vas derivadas. aplic

MATEMÁTICA I. DERIVADAS.

Lista de Exercícios – Derivadas

1) Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:

a) R:

b) R:

c) R:

d) R :

e) R :

f) R:

g) R:

h) R:

i) R:

j) R:

k) R:

l) R:

m) R:

n) R:

o) R:

2) Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas.

a) f(r) = r²

b) f(x) = 14 – ½ x –3

c) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4)

d) f(x) = 7(ax² + bx + c)


e) f(t) =

f) f(s) = (s² - 1) (3s-1)(5s² + 2s)

g) f(t) =

h)

3) Calcular a derivada.

a) f(x) = 10 (3x² + 7x +3)10

b) f(x) =

c) f(x) =

d) f(x) = 2e3x² + 6x + 7

e) f(x) =

f) f(s) = (a + bs)In(a + bs)

g) f(x) = sen³ (3x² + 6x)

h) f(t) =

i) f(x) = 1/a (bx² + c) – Inx

j) f(x) = sen² x + cos² x

k) f(x) = e2x cos 3x

l) f(x) = sen² (x/2).cos² (x/2)

m) f(x) = log2 (3x – cos 2x)

n) f(t) = e2 cos 2t

4) Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.

a) y = 3x4 – 2x; n = 5

b) y = 1/ex; n = 4

5) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado:


6) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 + x + 3 no ponto de abscissa x0 = 0.

7) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 - 3 + 4 no ponto (1, f(1)).

8) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x2 + 3 que seja paralela reta y = 8x + 3.

9) Encontre a reta tangente à curva no ponto

10) Encontre a reta tangente à curva no ponto

11) Obter a derivada da função em um ponto genérico.

12) Obter a derivada da função no ponto

13) Obter a derivada da função em um ponto genérico.

14) Obter a derivada da função no ponto

15) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados:

a) . Determine a velocidade no instante t = 3 s.

b) . Determine a velocidade no instante t = 2 s.

c) . Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s.

16) O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a função horária:


s = f(t) = t2 + 2t - 3

sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a velocidade no instante t0 = 2 s.

17) Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t2 – t, determine a distância em km percorrida e a velocidade em km/h ao fim de 5 h.

18) Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua velocidade obedece à função v(t) = 2t2 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s)

19) Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade variável segundo a expressão v(t) = (t em segundos e v em metros/segundo).

20) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?

Solução: Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0. Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças.

21) O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por . Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo?

22) Em um retângulo de área igual a 64 m², determine o menor perímetro possível.

Regras de Derivação

1) y = k à y’ = 02) y = ax à y’ = a3) y = ax + b à y’ = a4) y = un à y = n.u n-1. u’ y = xn à y’ = n.x n-1

5) y = k.u à y’ = k.u’6) y = u + v à y’ = u’ + v’7) y = u.v à y’ = u.v’ + u’. v

y = à y’ =

8) y = a u à y = au.lna.u’

y = à y’ =

9) y = à y’ =

y = ln u à y’ =


y = à y’ =

10) y = cos u à y’ = -sen u . u’11) y = sen u à y’ = cos u . u’12) y = tg u à y’ = sec2 u . u’13) y = cotg u à y’= sec u . tg u . u’14) y = sec u à y’ = sec u . tg u . u’15) y = cosec u à y’ = - cosc u . cotg u . u’

16) y = arc sen u à y’ =

17) y = arc cos u à y’ =

18) y = arc tg u à y’ =

19) y = arc cotgu à y’ =

20) y = arc cosu à y’ =

21) y = arc cosu à y’ =

22) y = uv à y’ = v . uv-1 . u’ + uv . lnu . v

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