derivan todas las demás. Son longitud, tiempo, masa,

intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de sustancia e intensidad luminosa.

Las unidades derivadas, que son las restantes y que pueden ser expresadas con una combinación

matemática de las anteriores.

Unidades Básicas o Fundamentales del Sistema Internacional



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Las magnitudes básicas no derivadas del Sistema Internacional son las siguientes:

Longitud: metro (m). El metro es la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos.

Este patrón fue establecido en el año 1983.

Tiempo: segundo (s). El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente

a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del cesio-133. Este patrón fue

establecido en el año 1967.

Masa: kilogramo (kg). El kilogramo es la masa de un cilindro de aleación de Platino-Iridio depositado en

la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Este patrón fue establecido en el año 1887.

Cantidad de Sustancia: mol (mol). El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas

entidades elementales como átomos.

Intensidad de Corriente Eléctrica: amperio (A). El amperio o ampere es la intensidad de una corriente

constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección

circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro, en el vacío, produciría una

fuerza igual a 2×10-7 newton por metro de longitud.

Temperatura: kelvin (K). El kelvin es la fracción 1/273,16 de la temperatura del punto triple del agua.

Intensidad Luminosa: candela (cd). La candela es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente

que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×1012 Hz y cuya intensidad energética en dicha

dirección es 1/683 vatios por estereorradián.

Unidades Fundamentales en el Sistema Cegesimal C.G.S.

Longitud: centímetro (cm): 1/100 del metro (m) S.I.

Tiempo: segundo (s): La misma definición del S.I.

Masa: gramo (g): 1/1000 del kilogramo (kg) del S.I.

Unidades Fundamentales en el Sistema Gravitacional Métrico Técnico

Longitud: metro (m). La misma definición del Sistema Internacional.

Tiempo: segundo (s).La misma definición del Sistema Internacional.

Fuerza: kilogramo-fuerza (kgf). El peso de una masa de 1 kg (S.I.), en condiciones normales de gravedad

(g = 9,80665 m/s2).

Unidad Sistema Internacional Base

Cantidad Física Nombre Símbolo

Longitud Metro m

Masa Kilogramo Kg

Tiempo Segundo seg

Corriente Eléctrica Ampere A

Temperatura

Termodinámica

Kelvin K

Cantidad de Substancia Mol mol

Intensidad Luminosa Candela cd

Unidad Sistema Internacional Sumplementarias


Ángulo Plano radián rad

Ángulo Sólido estereorradián srad

Magnitudes Físicas Derivadas



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Una vez definidas las magnitudes que se consideran básicas, las demás resultan derivadas y se pueden

expresar como combinación de las primeras.

Las unidades derivadas se usan para las siguientes magnitudes: superficie, volumen, velocidad, aceleración,

densidad, frecuencia, periodo, fuerza, presión, trabajo, calor, energía, potencia, carga eléctrica, diferencia

de potencial, potencial eléctrico, resistencia eléctrica, etcétera.

Algunas de las unidades usadas para esas magnitudes derivadas son:

Fuerza: newton (N) que es igual a kg·m/s2

Energía: julio (J) que es igual a kg·m2/s2


Frecuencia Hertz Hz

Energía Joule J

Fuerza Newton N

Potencia Watt W

Presión Pascal Pa

Carga Eléctrica Coulomb C

Diferencia de Potencial Eléctrico Volt V

Resistencia Eléctrica Ohm Ω

Conductancia Eléctrica Siemens S

Capacidad Eléctrica Farad F

Flujo Magnético Weber Wb

Inductancia Henry H

Densidad de Flujo Magnético 1.8 Tesla T

Flujo Luminoso Lumen lm

Iluminación Lux Lx

Medición de Longitud y Tiempo

Es determinar la dimensión de la magnitud de una variable en relación con una unidad de medida

preestablecida y convencional. Se conocen algunos sistemas convencionales para establecer las unidades de

medida: El Sistema Internacional y el Sistema Inglés.

Medición es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la misma

magnitud, que elegimos como unidad. Teniendo como punto de referencia dos cosas: un objeto (lo que se

quiere medir) y una unidad de medida ya establecida ya sea en Sistema Inglés, Sistema Internacional, o una

unidad arbitraria. Al resultado de medir lo llamamos Medida.

Cuando medimos algo se debe hacer con gran cuidado, para evitar alterar el sistema que observamos. Por

otro lado, no hemos de perder de vista que las medidas se realizan con algún tipo de error, debido a

imperfecciones del instrumental o a limitaciones del medidor, errores experimentales, por eso, se ha de

realizar la medida de forma que la alteración producida sea mucho menor que el error experimental que se

pueda cometer.

Los Múltiplos, Prefijos y Factores de Conversión de Unidades

Por ser un sistema decimal, es decir, base 10, el sistema internacional de unidades es muy ventajoso para

expresar unidades más grandes o pequeñas multiplicando o dividiendo una unidad fundamental por potencias

de 10, tal como aparece en la tabla siguiente:

Prefijos Usados con Unidades SI

Nombre de Nombre de

http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo

http://es.wikipedia.org/wiki/Metro

http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo

http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo



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Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo 𝟏𝟎 deca da 10−1 deci d 𝟏𝟎𝟐 hecto h 10−2 centi c 𝟏𝟎𝟑 kilo k 10−3 mili m 𝟏𝟎𝟔 mega M 10−6 micro 𝜇

𝟏𝟎𝟗 giga G 10−9 nano n 𝟏𝟎𝟏𝟐 tera T 10−12 pico p 𝟏𝟎𝟏𝟓 peta P 10−15 fento f 𝟏𝟎𝟏𝟖 exa E 10−18 atto a

Generalmente los prefijos T(tera), G(giga) y M(mega) se utilizan en unidades de frecuencia (inverso de la

unidad de tiempo) y potencia eléctrica.

Ejemplos:

1 femtosegundo = 1 fm = 10-15 s 1 gigahertz = 1 GHZ = 109 Hz

1 nanómetro = 1 nm = 10-9 m 1 megawatt = 1 MW = 106 W

Los siguientes son los factores de conversión más importantes entre el sistema inglés de unidades y el SI.

Longitud Volumen Masa

1 pulgada = 1 in. = 2,54 cm 1 litro = 1000 cm 3 1 slug = 14,59 kg

1 pie = 1 ft = 30,48 cm 1 galón = 3,788 litros 1 u = 1unidad atómica de masa = 1,661 x 10-27 kg

1 yarda = 1 yd = 91,44 cm 1 quarter = 0,947 litros

1 milla = 1 mi = 1,609 km

Notación Científica

La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando

potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy

pequeños.

Los números se escriben como un producto: 𝑎 ∗ 10𝑛 siendo:

un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.

un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa

y en algunos hispanohablantes.

Escritura 100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

104 = 10 000

105 = 100 000

106 = 1 000 000

107 = 10 000 000

108 = 100 000 000

109 = 1 000 000 000

1010 = 10 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n–1 ceros)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero

http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero



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10–1 = 1/10 = 0,1

10–2 = 1/100 = 0,01

10–3 = 1/1 000 = 0,001

10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como, 1,56234 ∗ 10−31

y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939kg (masa de un electrón) puede

ser escrito como 9,10939 ∗ 10−31kg.

Operaciones Matemáticas con Notación Científica

Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de

una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe

convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como sea necesario para

obtener el mismo exponente.

Ejemplo: (2 × 105) + (3 × 105) = 5 × 105

(2 ∗ 104) − (3 ∗ 105) − (6 ∗ 103) = (tomamos el exponente 5 como referencia) (0.2 ∗ 105) − (3 ∗ 105) − (0.06 ∗ 105)

= 3.14 ∗ 105

Multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los

exponentes.

Ejemplo:

(4 × 1012)(2 × 105) = 8 × 1017

División

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes

(el del numerador menos el del denominador).

Ejemplo: (4 ∗ 1012)

(2 ∗ 105)= 2 ∗ 107

(4 ∗ 1012)

(2 ∗ 10−7)= 2 ∗ 1019

Potenciación

Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo:

(3 ∗ 106)2 = 9 ∗ 1012

Radicación

Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.

Ejemplos:

√9 ∗ 1026 = √9 ∗ 10262 = 3 ∗ 1013

√27 ∗ 10123= √27

3∗ 10

123 = 3 ∗ 104

√256 ∗ 10644= √256

4∗ 10

644 = 4 ∗ 1016

http://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma

http://es.wikipedia.org/wiki/Resta

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_ra%C3%ADz



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Secuencia 1 Actividad 1

1. Sitúa en la escala de Potencias de Decimales:

a) 7,2 ∗ 105

b) 3,67 ∗ 104

c) 8,92 ∗ 10−3

d) 3,34 ∗ 10−1

e) 3 ∗ 10−13

f) 6.255 ∗ 103

g) 3 ∗ 10−13

h) 5.56 ∗ 10−3

i) 3209 ∗ 10−6

j) 3000000000 ∗ 103

2. Expresa en Notación Científica las siguientes cantidades.

a) 300,000,000

b) 0.000 0001

c) 0.000 00062

d) −18,400,000,000

e) −7,894.34

f) 456.987

g) 0.00000000093

h) −5.5

i) 300,000,000

j) 18,400,000,000



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3. Realiza la Operación (0.00000000000663∗30 000

0.00 000 009 116) pasa primero a Notación Científica

4. Efectúa los Productos y Cocientes siguientes usando las propiedades de las Potencias:

a) (9∗10−3)(5∗10−4)

(1.5∗108)

b) (1.6∗10−2)(5∗105)

(1.5∗10−6)

c) (7.2∗10−6)

(1.2∗10−6)(3∗10−1)

d) (8.5∗10−8)

(1.4∗10−9)(1.3∗10−7)

e) (9∗10−3)(5∗10−4)

(1.4∗10−9)(1.3∗10−7)

f) (1.6∗10−7)(5∗10−6)

(1.4∗103)(1.3∗107)

g) (3.2∗107)∗0.7

(2∗1014)(6∗10−5)

h) (3 ∗ 105)(8 ∗ 10−4)

i) (3.74 ∗ 10−10)(1.8 ∗ 1018)

j) (5.4 ∗ 108)(6.8 ∗ 1012)

5. Efectúa las Sumas, Restas, Productos y Cocientes de las siguientes expresiones usando la

transformación decimal y el resultado expresa en Notación Científica:

a) (3 ∗ 10−1) − (5 ∗ 10−2) + (3 ∗ 10−3)

b) (5∗10−5)−(3∗10−7)

(2∗103)+3

c) (1.2 ∗ 102) + (1.8 ∗ 103)

d) (2.5 ∗ 10−3) − (7.3 ∗ 10−5)

e) (5.6 ∗ 10−2)((4.2 ∗ 102) + (3.3 ∗ 103))

f) (9.8 ∗ 10−3) + (3.2 ∗ 102)

g) (8.6 ∗ 10−3)((64.2 ∗ 104) + (33 ∗ 105))



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6. Efectúa las siguientes Operaciones:

a) √9 ∗ 1032

b) √27 ∗ 10243

c) √512 ∗ 101283

d) √3125 ∗ 101255

e) √4096 ∗ 10324

f) (3 ∗ 108)4

g) (7 ∗ 1012)2

h) (5 ∗ 109)3

i) (6 ∗ 106)5

j) (2 ∗ 1016)6

7. La masa del Sol es aproximadamente 2 ∗ 103𝑘𝑔, la masa del electrón es aproximadamente 1.6 ∗ 10−27𝑘𝑔.

Utilizando Notación Científica y Fracciones Generatrices, estima cuantas veces es más pesado el sol que

el electrón.

8. Expresa en Notación Científica:

a) Distancia de la Tierra a la luna 384,000 km

b) Distancia de la Tierra al Sol 150,000,000 km

c) Distancia de la Tierra a Neptuno 4,308,000,000 km

d) Virus de la gripe 0. 000 000 002 2 m

e) Radio del Protón 0. 000 000 000 05m

9. Resuelve los siguiente problemas utilizando Notación Científica:

a. El presupuesto de un país es de quince trillones de dólares. ¿Cuánto tiene que aportar un individuo

en promedio si el país tiene doscientos cincuenta millones de habitantes?

b. Un año luz es la distancia que viaja la luz en un año, es decir, aproximadamente 5,869’713,600 millas,

se estima que la vía láctea tiene un diámetro de 200,000 años luz. ¿Cuántas millas tiene la vía láctea

de diámetro?



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c. La edad del sol es aproximadamente 5 ∗ 109 𝐴ñ𝑜𝑠. Sin embargo hay cuerpos que pueden tener 4

veces la edad del sol. ¿Cuál es la Edad de estos Cuerpos?

d. Se calcula que en la vía láctea hay aproximadamente 1.2 ∗ 1011 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠. ¿Cuánto le tomara a una

persona contar las estrellas si cuenta una por segundo?

e. Suponga que tiene que escribir los números hasta un millón. ¿Cuántos ceros abra escrito?



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Cifras Significativas

Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan

alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen

significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras

significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.

Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432,4764 m con un error de 0,8

m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que

ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar

el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras

significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc.,

pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.

Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que

puede suponer una fuente de confusión.

Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas. Se llama redondeo al

proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.



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Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:

Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.

Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida.

Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra

retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue

siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.

Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el

número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000. En este caso suele preferirse la notación

exponencial, puesto que si escribimos “4000” puede no estar claro si los ceros son cifras significativas o no.

En efecto, al escribir 4103 queda claro que sólo la cifra “4” es significativa, puesto que si los ceros también

lo fueran escribiríamos 4.000103

Reglas de operaciones con cifras significativas:

a. Regla 1: Los resultados experimentales se expresan con sólo una cifra dudosa, e indicando con ± la

incertidumbre en la medida.

b. Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente

de cero y hasta el dígito dudoso.

c. Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual

al de la cantidad con el menor número de ellas.

Atención: Un caso de especial interés es el de la resta.

Citemos el siguiente ejemplo: 30,3475 – 30,3472 = 0,0003.

Observemos que cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee tan solo

una.

Al restar se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja

con calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se resten.

Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor número de cifras

significativas posible.



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d. Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al

del factor con menos cifras.

Instrumentos de Medición

Es un aparato que se usa para comparar magnitudes físicas mediante un proceso de medición. Como unidades

de medida se utilizan objetos y sucesos previamente establecidos como estándares o patrones y de la

medición resulta un número que es la relación entre el objeto de estudio y la unidad de referencia. Los

instrumentos de medición son el medio por el que se hace esta conversión.

Para Medir Longitud:

a. REGLA: Instrumento de forma rectangular y de poco espesor, el cual puede estar hecho de distintos

materiales rígidos, que sirve principalmente para medir la distancia entre dos puntos o para trazar líneas

rectas. Al medir con la regla debemos tener la precaución de iniciar la medida desde el cero de la escala,

que no siempre coincide con el extremo de la misma, si no que en muchas reglas el cero se encuentra a

una pequeña distancia de dicho extremo, lo que puede conducir a un error de medición si no se presta

atención a este detalle.

b. METRO plegable: se utiliza para medir distancias con una apreciación de 1 mm. Este instrumento suele

tener el cero de la escala coincidiendo con su extremo, por lo que en este caso se debe medir partiendo

del mismo. Suelen tener una longitud de 1m o de 2m.

c. CINTA MÉTRICA: se utiliza para medir distancias con una apreciación de 1 mm y en pulgadas, también

suelen tener el cero de la escala coincidiendo con su extremo, por lo que en este caso se debe medir

partiendo del mismo, donde tiene una pata de apoyo para colocar en el borde de la pieza, facilitando la

medición. Tienen de 1m a 5m de longitud.

d. CALIBRE: instrumento para medir pequeñas longitudes con apreciación de 0,1 mm en los modelos más

comunes con nonio de 10 divisiones, apreciación de 0,02 mm si tiene nonio de 50 divisiones, además de

1/128”en el nonio de pulgadas, por lo tanto su apreciación dependerá de la cantidad de divisiones del

nonio:

a) 10 divisiones = 1/10 mm o 0,1 mm

b) 20 divisiones = 1/20 mm o 0,05 mm

c) 50 divisiones = 1/50 mm o 0,02 mm

Este instrumento tiene además accesorios para facilitar distintos tipos de medidas de longitud sobre

piezas, por ejemplo: medidas exteriores con las patas fija y móvil, medidas en interiores con las puntas

fija y móvil, medidas de profundidad en cavidades con la varilla de profundidad. En cualquiera de los

casos anteriores la lectura siempre se realiza sobre la zona a consultar, donde se encuentren el nonio y

la regla, observando la cantidad de milímetros enteros a la izquierda del cero del nonio y los decimales



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contando en el nonio hasta llegar a los trazos coincidentes. Lectura: 62,8 mm (62 mm a la izquierda del

cero y 8 divisiones del nonio).

e. MICRÓMETRO: instrumento de precisión para medir longitudes con una apreciación de centésimas de

milímetro (0,01mm) capaz de realizar estas mediciones gracias a un tornillo de precisión con una escala

convenientemente graduada.

Conversiones de Unidades

En muchas situaciones en Física, tenemos que realizar operaciones con magnitudes que vienen expresadas en

unidades que no son homogéneas. Para que los cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar

las unidades de forma que se cumpla el principio de homogeneidad. Por ejemplo, si queremos calcular el

espacio recorrido por un móvil que se mueve a velocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30

segundos, debemos aplicar la sencilla ecuación 𝑠 = 𝑣 ∗ 𝑡, pero tenemos el problema de que la velocidad viene

expresada en kilómetros/hora, mientras que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una

de las dos unidades, de forma que ambas sean la misma, para no violar el principio de homogeneidad y que el

cálculo sea acertado.

Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión. Llamamos factor de conversión a la

relación de equivalencia entre dos unidades de la misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los

valores numéricos de equivalencia entre ambas unidades. Por ejemplo, en nuestro caso, el factor de

conversión entre horas y segundos viene dado por la expresión 1 ℎ𝑜𝑟𝑎

3600 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 o la equivalente

3600 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

1 ℎ𝑜𝑟𝑎, ya que 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 = 3600 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

Para realizar la conversión, simplemente colocamos la unidad de partida y usamos la relación o factor

adecuado, de manera que se nos simplifiquen las unidades de partida y obtengamos el valor en las unidades

que nos interesa. En nuestro caso, deseamos transformar la velocidad de Km/hora a Km/segundo, por lo cual

usaremos la primera de las expresiones, ya que así simplificamos la unidad hora

72𝑘𝑚

ℎ∗

1ℎ

3600 𝑠𝑒𝑔

= 0.02 𝑘𝑚𝑠𝑒𝑔⁄

Si tenemos que transformar más de una unidad, utilizamos todos los factores de conversión sucesivamente

y realizamos las operaciones. Por ejemplo, transformemos los 72 Km/h a m/s.

72𝑘𝑚

ℎ∗

1ℎ

3600 𝑠𝑒𝑔∗1000 𝑚

1 𝑘

= 20 𝑚 𝑠𝑒𝑔⁄

Con el fin de utilizar siempre el mismo sistema de unidades y tener un criterio de homogeneización, utilizamos

el Sistema Internacional de Unidades.

Medidas de Peso

Convertir de a... Multiplicar por

toneladas cortas

Kilogramos 907.18 1 tonelada = 1000 kgs.

Libras 2000 1 quintal = 100 kgs.

toneladas largas 0.89 1 quintal z = 100 libras

toneladas métricas 0.91 1 kilo

= 1000 grs.

toneladas largas

Kilogramos 1016.05 = 2.2046 libras

Libras 2240 1 libra

= 453.597 grs.

toneladas cortas 1.12 = 16 onzas

toneladas métricas 1.02 1 gramo = 1000 mgs.



17

toneladas métricas

Kilogramos 1000 1 onza = 28.35 grs

Libras 2204.62 1 quilate

= 205 mgs.

toneladas cortas 1.10 = 11.502 kgs.

toneladas largas 0.98 1 arroba = 25 libras

Kilogramos Libras 2.20

Gramos 1000

Libras Onzas 16

Kilogramos 0.45

Onzas Gramos 28.35

Quintales Kilogramos 46

Arroba Libras 25

Medidas de longitud


Centímetros

Pulgadas 0.39 1 m = 1 000 mm

Metros 0.010 1 m = 100 cm

Milímetros 10 1 cm = 10 mm

Metros

Decímetros 10 1 m = 39.37 in

Centímetros 100 1 m = 3.28 ft

Pulgadas 39.37 1 m = 1.094 yd

Pies 3.28 1 km = 1000 m

Yardas 1.09 1 in = 2.54 cm

Decámetros Metros 10 1 ft = 0.305 m

Hectómetros Metros 100 1 ft = 30.48 cm

Kilómetros

Metros 1000 1 ft = 12 in

Yardas 1093.61 1 mi = 1.61 m

Pies 3280.83 1 mi = 5280 ft

Millas 0.62 1 yd (yardas) = 3.0 ft

Miriámetros Metros 1000 1 yd (yardas) = 91.44 cm

Yardas Metros 0.914 1 in (pulgadas) = 0.0254 m

Pies 3

in (pulgadas)

ft (pies)

mi (millas)

yd (yardas)

Millas

Kilómetros 1.61

Pies 5280.25

Yardas 1759.62

Metros 1609.34

Pies

Centímetros 30.48

Pulgadas 12

Yardas 0.33

Pulgadas Centímetros 2.54

Pies 0.083

Medidas de Volumen


metros cúbicos

pulgadas cubicas 61023.19 1 m3

= 1000 dm3

pies cúbicos 35.31 = 1000 litros

yardas cubicas 1.31 1 dm3

= 1 litro

galones americanos 264.2 = 1000 cm3

decímetros cúbicos

pulgadas cubicas 61.02 1 galón

= 8 pintas

pies cúbicos 0.035 = 4.55 litros

yardas cubicas 0.0013

centímetros cúbicos pulgadas cubicas 0.061

pies cúbicos 0.000035



18

yardas cubicas

centímetros cúbicos 764555.56

decímetros cúbicos 764.56

metros cúbicos 0.765

pulgadas cubicas 46656

pies cúbicos 27

galones americanos 202.01

pies cúbicos



pulgadas cubicas 1,73



pulgadas cubicas




pies cúbicos 0.00058



Conversión de Temperaturas

Convertir de a… Multiplicar por

celsius (c) fahrenheit (f) c x 9 /5+32 c f

fahrenheit (f) celsius (c) f-32) x 5/9 -17.77 = 0

0 = 32

5 = 41

10 = 50

15 = 59

18 = 64.4

20 = 68

21 = 69.8

22 = 71.6

23 = 73.4

24 = 75.2

25 = 77

30 = 86

32 = 89.6

35 = 95

37 = 98.6

40 = 104

50 = 122

60 = 140

70 = 158

Medidas de Superficie


centímetros cuadrados pulgadas cuadradas 0.155 1 km2 = 100 hectáreas

decímetros cuadrados pies cuadrados 0.108 1 hectárea = 10000 m2

metros cuadrados

decímetros cuadrados 100 = 2.47 acres

centímetros cuadrados 10000 1 acre = 4046.9 m2

pulgadas cuadradas 1549.99 1 m2 = 10000 c m2

pies cuadrados 10.76 1 c m2 = 100 m m2

yardas cuadradas 1.196

hectáreas metros cuadrados 10000



19

Áreas 100

pulgadas cuadradas centímetros cuadrados 6.452

pies cuadrados 0.0069

pies cuadrados

pulgadas cuadradas 144

decímetros cuadrados 9.29

metros cuadrados 0.093


yardas cuadradas metros cuadrados 0.84

pies cuadrados 9

áreas metros cuadrados 100

acres Áreas 40.47

Hectáreas 0.405

kilómetros cuadrados

metros cuadrados 1000000

yardas cuadradas 1’195985.02

kilómetros cuadrados 0.39

millas cuadradas

kilómetros cuadrados 2.59

Hectáreas 258.99


Medidas de Líquidos


galones americanos

galones ingleses 0.83

pulgadas cubicas 230.97

pies cúbicos 0.14

centímetros cúbicos 3,785.31


Litros 3.79

cuartos americanos 4

pintas americanas 8

galones ingleses


pulgadas cubicas 277.42

pies cúbicos 0.161



Litros 4.55

cuartos ingleses 4

pintas inglesas 8

litros



pies cúbicos 0.035


metros cúbicos galones americanos 264.17

galones ingleses 220

pies cúbicos



Litros 28.32

barril de aceite galones americanos 42



20

Secuencia 1 Actividad II

1. Teniendo en cuenta la equivalencia entre las unidades fundamentales, determinar los factores de

conversión de:

400 km en millas,

100 km/h en m/s,

12 pulgadas en milímetros.

6080 pies en metros,

420 litros en centímetros cúbicos.

2. Determine en metros cuadrados (m2) el área de un cuadrado que tiene un pie de lado.

3. Si un avión está volando a 30 mil pies de altura, ¿cuantos metros lo separan de la superficie?

4. ¿Cuántos galones pueden almacenarse en un recipiente esférico que tiene una capacidad de 100000

litros?

5. Si la masa de la tierra es de 6 x 1024 kg y pudiera suponerse que es una esfera de 6400 km de radio,

¿cuál sería su radio en centímetros?

6. Una sala de estar tiene 18 ft de ancho y 33 ft de largo ¿Cuál es el área de la sala en m2?

7. Una acera requiere de 40 yd3 de concreto ¿Cuántos m3 se necesitan?

8. Convertir 18.4567° a Grados, Minutos y Segundos

9. Convertir 18° 27' 24'' a Grados

10. Convertir 38 ° 15' 16 '' a Radianes

11. Realiza la conversión de las siguientes unidades:

1,3 kg/l a kg/ m3

6 g / cm3 a kg / m

3

980 g / l a kg / m3

20 km / h a m / s



21

20 m / s a km / h

20 cm / s a km / h

2593 Pies a Yardas.27,356 Metros a Millas

386 Kilogramos a Libras

2,352 Segundos a Año

1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.

46 m en cm

540 m2 en cm2

12. Efectúa las siguientes conversiones

875 km a mi

1250 in a m

0.6 m2 a cm2

9 ft2 a m2



22

Cantidades Vectoriales y Escalares

Algunas cantidades quedan totalmente descritas si se expresan con un número y una unidad. Por ejemplo, una

masa de 30 kg. La masa queda totalmente descrita por su magnitud representada por el número (para el caso,

30 es la magnitud) y las unidades correspondientes para la masa: kilogramos. Estas cantidades son escalares.

*Definición: Una cantidad escalar se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y una

unidad.

Las operaciones entre cantidades escalares deben ser dimensionalmente coherentes; es decir, las cantidades

deben tener las mismas unidades para poder operarse.

30 kg + 40 kg = 70 kg

20 s + 43 s = 63 s

Algunas cantidades escalares comunes son la masa, rapidez, distancia, tiempo, volúmenes, áreas entre otras.

Para el caso de algunas cantidades, no basta con definirlas solo con un número y una cantidad, sino además

se debe especificar una dirección y un sentido que las defina completamente. Estas cantidades son

vectoriales.

*Definición: Una cantidad vectorial se especifica totalmente por una magnitud y una dirección. Consiste en

un número, una unidad y una dirección.

Las cantidades vectoriales son representadas por medio de vectores.

Por ejemplo, "una velocidad de 30 km/h" queda totalmente descrita si se define su dirección y sentido: "una

velocidad de 30 km/h hacia el norte" a partir de un marco de referencia determinado (los puntos cardinales).

Entre algunas cantidades vectoriales comunes en física son: la velocidad, aceleración, desplazamiento,

fuerza, cantidad de movimiento entre otras.

Existen diferentes formas de expresar una cantidad vectorial. Una de ellas es la forma polar, que se escribe

como un par de coordenadas, en las cuales denotan su magnitud y su dirección. Por ejemplo, La velocidad (30

m/s, 60º), quiere decir "velocidad de 30 m/s a 60º desde el origen del marco de referencia dado".

Características de los Vectores.

Los vectores se representan por medio de flechas. El sentido del vector está dado por medio del indicador

de la flecha o punta de flecha; la magnitud del vector está dado por el tamaño del vector y la dirección por



23

la inclinación que tenga la flecha. Generalmente el marco de referencia utilizado es el plano cartesiano, con

el eje x positivo dirigido hacia la derecha y el eje y positivo dirigido hacia arriba.

Ejemplo. Considere los vectores D1 (verde) y D2 (azul) representados en la figura. El vector D2 tiene mayor

magnitud que el vector D1 (observe el tamaño). Según el marco de referencia propuesto, ambos tienen

sentidos opuestos y la dirección para D1 es 60º y para D2 es de 80º desde el eje negativo y (es decir, 190º).

Generalmente los vectores se representan con una letra (comunmente la letra inicial de la propiedad que

denota la cantidad) y encima de esa letra una flecha hacia la derecha. Por ejemplo:

Vector velocidad:

La magnitud de un vector se representa por medio de barras verticales:

Magnitud del vector velocidad.

La dirección del vector está dada por un ángulo θ con respecto al marco de referencia. Generalmente, éste

ángulo se mide a partir del eje x positivo.

El sentido del vector está dado por el signo que lo antepone. Por ejemplo, si el vector está dirigido hacia

el norte, entonces el vector - está dirigido hacia el sur.

Las operaciones con vectores suelen ser más complejas debido a la introducción de las nuevas propiedades

(dirección y sentido). En las siguientes lecciones, se muestran algunos métodos para poder realizar sumas y

restas de vectores.

Operaciones con Vectores por el Método del Paralelogramo.

Para utilizar métodos gráficos en la suma o resta de vectores, es necesario representar las cantidades en

una escala de medición manipulable. Es decir, podemos representar un vector velocidad de 10 m/s hacia el

norte con una flecha indicando hacia el eje y positivo que mida 10 cm, en la cual, cada cm representa una

unidad de magnitud real para la cantidad (1 m/s).

El vector que resulta de operar dos o más vectores, es conocido como el vector resultante, o simplemente la

resultante.

El método del paralelogramo permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los dos

vectores, con su magnitud a escala, dirección y sentido originales, en el origen, de manera que los dos vectores

inicien en el mismo punto. Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados

se construyen trazando lineas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud. El vector suma resultante

se representa a escala mediante un segmento de recta dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del

origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas.

Ejemplo. Una bicicleta parte desde un taller de reparación y se desplaza (4 m, 30º) y luego (3 m, 0º).

Encuentre el desplazamiento total de la bicicleta, indicando la dirección tomada desde el taller.



24

El desplazamiento total se da en dos tramos. Cada tramo desplazado se representa por los vectores d1 y d2.

El desplazamiento total es D = d1 y d2.

Los dos vectores son dibujados a la misma escala, y se colocan en el mismo origen. Luego se trazan las lineas

paralelas.

Si medimos con una regla, a la escala dada, el tamaño del vector resultante debe dar aproximadamente 6.75

unidades de la escala; es decir, la magnitud del vector desplazamiento total es de 6.75 m.

La medida de la dirección se toma con la ayuda de un transportador, y debe dar aproximadamente 17º desde

el origen propuesto. El sentido del vector resultante es positivo, según el marco de referencia común (plano

cartesiano, hacia x positivo y hacia y positivo). Entonces como resultado, la bicicleta se desplaza (6.75 m,

17º).

Operaciones con Vectores por el Método del Polígono.

Éste es el método gráfico más utilizado para realizar operaciones con vectores, debido a que se pueden

sumar o restar dos o más vectores a la vez. El método consiste en colocar en secuencia los vectores

manteniendo su magnitud, a escala, dirección y sentido; es decir, se coloca un vector a partir de la punta

flecha del anterior. El vector resultante está dado por el segmento de recta que une el origen o la cola del

primer vector y la punta flecha del último vector.

Ejemplo. Sean los vectores:

Encontrar .

Resolviendo por el método del polígono, la figura resultante es:



25

Si se utilizan los instrumentos de medición prácticos, se obtiene que : y que θ es aproximadamente

80ª.

Cuando dos vectores se restan, el procedimiento anterior es el mismo, lo único que cambia es el sentido del

vector que le sigue al signo menos. Por ejemplo, al restar el vector D2 del vector D1 se tiene:

D1- D2 = D1+ (-D2).

La expresión del miembro derecho de la ecuación anterior designa un cambio en el sentido del vector D2;

entonces, la expresión queda como una suma, y por lo tanto, se sigue el procedimiento del método gráfico

mostrado anteriormente.

Los métodos gráficos ofrecen una manera sencilla de sumar o restar dos o más vectores; pero cuando las

magnitudes de los vectores son demasiado grandes o poseen una gran cantidad de decimales, éstos métodos

se vuelven imprecisos y difíciles de manipular a escalas de medición menores. Es por eso, la necesidad de un

método matemático nemotécnico, que permita dar una mayor precisión en el cálculo de vectores resultantes,

no sólo en la magnitud, sino además en la dirección de ellas

Componentes Rectangulares de un Vector.

La eficacia de una cantidad vectorial depende de la dirección en la que actúa. Por ejemplo, suponga una fuerza

(cantidad vectorial) que mueve una caja grande arrastrándola por el suelo. La caja se moverá más fácil si se

hala por medio de una cuerda inclinada (como se muestra en la figura) que si se empuja, debido a que la cuerda

levanta la caja y la mueve hacia adelante al mismo tiempo. En forma similar, al empujar la caja, se produce el

efecto de añadir peso. Esto da la idea de que una fuerza, y en general, un vector, tiene componentes

verticales y horizontales que podrían reemplazar al vector.

En general, las componentes de un vector son otros vectores, en direcciones particulares. El eje de

referencia principal más utilizado es el plano cartesiano. Según éste marco de referencia, las componentes

horizontales son vectores en dirección al eje x y las componentes verticales son vectores en dirección al eje

y.



26

Las magnitudes de las componentes se encuentran relacionadas con la magnitud del vector principal por medio

del teorema de Pitágoras, tomando como catetos las componentes, y como hipotenusa el vector principal. La

dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes de las componentes por medio de las

relaciones trigonométricas conocidas para un triángulo rectángulo simple. Las relaciones más utilizadas son

el seno, coseno y tangente.

Ejemplo. Encuentre la magnitud de las componentes en x e y del vector (3.5 u,60º).

La componente en x se puede encontrar fácilmente utilizando la relación del cosena:

Resolviendo: Componente en x = (3.5 u)*cos(60º) = 1.75 u.

De manera similar, se puede encontrar la magnitud de la componente en y por medio de la relación del seno;

pero además se conoce la magnitud del vector principal, lo cual permite utilizar el teorema de pitágoras:

Resolviendo:

Componente en y = 3.03 u

En general, las componentes de un vector pueden verse como efectos o proyecciones a lo largo de los ejes x

e y. Considere el vector V. Podemos escribir las componentes en x e y del vector V en términos de su magnitud

V y su dirección θ:

- Componente en x, o Vx = V cos θ

- Componente en y, o Vy = V sen θ

donde θ es el ángulo, medido en dirección antihoraria, entre el vector V y el lado positivo del eje x.

Operaciones con Vectores por el Método de las Componentes.

Éste método mejora la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante por medio del conocimiento

de las componentes del vector; además tiene la ventaja de sumar o restar dos o más vectores a la vez,

mediante un proceso algebraico.

El método consiste en sumar o restar las componentes en x de los vectores principales, y el resultado de

ésta operación es la componente en x del vector resultante. De igual manera, se operan las componentes en

y de los vectores principales y el resultado es la componente en y del vector resultante. Obtenidas las

componentes de la resultante, se pueden encontrar la magnitud, dirección y sentido de éste vector.

Cuando una componente, en x o en y, tiene un valor negativo, el sentido de ésa componente es contrario a los

lados positivos del marco de referencia. Por ejemplo, si una componente en y tiene un valor negativo, la

proyección en el eje y de ése vector apunta hacia abajo.

Ejemplo. Calcule la resultante de las fuerzas que se presentan en la figura.



27

Note que θ para los vectores B y C no son los que se presentan en la figura, sino que se deben calcular a

partir del eje x positivo (ángulos suplementarios).

Para el vector B, θ = 180º - 45º = 135º

Para el vector C, θ = 180º + 55º = 235º

Calculando las componentes en x de los vectores A, B y C:

Ax = (200 N) cos (30º) = 173.20 N

Bx = (300 N) cos (135º) = - 212.13 N

Cx = (155 N) cos (235º) = - 88.90 N

Calculando las componentes en y de los vectores A, B y C:

Ay = (200 N) sen (30º) = 100 N

By = (300 N) sen (135º) = 212.13 N

Cy = (155 N) sen (235º) = - 126.97 N

Luego se calcula la fuerza resultante, encontrando las componentes de ésta fuerza, a partir de una simple

suma de componentes de fuerzas individuales.

Operaciones con Vectores por el Método de las Componentes.

La Fuerza Resultante F es la suma de las fuerzas individuales; es decir, de los vectores anteriores:

Fx = Ax + Bx + Cx = 173.20 N + (- 212.13 N) + (- 88.90 N) = - 127.83 N.

Fy = Ay + By + Cy = 100 N + 212.13 N + (- 126.97 N) = 185.16 N.

Si dibujamos esas componentes resultantes, obtenemos un vector como se muestra en la siguiente figura:

La magnitud del vetor resultante se encuentra por el teorema de pitágoras:

Para el cálculo del ángulo θ, se introduce el valor de un nuevo ángulo φ, que es aquel formado por la componente

en x del vector resultante y el vector resultante. Esto se hace debido a que al utilizar una función



28

trigonométrica que relacione las componentes, ésta es válida si y sólo si la relación es de un triángulo

rectángulo. Para el caso, al encontrar φ, se puede calcular el valor de θ, así:

θ = 180º - φ

La función trigonométrica que relaciona las dos componentes es la de tangente:

Note que para utilizar la función trigonométrica se deben operar los valores absolutos de las magnitudes de

las componentes, para que el resultado sea el valor absoluto del ángulo.

La relación θ = 180º - φ es válida para los vectores que estén en el 2º cuadrante del plano cartesiano; si el

vector está en el 3º o 4º cuadrante, se procede así:

Tercer cuadrante: θ = 180º + φ

Cuarto cuadrante: θ = 360 º - φ



29

Secuencia 1 Actividad III

1. Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste. Calcular:

a. ¿Cuál es la diferencia total que recorren?

b. ¿Cuál es su desplazamiento?

2. Un vector situado en el plano XY tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37º con la

abscisa. Determine sus componentes rectangulares.

3. La componente x de un vector que está en el plano XY es de 12 unidades, y la componente y es de 16

unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector?



30

4. Encuentre las componentes rectangulares, las magnitudes y los ángulos directores de los vectores A, B

y C que van desde el punto a hasta el punto b, desde el punto c hasta el punto d y desde el punto e hasta

el punto f, respectivamente, en el espacio coordenado cartesiano.

A(2,-1,7); B(9,4,2); C(9,4,2); D(2,-1,7); E(0,0,0); F(2,2.1)

5. Dado el vector = 2𝑖 + 4𝑗 − 4 determine sus ángulos directores.

6. Dados los vectores: = 10𝑖 + 5𝑗 + 3 , = 3𝑖 − 4𝑗 + 2, 𝐶 = 2𝑖 + 6𝑗 − 4 Encontrar:

a. + b. − ,

c. 2 − 3 −𝐶

2



31

7. Un barco avanza hacia el norte 60 [km]; luego cambia de curso y navega en alguna dirección hacia el

sureste (no necesariamente S 45º E) hasta llegar a una posición a 50 [km] de distancia del punto de

partida, en una dirección E 20,6º N respecto de dicho punto. Determine la longitud y el rumbo de la

segunda parte de la travesía.

8. Encontrar el área y los ángulos interiores de un triángulo cuyos vértices son las coordenadas: (3, -1,2),

(1,-1,-3) y (4,-3,1).

9. Hallar el valor de r tal que los vectores = 2𝑖 + r𝑗 + y = 4𝑖 − 2𝑗 − 2 sean perpendiculares.

10. Sumar dos vectores de magnitudes 8 y 5 que forman un ángulo de 60º entre sí.



32

Secuencia 1 Actividad IV

11. Dados los vectores = 3𝑖 − 2𝑗 y = 𝑖 − 2𝑗, encontrar su producto vectorial y comprobar que ese vector

es perpendicular 𝑎 𝑦 𝑎

12. Dados los vectores = −3𝑖 + 2𝑗 − ; B en el plano XY de módulo 10 y dirección 120º respecto de +X; y

𝐶 = −4𝑗 Determinar:

a. La magnitud de + − 𝐶

b. El ángulo que forma ∗ con el eje Z

c. Proyección de − 𝐶 en dirección de

13. Hallar el área del triángulo formado por los vectores = 3𝑖 + 2𝑗 + ; = −𝑖 + 5𝑗 − 4 y su diferencia.

14. Tres vectores situados en un plano tienen 6, 5 y 4 unidades de magnitud. El primero y el segundo forman

un ángulo de 50º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de 75º. Encontrar la magnitud

del vector resultante y su dirección respecto del mayor.



33

15. Un vector 𝐴𝐵 tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo

B(12,−3).

16. Dado el vector = (2, −1), determinar dos vectores equipolentes a 𝐴𝐵 𝑌 𝐶𝐷 , sabiendo que

A(1, −3) y D(2, 0).

17. Calcular la distancia entre los puntos: 𝐴(2,1) 𝐵(−3,2)

18. Si 𝑣 es un vector de componentes (3, 4), Hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido



34

19. Una persona en su trote diario, desde su casa, corre 7km al Norte, 2km al Oeste, 7km al Norte y 11km

al Este. Encuentre la distancia a su casa a que se encuentra la persona.

20. Una caja tiene 16 cm de largo, 18 cm de ancho y 10 cm de alto. Encuentre la longitud de la diagonal de la

caja y el ángulo que ésta forma con cada uno de los ejes.



35

Secuencia 1 Actividad V

21. A partir de los vectores que se muestran en la figura, en que los módulos de , y 𝐶 son 10, 20 y 30

respectivamente, determine:

a. Proyección de en dirección de 𝐶 −

b. Un vector tal que 2 + − 2 = 0

22. Dados los vectores = 4𝑖 + 6𝑗 y = −6𝑖 − 𝑗 Encontrar:

a. El ángulo formado por los vectores.

b. Un vector unitario en la dirección del vector − 2

23. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son: = 3𝑖 + 𝑗 − 2 y = 𝑖 − 3𝑗 + 4

24. Los vectores 𝑦 forman entre sí un ángulo de 45º y el módulo de vale 3. Encontrar el valor de la

magnitud de para que la diferencia − sea perpendicular a



36

25. Un vector tiene una magnitud de 9 [cm] y está dirigido hacia +𝑋 Otro vector tiene una magnitud de

6 [cm] y forma un ángulo de 45º respecto de la abscisa positiva. El vector 𝐶 tiene una magnitud de 15

[cm] y forma un ángulo de 75º respecto del eje +𝑋. Determine el vector resultante.

26. Hallar la resultante de los siguientes desplazamientos: 3 [m] hacia el este; 12 [m] hacia el este 40º hacia

el norte y 7 [m] hacia el oeste 60º hacia el sur.

27. Un barco se desplaza sobre una superficie de agua tranquila a razón de 10 𝐾𝑚ℎ⁄ y entra en dirección O

60º S en una corriente cuya dirección es E y que se mueve con una velocidad de 12 𝐾𝑚ℎ⁄ ¿Cuál será su

velocidad resultante?

28. Desde una determinada posición en un camino, una persona observa la parte más alta de una torre de

alta tensión con un ángulo de elevación de 25o. Si avanza 45m en línea recta hacia la base de la torre,

divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de 55o. Considerando que la vista del observador está

a 1,7m. Determine la altura h de la torre.



37

29. Desde un avión de reconocimiento que vuela a una altura de 2500m, el piloto observa dos embarcaciones

que se encuentran en un mismo plano vertical con ángulos de depresión de 62o240 y 37o180

respectivamente. Encuentre la distancia x entre las embarcaciones.

30. Una persona se encuentra en la mitad de la distancia que separa dos edificios y observa la parte más

alta de éstos con ángulos de elevación de 30o y 60o respectivamente. Demuestre la que las alturas de

los edificios están en la relación 1:3.

31. Un mástil por efecto del viento se ha quebrado en dos partes, la parte que quedó vertical en el piso mide

3m y la parte derribada quedó atada al extremo superior de la parte vertical, formando un ángulo de

30º con el piso. Encontrar la altura del mástil.



38

Segundo Parcial Unidad de Aprendizaje

Identifica las diferencias entre los distintos tipos de movimientos.


a) Se expresa y se comunica

b) Piensa, critica y reflexivamente

c) Trabaja en forma colaborativa

d) Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en tontextos

históricos y sociales específicos.



Cinemática

La descripción matemática del movimiento constituye el objeto de una parte de la física denominada

cinemática. Tal descripción se apoya en la definición de una serie de magnitudes que son características de

cada movimiento o de cada tipo de movimientos. Los movimientos más sencillos son los rectilíneos y dentro

de éstos los uniformes. Los movimientos circulares son los más simples de los de trayectoria curva. Unos y

otros han sido estudiados desde la antigüedad ayudando al hombre a forjarse una imagen o representación

del mundo físico.

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Cuando una partícula se mueve en una línea recta, su posición está descrita por una sola coordenada, los

desplazamientos son entonces todos sobre una misma línea y no es necesario considerar el carácter vectorial

de ellos, lo cual simplifica el estudio del movimiento. Si usamos coordenadas cartesianas la posición de un

punto móvil estará determinada por su coordenada x la cual si el punto se mueve, será alguna función del

tiempo: 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Donde x representa la coordenada y 𝑥(𝑡) alguna función del tiempo generalmente

indicada con el mismo nombre que la coordenada.

Concepto de movimiento.- Movimiento es el cambio de posición de un objeto con respecto a un punto o

lugar de referencia, mientras transcurre el tiempo.

Concepto de tiempo.- En la formulación Newtoniana de la Mecánica Clásica, el concepto de tiempo es

un concepto absoluto, es decir para todos los observadores, independientemente de su movimientoel

tiempo transcurre de la misma forma. Esto significa entre otras cosas que el concepto de simultaneidad

es absoluto; Si dos sucesos ocurren simultáneamente para algún observador, entonces ellos ocurren

simultáneamente para todos.

Desplazamientos.- El desplazqamiento es la longitud con dirección del tramo que se forma desde el

punto de partida de un móvil, hasta su punto de terminación.

Distancia.- Es la longitud del tramo que recorre un cuerpo en movimiento a través de su trayectoria.

Espacio Recorrido.- El espacio recorrido por el móvil será denotado por una d y que se expresa en

metros (m), es la magnitud del desplazamiento si acaso el móvil no cambia el sentido del movimiento. Si

el móvil cambia el sentido del movimiento, el espacio recorrido es la suma de las magnitudes de los

desplazamientos que ocurren entre sucesivos cambios de sentido del movimiento. 𝒅 = 𝒗𝒕

Velocidad media.- La velocidad media cuando ocurre un desplazamiento ΔX en un intervalo de tiempo

Δt = t2 − t1 se define mediante:

vm =Δx

Δt 𝑚 𝑠𝑒𝑔⁄



39

Velocidad instantánea.- La velocidad instantánea o simplemente la llamada velocidad 𝑣(𝑡)) se define

como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, es decir:

𝑣(𝑡) = lim𝑡1−0

𝑥(𝑡) − 𝑥(𝑡1)

𝑡 − 𝑡1

Una definición equivalente es:

𝑣(𝑡) = limΔt→0

𝑥(𝑡 + Δt) − 𝑥(𝑡)

Δt

Este límite que permite levantar la indeterminación tipo 0

0 que se produce, se conoce como la derivada

de 𝑥(𝑡) respecto al tiempo:

𝑣(𝑡) =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑥(𝑡) = 𝑥′(𝑡)

En matemáticas usualmente la variable independiente se denomina x, y las funciones 𝑦(𝑥) 𝑜 𝑓(𝑥). En tal

caso la derivada se indicará:

𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥= 𝑦′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = lim

Δx→0

𝑓(𝑥 + Δx) − 𝑓(𝑥)

Δx

Rapidez.- La rapidez de una partícula en el instante de tiempo 𝑡 se define como la magnitud de la

velocidad, es la cantidad que resulta de dividir la distancia recorrida por un móvil, entre el tiempo que

le toma hacerlo, en el caso unidimensional esto simplemente es:

𝑟 =Δd

Δt=

𝑑𝑓 − 𝑑0

𝑡𝑓 − 𝑡0

𝑟 =d

t

Velocidad- es la cantidad que resulta de dividir el desplazamiento realizado por un móvil, entre el tiempo

que le toma en hacerlo.

𝑣 =Δd

Δt=

𝑑𝑓 − 𝑑0

𝑡𝑓 − 𝑡0

𝑣 =d

t

Aceleración media.- La aceleración de la partícula en el intervalo de tiempo de 𝑡1 𝑎 𝑡2 se define

mediante

𝑎𝑚 =𝑣(𝑡2) − 𝑣(𝑡1)

𝑡2 − 𝑡1𝑚𝑠−1

O bien: 𝑎𝑚 =Δv

Δt Donde Δt = t2 − t1 y Δv = v(t2) − v(t1)

Aceleración instantánea.- La aceleración instantánea de la partícula en el instante t se define como el

límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

𝑎(𝑡) = lim𝑡1−𝑡

𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡1)

𝑡 − 𝑡1=

𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡

Esto es la derivada de la velocidad respecto al tiempo

𝑎(𝑡) =𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

Fórmulas para el Movimiento Rectilinio Uniforme

Velocidad 𝑣 =𝑑

𝑡 Distancia 𝑑 = 𝑣𝑡 Tiempo 𝑡 =

𝑣

𝑑



40

Secuencia 2 Actividad I

1. ¿Cuál es la velocidad en m/s de un coche que recorre 180km en 2 horas?:Resp: 90km/h

2. Una persona camina a velocidad constante de 5 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer una distancia

de 6000m?

3. Un avión se desplaza a una velocidad de 1080 km/h, ¿cuál es el tiempo que transcurre en recorrer una

distancia de 100000km? Resp:0.093h

4. Una persona A recorre 9 km en 130 minutos, otra persona B recorre 1500 m en 900 s y una tercera

persona C lleva una velocidad de 5 km/h. ¿Cuál es la más rápida? Resp:B

5. Si voy desde el punto A hasta el B, que se encuentra a 10 km de distancia, y luego regreso al punto de

partida el desplazamiento total será. Resp:20km

6. Un delfín nada a una velocidad de 54km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el delfín en recorrer 450km?.

Resp:8.333h

7. ¿Cuál es la velocidad de un animal, expresada en m/s, sabiendo que recorre en 3 minutos la misma

distancia que una persona caminando a 5,4 km/h durante 2 minutos? Resp:10m/seg

8. Un automóvil de carreras recorre un giro a una pista de 5km de longitud aun tiempo de 2min. ¿Cuál es

su velocidad media? Resp:150.015km/h

9. Un móvil viaja en línea recta con una velocidad de 1200cm/s durante 9s, y luego con velocidad de

480cm/s durante 7s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:

a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16s? Resp:14160cm

b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo? Resp:885cm/seg



41

10. Una partícula se mueve en la dirección del eje x y en sentido de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es

2 m/s, y su posición es x0 = 4 m, ¿calcular el tiempo recorrido? Resp:2seg

11. Dos jóvenes, Rubén y Cecilia, caminan a razón de 1.2m/s y 0.9m/seg respectivamente. Determine la

distancia que los separa luego de 20s, sí partiendo desde el mismo punto:

a) se mueven en el mismo sentido, Resp:0.6m

b) si se mueven en sentidos contrarios. Resp:4.2m

12. Un móvil recorre 98km en 2h, calcular:

a. Su velocidad. Resp:49km/h

b. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad? Resp:150km

13. Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo si la

velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s? Resp:6.18seg

14. La velocidad del sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce un relámpago a 50

km de un observador.

a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido? Resp: La luz

b) ¿Con qué diferencia de tiempo los registra? Resp:151.50seg

15. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 km/s y el sol se

encuentra a 150.000.000 km de distancia. Resp:0.5seg

16. ¿Cuál será la distancia recorrida por un móvil a razón de 90 km/h, después de un día y medio de viaje?

Resp:3240km

17. ¿Cuál de los siguientes móviles se mueve con mayor velocidad: el (a) que se desplaza a 120 km/h o el (b)

que lo hace a 45 m/s? Resp: automóvil B



42

18. ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de

25.000 m? Resp:0.27h

19. ¿Qué tiempo empleará un móvil que viaja a 80 km/h para recorrer una distancia de 640 km? Resp:8h

20. Dos puntos A y B están separados por una distancia de 100 m. En un mismo momento pasan dos móviles,

uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con M.R.U., de tal manera que uno de ellos tarda 2s en

llegar al punto B y el otro 1,5 s en llegar al punto A .. Hallar:

a) El punto de encuentro.

b) El instante del encuentro.

21. Se tira una bolita A con una velocidad de 10m/s y en el mismo momento, pero 5m más adelante, se tira

una bolita B con una velocidad de 8 m/s.

a) ¿Cuánto tiempo después la bolita A pasa a la B?

b) ¿A qué distancia de la posición inicial de la bolita B?

22. Dos ciclistas pasan al mismo tiempo por un punto con velocidades constantes: 30km/h y 15km/h. ¿Qué

distancia los separará luego de 2 minutos?

23. Sale un avión de A hacia B con una velocidad constante de 500 km/h, al mismo tiempo otro avión con la

misma dirección pero en sentido contrario despega con velocidad constante de 300 km/h. Si los puntos

A y B están separados 1000 km, calcular:

a) ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse?

b) ¿A qué distancia de A lo lograrán?

24. Un barco zarpa de A con destino a B con una velocidad de 80 km/h, luego de 3 horas otro sale de B con

el mismo sentido que el primero pero, con una velocidad de 50 km/h, si la distancia entre A y B es de

500 km, calcular:

a. ¿Cuánto tiempo después que zarpó el segundo se encontrarán?

b. ¿A qué distancia de B?



43

25. Un motociclista pasa por un semáforo con velocidad constante de 50 km/h, en el mismo momento un

camión pasa por el mismo lugar y con igual sentido a una velocidad constante de 80 km/h, ¿cuánto tiempo

después estarán separados por 300 m?

26. Supongamos que alguien va en una camioneta a razón de 120 km/h, respecto a un observador en reposo

fuera de la camioneta. Y el conductor de la camioneta enciende las luces. Para el conductor la luz de los

focos se mueve por delante de la camioneta a la velocidad de la luz (c=300000 km/s). ¿Qué velocidad

diría que tiene la luz de los focos, el mismo observador en reposo fuera de la camioneta?



44

Movimiento Uniformemente Acelerado

Se dice que un movimiento es uniformemente acelerado si la aceleración del móvil es constante. En general,

si la aceleración a es constante se tiene que: 𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑎

Expresión que podemos integrar dos veces obteniendo

𝑣(𝑡) − 𝑣(0) = ∫ 𝑎𝑑𝑡𝑡

0

O sea v(t) = v(0) + at

E integrando de nuevo

𝑣(𝑡) − 𝑣(0) = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ (𝑣(0) + 𝑎𝑡)𝑑𝑡𝑡

0

𝑡

0

Luego, realizando la integral resulta

𝑣(𝑡) = 𝑥(0) − 𝑣(0)𝑡 +1

2𝑎𝑡2

Aquí 𝑋(0) representa la posición inicial y V(0) la velocidad inicial. Si despejamos el tiempo de la primera y

reemplazamos en la segunda se obtiene

x(t) − x(0) =𝑣2(𝑡) − 𝑣2(0)

2𝑎

Que tiene importancia en ciertas situaciones. Por ejemplo si la aceleración es negativa (movimiento

desacelerado), el espacio recorrido hasta detenerse será:

x(t) − x(0) =−𝑣2(0)

2𝑎

Nota Se habla de movimiento desacelerado cuando la aceleración tiene signo contrario a la velocidad. En

movimientos más generales se dice que el movimiento es desacelerado cuando la aceleración tiene sentido

contrario a la velocidad.

Solución gráfica

En algunos casos simples la integral no es necesaria. Por ejemplo si la aceleración es constante, entonces el

gráfico velocidad tiempo es una línea recta. La figura siguiente lo ilustra la aceleración, es decir la pendiente

de la curva, es

𝒂 =𝒗(𝒕𝟐) − 𝒗(𝒕𝟏)

𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

De donde

𝑣(𝑡2) − 𝑣(𝑡1) = 𝑎(𝑡2 − 𝑡1) el desplazamiento que es el área será (área de un rectángulo más área de un triángulo) resulta

𝐴 = 𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1) = 𝑣(𝑡1)(𝑡2 − 𝑡1) +1

2(𝑣(𝑡2) − 𝑣(𝑡1))(𝑡2 − 𝑡1)



45

Y

𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1) = 𝑣(𝑡1)(𝑡2 − 𝑡1) +1

2𝑎(𝑡2 − 𝑡1)

2

𝑥(𝑡2) = 𝑥(𝑡1) + 𝑣(𝑡1)(𝑡2 − 𝑡1) +1

2𝑎(𝑡2 − 𝑡1)

2

Que generaliza el resultado anterior. Además podemos obtener otro resultado aplicable al cálculo de la

velocidad media. La velocidad media en el intervalo de tiempo [t1, t2] está definida mediante

𝑢𝑚 =𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1)

𝑡2 − 𝑡1

Utilizando los resultados anteriores la podemos escribir:

𝑢𝑚 =𝑣(𝑡1)(𝑡2 − 𝑡1) +

12𝑎(𝑡2 − 𝑡1)

2

𝑡2 − 𝑡1= 𝑣(𝑡1) +

1

2𝑎(𝑡2 − 𝑡1)

𝑢𝑚 = 𝑣(𝑡1) +1

2(𝑣(𝑡2) − 𝑣(𝑡1))

𝑢𝑚 =1

2(𝑣(𝑡1) + 𝑣(𝑡2))

Resultado válido cuando la aceleración es constante. Para aceleración constante la velocidad media es el

promedio de las velocidades en los extremos del intervalo.

Fórmulas para el Movimiento Uniformemente Acelerado

Velocidad 𝑉 =𝑥

𝑡

Aceleración 𝑎 =𝑣𝑓−𝑣𝑜

𝑡

Velocidad Media =𝑣𝑜+𝑣𝑓

2

Velocidad Final 𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎𝑡 𝑣𝑓2 = 𝑣𝑜

2 + 2𝑎𝑑

𝑣𝑓 = 𝑎𝑡 𝑣𝑓2 = 2𝑎𝑑

Distancia 𝑑 = 𝑣𝑜𝑡 +1

2𝑎𝑡2 𝑑 =

𝑣𝑓2−𝑣𝑜

2

2𝑎

𝑑 = (𝑣0+𝑣𝑓

2) 𝑡

Tiempo 𝑡 = √2𝑑

𝑎 𝑡 = √

𝑣𝑓

𝑎



46


1. Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30s una velocidad de 588m/s.

Calcular:

a. La Aceleración.

b. ¿Qué espacio recorrió en esos 30s?

2. Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25s y recorre 400m hasta

detenerse. Calcular:

a. ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?.

b. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

3. ¿Cuánto tiempo tardará un móvil en alcanzar una velocidad de 60 km/h, si parte del reposo acelerando

constantemente con una aceleración de 20 km/h²?

4. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 20 m/s ² constante. Calcular:

a. ¿Qué velocidad tendrá después de 15 s?

b. ¿Qué espacio recorrió en esos 15 s?

5. Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90 km/h, si su aceleración es constante,

calcular:

a. ¿Cuánto vale la aceleración?

b. ¿Qué espacio recorrió en esos 5 s?

c. ¿Qué velocidad tendrá a los 11 s?

6. Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. ¿Qué tiempo necesitará para alcanzar

40 km/h y a que aceleración?



47

7. Un móvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una aceleración de 5m/s², calcular:

a. ¿Qué velocidad tendrá a los 10 s?

b. ¿Qué distancia habrá recorrido a los 32 s de la partida?

8. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 30m/s², transcurridos 2 minutos deja

de acelerar y sigue con velocidad constante, determinar:

a. ¿Cuántos km recorrió en los 2 primeros minutos?

b. ¿Qué distancia habrá recorrido a las 2 horas de la partida?

9. Un automóvil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10s en detenerse. Calcular:

a. ¿Qué espacio necesitó para detenerse?

b. ¿Con qué velocidad chocaría a otro vehículo ubicado a 30 m del lugar donde aplicó los frenos?

10. Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos. Calcular:

a. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

b. ¿Qué espacio necesito para frenar?

11. Un avión, cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración

de 20 m/s², necesita 100 metros para detenerse. Calcular:

a. ¿Con qué velocidad toca pista?

b. ¿Qué tiempo demoró en detener el avión?



48

12. Un camión viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme, de 100 km/h a 50 km/h. Si para esto

tuvo que frenar durante 1.500 m. Calcular:

a. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

b. ¿Cuánto tiempo empleó para el frenado?

13. La bala de un rifle, cuyo cañón mide 1,4 m, sale con una velocidad de 1.400 m/s. Calcular:

a. ¿Qué aceleración experimenta la bala?

b. ¿Cuánto tarda en salir del rifle?

14. Un móvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25s, y recorre una distancia

de 400m hasta detenerse. Determinar:

a. ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?

b. ¿Qué desaceleración produjeron los frenos?

15. Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante en que ve el

pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qué

distancia del obstáculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la aceleración fue constante.

16. Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 3 m/s², determinar:

a. ¿Qué velocidad tendrá a los 8 s de haber iniciado el movimiento?

b. ¿Qué distancia habrá recorrido en ese lapso?

17. Un ciclista baja por una pendiente con una aceleración constante, si en un momento de su recorrido lleva

una velocidad de 5m/s y al transcurrir 12s su velocidad incrementa a 16m/s, ¿cuál es su aceleración?



49

18. Calcula la velocidad final que adquiere un objeto que es disparado de la luna a la tierra con una velocidad

inicial de 30m/s. supón una aceleración fija con valor de 9.8m/s2, y una distancia entre la Tierra y la

Luna de 300000km.

19. Un ciclista baja por una pendiente con una aceleración constante, si en un momento de su recorrido lleva

una velocidad de 5m/s y al transcurrir 12seg su velocidad incrementa a 16m/seg. ¿Cuál es su aceleración?

20. Calcula la Velocidad final que adquiere un objeto que es disparado de la luna a la tierra con una velocidad

inicial de 30m/Seg supón una aceleración fija con valor de 9.8m/seg2 y una distancia entre la Tierra y

la Luna de 300000km.



50

Gravedad y Caída Libre de Cuerpos

En tiempos antiguos, los griegos buscaron la respuesta a los problemas físicos mediante especulaciones,

razonamientos en base a propiedades que se conocían del fenómeno.

Y muchos de nuestros conocimientos se deben al Italiano Galileo Galilei (1564 - 1642), él fue el primero en

demostrar, que, en ausencia de fricción, todos los cuerpos, ya sean grandes o pequeños, ligeros o pesados,

caen en la Tierra con la misma aceleración.

Existe una paradoja en donde se dice que los cuerpos más pesados son proporcionalmente más difíciles de

acelerar. Esta resistencia al movimiento que mencionamos es una propiedad de los cuerpos llamada Inercia.

Así, por ejemplo, en el vacio, una pluma y una bola de acero caerán al mismo tiempo porque el efecto inercial

mayor de la bola compensa exactamente su mayor peso.

Todos los cuerpos, si no hay resistencia del aire caen con la misma aceleración constante en un mismo lugar

de la tierra. = 𝑔

La Gravedad siempre es la misma en todos los cuerpos en caída libre.

GRAVEDAD CAIDA DE CUERPOS LIBRES

SISTEMA EQUIVALENCIA

MKS 9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2

CGS 980𝑐𝑚

𝑠𝑒𝑔2

INGLÉS 32𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑠𝑒𝑔2

La Aceleración con que cae libremente un cuerpo se llama:

Aceleración de Gravedad

La Caída es un movimiento uniformemente acelerado por lo que podría decirse que las fórmulas del

Movimiento Uniformente Acelerado pueden aplicarse a éste fenómeno.

Para empezar a desarrollar Ejercicios de Caida Libre, es necesario aclarar que d (Distancia) va a ser igual

que h (Altura), así como mencionamos anteriormente, que Aceleración es igual a Gravedad.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN (C.L.C)

1. ¿Qué Velocidad adquiere un cuerpo al momento de llegar al suelo cuando se ha dejado caer libremente

desde una altura de 35m. y cuánto tiempo tarda en su caída? ℎ = 35𝑚 𝑔 = 9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔 𝑣0 = 0 𝑣𝑓 =? 𝑡 =?

𝑣𝑓2 = 2𝑔𝑑 + 𝑣0

2

𝑣𝑓2 = 2 (9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔2) 35 𝑚 + 02

𝑣𝑓2 = (19.6

𝑚

𝑠𝑒𝑔2) 35 𝑚

𝑣𝑓2 = 686

𝑚2

𝑠𝑒𝑔2

𝑣𝑓 = √686𝑚2

𝑠𝑒𝑔2

𝑣𝑓 = 26.19𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑔 =𝑣𝑓 − 𝑣0

𝑡

9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2=

26.19𝑚𝑠𝑒𝑔

− 0

𝑡

𝑡 =26.19

𝑚𝑠𝑒𝑔

9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2

𝑡 = 2.672 𝑚

𝑠𝑒𝑔

2. Cuánto tiempo se tardará en caer libremente una piedra desde una altura de 400 m ℎ = 400𝑚 𝑔 = 9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔 𝑣0 = 0 𝑣𝑓 =? 𝑡 =?



51

𝑣𝑓2 = 2𝑔𝑑 + 𝑣0

2

𝑣𝑓2 = 2(9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔2) 400 𝑚 + 02

𝑣𝑓2 = (19.6

𝑚

𝑠𝑒𝑔2) 400 𝑚

𝑣𝑓2 = 7840

𝑚2

𝑠𝑒𝑔2

𝑣𝑓 = √7840𝑚2

𝑠𝑒𝑔2

𝑣𝑓 = 88.543𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑔 =𝑣𝑓 − 𝑣0

𝑡

9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2=

26.19𝑚𝑠𝑒𝑔

− 0

𝑡

𝑡 =26.19

𝑚𝑠𝑒𝑔

9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2

𝑡 = 2.672 𝑚

𝑠𝑒𝑔

3. Se tira verticalmente hacia arriba una pelota con una Velocidad de 24.38 𝑚/𝑠𝑒𝑔 ¿Cuál es la Altura máxima

que alcanza y cuánto tiempo tarda en llegar a esta altura? ℎ =? 𝑔 = 9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔 𝑣0 =? 𝑣𝑓 = 0 𝑡 =?

ℎ =𝑣𝑓

2 − 𝑣02

2𝑔

ℎ =02 − (24.38

𝑚𝑠𝑒𝑔)

2

2 (9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2)

ℎ =−594.3844

𝑚2

𝑠𝑒𝑔2

19.6𝑚

𝑠𝑒𝑔2

ℎ = −30.33𝑚

𝑣𝑓 = 𝑣0 − 𝑔𝑡

0 = 24.38𝑚

𝑠𝑒𝑔− 9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔2𝑡

−24.38𝑚

𝑠𝑒𝑔= −9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔2𝑡

𝑡 =−24.38

𝑚𝑠𝑒𝑔

−9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2 𝑡

𝑡 = 2.48 𝑠𝑒𝑔

4. Desde un puente se deja caer una piedra que tarda en llegar al agua 5 segundos. Calcular la altura del

puente y la velocidad de la piedra en el momento de llegar al agua. ℎ =? 𝑔 = 9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔 𝑣0 = 0 𝑣𝑓 =? 𝑡 = 5𝑠𝑒𝑔

ℎ =𝑣𝑓

2 − 𝑣02

2𝑔

ℎ =(49

𝑚𝑠𝑒𝑔)

2

− 02

2 (9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2)

ℎ =2401

𝑚2

𝑠𝑒𝑔2

19.6𝑚

𝑠𝑒𝑔2

ℎ = 122.5 𝑚


𝑣𝑓 = +(9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2) 5𝑠𝑒𝑔

𝑣𝑓 = 49𝑚

𝑠𝑒𝑔

5. Un cañón antiaéreo lanza granada con velocidad inicial de 500m

seg calcular:

a) La máxima altura que alcanzará la granada

b) Tiempo empleado en alcanzar dicha altura

c) La velocidad instantánea al final de los 40 y 60 segundos. ℎ =? 𝑔 = −9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔 𝑣0 = 500

𝑚

𝑠𝑒𝑔 𝑣𝑓 =? 𝑡 = 40𝑠𝑒𝑔 𝑦 60 𝑠𝑒𝑔



52

ℎ =𝑣𝑓

2 − 𝑣02

2𝑔

ℎ =02 − (500

𝑚𝑠𝑒𝑔)

2

2 (−9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2)

ℎ =−250000

𝑚2

𝑠𝑒𝑔2

−19.6𝑚

𝑠𝑒𝑔2

ℎ = 12755.102 𝑚


𝑣𝑓 = 500𝑚

𝑠𝑒𝑔+ (−9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔2) (60 𝑠𝑒𝑔)

𝑣𝑓 = 500𝑚

𝑠𝑒𝑔− 588

𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑣𝑓 = −88𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑔𝑡

0 = 500𝑚

𝑠𝑒𝑔+ (−9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔2) 𝑡

𝑡 =500

𝑚𝑠𝑒𝑔

9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2

𝑡 = 51.02 𝑠𝑒𝑔


𝑣𝑓 = 500𝑚

𝑠𝑒𝑔+ (−9.8

𝑚

𝑠𝑒𝑔2) (40 𝑠𝑒𝑔)

𝑣𝑓 = 500𝑚

𝑠𝑒𝑔− 392

𝑚

𝑠𝑒𝑔

𝑣𝑓 = 108𝑚

𝑠𝑒𝑔

Fórmulas para la Gravedad y Caída Libre de Cuerpos

Velocidad 𝑉 =𝑥

𝑡

Aceleración 𝑔 =𝑣𝑓−𝑣𝑜

𝑡

Velocidad Media =𝑣𝑜+𝑣𝑓

2

Velocidad Final 𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑔𝑡 𝑣𝑓2 = 𝑣𝑜

2 + 2𝑔𝑑

𝑣𝑓 = 𝑔𝑡 𝑣𝑓2 = 2𝑎𝑔

Distancia h= 𝑣𝑜𝑡 +1

2𝑔𝑡2 h=

𝑣𝑓2−𝑣𝑜

2

2𝑔

h= (𝑣0+𝑣𝑓

2) 𝑡

Tiempo 𝑡 = √2ℎ

𝑔 𝑡 = √

𝑣𝑓

𝑔



53


1. Se deja caer una pelota desde la parte alta de un edificio, si tarda 3s en llegar al piso ¿Cuál es la altura

del edificio? ¿Con qué velocidad se impacta contra el piso?

2. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 30 m/calcula:

d) Tiempo que tarda en alcanzar su altura máx.

e) Altura máx.

f) Posición y velocidad de la pelota a los 2s de haberse lanzado

g) V y posición de la pelota a los 5s de haber sido lanzado

h) Tiempo que la pelota estuvo en el aire.

3. Desde un avión fue arrojado un cuerpo con una velocidad de 3.5 m/s, calcular el tiempo y la velocidad

que alcanzó al caer 0.8 km.

4. Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la planta baja en 5s.

a) ¿Desde qué piso se dejó caer, si cada piso mide 2,88 m?

b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?

Respuesta: a) 43, b) 50 m/s



54

5. Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s en llegar al suelo.

Calcular:

a) A qué altura estaría esa terraza.

b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso.

Respuesta: a) 180 m b) 60 m/s

6. ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo? Respuesta: 80 m

7. Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96 km de altura, ¿cuánto demora en llegar al

suelo? Respuesta: 19,8 s

8. A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25

m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar:

a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B?

b) ¿Cuál es la distancia entre A y B?

c) ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B?

Respuesta: a) 1,5 s b) 48,75 m c) 100 m/s



55

9. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 40m/seg. Hallar qué velocidad lleva

a los tres segundos.

10. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 60m/seg. Hallar que

velocidad lleva a los 10seg.

11. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 50m/seg. Hallar el

espacio recorrido a los 2 segundos.

12. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg; hallar la

distancia recorrida a los 10seg.



56

13. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 70m/seg; hallar a qué

altura se encuentra del suelo a los 12seg.

14. Desde un talud de 100m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una

velocidad de 40m/seg. Hallar cuánto tarda en llegar al suelo desde el momento del lanzamiento.

15. Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una veloc idad de 50m/seg. Hallar el

tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta caer sobre un edificio de 30m de altura.

16. Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto y a los 2seg va subiendo con una velocidad

de 80m/seg. Hallar la altura máxima alcanzada y la velocidad que lleva a los 15seg.



57

17. Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto de forma que a los 2 segundos lleva una

velocidad de 60m/seg. Hallar:

a) La velocidad con lo cual se disparó el objeto.

b) A qué altura se encuentra a los 2 segundos.

c) Cuánto tiempo ha de transcurrir para que llegue a la parte superior de la trayectoria.

18. Desde el suelo se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg. Se desea

saber qué velocidad lleva cuándo ha recorrido 300m.

19. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil que tarda 10 segundos en llegar al punto de partida.

Hallar:

a) La altura máxima alcanzada

b) Qué velocidad lleva a los 3 seg.

20. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg. Hallara) ¿Cuánto tiempo

ha de transcurrir para que su velocidad sea de 50m/seg? b) ¿Cuál será su velocidad cuando haya

descendido 50m?



58


21. Se dispara desde el suelo un móvil con velocidad de 60m/seg.

a) ¿Diga usted a qué altura se encuentra a los diez segundos?,

b) ¿Qué velocidad lleva a los diez segundos?,

c) ¿qué distancia ha recorrido en ése tiempo?

22. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil cuyo tiempo total de vuelo es igual a 20 seg. Hallar:

a) ¿Qué velocidad lleva a los 3/5 del tiempo total de vuelo?

b) ¿A qué altura se encuentra del suelo a los 4/5 del tiempo total de vuelo?

23. Desde 200 metros de altura se deja caer un cuerpo, a los cinco segundos

a) ¿qué velocidad lleva?,

b) ¿a qué altura se encuentra a los cinco segundos?,

c) ¿Cuánto tiempo le falta por caer antes de llegar al suelo?

24. Se lanza desde el nivel del suelo un objeto con velocidad de 60m/seg.

a) ¿Cuándo ha recorrido 200 metros

b) ¿qué velocidad lleva?,

c) ¿a qué altura se encuentra?,

d) ¿Cuánto es su tiempo de vuelo?

25. Desde un globo que sube con una velocidad constante de 10m/seg se deja caer libremente un objeto que

tarda 10 segundos en llegar al suelo. Hallar



59

a) La altura del globo en el momento de soltar el objeto.

b) La velocidad con que llega al suelo

26. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/seg.

a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 seg?

b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 seg?

c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14m?

d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?

e) ¿Con qué velocidad lo hará?

27. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/seg, luego de 4 sede

efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/seg.

a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?

b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?

c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?

d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?

28. Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y acabo

de 10 seg lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido.

a) ¿Cuál fue la velocidad inicial del móvil?

b) ¿Cuál fue la altura máxima alcanzada?



60

29. Desde un 5° piso de un edificio se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de90

km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura máxima?

30. Un auto choca a 60 km/h contra una pared sólida, ¿desde qué altura habría que dejarlo caer para

producir el mismo efecto?

31. Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 seg, calcular:

a) ¿Con qué velocidad fue lanzada?

b) ¿Qué altura alcanzó?

32. Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/seg.

a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 seg?

b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?

33. Se lanza una pelota desde lo alto de un faro de 80 m de altura, con una velocidad inicial de 4 m/segaría

abajo.

a) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?

b) ¿Con qué velocidad llega?

c) ¿A qué altura está luego de 2 seg de haberla arrojado?



61

34. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 250 m/seg, determinar:

a) ¿Cuál es la velocidad a los 4 seg?

b) ¿Qué altura alcanzó en esos 4 seg?

c) ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la altura máxima?

35. Determinar la velocidad inicial de un cuerpo lanzado hacia arriba y que alcanza una altura máxima de 48

m.

36. Desde un puente se lanza una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 8 m/seg, si la piedra

tarda 2,5 seg en llegar al agua, determinar:

a) ¿Con qué velocidad llega al agua?

b) ¿Cuál es la altura del puente?

37. Desde el balcón de un edificio se deja caer una naranja y llega a la planta baja en 5 seg.

a) ¿Desde qué piso se dejó caer, si cada piso mide 2,88 m?

b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?

c) ¿Desde qué edificio se lanzó la naranja?



62

38. Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 seg en llegar al

suelo. Calcular:

a) A qué altura estaría esa terraza.

b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso.

c) En qué ciudad de Venezuela se efectuó el experimento

39. ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 seg en llegar al suelo?

40. Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96km de altura, ¿cuánto demora en llegar al

suelo?



63

Movimientos de Proyectiles

Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial de dirección arbitraria, se mueve

describiendo una trayectoria curva en un plano. Un proyectil es un objeto al cual se ha comunicado una

velocidad inicial y se ha dejado en libertad para que realice un movimiento bajo la acción de la gravedad. Los

proyectiles que están cerca de la Tierra siguen una trayectoria curva muy simple que se conoce como

parábola. Para describir el movimiento es útil separarlo en sus componentes horizontal y vertical.

Por eso es importante explicar el movimiento de un proyectil como resultado de la superposición de un

movimiento rectilíneo uniforme y uno uniformemente variado, estableciendo las ecuaciones de la curva

representativa, tiempo de vuelo, tiempo máximo, altura máxima, alcance máximo, velocidad y coordenadas de

posición en el plano.

¿Qué es un proyectil?

El movimiento de un proyectil es un ejemplo clásico del movimiento en dos dimensiones con aceleración

constante. Un proyectil es cualquier cuerpo que se lanza o proyecta por medio de alguna fuerza y continúa

en movimiento por inercia propia. Un proyectil es un objeto sobre el cual la única fuerza que actúa es la

aceleración de la gravedad. La gravedad actúa para influenciar el movimiento vertical del proyectil. El

movimiento horizontal del proyectil es el resultado de la tendencia de cualquier objeto a permanecer en

movimiento a velocidad constante

El término proyectil se aplica por ejemplo a una bala disparada por un arma de fuego, a un cohete después

de consumir su combustible, a un objeto lanzado desde un avión o en muchas actividades deportivas (golf,

tenis, fútbol, béisbol, atletismo etc.). L os fuegos artificiales y las fuentes del agua son ejemplos del

movimiento de proyectiles. El camino seguido por un proyectil se denomina trayectoria. El estudio del

movimiento de proyectiles es complejo debido a la influencia de la resistencia del aire, la rotación de la

Tierra, variación en la aceleración de la gravedad



64

La ciencia encargada de hacer el estudio del movimiento de los proyectiles se llama balística.

Experiencia de Galileo Galilei

El hombre conocía las trayectorias parabólicas aunque no las denominaba así y experimentaba con tiros

parabólicos (Por ejemplo, recuerde las destrezas de David frente a Goliat). Galileo fue el primero que dio

una descripción moderna y cualitativa del movimiento de proyectiles dando las bases para su conocimiento y

demostró que la trayectoria de cualquier proyectil es una parábola

Galileo realizó un experimento con dos objetos: impulsó uno horizontalmente desde una mesa y dejó caer

otro cuerpo desde el borde verticalmente. Al dejar caer un cuerpo A verticalmente = 0 y lanzando

horizontalmente en el mismo instante un objeto B con una velocidad horizontal ( ), Galileo Galilei comprobó

que ambos caen al mismo tiempo; es decir tardan lo mismo en llegar al suelo.

El objeto A, en Caída libre tiene solamente la velocidad vertical en un instante t y posee una aceleración que

es la de gravedad, luego está dotado de un movimiento uniformemente acelerado. El objeto B está animado

en ese instante t de dos movimientos y como consecuencia de dos velocidades perpendiculares: la velocidad

vertical de caída y la velocidad horizontal debido al impulso de lanzamiento.

Como los objetos A y B tardan lo mismo en caer, Galileo concluyó que la velocidad horizontal debido al

movimiento uniforme, ya que el cuerpo no posee aceleración, no influye en el movimiento de caída del cuerpo

B , o sea, que las velocidades y actúan simultáneamente sobre B , pero en forma independiente la una

de otra. Quiere decir que el cuerpo B se mueve como consecuencia de la acción de dos movimientos: uno

uniformemente acelerado (vertical), con una aceleración igual a la de gravedad ( ) y otro uniforme

(horizontal), con aceleración igual a cero.



65

El principio de superposición de movimientos:” Si el movimiento de un cuerpo es el resultado de otros dos

movimientos simultáneos, la posición que ocupa al cabo de un tiempo t es la misma que ocuparía si ambos

movimientos se hubiesen cumplido sucesiva e independientemente uno de otro y cada uno de ellos durante el

mismo tiempo t”

Análisis del movimiento de proyectiles

Se examina sólo trayectorias suficientemente cortas para que la fuerza gravitacional se pueda considerar

constante en magnitud y dirección. También hay que analizar no tener en cuenta los efectos de la resistencia

del aire; Estas hipótesis simplificadas constituyen la base de un modelo idealizado del problema físico. Como,

en este caso idealizado, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es su peso considerado constante en

magnitud y dirección, es mejor referir el movimiento a un sistema de ejes coordenadas rectangulares. Se

toma el eje x horizontal y el eje y verticalmente hacia arriba

La componente x de la fuerza que actúa sobre el proyectil es nula y la componente y es el peso del proyectil

– mg. Esto es, la componente horizontal de la aceleración es nula, y la componente vertical hacia abajo, es

igual a la de un cuerpo que cae libremente. Puesto que la aceleración nula significa velocidad constante, el

movimiento puede definirse como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y

movimiento vertical con aceleración constante.



66

Estos dos movimientos hacen que el movimiento resultante sea de trayectoria parabólica. Dichos movimientos

son completamente independientes uno del otro.

Considérese un Proyectil Sencillo

La componente horizontal del movimiento de un proyectil es igual al movimiento horizontal de una pelota que

rueda libremente sobre la superficie plana de la mesa. Si podemos despreciar el efecto de la fricción, la bola

se mueve a velocidad constante, recorriendo distancias iguales en intervalos de tiempos iguales.

La componente vertical del movimiento de un proyectil que describe una trayectoria curva es exactamente

igual que el movimiento de un objeto en caída libre. El movimiento del proyectil de una pelota que se deja

caer, tiene una componente vertical en la dirección de la gravedad terrestre, el proyectil se acelera hacia

abajo. El aumento de la rapidez en la dirección vertical hace que el objeto recorra distancias cada vez

mayores a intervalos de tiempos iguales. Es interesante notar que la componente horizontal del movimiento

de un proyectil es totalmente independiente de la componente vertical. Cada uno de ellas actúa de manera

independiente. Sus efectos combinados producen toda la gama de trayectorias curvas que describen los

proyectiles.

Una Fotografía real con luz estroboscópica de dos pelotas de golf que caen simultáneamente, una libremente

y la otra que se lanza en forma horizontal revela que el movimiento curvilíneo de la pelota es una combinación

de los movimientos horizontal y vertical.



67

Más consideraciones del Movimiento de Proyectiles

Considérese una bala de cañón que se dispara con determinado ángulo de elevación. Suponga por un momento

que no hay gravedad; entonces a causa de la inercia, la bala de cañón seguirá la trayectoria rectilínea

representada por la línea discontinua. Pero la gravedad existe, por lo que esto no sucede. Lo que realidad

ocurre es que la bala cae continuamente por debajo de la línea imaginaria, hasta que por último llega al suelo.

Es importante notar que la distancia vertical que un objeto cae por debajo de cualquier punto de la línea

discontinua es la misma distancia vertical que caería si se soltara desde el reposo en el mismo tiempo.

Si se desprecian los efectos de la resistencia del aire, cualquier objeto que se lanza en este medio describirá

una trayectoria parabólica. No obstante en situaciones prácticas la resistencia del aire puede considerarse

despreciable sólo en el caso de objetos que se mueven lentamente y que posean altas densidades. Como una

roca o una esfera sólida. Los proyectiles de alta-velocidad, como balas de rifles o cañón, son frenados en

forma continua por la resistencia del aire y su trayectoria difiere de una parábola.



68

La altura vertical y el alcance horizontal de un proyectil dependen de su velocidad inicial y su ángulo de

proyección.

Se obtiene la altura máxima cuando la proyección es vertical hacia arriba 90º y la distancia horizontal máxima

cuando el ángulo de proyección es de 45º.

Se puede obtener la misma distancia horizontal, o alcance para dos ángulos de proyección diferentes. Esto

es verdad para todos los pares de ángulos que suman 90º.

Un objeto lanzado al aire a un ángulo de 30º, por ejemplo, tocará tierra tan lejos como si hubiera sido lanzado

a la misma velocidad a un ángulo de 60º. Sin embargo, es obvio que el objeto lanzado a mayor ángulo permanece

en el aire más tiempo.

Lanzamiento horizontal

Una pelota de béisbol se proyecta horizontalmente en el vacío desde un punto O con velocidad 𝑣𝑜 . Si la tierra

no ejerciera ninguna atracción sobre la pelota, y se supone nula la resistencia del aire, la pelota se movería

en el vacío y en tiempos t1, t2, t3… ocuparía posiciones tales como A, B, C, D,… y el movimiento sería rectilíneo

uniforme de velocidad constante 𝑣𝑜 . Sin embargo como la pelota está sometida a la atracción gravitatoria, a

la vez que se mueve horizontalmente, cae verticalmente con aceleración constante - 𝑔 y al final de los tiempos

indicados, las posiciones de la pelota son, respectivamente, A', B',C',D' ,… La curva que une a estos puntos

corresponde a una parábola.



69

La trayectoria seguida por la pelota puede considerarse como el resultado de dos movimientos: Uno

horizontal uniforme a lo largo del eje x y de velocidad constante 𝑣𝑜 (𝑎 = 0), y otro vertical de caída,

uniformemente variado a lo largo del eje y de aceleración constante 𝑎 = −𝑔

Ecuaciones de la velocidad

La componente horizontal de la velocidad 𝑣𝑥 será de magnitud constante a través de todo el recorrido e igual

a 𝑣𝑜. Esto se debe a que el movimiento en esta dirección es con velocidad constante. En toda la trayectoria

la componente horizontal (𝑣 𝑥) será la misma velocidad inicial; esto es 𝑣 𝑥 − 𝑣 𝑜 en módulo:

La componente vertical 𝑣𝑦en un instante de tiempo cualquiera, viene dada por:

La magnitud de la velocidad resultante V, viene dada en módulo por la expresión:

Para determinar la dirección del vector 𝑣 , es decir el ángulo a que forma 𝑣 con el eje x , basta con aplicar la

relación trigonométrica

Ecuaciones del desplazamiento

Como se puede notar el movimiento tiene simultáneamente un desplazamiento horizontal (𝑥 ) y un

desplazamiento vertical (𝑥 ) en un instante de tiempo cualesquiera.

La ecuación de desplazamiento horizontal (X) en módulo, es la misma del movimiento rectilíneo uniforme

puesto que la rapidez en ese sentido es constante.

El desplazamiento vertical (y) en módulo se calcula como si el cuerpo se moviese en caída libre



70

La posición a lo largo del eje y, en el tiempo t.

El desplazamiento total (d) en módulo viene dado por:

La dirección del desplazamiento se obtiene aplicando la definición de tangente

El tiempo de vuelo (𝒕𝒗)

Es el tiempo transcurrido desde el momento del lanzamiento hasta tocar el suelo

El alcance horizontal ( R ) es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo. La ecuación para calcular el

alcance horizontal, pero con

Ecuación de la Trayectoria

La idea consiste en demostrar que la trayectoria del proyectil es parabólica. En efecto, el desplazamiento

horizontal para un cierto tiempo t viene dado por:

Por otra parte, el desplazamiento vertical al mismo tiempo t es:

Como el tiempo para ambos desplazamientos es el mismo, podemos sustituir t de la ecuación (a) en tde la

ecuación (b) quedando:

Como , y g son constantes se pueden sustituir lo que está dentro del paréntesis por k, adoptando la

expresión la forma siguiente:

Por lo tanto las coordenadas ( x ,y ) que determinan la posición de la partícula en el plano serán:

Por lo tanto las coordenadas ( x ,y ) que determinan la posición de la partícula en el plano serán:

Ejemplo

Un avión vuela con una velocidad horizontal constante de 600km/h a una altura de 6 km y se dirige hacia un

punto que se encuentra directamente arriba de su objetivo ¿ Cuál es el ángulo de mira al que debe arrojarse

un paquete de supervivencia para que llegue a su objetivo?



71

Solución

Se escoge un referencial fijo respecto de la Tierra con su origen 0 en el punto que se suelta el paquete, cuya

velocidad en el momento de ser soltado, es igual a la del avión.

= 600 Km/h = 166,66 m/seg

De aquí que la velocidad inicial del paquete Vo sea horizontal y su magnitud sea de 600 Km/h. El ángulo de

tiro es cero.

El tiempo de vuelo se calcula con la expresión = 34,99 seg (No depende de la rapidez del avión cuando el

tiro es horizontal) . El alcance horizontal es

Lanzamiento Inclinado

Consiste en estudiar el caso de una partícula o proyectil que se lanza con una velocidad inicial , formando

un ángulo q0 con la dirección horizontal. Su velocidad cambia constantemente debido a la acción del campo

gravitatorio.

Los componentes rectangulares de la velocidad inicial y . (Los subíndices se utilizan para indicar los

valores iniciales de en cada uno de los ejes). Si no existiera la atracción gravitatoria, en tiempos t1, t2, t3,

… ocuparía respectivamente posiciones tales como A, B, C, D, y el movimiento sería rectilíneo uniforme de

velocidad constante , Sin embargo como el proyectil está sometido a la fuerza de atracción gravitatoria,

a la vez que se mueve según la recta AE, cae verticalmente, y al final de los tiempos indicados las posiciones

del proyectil son respectivamente A', B',C,'D' … La curva que une estos puntos determina la trayectoria del

proyectil, que corresponde a una parábola

Cuando el cuerpo es lanzado forma un ángulo q0 con la horizontal y la única fuerza que actúa es la atracción

gravitatoria. Luego en la dirección horizontal no existe aceleración, en tanto que en la dirección vertical el



72

cuerpo está sometido a la acción de la fuerza de la gravedad y por ello, en dicha dirección se manifiesta un

movimiento con aceleración constante. Por lo tanto, el movimiento del proyectil será el resultado de la

composición de dos movimientos, uno con velocidad constante en el eje x o eje de las abscisas y otro con

aceleración constante en el eje y o eje de las ordenadas.

El proyectil en su movimiento ascendente está dotado de un movimiento uniformemente retardado con

aceleración = - g. Se observa que la componente de la velocidad a lo largo del eje y ( ), cuando el proyectil

sube, va disminuyendo hasta hacerse igual a cero en el punto de máxima altura de la curva. A partir de

este punto, cuando el proyectil empieza a bajar comienza un movimiento uniformemente acelerado = g,

luego la componente de la velocidad cambia de sentido y aumenta en magnitud a medida que el cuerpo

continúa su caída libre. Se nota que durante todo el movimiento, la componente horizontal de la velocidad a

lo largo del eje horizontal (eje x) se mantiene constante y por consiguiente el movimiento a lo largo de este

eje es rectilíneo uniforme.

De acuerdo con lo anterior, como la partícula describe un movimiento que resulta de la superposición de un

movimiento rectilíneo uniforme ( = constante) y un movimiento uniformemente variado ( = constante) a

lo largo de los ejes x y y, respectivamente, podemos encontrar las coordenadas de posición ( x,y ) del proyectil

en cualquier instante t a partir de las siguientes ecuaciones.

Ecuaciones de la velocidad en el momento del lanzamiento (t = 0)

Se supone que se dispara un proyectil, con una velocidad inicial , formando con la horizontal un ángulo q0.

Las componentes del vector en las direcciones de los ejes vienen dadas en módulo por:

Ecuaciones de la velocidad para un instante después del lanzamiento.

Cuando el proyectil ocupa una determinada posición en un instante t después de haber sido lanzado la

velocidad , tendrá una componente horizontal que se llama y una componente vertical que se llama



73

Ecuaciones del desplazamiento

El movimiento horizontal lo realiza el proyectil con velocidad constante, por lo que el desplazamiento

horizontal x viene dado por la ecuación:

La magnitud de la componente horizontal de la velocidad se mantiene constante a través de todo el recorrido

y vendrá dada por:

La magnitud de la componente vertical en cualquier instante viene dada por:

La magnitud de la velocidad en cualquier instante viene dada como:

El ángulo que dicho vector forma con el eje horizontal representa la dirección de la velocidad y viene dado

por:

El movimiento vertical lo realiza con aceleración constante , dirigida hacia abajo, por lo que la ecuación del

desplazamiento vertical y vendrá dada por:

Si la anterior ecuación se resuelve para se obtiene:

Esta ecuación es válida para ángulos de lanzamientos ubicados dentro del rango 0 < q0 < p / 2. La ecuación es

válida para cualquier punto (x,y) a lo largo de la trayectoria del proyectil. Esta expresión es de la forma y =

ax-bx2, que es la ecuación de una parábola que pasa por el origen. Se advierte que la trayectoria está

completamente especificada si se conoce tanto la rapidez inicial como el ángulo de lanzamiento q0

Ecuación del tiempo máximo

Se llama tiempo máximo, al tiempo empleado por el proyectil en alcanzar la altura máxima ( ).

A medida que el proyectil asciende va disminuyendo su velocidad hasta llegar un momento en que la misma se

hace cero. Para ello hacemos = 0 en la ecuación

Ecuación de la altura máxima ( )

La altura máxima se obtiene haciendo en la ecuación



74

Ecuación del tiempo de vuelo ( )

El tiempo de vuelo es el tiempo transcurrido por el proyectil desde su punto partida.

Alcance horizontal ( R )

Es el desplazamiento horizontal en el tiempo de vuelo.

Ejemplo 2

José Manuel Rey, un notable futbolista de la Vinotinto patea el balón con un ángulo de inclinación sobre la

horizontal de 37º y con una velocidad inicial de 20 m/seg. A 36 m del punto de partida se encuentra un

vertical de la Portería con el cual choca la esférica. ¿A que altura del poste respecto a la horizontal pega el

balón?

Solución

La posición se denota por la ecuación:

Ejemplo 3

Un día un Cazador salió a capturar monos. Pronto encontró uno colgado tranquilamente en la rama de un árbol.

El cazador no era muy buen físico y pensó que si apuntaba directamente al mono, seguramente le daría. El

cazador apunta directamente al mono sin tener en cuenta que el dardo seguirá una trayectoria parabólica y

por lo tanto pasará debajo del mono. Pero el mono había visto el cazador y mientras éste apuntaba hacia él,

el mono pensaba cuidadosamente que hacer.

Decidió que abandonaría la rama justo cuando viera salir el dardo de la cerbatana, se suelta de la rama y cae

del árbol esperando evitar el dardo. Demostrar que el mono será alcanzado por el dardo independiente de

cual sea la velocidad inicial del dardo, con tal que sea suficientemente grande para recorrer la distancia

horizontal que hay hasta el árbol.



75

Solución

El mono y el dardo se aceleran hacia abajo en la misma cantidad.

La altura del dardo en cualquier instante es:

La altura del mono en cualquier instante es:

Efectivamente el mono es alcanzado por el dardo.

Nota:

Una colisión puede ocurrir cuando d es la elevación inicial del blanco sobre el suelo.

Demostrar que H = Voy. t;



76

Secuencia 2 Actividad V

1. Superman vuela al nivel de los árboles cuando ve que el elevador de la torre Eiffel empieza a desplomarse

(el cable se rompe), su visión de rayos X le indica que Luisa Lane está en el interior. Si Superman se

encuentra a 1 km de distancia de la torre y el elevador cae desde una altura de 240 metros. ¿Cuánto tarda Superman en

salvar a Luisa y cuál debe ser su velocidad promedio?

2. Un pateador de lugar debe patear un balón de fútbol desde un punto a 36 metros (casi 40 yardas) de la

zona de gol y la bola debe librar los postes, que están a 3,05 metros de alto. Cuando se patea, el balón

abandona el suelo con una velocidad de 20 m/seg y un ángulo de 530 respecto de la horizontal.

a) Por cuanta distancia el balón libra o no los postes.

b) El balón se aproxima a los postes mientras continúa ascendiendo o cuando van descendiendo.

3. Hallar a qué velocidad hay que realizar un tiro parabólico para que llegue a una altura máxima de 100 m

si el ángulo de tiro es de 30o.



77

4. Hallar a qué ´ángulo hay que realizar un tiro parabólico para que el alcance y la altura máxima sean

iguales.

5. Un arquero quiere efectuar un tiro parabólico entre dos acantilados tal y como indica la figura. El

acantilado de la izquierda se halla 4 m por arriba con respecto al de la derecha. Si el arquero sólo puede

disparar con un ángulo de 30! y quiere lanzar las flechas a 5 m del acantilado de la derecha, calcula con

qué velocidad mínima ha de lanzarlas. Calcula el tiempo de vuelo.

6. Un reloj de manecillas marca las 6:00 h. Hallar a qué hora se superponen las dos manecillas.



78

7. Si un cuerpo recorre una circunferencia de 5 m de radio con la velocidad constante de 10 vueltas por

minuto, ¿cuál es el valor del periodo, la frecuencia, la velocidad lineal, la velocidad angular y la aceleración

normal?

8. ¿Qué velocidad angular, expresada en radianes por segundo, ha de tener una centrifugadora, para que

en un punto situado a 10 cm del eje de giro produzca una aceleración normal 100 veces mayor que la de

la gravedad

9. Una rueda, puesta en movimiento por un motor, ha girado 0.5 radianes durante el primer segundo.

¿Cuantas vueltas daría la rueda en los 10 primeros segundos, suponiendo que la aceleración angular es

constante durante ese tiempo? ¿Cuál será en ese instante la velocidad lineal de un punto de la llanta, si

el radio de la rueda es de 50 cm? ¿Qué valor tendría la aceleración negativa de frenado, si el motor

dejase de funcionar cuando la rueda gira a razón de 120 vueltas por segundo y ´esta tardase 6 minutos

en pararse?



79

10. Un motor gira a 2000 rpm y disminuye su velocidad pasando a 1000 rpm en 5 segundos. Calcular: a) La

aceleración angular del motor; b) El número de revoluciones efectuadas en ese tiempo; c) la aceleración

lineal de un punto de la periferia si el radio de giro es de 20 cm.

11. La velocidad angular de un motor que gira a 900 rpm desciende uniformemente hasta 300 rpm

efectuando 50 revoluciones. Hallar: a) La aceleración angular; b) El tiempo necesario para realizar las

50 revoluciones.



80

Tercer Parcial Unidad de Aprendizaje

Comprende la utilidad práctica de las Leyes del Movimiento de Isaac Newton.


a) Se expresa y se comunica

b) Piensa, critica y reflexivamente

c) Trabaja en forma colaborativa



DINAMICA Equilibrio Traslacional y Fricción

Primera Ley de Newton

La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a cero, entonces no existe algún agente externo que altere

el movimiento de dicho cuerpo. Esta es la idea principal que se plantea en el enunciado de ésta ley:

“Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser

cero) y cero aceleración”.

La tendencia de un cuerpo a seguir moviéndose una vez puesto en movimiento resulta de una propiedad llamada

inercia. Ésta ley es conocida como la ley de la inercia, y también explica el estado de equilibrio de un cuerpo:

si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, o actúan varias fuerzas cuya suma vectorial es cero, entonces el cuerpo

está en equilibrio. Se debe cumplir que: ∑F = 0.

Para analizar un cuerpo en su estado de equilibrio, se debe hacer a partir de un marco de referencia inercial,

definidos así los que están en un punto en equilibrio con respecto al cuerpo en análisis. La tierra es

aproximadamente un marco de referencia inercial (despreciando los movimientos mínimos que tiene con

relación a su eje), pero un vehículo acelerando constantemente no lo es, debido a que su velocidad cambia.

Segunda Ley de Newton.

En la primera ley se describe el estado en el que un cuerpo no siente alguna fuerza externa. Pero, cuando

existe una fuerza externa actuando o varias fuerzas cuya resultante es distinta de cero, el movimiento del

cuerpo tiende a cambiar su movimiento. En la segunda ley del movimiento se describe que la fuerza neta que

actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración del cuerpo: ∑F α = 0

La constante de proporcionalidad para ésta relación es la masa, debido a que la masa es inversamente

proporcional a la aceleración del cuerpo de masa m: m α 1/a.

Dadas estas relaciones, se plantea la siguiente ley:



81

Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, éste se acelera. La dirección y el sentido de la aceleración

es la misma que la de la fuerza neta. El vector fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su

aceleración.

∑𝐹 = 𝑚𝑎

Note que también se plantea la dirección y el sentido de la fuerza neta. Como la masa es una cantidad escalar

y siempre es positiva, la aceleración tiene el mismo signo que el de la fuerza neta.

El peso es la fuerza ejercida por el campo gravitacional, que provoca que un cuerpo de masa m tenga una

aceleración igual al valor de la gravedad. Entonces, se define el peso w de un cuerpo como: w = m ∗ g (una fuerza dirigida siempre hacia abajo)

Tercera Ley de Newton.

Una fuerza de contacto es una interacción entre dos cuerpos. Entonces, los dos cuerpos sufren la misma

fuerza entre si, pero en diferente sentido desde un mismo marco de referencia. Por ejemplo, si una persona

patea un balón de fútbol con una fuerza F, el balón ejerce una fuerza de igual magnitud, pero en dirección a

la persona: -F, sobre el pie de la persona. Estas dos fuerzas son conocidas como el par de fuerzas acción -

reacción, y forman el enunciado de la tercera ley de movimiento:

Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una "acción"), entonces B ejerce una fuerza sobre A (una

"reacción). Estas fuerzas tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, y actúan sobre diferentes

cuerpos.

Matemáticamente se define como: 𝑭𝑨 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝑩 = 𝑭𝑩 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝑨

Donde el signo define el sentido contrario de ambas fuerzas. La dirección de ambas fuerzas difieren en una

cantidad de 180º; es decir, los dos vectores fuerza tienen la misma inclinación, pero sentidos opuestos.

Diagramas de Cuerpo Libre I.

Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas que actúan sobre

un cuerpo u objeto en particular. Consiste en colocar la partícula en el origen de un plano de coordenadas, y

representar a las fuerzas que actúan sobre ella por medio de los vectores correspondientes, todos

concurrentes en el origen.

La mayor aplicación de los DCL es visualizar mejor el sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo; además,

se identifican mejor las fuerzas pares, como la de acción - reacción y las componentes de las fuerzas. Si en

un sistema existen dos o más cuerpos de interés, éstos se deben separar y cada uno tiene un DCL propio con

sus respectivas fuerzas actuando.

Ejemplo.

Construya el DCL para el siguiente sistema:



82

La partícula de interés para éste caso es el bloque de masa m, pero para el caso, las fuerzas concurren en un

mismo punto, el nodo que une las tres cuerdas de la figura. Entonces, el origen de coordenadas se situará en

ése punto. Las fuerzas que actúan son: la tensión de la cuerda A (Ta), la tensión de la cuerda B (Tb) y el peso

w del bloque de masa m.

En algunos casos, es conveniente girar el eje de coordenadas. Esto normalmente se hace cuando la partícula

tiene un movimiento sobre una superficie inclinada, y se facilita el cálculo de las componentes si los ejes

tienen la misma dirección de la superficie.

Diagramas de Cuerpo Libre II.

Ejemplo.

Construya el DCL para el bloque de masa M de la figura:

El bloque de masa M tiene un movimiento sobre un plano inclinado. Para el caso, el DCL será mejor manipulado

si se inclinan los ejes. Las fuerzas que actúan son tres. Dos de ellas son el peso w del bloque, siempre dirigido

hacia abajo y la tensión de la cuerda con la que el autobús hala el bloque.

La tercera fuerza es debida a la tercera ley de Newton: el bloque ejerce una fuerza sobre el plano que la

sostiene, así como el plano hace una fuerza sobre el bloque, pero en dirección contraria. Ésta fuerza se llama

fuerza normal N, debido a que es perpendicular (normal) a la superficie del plano. Se representan éstas tres

fuerzas en el DCL del bloque M:



83

¿Cómo construir un diagrama de cuerpo libre?

d) Identifique las condiciones del problema. Asegúrese de colocar todas las fuerzas que actúan sobre el

cuerpo de análisis. Estas fuerzas deben tener las direcciones (ángulos) y sentidos correctos.

e) Si son varios cuerpos de estudio, sepárelos. Cada uno tiene su propio DCL. Si el sistema es de dos cuerpos

y aparece una fuerza entre ellas, no olvide colocar las de acción y reacción en su respectivo DCL.

f) Las fuerzas se representan como vectores con su origen situado al centro de un sistema de coordenadas

rectangulares. Generalmente es el plano cartesiano, aunque puede estar inclinado.

Problemas de Aplicación de la Primera Ley del Movimiento I.

La aplicación más importante de la primera ley de Newton es encontrar el valor de las fuerzas que actúan

sobre una partícula, a partir de la condición de equilibrio.

En la primera ley, se plantea que si una partícula está en equilibrio, se cumple que: ∑F = 0. Como la fuerza es

una cantidad vectorial, podemos plantear que:

∑Fx = 0 y ∑Fy = 0 (Componentes rectangulares de las fuerzas).

Ejemplo.

1. Un cuadro de 2 Kg se cuelga de un clavo como se muestra en la figura, de manera que las cuerdas que lo

sostienen forman un ángulo de 60º. ¿Cuál es la tensión en cada segmento de la cuerda?

∑𝐹𝑦 = 0

𝑇𝑎 sin 600 + 𝑇𝑏 sin 600 − 𝑤 = 0 Ta sen 600 + Tb sen 600 = w

(1) Tb sen 600 = mg − Tb sen 600 Ta en 1

Tb sen 600 + Tb sen 600 = 𝑚𝑔

(2 𝑘𝑔) (9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2) = 2 Tb sen 600

∑𝐹𝑥 = 0

−𝑇𝑎 cos 600 + 𝑇𝑏 cos 600 = 0 Ta cos 600 = Tb cos 600

Ta = Tbcos 600

cos 600

Ta = Tb 𝑇𝑎 = 11.32 𝑁



84

𝑇𝑏 =19.6

𝑚𝑠𝑒𝑔2

2 𝑠𝑒𝑛 600

𝑇𝑏 = 11.32 𝑁

2. Calcule la tensión en cada cordel de la figura, si el peso del objeto suspendido es de 10 N.

∑𝐹𝑦 = 0

𝑇𝑎 sin 300 + 𝑇𝑏 sin 450 − 𝑤 = 0 (1) Ta sen 300 + Tb sen 450 = 10N

Ta en 1

Tb (cos 450

cos 300) sen 300 + Tb sen 450 = 10𝑁

𝑇𝑏 (cos 450sin 300

cos 300) + 𝑇𝑏sen 450 = 10𝑁

𝑇𝑏(cos 450 tan 300) + 𝑇𝑏 sin 450 = 10𝑁 0.41𝑇𝑏 + 0.71𝑇𝑏 = 10𝑁

1.12𝑇𝑏 = 10𝑁

𝑇𝑏 =10𝑁

1.12

𝑇𝑏 = 8.93𝑁

∑𝐹𝑥 = 0

−𝑇𝑎 cos 300 + 𝑇𝑏 cos 450 = 0 Ta cos 300 = Tb cos 450

Ta = Tbcos 450

cos 300

𝑇𝑎 = 8.93 cos 450

cos 300

𝑇𝑎 = 8.93 ∗ 0.82 𝑇𝑎 = 7.32𝑁

3. Una bolsa de cemento de 325 Newton de peso cuelga de 3 alambres como muestra la figura. Dos de los

alambres forman ángulos 600 y 250 con la horizontal. Si el sistema está en equilibrio encuentre las

tensiones T1 y T2

∑𝐹𝑦 = 0

𝑇1 sin 600 + 𝑇2 sin 250 − 𝑤 = 0

∑𝐹𝑥 = 0

−𝑇1 cos 600 + 𝑇2 cos 250 = 0



85

(1) T1 sen 600 + Tb sen 250 = 325N Ta en 1

𝑇1 sen 600 + 𝑇1

cos 600

cos 250= 325𝑁

𝑇1sen 600 + 𝑇1 (cos 600sin 250

cos 250) = 325𝑁

𝑇1 sin 600 + 𝑇1(cos 600 tan 250) = 325𝑁 0.8660𝑇1 + 0.2331𝑇1 = 325𝑁

1.099𝑇1 = 325𝑁

𝑇1 =325𝑁

1.099

𝑇1 = 295.72𝑁

𝑇2 cos 250 = 𝑇1 cos 600

𝑇2 = 𝑇1

cos 600

cos 250

𝑇2 = 295.72 0.5

0.91

𝑇2 = 295.72 ∗ 0.552 𝑇2 = 163.23 𝑁

4. Encuentre la tensión en cada cuerda para el sistema mostrado en la figura. Ignore la masa de las cuerdas.

∑𝐹𝑦 = 0

𝑇1 sin 400 + 𝑇2 sin 500 − 𝑤 = 0

(1) 𝑇1 sen 400 + 𝑇2 sen 500 = 5kg ∗ 9.8m

𝑠𝑒𝑔2

𝑇2 en 1

𝑇1 sen 400 + 𝑇1

cos 400

cos 500= 49 𝑁

𝑇1sen 400 + 𝑇1 (cos 400sin 500

cos 500) = 49 𝑁

𝑇1 sin 400 + 𝑇1(cos 400 tan 500) = 49 𝑁 0.6643𝑇1 + 0.913𝑇1 = 49 𝑁

1.58𝑇1 = 49𝑁

𝑇1 =49 𝑁

1.556

𝑇1 = 31.49𝑁

∑𝐹𝑥 = 0

−𝑇1 cos 400 + 𝑇2 cos 500 = 0 𝑇2 cos 500 = 𝑇1 cos 400

𝑇2 = 𝑇1

cos 400

cos 500

𝑇2 = 31.49 0.77

0.643

𝑇2 = 31.49 ∗ 1.192 𝑇2 = 37.54 𝑁

5. Encuentre la tensión en cada cuerda para el sistema mostrado en la figura. Ignore la masa de las cuerdas.



86

∑𝐹𝑦 = 0

𝑇1 sin 600 − 𝑊 = 0

𝑇1 sen 600 = 10kg ∗ 9.8m

𝑠𝑒𝑔2

𝑇1 =98 𝑁

𝑠𝑒𝑛 600

𝑇1 = 113.161 𝑁

∑𝐹𝑥 = 0

−𝑇1 cos 600 + 𝑇2 = 0 𝑇2 = 𝑇1 cos 600

𝑇2 = 113.16 cos 600 𝑇2 = 113.16 ∗ 0.5

𝑇2 = 56.58 𝑁

6. Un farol de 3,6 kg permanece en reposo, colgado como se indica en la figura. Determinar

la fuerza que ejerce cada cuerda.

∑𝐹𝑦 = 0

𝑇𝐵 sin 370 − 𝑊 = 0

𝑇𝐵 sen 370 = 3.6kg ∗ 9.8m

𝑠𝑒𝑔2

𝑇𝐵 =35.28 𝑁

𝑠𝑒𝑛 370

𝑇𝐵 = 58.623 𝑁

∑𝐹𝑥 = 0

−𝑇𝐵 cos 370 + 𝑇𝐴 = 0 𝑇𝐴 = 𝑇𝐵 cos 370

𝑇2 = 58.623 cos 370 𝑇2 = 58.623 ∗ 0.799

𝑇2 = 46.84 𝑁



87

7. Un pequeño aro tiene una carga vertical de peso P y está sostenido por dos cuerdas AB y BC, la última

de las cuales soporta en su extremo libre un peso 𝑃𝑄 = 100𝑁, como se observa en la figura. Determinar

la magnitud del peso de la carga P y la tensión de la cuerda AB, si el sistema se encuentra en equilibrio.

∑𝐹𝑦 = 0

𝑇𝐴𝐵 sin 450 + 𝑇𝐵𝐶 sin 300 − 𝑃 = 0 𝑇𝐴𝐵 sen 450 + 100 sin 300 = P

𝑃 = 122.54𝑁 sin 450 + 100𝑁 sin 300 𝑃 = 122.54 ∗ 0.71𝑁 + 100 ∗ 0.5𝑁

𝑃 = 87𝑁 + 50𝑁 𝑃 = 137𝑁

∑𝐹𝑥 = 0

−𝑇𝐴𝐵 cos 450 + 𝑇𝐵𝐶 cos 300 = 0 𝑇𝐵𝐶 cos 300 = 𝑇𝐴𝐵 cos 450

𝑇𝐴𝐵 =100 cos 300

cos 450

𝑇𝐴𝐵 =100 ∗ 0.87

0.71

𝑇𝐴𝐵 =87 𝑁

0.71

𝑇𝐴𝐵 = 122.54𝑁



88

Secuencia 3 Actividad I

1. Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza F2 de la figura adjunta para que el bloque de

780 N de peso se encuentre en equilibrio si el módulo de la fuerza F1 es de 460 N. Respuesta: ∝=35.80 𝐹2 = 575 𝑁

2. En el esquema de la figura, el bloque de peso P se mantiene en equilibrio cuando se aplica una fuerza F

= 500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar las tensiones en los cables y el peso P.

Respuesta: 𝑇𝐴𝐵 = 2879 𝑁 𝑇𝐵𝐶 = 2835 𝑁 𝑇𝐷𝐶 = 8289 𝑁 𝑃 = 7790 𝑁



89

3. Un cuerpo de masa m = 250 kg está unido al sistema de cables indicado en la figura y se mantiene en

equilibrio en la posición indicada. Determinar las tensiones en los cables. Respuesta: 𝑇𝐵𝐴 =1414 𝑁 𝑇𝐵𝐶 = 2829 𝑁 𝑇𝐷𝐶 = 1505 𝑁 𝑇𝐷𝐶 = 2965 𝑁

4. En el esquema de la figura adjunta los tres cuerpos unidos por cables están en equilibrio. Los bloques A

y B pesan 60 N cada uno y el bloque C pesa 80 N. Determinar el valor de h



90

5. En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 600 N de peso pende de dos cables. Determinar: a) el

intervalo de valores de la fuerza F para que ambos cables estén tensos; b) el valor de las tensiones en

los cables para F = 500 N. Dato: tg a = 4/3. Respuesta: 𝐹1 = 326.2 𝑁 𝐹1 = 750 𝑁 𝐹𝐵 =184.5 𝑁 𝐹𝐴 = 230.9 𝑁

6. Dos cuerpos puntuales de pesos P1 = 1960 N y P2 = 2940 N están unidos mediante un cable y se poyan

sobre una superficie cilíndrica lisa tal como se ve en la figura adjunta. Determinar la tensión del cable,

las normales en los apoyos y el ángulo de equilibrio. Respuesta: ∝= 33,69𝑜; 𝑇 = 1630.8 N; 𝑁A =1087,2 N; 𝑁𝐵 = 2446,2 N



91

7. En la figura adjunta el bloque de 500 N de peso se mantiene en equilibrio en la posición indicada bajo la

acción de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la cuerda que pasa por la polea B. Determinar el

valor de la fuerza.



92


8. En el esquema de la figura adjunta, el cable AC está unido por su extremo C a un muelle cuya constante

de rigidez es k = 50 N/m. Si se aplica en el extremo C del cable una fuerza vertical descendente F0 =

80 N el sistema está en equilibrio cuando el ángulo q = 60º. Determinar la longitud natural lo del muelle.

9. Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies lisas tal como se

muestra en la figura adjunta. Determinar: a) el valor de la fuerza F para mantener la barra en equilibrio

en la posición indicada; b) las reacciones en los apoyos.



93

10. Una barra homogénea de 300 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies lisas tal como se

muestra en la figura adjunta. Se mantiene en equilibrio bajo la acción que le ejerce un muelle unido a su

extremo B de constante k = 500 N/m. Determinar el alargamiento del muelle.

11. Una barra homogénea de 369 N de peso y longitud l está articulada en su extremo A y se apoya en su

extremo B sobre una superficie lisa tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar la reacción en

la articulación.

12. Una barra homogénea peso P y longitud l esta en equilibrio en una cavidad semiesférica lisa de radio R

tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar el valor del ángulo de equilibrio a si l = 3R.



94

13. Una barra homogénea de longitud l y peso P está unida por uno de sus extremos a un pasador que puede

deslizar sin rozamiento por una guía vertical. La barra se apoya sobre una superficie cilíndrica lisa de

radio R. Si la longitud de la barra es 3R , determinar el ángulo a de equilibrio.



95

Problemas de Aplicación de la Segunda Ley del Movimiento I.

Ésta ley centra su aplicación en la dinámica de partículas, en los que se analizan cuerpos con aceleración. En

éste caso, la fuerza neta que actúa sobre una partícula no es cero, sino: ∑F = m ∗ a Al igual que en la primera

ley, esto se puede plantear por medio de las componentes de los vectores: ∑Fx = m ∗ ax y ∑Fy = m ∗ ay

Ejemplo.

1. ¿Qué fuerza neta se requiere para impartir a un refrigerador de 125 Kg una aceleración de1.20 m/seg2?

Los datos son la masa y la magnitud de aceleración, y solamente se pide encontrar la magnitud de la

fuerza que se le debe aplicar al refrigerador. Por la 2a ley de Newton: Fuerza Neta = (125 Kg) (1.20 m/𝑠𝑒𝑔2) = 150 N

2. Un carrito de juguete de 3 Kg parte del reposo y se mueve una distancia de 4 m en 2 s bajo la acción de

una fuerza constante única. Encuentre la magnitud de la fuerza.

Se sabe que la fuerza que impulsa al carrito es constante; por lo tanto, su aceleración también lo es. Se

pueden aplicar las fórmulas de M.R.U.A. (aceleración constante y movimiento rectilíneo) para encontrar

la aceleración del juguete y luego se multiplica por la masa para obtener la magnitud de la fuerza. De la

ecuación:

𝑑 = 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2

Despejamos a. Además 𝑣0 = 0𝑚

𝑠𝑒𝑔, entonces:

4𝑚 = 0 +1

2𝑎(2𝑠𝑒𝑔)2

4𝑚 =1

2𝑎 4 𝑠𝑒𝑔2

𝑎 =4 𝑚

2 𝑠𝑒𝑔2

𝑎 = 2 𝑚/𝑠𝑒𝑔2 y de la 2da. Ley:

F = (3 Kg) (2 m/𝑠𝑒𝑔2) = 6 N 3. Una carga de 15 Kg cuelga de una cuerda que pasa por una polea pequeña sin fricción y tiene un contrapeso

de 28 Kg en el otro extremo (véase la figura). El sistema se libera del reposo. ¿Calcule la aceleración

hacia arriba de la carga?

Como son dos cuerpos los que se deben analizar, para cada uno debe hacerse un DCL. Sea el objeto Al

peso de 15 Kg y el objeto B el contrapeso de 28 Kg.



96

Se tienen diagramas de cuerpo libre casi iguales, con la diferencia de las masas de los objetos. Como se

trata de una cuerda que une a los dos pesos, existe una única tensión a lo largo de ella; por lo tanto, las

tensiones T en ambos diagramas son las mismas. Por otra parte, si los pesos se mueven, lo hace también

la cuerda. Tomando en cuenta que la cuerda es una "cuerda ideal", que es aquella que no se deforma

cuando fuerzas se aplican sobre ella, la cuerda se mueve con una aceleración uniforme; por lo tanto, las

aceleraciones de los dos pesos son iguales en magnitud, pero los sentidos son diferentes. Suponga que

el objeto B se mueve hacia abajo, por lo tanto, tiene aceleración negativa.

Planteado lo anterior se tienen dos ecuaciones:

∑𝐅𝐚 = 𝐦𝐚 ∗ 𝐀, donde A es la aceleración. 𝐓 − 𝐰𝐚 = 𝐦𝐚 ∗ 𝐀

Despejando T: 𝐓 = 𝐦𝐚 ∗ 𝐀 + 𝐦𝐚 ∗ 𝐠 (𝟏).

Para el objeto B, ∑𝐅𝐛 = 𝐦𝐛 ∗ −𝐀 𝐓 = 𝐦𝐛 ∗ 𝐠 − 𝐦𝐛 ∗ 𝐀 (𝟐)

Igualando (1) y (2): 𝐦𝐚 ∗ 𝐀 + 𝐦𝐚 ∗ 𝐠 = 𝐦𝐛 ∗ 𝐠 − 𝐦𝐛 ∗ 𝐀

Despejando A: 𝒎𝒂 ∗ 𝑨 + 𝒎𝒃 ∗ 𝑨 = 𝒎𝒃 ∗ 𝒈 − 𝒎𝒂 ∗ 𝒈

𝑨(𝒎𝒂 + 𝒎𝒃) = 𝒈(𝒎𝒃 − 𝒎𝒂)

𝑨 =𝒈(𝒎𝒃 − 𝒎𝒂)

(𝒎𝒂 + 𝒎𝒃)

𝑨 =

𝟗. 𝟖𝒎

𝒔𝒆𝒈𝟐 (𝟐𝟖𝒌𝒈 − 𝟏𝟓𝒌𝒈)

(𝟏𝟓𝒌𝒈 + 𝟐𝟖𝒌𝒈)

𝑨 =

𝟗. 𝟖𝒎

𝒔𝒆𝒈𝟐 (𝟏𝟑𝒌𝒈)

(𝟒𝟑 𝒌𝒈)

𝑨 =

𝟏𝟐𝟕. 𝟒𝒌𝒈𝒎

𝒔𝒆𝒈𝟐

(𝟒𝟑𝒌𝒈)

𝑨 = 𝟐. 𝟗𝟔𝒎

𝒔𝒆𝒈𝟐

Es positiva. Por lo tanto la suposición de que B se mueve hacia abajo es verdadera. Si el resultado hubiese

dado negativo, habría que cambiar el sentido supuesto.

Problemas de Aplicación de la Tercera Ley del Movimiento I.

A partir de ésta tercera ley del movimiento se definen dos fuerzas de uso común en el estudio de la cinética.

La fuerza de contacto entre dos cuerpos siempre puede representarse en términos de la fuerza normal N

perpendicular a la superficie de interacción. Generalmente ésta fuerza se utiliza cuando un cuerpo está en

contacto con una superficie plana o inclinada, entonces, el vector de la fuerza normal es perpendicular a ésa

superficie.



97

Cuando un cuerpo se desplaza haciendo contacto con una superficie, ésta, por sus propiedades físicas, realiza

una fuerza que se opone al movimiento, la cual es conocida como fuerza de fricción Ff. Éstas dos fuerzas

tienen una relación que se estudiará en lecciones posteriores.

Ejemplo.

1. Dos bloques, con masa m1 = 4.6 Kg y m2 = 3.8 Kg, están unidos por un resorte ligero sobre una mesa

horizontal sin fricción. En cierto instante, m2 tiene una aceleración a2 = 2.6 m/s^2. a) ¿Cuál es la fuerza

sobre m2?; b) ¿Cuál es la aceleración de m1?.

a) La única fuerza que actúa sobre m2 en el sentido del movimiento (en el eje x) es la del resorte (haga

el DCL para comprobarlo). Por la segunda ley de Newton: 𝐅 = 𝐦𝟐 ∗ 𝐚 = (𝟑. 𝟖 𝐊𝐠)(𝟐. 𝟔 𝐦/𝐬^𝟐) = 𝟗. 𝟖𝟖 𝐍.

b) La única fuerza que actúa en el sentido del movimiento sobre m1 es la del resorte. Pero el resorte

hace una fuerza sobre m2 y éste hace una fuerza sobre el resorte, por acción y reacción. Suponiendo

que el resorte no se deforma, éste hace una fuerza sobre m1 igual a la fuerza que hace sobre m2.

Entonces:

𝐚 = 𝑭

𝒎𝟏 =

𝟗. 𝟖𝟖𝑵

𝟒. 𝟔𝒌𝒈 = 𝟐. 𝟏𝟒

𝐦

𝐬𝐞𝐠𝟐

2. Una niña de 40 Kg y un trineo de 8.4 Kg están sobre la superficie de un lago congelado, separados uno

del otro por una distancia de 15 m. Por medio de una cuerda, la niña ejerce una fuerza de 5.2 N sobre el

trineo, halándolo hacia ella.

a) ¿Cuál es la aceleración del trineo?;

b) ¿Cuál es la aceleración de la niña?;

c) ¿A qué distancia de la posición inicial de la niña se encontrarán, suponiendo que la fuerza permanece

constante?

La niña ejerce una fuerza, por medio de una cuerda, sobre el trineo. Por la tercera ley del movimiento,

el trineo ejerce una fuerza sobre ella de igual magnitud pero sentido contrario.

a) Como es un lago congelado, no existe fricción que impida el movimiento. Entonces, la única fuerza

que actúa en dirección del movimiento es la de la niña sobre el trineo. Por la segunda ley de Newton:

𝐚(𝐭𝐫𝐢𝐧𝐞𝐨) = 𝑭

𝒎(𝐭𝐫𝐢𝐧𝐞𝐨) = −

𝟓. 𝟐𝑵

𝟖. 𝟒𝒌𝒈= − 𝟎. 𝟔𝟐

𝐦

𝒔𝒆𝒈𝟐

La fuerza es negativa debido a que la fuerza que recibe el trineo está dirigida hacia el eje x

negativo.

b) Ésa fuerza que la niña ejerce es la misma, en magnitud, que el trineo ejerce sobre ella, por medio

de la cuerda:

𝐚(𝐧𝐢ñ𝐚) =𝑭

𝒎(𝐧𝐢ñ𝐚) =

𝟓. 𝟐𝑵

𝟒𝟎𝒌𝒈= 𝟎. 𝟏𝟑

𝐦

𝒔𝒆𝒈𝟐



98

c) La fuerza es constante, por lo que las aceleraciones calculadas en a) y en b) son constantes. Se

pueden utilizar las fórmulas para M.R.U.A. Tanto la niña como el trineo parten del reposo. Tenemos

dos ecuaciones de la posición:

𝒙𝒇(𝒏𝒊ñ𝒂) = 𝒙𝟎(𝒏𝒊ñ𝒂) + 𝒗𝟎𝒕 +𝟏

𝟐𝒂(𝒏𝒊ñ𝒂)𝒕𝟐

(𝟏) 𝒙𝒇(𝒏𝒊ñ𝒂) =𝟏

𝟐𝒂(𝒏𝒊ñ𝒂)𝒕𝟐

Donde 𝐱𝒇 𝐲 𝐱𝟎son las posiciones finales e iniciales respectivamente. Para el trineo:

𝒙𝒇(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐) = 𝒙𝟎(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐) + 𝒗𝟎𝒕 +𝟏

𝟐𝒂(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐)𝒕𝟐

Pero 𝐱𝐟 (𝐭𝐫𝐢𝐧𝐞𝐨) = 𝐱𝐟 (𝐧𝐢ñ𝐚), debido a que se encuentran en el mismo punto:

(𝟐) 𝒙𝒇(𝒏𝒊ñ𝒂) = 𝒙𝟎(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐) +𝟏


La niña y el trineo se desplazarán hacia un sólo punto, en el cual se encontrarán. Si ambos parten en

el mismo instante, el tiempo en que tardarán en llegar es el mismo para ambos. Entonces 𝐭(𝐧𝐢ñ𝐚) =

𝐭(𝐭𝐫𝐢𝐧𝐞𝐨). Igualando (1) y (2) y despejando el tiempo:

𝒙𝒇(𝒏𝒊ñ𝒂) − 𝒙𝟎(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐) =𝟏


𝟏

𝟐𝒂(𝒏𝒊ñ𝒂)𝒕𝟐 − 𝒙𝟎(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐) =

𝟏


𝟏

𝟐𝒕𝟐(𝒂(𝒏𝒊ñ𝒂) − 𝒂(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐)) = 𝒙𝟎(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐)

𝒕𝟐 =𝟐𝒙𝟎(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐)

𝒂(𝒏𝒊ñ𝒂) − 𝒂(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐)

𝒕 = √𝟐(𝒙𝟎(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐))

𝒂(𝒏𝒊ñ𝒂) − 𝒂(𝒕𝒓𝒊𝒏𝒆𝒐)

𝒕 = √

𝟐(𝟏𝟓𝒌𝒈)

𝟎. 𝟏𝟑𝒎

𝒔𝒆𝒈𝟐 − (−𝟎. 𝟔𝟐𝒎

𝒔𝒆𝒈𝟐)

𝒕 = √(𝟑𝟎𝒌𝒈)

𝟎. 𝟕𝟓𝒎

𝒔𝒆𝒈𝟐

𝒕 = √𝟒𝟎𝒔𝒆𝒈𝟐 𝒕 = 𝟔. 𝟑𝟐 𝒔𝒆𝒈

El tiempo se sustituye en (1) o en (2):

𝒙𝒇(𝒏𝒊ñ𝒂) =𝟏

𝟐𝟎. 𝟏𝟑

𝒎

𝒔𝒆𝒈𝟐(𝟔. 𝟑𝟐𝒔𝒆𝒈)𝟐

𝒙𝒇(𝒏𝒊ñ𝒂) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟓𝒎

𝒔𝒆𝒈𝟐(𝟑𝟗. 𝟗𝟒𝟐𝟒𝒔𝒆𝒈𝟐)

𝒙𝒇(𝒏𝒊ñ𝒂) = 𝟐. 𝟓𝟗 𝒎

Fuerzas de Fricción.

La fuerza de fricción se da a partir del contacto entre dos cuerpos. En realidad, éste efecto siempre está

presente en el movimiento de un cuerpo debido a que siempre se desplaza haciendo contacto con otro (el aire

en la mayoría de los casos); en algunos casos, éste efecto es muy pequeño y es una buena aproximación

despreciar su valor, pero en otros, es necesario tomar en cuenta ésta fuerza, debido a que determina el valor

del movimiento.



99

Fricción cinética.

Cuando un cuerpo descansa sobre una superficie, podemos expresar la fuerza de contacto (por tercera ley

del movimiento) en términos de sus componentes paralela y perpendicular a la superficie: la componente

perpendicular es la fuerza normal N y la paralela a la superficie es la de fricción 𝐹𝑓 La dirección de 𝐹𝑓

siempre es opuesta al movimiento relativo de las dos superficies.

El tipo de fricción que actúa cuando un cuerpo se desliza sobre una superficie es la fuerza de fricción

cinética, 𝐹𝑓𝑘 (∗). Ésta fuerza es proporcional a la normal: 𝐹𝑓𝑘 α 𝑁.

La constante de proporcionalidad para la relación anterior recibe el nombre de coeficiente de fricción

cinética µk y su valor depende de la superficie: mientras más lisa (como el lago congelado del ejemplo de la

lección anterior) es la superficie, menor será el valor de la constante. Entonces, la fuerza de fricción cinética

se define como: 𝐹𝑓𝑘 = µk ∗ 𝑁

Ésta es una ecuación escalar y válida solo para las magnitudes de las componentes de la fuerza de contacto.

La fuerza de fricción también puede actuar cuando no hay movimiento. En éste caso recibe el nombre de

fuerza de fricción estática 𝐹𝑓𝑠. Suponga que una persona empuja una caja sobre el piso tratando de moverla,

pero no lo consigue, debido a que el piso ejerce una fuerza 𝐹𝑓𝑠. Ésta fuerza también es proporcional a la

normal y la constante de proporcionalidad se conoce como coeficiente de fricción estática µ𝑠. En algún punto,

𝐹𝑓 es mayor que µ𝑠 ∗ 𝑁, que es cuando hay movimiento y 𝐹𝑓 es 𝐹𝑓𝑘 = µ𝑘 ∗ 𝑁. Pero, mientras no exista

movimiento, 𝐹𝑓 es:

𝐹𝑓𝑠 ≤ µ𝑠 ∗ 𝑁. Es decir, 𝐹𝑓𝑠 está entre 0 𝑦 (µ𝑠 ∗ 𝑁).

Definición de Trabajo.

En la vida cotidiana, el término trabajo se relaciona con cualquier actividad que requiere algún tipo de

esfuerzo físico o mental. En la mecánica y estudio de la cinética, estos esfuerzos son fuerzas externas que

actúan sobre un cuerpo desplazándolo cierta distancia desde su punto inicial; por lo tanto, siempre que una

fuerza actúa a lo largo de una distancia, sobre una partícula, se realiza trabajo. Su valor se relaciona con el

valor de la fuerza aplicada y el desplazamiento causado por la fuerza.

Considere las siguientes figuras. Ignore el efecto de la fricción en la superficie plana. La fuerza Fa está

aplicada verticalmente sobre el objeto; pero ésta fuerza no logra desplazar al objeto por el eje x, debido a

que la fuerza resultante no tiene componente en ése eje, y por la segunda ley del movimiento, éste objeto no

tiene aceleración en ésa dirección.

La fuerza Fb logra desplazar cierta distancia al objeto por la superficie plana, debido a que tiene una

componente paralela al movimiento, y el objeto obtiene una componente en x de la aceleración.



100

La fuerza Fc desplaza al objeto cierta distancia d, mayor al de la fuerza Fb, debido a que la fuerza está

totalmente en dirección al desplazamiento.

Por lo anterior, el trabajo mecánico W es realizado por la componente paralela al desplazamiento d de la

fuerza que lo realiza, y se define como: W = F ∗ d

Donde F es la fuerza paralela al desplazamiento que realiza trabajo. El trabajo total realizado sobre una

partícula es el producto de la fuerza resultante por el valor del desplazamiento d.

La expresión anterior que define el trabajo W es un producto escalar, y sólo interesa la magnitud y sentido

de F y d. Es decir, a partir de un marco de referencia propuesto, se puede obtener un trabajo negativo si la

fuerza está dirigida en sentido contrario al desplazamiento, como una fuerza de fricción de la superficie.

El trabajo W tiene unidades de 𝑁.𝑚. en el sistema internacional (Newton - metro), lbf - pulgada en el sistema

inglés. En el sistema internacional de medidas, un 𝑁.𝑚 es un Joule, representado por J, que son las unidades

que definen la energía, concepto que se define en las siguientes lecciones.

Problemas de Aplicación del Trabajo.

1. Se empuja un libro 1.20 m sobre una mesa horizontal con una fuerza horizontal de 3.0 N. La fuerza de

fricción opuesta es de 0.6 N.

a) ¿Qué trabajo efectúa la fuerza de 3.0 N?;

b) ¿Y la fricción?;

c) ¿Qué trabajo total se efectúa sobre el libro?

a) La fuerza de 3 N está en dirección al desplazamiento. Entonces:

𝑊 = (3.0 N) ∗ (1.20 m) = 3.6 𝑁.𝑚 = 3.6 𝐽 b) La fricción también está dirigida hacia el eje x, pero con sentido contrario:

𝑊𝑓 = (− 0.6 N) ∗ (1.20 m) = − 0.72 𝐽 c) El trabajo total está dado por la componente de la fuerza resultante en dirección al movimiento. Las

fuerzas que actúan en dirección al movimiento son la de 3.0 N y la fricción: ∑𝐹𝑥 = 3.0 𝑁 + (− 0.6 𝑁) = 2.4 𝑁 𝑦

𝑊𝑡 = (2.4 𝑁) ∗ (1.2 𝑚) = 2.88 𝐽.



101

Donde 𝑊𝑡 es el trabajo total efectuado. Éste resultado es el mismo si se suman los trabajos

individuales de cada fuerza que actúa sobre el cuerpo: 𝑊𝑡 = 𝑊 + 𝑊𝑓 = 3.6 𝐽 + (− 0.72 𝐽) = 2.88 𝐽

2. El baúl de la figura es arrastrado en una distancia horizontal de 24 m por una cuerda que forma un ángulo

de 60º con el piso. Si la tensión en la cuerda es de 8 N, ¿Cuál es el trabajo realizado por la cuerda?

La fuerza no está en dirección al desplazamiento, pero tiene una componente paralela a él, que es igual

a: 𝐹 = (8 𝑁) 𝑐𝑜𝑠 60º

Y el trabajo es igual a: 𝑊 = 𝐹 ∗ 𝑑 = ((8 𝑁) 𝑐𝑜𝑠 60º ) ∗ (24 𝑚) = 96 𝐽

Energía Cinética

La importancia del concepto de energía surge del principio de conservación de la energía: la energía se puede

convertir de una forma a otra pero no puede crearse ni destruirse. Por ejemplo, un horno microondas recibe

energía electromagnética para convertirla en energía térmica en los alimentos, aumentando su temperatura,

por lo tanto, no hay una pérdida de energía en éste proceso.

Por ello, la energía se relaciona por la capacidad que tiene la materia para realizar cambios, a partir de un

estado de referencia. Existen muchos tipos de energía, que están asociados con diferentes propiedades de

la materia. Sin embargo, en cinética, se estudia la energía mecánica, es decir, la energía asociada con las

propiedades que determinan el movimiento.

Una de ellas, es la energía cinética, que es la energía asociada con la rapidez de una partícula. Como la energía

se define a partir de un estado de referencia, la energía cinética es cero cuando la partícula no tiene rapidez,

es decir, está en reposo.

La energía cinética, denotada por 𝐾 y medida en 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 (𝐽), se define como: 𝐾 =

1

2𝑚𝑣2 donde m es la masa de

la partícula (𝐾𝑔) y v es su rapidez (𝑚/𝑠).

El concepto de energía se relaciona con el cambio de un estado. Por ello, en el estudio de la energía a veces

interesa saber el cambio de energía. El símbolo ∆ (𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎) indica un cambio en la propiedad a la que acompaña.

Suponga que en un estado 1, una partícula tiene una energía cinética 𝐾(1), y que en el estado 2 tiene una

energía cinética 𝐾(2). El cambio de energía cinética de ésta partícula, medido en 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 (𝐽) para los estados

1 y 2 es: ∆𝑘 = 𝑘2 − 𝑘1 =1

2𝑚𝑣2

2 −1

2𝑚𝑣1

2 =1

2𝑚(𝑣2

2 − 𝑣12)



102

Teorema del Trabajo y la Energía.

El trabajo, por sus unidades, es una forma de transferencia o cambio en la energía: cambia la posición de una

partícula (la partícula se mueve). Éste cambio en la energía se mide a partir de todos los efectos que la

partícula sufre, para el trabajo, los efectos son todas las fuerzas que se aplican sobre ella (trabajo neto o

trabajo total Wt).

El teorema del trabajo y la energía relaciona éstos dos conceptos:

El trabajo efectuado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al cambio de energía cinética de la

partícula: 𝑊 = ∆𝐾 = 𝐾(2) − 𝐾(1)

Este teorema facilita muchos cálculos de problemas que involucran éstas propiedades.

Problemas de Aplicación del Trabajo y la Energía.

1. Una bala de 20 g choca contra un banco de fango, como se muestra en la figura, y penetra una distancia

de 6 cm antes de detenerse. Calcule la fuerza de frenado F, si la velocidad de entrada fue de 80 m/s.

Se tienen como datos la rapidez inicial y la rapidez final, además de la masa de la bala como la cantidad

desplazada mientras se le aplica la fuerza. Por el teorema del trabajo y la energía se puede encontrar

el valor de esa fuerza:

∆𝑘 = 𝑘2 − 𝑘1 =1

2𝑚𝑣2

2 −1

2𝑚𝑣1

2 =1

2𝑚(𝑣2

2 − 𝑣12)

La rapidez 𝑣(2) es el estado final (0 𝑚/𝑠), y la rapidez 𝑣(1) es el estado inicial antes de entrar al banco

de fango (80 𝑚/𝑠). La masa de la bala es 20 𝑔 = 0.02 𝐾𝑔. Entonces:

∆𝑘 =1

2(0.02𝑘𝑔) ((0

𝑚

𝑠𝑒𝑔)2

− (80𝑚

𝑠𝑒𝑔)2

)

∆𝑘 = 0.01𝑘𝑔 (0 − 6400𝑚2

𝑠𝑒𝑔2)

∆𝑘 = −64 𝐽 Esto es igual al trabajo neto efectuado por todas las fuerzas. En éste caso, la única fuerza que actúa es

la que detiene a la bala (la fricción del fluido viscoso): 𝑊 = 𝐹 ∗ 𝑑 = ∆𝐾 = − 64 𝐽 𝐶𝑜𝑛 𝑑 = 6 𝑐𝑚 = 0.06 𝑚

𝐹 = −64𝐽

0.06𝑚= − 1066.67𝑁

Note que el signo negativo indica que la fuerza tiene sentido opuesto al desplazamiento (como en la

definición de trabajo).

Problema de Aplicación del Teorema del Trabajo y la Energía

1. Un trabajador empuja una caja por el piso. La fuerza que ejerce forma un ángulo de 30º con la horizontal,

como se muestra en la figura. La masa de la caja es de 100 Kg y el coeficiente de fricción cinética entre

ella y el piso es de 0.6. Una vez en movimiento, la caja se mueve con rapidez constante.



103

a) ¿Cuánto trabajo debe efectuar el trabajador para moverla 100 m?;

b) ¿Cuánto es el trabajo neto sobre la caja?

a) El trabajo efectuado por el trabajador es igual a:

𝑊 = (𝐹 𝑐𝑜𝑠 30º) ∗ 𝑑 Pero no se conoce el valor de F:

∑𝐹𝑥 = 0 (𝐷𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜, 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒).

− 𝐹𝑓 + 𝐹 𝑐𝑜𝑠 30º = 0 𝐹 = 𝐹𝑓 / 𝑐𝑜𝑠 30º (1)

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: ∑𝐹𝑦 = 0 𝑁 − 𝑤 − 𝐹 𝑠𝑒𝑛 30º = 0

𝐹 = (𝑁 − 𝑤) / 𝑠𝑒𝑛 30º (2) 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 (1) 𝑦 (2):

𝐹𝑓 / 𝑐𝑜𝑠 30º = (𝑁 − 𝑤) / 𝑠𝑒𝑛 30º 𝑃𝑒𝑟𝑜 𝐹𝑓 = µ𝑘 ∗ 𝑁, 𝑦 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 (𝑠𝑒𝑛 30º / 𝑐𝑜𝑠 30º) = 𝑡𝑎𝑛 30º:

(µ𝑘 ∗ 𝑁) 𝑡𝑎𝑛 30º = 𝑁 − 𝑤 Despejando N:

𝑁 =𝑤

1 − 𝜇𝑘 tan 300=

(100𝑘𝑔) (9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2)

1 − (0.6 tan 300)=

980𝑁

1 − 0.3464=

980𝑁

0.6535= 1499.6174𝑁

Sustituyendo éste valor en (2):

𝐹 =1499.6174𝑁 − (100𝑘𝑔) (9.8

𝑚𝑠𝑒𝑔2)

sin 300=

1499.6174𝑁 − 980𝑁

0.50=

519.61𝑁

0.50= 1039.22𝑁

Y el trabajo es: 𝑊 = ((1040 𝑁) 𝑐𝑜𝑠 30º) ∗ (100 𝑚) = 90,066.65 𝐽

b) El trabajo neto es: 𝑊𝑡 = 𝑊 + 𝑊𝑓

Donde 𝑊𝑓 es el trabajo realizado por la fricción. Pero por el teorema del trabajo y la energía:𝑊𝑡 =

∆𝐾 = 0 debido a que no hay cambio en la energía cinética (no hay cambio en la rapidez de la partícula,

es constante, y 𝐾(1) = 𝐾(2)). Este resultado se puede demostrar encontrando el trabajo realizado

por la fricción y sumar ése valor al trabajo efectuado por la fuerza F.

Energía Potencial Gravitatoria



104

En varias situaciones parece que se almacena energía en un cuerpo para recuperarse después. Por ejemplo,

una persona levanta un libro de masa m. La persona debe aplicar una fuerza mayor al peso m*g del libro para

levantarlo, y por lo tanto, realizar trabajo sobre él. Pero si el libro se deja caer desde la altura llevada, el

libro aumenta su energía cinética aumentando su rapidez en la caída. Si la persona levanta el libro más alto,

al dejarse caer, el libro obtiene mayor rapidez cuando llega al piso (debido a la aceleración de la gravedad).

Lo anterior da una idea que si un cuerpo o partícula está en una posición más alta, tiene una mayor cantidad

de energía almacenada. Así se define la energía potencial, como la energía asociada a la posición de una

partícula, y es una medida del potencial o posibilidad de efectuar trabajo.

Una forma de energía potencial es la que está asociada con el campo gravitacional, que hace efecto en los

cuerpos por medio de su peso. Ésta es la energía potencial gravitatoria 𝑈𝑔, que relaciona el peso de un cuerpo

y su altura sobre el suelo.

Para encontrar su valor, considere un cuerpo de masa m que está en reposo a una altura ℎ(1) como se muestra

en la figura. La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es su peso 𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔. Entonces, el trabajo neto sobre

ella es: 𝑊𝑔 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑑.

Donde d es la distancia en la que se aplica la fuerza.

Si el objeto se deja caer hasta la altura ℎ(2), entonces 𝑑 = ℎ(1) − ℎ(2)

𝑊𝑔 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ (ℎ(1) − ℎ(2)) La energía potencial gravitatoria 𝑈𝑔 se define como el producto de la masa por la aceleración de la gravedad

por la alturaℎ: 𝑈𝑔 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

Entonces el trabajo es: 𝑊𝑔 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ(1) − 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ(2) = 𝑈𝑔(1) − 𝑈𝑔(2)

𝑆𝑖 ∆𝑈𝑔 = 𝑈𝑔(2) − 𝑈𝑔(1): 𝑊𝑔 = − ∆𝑈𝑔

Esta relación sólo es válida para el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad.

Problemas de Aplicación de Energía Potencial Gravitatoria.

Para resolver problemas que involucran el valor de la energía potencial gravitatoria se debe tener en cuenta

el marco de referencia, y definir los valores de energía para ése marco, debido a que la energía es medida a

partir de un punto de referencia arbitrario. En la mayoría de los casos, éste punto de referencia es el piso o

superficie plana cercana.

1. ¿Qué energía potencial tiene un ascensor de 800 Kg en la parte superior de un edificio, a 380 m sobre

el suelo? Suponga que la energía potencial en el suelo es 0.

Se tiene el valor de la altura y la masa del ascensor. De la definición de la energía potencial gravitatoria:

𝑈𝑔 = (800 𝐾𝑔) ∗ (9.8𝑚

𝑠2) ∗ (380 𝑚) = 2,979,200 𝐽 = 2.9 𝑀𝐽

2. Un horno de microondas de 12 Kg se empuja para subirlo 14 m de una superficie de una rampa inclinada

37º sobre la horizontal aplicando una fuerza constante de 120 N y paralela a la rampa. El coeficiente de

fricción cinética entre el horno y la rampa es de 0.25.

a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza sobre el horno?;

b) ¿Y la fuerza de fricción?;

c) Calcule el aumento de energía potencial del horno.



105

a) El trabajo de la fuerza está dado por el producto de la magnitud de la fuerza por la distancia

desplazada: 𝑊 = (120 𝑁) (14 𝑚) = 1680 𝐽

b) El valor de la fuerza de fricción no es un dato dado del problema. Para determinarlo, se debe hacer

un DCL:

A partir de éste nuevo marco de referencia:

∑𝐹𝑦 = 0 (Debido a que no hay desplazamiento en éste eje). 𝑁 − 𝑤 𝑐𝑜𝑠 37º = 0

𝑁 = 𝑤 𝑐𝑜𝑠 37º = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠 37º. 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 µ𝑘 ∗ 𝑁, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑊𝑓 = 𝐹𝑓 ∗ 𝑑 = µ𝑘 ∗ 𝑁 ∗ 𝑑

Sustituyendo: 𝑊𝑓 = µ𝑘 ∗ 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠 37º ∗ 𝑑

𝑊𝑓 = (0.25) (12 𝐾𝑔) (9.8 𝑚/𝑠^2) (14 𝑚) (𝑐𝑜𝑠 37º) = 328.72 𝐽

c) El aumento de energía potencial está dado por: ∆𝑈𝑔 = 𝑈(2) − 𝑈(1) = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ(2) − 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ(1)

𝑆𝑖 ℎ(1) = 0 𝑦 ℎ(2) = ℎ: ∆𝑈𝑔 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

Por trigonometría, sabemos que h = d * sen 37º: ∆𝑈𝑔 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑑 ∗ 𝑠𝑒𝑛37º

∆𝑈𝑔 = (12 𝐾𝑔) (9.8 𝑚/𝑠^2) (14 𝑚) (𝑠𝑒𝑛 37º) = 990.83 𝐽 Note que los maros de referencia para b) y c) son distintos: cuando se trabaja con energía potencial,

sólo interesa datos de altura. Para el caso de un movimiento vertical con trayectoria curvilínea

(movimiento de proyectil, por ejemplo), se debe encontrar la proyección del movimiento en el eje

vertical para definir la diferencia de alturas.

Energía Potencial Elástica.

Un cuerpo elástico es aquel cuerpo deformable que recupera su forma y tamaño originales después de

deformarse. La deformación de estos cuerpos es causada por una fuerza externa que actúa sobre ellos.

Para definir la energía potencial elástica se introduce el concepto de un resorte ideal, que es aquel que se

comporta como un cuerpo elástico, ejerciendo una fuerza en su proceso de deformación. Cuando un resorte



106

ideal está estirado cierta longitud x (m), éste quiere volver a su longitud y forma original; es decir, cuando

no está estirado. Para intentar lograrlo, el resorte ejerce una fuerza Fe definida por: 𝐹𝑒 = 𝑘 ∗ 𝑥

Donde k es la constante de fuerza del resorte, medido en N/m, y x es la deformación del resorte, medido

en m.

Cuando un cuerpo llega con una rapidez v, como se muestra en la figura anterior, el resorte se deforma y

detiene al cuerpo; pero luego, cuando el resorte quiere volver a su longitud original, "empuja" al cuerpo

dándole la misma rapidez v anterior. Ésta y otras situaciones describen que el resorte "almacena energía",

convirtiéndola en energía cinética (el cuerpo sale con la misma rapidez de entrada al resorte).

En realidad, el resorte realiza trabajo, debido a que desplaza al cuerpo aplicándole una fuerza por una

distancia d. Ésta distancia coincide con la deformación del resorte x. Entonces, el trabajo efectuado por el

resorte es: 𝑤𝑒𝑙 =1

2𝑘𝑥2

Donde k es la constante de fuerza del resorte. Pero cuando un cuerpo deforma al resorte aplicándole una

fuerza, se realiza trabajo sobre él, y esa fuerza es igual a la fuerza del resorte 𝐹𝑒 = 𝑘𝑥 (tercera ley del

movimiento). Éste trabajo efectuado sobre el resorte es negativo, debido a que la fuerza tiene dirección

contraria a la deformación del resorte.

La energía potencial elástica U él se define de igual manera que la energía potencial elástica: a partir del

trabajo realizado por la fuerza presente. Entonces: 𝑈𝑒𝑙 =1

2𝑘𝑥2

Suponga que entre la deformación x, existen dos puntos 𝑥(1) 𝑌 𝑥(2), como se muestra en la figura siguiente.

El resorte está inicialmente deformado.

El trabajo realizado sobre el bloque (trabajo hecho por el resorte) de 𝑥(1) 𝑎 𝑥(2) es:

𝑤𝑒𝑙 =1

2𝑘𝑥1

2 −1

2𝑘𝑥2

2

El cambio de energía potencial elástica ∆𝑈𝑒𝑙 = 𝑈(2) − 𝑈(1); de 𝑥(1) 𝑎 𝑥(2) es igual a:

Que es una relación muy parecida a la del trabajo realizado por el peso de un cuerpo y su energía potencial

gravitatoria.

Problemas de Aplicación de Energía Potencial Elástica

1. Una fuerza de 540 N estira cierto resorte una distancia de 0.150 m ¿Qué energía potencial tiene el

resorte cuando una masa de 60 Kg cuelga verticalmente de él?



107

Para conocer la energía potencial elástica almacenada en el resorte, se debe conocer la constante de

fuerza del resorte y su deformación causada por el peso de la masa de 60 Kg.

Una fuerza de 540 N estira el resorte hasta 0.150 m. La constante de fuerza es: 𝑘 = 𝐹𝑒 / 𝑥 = 540 𝑁 / 0.150 𝑚 = 3600 𝑁 / 𝑚.

Luego, la deformación x del resorte causada por el peso del bloque es: 𝑥 = 𝐹𝑒 / 𝑘 = (𝑚 ∗ 𝑔) / 𝑘

𝑥 = ((60 𝐾𝑔) ∗ (9.8 𝑚/𝑠^2)) / (3600 𝑁/𝑚) = 0.163 𝑚

La energía potencial elástica almacenada en el resorte es: 𝑈𝑒𝑙 = 1/2 ∗ (3600 𝑁/𝑚) ∗ (0.163 𝑚)^2 = 47.82 𝐽

2. Un resorte tiene una constante de fuerza k = 1200 N/m, ¿Cuánto debe estirarse el resorte para

almacenar en él 80 J de energía potencial?

Se tiene el valor de la energía potencial elástica y la constante de fuerza del resorte. De la ecuación de

energía potencial:

𝑥 = √2 ∗ 𝑈𝑒𝑙

𝑘

𝑥 = √2 ∗ (80𝐽)

1200𝑁𝑚

= √160𝐽

1200𝑁𝑚

= √0.13333𝑚2 = 0.3651𝑚

Conservación de la Energía.

Para el caso de la fuerza aplicada por un resorte y la fuerza ejercida por la gravedad, las fuerzas permiten

"almacenar energía", siendo ésta la energía potencial asociada al trabajo realizado por éstas fuerzas. Ésta

energía potencial permite convertirse en energía cinética después; por ejemplo, cuando un resorte empuja a

un cuerpo para volver a su longitud natural, o cuando un cuerpo se deja caer desde lo alto, perdiendo así

energía potencial pero ganando rapidez.

Las fuerzas que permiten ésta conversión de energía potencial a energía cinética son llamadas fuerzas

conservativas. Es decir, se puede invertir energía pero se puede recuperar después.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa siempre tiene éstas propiedades:

1. Siempre puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final de una función de energía

potencial.

2. Es reversible.

3. Es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende sólo de los puntos inicial y final.

4. Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero.

Si las únicas fuerzas que realizan trabajo son conservativas, la energía mecánica total 𝐸 = 𝐾 + 𝑈

Es constante.

Pero no todas las fuerzas son conservativas.

La fuerza de fricción que actúa sobre un cuerpo siempre se opone al movimiento, y como 𝑊 = 𝐹 ∗ 𝑑, la fuerza

de fricción siempre es negativa en éste producto; por lo tanto, el trabajo no es reversible.



108

Éste tipo de fuerzas son conocidas como fuerzas no conservativas o fuerzas disipativas, y si una de ellas

realiza trabajo, se debe tomar en cuenta en la energía mecánica total E.

La ley de la conservación de la energía dice que la energía nunca se crea ni se destruye, sólo cambia de forma.

Considerando para el estudio de la cinética que sólo se toman en cuenta las energías mecánicas, entonces: ∆𝐾 + ∆𝑈𝑔 + ∆𝑈𝑒𝑙 + 𝑊𝑓𝑛 = 0

Donde 𝑊𝑓𝑛 es el trabajo realizado por las fuerzas disipativas. En la mayoría de casos aplicados a la cinética,

estas fuerzas son las de fricción ejercida por los cuerpos (fricción cinética, resistencia del aire, etc).

En algunos casos, 𝑊𝑓𝑛 se considera como una pérdida de energía, debido a que se realiza un trabajo opuesto

al movimiento de una partícula (trabajo negativo).

Problema de Aplicación de Conservación de la Energía.

Una forma diferente de plantear la ecuación de la ley de la conservación de la energía es: 𝐾(1) + 𝑈𝑔(1) + 𝑈𝑒𝑙(1) = 𝐾(2) + 𝑈𝑔(2) + 𝑈𝑒𝑙(2) + 𝑊𝑓

Donde 𝑊𝑓 es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas de ése movimiento.

Para resolver problemas de aplicación es necesario definir los estados 1 y 2 para utilizar la ecuación anterior

y determinar los valores de la rapidez, la posición o la deformación del resorte ideal en ése estado.

1. Un bloque de 2 Kg situado sobre una pendiente rugosa se conecta a un resorte de masa despreciable que

tiene una constante de resorte de 100 N/m (véase la figura). El bloque se suelta desde el reposo cuando

el resorte no está deformado, y la polea no presenta fricción. El bloque se mueve 20 cm hacia abajo de

la pendiente antes de detenerse. Encuentre el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la

pendiente.

El sistema muestra que el bloque está ligado a un resorte, por lo que hay una Uel asociada; el bloque

tiene una elevación por encima del suelo en algún estado, por lo que hay una Ug asociada; el sistema se

mueve, K tiene un valor y finalmente el bloque se desplaza por un plano inclinado riguso, con un valor de

fricción entre ellos.

Si el estado 1 es cuando el bloque está en reposo antes de soltarse, y si el estado 2 es cuando el bloque

se detiene 20 cm después; entonces la ecuación: 𝐾(1) + 𝑈𝑔(1) + 𝑈𝑒𝑙(1) = 𝐾(2) + 𝑈𝑔(2) + 𝑈𝑒𝑙(2) + 𝑊𝑓

Se reduce a: 𝑈𝑔(1) = 𝑈𝑒𝑙(2) + 𝑊𝑓

Debido a que:

En el estado 1, el cuerpo está en reposo y no tiene rapidez, entonces 𝐾(1) = 0, el resorte está sin

estirarse, y 𝑈𝑒𝑙 = 0.

En el estado 2, el cuerpo se detiene cuando cae y no tiene rapidez, entonces 𝐾(2) = 0, según el marco

de referencia, el cuerpo llega a una altura igual a cero, y 𝑈𝑔 = 0.

Sustituyendo los valores de la ecuación anterior: 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ =1

2𝑘 ∗ 𝑥2 + 𝐹𝑓 ∗ 𝑥

Donde 𝐹𝑓 = µ𝑘 ∗ 𝑁.

De la ecuación anterior, se tienen los valores de 𝑚,𝑔, 𝑘, 𝑥 (la deformación del resorte tiene el mismo

valor de la distancia desplazada por el bloque, es decir, 𝑥 = 𝑑) y d. El valor de h se encuentra por

trigonometría:



109

ℎ = (20 𝑐𝑚) 𝑠𝑒𝑛 37º = 12.03 𝑐𝑚 = 0.12 𝑚

El valor de la fuerza normal se encuentra por DCL:

∑𝐹𝑦′ = 0 (𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 é𝑠𝑒 𝑒𝑗𝑒).

𝑁 − 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 37º = 0 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑒𝑠:

𝑁 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 37º

Sustituyendo ésos valores en la ecuación de la conservación de la energía, se tiene:

𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ =1

2𝑘 ∗ 𝑥2 + 𝜇𝑘 ∗ 𝑁 ∗ 𝑥

Despejando µk:

𝜇𝑘 =𝑚𝑔ℎ −

12𝑘𝑥2

𝑁𝑥=

(2𝑘𝑔) (9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2) (0.12𝑚) −12(100

𝑁𝑚

) (0.2𝑚)2

(2𝑘𝑔) (9.8𝑚

𝑠𝑒𝑔2) (0.2𝑚)(cos 370)=

2.352𝑁 − 2𝑁

3.131𝑁=

0.352𝑁

3.131𝑁= 0.112

Recuerde que el valor de µk es adimensional.



110


Equilibrio Estático

1. Dos pesas de 3 y 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de una polea (ambas de masa

despreciable). Tómese g=10 m/s2. Calcular

a. La aceleración de los pesos

b. La tensión de la cuerda.

2. Hallar, en el problema de la figura:

a) La aceleración del sistema

b) La tensión de la cuerda.

Tómese g=10 m/s2. Suponer que los cuerpos deslizan sin fricción. La polea tiene masa despreciable



111

3. Un bloque de 750 kg es empujado hacia arriba por una pista inclinada 15º respecto de la horizontal. Los

coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 0.4 y 0.3 respectivamente. Determinar la fuerza

necesaria,

a) para iniciar la subida del bloque por la pista.

b) para mantener el bloque en movimiento con velocidad constante, una vez que este se ha iniciado.

(Tómese g=9.8 m/s2)

4. Una camioneta transporta un cajón de 20 kg. El cajón no está sujeto a la plataforma de carga, pero el

coeficiente de rozamiento estático entre el cajón y la plataforma es de 0.7, y el coeficiente dinámico

0.65.

Estudiar la dinámica del cajón sobre la plataforma, determinando la fuerza de rozamiento entre el

cajón y la plataforma y la aceleración del cajón, cuando la aceleración del camión tiene los siguientes

valores. (Tomar g=10 m/s2)

a) Está parado

b) Lleva una aceleración de 3 m/s2.

c) Lleva una aceleración de 7 m/s2.

d) Lleva una aceleración de 8 m/s2.

e) ¿Cuál es la máxima aceleración con que puede arrancar la camioneta en un semáforo sobre una calle

horizontal, de forma que el cajón no deslice hacia atrás en la plataforma?

f) Indíquese en los distintos casos la aceleración del cajón respecto del conductor del camión.



112

5. Sobre un tablero inclinado un ángulo de 30º se colocan dos cuerpos A y B, de masa 4 y 3 kg,

respectivamente. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano inclinado es 0.1, y entre el

bloque B y dicho plano 0.2.

a) ¿Cómo deslizarán los cuerpos, juntos o separados?.

b) Hállese la aceleración de cada cuerpo y la reacción en la superficie de contacto entre ambos (si la

hubiere).

c) Tómese g=10 m/s2

6. Determinar la aceleración de los bloques. El coeficiente de rozamiento entre las superficies en

contacto es μ=0.2. La polea tiene masa despreciable. Tómese g=9.8 m/s2



113

7. Un bloque de 4 kg asciende a lo largo de un plano inclinado 30º, al serle aplicada una fuerza F que hace

15º, tal como se indica en la figura. Sabiendo que el bloque, parte del reposo, en la base del plano

inclinado, y alcanza una velocidad de 6 m/s después de recorrer 10 m a lo largo del plano.

Determinar el valor de la fuerza F. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado

es 0.2, tómese g=9.8 m/s2

8. Calcular la aceleración de los cuerpos m1, m2 y m3 de la figura



114

9. Dos cuerpos A y B de masas 20 y 5 kg respectivamente, que están unidos mediante una cuerda de 1 m

de longitud, deslizan a lo largo de un plano inclinado 30º respecto de la horizontal. Ambos cuerpos

parten inicialmente del reposo, encontrándose el cuerpo B 5 m por encima de la horizontal. Sabiendo

que los coeficientes de rozamiento dinámico entre los cuerpos A y B y el plano son 0.2 y 0.4

respectivamente, calcular:

a) La aceleración de ambos cuerpos.

b) La tensión de la cuerda.

c) La velocidad con que cada cuerpo llega a la base del plano inclinado.

Tómese g=9.8 m/s2

10. Un científico explora una cueva. sigue un pasadizo de 210 m al oeste, luego desciende 4m, luego sigue

180m 45º al este del norte, luego 110m 60º al sur y tras un último desplazamiento retorna al origen.

a) Determine la longitud del último trecho;

b) Determine las componentes vectoriales del último trecho;

c) ¿Cuál es el ángulo que forma con el plano horizontal?

R/a) 39.41m; b) Componente en x:-27.72m; componente en y: 28.02m c) 134.69º



115

11. El vector A posee un módulo de 2,80 cm, y está 60º sobre el eje x en el primer cuadrante. El vector B

posee un módulo de 1.90 cm y está 60º abajo del eje x en el cuarto cuadrante. Obtenga las componentes

vectoriales de:

a) A + B;

b) A – B

R/ a) Componente en x: 0.45 cm; componente en y: 0.77 cm b) Componente en x: 2.35 cm; componente

en y: 4.07 cm

12. Una mujer camina 4 km hacia el este y después camina 8 km hacia el norte.

a) Aplique el método del polígono para hallar su desplazamiento resultante;

b) Compruebe el resultado con el método del paralelogramo.

R/ 8.94 km, 63.4º



116


Equilibrio Estático

13. Un agrimensor inicia su tarea en la esquina sudeste de una parcela y registra los siguientes

desplazamientos: A = 600 m, N; B = 400 m, O; C = 200 m, S; y D = 100 m; E.

¿Cuál es el desplazamiento neto desde el punto de partida? R/ 500 m, 126.9º

14. Dos fuerzas actúan sobre el automóvil ilustrado en la figura. La fuerza A es igual a 120 N, hacia el oeste,

y la fuerza B es igual a 200 N a 60º NO. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza resultante

sobre el automóvil? R/ 280 N, 38.2º NO.



117

15. Un avión militar vuela horizontalmente con una rapidez de 120 m/s y accidentalmente suelta una bomba

(por suerte, no armada) a una altitud de 2000m. Puede ignorarse la resistencia del aire.

a) ¿Cuánto tiempo tarda la bomba en llegar a la tierra?

b) ¿Qué distancia horizontal viaja mientras cae?

c) Obtenga las componentes horizontal y vertical de su velocidad justo antes de tocar tierra.

R/ a) 20.2 s; b) 2424 m; c) Vx = 120 m/s, Vfy =197.96 m/s

16. Una pelota que rueda cae del borde de una mesa a 1.00 m sobre el suelo y toca el piso a 2.80 m

horizontalmente desde el borde de la mesa. Puede ignorar la resistencia del aire.

a) Calcule el tiempo de vuelo.

b) Calcule la magnitud de la velocidad inicial.

c) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad de la bola justo antes de tocar el piso.

R/ a) 0.45 s; b) 6.2 m/s; Vf = 7.62 m/s, en un ángulo de 35.5º abajo de la horizontal.



118

17. Un niño hace girar a una piedra en un círculo horizontal situado a 1.9 m sobre el suelo por medio de una

cuerda de 1.4 m de longitud. La cuerda se rompe, y la piedra sale disparada horizontalmente, golpeando

el suelo a 11 m de distancia. ¿Cuál fue la aceleración centrípeta de la piedra mientras estaba en

movimiento circular? R/ 224.79 m/s2.

18. Dos esferas idénticas de masa m = 10 Kg, están colgadas con cuerdas de longitud L = 1.0 m de dos puntos

separados una distancia 1/2 * L (véase la figura). Las esferas están unidas por una cuerda de longitud

1/4 * L. Calcule la tensión en cada una de las tres cuerdas. R/ T(1) = 98.9 N en las líneas largas; T(2) =

12.36 N en la línea corta.



119

19. Un elevador y su carga tienen una masa combinada de 1600 Kg. Halle la tensión en el cable de

sustentación cuando el elevador, que originalmente se mueve hacia abajo a razón de 12 m/s, es traído al

reposo con aceleración constante en una distancia de 42 m. R/ T = 18400 N.

20. Un bloque de masa m = 2 Kg se mueve a lo largo de una superficie horizontal bajo la influencia de las

fuerzas que se muestran en la figura. Asumiendo que el coeficiente de fricción cinética entre el bloque

y la superficie es de 0.20,

a) Determine la normal sobre el bloque por la superficie;

b) Determine la magnitud de la fricción actuando sobre el bloque;

c) Encuentre la aceleración del bloque.

R/ a) 24 N; b) 4.8 N; c) 3.6 m/s2.



120

21. Una lancha tira de un esquiador por medio de una cuerda horizontal. El deportista esquía hacia un lado,

hasta que la cuerda forma un ángulo con la dirección opuesta del movimiento de θ = 15º y luego sigue en

línea recta. La tensión en la cuerda es de 160 N, ¿Cuánto trabajo realiza la cuerda sobre el esquiador

durante 250 m? R/ 38640 J.

22. Un trineo de 9 Kg se mueve en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción. En cierto punto,

su rapidez es de 4 m/s; 3 m más adelante es de 6 m/s. Calcule la fuerza que actúa sobre el trineo,

suponiendo que es constante y que actúa en dirección del movimiento, primero por Leyes de Newton y

cinemática, luego aplicando el teorema del trabajo y energía. R/ 30 N.



121

23. La figura siguiente muestra dos masas que están conectadas entre sí por medio de una cuerda ligera que

pasa sobre una polea sin fricción y sin masa. La masa de 𝑚(1) se suelta desde el reposo. Utilizando la ley

de conservación de la energía:

a) Determine la velocidad de la masa de 𝑚(2) cuando la masa de 𝑚(1) golpea el suelo;

b) Encuentre la altura máxima a la cual sube la masa 𝑚(2).

R/ a) 8.87 m/s; b) 1.25 m.

24. Un bloque de 5 Kg se pone en movimiento ascendente en un plano inclinado con una velocidad inicial de 8

m/s. El bloque se detiene después de recorrer 3 m a lo largo del plano, el cual está inclinado a un ángulo

de 30º con la horizontal. Determine:

a) El cambio de energía cinética del bloque;

b) El cambio de su energía potencial;

c) El coeficiente de fricción cinética.

R/ a) - 160 J; b) 73.5 J; c) 0.59.

cuaderno de trabajo de física 4to semestre

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