Cantidades vectoriales: operación de suma y diferencia. Producto

escalar y producto vectorial.

Suma

Vectores – suma de vectores método del paralelogramo

Vectores – resta de vectores

Vector V y vector –V

La misma magnitud, la dirección –opuesta.

A – B = A + (-B)

Multiplicar un vector por un escalar.

Ejemplo: Vector V * 2La misma dirección y magnitud doble. Si escalar es positivo – la dirección no se cambia.Si escalar es negativo – la dirección es el oposito. V * (-2)

Producto de un vector v por un número real k.• Es otro vector que expresamos por k y que tiene:• Dirección: la misma que v• Sentido: el mismo que v si k es positivo y sentido contrario si k es

negativo.• Módulo: el producto del módulo de v por el valor absoluto de k.

vkkv .=

Módulo de un vector

v4

5

Por el teorema de Pitágoras:

222 45 +=v

El módulo de v es la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las coordenadas.

22 45 ++=v

22 yxv ++=

Sistema de referencia en el plano.

Es el conjunto formado por:- Un punto fijo O, llamado origen. - Una base cualquiera.

Tomando la base canónica como base, cada punto P del plano se leasocia un vector que se llama

vector de posición.Si tenemos base ortogonal:• Los vectores x y y se pueden expresar como combinación lineal de

ellos mismos.x=1.x+0.yy=0.x+1.y

• Es decir,Las coordenadas de x son (1, 0)Las coordenadas de y son (0, 1)

Operaciones con vectores expresados en coordenadas de una base canónica.

• Suma - coordenadas• En general, si

),( 11 yxu =),( 22 yxv =

),( 2121 yyxxvu ++=+

Método analítico para la suma de vectores.

• Veamos un vector Aque esta en un plano.

• Se puede expresar como suma le los otros dos vectores –se llaman las componentes del vector.

• Se llama resolver el vector en sus propias componentes.

• Se escriben Ax y Ay.• Las componentes

con escalares.• A = Ax + Ay.

C

B

A

Sumar vectores con el método de las componentes.

• Necesitamos las funciones trigonometriítas

• seno (θ) = o/h• Coseno (θ) = a/h• Tangente (θ) = o/a• Como se definan:• Tenemos un triangulo. Identidad trigonometría:Sen2 (θ) + cos2 (θ) = 1

Cateto adyacente - a

Hipotenusa - h

Cat

eto

opue

sto

-o

θ

Sumar vectores con el metodo de las componentes.

Los componentes se definancomo:

Ax - Cateto adyacente

A (Hipotenusa )

Ay-

Cat

eto

opue

sto

θ

Dos formas de especificar un vector

• 1. Podemos dar sus componentes Vx y Vy.

• 2. Podemos dar su magnitud y el ángulo que forma con el parte positiva del eje x.

• Es posible pasar de una descripción a otra mediante:

Vy=Vsen(θ)Vx=Vcos(θ) o V=Sqrt(V2x+V2y)Tan (θ) = Vy/Vx

Suma de dos vectores en forma analitica:

• 1. Resolver cada vector de sus componentes:• Vx=V1x+V2x• Vy=V1y+V2y• V=V1+V2 • Si tememos obtener la magnitud y dirección del

vector resultante se usan:V=Sqrt(V2x+V2y) – magnitud (modulo)Tan (θ) = Vy/Vx – dirección.

Ejemplo 1.

• 3-1. Una persona camina 22.0 km en dirección norte, y a continuación camina con una dirección de 60o al sureste durante 47.0 km. A que distancia habrállegado desde donde empezó?

Ejemplo 2.

• 3-2. Un viaje en aeroplano implica tres etapas y dos escalas como se muestra en la figura. La primera etapa es en dirección este durante 620 km; la segunda etapa es en dirección sureste (45o) durante 440 km; y tercera es en dirección 53o al suroeste durante 550 km. Cual es el desplazamiento total del aeroplano?

Problemas.

• Dados los vectores a(5,-3) y b (-2,6)• 1. Sumamos analíticamente.• 2.Sumamos geométricamente• 3. calcula analíticamente 4a-7b

Problemas.

• Expresa el vector x como combinación lineal de a y b.