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VECTORES EN EL PLANO
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VECTORES EN EL PLANO
ΒΏQuΓ© es un vector?
Un vector es un segmento orientado. Se representa por π΄π΅#####β . El punto A es el origen y el punto B es el extremo.
CaracterΓsticas de un vector
β’ El modulo es la longitud y se representa por %π΄π΅#####β % β’ La direcciΓ³n es la direcciΓ³n de la recta que lo contiene. β’ El sentido es el que va del origen al extremo.
Equipolencia de vectores
Dos vectores son equipolentes si tienen la misma direcciΓ³n, el mismo modulo y el mismo sentido.
Operaciones con vectores
Suma de vectores
El vector suma es el resultado de unir el origen de un vector con los extremos del otro.
TambiΓ©n podemos coger los vectores de manera que ambos tengan el mismo origen, en este caso, el vector es la diagonal del paralelogramo formado por los dos vectores.
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Producto de un numero real por un vector
Dado un vector no nulo y un numero real no nulo, que lo llamaremos π, se llama producto del numero real πππππππ£πππ‘πππ’#β al vector que tiene:
β’ Modulo β |π||π’#β | β’ DirecciΓ³n βLa direcciΓ³n del vector π’#β β’ Sentido β El mismo que π’#β si π > 0 y el opuesto de π’#β si π < 0
Propiedades
1. π β (π’#β + οΏ½βοΏ½) = π β π’#β + π β οΏ½βοΏ½ 2. (π! + π")π’#β = π!π’#β + π"π’#β 3. (π! β π")π’#β = π! β (π" β π’#β ) 4. 1 β π’#β = π’#β 5. β1 β π’#β = βπ’#β β π£πππ‘πππππ’ππ π‘π
6. 0 β π’#β = 0#β β π£πππ‘ππππ’ππ
CombinaciΓ³n lineal de un vector y base de un vector
Decimos que el vector π’#β es combinaciΓ³n lineal del vector οΏ½βοΏ½si existe un escalar π donde:
π’#β = ποΏ½βοΏ½
TambiΓ©n se dice que π’#β π¦οΏ½βοΏ½ son dependientes o proporcionales.
Si no existe π se dice que los vectores son independientes.
Ejercicio:
Comprobar que el vector π’#β (3,9) es combinaciΓ³n lineal del vector οΏ½βοΏ½(1,3)
(3,9) = π(1,3)
(3,9) = (π, 3π) β C 3 = π9 = 3π β π = 3
Como obtenemos el mismo valor, el vector π’#β ππ combinaciΓ³n lineal de οΏ½βοΏ½
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Ejercicio:
Comprobar que el vector π’#β (2,3) es combinaciΓ³n lineal del vector οΏ½βοΏ½(β1,5)
(2,3) = π(β1,5)
F2 = βπ3 = 5π β F
π = β2
π =35
Como los valores son distintos, no existe combinaciΓ³n lineal entre los vectores.
Dependencia de vectores
Un vector π€##β depende linelamente de los vecotres οΏ½βοΏ½π¦π’#β si puede expresarse como:
π€##β = π β οΏ½βοΏ½ + π β π’#β
Se dice tambiΓ©n que π€##β es una combinaciΓ³n lineal de los vectores οΏ½βοΏ½π¦π’#β
Ejercicio:
Comprobar que el vector π€##β (4,7) es combinaciΓ³n lineal del vector οΏ½βοΏ½(2,1)π¦π’#β (0,5)
(4,7) = π β (2,1) + π β (0,5)
(4,7) = (2π, π) + (0,5π) β C 4 = 2π7 = π + 5π β π = 2
π ππππππππππ’ππ = 2 β π = 1
RelaciΓ³n de dependencia geomΓ©trica y analΓtica
ππππ‘ππππ πΊπππππ‘ππππππππ‘π π΄πππππ‘πππππππ‘π π·πππππππππ‘ππ πππππππππ πΆππππππππππ ππππππππππππππ πΌπππππππππππ‘ππ πππππππππππ πΆππππππππππ ππππππππππππππππ
Ejercicio:
De los tres vectores, di que parejas son dependientes y cuales son independientes
π’#β = (10,5);οΏ½βοΏ½ = (2,β3);π€##β = (β2,β1)
π’#β = ποΏ½βοΏ½; π’#β = ππ€##β ; οΏ½βοΏ½ = ππ€##β
(10,5) = π(2,β3); (10,5) = π(β2,β1); (2, β3) = π(β2,β1)
ππππ₯ππ π‘ππ; π = β5; ππππ₯ππ π‘ππ
πππππππππππ ; πππππππππ ; πππππππππππ
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Base canΓ³nica. Coordenadas de un vector
Se llama base del conjunto de los vectores del plano a dos vectores cualesquiera π’#β π¦οΏ½βοΏ½ donde:
β’ π’#β π¦οΏ½βοΏ½ tiene distintas direcciones (independientes) β’ Cualquier vector del plano se puede expresar como combinaciΓ³n lineal de los vectores
de la base de forma ΓΊnica.
Ejercicio:
ΒΏCuales de los siguientes pares de vectores forman una base?
π’#β = (2,1)π¦οΏ½βοΏ½ = (β1,3); π’#β = (4,3)π¦οΏ½βοΏ½ = Y43, 1Z
(2,1) = π(β1,3) β ββ πΉππππππππ π
(4,3) = π Y43, 1Z β π = 3 β πππππππππππ π
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Operaciones de vectores con coordenadas
Dado el vector π€##β y una base, llamamos a las coordenadas de π€##β respecto a la base al par ordenado (π, π)que verifica:
π€##β = π β π’#β + π β οΏ½βοΏ½
Te muestro algunos ejemplos para que lo entiendas mejor:
β’ Dados los vectores de la figura, exprΓ©salos como combinaciΓ³n lineal de la base π΅ = {π’#β , οΏ½βοΏ½}y de sus coordenadas.
β’ Dados los vectores de la figura, exprΓ©salos como combinaciΓ³n lineal de la base
π΅ = {π’#β , οΏ½βοΏ½}y de sus coordenadas.
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Modulo y argumento de un vector
Si tenemos un vector οΏ½βοΏ½ en una base cualquiera, cuyas coordenadas son (π, π) llamamos modulo del vector οΏ½βοΏ½ al nΓΊmero real positivo:
|οΏ½βοΏ½| = `π" + π"
β ππππππ’πππππ’ππ£πππ‘πππ‘ππππππππ πππππ π‘ππππππππ‘πππππ ππ’ππ‘ππ ππ’ππππππππππ£πππ‘ππ
Las coordenadas del vector π€##β en la base π΅ = (π’, π£)π ππ(3,2)
El modulo del vector π€##β es: |π€##β | = `(3)" + (2)" = β13
Vector unitario
Un vector es unitario si su modulo es 1, es decir, |οΏ½βοΏ½| = 1
Vectores ortogonales
Dados los vectores π’#β π¦π£ se dice que son ortogonales cuando π’#β π¦οΏ½βοΏ½ sean perpendiculares, es decir, formen un Γ‘ngulo de noventa grados.
Base del conjunto de vectores del plano
Dada una base π΅ = {π’, π£} se dice que:
β’ B es una base ortogonal si los vectores son ortogonales (perpendiculares) β’ B es una base normal si los vectores son unitarios β’ B es una base ortonormal si los vectores son unitarios y ortogonales
Base canΓ³nica
La base canΓ³nica es una base tambiΓ©n llamada ortonormal donde los vectores que la forman son:
π΅#$%Γ³%'#$ = {(1,0), (0,1)}
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Puntos y vectores
Suma de vectores
La suma de dos vectores π’#β π¦π£ se define como:
π’#β + π£ = (π₯!, π¦!) + (π₯", π¦") = (π₯! + π₯", π¦! + π¦")
La diferencia de dos vectores se define como:
π’#β β π£ = (π₯!, π¦!) β (π₯", π¦") = (π₯! β π₯", π¦! β π¦")
Lo que tenemos representado en el grΓ‘fico, de forma analΓtica seria:
π’#β = (4,2)π¦οΏ½βοΏ½ = (1,3)
π’#β + π£ = (4,2) + (1,3)
= (4 + 1,2 + 3) = (5,5)
π’#β β π£ = (4,2) β (1,3)
= (4 β 1,2 β 3) = (3,β1)
Producto de un numero real por un vector
El producto entre un numero real y un vector se define como:
π β π’#β = π(π₯, π¦) = (ππ₯, ππ¦)
Dado el vector π’#β = (2,2) tenemos que hallar el vector ("π’#β
52(2,2) = Y
102,102 Z
= (5,5)
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Ejercicio:
Dados los siguientes vectores:
π’#β = (1,1)οΏ½βοΏ½ = (β1,2); π€##β = (3,1)
Calcular:
π’#β + οΏ½βοΏ½; βπ€##β + 2οΏ½βοΏ½; 3οΏ½βοΏ½; 2(π’#β + π€##β ) β 4π£
π’#β + οΏ½βοΏ½ = (1,1) + (β1,2) = (1 β 1,1 + 2) = (0,3)
βπ€##β + 2π£ = β(3,1) + 2(β1,2) = (β3,β1) + (β2,4) = (β5,3)
3οΏ½βοΏ½ = 3(β1,2) = (β3,6)
2(π’#β + π€##β ) β 4οΏ½βοΏ½ = 2[(1,1) + (3,1)] β 4(β1,2) = 2(4,2) β (β4,8) = (8,4) β (β4,8)= (12,β4)
Modulo y argumento de un vector
El modulo de un vector es su longitud. Para calcularlo se aplica el teorema de PitΓ‘goras:
π’#β (π₯, π¦) = `π₯" + π¦"
El argumento de un vector es el Γ‘ngulo que forma el vector con el eje OX. Para calcularlo se aplica la definiciΓ³n de tangente:
tanΞ± =π¦π₯βπΌ = ππππ‘ππ
π¦π₯
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Ejercicio:
Calcula el modulo y el argumento de los siguientes vectores
π’#β = (1,1)οΏ½βοΏ½ = (β1,2); π€##β = (3,1); π‘ = (β1,3)
|π’#β | = `1" + 1" = β2
πΌ = arctan11βπΌ = arctan 1 β πΌ = 45
|οΏ½βοΏ½| = `(β1)" + 2" = β5
πΌ = arctan2β1
βπΌ = arctanβ2 β πΌ = β63,43
|π€##β | = `3" + 1" = β10
πΌ = arctan13βπΌ = 18,43
%π‘% = `(β1)" + 3" = β10
πΌ = arctan3β1
βπΌ = arctanβ3 β πΌ = β71,56
Vector unitario
Un vector es unitario si su modulo es 1, es decir, |π’#β | = 1
Para cualquier vector existe un vector unitario en la misma direcciΓ³n y sentido del vector inicial cuyas coordenadas son:
π£ = mπ₯
`π₯" + π¦",
π¦`π₯" + π¦"
n
Ejercicio:
Calcula un vector unitario en la misma direcciΓ³n y sentido que los siguientes:
οΏ½βοΏ½ = (β1,2); π€##β = (3,1); π‘ = (β1,3)
|οΏ½βοΏ½| = `(β1)" + 2" = β5 β π£)%'*$+', =οΏ½βοΏ½|οΏ½βοΏ½|
β οΏ½βοΏ½)%'*$+', = Yβ1β5
,2β5Z
|π€##β | = `3" + 1" = β10 β π€##β )%'*$+', =π€##β|π€##β |
β π€##β )%'*$+', = Y3β10
,1β10
Z
%π‘% = `(β1)" + 3" = β10 β π‘)%'*$+', =π‘%π‘%β π‘)%'*$+', = Y
β1β10
,3β10
Z
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Puntos y vectores
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos, como hemos visto anteriormente, es el modulo del vector que forman los puntos:
|π£| = %π΄π΅#####β % = `π" + π"
Ejercicio:
Si las coordenadas de los puntos son π΄ = (4,2)π¦π΅(2,5). Halla las coordenadas del vector π΄π΅#####β y la distancia entre los puntos A y B
π΄π΅#####β = π΅ β π΄ = (2,5) β (4,2) = (β2,3)
%π΄π΅#####β % = `(β2)" + 3" = β13
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Ejercicio:
Si las coordenadas del vector π΄π΅#####β π ππ(2,5) y las del extremo π΅(3,β2) halla las coordenadas del origen A.
π΄π΅#####β = π΅ β π΄ β (2,5) = (3,β2) β (π₯, π¦) β
β (2,5) β (3,β2) = β(π₯, π¦) β
(β1,7) = β(π₯, π¦)
(1, β7) = (π₯, π¦)
Ejercicio:
Dados los puntos π΄(5,5); π΅(2,4); πΆ(4, β2) halla las coordenadas del punto D para que el cuadrilΓ‘tero ABCD sea un paralelogramo
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Punto medio de un segmento
M es el punto medio del segmento AB que verifica π΄π######β = !"π΄π΅#####β
pπ΄(π₯!, π¦!)π΅(π₯", π¦")
β π(π₯, π¦) = π Yπ₯! + π₯"2
,π¦! + π¦"2 Z β q
π₯ =π₯! + π₯"2
π¦ =π¦! + π¦"2
De esta misma ecuaciΓ³n se puede deducir el calculo del punto simΓ©trico respecto de otro.
pπ₯! = 2π- β π₯"π¦! = 2π. β π¦"
Ejercicio:
Dados los puntos π΄(β5,1)π¦π΅(1,3) , calcula el punto medio del segmento AB
pπ΄(β5,1)π΅(1,3) β π(π₯, π¦) = π Y
β5 + 12
,1 + 32 Z β q
π₯ =β42= β2
π¦ =42 = 2
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Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores π’###β π¦οΏ½βοΏ½ se designa por π’#β β οΏ½βοΏ½ y es un numero real que se define como:
π’#β = (π, π); οΏ½βοΏ½ = (π₯, π¦) β π’#β β οΏ½βοΏ½ = π β π₯ + π β π¦
π’#β β οΏ½βοΏ½ = |π’#β | β |οΏ½βοΏ½| β cos πΌ βπ β π₯ + π β π¦ = |π’#β | β |οΏ½βοΏ½| β cos πΌ
πΌ β πΈπ ππΓ‘πππ’πππππππππππππππ πππ π£πππ‘ππππ .
Cuando el resultado del producto escalar es cero, esto quiere decir que los vectores son perpendiculares:
π’#β β₯ οΏ½βοΏ½ β π’#β β π£ = 0
Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar de un vector por si mismo es un numero positivo o nulo: π’#β β π’#β = |π’#β |" β₯ 0
2. El producto escalar es conmutativo:
π’#β β οΏ½βοΏ½ = οΏ½βοΏ½ β π’#β
3. El producto escalar es asociativo π(π’#β β οΏ½βοΏ½) = (ππ’#β ) β οΏ½βοΏ½ = π’#β β (ππ£)
4. El producto escalar es distributivo π’#β β (οΏ½βοΏ½ + π€##β ) = π’#β β οΏ½βοΏ½ + π’#β β π€##β
El producto escalar y la proyecciΓ³n de vectores
El producto escalar de dos vectores es igual al modulo de uno de ellos por la proyecciΓ³n del otro sobre el:
ππππ¦πππππππππ’#β π πππποΏ½βοΏ½:ππππ¦/0β (π’#β ) β ππππ¦/0β (π’#β ) =π’#β β οΏ½βοΏ½|π£|
ππππ¦πππππππποΏ½βοΏ½π πππππ’#β :ππππ¦)00β (π£) β ππππ¦)00β (οΏ½βοΏ½) =π’#β β οΏ½βοΏ½|π’#β |
Ejercicio:
Dados los vectores π’#β (3,1)π¦οΏ½βοΏ½(2, β1).
Calcular la ππππ¦πππππππππ’#β π πππποΏ½βοΏ½; ππππ¦πππππππποΏ½βοΏ½π πππππ’#β
ππππ¦/0β (π’#β ) =π’#β β π£|οΏ½βοΏ½|
3 β 2 + 1 β (β1)`2" + (β1)"
=5β5
= β5
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Γngulo entre dos vectores
cos πΌ =π’#β β οΏ½βοΏ½|π’#β | β |π£|
=π β π₯ + π β π¦
`π₯" + π¦" β βπ" + π"
Vector ortogonal a otro
La propiedad fundamental del producto escalar nos permite encontrar las coordenadas de un vector perpendicular a otro:
Un vector ortogonal a (π, π) es (βπ, π)
Estos dos vectores son ortogonales, es decir, forman un Γ‘ngulo de noventa grados ya que;
(π, π) β (βπ, π) = βππ + ππ = 0
Ejercicio:
Encuentra un vector que sea unitario y ortogonal (perpendicular) a π’#β (4,3)
οΏ½βοΏ½ = (π₯, π¦)
π’#β β π£ = 0 β (4,3) β (π₯, π¦) = 0 β 4π₯ + 3π¦ = 0
`π₯" + π¦" = 1
Β‘ ππππππππ‘ΓΊππππππππππππππ‘π!
Ejercicio:
Encuentra un vector de modulo 2 y ortogonal a π’#β (2,1)
Β‘ ππ ππΈπ΅π΄ππ!
Ejercicio:
Calcula el Γ‘ngulo que forman los vectores π’#β (4,2) y οΏ½βοΏ½(β3,3)
Β‘ ππ ππΈπ΅π΄ππ! π΄ππΏπΌπΆπ΄πΏπ΄πΉΓπ πππΏπ΄π·πΌπ πΈπΆππ΄ππΈπππΈ
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