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Vectores

Vectores

Veronica Briceno V.

octubre 2013

Veronica Briceno V. () Vectores octubre 2013 1 / 29

En esta Presentacion...

... veremos:

Vectores en el plano y espacio

Operaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion GeometricaProducto PuntoProyeccion OrtogonalProducto Cruz.



... veremos:

Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalar

Representacion GeometricaProducto PuntoProyeccion OrtogonalProducto Cruz.



... veremos:

Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion Geometrica

Producto PuntoProyeccion OrtogonalProducto Cruz.



... veremos:

Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion GeometricaProducto Punto

Proyeccion OrtogonalProducto Cruz.



... veremos:

Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion GeometricaProducto PuntoProyeccion Ortogonal

Producto Cruz.



... veremos:

Vectores en el plano y espacioOperaciones: Suma, producto por escalarRepresentacion GeometricaProducto PuntoProyeccion OrtogonalProducto Cruz.


Vectores en R2


Vectores en R3


Notacion

Vectores: ~u, ~v , ~w ...

Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)


Notacion

Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...

Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)


Notacion

Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...

Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)


Notacion

Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~AB

Un vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)


Notacion

Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ R

Vector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)


Notacion

Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)

En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)


Notacion

Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)

En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)


Notacion

Vectores: ~u, ~v , ~w ...Puntos: A,B,C, ...Escalares (numeros reales): α, β, ...Si un vector inicia en el punto A y termina en el punto B, sedenota: ~v = ~ABUn vector de Rn, se escribe como: (x1, x2, ...xn), donde cadaxi ∈ RVector nulo: ~0 = (0,0, ...,0)En R2:i = (1,0)j = (0,1)En R3:i = (1,0,0)j = (0,1,0)k = (0,0,1)


Operaciones Basicas

Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.

Igualdad de vectores.Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, lasmismas componentes.Es decir, ~v = ~w si y solo si vi = wi ,∀i = 1, ...nSuma de vectores.~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn)

Producto por escalar.α~v = (αv1, αv2, ..., αvn)


Operaciones Basicas


Igualdad de vectores.Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, lasmismas componentes.Es decir, ~v = ~w si y solo si vi = wi , ∀i = 1, ...n

Suma de vectores.~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn)



Operaciones Basicas


Igualdad de vectores.Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, lasmismas componentes.Es decir, ~v = ~w si y solo si vi = wi , ∀i = 1, ...nSuma de vectores.~v + ~w = (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn)



Ejemplos

Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)


Ejemplos

Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...

Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)


Ejemplos

Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...

Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)


Ejemplos

Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!

En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)


Ejemplos

Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~v

Considere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)


Ejemplos

Dado el vector ~u, con origen en P(−3,5) y extremo en Q(4,7);podemos escribirlo como...Dado el vector ~v , con origen en P(3,−1,5) y extremo enQ(3,2,1); podemos escribirlo como...Sea ~u = (1,2,3) y ~v = (−1,0,2). Calcular: ~u + ~v , ~u − ~v y α~u,donde α = −1,2,1/2. Graficar!!!En relacion al ejemplo anterior: determine el valor de ~w , tal que:2~w − 4~u = 3~vConsidere los puntos A = (0,0,1) , B = (3,5,0) y C = (2,0,0).Nos interesa calcular D ∈ R3 tal que A,B,C y D sean los verticesde un paralelogramo.(OBS: hay 3 soluciones)


Propiedades

∀~u, ~v ∈ Rn vectores, α, β ∈ R. Entonces:

~v + ~0 = ~v

~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)

Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.


Propiedades


~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~0

0 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)



Propiedades


~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~0

1 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)



Propiedades


~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v

~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)



Propiedades


~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~v

α(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)



Propiedades


~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w

(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)



Propiedades


~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v

(α · β)~v = α(β~v)



Propiedades


~v + ~0 = ~v~v + ~(−v) = ~00 · ~v = ~01 · ~v = ~v~v + ~w = ~w + ~vα(~v + ~w) = α~v + α~w(α+ β)~v = α~v + β~v(α · β)~v = α(β~v)



Producto Punto (Escalar)

Operacion entre vectores que devuelve un escalar.

Idea geometrica de magnitud.Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.

Definicion Producto Punto

~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + ...+ vn · wn ∈ R

Observacion:Tambien es comun usar la notacion:< ~v , ~w >



Operacion entre vectores que devuelve un escalar.Idea geometrica de magnitud.



~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + ...+ vn · wn ∈ R




Operacion entre vectores que devuelve un escalar.Idea geometrica de magnitud.Sean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores de Rn.


~v · ~w = v1 · w1 + v2 · w2 + ...+ vn · wn ∈ R



Ejemplos...

Sean ~u = (1,2,√

3) y ~v = (−1/2,0,2). Calcular: ~u · ~vSean ~w = (a,b, c). Calcular: ~w · ~w


Ejemplos...

Sean ~u = (1,2,√

3) y ~v = (−1/2,0,2). Calcular: ~u · ~v

Sean ~w = (a,b, c). Calcular: ~w · ~w


Ejemplos...

Sean ~u = (1,2,√

3) y ~v = (−1/2,0,2). Calcular: ~u · ~vSean ~w = (a,b, c). Calcular: ~w · ~w



TeoremaSean ~u, ~v , ~w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,

~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)

NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.Ejercicio: demostrar algunas de estas propiedades.




~v · ~0 = 0

~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)





~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v

~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w(α~v) · ~w = α(~v · ~w)





~v · ~0 = 0~v · ~w = ~w · ~v~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w

(α~v) · ~w = α(~v · ~w)






NO HAY ASOCIATIVIDAD!!!~u · (~v · ~w) no esta definido.



Norma

Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.

Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.

Definicion Norma

||~v || =√~v · ~v =

√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn

Observacion:Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :d(~u, ~v) = ||~v − ~u||


Norma

Define la distancia desde el punto de vista de la geometrıa euclideana.Sea ~v = (v1, v2, ..., vn) un vector de Rn.

Definicion Norma

||~v || =√~v · ~v =

√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn



Norma


Definicion Norma

||~v || =√~v · ~v =

√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn

Observacion:

Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :d(~u, ~v) = ||~v − ~u||


Norma


Definicion Norma

||~v || =√~v · ~v =

√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn

Observacion:Distancia entre dos vectores: ~u y ~v :

d(~u, ~v) = ||~v − ~u||


Norma


Definicion Norma

||~v || =√~v · ~v =

√v1 · v1 + v2 · v2 + ...+ vn · vn



Ejemplos...

Sea ~v = (−1,2,1), calcular: ||~v ||La distancia de ~v = (0,1,3) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =La distancia de ~v = (x , y , z) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =


Ejemplos...

Sea ~v = (−1,2,1), calcular: ||~v ||

La distancia de ~v = (0,1,3) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =La distancia de ~v = (x , y , z) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =


Ejemplos...

Sea ~v = (−1,2,1), calcular: ||~v ||La distancia de ~v = (0,1,3) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =

La distancia de ~v = (x , y , z) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =


Ejemplos...

Sea ~v = (−1,2,1), calcular: ||~v ||La distancia de ~v = (0,1,3) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =La distancia de ~v = (x , y , z) a ~u = (1,−3,2) es ||~v − ~u|| =


Norma

TeoremaSean ~w , ~v ∈ Rn y α ∈ R. Entonces,

||~v || > 0,∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)

Dem:En la pizarra...


Norma


||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0

||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)



Norma


||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||

||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)



Norma


||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||

||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)



Norma


||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)

|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)



Norma


||~v || > 0, ∀~v y ||~v || = 0 ssi ~v = ~0||α~v || = |α| · ||~v ||||~v − ~w || = ||~w − ~v ||||~v + ~w || ≤ ||~v ||+ ||~w || (desigualdad triangular)|~v · ~w | ≤ ||~v || · ||~w || (desigualdad de Cauchy - Schwarz)



Norma



Dem:

En la pizarra...


Norma





Vector Unitario

DefinicionUn vector de norma 1, se llama unitario


Ejemplos...

Sea ~w = (cos θ, sen θ).El vector ~u = (1,2,

√3) no es unitario.


Ejemplos...

Sea ~w = (cos θ, sen θ).

El vector ~u = (1,2,√

3) no es unitario.


Ejemplos...

Sea ~w = (cos θ, sen θ).El vector ~u = (1,2,

√3) no es unitario.


Angulo entre vectores

X

Y

Z

v

w

v-w



DefinicionSean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores no nulos de Rn.

Se dice que el unico θ ∈ [0, π] que verifica:

~v · ~w = ||~v || · ||~w || cos(θ)

es el angulo entre ~v y ~w .

Dem: Utilizar el teorema del coseno:||~v − ~w ||2 = ||~v ||2 + ||~w ||2 − 2 · ||~v || · ||~w || · cos(θ)donde θ es el angulo que se forma entre ~v y ~w .Por otra parte, ||~v − ~w ||2 = (~v − ~w)(~v − ~w)Finalmente, usando la desigualdad de C-S se demuestra que:−1 ≤ cos(θ) ≤ 1.



DefinicionSean ~v = (v1, v2, ..., vn) y ~w = (w1,w2, ...,wn) vectores no nulos de Rn.Se dice que el unico θ ∈ [0, π] que verifica:

~v · ~w = ||~v || · ||~w || cos(θ)






~v · ~w = ||~v || · ||~w || cos(θ)


Dem:

Utilizar el teorema del coseno:||~v − ~w ||2 = ||~v ||2 + ||~w ||2 − 2 · ||~v || · ||~w || · cos(θ)donde θ es el angulo que se forma entre ~v y ~w .Por otra parte, ||~v − ~w ||2 = (~v − ~w)(~v − ~w)Finalmente, usando la desigualdad de C-S se demuestra que:−1 ≤ cos(θ) ≤ 1.




~v · ~w = ||~v || · ||~w || cos(θ)




Paralelismo y Perpendicularidad

DefinicionSean ~v , ~w vectores de Rn.

Dos vectores ~v y ~w son paralelos si el angulo entre ellos es 0 o π.Esto es, ~v = λ~w ,∀λ ∈ R.Se denota: ~v ‖ ~wDos vectores ~v y ~w son perpendiculares si el angulo entre elloses π

2 . Esto es, ~v · ~w = 0.Se denota: ~v ⊥ ~w




Dos vectores ~v y ~w son paralelos si el angulo entre ellos es 0 o π.Esto es, ~v = λ~w ,∀λ ∈ R.Se denota: ~v ‖ ~w

Dos vectores ~v y ~w son perpendiculares si el angulo entre elloses π





Dos vectores ~v y ~w son paralelos si el angulo entre ellos es 0 o π.Esto es, ~v = λ~w ,∀λ ∈ R.Se denota: ~v ‖ ~wDos vectores ~v y ~w son perpendiculares si el angulo entre elloses π



Ejercicios

Sean ~v = (1,0,√

2) y ~w = (−2,−1,√

2). Probar que sonortogonales.Sean ~v = (1,−1,0) y ~w = (1,1,0). Consideremos el problema deencontrar un vector ~u ∈ R3 que cumpla las siguientes trescondiciones:~u ⊥ ~v||~u|| = 4]~u, ~w = π

3

Encontrar el angulo entre una diagonal de un cubo y uno de suslados.


Proyeccion Ortogonal

u

tw w

u-tw



DefinicionSean ~u y ~w vectores de Rn, con ~w 6= 0.

Se llama proyeccion ortogonal de ~u sobre ~w , al vector:

proy~w~u =~w · ~u~w · ~w

~w

El vector ~u − proy~w~u se llama componente de ~u ortogonal a ~w .



DefinicionSean ~u y ~w vectores de Rn, con ~w 6= 0.Se llama proyeccion ortogonal de ~u sobre ~w , al vector:

proy~w~u =~w · ~u~w · ~w

~w

El vector ~u − proy~w~u se llama componente de ~u ortogonal a ~w .


Ejercicios

Sean ~u = (5,0,√

2) y ~v = (2,1,√

2). Calcular: proy~v~u y proy~u~vSean ~v = (3,1,0) y ~w = (2,2,0). Determinar ~u ∈ R3, tal que~u = (x , y , x) y que cumpla las siguientes condiciones:proy~u~v = −~v y ~u ⊥ ~vConsidere un triangulo determinado por los puntos A,B,C ∈ R3.Calcular la altura y el area de la siguiente manera:Sean: ~u = B − A y ~w = C − A, entonces la altura es:h = ||~u − proy~w~u||Como la base mide ||~w || entonces:

A =||~w || · ||~u − proy~w~u||

2Sea A(2,2,2),B(1,1,0)C(0,2,2). Calcular el area del trianguloABC.


Producto Cruz (Vectorial) en R3.

Definicion

Sean ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) vectores de R3.~v × ~w = (v2w3 − v3w2)i + (v3w1 − v1w3)j + (v1w2 − v2w1)k

NEMOTECNIA

~v × ~w = det

i j kv1 v2 v3w1 w2 w3

Notar que en realidad no es un determinante porque i , j , k no sonnumeros.



Definicion

Sean ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) vectores de R3.

~v × ~w = (v2w3 − v3w2)i + (v3w1 − v1w3)j + (v1w2 − v2w1)k

NEMOTECNIA

~v × ~w = det





Definicion

Sean ~v = (v1, v2, v3) y ~w = (w1,w2,w3) vectores de R3.~v × ~w = (v2w3 − v3w2)i + (v3w1 − v1w3)j + (v1w2 − v2w1)k

NEMOTECNIA

~v × ~w = det




Ejemplos...

Sean ~u = 2i + 4j − 5k y ~v = −3i − 2j + kCalcular: ~v × ~u y ~u × ~v

Sean ~u = (1,−1,1) , ~v = (0,1,−1) y ~w = j .Determinar la alternativa correcta:A) (~u × ~v) · ~w = ~u × (~v · ~w)B) ]~u, ~v = ]~u, ~wC) ||~w || = ||~u + ~v ||D) (~u + ~v) ⊥ ~wE) ~u ‖ (~v + ~w)


Ejemplos...

Sean ~u = 2i + 4j − 5k y ~v = −3i − 2j + kCalcular: ~v × ~u y ~u × ~vSean ~u = (1,−1,1) , ~v = (0,1,−1) y ~w = j .Determinar la alternativa correcta:A) (~u × ~v) · ~w = ~u × (~v · ~w)B) ]~u, ~v = ]~u, ~wC) ||~w || = ||~u + ~v ||D) (~u + ~v) ⊥ ~wE) ~u ‖ (~v + ~w)


Propiedades

1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~0

2 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)

10 ~u y ~v son paralelos, entonces ~u × ~v = ~0


Propiedades

1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)

3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)



Propiedades

1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)

4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)



Propiedades

1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 0

5 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)



Propiedades

1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 0

6 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)



Propiedades

1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)

7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)



Propiedades

1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w

8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)



Propiedades

1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w

9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)



Propiedades

1 ~u × ~0 = ~0× ~u = ~02 ~u × ~v = −(~v × ~u) (anticonmutativa)3 ~u × ~u = ~0 (propiedad de los determinantes)4 ~u(~u × ~v) = 05 ~v(~u × ~v) = 06 ||~u × ~v ||2 = ||~u||2 · ||~v ||2 − (~u · ~v)2 (Igualdad de Lagrange)7 ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w8 (~u + ~v)× ~w = ~u × ~w + ~v × ~w9 α(~v × ~w) = (α~v)× ~w = ~v × (α~w)



Observacion

~u × ~v es un vector.

Las propiedades 4 y 5 implican que:~u ⊥ ~u × ~v~v ⊥ ~u × ~vDe la Igualdad de Lagrange, se obtiene:

||~u × ~v || = ||~u|| · ||~v || sen θ

donde θ es el angulo entre los vectores ~u y ~v .


Observacion

~u × ~v es un vector.Las propiedades 4 y 5 implican que:~u ⊥ ~u × ~v~v ⊥ ~u × ~v

De la Igualdad de Lagrange, se obtiene:

||~u × ~v || = ||~u|| · ||~v || sen θ



Observacion

~u × ~v es un vector.Las propiedades 4 y 5 implican que:~u ⊥ ~u × ~v~v ⊥ ~u × ~vDe la Igualdad de Lagrange, se obtiene:

||~u × ~v || = ||~u|| · ||~v || sen θ



Interpretacion Geometrica Producto Cruz

Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.

Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θAsı, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||

Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3

Volumen del paralelepipedo, es:V = ||~w || · ||~u × ~v ||Probar que:

V = det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3



Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θ

Ası, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||

Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3


V = det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3



Imaginar que ~u y ~v son los lados adyacentes de un paralelogramo.Area: A = base x alturay altura: h = ||~u|| · sen θAsı, A = ||~u|| · ||~v || sen θ = ||~u × ~v ||Por otra parte, en R3, sean ~u, ~v , ~w ∈ R3


V = det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3




Volumen del paralelepipedo, es:V = ||~w || · ||~u × ~v ||

Probar que:

V = det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3





V = det

u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3


Ejercicios Propuestos

Encuentre las coordenadas de un vector ~a ∈ R3 de modulo√

3que sea ortogonal a los vectores ~b = i − j y ~c = j − k .Calcular el volumen del paralelepıpedo determinado por losvectores ~u = (1,3,−2), ~v = (2,1,4) y ~w = (−3,1,6) .Calcular el area del triangulo con vertices en P = (1,3,−2),Q = (2,1,4) y R = (−3,1,6).




3que sea ortogonal a los vectores ~b = i − j y ~c = j − k .

Calcular el volumen del paralelepıpedo determinado por losvectores ~u = (1,3,−2), ~v = (2,1,4) y ~w = (−3,1,6) .Calcular el area del triangulo con vertices en P = (1,3,−2),Q = (2,1,4) y R = (−3,1,6).




3que sea ortogonal a los vectores ~b = i − j y ~c = j − k .Calcular el volumen del paralelepıpedo determinado por losvectores ~u = (1,3,−2), ~v = (2,1,4) y ~w = (−3,1,6) .

Calcular el area del triangulo con vertices en P = (1,3,−2),Q = (2,1,4) y R = (−3,1,6).




3que sea ortogonal a los vectores ~b = i − j y ~c = j − k .Calcular el volumen del paralelepıpedo determinado por losvectores ~u = (1,3,−2), ~v = (2,1,4) y ~w = (−3,1,6) .Calcular el area del triangulo con vertices en P = (1,3,−2),Q = (2,1,4) y R = (−3,1,6).


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