probl. fisica mov. aplic. problemario

7/15/2019 Probl. Fisica Mov. Aplic. Problemario

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PROBLEMARIO DE FISICA DEL MOVIMIENTO APLICADA

ELABORO: IF. RAMON FLORES RODRIGUEZ

DICIEMBRE DE 2007

1

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE

BIOTECNOLOGIA

PROBLEMARIO DE FISICA DEL

MOVIMIENTO APLICADA

ELABORO: I.F. RAMON FLORES RODRIGUEZDICIEMBRE DE 2007





DICIEMBRE DE 2007

2

Introducción

El presente problemario tiene como fin ayudar a los estudiantes de física a aplicar los

conceptos físicos y facilitar la resolución lógica de problemas del curso de Física del

Movimiento aplicada llevada en el primer semestre de Licenciatura en la UPIBI - IPN.

Se pretende que el contenido abarque todo el programa de estudio. La solución de cada

problema es a detalle y se indica cada paso de resolución del mismo.

El número de problemas incluido se considera el adecuado para cada tema y subtema, la

mayoría de estos han sido resueltos previamente en clase, por lo que estos forman parte de

los apuntes de la materia. La bibliografía recomendada se menciona al final del problemario

La solución final pedida para cada problema aparece subrayada, para más prontalocalización.





DICIEMBRE DE 2007

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INDICE

UNIDAD I Física, magnitudes físicas y mediciones

1.1 Presentación del curso

1.1.1 Concepto de Física y sus dominios de aplicación.1.2 Unidades fundamentales de medición.

1.2.1 Sistemas de unidades

1.3 Unidades derivadas.

1.3.1 Conversión de unidades físicas1.4 Notación científica.

1.4.1 Operaciones con notación científica (suma, resta, multiplicación, división,

potenciación, radicación).1.5 Propagación de errores

UNIDAD II Magnitudes escalares y vectoriales

2.1 Definición de cantidades escalares y vectoriales.2.1.1 Representación geométrica y analítica de un vector.

2.1.2 Magnitudes físicas escalares y vectoriales.

2.2 Algebra de vectores.2.2.1 Multiplicación por un escalar

2.2.2 Suma y resta.

2.2.3 Producto punto.2.2.4 Producto cruz.

2.3 Aplicaciones

UNIDAD III Cinemática

3.1 Cinemática en una dimensión3.1.1 Movimiento rectilíneo uniforme3.1.2 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

3.2 Cinemática en dos dimensiones

3.2.1 Tiro parabólico

UNIDAD IV Dinámica

4.1 Conceptos básicos: masa, peso y fuerza4.1.1 Sistemas de referencia: inerciales y no inerciales

4.2 Leyes de Newton

4.2.1 Diagrama del cuerpo libre.

4.3 Fuerzas de la naturaleza4.3.1 Fuerza de rozamiento.

4.3.2 Coeficiente de fricción estática y coeficiente de fricción cinética4.4 Aplicaciones.

4.4.1 Plano inclinado sin fricción y plano inclinado con fricción

4.4.2 Poleas4.4.3 Movimiento circular y fuerza centrípeta





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UNIDAD V Trabajo y energía

5.1 Concepto de trabajo.5.1.1 Trabajo realizado por una fuerza constante.

5.1.2 Trabajo realizado por una fuerza variable.

5.2 Concepto de Energía5.2.1 Definición de la energía cinética.

5.2.2 Teorema del trabajo energía cinética, aplicaciones.

5.3 Definición de potencia y aplicaciones

UNIDAD VI Momento e Impulso

6.1 Concepto de momento lineal e impulso

6.1.1 Centro de masa.6.2 Leyes de conservación del momento y energía.

6.3 Colisiones

6.3.1 Colisiones elásticas e inelásticas6.4 Aplicaciones de la conservación del momento.

UNIDAD VII mecánica de fluidos7.1 Concepto de fluido.

7.1.1 Presión y densidad.

7.2 Principio de Pascal y principio de Arquímedes.

7.2.1 Medición de presión para un fluido estático.7.2.2 Variación de la presión atmosférica con la altura.

7.3 Flujo de fluidos.

7.3.1 Ecuación de continuidad.7.3.2 Ecuación de Bernoulli.

7.4 Aplicaciones de la mecánica de fluidos.





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Unidad I FISICA, MAGNITUDES FISICAS Y MEDICIONES

1.1 Presentación del curso

1.1.1 Concepto de física y sus dominios de aplicaciónLa física es el estudio del universo material, es decir es el estudio de la materia, sus

interacciones y sus cambios.

1.2 Unidades fundamentales de mediciónDebido a que existen muchas cantidades físicas, resulta un problema internacionalorganizarlas adecuadamente, para esto se debe seleccionar el menor número posible de

cantidades físicas que conduzcan a una descripción completa de la física en los términos

más simples.

1.2.1 Sistemas de unidadesLa XIV Conferencia General de Pesos y medidas (1971), seleccionó como unidades básicas

las siete cantidades siguientes.Unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades SI

Cantidad Nombre SímboloLongitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo sCorriente eléctrica ampere A

Temperatura termodinámica kelvin K

Cantidad de sustancia mol molIntensidad luminosa candela cd

1.3 Unidades derivadasLas unidades derivadas se expresan a partir de las unidades básicas, y entre otras podemosmencionar a la velocidad, fuerza, aceleración, resistencia eléctrica, densidad, etc.

El organismo encargado de seleccionar las cantidades básicas es la Oficina Internacional de

Pesos y Medidas establecida en 1875 en París Francia quién seleccionó las Unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades (SI).

Con frecuencia resulta que si se expresan ciertas cantidades físicas, resultan ser números

muy grandes o muy pequeños, la XIV Conferencia General de Pesos y Medidas

recomendó los siguientes prefijos.





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1. [2a, 1-1] Calcule la densidad de un cubo sólido que mide 5 cm de cada lado y tiene una

masa de 350 g.

Dividiendo la masa entre el volumen para obtener la densidad

ρ = m = 350 g = 2.8 g/cm3

V (5 cm)

3

2. [2a, 1-5] Calcule la masa de un átomo de: a) helio, b) hierro, y c) plomo. Dé lasrespuestas en unidades de masa atómica y en gramos. Los pesos atómicos de los átomos

dados, son 4, 56 y 207, respectivamente.

a) mHe = peso atómico He = 4 g/mol = 6.6x10-24

g/átomo NA 6.02x10

23átomos/mol

Como 1 uma = 1.6605402x10-27

kg, convirtiendo la masa a uma:

mHe = 6.6x10-24

g (1 kg) (1 uma) = 4 uma1000 g 1.6605402x10

-27kg

b) mFe = peso atómico Fe = 56 g/mol = 9.3x10-23

g/átomo

NA 6.02x1023

átomos/mol

Haciendo la conversión a unidades de masa atómica:

mFe = 9.3x10-23

g (1 kg) (1 uma) = 56 uma1000 g 1.6605402x10

-27kg

c) mPb = peso atómico Pb = 207 g/mol = 3.4x10-22

g/átomo NA 6.02x10

23átomos/mol

Haciendo la conversión a unidades de masa atómica:

mPb = 9.3x10-23

g (1 kg) (1 uma) = 207 uma1000 g 1.6605402x10

-27kg





DICIEMBRE DE 2007

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3. [2a, 1-6] Mediante un microscopio se observa una pequeña partícula de hierro en forma

de cubo. La arista del cubo es de 5x10-6

cm. Encuentre a) la masa del cubo y b) elnúmero de átomos de hierro en la partícula. El peso atómico del hierro es de 56 y su

densidad es de 7.86 g/cm3.

a) Como ρ = (m/V), despejando la masa y convirtiendo el volumen de la partícula a m3

m = ρV =(7.86x106

g/m3) 5x10

-6cm 1 m

3= 9.83x10

-16g

100 cm

b) Se hace una proporción, ya que un mol de Fe (56 g) contiene 6.02x1023

átomos

56 g = 6.02x1023

átomos

9.83x10-16

g N

N = (6.02x1023

átomos)(9.83x10-16

g) = 10.56x106

átomos

56 g

4. [2a, 1-7] Calcule la razón entre las masas atómicas del plomo y del mercurio y comparecon la razón entre sus densidades.

Calculando las masas del Pb y del Hg

mPb = peso atómico Pb = 207 g/mol = 3.4x10-22

g/átomo

NA 6.02x1023

átomos/mol

mHg = peso atómico Hg = 200.59 g/mol = 3.3x10-22

g/átomo NA 6.02x10

23átomos/mol

Con lo obtenido se calcula la razón entre las masas del Pb y del Hg

mPb = 3.4x10-22

g/átomo = 1.03mHg 3.3x10

-22g/átomo

Calculando la razón entre las densidades del Pb y del Hg

ρPb = 11.4 g/ml = .084

ρHg 13.6 g/ml

Esta discrepancia se debe a la diferencia en los espaciamientos atómicos y en losarreglos atómicos de sus estructuras cristalinas.

5. [2a, 1-8] Una placa circular plana de cobre tiene un radio de 0.243 m y una masa de 62

kg. ¿Cuál es el espesor de la placa?

Como ρ = (m/V), despejando V e igualando con el volumen de una placa circular

m/ρ = (πr 2)(Espesor)Despejando el Espesor

E = m = 62 kg = 3.7x10-2

m

πr 2ρ π(0.243 m)2(8.93x10

3kg/m

3)





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1.3.1 Conversión de unidades físicas

1.4 Notación física

1.4.1 Operaciones con notación científica (suma, resta, multiplicación,

división, potenciación, radicación).

6. [2a, 1-9] Muestre que la expresión x = vt + (1/2)at2

es dimensionalmente correcta,

donde x es una coordenada y tiene unidades de longitud, v es velocidad, a es aceleracióny t es tiempo.

Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son:

[x] = L

[vt] = (L/T)T = L

[(1/2)at2vt] = (L/T

2)T

2= L

Por lo tanto la expresión es dimensionalmente correcta

7. [2a, 1-12] Demuestre que la ecuación v2

= vo2

+ 2ax es correcta dimensionalmente,donde v y vo representan velocidades, a es aceleración y x es una distancia.

Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son:

[v2] = [vo2] = L

2/T

2

[2ax] = (L/T2)L = L

2/T

2


8. [2a, 1-13] ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es correcta dimensionalmente?

a) v = vo +ax

b) y = (2 m)cos(kx), donde k = 2 m-1.

a) Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son:

[v] = [vo] = L/T

[ax] = (L/T2)L = L

2/T

2

Por lo tanto la expresión es dimensionalmente incorrecta b) Las dimensiones de los dos miembros de la igualdad son:

[y] = L

[(2 m)cos(kx)] = (L)(1/L)(L) = L






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9. [2a, 1-18] Convierta el volumen 8.50 in3

a m3, recordando que 1 in = 2.54 cm y 1 cm =

10-2

m.

Como 1 in3= (0.0254)

3m

3,

8.5 in³(0.0254)³m³ = 139x10-6

m³1 in³

10. [2a, 1-19] Un terreno rectangular tiene 100.0 ft por 150.0 ft. Determine el área delterreno en m

2.

Como 1 ft² = (0.3048)² m²

(100 ft)(150 ft)=15000 ft²(0.3048)² m² = 1.393x103

m²

1 ft²

11. [2a, 1-22] Una sección de Tierra tiene un área de una milla cuadrada y contiene 640acres. Determine el número de metros cuadrados que hay en 1 acre.

Como 1 milla² = (1609.344)² m² = 640 acres

por lo tanto 1 acre = (1609.344)² m² = 40.5x102

m²640

12. [2a, 1-23] Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.10cm

3. De estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades SI (kg/m

3).

Como ρ = m = 23.94 g (1 kg) (100)³cm³ =11.4x103

kg/m³

V 2.10 cm³ (1000 g)(1 m³)

13. [2a, 1-24] Un contenedor de helado, de un cuarto de galón, está hecho en forma decubo. ¿Cuál será la longitud de un lado en cm? (Use la conversión 1 galón = 3.786

litros).

Como V = (1/4)(3.786 litros) = (1/4)(3.786 dm³) _______________

Por lo tanto: 1 lado = ³√(1/4)(3.786 dm³) = 0.98 dm = 9.8 cm





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14. La masa del Sol es aproximadamente 1.99x1030

kg, y la masa de un átomo de

hidrógeno, del cual esta compuesto principalmente el sol, es 1.67x10-27

kg. ¿Cuántosátomos hay en el sol?

Número de átomos de H = masa del Sol = 1.99x10

30

kg = 1.19x10

57

átomosmasa del H 1.67x10-27

kg

15. [2a, 1-29] a) Encuentre un factor de conversión para convertir de mi/h a km/h. b) Hastahace poco, la ley federal asignó por mandato que la rapidez en las carreteras debería ser

de 55 mi/h. Utilice el factor de conversión de la parte a) para encontrar la rapidez en

km/h. c) La máxima rapidez en las carreteras ha sido elevada a 65 mi/h en algunoslugares. ¿Cuánto aumentó, en km/h, respecto al límite de 55 mi/h?

a) 1 mi = 1.609 kmh h

b) 55mi (1.609 km) = 88.5 km/hh 1 mi

c) 65mi (1.609 km) = 104.6 km/hh 1 mi

Aumentó en: (104.6 km/h) – (88.5 km/h) = 16.1 km/h

16. Un galón de pintura (volumen = 3.78x10-3

m3) cubre un área de 25.0 m

2. ¿Cuál es el

espesor de la pintura en la pared?

Espesor = Volumen = 3.78x10-3

m3

= 15.1x10-5

m

Area 25.0 m2

17. [2a, 1-32] La base de una pirámide cubre un área de 13 acres (1 acre = 43 560 ft2), y

tiene una altura de 481 ft. Si el volumen de una pirámide esta dado por la expresiónV=(1/3)Bh, donde B es el área de la base y h es la altura, encuentre el volumen de esta

pirámide en metros cúbicos.

Como 1ft3

= (0.3048)3

m3

V= (1/3)Bh = (1/3)(13)(43 560 ft2)( 481 ft) = 90793560 ft

3(0.3048)

3m

3= 2.6x10

6m

3

1 ft3





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18. Suponiendo que 70% de la superficie de la Tierra esta cubierta con agua a una

profundidad promedio de 1 milla, calcule la masa del agua sobre la Tierra enkilogramos.

El radio promedio de la Tierra es 6.37x10

6

m, y el área superficial de una esfera es 4πr 2

Por lo tanto:

Volumen H2O = (70% sup. de la Tierra)(profundidad)

= (0.7)(4π)(6.37x106

m)²(1609.344 m) = 5.74x1017

m3

= 5.74x1017

m3

= 5.74x1020

lComo 1 litro de agua tiene una masa aproximada de 1 kg

m = 5.74x1020

kg

19. [2a, 1-36] El radio promedio de la Tierra es 6.37x106

m, y el de la Luna es de 1.74x108

cm. Con estos datos calcule: a) la razón entre el área superficial de la Tierra y la de la

Luna, b) la razón entre el volumen de la Tierra y la de la Luna. Recuerde que el área

superficial de una esfera es 4πr 2

y el volumen de una esfera es (4/3)πr 3

.a) Area de la Tierra = 4πr T² = r T² = (6.37x10

6m)

2= 13.4

Area de la Luna 4πr L² r L² (1.74x106

m)2

b) Volumen de la Tierra = (4/3)πr T3 = r T3 = (6.37x106

m)3

= 49.06

Volumen de la Luna (4/3)πr L3 r L3 (1.74x106

m)3

20. [2a, 1-37] Del hecho de que la densidad de la Tierra es 5.5 g/cm3

y su radio promedio es6.37x10

6m, calcule la masa de la Tierra.

Convirtiendo la densidad de la Tierra a kg/m3

ρ = 5.5 g (1 kg) (100)3

cm3

= 5500 kg/m3

cm3

1000g 1 m3

Como ρ = mV

Despejando la masa y considerando a la Tierra como una esfera

m = ρV = ρ(4/3)πr 3 = (5500 kg/m3)(4/3)π(6.37x10

6m)

3= 5.95x10

24kg

21. Un metro cúbico (1.00 m3) de aluminio tiene una masa de 2.70x10

3kg, y 1.00 m

3de

hierro tiene una masa de 7.86x103

kg. Encuentre el radio de una esfera sólida dealuminio que se equilibre con una esfera sólida de hierro de 2.00 cm de radio en una

balanza de brazos iguales.

ρAl = mAl/VAl (1)

ρFe = mFe/VFe (2)Despejando las masas de (1) y (2) e igualándolas para que la balanza se equilibre:

ρAlVAl = ρFeVFe

Como el volumen de una esfera es (4/3)πr 3

(2.70x103

kg)(4/3)πr Al3

= (7.86x103

kg)(4/3)πr Fe3

_______________ __________________ r Al = ³√(7.86)( r Fe

3)/(2.7) = ³√(7.86)( 0.02)

3/(2.7) = 0.0286 m





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22. La velocidad de la luz en el vacío es de 186 000 millas/s, a) cuántos cm recorrerá en 3nanosegundos, b) cuántos fermis recorrerá en el mismo lapso de tiempo. Recuerde que 1

fm = 1x10-15

m, 1 ns = 1x10-9

s.

a) 186000 mi (1x10-9

s) (160934.4 cm) = 29.934 cm/ns

s 1 ns 1 mi

Distancia recorrida en 3 nanosegundos = 3(29.934 cm/ns) = 89.8 cm

b) 186000 mi (1x10-9

s) (1609.344 m) (1 fm) = 2.993x1014

fm

s 1 ns 1 mi 1x10-15

m

Distancia recorrida en 3 nanosegundos = 3(2.993x1014

fm) = 8.98x1014

fm

1.5 Propagación de errores

Cálculos de orden de magnitud

23. [2a, 1-40] Estime el número de veces que el corazón de un humano late en una vida promedio de 70 años.

En un minuto late aproximadamente 75 vecesEn una hora late aproximadamente (75)(60) = 4 500 veces

En un día late aproximadamente (4500)(24) = 108 000 veces

En un año late aproximadamente (108000)(365.25) = 3.9x107

vecesEn 70 años late aproximadamente (3.9x10

7veces)(70) = 2.7x10

9veces

24. Estime el número de familias que tienen piano en la ciudad de México.14 millones de habitantes

14x106

= número de familias

5

5% nivel alto = 1400005% con piano = 7000 familias

Cifras significativas

25. [2a, 1-50] Determine el número de cifras significativas en los siguientes números: a) 23

cm, b) 3.589 s, c) 4.67x103 m/s, d) 0.0032 m.

a) 2

b) 4c) 3

d) 2





DICIEMBRE DE 2007

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26. [2a, 1-51] Calcule: a) la circunferencia de un círculo de radio 3.5 cm y b) el área de un

círculo de radio 4.65 cm.

a) P = 2πr = (2)(3.14159265…)(3.5 cm) = 22 cmdebido a que el radio tiene dos cifras significativas

b) A = πr 2 = (3.14159265…)(4.65 cm)2

= 67.9 cm2

ya que el radio tiene tres cifras significativas

27. [2a, 1-52] Efectúe las siguientes operaciones aritméticas: a) la suma de los números

756, 37.2, 0.83 y 2.5; b) el producto 3.2 x 3.563; c) el producto 5.6 x π.

a) Cuando se suman o se restan varios números, el número de decimales en el resultadodeberá ser igual al número menor de lugares decimales de cualquiera de los términos de

la suma o resta.

756+37.2+0.83+2.5 = 797

ya que el primer término tiene 0 decimales

b) Cuando se multiplican o dividen varias cantidades, el número de cifras significativas

en la respuesta final es el mismo número de cifras significativas de la que tiene menos

cifras significativas.

(3.2)(3.563) = 11ya que el primer término tiene 2 cifras significativas

c) (5.6)(3.14159265…) = 18

ya que el primer término tiene 2 cifras significativas

28. [2a, 1-55] ¿Cuántas cifras significativas habrá en: a) 78.9±0.2, b) 3.788x109, c) 2.46x10

-

6y d) 0.0053?

a) 3

b) 4

c) 3

d) 2





DICIEMBRE DE 2007

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Unidad II MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

2.1 Definición de cantidades escalares y vectoriales2.1.1 Representación geométrica y analítica de un vector

Escalares: Son las cantidades que se pueden representar por medio de un número, un signo

y una unidad. Ejemplos: peso, trabajo, masa, volumen, densidad, etc., los escalares sesuman por los métodos ordinarios.

Vectores: Las cantidades que exigen la especificación de una magnitud y una dirección yun sentido. Ejemplo: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento

Gráficamente un vector se representa por una flecha, cuya dirección es la del vector que

representa y cuya longitud corresponde a la magnitud, el sentido lo indica la punta de la

flecha.

1. [1a, 2-10] Un peatón se mueve 6 km hacia el este y 13 km hacia el norte. Determine la

magnitud y dirección del vector desplazamiento resultante usando el método gráfico

Se trazan a escala los vectores, y utilizando el método del paralelogramo se trazan

paralelas a los vectores, la resultante se obtiene al unir el punto de inicio con el punto deintersección de las paralelas.

Así el vector resultante es:R = 14.3 u

N

S

Ew

6 km

13 km R





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2. [2a, 2-12] El vector A mide 6 unidades de longitud y forma un ángulo de 45° respecto al

eje x, El vector B mide 3 unidades de longitud y está dirigido a lo largo del eje x positivo (θ = 0). Halle el vector resultante A + B utilizando a) el método gráfico y b) laley de los cosenos.

a) Se trazan a escala los vectores, y utilizando el método del paralelogramo se trazan paralelas a los vectores, la resultante se obtiene al unir el punto de inicio con el punto de

intersección de las paralelas.

Así el vector resultante es:R = 8.4 u

b) Utilizando la ley de los cosenos c2

= a2+b

2– 2abcosθ

_____________________ R = √32

+62

– 2(3)(6)cos135° = 8.4 u

y

x

45°

3 u

6 uR

135°





DICIEMBRE DE 2007

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3. [2a, 2-16] Un perro que anda en busca de un hueso camina 3.5 m hacia el sur, después

8.2 m a un ángulo de 30° al noreste, y finalmente 15 m al oeste. Encuentre el vector desplazamiento resultante del perro utilizando la técnica gráfica

Se trazan a escala los vectores, y utilizando el método del polígono se unen los

desplazamientos, la resultante se obtiene al unir el punto inicial del primer vector con el punto final del último vector.

Así el vector resultante es:R = 7.9 km

N

S

Ew

3.5 km

15 km

R

8.2 km





DICIEMBRE DE 2007

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Método analítico

Por componentes de un vector En general se descomponen los vectores en sus proyecciones en el plano horizontal (x) yvertical (y), y se efectúa la suma algebraica por separado

4. [2a, 2-23] Un vector tiene una componente x de –25 unidades, y una componente y de40 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector.

La magnitud del vector es:

___________ R = √(-25)

2+(40)

2= 47.2 u

La dirección del vector es:

θ1 = arctan[40/(-25)] = 57.9°

Como se encuentra en el segundo cuadrante

Por lo tanto:

θ2 = 180°-57.9°90° =122°

5. [2a, 2-26] Un vector desplazamiento que se encuentra en el plano xy tiene una magnitud

de 50 m y está dirigido formando un ángulo de 120° con el eje x positivo. ¿Cuáles sonlas componentes rectangulares de este vector?

Datos: magnitud 50 m; θ = 120°Componente en x: 50cos120° = -25 m

Componente en y: 50sen120° = 43.3 m

6. [2a, 2-27] Encuentre la magnitud y dirección de la resultante de tres desplazamientoscuyas componentes respectivas son: (3,2) m, (-5,3) m y (6,1) m.

Datos: desplazamientos: (3,2) m, (-5,3) m y (6,1) m.Obteniendo la sumatoria de desplazamientos en x, y

ΣDx: 3-5+6 = 4 m

ΣDy: 2+3+1 = 6 mPor lo tanto la resultante es: ________ _____

R =√Σx2+Σy2

= √42+6

2= 7.21 m

El ángulo es:

θ = arctan[Σy/Σx] = arctan[6/4] = 56.3°





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18

7. [2a, 2-35] Un aeroplano vuela de la ciudad A a la ciudad B 800 millas en una direcciónhacia el este. En la siguiente parte del viaje, el aeroplano vuela 600 millas de la ciudad

B a la ciudad C en una dirección de 40° al noreste. ¿Cuál es el desplazamiento

resultante del aeroplano entre la ciudad A y la ciudad C?

ΣDx = 800+600(cos40°) = 1259.627 mi

ΣDy = 600(sen40°) = 385.673 mi ____________ ______________________

AC = √ (Σx)2

+ (Σy)2

= √(1259.627)2

+ (385.673)2

= 1317 mi

θ = arctan(Σy/Σx) = arctan(385.673/1259.627) = 17°

40°

C

S

AOB E

N





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19

2.2 Algebra de vectores

2.2.1 Multiplicación por un escalar

Multiplicación de un vector por un escalar Un vector se puede multiplicar por un escalar, al multiplicar por –k se obtiene un vector k veces más grande y opuesto al primero.

2.2.2 Suma y resta

Suma y resta de vectoresLos vectores se pueden sumar por métodos geométricos.

Método del paralelogramo

Se trazan paralelas a ambos vectores, el vector resultante será aquel una el punto de iniciode ambos con el punto donde se cruzan las dos paralelas.

Método del polígonoConsiste en dibujar a escala y a partir de un punto cualquiera cada uno de los vectores

dados, de forma que el origen de uno de ellos coincida con el extremo del anterior y asísucesivamente, el orden en que se toman los vectores es arbitrario. La longitud del

segmento que une el punto de partida del primero con el extremo del último es el vector

resultante.

Sustracción de vectoresPara restar el vector B del vector A, basta con sumar el opuesto de B, es decir A-B = A+(-B).

8. [2a, 2-28] Un vector A tiene componentes x,y de –8.7 cm y 15 cm, respectivamente, elvector B tiene componentes x,y de 13.2 cm y –6.6 cm, respectivamente. Si A-B+3C=0,

¿cuáles son las componentes de C?

Para que A-B+3C=0, se debe cumplir que Σx=0 y Σy=0Por lo tanto:

Σx= -8.7 – 13.2 + 3Cx = 0Despejando a Cx

Cx = 8.7+13.2 = 7.3 cm

3

Σy= 15 -(-6.6) + 3Cy = 0

Despejando a Cy

Cy = -15-6.6 = -7.2 cm





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20

3

9. [2a, 2-29] Dos vectores están dados por A=3i-2 j y B=-i-4 j. Calcule: a) A+B, b) A-B, c)

⎜A+B⎪, d) ⎜A-B⎪, e) la dirección de A+B y A-B.

a) A+B = (3i-2 j)+(-i-4 j) = (3i-i)+(-2 j-4 j) = 2i-6 j b) A-B = (3i-2 j)-(-i-4 j) = (3i+i)+(-2 j+4 j) = 4i+2j

_________ c) ⎜A+B⎪ = ⎜(3i-2 j)+(-i-4 j)⎜ = ⎜(3i-i)+(-2 j-4 j)⎜ = √(2)

2+(-6)

2= 6.32

________ d) ⎜A-B⎪ = ⎜(3i-2 j)-(-i-4 j)⎜ = ⎜(3i+i)+(-2 j+4 j)⎜ = √(4)

2+(2)

2= 4.47

e) la dirección de A+B se encuentra en el cuarto cuadrante:

θ1 = 360°- arctan(6/2) = 288.4°la dirección de A-B se encuentra en el primer cuadrante:

θ2 = arctan(2/4) = 26.6°

2.2.3 Producto punto

2.2.4 Producto cruz

10. [2a, 7-20] Halle el ángulo entre los vectores A = -5i-3 j+2k y B= -2 j-2k.

Efectuando el producto punto mediante componentes

A•B = (-5)(0)+(-3)(-2)+(2)(-2) = 0+6-4 = 2

Además se sabe que

A•B = ⎜A⎪⎜B⎪cosθ (1)

Obteniendo ⎜A⎪ ______________

⎜A⎪= √(-5)2+(-3)

2+(2)

2= 6.164

Obteniendo ⎜B⎪ __________

⎜B⎪= √(-2)2+(-2)

2= 2.828

Despejando a θ de la ec. (1) y substituyendo ⎜A⎪ y ⎜B⎪θ = arccos A•B = arccos 2 = 83.4° ⎜A⎪⎜B⎪ (6.164)(2.828)





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21

11. [1a, 2-26] Un vector A con una magnitud de 10 unidades y otro vector B de 6 unidades

de magnitud, apuntan en direcciones que difieren en 60°. Encontrar a) el productoescalar de ambos vectores y b) el producto vectorial de dichos dos vectores.

a) Se sabe queA•B = ⎜A⎪⎜B⎪cosθ = (10)(6)cos60° = 30.0

b) Se sabe que

⎜AxB⎪ = ⎜A⎪⎜B⎪senθ = (10)(6)sen60° = 52.0

12. [1a, 2-34] Tres vectores están dados por a = 3i+3 j-2k, b = -i-4 j+2k, c = 2i+2 j+k.

Encontrar a) a•(bxc), b) a•(b+c) y c) ax(b+c)

a) Se obtiene primero lo que está entre paréntesis, es decir el vector bxc

i j k bxc = -1 -4 2 = i -4 2 + j 2 -1 + k -1 -4

2 2 1 2 1 1 2 2 2

= (-4-4)i +(4+1) j + (-2+8)k = -8i+5 j+6k

Finalmente se obtiene el escalar a•(bxc)

a•(bxc) = (3i+3 j-2k)•(-8i+5 j+6k) = (3)(-8) + (3)(5) + (-2)(6) = -24 +15 –12 = -21

b) Se obtiene primero lo que está entre paréntesis, es decir el vector b+c

b+c = (-i-4 j+2k) + (2i+2 j+k) = i-2 j+3k

Finalmente se obtiene el escalar a•(bxc)

a•(bxc) = (3i+3 j-2k)•(i-2 j+3k) = (3)(1) + (3)(-2) + (-2)(3) = 3-6-6 = -9

c) Como el vector b+c se obtuvo en el inciso b)

i j k

ax(b+c) = 3 3 -2 = i 3 -2 + j -2 3 + k 3 31 -2 3 -2 3 3 1 1 -2

= (9-4)i +(-2-9) j + (-6-3)k = 5i-11 j-9k





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13. [1a, 2-37] Dos vectores a y b tienen componentes que en unidades arbitrarias son ax =

3.2, ay = 1.6; bx = 0.5, by = 4.5. a) Encontrar el ángulo entre a y b. b) Encontrar lascomponentes x,y de un vector c que sea perpendicular a a y que tenga 5.0 unidades de

magnitud.

a) Efectuando el producto punto mediante componentes

a•b = (3.2)(0.5)+(1.6)(4.5) = 1.6+7.2 = 8.8Además se sabe que

a•b= ⎜a⎪⎜b⎪cosθ (1)

Obteniendo ⎜a⎪ ___________

⎜a⎪= √(3.2)2+(1.6)

2= 3.578

Obteniendo ⎜b⎪ ___________

⎜b⎪= √(0.5)2

+(4.5)2

= 4.528

Despejando a θ de la ec. (1) y substituyendo ⎜a⎪ y ⎜b⎪

θ = arccos a•b = arccos 8.8 = 57.1° ⎜a⎪⎜b⎪ (3.578)(4.528)

b) Como el ángulo entre el vector a y el vector c es 90°a•c = ⎜a⎪⎜c⎪cos90° = 0Efectuando el producto punto mediante componentes

a•c = axcx+aycy = 0 (1)

De la definición de magnitud de un vector

cx2+cy2 = (5.0)2 (2)Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones 2x2 el cual puede ser resuelto por

sustitución

Despejando cy de 1cy = -axcx = 2cx (3)

ay

Sustituyendo cy en 2 se forma la siguiente ecuación cuadrática:5cx

2-25 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática

cx = ± 2.2 u

Sustituyendo el valor de cx en 3 para encontrar cy

cy = ± 4.5 u





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23

2.3 Aplicaciones

14. [2b, 7-19] Se tiene el vector a = (3.00i+4.00 j) N, y se sabe que a•b=100.0 J, el ángulo

entre a y b es de 32° determine el vector b.

Obteniendo ⎜a⎪ ________

⎜a⎪= √(3)2+(4)

2= 5.0

Como el ángulo entre el vector a y el vector b es 32°a•b = ⎜a⎪⎜b⎪cos32° = 100

Despejando ⎜b⎪⎜b⎪= 100 = 100 = 23.58

⎜a⎪cos32° 5cos32°Efectuando el producto punto mediante componentesa•b = ax bx+ay by = 100 (1)

De la definición de magnitud de un vector bx

2+by

2= (23.58)

2(2)

Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones 2x2 el cual puede ser resuelto por

sustituciónDespejando bx de 1

bx = 100-ay by =100-4by (3)

ax 3

Sustituyendo bx en 2 se forma la siguiente ecuación cuadrática:2.78by

2-88.89by +554.93 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática y sustituyendo el valor de by en 3 para encontrar bx,

por lo que se encuentran dos vectores que satisfacen las condiciones

b1 = 2i +23.5 jb2 = 22i+8.5 j





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Unidad III CINEMATICA3.1 Cinemática en una dimensión

3.1.1 Movimiento rectilíneo uniforme

3.1.2 Movimiento uniformemente acelerado

1. [2a, 3-6] La posición de una partícula a lo largo del eje x está dada por x=3t3-7t, donde

x está en metros y t en segundos. ¿Cuál es la velocidad media de la partícula durante el

intervalo desde t=2.0 s a t=5.0 s?

Evaluando la posición en t=3, t=5, y sustituyendo los valores en la fórmula se obtiene la

velocidad media

x(2)=3(2)³-7(2)=10 m

x(5)=3(5)³-7(5)=340 m

vm= Δx = xf-xi = (340 m)-(10 m) = 110 m/s

Δt tf -ti (5 s)-(2 s)

2. [2a, 3-8] Con base en la figura, determine: a) la velocidad media entre t = 2.0 s y t = 5.0

s y b) la velocidad instantánea en t = 3.0 s

a) De la figura

vmed = xf -xi = 1.1-3 = -0.6 m/stf -ti 5-2

b) Como v = dx/dt. En la figura se traza una recta aproximadamente tangente a lacurva en el punto (3,1.5) y se obtiene su pendiente.

v = 0.5-1.5 = -0.7 m/s

4.5-3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

t(s)

x ( m )

Figura 1





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3. [2a, 3-17] Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación

x=2t+3t², donde x está en m y t en s. calcule la velocidad y la aceleración instantáneasen t=3 s.

La posición de la partícula esta dada por x=2t+3t²

Derivando la posición con respecto al tiempo, y evaluando en t=3 sv = dx = (2+6t) m/s

dt

v(3)=2+6(3)=20 m/s

Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo

a = dv = 6 m/s²dt

Por lo que la aceleración es la misma para todo tiempo

4. [2a, 3-21] Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuaciónx=2+3t-t², donde x está en m y t en s. En t=3 s, halle: a) la posición de la partícula, b)

su velocidad y c) su aceleración.a) Evaluando la posición en t=3 s

x(3)=2+3(3)-(3)²=2 m

b) Derivando la posición con respecto al tiempo, y evaluando en t=3 s

v = dx = (3-2t) m/sdt

v(3)=3-2(3)= -3 m/sc) Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo

a = dv = -2 m/s²dt

Por lo que la aceleración es la misma para todo tiempo

5. [2a, 3-25] Un cuerpo que se mueve con aceleración uniforme tiene una velocidad de 12cm/s cuando su coordenada x es de 3 cm. Si su coordenada x dos segundos más tarde es

–5 cm, ¿cuál es la magnitud de su aceleración?Datos: vo=12 cm/s; xi=3 cm; xf = -5 cm

De la ecuación y=vot+(1/2)at², la distancia recorrida es –8 m, sustituyendo valores

-8=(12cm/s)(2s)+(1/2)a(2s)²Despejando la aceleración

a=(-8m-24m)2= -16 cm/s²4

La magnitud de la aceleración es

|a|=16 cm/s²





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6. [2a, 3-45] Se dio la noticia de que una mujer había caído 144 ft desde el decimoséptimo

piso de un edificio, golpeándose finalmente contra la caja metálica de un ventilador quese aplastó 18 in. La mujer sólo sufrió pequeñas lesiones. Despreciando la resistencia del

aire calcule: a) la rapidez de la caída de la mujer precisamente antes de chocar contra el

ventilador, b) su desaceleración al estar en contacto con la caja y c) el tiempo que tardóen aplastar la caja.

Datos: y1=144 ft; y2=18 in=1.5 ft; vo=0

a) La velocidad final de la mujer antes de chocar contra el ventilador se obtiene de la

ecuación v²=vo²+2ay

_______ _____________________ v=√vo²+2ay1 = √0²+2(-32.185 ft/s²)(-144 ft) = -96.277 ft/s

b) Despejando la aceleración de v²=vo²+2ay, ahora la velocidad final es cero, y la

distancia recorrida es 1.5 ft.

a = v2-vo² = 0²-(-96.277)² = 3089.754 ft/s²

2y2 2(-1.5)c) De la ecuación y=vot+(1/2)at², la distancia recorrida es 1.5 ft, sustituyendo valores

-1.5=(-96.277 ft/s)t+(1/2)(3089.754 ft/s²)t²


t=0.031 s

7. [2a, 3-47] Un estudiante lanza un juego de llaves verticalmente hacia arriba a sucompañera que se encuentra en una ventana 4 m arriba. Las llaves son atrapadas 1.5 s

más tarde por la mano extendida de la compañera. a) ¿A qué velocidad fueron lanzadas

las llaves? b) ¿Cuál era la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas?

Datos: y=4 m; t=1.5 sa) Despejando la velocidad inicial de la ecuación y=vot+(1/2)at²

vo = y-(1/2)at² = (4 m)-(1/2)(-9.81 m/s²)(1.5)² = 10.024 m/s

t 1.5 s b) Utilizando la ecuación v=vo+at

v=vo+at = (10.024 m/s)+(-9.81 m/s²)(1.5 s) = -4.69 m/s vienen bajando





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8. [2a, 3-49] Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el piso con una rapidez

inicial de 15 m/s. a) Cuánto tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? b) ¿Cuál es sualtura máxima? c) Determine la velocidad y aceleración de la pelota en t=2 s.

Datos: vo=15 m/s;

a) Despejando el tiempo de la ecuación v=vo+at, la velocidad final es igual a cero

t = v-vo = 0-15 m/s = 1.529 sa -9.81 m/s²

b) Despejando la altura de la ecuación v²=vo²+2ay, la velocidad final es igual a cero

y = v²-vo² = 0-(15 m/s)² = 11.468 m2a 2(-9.81 m/s²)

c) Empleando la ecuación v=vo+at, y sustituyendo para t=2 s

v=(15 m/s)+(-9.81 m/s²)(2 s)= -4.62 m/sDerivando la ecuación v=vo+at con respecto al tiempo a=d(vo+at)/dt=a= -9.81 m/s²

9. [2a, 3-51] Se lanza una pelota hacia arriba en línea recta, desde el piso con una rapidezde 4.0 m/s. a) ¿Cuánto tiempo transcurre entre los dos momentos en que su velocidad

tiene una magnitud de 2.5 m/s? b) ¿A qué distancia del piso se encuentra la pelota enesos instantes?

Datos: vo=4 m/s; v=2.5 m/s

a) Despejando el tiempo de la ecuación v=vo+at, tomando 2.5 m/s para la velocidad de

subida

t1 = v-vo = (2.5 m/s)-(4 m/s) = 0.153 sa -9.81 m/s²

Despejando el tiempo de la ecuación v=vo+at, tomando -2.5 m/s para la velocidad de bajada

t2 = v-vo = (-2.5 m/s)-(4 m/s) = 0.663 sa -9.81 m/s²

Para encontrar el tiempo transcurrido se resta el tiempo de subida al tiempo de bajada

t2-t1=(0.663 s)-(0.153 s)=0.51 s

b) Despejando la altura de la ecuación v²=vo²+2ay

y = v²-v²o = (2.5 m/s)²-(4 m/s)² = 0.497 m2a 2(-9.81 m/s²)





DICIEMBRE DE 2007

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10. [2a, 3-58] Una partícula se mueve a lo largo del eje x con una aceleración que es

proporcional al tiempo de acuerdo con la expresión a=30t, donde a está en m/s².Inicialmente la partícula está en reposo en el origen. Encuentre: a) la velocidad

instantánea y b) la posición instantánea en función del tiempo.

Datos: a=(30t) m/s²

a) Como la aceleración es a = dv/dt, para obtener la velocidad se plantea la integral y seresuelve

v=∫a dt=∫30t dtv=15t²+c1

Para encontrar c1 se utilizan las condiciones iniciales para t=0; v=0

v(0)= 15(0)²+c1=0

de la anterior c1=0, por lo que la velocidad instantánea esv=15t²

b) Como la velocidad es v = dx/dt, para obtener la posición se plantea la integral y se

resuelvex=∫v dt=∫15t² dt

x=5t³+c2

Para encontrar c2 se utilizan las condiciones iniciales para t=0; x=0

x(0) =5(0)³+c2=0

de la anterior c2=0, por lo que la posición instantánea esx=5t³

11. [2a, 3-60] La aceleración de una canica en un cierto fluido es proporcional al cuadradode su velocidad, y está dada (en m/s²) por a= -3v² para v>0. Si la canica entra al fluido

con una rapidez de 1.50 m/s, ¿cuánto tiempo pasará antes de que la rapidez de la canicase reduzca a la mitad de su valor inicial?

Datos: a=(-3v²) m/s²; vo=1.50 m/s; v=0.75 m/sComo la aceleración es a=dv/dt

-3v² = dv

dt

0.75

-3∫dt=∫ dv1.5

v²

Resolviendo la integral

-3t = -23Por lo que el tiempo transcurrido es

t = 2 = 0.222 s9





DICIEMBRE DE 2007

29

3.2 Cinemática en dos dimensiones

12. [2a, 4-3] Encuentre la magnitud y dirección del vector velocidad media de un minutero

que tiene 5 cm de longitud cuando el tiempo cambia de 4:15 a 4:30

El desplazamiento de la punta del minutero desde las 4:15 hasta las 4:30 es.

_________ Δr = ⎜r f - r i⎪= √(-5)

2+(-5)

2= 7.071 cm

Por lo tanto la magnitud del vector velocidad es

vm= Δr = 7.071 cm = 7.86x10-3 cm/sΔt 900 s

Si trasladamos este vector al origen, el ángulo que forma con el eje x positivo es

θ =180°+arctan[(-5)/(-5)]° = 225°

13. [2a, 4-9] Una partícula localizada inicialmente en el origen tiene una aceleración dea=3 j m/s

2y una velocidad inicial de vo=5i m/s. Halle a) el vector de posición y de la

velocidad en cualquier tiempo t y b) las coordenadas y la rapidez de la partícula en t=2

s.

Datos: a=3 j m/s2; vo=5i m/s

a) Calculando la velocidad final de la partículav = vo+at = (5i+3t j)m/s

Obteniendo el vector de posición

Como v = dr/dt

r = ∫vdt = ∫(5i+3t j)dt = (5ti+1.5t2 j)m

b) Calculando las coordenadas de la posición para t =2 s

r(2) = (5)(2 )i+(1.5)(2)2 j = (10 m, 6 m)

Obteniendo las coordenadas de la rapidez para t =2 s

v(2) = (5)i+(3)(2) j = (5 m, 6 m)Ahora obteniendo su magnitud

________ ⎜v⎪ = √(5)

2+(6)

2= 7.81 m/s





DICIEMBRE DE 2007

30

3.2.1 Tiro parabólico

14. [2a, 4-10] Se coloca un estudiante en el borde de un acantilado y lanza una piedrahorizontalmente sobre el borde con una rapidez de 18 m/s. El acantilado está a 50 m de

altura respecto a una playa plana horizontal, como se muestra en la figura. ¿En cuántotiempo, después de ser lanzada la piedra, golpeará la playa bajo el acantilado? ¿Con qué

rapidez y ángulo golpeará la playa?

Datos: vox=18 m/s; voy=0; y=50 mPara el eje vertical se utiliza y=voyt+(1/2)at², la velocidad inicial en y es cero

15. [2a, 4-12] Un estudiante decide medir la velocidad de salida de las pelotillas de su

escopeta BB; apunta su escopeta horizontalmente. El blanco está localizado sobre una pared vertical, a una distancia x de la escopeta. El disparo golpea el blanco a una

distancia vertical y abajo del cañón. a) Muestre que la posición de la pelotilla cuandoviaja por el aire está dada por y= Ax², en donde A es una constante. b) Exprese la

constante A en términos de la velocidad inicial y la aceleración debida a la gravedad. c)

Si x=3.0 m; y=0.21 m, ¿Cuál es la rapidez de la BB?a) Como la velocidad en x es

vx=x/t (1)

La posición en y esta dada por y=voyt+(1/2)at² (2)

Despejando el tiempo de (1) y sustituyendo en (2), se obtiene

y=[a/(2 vx²)]x² (3) b) por lo que A= g/(2 vx²)

c) Datos: x=3.0 m; y=0.21 m

Despejando vx de (3)

________ ______________________ vx=√(x²a)/(2y) =√3² (-9.81 m/s²)/[(2)(-0.21)] =14.5 m/s

-50=(0)t+(1/2)(-9.81)t²Despejando el tiempo

____________________________

t=√(-50 m)(2)/(-9.81 m/s²) =3.19 sDespejando la velocidad final en y de vy²=vo²+2ay

_______________________________ vy=√02+(2)(-9.81 m/s²)(-50 m) = -31.32 m/s

Como la velocidad en x es vx=x/t

Despejando x se tiene

x= vxt=(18 m/s)((3.193 s)=57.474 mLa magnitud de la velocidad final es

_________ ____________________________

vf =√vx²+vy² =√(18 m/s)²+(-31.32 m/s)² = 36.13 m/s

El ángulo es

θ=arc tan(vy/vx)= arc tan[(-31.32 m/s)/(18 m/s)]= -60.11°

h= 50 m

g

Vo = 1 8 m /s

x

y

Figura 2





DICIEMBRE DE 2007

31

16. [2a, 4-14] Un balón de futbol que se patea a un ángulo de 50° con la horizontal, recorre

una distancia horizontal de 20 m antes de chocar contra el suelo. Encuentre: a) larapidez inicial del balón, b) el tiempo que permanece en el aire y c) la altura máxima

que alcanza.

a) Las velocidades iniciales vx, vy son:

vx = vcosθ =x/t (1)

voy = vsenθ (2)La altura final al recorrer los 20 m será cero, por lo tanto:

0 = voyt + (1/2)at2

(3)

Despejando t, voy de 1 y 2 y sustituyendo en 3

0 = vsenθx + (1/2)ax2

vcosθ v2cos

2θDespejando la velocidad inicial v

___________________ _________________________________

v = √[(a)(x)]/[(2cosθ)(senθ)] =√[(-9.81 m/s2

)(-20 m)/[(2cos50°)(sen50°)] = 14.11 m/s b) el tiempo que permanece en el aire se obtiene haciendo y = 0

0 = voyt + (1/2)at2

Sustituyendo valores y formando la ecuación cuadrática

-4.905t2+10.81t = 0


t = 2.2 s

c) La altura máxima se obtiene haciendo la velocidad vfy igual a cerovfy

2= voy

2+2ay

0 = (vsenθ)2+2ay

Despejando y

y = -(vsenθ)2 = -[(14.11 m/s)(sen50°)]2 = 5.95 m2a (2)(-9.81 m/s

2)

17. [2a, 4-16] Un lanzador de bala lanza ésta desde 2.3 m arriba del suelo y con un ángulo

de 60° con la horizontal. La bala choca con la Tierra a una distancia de 20.5 m, a 0.60 mmenos del récord estatal. a) ¿Cuáles son las componentes de la velocidad cuando choca

con el suelo? b) ¿Cuál sería el alcance si la lanza a 45° desde una altura de 2.2 m?

(Suponga que la rapidez inicial no cambia).

a) Las velocidades iniciales vx, vy son:


voy = vsenθ (2)La altura final al recorrer los 20.5 m es –2.3 m, es decir por abajo del punto de

lanzamiento:

y = voyt + (1/2)at2

(3)Despejando t, voy de 1 y 2 y sustituyendo en 3

y = vsenθx + (1/2)ax2

vcosθ v2cos

2θ





DICIEMBRE DE 2007

32

Despejando la velocidad inicial v

_______________________ v = √[(a)(x

2)]/[(2cos

2θ)(y-xtanθ)] _____________________________________

= √[(-9.81)(20.5)2

]/[(2cos2

60°)(-2.3-20.5tan60°)] = 14.77 m/s

Por lo tanto las componentes se obtienen sustituyendo el valor de v en 1 y 2

vx = vcosθ = (14.77 m/s)cos60° = 7.38 m/s

voy = vsenθ = (14.77 m/s)sen60° = 12.79 m/sUtilizando la ecuación vfy

2= voy

2+2ay para despejar la velocidad final en y

________ ___________________________ vfy = √voy

2+2ay = √(12.79 m/s)

2+2(-9.81 m/s

2)(-2.3 m) = 14.45 m/s

b) La velocidad es la misma que la obtenida en a) pero cambia θ y la alturaDespejando t, voy de 1 y 2 y sustituyendo en 3

y = vsenθx + (1/2)ax2

vcosθ v2cos2θSimplificando

-2.2 =xtanθ + (a/(2v2cos

2)x

2

Resolviendo la ecuación cuadráticax = 24.25 m

18. [2a, 4-18] Muestre que el alcance horizontal de un proyectil con una rapidez inicial fija

será el mismo para cualesquiera dos ángulos complementarios, tales como 30° y 60°.Las velocidades iniciales vx, vy son:


voy = vsenθ (2)La altura final al recorrer x m será cero

0 = voyt + (1/2)at2 (3)Despejando el tiempo de 1

t = x 0

vx

Despejando el tiempo de la ecuación cuadrática 3

t = -2voy

aIgualando los dos despejes del tiempo

x = -2voy

vx a

Despejando el alcance máximo x

x = -2vxv0y = -2v2cosθsenθa a

Como

cos30°sen30° = cos60°sen60°Por lo tanto el alcance es el mismo





DICIEMBRE DE 2007

33

19. [2a, 4-20] Se apunta un rifle horizontalmente a través de su mira hacia el centro de un

blanco grande que está a 200 m. La velocidad inicial de la bala es de 500 m/s. a) ¿Endónde golpea la bala en el blanco? b) Para dar en el centro del blanco, el cañón debe

estar a un ángulo arriba de la línea de puntería. Halle el ángulo de elevación del cañón.

Datos: x = 200 m; vx = 500 m/s

a) La velocidad vx, es:vx = x/t (1)

Como la velocidad voy = 0

y = 0 – (1/2)gt2

(2)

Despejando el tiempo de 1 y sustituyendo en 2y = (1/2)(9.81 m/s

2)[(200 m)/(500 m/s)]

2= 0.785 m

b) Empleando 2cosθsenθ = sen2θ en el alcance máximo

x = 2v2cosθsenθ = v

2sen2θ

g g

Despejando a θθ = arcsen(xg/vo2) = arcsen[(200 m)(9.81 m/s

2)/(500 m/s)

2= 0.22°

2 2





DICIEMBRE DE 2007

34

Unidad IV DINAMICA4.1 Conceptos básicos: masa, peso y fuerza

Masa inercial y masa gravitacionalMasa es una cantidad escalar definida por la relación m = F/a, donde F es la magnitud de lafuerza que actúa en el cuerpo y a es el valor de la aceleración que f produce en el.

La masa puede ser considerada como una medida del concepto de inercia, de manera que si

la masa de un objeto es pequeña, tendrá poca inercia. La masa de un cuerpo no cambia alser trasladado de un lugar a otro. En cambio su peso si varia, ya que g varia con la altitud y

con la latitud.

Hay dos formas de medir la masa de un cuerpo:

1. Proporcionándole al cuerpo un fuerza conocida F, se mide su aceleración y se

determina m=F/a

2. Con una balanza de brazos iguales equilibrada, este proceso de medición funcionaúnicamente en lugares donde los cuerpos tienen peso.

La masa que se presenta en la ecuación F=ma, de los experimentos de dinámica se leconoce como masa inercial.

Hay otra situación diferente en la que aparece la masa del cuerpo, aquí la inercia no juega

ningún papel, lo que interviene es la propiedad de los cuerpo materiales de ser atraídos por otros objetos como la Tierra.

F = G m’Mt

Rt2

Donde m’ se le conoce como masa gravitacional

Newton llegó a la conclusión que la masa inercial de un cuerpo es equivalente a su masagravitacional, es decir.m = m’

4.1.1 Sistemas de referencia: inerciales y no inerciales

1. [2a, 2-1] Las coordenadas cartesianas de dos puntos en el plano xy son: (2.0,-4.0) y (-3.0,3.0), donde las unidades son m. Determine: a) La distancia entre estos dos puntos y

b) sus coordenadas polares.

a) Obteniendo la distancia entre los dos puntos ________________ ________________________

d = √(x2-x1)2

+ (y2-y1)2

= √(-3.0 – 2.0)2

+ (3.0 + 4.0)2

= 8.6 m

b) Obteniendo las coordenadas polares (r, θ) para el primer punto





DICIEMBRE DE 2007

35

_______ ________ r = √x2

+ y2

= √22+ (-4)

2= 4.47 m

θ = 360° - arctan(y/x) = 360° - arctan(-4/2) = 297°

Obteniendo las coordenadas polares (r, θ) para el segundo punto _______ ________ r = √x2

+ y2

= √(-3)2

+ 32

= 4.24 m

θ = 180° + arctan(y/x) = 180° - arctan[3/(-3)] = 135°

2. [2a, 2-5] Una esquina de un cuarto se elige como el origen de un sistema decoordenadas rectangular. Si una mosca está parada sobre una pared adyacente a un

punto que tiene coordenadas (2.0,1.0), donde las unidades están en metros, ¿cuál es ladistancia de la mosca desde la esquina del cuarto?

Obteniendo la distancia entre los puntos (0,0) y (2.0,1.0) ________________ ___________________

d = √(x2-x1)2

+ (y2-y1)2

= √(2.0 - 0)2

+ (1.0 - 0)2

= 2.24 m

3. [2a, 2-7] Un punto está localizado en un sistema de coordenadas polares mediante las

coordenadas r = 2.5 m y θ = 35°. Determine las coordenadas xy de este punto,suponiendo que los dos sistemas de coordenadas tienen el mismo origen.

Obteniendo las coordenadas (x,y)

x = r(cosθ) = 2.5(cos35°) = 2.05 m

y = r(senθ) = 2.5(sen35°) = 1.43 m

4.2 Leyes de Newton

Primera ley de NewtonLey de la inercia. Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo

uniforme mientras no lo afecte una fuerza externa

Segunda ley de Newton2a. Ley de Newton , también llamada Ley de la proporcionalidad entre fuerzas y

aceleraciones. Cuando se aplica una fuerza constante a un cuerpo, la aceleración producidaes directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa, es decir.

Fx=max, Fy=may, Fz=maz.

Dicho en otras palabras, la fuerza aplicada a un cuerpo es igual al producto de la masa, por la aceleración producida.

Tercera ley de Newton





DICIEMBRE DE 2007

36

3a. Ley de Newton, también llamada Ley de la acción y de la reacción. “A toda acción

corresponde una reacción igual y de sentido contrario”.

4.2.1 Diagrama de cuerpo libre

4. [2a, 5-26] Determine la tensión en cada una de las cuerdas para los sistemas que sedescriben en la figura siguiente. (Desprecie la masa de las cuerdas.)

a) Diagrama de cuerpo libre

Haciendo la sumatoria de fuerzas

ΣFx = -T1cos40°+T2cos50° = 0 (1)

ΣFy = T1sen40°+T2sen50°-mg = 0 (2)

Despejando T2 de 1

T2 = T1cos40° (3)

cos50°

Sustituyendo T2 en 2 y despejando a T1

(5)(9.81 m/s2) a

T1 = sen 40°+ cos40°sen50° = 31.53 N

cos50°

Sustituyendo el valor de T1 en 3 para encontrar el valor de T2

T2 = (31.53 N)cos40° = 37.57 N

40° 50°

T1

T2

T3

T1T2

T3

60°

5 kg10 kg

a) b)

40° 50°

T1 T2

x

y

T3

Figura 3





DICIEMBRE DE 2007

37

cos50° T3 = mg = (5 kg)(9.81 m/s

2) = 49.05 N

b) Diagrama de cuerpo libre


ΣFx = -T1cos60°+T2 = 0 (1)

ΣFy = T1sen60°-mg = 0 (2)Despejando T1 de 2

T1 = mg = (10 kg)(9,81 m/s2

= 113.28 N

sen60° sen60° Sustituyendo el valor de T1 en 2 para encontrar T2

T2 = T1cos60° = (113.28 N)cos60° = 56.64 N

T3 = mg = (10 kg)(9.81 m/s2

) = 98.1 N

60°

T1

T2

x

y

T3





DICIEMBRE DE 2007

38

5. [2a, 5-31] Una bolsa de cemento cuelga de tres alambres como se muestra en la figura.

Dos de los alambres forman los ángulos θ1 y θ2 con la horizontal. Si el sistema está en

equilibrio, a) muestre queT1 = Wcos(θ2) 4

sen(θ1+θ2) b) Dados W = 200 N, θ1 = 10° y θ2 = 25°, encuentre las tensiones T1, T2 y T3 de losalambres.

Diagrama de cuerpo libre

a) Sumatoria de fuerzas

ΣFx = -T1cosθ1+T2cosθ2 = 0 (1)

ΣFy = T1senθ1+T2senθ2-W = 0 (2)

Despejando T2 de 1

T2 = T1cosθ1 (3)

cosθ2 Sustituyendo T2 en 2 y despejando T1

Wcosθ2 1 Wcosθ2 1

T1 = senθ1cosθ2+cosθ1senθ2 = sen(θ1+θ2)

b) Sustituyendo valores en la ecuación anterior para encontrar T1

T1 = Wcosθ2 = 200cos25° = 316 N

sen(θ1+θ2) sen(10°+25°)Sustituyendo en 3 para encontrar T2

T2 = T1cosθ1 = (316 N)cos10° = 343 N

θ1 θ2

WCCEMENTO

θ1 θ2

T1T2

x

y

W

Figura 4





DICIEMBRE DE 2007

39

cosθ2 cos25°T3 = W = 200 N

6. [2a, 5-39] Se conectan dos masas de 3 kg y 5 kg por medio de una cuerda que pasa

sobre una polea lisa, como se indica en la figura. Determine a) la tensión en la cuerda,

b) la aceleración de cada masa y c) la distancia que recorre cada masa en el primer segundo de movimiento si parten del reposo.

Máquina de Atwood Diagrama de cuerpo libre

a) Haciendo la sumatoria de fuerzas que actúan en cada masa

T-m1g = m1a (1)

T-m2g = -m2a (2)

Despejando la aceleración de 1

a = T-m1g (3)

m1Sustituyendo en 2 y despejando T

T = 2m1m2g = 2(3 kg)(5 kg)(9.81 m/s2) = 36.8 N

m1+m2 3 kg+5 kg

b) Sustituyendo el valor de T en 3 para encontrar la aceleración

a = (36.8 N)-(3 kg)(9.81 m/s2) = 2.45 m/s

2

3 kg

c) Como la velocidad inicial es cero

y = vot + (1/2)at2

= (1/2)(2.45 m/s2)(1 s)

2= 1.22 m

7. [2a, 5-1] Una fuerza, F, aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleración de 3m/s

2. La misma fuerza aplicada a un segundo objeto de masa m2 produce una aceleración

de 1 m/s2. a) ¿Cuál es el valor de la razón m1/m2? b) Si se sujetan m1 y m2, calcule su

aceleración con la acción de la fuerza F.

Datos: a1 = 3 m/s2; a2 = 1 m/s

2

m1

m2

T

m1

m2

a

m1g

m2g

a

T

Figura 5





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40

a) Se tiene una fuerza F aplicada a dos masas m1 y m2, por lo que:F = m1a1 (1)

F = m2a2 (2)

Igualando la ecuación (1) con (2)m1a1 = m2a2

m1 = a2 = 1 m/s2

= 1/3

m2 a1 3 m/s2

b) si se sujetan m1 y m2

F = (m1+m2)a3 (3)

Del resultado del inciso a), se pone m1 en función de m2, y sustituyendo en (3)

F = [(1/3)m2+m2]a3 = (4/3)m2a3

Igualando esta última ecuación con (2)(4/3)m2a3 = m2a2

Cancelando la masa m2 y despejando a3a3 = (3/4)a2 = (3/4)(1 m/s

2) = 0.75 m/s

2

8. [2a, 5-2] Un objeto de 6 kg experimenta una aceleración de 2 m/s2. a) ¿Cuál es la

magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre él? b) Si se aplica esta misma fuerza a un

objeto de 4 kg, ¿qué aceleración le producirá?

Datos: m1 = 6 kg; a1 = 2 m/s2

a) De la segunda Ley de Newton

F = m1a1 = (6 kg)( 2 m/s2) = 12 N

b) F = m2a2

Despejando la aceleración a2a2 = F/m2 = (12 N)/(4 kg) = 3 m/s

2

9. [2a, 5-3] Una fuerza de 10 N actúa sobre un cuerpo de masa 2 kg. ¿Cuál es a) laaceleración del cuerpo, b) su peso en N y c) su aceleración si se duplica la fuerza?

Datos: F1 = 10 N; m = 2 kg

a) De la segunda Ley de Newton F1 = ma1

Despejando la aceleración a1

a1 = F1/m = (10 N)/(2 kg) = 5 m/s2

b) P = mg = (2 kg)( 9.81 m/s2) = 19.6 N

c) F2 = ma2

Despejando la aceleración a2a2 = F2/m = (20 N)/(2 kg) = 10 m/s

2

10. [2a, 5-7] Una masa de 3 kg adquiere una aceleración de a = (2i +5 j) m/s2. Calcule la

fuerza resultante, F, y su magnitud.

Como F = ma = (3 kg)[(2i +5 j) m/s2] = (6i +15 j) N





DICIEMBRE DE 2007

41

________ ⎜F⎪ = √62

+(15)2

= 16.2 N

11. [2a, 5-9] Una persona pesa 120 lb. Determine a) su peso en N y b) su masa en kg.

Como 1 libra = 4.448 N

Por lo tanto

120 lb = 533.8 N

Despejando la masa de la segunda Ley de Newtonm = P/g = (534 N)/(9.81 m/s

2) = 54.4 kg

12. [2a, 5-11] ¿Cuál es la masa de un astronauta cuyo peso sobre la Luna es de 115 N? Laaceleración debida a la gravedad sobre la Luna es de 1.63 m/s

2.

Como F = maDespejando la masa

m = F/a = (115 N)/(1.63 m/s

2

) = 70.6 kg

13. [2a, 5-12] Si un hombre pesa 900 N sobre la Tierra, ¿cuál sería su peso en Júpiter, endonde la aceleración debida a la gravedad es de 25.9 m/s

2.

Como P1 = mg

Despejando la masa

m = P1/g = (900 N)/(9.81 m/s2) = 91.74 kg

Utilizando la masa obtenida y la aceleración de la gravedad en Júpiter P2 = ma = (91.74 kg)(25.9 m/s

2) = 2376.15 N

14. [1a, 5-4] Un viajero espacial cuya masa es de 75 kg abandona la Tierra. Calcular su peso a) en la Tierra, b) en Marte, en donde g = 3.8 m/s

2y c) en el espacio interplanetario

d) ¿Cuál es su masa en cada uno de estos sitios?

a) P1 = mg = (75 kg)(9.81 m/s2) = 735.8 N

b) P2 = mgm = (75 kg)(3.8 m/s2) = 285 N

c) P3= m(0) = (75 kg)(0) = 0 N

d) La masa es la misma para todos los sitios

15. [2a, 5-20] Un objeto de 9 kg experimenta una aceleración de 2 m/s2

hacia la derecha conla acción de dos fuerzas, F1 y F2. F1 actúa hacia la derecha y tiene una magnitud de 25

N. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de F2?

La fuerza neta resultante que actúa sobre el objeto es





DICIEMBRE DE 2007

42

FR = ma = (9 kg)(2 m/s2) = 18 N

Haciendo la sumatoria de fuerzas en x e igualándola con F para encontrar F2

ΣFx = 25 N+F2 = 18 N

Despejando F2

F2 = 18 N –25 N = -7 N

16. [2b, 5-16] De manera simultánea se aplican fuerzas de 10.0 N al norte, 20.0 N al este y15.0 N al sur sobre una masa de 4.00 kg. Obtenga su aceleración.


ΣFx = 20 N

ΣFy = 10 N-15N = -5 N

Obteniendo la resultante ____________ __________

FR = √(ΣFx)2+(ΣFy)

2= √(20)

2+(-5)

2= 20.6 N

Por lo que la aceleración es:

a = FR /m = (20.6 N)/(4 kg) = 5.15 m/s2

4.3 Fuerzas de la NaturalezaTodas las fuerzas en la naturaleza pueden clasificarse en cuatro tipos

1. Fuerzas gravitacionales, que relativamente son muy débiles.2. Fuerzas electromagnéticas, que tienen una intensidad intermedia.

3. Fuerzas nucleares que mantienen unidos a los neutrones y a los protones en el núcleo y

son las más intensas de todas.

4. Fuerzas de interacción débil , que intervienen en el decaimiento β de los núcleos y enlas interacciones de muchas partículas elementales.





DICIEMBRE DE 2007

43

4.3.1 Fuerza de rozamiento

4.3.2 Coeficiente de fricción estática, y coeficiente de fricción cinética

4.4 Aplicaciones

17. [2a, 5-48] Un bloque de 25 kg está inicialmente en reposo sobre una superficie

horizontal áspera. Se requiere una fuerza horizontal de 75 N para hacer que el bloque se ponga en movimiento. Una vez que se encuentra en movimiento, se requiere una fuerza

horizontal de 60 N para mantenerlo en movimiento con rapidez constante. Calcule los

coeficientes de rozamiento estático y cinético a partir de esta información.Datos: m = 25 kg; vo = 0; F1 = 75 N; F2 = 60 N;

Diagrama de cuerpo libre

Sumatoria de fuerzas en x

ΣFx: -f+F1 = 0 (1)

ΣFy: -mg+N = 0 (2)

Como f ≤ μs N, la igualdad se establece cuando el bloque está a punto de deslizarse

Despejando N de 2 y sustituyendo en 1

-μsmg+F1 =0

Despejando el coeficiente de fricción estático

μs = F1 = 75 N = 0.31

mg (25 kg)(9.81 m/s2)

Cuando ya se ha iniciado el movimiento la rapidez es constante por lo que a=0, las

ecuaciones 1 y 2 siguen siendo válidas, pero con F2 y μk , por lo tanto

-μk mg+F2 =0

μk = F2 = 60 N = 0.24mg (25 kg)(9.81 m/s

2)

N

mg

f F





DICIEMBRE DE 2007

44

18. [2a, 5-50] Un automóvil de carreras se acelera uniformemente desde 0 hasta 80 mi/h en8 s. La fuerza externa que acelera el automóvil es la fuerza de rozamiento entre los

neumáticos y el piso. Si los neumáticos no giran, determine el coeficiente mínimo de

rozamiento entre los neumáticos y el piso.Convirtiendo mi/h a m/s

80mi (1609.344 m) (1 h) = 35.76 m/sh 1 mi 3600 s

Obteniendo la aceleración

a = Δv = 35.76 m/s - 0 = 4.47 m/s2

Δt 8 s

Sumatoria de fuerzasf = ma (1)

Como f = μ N = μmg, sustituyendo en 1

μmg = ma

Cancelando la masa y despejando μμ = a = 4.47 m/s2

= 0.46g 9.81 m/s

2

19. [2a, 5-52] Un automóvil se está moviendo a 50 mi/h sobre una carretera horizontal. a) Siel coeficiente de rozamiento entre el piso y los neumáticos en un día lluvioso es de 0.1,

¿cuál es la distancia mínima en la que el automóvil se detendrá? b) ¿Cuál es la distancia

para detenerse cuando la superficie está seca y μ=0.6? c) ¿Por qué debe evitarse oprimir

de golpe los frenos sí se desea detenerlo en la distancia más corta?a) Convirtiendo mi/h a m/s

50 mi (1609.344 m) (1 h) = 22.35 m/s

h 1 mi 3600 sHaciendo la sumatoria de fuerzas

f = ma (1)


μmg = -maCancelando la masa y obteniendo la aceleración

a = -μg = -(0.1)(9.81 m/s2) = -0.981 m/s

2

Despejando la distancia de la ecuación v2

= vo2+2ax

x = v2-vo

2= 0

2-(22.35 m/s)

2= 254.6 m

2a 2(-0.981 m/s2)

b) Ahora μ=0.6, obteniendo la aceleración

a = -μg = -(0.6)(9.81 m/s2) = -5.886 m/s2


= vo2+2ax

x = v2-vo

2= 0

2-(22.35 m/s)

2= 42.4 m

2a 2(-5.886 m/s2)

c) Al oprimirse de golpe los frenos, las llantas patinan y el dibujo de las llantas se

hace más liso, por lo que el coeficiente de fricción disminuye.





DICIEMBRE DE 2007

45

20. [2a, 5-56] Un “puck” de hockey que está sobre un lago congelado se golpea e inicia su

movimiento con una velocidad de 12.0 m/s. En t=5.0 s, su velocidad es de 6.0 m/s. a)¿Cuál es la aceleración media del “puck”? b) ¿Cuál es el valor medio del coeficiente de

rozamiento entre el “puck” y el hielo? c) ¿Qué distancia recorre el “puck” durante el

primer intervalo de 5 s?a) Obteniendo la aceleración media

am = vf -vi = (6 m/s)-(12 m/s) = -1.2 m/s2

Δt 5 sHaciendo la sumatoria de fuerzasf = ma (1)


μmg = ma b) Cancelando la masa y obteniendo el coeficiente de fricción

μ = a = -1.2 m/s2

= 0.122g -9.81 m/s

2

c) Obteniendo la distancia recorridax = vot+(1/2)at

2= (12 m/s)(5 s)+(1/2)(-1.2 m/s

2)(5 s)

2= 45 m

21. Un niño tira de una caja utilizando una cuerda que hace un ángulo de 30° con lahorizontal, con una fuerza de 9 N, con una velocidad constante, el peso de la caja es de

15 N. a) Encuentre la fuerza normal y la de rozamiento. b) Halle el coeficiente derozamiento cinético.

Datos: θ=30°; F=9 newtons; w=15 newtons

a) Σf x: -f+9cos30°=0 (1)

Σf y: N-15+9sen30°=0 (2)Despejando la fuerza de rozamiento de la ecuación (1)

f=9cos30°=7.79 newtonsDespejando la fuerza Normal de la ecuación (2)

N=15-9sen30°=10.5 newtons b) Como f k =Nμk

Despejando el coeficiente de rozamiento cinético

μk =(f k )/N=(7.794 N)/(10.5 N)=0.74

9 newtons

w

f

N

30°w

9 newtons

N

f 30°





DICIEMBRE DE 2007

46

22. Un hombre arrastra una canasta de 160 N que se desliza sobre el piso con velocidad

constante por medio de una cuerda que hace 38° con la horizontal y aplicando unafuerza de 77 N. a) ¿Cuál debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que la canasta

permanezca en reposo? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza normal?

a) Σf x: -f+77cos38°=0 (1)

Σf y: N-160+77sen38°=0 (2)Despejando la fuerza de rozamiento de la ecuación 1

f=77cos38°=60.68 newtons b) Despejando la fuerza Normal de la ecuación 2

N=160-77sen38°=112.59 newtons

23. [4, 6-3] Una caja de madera de 40 kg se empuja a lo largo del piso con una fuerza de

198 N. Si μ=0.25, calcular la aceleración de la caja.

Datos: w=40 kg; F=198 newtons; μ=0.25

El peso de la caja es:

w=mg=(40 Kg)(9.81 m/s²)=392.4 newtons

La fuerza de rozamiento es igual al coef. de fricción por la fuerza normal

f=μ N=μw=(0.25)(392.4 N)=98.1 newtons

La fuerza neta aplicada a la caja esFt=198 newtons-98.1newtons=99.9 newtons

De la segunda Ley de Newton F=ma

Despejando la aceleración

a=F/m=(99.9 N)/(40 kg)=2.5 m/s²

77 newtons

w

f

N

38°

w

N

f 38°

77 newtons

f F





DICIEMBRE DE 2007

47

24. [4, 6-5] El coeficiente de rozamiento cinético entre las llantas de un automóvil y la

carretera es de 0.6. a) Encontrar el mínimo tiempo que emplea en detenerse un auto queviaja a 48 km/h. b) ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse?

Datos: μ=0.25; vo=48 km/h=13.333 m/s

a) Igualando la fuerza de rozamiento con la masa por la aceleración

f=μmg=maComo la masa se cancela

a=μg=(0.6) (9.81 m/s²)=5.886 m/s²Despejando t de la ecuación v=vo-at, y como la velocidad final es cero

t= vo/a=(13.333 m/s)/(5.886 m/s²)=2.27 s

b) Obteniendo la distancia recorridax=voxt-(1/2)at²=(13.333 m/s)(2.265 s)-(1/2)(5.886 m/s²)(2.265 s)²=15.10 m





DICIEMBRE DE 2007

48

4.4.1 Plano inclinado sin fricción y plano inclinado con fricción

4.4.2 Poleas

25. [2a, 5-40] Un bloque resbala hacia abajo de un plano liso que tiene una inclinación de θ

= 15° ver figura. Si el bloque parte del reposo desde la parte superior del plano y lalongitud del mismo es de 2 m, calcule a) la aceleración del bloque y b) su rapidezcuando llega a la parte inferior.

a) Obteniendo la sumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsenθ = macancelando la masa y despejando la aceleración

a = gsenθ = (9.81 m/s2)(sen15°) = 2.54 m/s

2

b) Obteniendo la velocidad final de la ecuación v2

=vo2+2ax

______ _________________ v =√vo

2+2ax = √02

+2(2.54 m/s2)(2 m) = 3.19 m/s

26. [2a, 5-41] A un bloque se le imprime una velocidad inicial de 5 m/s hacia arriba de un

plano inclinado que forma un ángulo de 20° con la horizontal. ¿Hasta qué punto del plano inclinado llega el bloque antes de detenerse?

Obteniendo la sumatoria de fuerzas paralela al plano

-mgsenθ = macancelando la masa y despejando la aceleración

a = -gsenθ = -(9.81 m/s2)(sen20°) = -3.36 m/s

2


= vo2+2ax

x = v2-vo

2= 0

2-(5 m/s)

2= 3.73 m

2a 2(-3.36 m/s2)

θ

Figura 6





DICIEMBRE DE 2007

49

27. [2a, 5-42] Se conectan dos masas por medio de una cuerda ligera que pasa sobre una polea lisa, como se ve en la figura. Si el plano inclinado no tiene fricción y si m1=2 kg,

m2=6 kg y θ=55°, calcule a) la aceleración de las masas, b) la tensión en la cuerda y c)

la rapidez de cada masa 2s después de que se sueltan a partir del reposo.

a) Haciendo la sumatoria de fuerzasSumatoria de fuerzas en y para m1

Σfy: -m1g+T = m1a (1)Sumatoria de fuerzas paralela al plano para m2

-T+m2gsenθ = m2a (2)Despejando T de 1

T = m1(a+g) (3)

Sustituyendo T en 2 y despejando la aceleración

a = g(m2senθ-m1) = (9.81 m/s2)[(6 kg)(sen55°)-2kg] = 3.57 m/s

2

m1+m2 6 kg+2 kg

b) Sustituyendo la aceleración encontrada en la ecuación 3 para encontrar TT = m1(a+g) = (2 kg)(3.57 m/s

2+ 9.81 m/s

2) = 26.76 N

c) Para encontrar la rapidez se utiliza la ecuación:

vf =vo+at = 0+(3.57 m/s2)(2 s) = 7.14 m/s

m2

m1

θ

Figura 7





DICIEMBRE DE 2007

50

28. Un objeto de 20 kg se desliza sobre un plano inclinado que hace 32° con la

horizontal, encuentre el coeficiente de rozamiento cinético si se considera que lavelocidad del objeto es constante.

Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano

N-mgcosθ=0

Despejando la fuerza normal

N= mgcosθ=(20 kg) (9.81 m/s²)cos32°=166.387 newtons

Sumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsenθ-f=0Despejando la fuerza de rozamiento

f= mgsenθ=(20 kg) (9.81 m/s²)sen32°=103.97 newtons

Como f=μ N, se despeja el coeficiente de fricción

μ=f/N=(103.97 N)/(166.387)=0.625

29. [3, 2-9] Suponga que el bloque que se muestra en la figura se encuentra en reposo. Elángulo del plano se aumenta lentamente, el bloque comienza a deslizarse. ¿Cuál es el

coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el plano inclinado?


N-mgcosθ=0

Despejando la fuerza normal

N= mgcosθSumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsenθ-f=0

Despejando la fuerza de rozamientof= mgsenθComo f s≤μ N, se despeja el coeficiente de fricción

μ s≤f/N≤ (mgsenθ)/(mgcosθ)μs ≤ (senθ/cosθ) ≤ tanθ

F

θ

f

F

θ

f





DICIEMBRE DE 2007

51

30. [3, 2-19] El bloque de la figura inicia su movimiento hacia arriba del plano inclinado

cuando la fuerza que lo empuja, como se muestra se incrementa a 70 N. a) ¿Cuál es lafuerza crítica de rozamiento estático sobre el bloque? b) ¿cuál es el valor del

coeficiente de rozamiento estático?

a) Sumatoria de fuerzas peralela al plano

-70cos 40°+f+60sen40°=0Despejando la fuerza de rozamiento

f = 70cos 40° - 60sen40°= 15.06 newtons

b) Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano-70sen40° - 60cos40° + N = 0Despejando la fuerza normal

N = 70sen40° + 60cos40° = 90.96 newtons

Como f= μ N, se despeja μμ = (f/N) = (15.06 N)/(90.96 N) = 0.166

31. [4, 6-16] Un carro frenado permanece en reposo sobre un plano inclinado de concreto

seco, cuando el ángulo entre el plano y la horizontal es inferior a 45°. Determinar elcoeficiente de rozamiento estático para llantas de caucho sobre concreto seco.


N-mgcosθ=0Despejando la fuerza normal

N= mgcosθSumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsenθ-f=0

Despejando la fuerza de rozamientof= mgsenθComo f s≤μ N, se despeja el coeficiente de fricción

μs≤f/N≤(mgsenθ)/(mgcosθ)μs≤senθ/cosθ ≤tanθμs≤tan(45°)≤1

F

45°

f

F

40°

f

60 N

40°





DICIEMBRE DE 2007

52

32. [4, 6-17] Se va a construir una rampa de acero para deslizar bloques de hielo desde una

planta de refrigeración hasta un piso inferior, si μ= 0.05, encontrar el ángulo deinclinación para el cual el hielo se deslizara a velocidad constante.


N-mgcosθ=0Despejando la fuerza normal

N= mgcosθ

Sumatoria de fuerzas paralela al planomgsenθ-f=0Despejando la fuerza de rozamiento

f= mgsenθComo f=μ NDespejando el coeficiente de fricción

μ=f/N= (mgsenθ)/(mgcosθ)Cancelando mg y sustituyendo μ0.05=senθ/cosθ=tanθθ=arctan(0.05)=2°51’44”.65

33. [4, 6-18] Un bloque baja por un plano inclinado de 8 m de longitud que forma unángulo de 30° con la horizontal. Si el bloque parte del reposo y μ=0.25, encontrar. a)

La aceleración del bloque. b) Su velocidad al final del plano. c) El tiempo que tarda enllegar al final del plano.

Datos: x=8 m; θ=30°; vo=0; μ=0.25

a) Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano

N-mgcosθ (1)

Sumatoria de fuerzas paralela al plano

mgsenθ-f (2)

F

θ

f

F

30°

f





DICIEMBRE DE 2007

53

Despejando N de (1) y como f=μ NSustituyendo f en (2) e igualando a la masa por la aceleración

mgsenθ-μmgcosθ=ma

Cancelando las masas y despejando la aceleración, se obtiene

a= g(senθ-μcosθ )=(9.81 m/s²)[sen30°-0.25(cos30°)]= 2.78 m/s² b) Utilizando la ecuación v²=vo² +2ax, y como la velocidad inicial es cero

_______ _______________ v=√o² +2ax =√2(2.781 m/s²)(8 m) = 6.67 m/s

c) Utilizando la ecuación x=vot+(1/2)at²

Despejando el tiempo

____ ________________ t=√2x/a =√2(8 m)/(2.781 m/s²) = 2.399 s

34. [2a, 5-54] Un bloque se mueve hacia arriba de un plano inclinado a 45° con rapidezconstante con la acción de una fuerza de 15 N aplicada en forma paralela al plano. Si el

coeficiente de rozamiento cinético es de 0.3, determine a) el peso del bloque y b) lafuerza mínima requerida para hacer que el bloque se mueva hacia abajo del plano conrapidez constante.

a) Sumatoria de fuerzas paralela al plano-15+f+mgsen45°=0 (1)Sumatoria de fuerzas perpendicular al plano

-mgcos45° + N = 0 (2)

Se despeja N de (2), para obtener f=μ N, y esto se sustituye en (1)

-15+μmgcos45°+mgsen45°=0Despejando mg

mg = 15 = 16.32 newtons

μcos45°+sen45° b) Sumatoria de fuerzas paralela al plano

-F-f+mgsen45°=0

Como f=μ N=μmgcos45°-F-μmgcos45°+mgsen45°=0Despejando F

F = mgcos45°(1-μ) = (16.32 newtons)(cos45°)(1-0.3) = 8.08 newtons

F

45°

f





DICIEMBRE DE 2007

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35. [2a, 5-57] Un bloque de 3 kg parte del reposo desde la parte superior de un plano

inclinado a 30° y resbala una distancia de 2 m hacia abajo del plano en 1.5 s. Calculea) la aceleración del bloque, b) el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y

el plano, c) la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque y d) la rapidez del

bloque después que ha resbalado 2 m.Datos: m = 3 kg; θ = 30°; d = 2 m; t = 1.5 s;a) Como la velocidad media se define como:

vm = Δx (1)

Δtvm = v+vo (2)

2Igualando estas dos ecuaciones

Δx = v+vo

Δt 2

Despejando la velocidad instantánea final v

v = 2Δx – vo = (2)(2-0) – 0 = 2.667 m/sΔt 1.5-0

Ahora de la ecuación v = vo+at, se despeja la aceleración

a = v-vo = (2.667 m/s)-0 = 1.78 m/s2

t 1.5 s

b) Obteniendo la sumatoria de fuerzas paralela al plano

-mgsenθ+μ N = -ma (3)

Obteniendo la sumatoria de fuerzas perpendicular al plano

-mgcosθ+N = 0 (4)

Despejando la Normal de 4 y sustituyendo en 3

-mgsenθ+μmgcosθ = -ma (5)

Cancelando la masa y despejando el coeficiente de rozamiento cinético μμ = -a+gsenθ = -1.78 m/s

2+(9.81 m/s

2)(sen30°) = 0.368

gcosθ (9.81 m/s2)(cos30°)

c) Obteniendo la fuerza de rozamiento

f = μ N = μ(mgcosθ) = (0.368)(3 kg)(9.81 m/s2)(cos30°) = 9.38 N

d) Obteniendo la rapidez de la ecuación v2

= vo2+2ax

_______ _________________ v = √vo

2+2ax = √02

+2(1.78 m/s2)(2 m) = 2.67 m/s





DICIEMBRE DE 2007

55

4.4.3 Movimiento circular y fuerza centrípeta

Sea una partícula que gira alrededor de un centro fijo, describiendo una circunferencia.

s=r θ longitud de arco o desplazamiento de la partícula alrededor de la circunferenciaϖ=θ/t velocidad angular promedio

vt=ωr velocidad tangencial

at=αr aceleración angular

ac=ω²r=vt²/r aceleración centrípeta

Fc=mac=mvt²/r Fuerza centrípeta

Las ecuaciones para el movimiento circular uniformemente acelerado son análogas para el

movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Lineal Angular

v=(vo+v)/2 ϖ=(ωo+ω)/2

v=vo+at ω=ωo+αtx=(vo+v)t/2 ω=(ωo+ω)t/2x=vot+(1/2)at² θ=ωot+(1/2) αt²v2=vo

2 +2ax ω2=ωo2 +2αθ

También se tiene para el movimiento circular que:

1 rev=2πrad=360°

36. [2a, 4-27] Halle la aceleración de una partícula que se mueve con una rapidez constantede 8 m/s en una circunferencia de 2 m de radio.

Datos: vt=8 m/s; r= 2 mLa aceleración centrípeta es:

ac= vt²/r=(8 m/s) ²/(2 m)=32 m/s²

37. [2a, 4-28] El joven David quien derribó a Goliath experimentó con su honda antes deembestir al gigante. Descubrió que con una honda de 0.6 m de longitud, él podría

hacerla girar a la razón de 8 rev/s. Si él aumenta la longitud a 0.9 m, entonces la podría

hacer girar únicamente 6 veces por segundo. a) ¿Qué razón de rotación da una rapidezlineal más grande? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta en 8 rev/s? c) ¿Cuál es la

aceleración centrípeta en 6 rev/s?

a) Convirtiendo la velocidad angular a radianes sobre segundo(8 rev/s)(2π rad/1 rev) = 16π rad/s

(6 rev/s)(2π rad/1 rev) = 12π rad/sAhora obteniendo las velocidades tangenciales para ambos casos

vt1 = r 1ω = (0.6 m)(16π rad/s) = 30.16 m/s

vt2 = r 2ω = (0.9 m)(12π rad/s) = 33.93 m/sDe lo anterior se ve que para la segunda opción da una rapidez lineal más grande





DICIEMBRE DE 2007

56

b) Tomando los datos de r= 0.6 m y vt=30.16 m/s, se tieneac1 = (vt1)

2= (30.16 m/s)

2= 1515.94 m/s

2

r 1 0.6 m

c) Tomando los datos de r= 0.9 m y vt=33.93 m/s, se tieneac2 = (vt2)2

= (33.93 m/s)2

= 1279.16 m/s2

r 2 0.9 m

De lo anterior se ve que para la segunda opción da una aceleración centrípeta menor

38. [2a, 4-30] De la información que se encuentra en la cubierta delantera de este libro,calcule la aceleración radial de un punto del Ecuador sobre la superficie de la Tierra.

Como la Tierra realiza una revolución en 24 h, convirtiendo esto a rad/s

ω = 1 rev 1 h 2πrad = 7.27x10-5

rad/s

24 h 3600 s 1 revDe la portada del libro se obtiene el radio promedio de la Tierra, por lo tanto

ac = (r ω)2= r ω2 = (6.37x10

6m)(7.27x10

-5rad/s)

2= 3.37x10

-2m/s

2

r

39. [2a, 4-31] La órbita de la Luna respecto a la Tierra es aproximadamente circular, con unradio promedio de 3.84x10

8m. A la luna le toma 27.3 días para completar una

revolución alrededor de la Tierra. Encuentre: a) La rapidez orbital media de la luna y b)Su aceleración centrípeta.

Datos: r=3.84x108

m; t=27.3 días

a) Como la Luna realiza una revolución en 27.3 días, convirtiendo esto a rad/s

ω = 1 rev 1 d 2πrad = 2.66x10-6

rad/s27.3 d 86400 s 1 rev

vt = r ω = (3.84x108

m)(2.66x10-6

rad/s) = 1021.44 m/s

b) ac = (r ω)2= r ω2 = (3.84x10

8m)(2.66x10

-6rad/s)

2= 2.72x10

-3m/s

2

r

40. [2a, 4-33] Una partícula se mueve en una trayectoria circular de 0.4 m de radio conrapidez constante. Si la partícula hace cinco revoluciones en cada segundo de su

movimiento, halle: a) La rapidez de la partícula y b) Su aceleración.

Datos: r=0.4 m; ω=5 rps

a) Convirtiendo los rpm a rad/s

ω = 5 rev 2πrad = 31.42 rad/ss 1 rev

Obteniendo la velocidad tangencial

vt = r ω = (0.4 m)(31.42 rad/s) = 12.6 m/s b) Obteniendo la aceleración centrípeta

at = r ω2 = (0.4 m)( 31.42 rad/s)2

= 395 m/s2





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41. [2a, 4-32] En el ciclo de secado de una lavadora, el tubo de radio 0.30 m desarrolla una

rapidez de 630 rpm. ¿Cuál es la rapidez lineal máxima con la cual el agua sale de lamáquina?

Convirtiendo los rpm a rad/sω = 630 rev 2πrad = 65.97 rad/s60 s 1 rev

Obteniendo la velocidad tangencial

vt = r ω = (0.30 m)(65.97 rad/s) = 19.79 m/s

42. [2a, 4-34] Un neumático que tiene 0.5 m de radio gira con una rapidez constante de 200revoluciones por minuto. Determine la rapidez y la aceleración de una pequeña piedra

incrustada en el dibujo de la llanta (en su corte exterior).

Convirtiendo los rpm a rad/s

ω = 200 rev 2πrad = 20.94 rad/s60 s 1 rev

Obteniendo la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta

vt = r ω = (0.5 m)(20.94 rad/s) = 10.47 m/s

at = r ω2 = (0.5 m)(20.94 rad/s)2

= 219.24 m/s2

43. [3, 9-2] El péndulo de un reloj de 0.35 m oscila describiendo un arco de 0.20 m.Encuentre el ángulo en grados y radianes que forma al oscilar.

Datos: r=0.35 m; s=0.20 m;

Como s=r θDespejando θ

θ=s/r=(0.20m)/(0.35m)=0.571 rad(360°/2πrad)=32°44’25’’

44. [3, 9-3] La polea de un motor gira a 840 rpm. a) Encuentre la rapidez de un puntosituado en la polea b) Encuentre la rapidez tangencial de la polea si la distancia desde el

centro de la polea a uno de sus extremos es de 15 cm.

Datos: ω=840 rpm; r=15 cm;

a) Convirtiendo la velocidad angular a radianes sobre segundo

ω=840 rpm=840 rpm/60 s=14 rps(2π rad/1 rev)=87.965 rad/s

b) Como

vt=ωr=(87.964 rad/s)(0.15 m)=13.195 m/s





DICIEMBRE DE 2007

58

45. [3, 9-5] Una rueda de 0.40 m de radio gira sobre un eje estacionario. Su rapidez

aumenta uniformemente desde el reposo hasta 900 rpm en un tiempo de 20 s. a)Encuentre la aceleración angular de la rueda y b) La aceleración tangencial de un punto

sobre su borde.

Datos: r=0.4 m; ωo=0 rpm; ωf =900 rpm; t=20 sa) Obteniendo la aceleración angular:

α=(ωf -ωo)/2=[(900 rpm/60s)-0 rpm]/20s=0.75 rev/s² (2π rad/1 rev)=4.71 rad/s²

b) Obteniendo la aceleración tangencial:

at=r α=(0.4 m)(4.712 rad/s²)=1.89 m/s²

46. [3, 9-7] Un vehículo tiene ruedas de 0.29 m de radio, parte del reposo y se acelerauniformemente hasta una rapidez de 18 m/s, en un tiempo de 12 s. Encuentre la

aceleración angular de sus ruedas y el número de vueltas que realizan en ese tiempo.

Datos: r=0.29 m; vo=0; v=18 m/s; t=12 sComo la aceleración tangencial del vehículo es: v=vo+at

Despejando la aceleración

a=(v-vo)/t=(18 m/s-0)/12 s=1.5 m/s

Como la aceleración tangencial es: at=r αDespejando la aceleración angular

α=at/r=(1.5 m/s)/0.29 m=5.172 rad/s²

De la ecuación: θ=vot+(1/2) αt²Despejando el ángulo θ; y como ωo=0

θ=0+(1/2) αt²=(1/2)(5.172 rad/s²)(12 s) ²=372.384 rad (1 rev/2π rad)=59.267 rev

47. [3, 9-8] La centrifugadora de una lavadora da vueltas a razón de 960 rpm y disminuyeuniformemente a 360 rpm mientras efectúa 75 revoluciones. Encuentre a) Laaceleración angular. b) El tiempo requerido para efectuar estas 75 revoluciones.

Datos: ωo=960 rpm; ω=360 rpm; θ=75 reva)

ωo=[(960 rpm)/60 s](2π rad/1 rev)=100.531 rad/s

ω=[(360 rpm)/60 s](2π rad/1 rev)=37.699 rad/s

θ=75 rev(2π rad/1rev)=471.239 rad

Como ω²=ωo² +2αθDespejando α

α=(ω²-ωo²)/2θ=[(37.699 rad/s) ² -(100.531 rad/s) ²]/2(471.239 rad/s)=-9.22 rad/s² b) Como ϖ=(ωo+ω)/2=( 100.531 rad/s+37.699 rad/s)/2=69.115 rad/s

y ϖ=θ/tDespejando el tiempo t

t=θ/ϖ=471.239 rad/69.115 rad/s=6.82 s





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59

48. Un niño hace girar una piedra en un circulo horizontal a 6.0 pies (1.8 m) por encima del

suelo, valiéndose de una cuerda de 4.0 pies (1.2 m) de largo. La cuerda se rompe y la piedra sale disparada en forma horizontal llegando a una distancia de 30 pies (9.1 m).

¿Cuánto valía la aceleración centrípeta durante su movimiento circular?

Datos: y=6.0 pies (1.8 m); voy=0; r=4.0 pies (1.2 m); x=30 pies (9.1 m)Como y=voyt+(1/2)gt² y voy=0

1.8=(1/2)(9.81 m/s2)t²

Despejando el tiempo

_________________ t=√2(1.8 m)/(9.81 m/s²) =0.606 sComo la velocidad en x es vx=x/t

Sustituyendo x y t en la ecuación anterior

vx=(9.1 m)/(0.606 s)=15.017 m/sComo en este caso vx= vt ; y la aceleración centrípeta es ac=vt²/r

ac=(15.017m/s)²/(1.2 m)=187.93 m/s²

49. [Bueche,179,3] Una rueda de ruleta que inicialmente giraba a razón de 0.80 rev/s llega

al reposo en 20 s. ¿Cuál es la desaceleración de la rueda? ¿Cuántas revoluciones dio en

el proceso? (suponga una desaceleración uniforme).

Datos: ωo=0.80 rps; ω=0; t=20 s

De la ecuación ω=ωo+αtDespejando la aceleración angular

α=(ω-ωo)/t= (0-0.80 rps)/20 s=-0.04 rev/s² (2π rad/1 rev)=-0.251 rad/s²Como

θ=ωot+(1/2) αt²=(0.80 rps)(20 s)+(1/2)(-0.04 rev/s²)(20 s) ²=8 rev

50. [2a, 6-1] Un carro de juguete completa una vuelta alrededor de una pista circular (unadistancia de 200 m) en 25 s. a) ¿Cuál es la rapidez media? b) Si la masa del carro es de

1.5 kg, ¿cuál es la magnitud de la fuerza centrípeta que lo mantiene en el círculo?

a) La velocidad media es:

vm = Δx = 200 m = 8 m/s

Δt 25 s b) El perímetro de la circunferencia es 200 m, por lo tanto:

200 = 2πr Despejando el radio

r = (200)/(2π) = 31.83 mPor lo tanto la fuerza centrípeta es:

F = mvm2

= (1.5 kg)(8 m/s)2

= 3.02 Nr 31.83 m





DICIEMBRE DE 2007

60

51. [2a, 6-3] ¿Qué fuerza centrípeta se requiere para mantener a una masa de 1.5 kg que se

mueve en un círculo de radio 0.4 m a una rapidez de 4 m/s?

La fuerza centrípeta es:

F = mv

2

= (1.5 kg)(4 m/s)

2

= 60 Nr 0.4 m

52. [2a, 6-5] Una masa de 3 kg atada a una cuerda ligera gira en un movimiento circular sobre una mesa horizontal sin fricción. El radio del círculo es de 0.8 m y la cuerda puede soportar una masa de 25 kg antes de romperse. ¿Que rango de velocidades

puede tener la masa antes de que se rompa la cuerda?

Obteniendo la Fuerza máxima que puede soportar la cuerdaFmax = mg = (25 kg)(9.81 m/s

2) = 245.25 N

Igualando con la fuerza centrípetaFmax = mv2

r

Despejando la velocidad tangencial

___________ _____________________ v = √(Fmax)(r)/m = √(245.25 N)(0.8 m)/(3 kg) = 8.09 m/sPor la tanto el rango de velocidades es mayor que cero y menor que 8.09 m/s, es decir

0 < v < 8.09 m/s





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61





DICIEMBRE DE 2007

62

Unidad V TRABAJO Y ENERGIA5.1 Concepto de trabajoEl trabajo es una magnitud escalar, que se define como el producto de la fuerza que actúa

sobre el cuerpo por su desplazamiento. La unidad SI del trabajo es el joule (J), que se

define por la relación Joule = (newton)(metro).

5.1.1 Trabajo realizado por una fuerza constanteEl trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto de la componente

de la fuerza en la dirección del desplazamiento y la magnitud del desplazamiento, es decir:

W = F•s = Fcosθs

1. [2a, 7-1] Si un hombre levanta un cubo de agua de 20 kg de un pozo y hace un trabajo

de 6 kJ, ¿cuán tan profundo está el pozo? Suponga que a medida que el cubo se levantasu rapidez permanece constante

Como W = Fd= mghDespejando la profundidad h

h = W/mg = (6x103

J)/[(20 kg)(9.81 m/s2)] = 30.6 m

2. [2a, 7-3] Un remolcador ejerce una fuerza constante de 5000 N sobre un barco que semueve con rapidez constante en un puerto. ¿Cuánto trabajo realiza el remolcador al

recorrer el barco una distancia de 3 km?

Como W = Fd = (5000 N)(3000 m) = 15x106

J = 15 MJ

3. [2a, 7-5] Un porrista levanta a su compañera de 50 kg en línea recta hacia arriba desdeel piso a una altura de 0.6 m antes de soltarla. Si él hace esto 20 veces, ¿cuánto trabajo

ha realizado sobre ella?

El trabajo realizado en las 20 veces será

W = 20Fd = 20mgh = (20)(50 kg)(9.81 m/s2)(0.6) = 5886 J

4. [2a, 7-8] Un bloque de 15 kg es arrastrado sobre una superficie horizontal y áspera por

una fuerza constante de 70 N que actúa formando un ángulo de 25° con la horizontal.El bloque se desplaza 5 m y el coeficiente de rozamiento cinético es de 0.3. Calcule el

trabajo realizado por a) la fuerza de 70 N, b) la fuerza de rozamiento, c) la fuerzanormal y d) la fuerza de gravedad. e) ¿Cuál es el trabajo neto realizado sobre el

bloque?

15 kg 25°

70 newtons

f

N

mg





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63

a) WF = F•s = (70cos25°)(5 m) = 317.21 J

b) Wf =-f•s=-μ(mg-70sen25°)(5m)=-0.3[(15kg)(9.81m/s2)-70sen25°](5m) = -176.35 J

c) W N = 0 J

d) Wg = 0 J

e) Wneto= WF + Wf = 317.21 newtons – 176.35 newtons = 140.86 J

5.1.2 Trabajo realizado por una fuerza variableEl trabajo hecho por una fuerza Fx variable se define como el área bajo la curva al desplazar

un cuerpo de xi hasta xf , es decir:

W =⌠ xf Fx dx

⌡xi

Si actúa más de una fuerza sobre el objeto el trabajo total es igual al trabajo hecho por la

fuerza resultante, cuando el objeto se mueve de xi hasta xf.

W =⌠ xf (∑Fx)dx

⌡xi

5. [2a, 7-24] La fuerza que actúa sobre una partícula varía como en la figura. Encuentreel trabajo efectuado por la fuerza cuando la partícula se mueve: a) desde x=0 hasta x=8

m, b) desde x=8 m hasta x=10 m, y c) desde x=0 hasta x=10 m.

Como W =⌠ xf Fx dx

⌡xi

a) El trabajo que realiza la fuerza es igual al área bajo la curva desde x=0 a x=8 m

W1 = (8)(6)/2 = 24 J

b) El trabajo que realiza la fuerza es igual al área bajo la curva desde x=8 a x=10 m

W2 = (2)(-3)/2 = -3 J

c) El trabajo que realiza la fuerza es igual al área bajo la curva desde x=0 a x=10 mW3 = 24 J+(-3 J) = 21 J

-4

-2

0

2

4

6

8

-2 0 2 4 6 8 10 12 14

x(m)

F x ( N )





DICIEMBRE DE 2007

64

5.2 Concepto de energíaLa energía potencial de un cuerpo es una magnitud cuya variación, al pasar el cuerpo de un

estado inicial a otro final, es igual al trabajo realizado por la fuerza que actúa sobre elcuerpo. En este sentido se puede hablar de energía potencial gravitacional, energía

potencial eléctrica, energía potencial elástica, etc.

5.2.1 Definición de la energía cinéticaLa energía cinética es un escalar y tiene las mismas unidades que el trabajo. La energíacinética de un cuerpo de masa m moviéndose con velocidad v, se define como:

K = (1/2)mv12

5.2.2 Teorema del trabajo de la energía cinética, aplicacionesEste teorema se estableció para el caso en que la fuerza es constante, pero también es válido

cuando la fuerza es variable. Este teorema establece que el trabajo realizado por la fuerza

constante F al desplazar una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la

partícula, es decir:W = K f – K i = ΔK

6. [2a, 7-33] Una pelota de 0.3 kg tiene una rapidez de 15 m/s. a) ¿Cuál es su energía

cinética? b) Si su rapidez se duplica, ¿cuál es su energía cinética?a) K 1 = (1/2)mv1

2= (1/2)(0.3 kg)(15 m/s)

2= 33.8 J

b) K 2= (1/2)mv22

= (1/2)(0.3 kg)(30 m/s)2

= 135 J

7. [2a, 7-34] Calcule la energía cinética de un satélite de 1000 kg que está orbitandoalrededor de la Tierra a una rapidez de 7x10³ m/s.

Datos: m=1000 kg; v=7x10³ m/sLa energía cinética es K=(1/2)mv

2=(1/2)(1000 kg)(7x10³ m/s)

2=2.45 x10

10J

8. [2a, 7-35] Un mecánico empuja un automóvil de 2500 kg a partir del reposo hastaalcanzar una rapidez v haciendo un trabajo de 5000 J en el proceso. Durante este

tiempo, el auto se desplaza 25 m. Despreciando la fricción entre el auto y el piso, a)¿cuál es la rapidez final, v, del automóvil? b) ¿Cuál es la fuerza horizontal ejercida

sobre el automóvil?

a) W = ΔK = (1/2)mvf

2

-(1/2)mvi

2

= (1/2)(2500 kg)vf

2

-0Despejando la velocidad final del automóvil

______ _________________ vf

= √(2W)/m = √(2)(5000 J)/(2500 kg) = 2 m/s

b) Como W = Fd, despejando la fuerza horizontal

F = W/d = (5000 J)/(25 m) = 200 N





DICIEMBRE DE 2007

65

9. [2a, 7-37] Una caja de 40 kg que se encuentra inicialmente en reposo se empuja una

distancia de 5 m a lo largo de un piso horizontal y áspero con una fuerza constanteaplicada de 130 N. Si el coeficiente de rozamiento entre la caja y el piso es de 0.3,

encuentre: a) el trabajo efectuado por la fuerza aplicada, b) el trabajo efectuado por la

fricción, c) el cambio en la energía cinética de la caja y d) la rapidez final de la caja.a) WF = Fd = (130 N)(5 m) = 650 J

b) Wf = fd = -μmgd = -(0.3)(40 kg)(9.81 m/s2)(5 m) = -588.6 J

c) Wneto = WF +Wf = ΔK = 650 N+(-588.6 N) = 61.4 Jd) Como (1/2)mvf

2-(1/2)mvi

2= 61.4 J, y la velocidad inicial es cero

Despejando la velocidad final de la caja

_________ ________________ vf

= √(2Wneto)/m = √(2)(61.4 J)/(40 kg) = 1.75 m/s

10. [2a, 7-41] Se levanta una masa de 6 kg verticalmente una distancia de 5 m por unacuerda ligera con una tensión de 80 N. Encuentre: a) el trabajo efectuado por la fuerza

de tensión, b) el trabajo efectuado por la gravedad y c) la rapidez final de la masa, siésta parte del reposo.

a) WT = Td = (80 N)(5 m) = 400 J b) Wg = -mgd = -(6 kg)(9.81 m/s

2)(5 m) = -294.3 J

c) Como Wneto = WT +Wg = ΔK = 400 J+(-294.3 J) = 105.7 JComo (1/2)mvf

2-(1/2)mvi

2= 105.7 J, y la velocidad inicial es cero

Despejando la velocidad final

_________ _______________ vf

= √(2Wneto)/m = √(2)(105.7 J)/(6 kg) = 5.94 m/s

11. [2a, 7-43] Una máquina de Atwood consta de una polea ligera fija con una cuerda

ligera inextensible sobre ella ver figura. Los extremos de la cuerda sostienen masas de0.2 kg y 0.3 kg. Las masas se mantienen en reposo, una al lado de la otra, y entonces

se liberan. Despreciando cualquier fricción, ¿cuál es la rapidez de cada masa en elinstante en el que ambas se han desplazado 0.4 m?

La fuerza neta del sistema es:

Fneta=(m2-m1)g

El trabajo desarrollado por la fuerza neta se iguala al cambio en energía cinética

(m2-m1)gh=ΔK= (K 1f +K 2f )-(K 1i+K 2i)

Desarrollando(m2-m1)gh=(1/2)m1vf

2+(1/2)m2vf

2

Despejando la velocidad

__________ ____________________________ vf = / 2(m2-m1)gh = / 2(0.3 kg-0.2 kg)(9.81 m/s

2)(0.4 m) = 1.25 m/s

√ m1+m2 √ 0.2 kg+0.3 kg





DICIEMBRE DE 2007

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12. [2a, 8-7] Una sola fuerza conservativa Fx=(2x+4) N actúa sobre una partícula de 5 kg,en donde x está en m. A medida que una partícula se mueve a lo largo del eje x, desde x=1

m hasta x=5 m, calcule: el trabajo efectuado por esta fuerza; b) el cambio en la energía

potencial de la partícula y c) su energía cinética en x=5 m si su rapidez en x=1 m es 3 m/s.

13. [2a, 8-9] Una sola fuerza constante F=(3i+5 j) N actúa sobre una partícula de 4 kg. a)Calcule el trabajo efectuado por esta fuerza si la partícula se mueve desde el origen

hasta un punto cuyo vector de posición es r=(2i-3 j) m. ¿Este resultado depende de la

trayectoria? Explique. b) ¿Cuál es la rapidez de la partícula en r si su rapidez en elorigen es 4 m/s. c) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial de la partícula?

14. [2a, 8-11] Una cuenta se desliza sin fricción sobre un rizo ver fig. Si se libera la cuentadesde una altura h=3.5R, ¿cuál es la rapidez en el punto A? ¿Cuán grande es la fuerza

normal sobre ella si su masa es de 5.0 g?

Por la Ley de la Conservación de la Energía

(1/2)mvo2+mg(3.5R) = (1/2)mvA

2+mg(2R)

Cancelando la masa, y como (1/2)mvo2=0

3.5gR = (1/2)vA2+2gR

Despejando vA en función de g y R

___ vA = √3gR

Las únicas fuerzas que actúan sobre la cuenta son la fuerza centrípeta, mg y la fuerzanormal, por lo que:

-mg – N = -FcDespejando la fuerza Normal N = Fc-mg

Como en el punto A la fuerza centrípeta es Fc = (mvA2)/R, y sustituyendo vA

N = (mvA

2)

-mg = 3mgR – mg = 2mg = (2)(5x10

-3kg)(9.81 m/s

2) = 0.098 N hacia abajo

R R

r x

A

BC

R

h





DICIEMBRE DE 2007

67

15. [2a, 8-41] Un cono circular recto se puede equilibrar sobre una superficie horizontal de

tres maneras distintas. Trace un esquema de estas tres configuraciones de equilibrio eidentifique las posiciones de equilibrio estable, inestable o neutro.

16. [2a, 8-43] Una partícula de masa m = 5 kg se libera desde el punto A sobre un carrilsin fricción que se ve en la figura. Determine: a) la rapidez de la masa m en los puntosB y C, y b) el trabajo neto realizado por la fuerza de gravedad al moverse la partícula

desde A a C.

Fuerzas conservativas y no conservativasFuerza conservativa: si el trabajo efectuado por esta fuerza sobre una partícula que se

mueve entre dos puntos es independiente de la trayectoria que toma la partícula. El trabajo

total efectuado por una fuerza conservativa sobre una partícula es cero cuando la partículase mueve alrededor de cualquier trayectoria cerrada y regresa a su posición original.

Ejemplos de fuerzas conservativas: la fuerza de la gravedad, fuerza de restitución de un

resorte.

Fuerza no conservativa: si el trabajo efectuado por dicha fuerza aplicada sobre una

partícula que se mueve entre dos puntos depende de la trayectoria seguida. A este tipo defuerzas se les llama comúnmente fuerzas disipativas. Ejemplo de fuerza no conservativa: la

fuerza de rozamiento.

El trabajo efectuado por todas las fuerzas no conservativas es igual al cambio en la energíacinética más el cambio en la energía potencial.

Wnc = ΔK + ΔU

El teorema del trabajo y la energía también es válido cuando la fuerza varía en dirección ymagnitud durante el movimiento de la partícula a lo largo de una trayectoria curva arbitrariaen tres dimensiones. En este caso el trabajo se expresa como:

W= ⌠ F•ds

⌡c

17. [2a, 8-1] Una partícula de 4 kg se mueve desde el origen hasta la posición que tienecoordenadas x=5 m, y=5 m con la influencia de la gravedad, la cual actúa en la dirección y

negativa (ver figura). Utilizando la ecuación 7.21, calcule el trabajo realizado por la

gravedad al ir de O a C a lo largo de las siguientes trayectorias: a) OAC, b) OBC, c) OC.

Los resultados deben ser idénticos, ¿Por qué?

y

x

(5, 5)

A

BC

O





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68

a) La trayectoria es OAC, es decir a lo largo de x = 5; y = 0

⌠ F•ds = ⌠ -mg j•(dxi+dy j+dzk) = -⌠ 5 mgdy = -mgy 5 -(4)(9.81)(5) = -196.2 J

⌡c ⌡c ⌡00

b) La trayectoria es OBC, es decir a lo largo de x = 0; y = 5

⌠ F•ds = ⌠ -mg j•(dxi+dy j+dzk) = -⌠ 5 mgdy = -mgy5

-(4)(9.81)(5) = -196.2 J

⌡c ⌡c ⌡00

c) La trayectoria es OC, es decir a lo largo de y = x

⌠ F•ds = ⌠ -mg j•(dxi+dy j+dzk) = -⌠ 5 mgdy = -mgy5

-(4)(9.81)(5) = -196.2 J

⌡c ⌡c ⌡00

La fuerza es conservativa

18. [2a, 8-3] Una partícula se mueve en el plano xy de la fig. anterior. Con la influenciade una fuerza de rozamiento que se opone a su desplazamiento. Si la fuerza de

rozamiento tiene una magnitud de 3 N, calcule el trabajo total realizado por la friccióna lo largo de las siguientes trayectorias cerradas: a) la trayectoria OA, seguida por la

trayectoria de regreso AO, b) la trayectoria OA, seguida por AC y la trayectoria de

regreso CO, y c) la trayectoria OC, seguida por la trayectoria de regreso CO. d) Susresultados para las tres trayectorias cerradas deben ser todos diferentes entre sí y

diferentes de cero. ¿Cuál es el significado de esto?

a) La trayectoria es OA seguida de AO

W = ⎜F⎢•⎜s⎢cosθ; θ = 0= -(3 N)(5 m) – (5 m)(3 N) = -30.0 J

b) La trayectoria es OA seguida por AC y la trayectoria de regreso CO

W = ⎜F⎢•⎜s⎢cosθ; θ = 0= -(3 N)(5 m) – (3 N)(5 m) – (3 N)(7.07 m) = -51.2 J

c) La trayectoria es OC seguida por la trayectoria de regreso CO

W = ⎜F⎢•⎜s⎢cosθ; θ = 0= -(3 N)(7.07 m) – (3 N)(7.07 m) = -42.4 J

d) La fricción es una fuerza no conservativa.

19. [2a, 8-5] Una fuerza que actúa sobre una partícula que se mueve sobre el plano xy estádada por F=(2yi+x² j) N en donde x,y están en m. La partícula se mueve desde el origen

hasta una posición final de coordenadas x=5 m, y=5 m, como en la anterior figura. Calcule





DICIEMBRE DE 2007

69

el trabajo efectuado por F a lo largo de a) OAC, b) OBC, c) OC, d) ¿F es conservativa o no

conservativa? Explique.a) La trayectoria es OAC, es decir a lo largo de x = 5; y = 0

5

⌠ F•ds = ⌠ (2yi+x

2

j)•(dxi+dy j+dzk) =⌠ 2(0)dx+(5)

2

dy = ⌠

5

25dy = 25y 0 = 125.0 J⌡c ⌡c ⌡c ⌡0

b) La trayectoria es OBC, es decir a lo largo de x = 0; y = 5

5

⌠ F•ds = ⌠ (2yi+x2 j)•(dxi+dy j+dzk) =⌠ 2(5)dx+(0)

2dy = ⌠ 5 10dy = 10y 0 = 50.0 J

⌡c ⌡c ⌡c ⌡0

c) La trayectoria es OC, es decir a lo largo de y = x

⌠ F•ds = ⌠ (2yi+x2 j)•(dxi+dy j+dzk) =⌠ 2ydx+x

2dy

⌡c ⌡c ⌡cHaciendo la parametrización x = t, dx = dt; y = t, dy =dt

⌠ (2t + t2)dt = t

2+ t

3 5

= 52+(125/3) = 66.7 J

⌡c3

0

d) La fuerza es no conservativa, ya que el trabajo depende de la trayectoria

Energía potencial gravitacionalEl término energía potencial gravitacional implica que un objeto tiene el potencial o lacapacidad de ganar energía cinética cuando se libera de algún punto con la influencia de la

gravedad, la energía potencial gravitacional de un objeto es:

Ug = mgh

20. [2a, 8-13] Se lanza un cohete a un ángulo de 53° respecto de la horizontal desde unaaltitud h con una rapidez vo. a) Utilice los métodos de la energía para hallar la rapidez del

cohete cuando su altitud es de h/2. b) Encuentre las componentes x,y de la velocidad

cuando la altitud del cohete es h/2, usando el hecho de que v x = vxo=constante (dado que

ax=0) y los resultados obtenidos en el inciso a.

a) Por la Ley de Conservación de la Energía

(1/2)mvo2+mgh = (1/2)mvf

2+mg(h/2) =Cancelando la masa, y despejando a vf en función de g, h, y vo

______ vf = √gh+vo

2

b) Como vox=vfx, por lo que puede ser obtenida a partir de la velocidad inicial vo





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70

vx = vocos53° = 0.6 vo

Como voy≠vfy, por lo que debe ser obtenida a partir de vf

vf 2

= vx2+vfy

2

Despejando vfy

_________ vfy = -√0.64vo

2+gh

21. [2a, 8-15] Se lanza una pelota de 0.5 kg hacia arriba con una rapidez inicial de 16 m/s.Suponiendo que su energía potencial inicial es cero, determine su energía cinética, su

energía potencial y la energía mecánica total a) en su posición inicial, b) cuando sualtura es 5 m y c) cuando alcanza la posición más alta de su vuelo. d) Determine sualtura máxima utilizando la ley de la conservación de la energía.

a) K i = (1/2)mvi2

= (1/2)(0.5 kg)(16 m/s)2

= 64 J

Ui = 0 J

E = K i + Ui = 64 J+0 J= 64 J b) Como K i + Ui = K f + Uf

Despejando K f

K f = K i+Ui-mgh = 64 J + 0 J-(0.5 kg)(9,81 m/s2)(5m) = 39.5 J

Uf = mgh = (0.5 kg)(9,81 m/s2)(5m) = 24.5 J

E = K f + Uf = 39.48 J+24.53 J = 64 J

c) K f = 0 JComo K i + Ui = K f + Uf

Despejando Uf

Uf = K i+Ui- K f = 64 J + 0 J – 0 J = 64 J

E = K f + Uf = 0 J+64 J = 64 J

d) Como Uf = K i+Ui-K f = mghmax = 64 JDespejando hmax

hmax = (64 J)/(mg) = (64 J)/[(0.5 kg)(9,81 m/s2)] = 13.05 m

22. [2a, 8-17] Se conectan dos masas por una cuerda ligera que pasa sobre una polealigera, sin fricción, como se muestra en la figura. La masa de 5 kg se libera desde el

reposo. Utilizando la ley de la conservación de la energía, a) determine la velocidad de

la masa de 3 kg justo cuando la masa de 5 kg choca con el piso. b) Encuentre la alturamáxima a la cual se elevará la masa de 3 kg.

4 m

5 kg





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a) La fuerza neta del sistema es:

Fneta=(m2-m1)gEl trabajo desarrollado por la fuerza neta se iguala al cambio en energía cinética

(m2-m1)gh=ΔK= (K 1f +K 2f )-(K 1i+K 2i)Desarrollando

(m2-m1)gh=(1/2)m1vf 2+(1/2)m2vf

2

Despejando la velocidad

__________ ________________________ vf = / 2(m2-m1)gh = / 2(5 kg-3 kg)(9.81 m/s

2)(4 m) = 4.43 m/s

√ m1+m2 √ 5 kg+3 kg

b) Al chocar la masa de 5 kg, la masa de 3 kg ha recorrido 4 m, y continuamoviéndose hacia arriba hasta que la velocidad final sea cero, por lo que:

K i + Ui = K f + Uf Despejando Uf

Uf = K i+Ui-K f = (1/2)(3 kg)(4.43m/s)2+(3 kg)(9,81 m/s

2)(4 m) – 0 J = 147.16 J

Como Uf = mghmax, despejando hmax

hmax = (147.16 J)/(mg) = (147.16 J)/[(3 kg)(9,81 m/s2)] = 5 m

Energía potencial de un resorteLa energía potencial elástica almacenada en un resorte es:

Us = (1/2)kx2

Donde:

k = constante del resorte sus unidades son N/mx = distancia que se comprime o se estira el resorte

El teorema del trabajo y la energía aplicado para un resorte es:

Ws = Uf – Ui = ΔU

23. [2a, 8-28] Un resorte tiene una constante de fuerza de 500 N/m. ¿Cuál es la energía potencial elástica almacenada en el resorte cuando: a) está estirado 4 cm a partir de su

posición de equilibrio, b) está comprimido 3 cm a partir de esa posición de equilibrio y c)no está deformado?

Datos: k = 500 N/m

Como la energía potencial elástica almacenada en un resorte es Us = (1/2)kx2

a) Us = (1/2)kx2

= (1/2)(500 N/m)(0.04 m)2

= 0.400 J b) Us = (1/2)kx

2= (1/2)(500 N/m)(0.03 m)

2= 0.225 J

c) Us = (1/2)kx2

= (1/2)(500 N/m)(0 m)2

= 0 J

3 kg





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72

24. [2a, 8-31] Un bloque de 8 kg se mueve sobre una superficie horizontal y áspera y

choca contra un resorte como se indica en la fig. La rapidez del bloque justo antes de lacolisión es de 4 m/s. Cuando el bloque rebota hacia la izquierda con el resorte no

comprimido, su rapidez al liberarlo es de 3 m/s. Si el coeficiente de rozamiento cinético

entre el bloque y la superficie es de 0.4, determine: a) el trabajo realizado por la fricciónmientras el bloque se encuentra en contacto con el resorte y b) la distancia máxima que se

comprime éste.a) W = (1/2)mvf

2- (1/2)mvi

2= (1/2)(8 kg)[(3 m/s)

2- (4 m/s)

2] = -28 J

b) Como el trabajo realizado por la fuerza de fricción de ida y vuelta es:

-28 J = -μmg(2x)

Despejando xx = 28 J = 28 J = 0.446 m

2μmg (2)(0.4)(8 kg)(9,81 m/s2)

25. [2a, 8-33] Se coloca un bloque de masa 0.25 kg sobre un resorte vertical de constantek=500 N/m y se empuja hacia abajo, comprimiendo el resorte una distancia de 0.1 m.

Cuando el bloque se suelta deja el resorte y continúa su camino hacia arriba. ¿A que

altura máxima por encima del punto de liberación llega el bloque?Igualando la energía potencial del resorte con la energía potencial gravitacional.

Us – Ug = (1/2)kx2

– mgh

Despejando hh = (1/2)kx

2= (1/2)(500 N/m)(0.1 m)

2= 1.02 m

mg (0.25 kg)(9.81 m/s2)

26. [2a, 8-35] Un bloque de 10 kg se suelta desde el punto A sobre un carril ABCD comose ve en la fig. El carril no presenta fricción en ninguna parte excepto en la parte BC,

de longitud 6 m. El bloque viaja hacia abajo del carril hasta chocar con un resorte cuya

constante de fuerza es k=2250 N/m y lo comprime una distancia de 0.3 m desde su

E = (1 / 2 )m v 2

x = 0v i





DICIEMBRE DE 2007

73

posición de equilibrio antes de llegar al reposo momentáneamente. Determine el

coeficiente de fricción cinético entre la parte del carril BC y el bloque.

Haciendo un balance de energía

Energía potencial en A – Perdida de energía en BC = Energía pot. almacenada en el resorte

mgh – μmgd = (1/2)kx2

Despejando el coeficiente de fricción μμ = mgh – (1/2)kx

2= (10 kg)(9.81 m/s

2)(3 m) – (1/2)(2250 N/m)(0.3 m)

2= 0.328

mgd (10 kg)(9.81 m/s2)(6 m)

27. [2a, 8-19] Un bloque de 5 kg se pone en movimiento sobre un plano inclinado como enla fig. Con una rapidez inicial de 8 m/s. El bloque alcanza el reposo después de recorrer 3 m

a lo largo del plano como se muestra en el diagrama. El plano está inclinado a un ángulo de

30° respecto a la horizontal. a) Determine el cambio en la energía cinética. b) Determine elcambio en la energía potencial. c) Determine la fuerza de rozamiento sobre el bloque

(suponiendo que es constante). d) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético?

3 m

30°

vo = 8 m/s





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74

a) Como al final del plano no tiene energía cinética, la perdida de energía cinética es:

ΔK = K f – K i = (1/2)mvf 2

– (1/2)mvi2

= 0 – (1 /2)(5 kg)(8 m/s)2

= -160 J b) Como al inicio del plano no tiene energía potencial gravitacional, el cambio en la energía

potencial gravitacional es:

ΔU = Uf – Ui = mghf – mghi = (5 kg)(9.81 m/s2

)(3sen30°) – 0 = 73.575 J

c) Haciendo un balance de energía

Energía cinética inicial = Energía pot. gravitacional final + Perdida energía por fricción(1/2)mv

2= mgh + fd

Despejando la fuerza de fricción f

f = (1/2)mv2

– mgh = (1/2)(5 kg)(8 m/s)2 – (5 kg)(9.81 m/s

2)(3sen30°) = 28.81 N

d 3 m

d) Como f = μ N = μmgcosθdespejando el coeficiente de fricción μ

μ = f = 28.81 newtons = 0.678 N (5 kg)(9.81 m/s

2)cos30°

28. [2a, 8-21] Un niño parte del reposo desde arriba de una resbaladilla cuya altura es h=4m ver fig. a) ¿Cuál es su rapidez al llegar abajo del plano si éste no tiene fricción? b) Si

llega hasta abajo con una rapidez de 6 m/s, ¿qué porcentaje de su energía total se pierde como resultado de la fricción?

a) Si la resbaladilla no presenta fricción, la rapidez del niño en la parte inferior depende únicamente de la altura de la resbaladilla, independientemente de la

forma de ésta.

Por la Ley de Conservación de la Energía Mecánica

K i+Ui = K f +Uf

Como la energía cinética inicial y la energía potencia final son ceroUi = K f

Es decir:mghi = (1/2)mvf

2

Cancelando la masa y despejando la velocidad al llegar al final de la resbaladilla

___ _________________ vf = √2ghi = √ (2)(9.81 m/s

2)(4 m) = 8.86 m/s

b) Como el cálculo es independiente de la masa, se puede hacer m=1 kg

4 m





DICIEMBRE DE 2007

75

mghi = (1 kg)(9.81)(4 m) = 39.24 J

(1/2)mvf 2

= (1/2)(1 kg)(6 m/s)2

= 18 J

La diferencia es la perdida en Energía debido a la fricción

Us = 39.24 J–18 J = 21.24 JObteniendo el porcentaje debido a la perdida

(21.24 J)(100) = 54.1 % de pérdida

39.24 J

29. [2a, 8-23] Un niño de 25 kg sentado en un columpio de 2 m de longitud se libera a

partir del reposo cuando los cables del columpio forman un ángulo de 30° con la vertical. a)Despreciando la fricción. Obtenga la velocidad del niño en la posición más baja. b) Si la

rapidez del niño en la posición más baja es de 2 m/s, ¿cuál es la pérdida de energía debida a

la fricción?

a) Por la Ley de Conservación de la Energía Mecánica

K i+Ui = K f +Uf

Como la energía cinética inicial y la energía potencia final son cero

Ui = K f Es decir:

mghi = (1/2)mvf 2

Cancelando la masa y despejando la velocidad al llegar al final de la resbaladilla

___ ________________ ____ _ vf = √2ghi = √ (2)(9.81 m/s

2)(2 – 2cos30) = 2.29 m/s

b) Haciendo un balance de energíaEnergía potencial inicial = Energía cinética Final + Perdida energía por fricción

mgh = (1/2)mvf 2+ Perdida de energía

Es decir:Perdida de energía = mgh – (1/2)mvf

2

= (25 kg)[(9.81 m/s2)(2 – 2cos30) – (1/2)2

2] = 15.7 J

30. [2a, 8-24] En la fig. Se muestra a una fuerza Fx como función de la distancia que actúasobre una masa de 5 kg. Si la partícula parte del reposo en x=0 m, determine la rapidezde la partícula en x=2, 4 y 6 m.

31. [2a, 8-25] El coeficiente de fricción entre el objeto de 3.0 kg y la superficie que se venen la fig. es 0.40. Las masas originalmente están en reposo. ¿Cuál es la rapidez de la

masa de 5.0 kg cuando ha caído una distancia vertical de 1.5 m?

5 kg

3 kg





DICIEMBRE DE 2007

76

Haciendo un balance de energía para las masas m1 y m2

K 1i + K 2i + U1i + U2i = K 1f + K 2f + U1f + U2f

Energía al inicio = tomando como punto de referencia el iniciopunto más bajo:

m2gd = μm1gd +(1/2)m2vf 2

+(1/2)m1vf 2

Energia pot. grav. de m2 =

32. [2a, 8-27] Se sujeta una masa de 2.5 kg a un resorte ligero con k=65 N/m. Se estira elresorte y se deja oscilando libremente sobre una superficie horizontal sin fricción.

Cuando el resorte se estira 10 cm, la energía cinética de la masa atada y la energía potencial elástica son iguales. ¿Cuál es la rapidez máxima de la masa?

Como en x = 0.1 m la energía cinética de la masa y la energía potencial son iguales

(1/2)kx2

= (1/2)mvf12

Despejando la velocidad _____________ _ _______________ ______________ ______________ ___________

vf12

= √(kx2)/m = √[(65 N/m)(0.1 m)

2]/(2.5 kg) = 0.51 m/s

Como vf12

= vo2

+ 2ax, despejando la aceleracióna = vf1

2= (0.51 m/s)

2= 1.3 m/s

2

2x 2(0.1 m)

En x = 0 la masa alcanza su velocidad máxima y recorre una distancia x = 2(0.1 m)De la ecuación vf2

2= vo

2+ 2ax

Por lo tanto: ________ ______________ _____________ ______________

vf2 = √2ax = √2(1.3 m/s2)(2)(0.1 m) = 0.721 m/s

33. [2a, 8-37] La energía potencial de un sistema constituido por dos partículas que seencuentran separadas una distancia r es U(r) = A/r, en donde A es una constante, Determine

la fuerza radial Fr.

34. [2a, 8-39] Una función de energía potencial para una fuerza bidimensional es de la

forma U=3x³y-7x. Encuentre La fuerza que actúa en el punto (x,y).

5.3 Definición de potencia y aplicaciones

35. [2a, 7-53] Un marino de 700 N en entrenamiento básico trepa 10 m por una cuerdavertical a una rapidez uniforme en 8 s. ¿Cuál es su potencia útil?

P = (W/t) = (700 N)(10 m)/(8s) = 875 W





DICIEMBRE DE 2007

77

36. [2a, 7-54] El agua fluye sobre una sección de las Cataratas del Niágara a una razón de

1.2x106

kg/s y cae 50 m . ¿Cuántas bombillas de 60 W se pueden encender con esta potencia?

Datos: cantidad de agua por segundo=1.2x106

kg/s; h=50 m;

Como la potencia=W/t

P = mgh = (1.2x106

kg)(9.81 m/s²)(50 m) = 5886x105

Wt 1 s

Dividiendo la potencia entre 60 W para encontrar el número de bombillas

588600000 W = 981 x104

bombillas

60 W

37. [2a, 7-55] Un levantador de pesas levanta 250 kg a una altura de 2 m en 1.5 s ¿Cuál essu potencia útil?

Datos: m = 250 kg; h = 2 m; t = 1.5 sP = W = mgh = (250 kg)(9.81 m/s

2)(2 m) = 3.27 kW

t t 1.5 s

38. [2a, 7-57] Un automóvil de 1500 kg se acelera uniformemente desde el reposo hastauna rapidez de 10 m/s en 3 s. Calcule a) el trabajo realizado sobre el automóvil en este

tiempo, b) la potencia promedio entregada por el motor en los primeros 3 s y c) la potencia instantánea entregada por el motor en t=2 s.

a) El trabajo realizado se calcula por la diferencia en energías cinéticas

W=K f – K i = (1/2)mvf 2

-(1/2)mvi2

= (1/2)(1500 kg)(10 m/s)2

= 7.5x104

J

b) La potencia promedio es el trabajo entre el tiempo transcurrido.P = W = 7.5x10

4J = 2.5x10

4W

t 3 sc) La potencia instantánea se define como la razón temporal del trabajo efectuado

P = dW = F•v

dtDe la ecuación vf = vo + at, se despeja la aceleración

a = vf - vo = (10 m/s) – (0 m/s) = 3.333 m/s2

t 3 s

Por lo que F = ma = (1500 kg)(3.333 m/s2) = 4999.5 N

Ahora calculando la velocidad en t = 2 s, de la ecuación v = vo + atv = vo + at = (0 m/s) + (3.333 m/s2)(2 s) = 6.666 m/s

Calculando la potencia instantánea

P = dW = F•v = (4999.5 N)(6.666 m/s) = 3.33x104

Wdt





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78

39. [2a, 7-59] Un bote de carreras requiere 130 hp para moverse con una rapidez constante

de 15 m/s (33 mi/h). Calcule la fuerza resistiva debida al agua a esa rapidez.Convirtiendo hp a W

130 hp 7.458x102

W = 9.694x104

W

1 hpComo P = F•v, despejando la fuerzaF = (P/v) = (9.694x10

4W)/(15 m/s) = 6.47x10

3N

40. [2a, 7-61] Un atleta de 65 kg recorre una distancia de 600 m hacia arriba de una

montaña cuya inclinación es de 20° con la horizontal. El atleta realiza esta hazaña en80 s. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, a) ¿cuánto trabajo realiza?

y b) ¿cuál es su salida de potencia durante la carrera?

W = mgdsenθ = (65 kg)(9.81 m/s2)(600 m)(sen20°) = 1.31x10

5J

P = (W/t) = (1.31 x105

J)/(80 s) = 1.63 kW

Unidad VI Momentum6.1 Concepto de momento lineal e impulso

1. [2a, 9-1] Una partícula de 3 kg tiene una velocidad de (3i-4 j) m/s. Encuentre suscomponentes x,y del momento y la magnitud del momento total.





DICIEMBRE DE 2007

79

Datos: m = 3 kg; v = (3i-4 j) m/s

Obteniendo el momento linealP = mv = (3 kg)(3i-4 j)m/s = (9i-12 j) kg m/s

Obteniendo la magnitud del momento lineal _________ ⎢P⎪ = √92

+ (-12)2

= 15 kg m/s

2. [2a, 9-2] El momento de un coche de 1200 kg es igual al momento de un camión de5000 kg que viaja con una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál es la velocidad del coche?

Datos: m1 = 1200 kg; m2 = 5000 kg; v2 = 10 m/s;Como el momento lineal del coche es igual momento lineal del camión

m1v1 = m2v2

Despejando v1

v1 = m2v2 = (5000 kg)(10 m/s) = 41.7 m/sm1 1200 kg

3. [2a, 9-3] Un automóvil de 1500 kg viaja hacia el este con una rapidez de 8 m/s. Hace

una vuelta de 90° hacia el norte en un tiempo de 3 s y continúa con la misma rapidez.Encuentre: a) el impulso aplicado al auto como resultado de la vuelta y b) la fuerza

promedio ejercida sobre el auto durante la vuelta.

Datos: m1 = 1500 kg; v1 = 8 m/s; v2 = 10 m/s;

a) Obteniendo el impulso _______________ ____________________________________

I = ⎢P2-P1⎪= ΔP = √(m2v2)2+(-m1v1)

2= √[(1500 kg)(8 m/s)]2+[(1500 kg)(-8 m/s)]2

= 1.7x104

kg m/s al noroeste

b) Obteniendo la fuerza promedio

F p = ΔP = 1.7x104

kg m/s = 5.66x103

N

Δt 3 sObteniendo el ángulo

θ = 90°+arctan m2v2 = 90°+arctan (1500)(8) = 135°m1v1 (1500)(8)

4. [2a, 9-5] La fuerza Fx que actúa sobre una partícula de 2 kg varía con el tiempo como

se muestra en la figura 9.27. Encuentre: a) el impulso de la fuerza, b) la velocidad finalde la partícula si originalmente se encontraba en reposo, y c) la velocidad final de la

partícula si inicialmente se movía a lo largo de eje x con una velocidad de –2 m/s.





DICIEMBRE DE 2007

80

5. [2a, 9-7] En la fig. 9.28 se muestra la curva estimada de fuerza contra tiempo para elgolpe de un bate sobre una pelota de béisbol. A partir de esta curva, determine: a) el

impulso dado a la pelota, b) la fuerza promedio ejercida sobre la pelota y c) la fuerza

máxima ejercida sobre la pelota.

6. [2a, 9-15] Una bola de acero de 3 kg golpea una pared muy masiva con una rapidez de

10 m/s a un ángulo de 60° respecto de la superficie. Rebota con la misma rapidez yángulo (véase fig.). Si la bola está en contacto con la pared durante 0.20 s, ¿cuál es la

fuerza promedio ejercida por la pared sobre la bola?

Datos: m1 = 3 kg; v1 = 10 m/s; θ = 60°

Obteniendo el impulso _____________________________________________

ΔP = Pf – Pi = √(-mvsen60°- mvsen60°)2+ (mvcos60°- mvcos60°)2

= -2mvsen60°

Como I = ΔP = F pΔt, despejando la fuerza promedioF p = ΔP = 2mvsen60° = -2(3 kg)(10sen60° m/s) = -51.962 m/s = -260 N

Δt 0.20 s 0.20 s 0.20 s

6.1.1 Centro de masa7. [2a, 9-51] Una partícula de 3 kg se localiza en el eje x a x = -5 m, y una partícula de 4

kg está en el eje x a x = 3 m. Encuentre el centro de masa.

8. [2a, 9-53] La masa del Sol es 329 390 veces la de la Tierra y la distancia media delcentro del Sol al centro de la Tierra es de 1.496x10

8km. Tratando al Sol y a la Tierra

como partículas, con cada masa concentrada en su respectivo centro geométrico, ¿cuántan lejos se encuentra el Sol del C.M. del sistema Tierra-Sol? Compare esta distancia

con el radio medio del sol (6.960x105

km).

6.2 Ley de la conservación del momento y energía

60°

60°

y

x





DICIEMBRE DE 2007

81

9. [2a, 9-17] Un niño de 40 kg sentado sobre un estanque congelado avienta una piedra

de 2 kg hacia el este con una rapidez de 8 m/s. Despreciando la fricción entre el niño yel hielo, encuentre la velocidad de retroceso del niño.

Datos: m1 = 40 kg; m2 = 2 kg; v2 = 8 m/sPor conservación del momento lineal

m1v1 = m2v2

Despejando la velocidad de retroceso del niño

v1 = m2v2 = (2 kg)(8 m/s) = 0.4 m/s hacia el oeste

m1 40 kg

10. [2a, 9-19] Un muchacho de 60 kg y una muchacha de 40 kg, ambos con patines, se

encuentran en reposo uno enfrente del otro. El muchacho empuja a la muchacha,mandándola hacia el este con una velocidad de 4 m/s. Describa el movimiento

subsecuente del muchacho. (Desprecie la fricción.)

Datos: m1 = 60 kg; m2 = 40 kg; v2 = 4 m/sPor conservación del momento lineal

m1v1 = m2v2

Despejando la velocidad de retroceso del muchachov1 = m2v2 = (40 kg)(4 m/s) = 2.67 m/s hacia el oeste

m1 60 kg

6.3 Colisiones

6.3.1 Colisiones elásticas e inelásticas

6. 4 Aplicaciones de la conservación del momento11. [2a, 9-23] Un meteorito de 2000 kg tiene una rapidez de 120 m/s justo antes de tener

una colisión frontal con la Tierra. Determine la velocidad de retroceso de la Tierra(masa 5x10

24kg).

Datos: m1 = 2000 kg; v1= 120 m/s; m2 = 5x1024

kg; v2 = 0 m/s

Se trata de un choque inelástico, no hay conservación de la energía cinética, pero hay

conservación del momento lineal, y suponiendo a la Tierra inmóvil antes del choque.

m1v1 + m2v2 = (m1+m2)vDespejando la velocidad de retroceso de la Tierra

v = m1v1 = (2000 kg)(120 m/s) = 4.8x10-20

m/s

m1+m2 2000 kg+5x1024

kg

12. [2a, 9-25] Se dispara una bala de 10 g sobre un péndulo balístico de 2.5 kg y quedadentro de éste. Si el péndulo sube una distancia vertical de 8 cm, calcule la rapidez

inicial de la bala.

13. [2a, 9-27] Un coche de 1200 kg que viaja inicialmente con una rapidez de 25 m/s en ladirección este choca contra la parte posterior de un camión que se mueve en la misma





DICIEMBRE DE 2007

82

dirección a 20 m/s (ver fig.). La velocidad del coche justo después de la colisión es de

18 m/s hacia el este. a) Cuál es la velocidad del camión justo después de la colisión? b)¿Cuánta energía mecánica se pierde en la colisión? ¿Cómo puede explicar la perdida

de energía?

14. [2a, 9-29] Un neutrón en un reactor atómico realiza una colisión frontal elástica contrael núcleo de un átomo de carbón inicialmente en reposo. a) ¿Qué fracción de la energíacinética del neutrón se transfiere al núcleo del carbón? b) Si la energía cinética inicial

del neutrón es de 1 MeV=1.6x10-13

J, encuentre su energía cinética y la energía

cinética del núcleo del carbón después de la colisión (la masa del núcleo del carbón es

unas 12 veces la masa del neutrón).

15. [2a, 9-41] Una masa de 3 kg con una velocidad inicial de 5i m/s choca y se quedaunida a una masa de 2 kg con una velocidad inicial de –3 j m/s. Encuentre la velocidad

final de la masa compuesta.

Datos: m1 = 3 kg; v1= 5i m/s; m2 = 2 kg; v2 = -3 j m/s

Se trata de un choque inelástico, no hay conservación de la energía cinética, pero hayconservación del momento lineal.

m1v1+m2v2 = (m1+m2)v

Despejando la velocidad final de la masa compuesta

v = m1v1+m2v2 = (3 kg)(5i m/s)+(2 kg)(-3 j m/s) = (3i - 1.2 j) m/sm1+m2 3 kg+2 kg

16. [2a, 9-43] Un núcleo inestable de masa 17x10-27

kg inicialmente en reposo se

desintegra en tres partículas. Una de las partículas, de masa 5x10

-27

kg, se mueve a lolargo del eje y con una velocidad de 6x106

m/s. Otra de las partículas, de masa 8.4x10-

27kg, se mueve a lo largo del eje x con una velocidad de 4x10

6m/s. Encuentre: a) la

velocidad de la tercera partícula y b) la energía total liberada en el proceso.

Datos: m1 = 17x10-27

kg; v1= 0 m/s; m2 = 5x10-27

kg; v2 = 6x106 j m/s

m3= 8.4x10-27

kg; v3= 4x106 i m/s; m4= 3.6x10

-27kg

a) Se trata de un choque inelástico no hay conservación de la energía cinética, pero

hay conservación del momento lineal.m1v1 = m2v2+m3v3+m4v4

Despejando a v4

v4 = -m2

v2-

m3V3

= -(5x10

-27

kg)(6x10

6

j m/s)-(8.4x10

-27

kg)(4x10

6

i m/s)m4 3.6x10-27

kg

= (-9.33x106i – 8.33x10

6j) m/s

b) Obteniendo la magnitud de v4 y utilizándola para obtener ΔK ______________________

⎢v4⎪ = √(-9.33x106)2+(8.33x10

6)2

= 1.25x107

m/s





DICIEMBRE DE 2007

83

ΔK = K f – K i = [(1/2)m2v22+(1/2)m3v3

2+(1/2)m4v4

2] - 0= (1/2) [(5x10

-27)(6x10

6)

2+(8.4x10

-27)(4x10

6)

2+(3.6x10

-27)(1.25x10

7)2]

= (1/2)(1.8x10-13

+1.3x10-13

+5.6x10-13

) = 4.39x10-13

J

UNIDAD VII MECANICA DE FLUIDOS7.1 Concepto de fluido

7.1.1 Presión y densidad

7.2 Principio de Pascal y principio de Arquimedes

7.2.1 Medición de la presión para un fluido estático

7.2.1 Variación de la presión atmosférica con la altura

7.3 Flujo de fluidos

Flujo o gasto volumétrico

Si un fluido llena un tubo y fluye a través de el, entonces el flujo volumétrico estará dado por:

Q = Av

1. [Tipler,395,16] Plasma sanguíneo fluye desde una bolsa a través de un tubo hasta la venade un paciente, en un punto en que la presión de la sangre es de 12 mmHg. La densidad

específica del plasma a 37°C es 1,03. ¿Cuál es la altura mínima a la que deberá estar la

bolsa para que la presión del plasma cuando se introduce en la vena sea al menos de 12

mmHg?

DatosP = 12 mmHg = 1599.868421Pa

ρ = 1.03 = 1030 kg/m3

altura mínima h = P/(ρg) = 0.158335404 m = 15.83354038 cm

2. [Tipler,396,33] Un objeto flota en el agua con 80% de su volumen por debajo de la

superficie. El mismo objeto situado en otro líquido flota con el 72% de su volumen por

debajo de la superficie. Determinar la densidad del objeto y la densidad específica del

líquido.Datos

V1 = 80%V2 = 72%

a) Densidad del objeto ρ = ρH2O%V1 = 800 kg/m3

b) Densidad especifica del líquido ρξ = %V1/%V2 = 1.11





DICIEMBRE DE 2007

84

Flujo de fluidos

7.3.1 Ecuación de continuidadEcuación de continuidad

Si un fluido incompresible llena un tubo y fluye a través de él y si se comparan dos puntosdel tubo, entonces el flujo debe ser igual, es decir:

Q = A1v1 = A2v2 = cte

3. [Tipler,397,49] Por una aorta de 9 mm de radio fluye sangre a 30 cm/s.a) Calcular el flujo volumétrico en litros por minuto.

b) Aunque el área de la sección recta de un capilar es mucho menor que la de la aorta,

existen muchos capilares, de forma que el área total de sus secciones rectas es muchomayor. Si toda la sangre procedente de la aorta pasa a los capilares en donde la velocidad

de flujo es de 1.0 mm/s, calcular dicha área total.

Datos

r = 9 mm = 0.009 mv1 = 30 cm/s = 0.3 m/s

v2 = 1 mm/s = 0.001m/s

a) Flujo volumétrico Q1 = A1v1 = 7.63407x10-05

m3/s = 4.58044209 L/min

b) Area Total A2 = Q1/v2 = 0.076340701m2= 763.407015 cm

2

4. [Tipler,397,50] Una muchacha se encuentra en el tejado de su casa de dimensiones 15 m

x 15 m. Súbitamente, un fuerte viento derriba la escalera por la que ha subido al tejado y lamuchacha no tiene otro medio para descender. Ella sabe que un fuerte viento reduce la

presión del aire sobre el tejado y que existe el peligro de que la presión atmosférica dentrode la casa vuele el tejado. Calcular la fuerza que actúa sobre el tejado cuando el vientosopla a la velocidad de 30 m/s.

Datos

L1 = 15 m

L2 = 15 mv = 30 m/s

densidad del aire ρaire = 1.293 kg/m3

Fuerza sobre el tejado F = (1/2)ρv2A = 130916.25 N = 130.916 kN

7.3.2 Ecuación de Bernoulli7.4 Aplicaciones de la mecánica de fluidos

Ecuación de BernouilliPara un flujo estacionario (régimen estable) considérese dos puntos distintos, entonces

p1 + (1/2)ρv12

+ h1ρg = p2 + (1/2)ρv22

+ h2ρg





DICIEMBRE DE 2007

85

5. [Tipler,398,55] Una fuente diseñada para lanzar una columna de agua de 12 m de altura

al aire, tiene una boquilla de 1 cm de diámetro al nivel del suelo. La bomba de agua está a 3

m por debajo del suelo. La tubería que la conecta a la boquilla tiene un diámetro de 2 cm.

Hallar la presión que debe suministrar la bomba.Datos

h = 12 m

d1 = 1 cm = 0.01 mh1 = 3 m

d2 = 2 cm = 0.02 m

Velocidad del H2O al final (nivel del suelo) v

1= (-2gh)

1/2= 15.344 m/s

Flujo volumétrico Q = A1v1 = 0.0012 m3/s

Velocidad del H2O al inicio (abajo del suelo) v2 = Q/A2 = 3.836 m/s

Presión que suministra la bomba P2 = P1 + (1/2)ρ(v12

- v22) + ρgh1 = 241117.5

Pa

6. [Sears,541,14,41] Un sistema de riego de un campo de golf descarga agua de un tubohorizontal a razón de 7200 cm

3/s. En un punto del tubo, donde el radio es de 4.00 cm, la

presión absoluta del agua es de 2.40x105

Pa. En un segundo punto del tubo, el agua pasa

por una constricción cuyo radio es de 2.00 cm. ¿Qué presión absoluta tiene el agua al fluir por esa constricción?

Datos

Q = 7200 cm3/s = 0.0072 m

3/s

r 1 = 4 cm = 0.04 m

P1 = 240000 Pa

r 2 = 2 cm = 0.02 m

Velocidad del H2O en 1 v1 = Q/A1 = 1.432 m/s

Velocidad del H2O en 2 v2 = Q/A2 = 5.7295 m/s

Presión absoluta en 2 P2 = P1 + (1/2)ρv22

- (1/2)ρv12

= 224611.845 Pa

7. [Bueche,Schaum,137,14,23] Calcúlese la velocidad teórica del derrame de agua desdeuna abertura que está a 8 m por debajo de la superficie del agua en un gran tanque, si se le

adiciona una presión de 140 kPa, aplicada a la superficie del agua.

Datosh1 = 8 m

P1 = 140 kpa





DICIEMBRE DE 2007

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velocidad de salida del H2O v2 = {[(P1 + ρgh1)2]/ρ}1/2= 20.904 m/s

BIBLIOGRAFIA

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probl. fisica mov. aplic. problemario

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