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VECTORES EN EL PLANO
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VECTORES EN EL PLANO
ยฟQuรฉ es un vector?
Un vector es un segmento orientado. Se representa por ๐ด๐ต#####โ . El punto A es el origen y el punto B es el extremo.
Caracterรญsticas de un vector
โข El modulo es la longitud y se representa por %๐ด๐ต#####โ % โข La direcciรณn es la direcciรณn de la recta que lo contiene. โข El sentido es el que va del origen al extremo.
Equipolencia de vectores
Dos vectores son equipolentes si tienen la misma direcciรณn, el mismo modulo y el mismo sentido.
Operaciones con vectores
Suma de vectores
El vector suma es el resultado de unir el origen de un vector con los extremos del otro.
Tambiรฉn podemos coger los vectores de manera que ambos tengan el mismo origen, en este caso, el vector es la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores.
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Producto de un numero real por un vector
Dado un vector no nulo y un numero real no nulo, que lo llamaremos ๐, se llama producto del numero real ๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐ข#โ al vector que tiene:
โข Modulo โ |๐||๐ข#โ | โข Direcciรณn โLa direcciรณn del vector ๐ข#โ โข Sentido โ El mismo que ๐ข#โ si ๐ > 0 y el opuesto de ๐ข#โ si ๐ < 0
Propiedades
1. ๐ โ (๐ข#โ + ๏ฟฝโ๏ฟฝ) = ๐ โ ๐ข#โ + ๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ 2. (๐! + ๐")๐ข#โ = ๐!๐ข#โ + ๐"๐ข#โ 3. (๐! โ ๐")๐ข#โ = ๐! โ (๐" โ ๐ข#โ ) 4. 1 โ ๐ข#โ = ๐ข#โ 5. โ1 โ ๐ข#โ = โ๐ข#โ โ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐
6. 0 โ ๐ข#โ = 0#โ โ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐ข๐๐
Combinaciรณn lineal de un vector y base de un vector
Decimos que el vector ๐ข#โ es combinaciรณn lineal del vector ๏ฟฝโ๏ฟฝsi existe un escalar ๐ donde:
๐ข#โ = ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ
Tambiรฉn se dice que ๐ข#โ ๐ฆ๏ฟฝโ๏ฟฝ son dependientes o proporcionales.
Si no existe ๐ se dice que los vectores son independientes.
Ejercicio:
Comprobar que el vector ๐ข#โ (3,9) es combinaciรณn lineal del vector ๏ฟฝโ๏ฟฝ(1,3)
(3,9) = ๐(1,3)
(3,9) = (๐, 3๐) โ C 3 = ๐9 = 3๐ โ ๐ = 3
Como obtenemos el mismo valor, el vector ๐ข#โ ๐๐ combinaciรณn lineal de ๏ฟฝโ๏ฟฝ
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Ejercicio:
Comprobar que el vector ๐ข#โ (2,3) es combinaciรณn lineal del vector ๏ฟฝโ๏ฟฝ(โ1,5)
(2,3) = ๐(โ1,5)
F2 = โ๐3 = 5๐ โ F
๐ = โ2
๐ =35
Como los valores son distintos, no existe combinaciรณn lineal entre los vectores.
Dependencia de vectores
Un vector ๐ค##โ depende linelamente de los vecotres ๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ฆ๐ข#โ si puede expresarse como:
๐ค##โ = ๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๐ โ ๐ข#โ
Se dice tambiรฉn que ๐ค##โ es una combinaciรณn lineal de los vectores ๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ฆ๐ข#โ
Ejercicio:
Comprobar que el vector ๐ค##โ (4,7) es combinaciรณn lineal del vector ๏ฟฝโ๏ฟฝ(2,1)๐ฆ๐ข#โ (0,5)
(4,7) = ๐ โ (2,1) + ๐ โ (0,5)
(4,7) = (2๐, ๐) + (0,5๐) โ C 4 = 2๐7 = ๐ + 5๐ โ ๐ = 2
๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข๐๐ = 2 โ ๐ = 1
Relaciรณn de dependencia geomรฉtrica y analรญtica
๐๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐บ๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ด๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ผ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ถ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
Ejercicio:
De los tres vectores, di que parejas son dependientes y cuales son independientes
๐ข#โ = (10,5);๏ฟฝโ๏ฟฝ = (2,โ3);๐ค##โ = (โ2,โ1)
๐ข#โ = ๐๏ฟฝโ๏ฟฝ; ๐ข#โ = ๐๐ค##โ ; ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐๐ค##โ
(10,5) = ๐(2,โ3); (10,5) = ๐(โ2,โ1); (2, โ3) = ๐(โ2,โ1)
๐๐๐๐ฅ๐๐ ๐ก๐๐; ๐ = โ5; ๐๐๐๐ฅ๐๐ ๐ก๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ; ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ; ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
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Base canรณnica. Coordenadas de un vector
Se llama base del conjunto de los vectores del plano a dos vectores cualesquiera ๐ข#โ ๐ฆ๏ฟฝโ๏ฟฝ donde:
โข ๐ข#โ ๐ฆ๏ฟฝโ๏ฟฝ tiene distintas direcciones (independientes) โข Cualquier vector del plano se puede expresar como combinaciรณn lineal de los vectores
de la base de forma รบnica.
Ejercicio:
ยฟCuales de los siguientes pares de vectores forman una base?
๐ข#โ = (2,1)๐ฆ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (โ1,3); ๐ข#โ = (4,3)๐ฆ๏ฟฝโ๏ฟฝ = Y43, 1Z
(2,1) = ๐(โ1,3) โ โโ ๐น๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
(4,3) = ๐ Y43, 1Z โ ๐ = 3 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
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Operaciones de vectores con coordenadas
Dado el vector ๐ค##โ y una base, llamamos a las coordenadas de ๐ค##โ respecto a la base al par ordenado (๐, ๐)que verifica:
๐ค##โ = ๐ โ ๐ข#โ + ๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ
Te muestro algunos ejemplos para que lo entiendas mejor:
โข Dados los vectores de la figura, exprรฉsalos como combinaciรณn lineal de la base ๐ต = {๐ข#โ , ๏ฟฝโ๏ฟฝ}y de sus coordenadas.
โข Dados los vectores de la figura, exprรฉsalos como combinaciรณn lineal de la base
๐ต = {๐ข#โ , ๏ฟฝโ๏ฟฝ}y de sus coordenadas.
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Modulo y argumento de un vector
Si tenemos un vector ๏ฟฝโ๏ฟฝ en una base cualquiera, cuyas coordenadas son (๐, ๐) llamamos modulo del vector ๏ฟฝโ๏ฟฝ al nรบmero real positivo:
|๏ฟฝโ๏ฟฝ| = `๐" + ๐"
โ ๐๐๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ข๐๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐๐ก๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ฃ๐๐๐ก๐๐
Las coordenadas del vector ๐ค##โ en la base ๐ต = (๐ข, ๐ฃ)๐ ๐๐(3,2)
El modulo del vector ๐ค##โ es: |๐ค##โ | = `(3)" + (2)" = โ13
Vector unitario
Un vector es unitario si su modulo es 1, es decir, |๏ฟฝโ๏ฟฝ| = 1
Vectores ortogonales
Dados los vectores ๐ข#โ ๐ฆ๐ฃ se dice que son ortogonales cuando ๐ข#โ ๐ฆ๏ฟฝโ๏ฟฝ sean perpendiculares, es decir, formen un รกngulo de noventa grados.
Base del conjunto de vectores del plano
Dada una base ๐ต = {๐ข, ๐ฃ} se dice que:
โข B es una base ortogonal si los vectores son ortogonales (perpendiculares) โข B es una base normal si los vectores son unitarios โข B es una base ortonormal si los vectores son unitarios y ortogonales
Base canรณnica
La base canรณnica es una base tambiรฉn llamada ortonormal donde los vectores que la forman son:
๐ต#$%รณ%'#$ = {(1,0), (0,1)}
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Puntos y vectores
Suma de vectores
La suma de dos vectores ๐ข#โ ๐ฆ๐ฃ se define como:
๐ข#โ + ๐ฃ = (๐ฅ!, ๐ฆ!) + (๐ฅ", ๐ฆ") = (๐ฅ! + ๐ฅ", ๐ฆ! + ๐ฆ")
La diferencia de dos vectores se define como:
๐ข#โ โ ๐ฃ = (๐ฅ!, ๐ฆ!) โ (๐ฅ", ๐ฆ") = (๐ฅ! โ ๐ฅ", ๐ฆ! โ ๐ฆ")
Lo que tenemos representado en el grรกfico, de forma analรญtica seria:
๐ข#โ = (4,2)๐ฆ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (1,3)
๐ข#โ + ๐ฃ = (4,2) + (1,3)
= (4 + 1,2 + 3) = (5,5)
๐ข#โ โ ๐ฃ = (4,2) โ (1,3)
= (4 โ 1,2 โ 3) = (3,โ1)
Producto de un numero real por un vector
El producto entre un numero real y un vector se define como:
๐ โ ๐ข#โ = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = (๐๐ฅ, ๐๐ฆ)
Dado el vector ๐ข#โ = (2,2) tenemos que hallar el vector ("๐ข#โ
52(2,2) = Y
102,102 Z
= (5,5)
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Ejercicio:
Dados los siguientes vectores:
๐ข#โ = (1,1)๏ฟฝโ๏ฟฝ = (โ1,2); ๐ค##โ = (3,1)
Calcular:
๐ข#โ + ๏ฟฝโ๏ฟฝ; โ๐ค##โ + 2๏ฟฝโ๏ฟฝ; 3๏ฟฝโ๏ฟฝ; 2(๐ข#โ + ๐ค##โ ) โ 4๐ฃ
๐ข#โ + ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (1,1) + (โ1,2) = (1 โ 1,1 + 2) = (0,3)
โ๐ค##โ + 2๐ฃ = โ(3,1) + 2(โ1,2) = (โ3,โ1) + (โ2,4) = (โ5,3)
3๏ฟฝโ๏ฟฝ = 3(โ1,2) = (โ3,6)
2(๐ข#โ + ๐ค##โ ) โ 4๏ฟฝโ๏ฟฝ = 2[(1,1) + (3,1)] โ 4(โ1,2) = 2(4,2) โ (โ4,8) = (8,4) โ (โ4,8)= (12,โ4)
Modulo y argumento de un vector
El modulo de un vector es su longitud. Para calcularlo se aplica el teorema de Pitรกgoras:
๐ข#โ (๐ฅ, ๐ฆ) = `๐ฅ" + ๐ฆ"
El argumento de un vector es el รกngulo que forma el vector con el eje OX. Para calcularlo se aplica la definiciรณn de tangente:
tanฮฑ =๐ฆ๐ฅโ๐ผ = ๐๐๐๐ก๐๐
๐ฆ๐ฅ
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Ejercicio:
Calcula el modulo y el argumento de los siguientes vectores
๐ข#โ = (1,1)๏ฟฝโ๏ฟฝ = (โ1,2); ๐ค##โ = (3,1); ๐ก = (โ1,3)
|๐ข#โ | = `1" + 1" = โ2
๐ผ = arctan11โ๐ผ = arctan 1 โ ๐ผ = 45
|๏ฟฝโ๏ฟฝ| = `(โ1)" + 2" = โ5
๐ผ = arctan2โ1
โ๐ผ = arctanโ2 โ ๐ผ = โ63,43
|๐ค##โ | = `3" + 1" = โ10
๐ผ = arctan13โ๐ผ = 18,43
%๐ก% = `(โ1)" + 3" = โ10
๐ผ = arctan3โ1
โ๐ผ = arctanโ3 โ ๐ผ = โ71,56
Vector unitario
Un vector es unitario si su modulo es 1, es decir, |๐ข#โ | = 1
Para cualquier vector existe un vector unitario en la misma direcciรณn y sentido del vector inicial cuyas coordenadas son:
๐ฃ = m๐ฅ
`๐ฅ" + ๐ฆ",
๐ฆ`๐ฅ" + ๐ฆ"
n
Ejercicio:
Calcula un vector unitario en la misma direcciรณn y sentido que los siguientes:
๏ฟฝโ๏ฟฝ = (โ1,2); ๐ค##โ = (3,1); ๐ก = (โ1,3)
|๏ฟฝโ๏ฟฝ| = `(โ1)" + 2" = โ5 โ ๐ฃ)%'*$+', =๏ฟฝโ๏ฟฝ|๏ฟฝโ๏ฟฝ|
โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ)%'*$+', = Yโ1โ5
,2โ5Z
|๐ค##โ | = `3" + 1" = โ10 โ ๐ค##โ )%'*$+', =๐ค##โ|๐ค##โ |
โ ๐ค##โ )%'*$+', = Y3โ10
,1โ10
Z
%๐ก% = `(โ1)" + 3" = โ10 โ ๐ก)%'*$+', =๐ก%๐ก%โ ๐ก)%'*$+', = Y
โ1โ10
,3โ10
Z
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Puntos y vectores
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos, como hemos visto anteriormente, es el modulo del vector que forman los puntos:
|๐ฃ| = %๐ด๐ต#####โ % = `๐" + ๐"
Ejercicio:
Si las coordenadas de los puntos son ๐ด = (4,2)๐ฆ๐ต(2,5). Halla las coordenadas del vector ๐ด๐ต#####โ y la distancia entre los puntos A y B
๐ด๐ต#####โ = ๐ต โ ๐ด = (2,5) โ (4,2) = (โ2,3)
%๐ด๐ต#####โ % = `(โ2)" + 3" = โ13
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Ejercicio:
Si las coordenadas del vector ๐ด๐ต#####โ ๐ ๐๐(2,5) y las del extremo ๐ต(3,โ2) halla las coordenadas del origen A.
๐ด๐ต#####โ = ๐ต โ ๐ด โ (2,5) = (3,โ2) โ (๐ฅ, ๐ฆ) โ
โ (2,5) โ (3,โ2) = โ(๐ฅ, ๐ฆ) โ
(โ1,7) = โ(๐ฅ, ๐ฆ)
(1, โ7) = (๐ฅ, ๐ฆ)
Ejercicio:
Dados los puntos ๐ด(5,5); ๐ต(2,4); ๐ถ(4, โ2) halla las coordenadas del punto D para que el cuadrilรกtero ABCD sea un paralelogramo
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Punto medio de un segmento
M es el punto medio del segmento AB que verifica ๐ด๐######โ = !"๐ด๐ต#####โ
p๐ด(๐ฅ!, ๐ฆ!)๐ต(๐ฅ", ๐ฆ")
โ ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ Y๐ฅ! + ๐ฅ"2
,๐ฆ! + ๐ฆ"2 Z โ q
๐ฅ =๐ฅ! + ๐ฅ"2
๐ฆ =๐ฆ! + ๐ฆ"2
De esta misma ecuaciรณn se puede deducir el calculo del punto simรฉtrico respecto de otro.
p๐ฅ! = 2๐- โ ๐ฅ"๐ฆ! = 2๐. โ ๐ฆ"
Ejercicio:
Dados los puntos ๐ด(โ5,1)๐ฆ๐ต(1,3) , calcula el punto medio del segmento AB
p๐ด(โ5,1)๐ต(1,3) โ ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ Y
โ5 + 12
,1 + 32 Z โ q
๐ฅ =โ42= โ2
๐ฆ =42 = 2
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Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores ๐ข###โ ๐ฆ๏ฟฝโ๏ฟฝ se designa por ๐ข#โ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ y es un numero real que se define como:
๐ข#โ = (๐, ๐); ๏ฟฝโ๏ฟฝ = (๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐ข#โ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐ โ ๐ฅ + ๐ โ ๐ฆ
๐ข#โ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = |๐ข#โ | โ |๏ฟฝโ๏ฟฝ| โ cos ๐ผ โ๐ โ ๐ฅ + ๐ โ ๐ฆ = |๐ข#โ | โ |๏ฟฝโ๏ฟฝ| โ cos ๐ผ
๐ผ โ ๐ธ๐ ๐๐รก๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐ .
Cuando el resultado del producto escalar es cero, esto quiere decir que los vectores son perpendiculares:
๐ข#โ โฅ ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ข#โ โ ๐ฃ = 0
Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar de un vector por si mismo es un numero positivo o nulo: ๐ข#โ โ ๐ข#โ = |๐ข#โ |" โฅ 0
2. El producto escalar es conmutativo:
๐ข#โ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๏ฟฝโ๏ฟฝ โ ๐ข#โ
3. El producto escalar es asociativo ๐(๐ข#โ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ) = (๐๐ข#โ ) โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ = ๐ข#โ โ (๐๐ฃ)
4. El producto escalar es distributivo ๐ข#โ โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๐ค##โ ) = ๐ข#โ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ + ๐ข#โ โ ๐ค##โ
El producto escalar y la proyecciรณn de vectores
El producto escalar de dos vectores es igual al modulo de uno de ellos por la proyecciรณn del otro sobre el:
๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข#โ ๐ ๐๐๐๐๏ฟฝโ๏ฟฝ:๐๐๐๐ฆ/0โ (๐ข#โ ) โ ๐๐๐๐ฆ/0โ (๐ข#โ ) =๐ข#โ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ|๐ฃ|
๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ ๐๐๐๐๐ข#โ :๐๐๐๐ฆ)00โ (๐ฃ) โ ๐๐๐๐ฆ)00โ (๏ฟฝโ๏ฟฝ) =๐ข#โ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ|๐ข#โ |
Ejercicio:
Dados los vectores ๐ข#โ (3,1)๐ฆ๏ฟฝโ๏ฟฝ(2, โ1).
Calcular la ๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ข#โ ๐ ๐๐๐๐๏ฟฝโ๏ฟฝ; ๐๐๐๐ฆ๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ ๐๐๐๐๐ข#โ
๐๐๐๐ฆ/0โ (๐ข#โ ) =๐ข#โ โ ๐ฃ|๏ฟฝโ๏ฟฝ|
3 โ 2 + 1 โ (โ1)`2" + (โ1)"
=5โ5
= โ5
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รngulo entre dos vectores
cos ๐ผ =๐ข#โ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ|๐ข#โ | โ |๐ฃ|
=๐ โ ๐ฅ + ๐ โ ๐ฆ
`๐ฅ" + ๐ฆ" โ โ๐" + ๐"
Vector ortogonal a otro
La propiedad fundamental del producto escalar nos permite encontrar las coordenadas de un vector perpendicular a otro:
Un vector ortogonal a (๐, ๐) es (โ๐, ๐)
Estos dos vectores son ortogonales, es decir, forman un รกngulo de noventa grados ya que;
(๐, ๐) โ (โ๐, ๐) = โ๐๐ + ๐๐ = 0
Ejercicio:
Encuentra un vector que sea unitario y ortogonal (perpendicular) a ๐ข#โ (4,3)
๏ฟฝโ๏ฟฝ = (๐ฅ, ๐ฆ)
๐ข#โ โ ๐ฃ = 0 โ (4,3) โ (๐ฅ, ๐ฆ) = 0 โ 4๐ฅ + 3๐ฆ = 0
`๐ฅ" + ๐ฆ" = 1
ยก ๐๐๐๐๐๐๐๐กรบ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐!
Ejercicio:
Encuentra un vector de modulo 2 y ortogonal a ๐ข#โ (2,1)
ยก ๐๐ ๐๐ธ๐ต๐ด๐๐!
Ejercicio:
Calcula el รกngulo que forman los vectores ๐ข#โ (4,2) y ๏ฟฝโ๏ฟฝ(โ3,3)
ยก ๐๐ ๐๐ธ๐ต๐ด๐๐! ๐ด๐๐ฟ๐ผ๐ถ๐ด๐ฟ๐ด๐นร๐ ๐๐๐ฟ๐ด๐ท๐ผ๐ ๐ธ๐ถ๐๐ด๐๐ธ๐๐๐ธ
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