VECTORES

Nidia Acha de la Cruz

2010-1

Vectores en R2

El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio

P Q

Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto

inicial P y punto final Q

PQ

PQ =Q-P=(q1,q2)-(p1,p2))=((q1-p1)-(q2-p2))

Vectores en R2

R SP Q

S

R

La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por

PQ

Vectores de la misma magnitud

RSPQ

Vectores en R2

La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido

SRRS

Vectores de la misma dirección

S

R Q

PS

R

S

R

Vectores en direcciones distintas

P

Q

Vectores en R2

Vectores Equivalentes

Q

P

RSPQ

Tienen la misma magnitud y dirección

S

R

Definición Geométrica

Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes

Vectores en R2

OEje x

Eje y

Un vector se desplaza libremente sin cambiar su dirección ni sentido, situándose

en el origen de coordenadas

Vectores en R2

(x,y) son las coordenadas del vector a y también del punto P

a

x

y

A un vector a =(a1,a2) se le asocia el punto P (x, y) así:

P (x, y)

),()2,1( yxaaOPa

Eje Y

OEje X

Vectores en R2

u=(a,b)

Dado (a,b)2 se le asocia el vector u así:

u

a

bP(a,b)

Eje Y

OEje X

Definición algebraicaUn vector es un par ordenado de

números reales

Vectores en R2

Punto Pen el plano

(a,b)2

Vector u=OPdesde el origen hasta P

Esta correspondencia se llama:

Sistema de coordenadas rectangulares

Vectores en R2

Magnitud o módulo de un vector u

El vector nulo (0,0) no tiene dirección

Dirección de u

Angulo positivo que forma con el eje X

22 bau a

b tag

u

a

b(a,b)

Eje Y

OEje X

Un vector de módulo uno se llama unitario

Vectores en R2

Operaciones con vectores

Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en elplano y un número real. Se define elvector:

suma u+v como

u+v= (x+a, y+b)

producto por un escalar u como

u=(x, y).

Vectores en R2

Operaciones con vectores

Si u=(x,y), v=(a,b), pruebe gráficamente que u+v=(x+a,y+b)

Eje Y

OEje X

u+ vu

v

Vectores en R2

Operaciones con vectores

u+v=(x+a,y+b)

a

y

O

Eje Y

Eje X

u+ vu

v

a x

y

b b

bx

x

Vectores en R2

Operaciones con vectores

Si u=(x,y), pruebe gráficamente que u=(x, y)

Eje Y

OEje X

u

u

>0

u<0

Vectores en R2

Operaciones con vectores

u=(x, y)

u

u

O

Eje Y

Eje Xx

y

Triángulos semejantes

y

¿

x

?

u

u

y

x

?

¿

Vectores en R2

Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes

coordenados

Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j

Eje Y

O Eje X

u

x

y

i

j xi

yj

Vectores en R2

Producto escalar

Primero se define en los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) como i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

ybxavu

jybjiyajjxbiixaivu

bjaiv

yjxiu

.

.....

Vectores en R2

Se define el producto interior o productoescalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b)como:

u.v=(x, y).(a, y)=ax+by

Se define el ángulo entredos vectores u y v comoel ángulo no negativomas pequeño entre u y v.

Producto escalar

u

v

Vectores en R2

Dos vectores sonparalelos si elángulo entre elloses 0 o .

Dos vectores son ortogonales siforman un ángulo de /2

Producto escalar

Eje X

Eje Y

Vectores en R2

Propiedades del producto escalar

Teorema: Sean u, v vectores en 2 y un

número real, entonces:

u.0 = 0 u.v = v.u (propiedad conmutativa) (u).v = (u.v) = u.( v) u.(v+w) = u.v + u.w (propiedad distributiva)

2uu.u

Vectores en R2

Interpretacióngeométrica:

Teorema:

Sean u y v vectores no nulos y el ánguloentre ellos, entonces cosvuv.u

v

u

ucos

w=v

v

v.u2