variable compleja

Capıtulo 4

Integracion en el plano complejo

En este capıtulo se estudia la integracion de funciones de variable compleja sobre trayecto-rias. Como resultado destacable podemos mencionar la formula de Cauchy, que es consecuenciadel teorema de Cauchy. Como se vera posteriormente, de esta formula se deduce que todafuncion analıtica puede expresarse como suma de una serie de potencias.

4.1. Trayectorias

Se llama trayectoria a una aplicacion σ : [a, b] −→ lC continua.

Los puntos σ(a) y σ(b) son, respectivamente, el origen y el final de la trayectoria y, sicoinciden, se dice que la trayectoria es cerrada. Suele denotarse por σ∗ el conjunto imagenσ([a, b]).

Una trayectoria se dice que es de clase Ck si lo es la aplicacion σ (En los extremos delintervalo se entiende que las derivadas son laterales). La trayectoria se dice que es Ck a trozossi existe una particion a = t0 < · · · < tn = b tal que es Ck en cada subintervalo [tk−1, tk] para1 ≤ k ≤ n. Las trayectorias que vamos a considerar, aunque no se haga mencion expresa deello, supondremos que son, al menos, C1 a trozos.

Una trayectoria se dice que es regular o suave en t si la aplicacion σ tiene derivada continuay esta no se anula en t. La trayectoria se dice regular si lo es todos los puntos.

Si la aplicacion σ es inyectiva la trayectoria se dice simple o de Jordan. En el caso de unatrayectoria cerrada, se dice que es simple si es inyectiva salvo en los extremos.

Ejemplo 4.1 Dado r > 0, σ(t) = reit, con t ∈ [0, 2π] es una trayectoria regular cuya ima-gen es la circunferencia centrada en el origen de radio r y esta recorrida en sentido positivo(antihorario).

Ejemplo 4.2 Dado r > 0 y a ∈ lC, la trayectoria σ(t) = a + reit con t ∈ [0, 2π] representa la

27

28

circunferencia de centro en a y de radio r recorrida en sentido antihorario. Es una trayectoriacerrada de Jordan y suele denotarse como C(a, r).

Ejemplo 4.3 Dados dos puntos z y w, σ(t) = z + t(w − z), con t ∈ [0, 1], es una trayectoriaregular cuya imagen es el segmento que une z con w.

Ejemplo 4.4 El conjunto imagen de la trayectoria σ(t) = (t,√

1− t2), con t ∈ [−1, 1] es lasemicircunferencia centrada en el origen de radio 1 situada en el semiplano y > 0. No es unatrayectoria C1.

Ejemplo 4.5 La trayectoria σ(t) =

{eit si t ∈ [0, π/2],

i− i(t− π/2) si t ∈ [π/2, 1 + π/2]es regular a trozos.

En general, entenderemos por arco o contorno a la yuxtaposicion de un numero finito detrayectorias simples que sean, al menos, C1.

Conviene matizar que la nocion de trayectoria hace referencia a tres elementos: conjunto departida, ecuaciones de la trayectoria y conjunto imagen. La nocion de curva se refiere mas bienal conjunto imagen, no tiene en cuenta las ecuaciones que se utilizan para representarla. Porejemplo, podemos pensar en la curva formada por los puntos de la circunferencia unidad. Esteconjunto de puntos es el conjunto imagen de las trayectorias σ(t) = (cos(t), sen(t)), t ∈ [0, 2π]y β(t) = (cos(2t), sen(2t)), t ∈ [0, π]. Son dos trayectorias distintas que ’representan´ la mismacurva.

Desde un punto de vista fısico, podemos interpretar que σ y β describen el movimiento dedos partıculas que recorren la misma curva con velocidades distintas. Este tipo de trayecto-rias diremos que son equivalentes y, como veremos, desde el punto de vista de la integracion,trayectorias que representan la misma curva conducen a los mismos resultados. Por ello no pro-fundizaremos en la distincion entre curva y su parametrizacion aunque son conceptos distintos.Finalmente, senalemos que no todas las trayectorias que representan la misma curva tienen lasmismas propiedades. El ejemplo 4.4 parametriza la semicircunferencia unidad y no es regularmientras que en el ejemplo 4.1, si consideramos t ∈ [0, π] obtenemos una representacion regulardel mismo arco.

Definicion 4.1 Dos trayectorias C1 σ : [a, b] −→ lC y β : [c, d] −→ lC se dice que son equiv-alentes si existe una aplicacion biyectiva h : [a, b] −→ [c, d] derivable con derivada no nula talque σ = β ◦ h.

La aplicacion h representa un cambio de variable. Si es creciente ambas trayectorias tienenel mismo sentido de recorrido y, si es decreciente, los sentidos de recorrido son opuestos.

Ejemplo 4.6 Dado R > 0, las trayectorias σ(t) = Reit, t ∈ [0, 2π] y β(s) = Reis/R, s ∈[0, 2πR] son equivalentes. Para obtener β hacemos el cambio de variable t = h(s) siendo h(s) =s/R.

29

Definicion 4.2 Dada una trayectoria σ : [a, b] −→ lC se define la longitud como

long(σ) =

∫ b

a

|σ′(t)| dt

Desde un punto de vista fısico, la longitud representa el espacio recorrido por una partıculapuntual que se desplaza en el plano siguiendo las ecuaciones de la trayectoria.

En el caso de un contorno que sea yuxtaposicion de varias trayectorias, la longitud es lasuma de la longitud de cada trayectoria.

4.2. Integracion

Definicion 4.3 Sea σ : [a, b] −→ lC una trayectoria y f una funcion continua definida sobre elconjunto imagen de σ, f : σ∗ −→ lC. Se define la integral de f sobre σ como

∫

σ

f(z) dz =

∫ b

a

f(σ(t)) · σ′(t) dt.

Observemos que el integrando es una funcion continua sobre un intervalo cerrado y acotadopor lo que, en las hipotesis de la definicion, la existencia de la integral queda asegurada. Puedendarse definiciones menos restrictivas como, por ejemplo, considerar intervalos abiertos (a, b) ocon extremos infinitos como (−∞, b). Esto puede dar lugar a la aparicion de integrales impropiasy el tratamiento serıa analogo aunque algo mas incomodo.

En el caso de yuxtaposicion de arcos se hace la suma de la integral sobre cada arco.

Ejemplo 4.7 Calcule

∫

σ

f(z) dz en los casos siguientes:

(a) f(z) = z, σ(t) = t(1 + i), t ∈ [0, 1].

(b) f(z) = z3, σ(t) = 2eit, t ∈ [0, π].

(c) f(z) = z, σ(t) =

{eit si t ∈ [0, π/2],

i− i(t− π/2) si t ∈ [π/2, 1 + π/2].

Se estudiaran ahora algunas propiedades de la integracion. La primera de ellas es la lineali-dad, que se deduce de manera inmediata de la definicion anterior y la linealidad de la integracionreal:

Proposicion 4.1 Sea σ una trayectoria y f y g funciones continuas definidas sobre el conjuntoimagen σ∗. Se verifica entonces que ∀λ, µ ∈ lC∫

σ

(λf(z) + µg) dz = λ

∫

σ

f(z) dz + µ

∫

σ

g(z) dz. (4.1)

30

La proposicion siguiente muestra que la integral de una funcion de variable compleja sobreuna trayectoria esta relacionada con la integracion de campos vectoriales.

Proposicion 4.2 Sea σ una trayectoria y f una funcion continua definida sobre el conjuntoimagen, f : σ∗ −→ lC. Sean u = Re(f) y v = Im(f). Se verifica entonces

∫

σ

f(z) dz =

∫

σ

(u,−v) · d~r + i

∫

σ

(v, u) · d~r. (4.2)

Aplicando esta proposicion, muchas propiedades vistas en la integracion de campos vecto-riales se trasladan a la integracion compleja. Por ejemplo:

Proposicion 4.3 Sean σ y β dos trayectorias equivalentes y f una funcion continua definidasobre el conjunto imagen de ambas. Se verifica entonces:

(a) Si σ y β tienen el mismo sentido,

∫

σ

f(z) dz =

∫

β

f(z) dz.

(b) Si σ y β tienen sentidos opuestos,

∫

σ

f(z) dz = -

∫

β

f(z) dz.

Proposicion 4.4 Sea σ una trayectoria y f una funcion continua definida sobre el conjuntoimagen y tal que |f(z)| ≤ M ∀z ∈ σ∗. Se verifica entonces que

∣∣∣∣∫

σ

f(z) dz

∣∣∣∣ ≤ M · long(σ). (4.3)

Proposicion 4.5 Sea U un subconjunto abierto de lC y σ una trayectoria cuya imagen esta enU con origen en A y final en B. Sea F : U −→ lC analıtica en U que es la primitiva de unafuncion continua f , F ′(z) = f(z), para todo z ∈ U . Se verifica entonces que

∫

σ

f(z) dz = F (B)− F (A). (4.4)

Este resultado establece que la integral no depende del camino.

Corolario 4.1 En las hipotesis de la proposicion anterior, si la trayectoria σ es cerrada, en-tonces la integral curvilınea es nula.

Ejemplo 4.8 Calcule

∫

C(0,1)

1

zndz, n ∈ ZZ.

31

4.3. Teorema y formula de Cauchy

Teorema 4.1 (Teorema de Cauchy) Sea U un subconjunto abierto de lC simplemente conexoy f una funcion analıtica en U . Se verifica entonces que la integral curvilınea sobre cualquiertrayectoria cerrada en U es nula.

Teorema 4.2 (Formula integral de Cauchy) Sea U un subconjunto abierto de lC simplementeconexo y f una funcion analıtica en U . Sea σ una trayectoria cerrada de Jordan. Se tieneentonces que si z ∈ U es rodeado por σ,

f(z) =1

2πi

∫

σ

f(w)

(w − z)dw. (4.5)

Tambien se verifica una formula similar para las derivadas

fn)(z) =n!

2πi

∫

σ

f(w)

(w − z)n+1dw. (4.6)

Ejemplo 4.9 Aplicando la formula de Cauchy calcule:

(a)

∫

C(0,2)

1

z − 1dz, (b)

∫

C(0,1)

1

zdz.

Ejemplo 4.10 Aplicando la formula de Cauchy calcule:

(a)

∫

C(0,3)

eizπ

z − 2dz, (b)

∫

C(0,3)

eizπ

(z − 2)2dz

Capıtulo 5

Series de potencias

Las series de potencias juegan un papel muy importante en la teorıa de funciones de variablecompleja pues, como veremos en el capıtulo siguiente, toda funcion analıtica puede expresarselocalmente como suma de una serie de potencias. En la primera parte de este capıtulo serealiza un breve estudio de las sucesiones y series de numeros complejos y de funciones. Noscentraremos en aquellas propiedades que resultaran utiles para el tratamiento de las series depotencias. En la segunda parte del capıtulo se estudian las series de potencias y sus propiedadesmas importantes.

5.1. Sucesiones y series

Definicion 5.1 Sea {zn}, n ∈ lN, una sucesion de numeros complejos. Se dice que la sucesionconverge a un punto z ∈ lC si para cada ε > 0 existe n0 ∈ lN tal que si n ≥ n0 se tiene que|zn − z| < ε. En este caso escribimos

lımn→∞ zn = z

Una consecuencia inmediata de la definicion es que toda sucesion convergente esta acotada.

Como es sabido del calculo de varias variables, el calculo de los lımites en l-R2puede realizarse

hallando los lımites de cada componente. Se verifica entonces que

lımn→∞ zn = z ⇔ lımn→∞ Re(zn) = Re(z) y lımn→∞ Im(zn) = Im(z).

Para el calculo de los lımites de numeros complejos se utilizan los mismos metodos que enel caso de sucesiones numeros reales.

Ejemplo 5.1 Pruebe, usando la definicion, que zn =n(1 + i)

n + 1converge a 1 + i.

32

33

Ejemplo 5.2 Pruebe, usando la definicion, que la sucesion zn = in no es convergente.

Ejemplo 5.3 Estudie si la sucesion zn = (1− i)n es convergente.

Ejemplo 5.4 Estudie si la sucesion zn =

(1− i√

2

)n

es convergente.

Proposicion 5.1 Sean {zn} y {wn} sucesiones en lC que convergen a z y w respectivamente.Se verifican:

1. lımn→∞ (zn + wn) = z + w.

2. lımn→∞ (zn · wn) = z · w.

3. Si w 6= 0, lımn→∞ zn/wn = z/w.

En esta ultima propiedad observemos que el cociente zn/wn tiene sentido, al menos a partirde un cierto termino de la sucesion pues, si w 6= 0, ha de existir un n0 tal que wn 6= 0 paran ≥ n0.

Definicion 5.2 Sea {zn} una sucesion de numeros complejos y, para cada n ∈ N , sea sn =z1 + · · · + zn. Si la sucesion {sn}, llamada sucesion de sumas parciales, converge hacia s

diremos que la serie∞∑

n=1

zn es convergente y escribiremos

s =∞∑

n=1

zn = z1 + z2 + · · ·+ zn + · · ·

Ejemplo 5.5 Estudie si la serie∞∑

n=1

(i

2

)n

es convergente.


n=1

(i)2n es convergente.

La proposicion siguiente establece que una condicion necesaria, para la convergencia de laserie es que el termino general de la serie tienda a cero. Esta condicion no es suficiente.

Proposicion 5.2 Si la serie∞∑

n=1

zn es convergente, entonces lımn→∞ zn = 0.

34


n=1

(1− i√

2

)n

es convergente.

Se dice que la serie converge absolutamente si la serie de numeros reales∞∑

n=1

|zn| es

convergente. Se verifica que si una serie converge absolutamente entonces es convergente.

Proposicion 5.3 Sean {zn} y {wn}, n = 0, 1, · · · , dos sucesiones tales que∞∑

n=0

zn = z,∞∑

n=0

wn = w

y∞∑

n=0

|zn| es convergente. Si cn =n∑

k=0

zkwn−k, n = 0, 1, · · · , se verifica que∞∑

n=0

cn = z · w

Ahora se veran algunos resultados sobre sucesiones y series de funciones.

Definicion 5.3 Sea A ⊂ lC, fn : A −→ lC, n ∈ lN, una sucesion de funciones y f : A −→ lC.Se dice que {fn} converge a f si, para cada z ∈ A, se tiene que

lımn→∞ fn(z) = f(z),

o lo que es equivalente, si para cada z ∈ A, dado ε > 0 existe n0 ∈ lN tal que si n ≥ n0 se tieneque |fn(z)− f(z)| < ε.

En general, n0 depende del punto z considerado y de ε. Este tipo de convergencia se llamapuntual y se dice que la sucesion {fn} converge puntualmente hacia f en A.

Definicion 5.4 Se dice que {fn} converge uniformemente a f en A si dado ε > 0 existen0 ∈ lN tal que si n ≥ n0 se tiene que |fn(z)− f(z)| < ε ∀z ∈ A.

En este caso n0 no depende de z, solo de ε.

Es obvio que la convergencia uniforme implica la convergencia puntual. La convergenciauniforme es mas fuerte y de ella se derivan importantes propiedades como enunciamos a con-tinuacion.

Proposicion 5.4 Sea A ⊂ lC y una sucesion de funciones fn : A → lC, n ∈ lN, y f : A → lC ysupongamos que las funciones fn son continuas y que la sucesion {fn} converge uniformementehacia f . Entonces f tambien es funcion continua en A.

Proposicion 5.5 Sea γ una trayectoria C1 y sea γ∗ su imagen. Sea {fn} una sucesion de fun-

ciones continuas que converge a f uniformemente sobre γ∗. Entonces lımn→∞

∫

γ

fn(z) dz =

∫

γ

f(z) dz

35

Estudiar si una sucesion de funciones converge uniformemente o no, en ocasiones, no essencillo. El resultado siguiente, conocido como prueba M de Weiertrass, proporciona un criteriopara asegurar la convergencia uniforme de series de funciones.

Proposicion 5.6 Sea∞∑

n=1

Mn una serie de numeros reales con Mn ≥ 0. Sea A ⊂ lC y una

sucesion de funciones fn : A → lC, n ∈ lN, tales que |fn(z)| ≤ Mn, ∀z ∈ A. Entonces la serie

de funciones∞∑

n=0

fn converge uniformemente en A.

Ejercicio 5.1 Sea {zn} una sucesion que converge a z 6= 0. Pruebe que existe un n0 ∈ lN talque, si n ≥ n0, zn 6= 0.

Ejercicio 5.2 Estudie, utilizando la definicion de lımite, si las sucesiones zn =2n + i

n + 1, wn =

1

(1 + i)ny vn = (1 + i)n son convergentes.

Ejercicio 5.3 Estudie si las sucesiones zn =

(1 + i

1− i

)n

, wn =1

(1 + i)ny vn = (1 + i)n son

convergentes.

Ejercicio 5.4 Pruebe que si la sucesion {zn} converge a z entonces {|zn|} converge a |z|.

Ejercicio 5.5 Dado z ∈ lC, demuestre que lımn→∞ zn = 0 si, y solo si, |z| < 1.

5.2. Series de potencias

En esta seccion estudiamos las series de potencias, que son series de la forma

∞∑n=0

an(z − c)n

donde an, z y c son numeros complejos. En la notacion, como es habitual, se entiende que(c− c)0 = 1.

Teorema 5.1 Sea {an} una sucesion de numeros complejos y c ∈ lC. Entonces se cumple unade las dos afirmaciones siguientes:

1. la serie∞∑

n=0

an(z − c)n converge absolutamente ∀z ∈ lC

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2. existe un numero R ≥ 0 tal que∞∑

n=0

an(z − c)n converge absolutamente si |z − c| < R y

diverge si |z − c| > R.

El numero R se llama radio de convergencia de la serie (en el caso 1 se dice que el radio

es +∞) y se cumple que, si 0 ≤ r < R, la serie∞∑

n=0

an(z − c)n converge uniformemente en el

disco cerrado D(c, r) = {z ∈ lC : |z − c| ≤ r}.

Observemos que la sucesion de sumas parciales es un polinomio de la forma

sn(z) = a0 + a1(z − c) + · · ·+ an(z − c)n.

Es, por tanto, una funcion continua y, como consecuencia de la convergencia uniforme, la sumade la serie tambien sera una funcion continua. Se tiene entonces:

Corolario 5.1 Sea R el radio de convergencia de la serie∞∑

n=0

an(z − c)n. Entonces la funcion

suma a(z) =∞∑

n=0

an(z − c)n es continua en D(c, R).

Corolario 5.2 Dado r > 0 supongamos que si |z − c| < r, a(z) =∞∑

n=0

an(z − c)n y b(z) =

∞∑n=0

bn(z − c)n y sea cn =n∑

k=0

akbn−k = a0bn + a1bn−1 + · · · + anb0, n = 0, 1, · · · . Se verifica

entonces que∞∑

n=0

cn(z − c)n = a(z) · b(z), si |z − c| < r.

El radio de convergencia de una serie puede calcularse estudiando la convergencia de la seriede los valores absolutos. Esta es una serie de numeros reales positivos a la que podemos aplicarlos criterios ya conocidos de series de numeros reales. Recordamos alguno de ellos:

Proposicion 5.7 Sea an una sucesion de numeros complejos tal que lımn→∞n√|an| = r. En-

tonces, el radio de convergencia de la serie∞∑

n=0

an(z − c)n es 1/r, si r 6= 0, y +∞, si r = 0.

Proposicion 5.8 Sea an una sucesion de numeros complejos tal que an 6= 0 al menos a partir

de un cierto ındice. Supongamos lımn→∞|an+1||an| = r. Entonces, el radio de convergencia de la

serie∞∑

n=0

an(z − c)n es 1/r, si r 6= 0, y +∞, si r = 0.

37

Ejemplo 5.8 Halle el radio de convergencia de la serie∞∑

n=0

zn y pruebe que su suma es 1/(1−z)

si |z| < 1.

Utilizamos la expresion:

1 + z + · · ·+ zn =zn+1 − 1

z − 1

Ejemplo 5.9 Halle el radio de convergencia y la suma de la serie∞∑

n=0

(z

1 + i

)n

.

Ejemplo 5.10 Halle el radio de convergencia de la serie∞∑

n=0

zn

n!.

Ejemplo 5.11 Utilizando el ejemplo 5.8, exprese la funcion 1/(1−z)2 como suma de una serie

de potencias de la forma∞∑

n=0

anzn, para z ∈ D(0, 1).

Ejercicio 5.6 Halle los coeficientes an de una serie de potencias tal que1

2z − 1=

∞∑n=0

anzn y

calcule el radio de convergencia.

Ejercicio 5.7 Halle los coeficientes an de una serie de potencias tal que1

2z + i=

∞∑n=0

an(z − i)n

y calcule el radio de convergencia.

5.3. Derivacion e integracion de series de potencias

Teorema 5.2 (Derivacion termino a termino) Sea una serie de potencias de radio de conver-gencia R cuya suma es una funcion f ,

f(z) =∞∑

n=0

an(z − c)n = a0 + a1(z − c) + · · ·+ an(z − c)n + · · · .

Entonces f es una funcion analıtica en D(c, R) y su derivada es otra serie de potencias cuyoradio tambien es R y que puede calcularse derivando termino a termino:

f ′(z) =∞∑

n=1

nan(z − c)n−1 = a1 + 2a2(z − c) + · · ·+ nan(z − c)n−1 + · · · (5.1)

38

Teniendo en cuenta que f ′ es, como f , la suma de otra serie de potencias, podemos aplicarel teorema obteniendo que existe f ′′ y que es tambien suma de una serie de potencias. Comoconsecuencia del teorema se tiene entonces el

Corolario 5.3 Sea f la suma de una serie de potencias centrada en un punto c y sea R ≥ 0su radio de convergencia. Entonces f tiene derivadas de todo orden en D(c, R). Ademas, loscoeficientes verifican

an =fn)(c)

n!, n = 0, 1, · · · . (5.2)

De este resultado se deduce que si f puede expresarse como suma de una serie de potenciasentorno a un punto c, los coeficientes de la serie son unicos. Si existiera otra sucesion {bn} tal

que f(z) =∞∑

n=0

bn(z − c)n entonces bn =fn)(c)

n!, n = 0, 1, · · · y por tanto an = bn.

Ejemplo 5.12 Halle la derivada de f(z) =∞∑

n=0

zn

n!.

Ejemplo 5.13 Halle el radio de convergencia y la derivada de

f(z) = z − z3

3!+

z5

5!+ · · ·+ (−1)n+1 z2n+1

(2n + 1)!+ · · ·

Proposicion 5.9 (Integracion termino a termino). Para z ∈ D(c, R), sea f(z) la suma de unaserie de potencias

f(z) =∞∑

n=0

an(z − c)n = a0 + a1(z − c) + · · ·+ an(z − c)n + · · ·

y sea F una primitiva de f . Entonces, en la bola D(c, R), F puede desarrollarse como

F (z) = C + a0(z − c) + a1(z − c)2

2+ · · ·+ an−1

(z − c)n

n+ · · ·

siendo C = F (c).

Ejemplo 5.14 Halle una serie de potencias cuya derivada sea f(z) = 1/(1 + z) en D(0, 1).

Ejercicio 5.8 Integrando la serie∞∑

n=0

(−z)n pruebe que, si |z| < 1,

log0(1 + z) = z − z2

2+ · · ·+ (−1)n−1 zn

n+ · · ·

Capıtulo 6

Series de Taylor y de Laurent

Este capıtulo esta dedicado a la obtencion de desarrollos en serie de las funciones de variablecompleja. En la primera parte de esta leccion se vera que toda funcion analıtica en un puntopuede expresarse, localmente, como suma de una serie de potencias llamada serie de Taylor.De este modo, todas la propiedades ya vistas para las series de potencias se trasladan a lasfunciones analıticas. Ademas, este teorema es el recıproco de un resultado visto en el capıtuloanterior y que afirma que toda serie de potencias es una funcion analıtica. Podemos entonces,localmente, identificar las funciones analıticas con las series de potencias.

En la segunda parte del capıtulo se estudia el desarrollo en serie de potencias de funcionesque no son analıticas. Estas funciones no pueden expresarse como una serie de Taylor perosı se pueden desarrollar en serie Laurent, que tambien es una serie de potencias donde que losexponentes pueden ser negativos.

6.1. Series de Taylor

Teorema 6.1 Sea f una funcion analıtica en D(z0, R). Entonces existe una sucesion de numeroscomplejos {an}, n = 0, 1, · · · , tal que, para cada z ∈ D(z0, R) se tiene que

f(z) =∞∑

n=0

an (z − z0)n (6.1)

Ademas, los coeficientes an, n = 0, 1, · · · , son unicos y estan dados por la formula

an =1

2πi

∫

C(z0,r)

f(w)

(w − z0)n+1dw (6.2)

siendo r un numero cualquiera con 0 < r < R.

La demostracion se basa en la formula de Cauchy. Sea z ∈ D(z0, R) y r1 = |z− z0|. Se elige

39

40

r tal que r1 < r < R. Por la formula de Cauchy se puede expresar f(z) como

f(z) =1

2πi

∫

C(z0,r)

f(w) dw

Dado w sobre la circunferencia C(z0, r) se tiene que

∣∣∣∣z − z0

w − z0

∣∣∣∣ =r1

r< 1

y por tanto

1

w − z=

1

w − z0

1

1− z − z0

w − z0

=∞∑

n=0

(z − z0)n

(w − z0)n+1

de dondef(w)

w − z=

∞∑n=0

f(w)(z − z0)n

(w − z0)n+1(6.3)

Veamos que esta convergencia es uniforme usando el criterio de Weiertrass. Sea M =max{|f(w)| : |w− z0| = r}. Este maximo existe pues |f(w)| es continua sobre la circunferenciaC(z0, r) que es un conjunto compacto. Se tiene entonces

∣∣∣∣f(w)(z − z0)

n

(w − z0)n+1

∣∣∣∣ ≤ Mn =M

r

(r1

r

)n

.

La convergencia es uniforme pues la serie∞∑

n=0

Mn es convergente ya que 0 < r1 < r.

Integrando en 6.3 y permutando la integral con el sumatorio obtenemos

f(z) =∞∑

n=0

1

2πi(z − z0)

n

∫

C(z0,r)

f(w)

(w − z0)n+1dw =

∞∑n=0

an(z − z0)n

siendo

an =1

2πi

∫

C(z0,r)

f(w)

(w − z0)n+1dw.

De la demostracion se deduce que en la expresion anterior puede elegirse cualquier r ∈ (0, R)y, de los resultados de unicidad de las series, se tiene que los coeficientes an son unicos.

La serie obtenida se denomina desarrollo en Serie de Taylor de f en torno al punto z0 yde ella se deducen importantes consecuencias. Notemos que el radio de convergencia de la seriees el mayor numero real positivo R tal que f es analıtica en el disco D(z0, R).

41

Como consecuencia de este teorema se tiene que toda funcion analıtica puede ponerse co-mo suma de una serie de potencias. Recordemos que el resultado recıproco tambien es ciertopues habıamos visto que toda serie de potencias es una funcion analıtica. Se tiene entonces elcorolario:

Corolario 6.1 Sea A ⊂ lC, f : A −→ lC y z0 ∈o

A. La funcion f es analıtica en z0 si, y solo si,existe R > 0 tal que f es la suma de una serie de potencias en D(z0, R).

La propiedades de las series de potencias pueden trasladarse entonces a las funcionesanalıticas. Por ejemplo, sabemos que una serie de potencias admite derivadas de cualquierorden. Se tiene entonces el corolario siguiente:

Corolario 6.2 Sea f una funcion analıtica en un abierto A ⊂ lC. Entonces f admite en Aderivadas de todo orden. Ademas, si z0 ∈ A y {an}, n = 0, 1, · · · son los coeficientes deldesarrollo de Taylor en D(z0, R), se verifica que

an =fn)(z0)

n!(6.4)

En los ejemplos siguientes se exponen algunos metodos para obtener desarrollos de Taylor.

Ejemplo 6.1 Obtenga el desarrollo de ez en torno al cero e indique donde es valido.

La funcion f(z) = ez es analıtica en D(0, R), ∀R > 0 por lo que el desarrollo sera validoen todo lC.

Para calcular los coeficientes hallamos las derivadas de f :

f(z) = f ′(z) = · · · = fn)(z) = ez ∀n ∈ lN

por lo que

an =fn)(0)

n!=

1

n!

de donde

f(z) = 1 + z +z2

2!+ · · ·+ zn

n!+ · · ·

A partir del desarrollo de la funcion exponencial pueden obtenerse desarrollos de funcionestrigonometricas e hiperbolicas. Por ejemplo

sen(z) = z − z3

3!+

z5

5!+ · · ·+ (−1)n+1 z2n−1

(2n− 1)!+ · · ·

42

cos(z) = 1− z2

2!+

z4

4!+ · · ·+ (−1)n z2n

(2n)!+ · · ·

senh(z) = z +z3

3!+

z5

5!+ · · ·+ z2n−1

(2n− 1)!+ · · ·

cosh(z) = 1 +z2

2!+

z4

4!+ · · ·+ z2n

(2n)!+ · · ·

Ejemplo 6.2 Hallando las derivadas en el punto 0, obtenga el desarrollo de log0(1 + z) enD(0, 1).

Ejemplo 6.3 Halle el desarrollo de Taylor de f(z) = 1/z en un entorno del punto 1 e indiquedonde es valido.

Hay que desarrollar la funcion en potencias de (z− 1). El mayor disco centrado en 1 dondef es analıtica es D(1, 1).

Para calcular el desarrollo expresamos la funcion como la suma de una serie geometrica:

1

z=

1

1 + (z − 1)= 1− (z − 1) + (z − 1)2 + · · ·+ (−1)n(z − 1)n + · · ·

que es la serie geometrica de razon −(z − 1) y converge si |z − 1| < 1.

Ejemplo 6.4 (Descomposicion en fracciones). Halle el desarrollo de f(z) = 1/(z2 − 3z + 2)en torno al origen indicando el mayor disco donde es valido.

Las soluciones de z2−3z +2 = 0 son z = 1 y z = 2. Descomponiendo en fracciones se tiene

1

z2 − 3z + 2=

−1

z − 1+

1

z − 2=

y ahora se desarrolla cada sumando como una serie geometrica

=1

1− z− 1

2

1

1− z

2

=∞∑

n=0

zn − 1

2

∞∑n=0

(z

2

)n

=∞∑

n=0

(1− 1

2n+1

)zn.

El desarrollo es valido para |z| < 1.

Ejemplo 6.5 Derivando el desarrollo de 1/z obtenga el desarrollo de 1/z2 en torno al puntoz0 = 1.

43

Ejemplo 6.6 Obtenga los tres primeros terminos no nulos del desarrollo de f(z) = sen2(z) entorno al origen.

Sabemos que

sen(z) = z − z3

3!+

z5

5!+ · · ·+ (−1)n z2n−1

(2n− 1)!+ · · ·

Multiplicando sen(z) por si mismo se obtiene

sen2(z) = z2 − 1

3z4 +

2

45z6 + · · ·

Ejemplo 6.7 (Identificacion de coeficientes) Obtenga los cuatro primeros terminos no nulosel desarrollo de f(z) = cos(z)/ez en torno al origen.

Ejemplo 6.8 Obtenga los tres primeros terminos no nulos del desarrollo de tg(z) en torno alorigen. Indique donde es valido el desarrollo.

El desarrollo es valido en D(0, π/2) que es el mayor disco centrado en el origen donde lafuncion es analıtica. Para calcular el desarrollo puede aplicarse el metodo de identificacion decoeficientes. Se obtiene:

z +1

3z3 +

2

15z5 + . . .

Tambien puede dividirse, en forma similar a la division de polinomios, el desarrollo delsen(z) entre el del cos(z). Es equivalente a la identificacion de polinomios.

Ejercicio 6.1 Obtenga el desarrollo de f(z) = log0(1 + z2) en potencias de z e indique dondees valido el desarrollo y donde es analıtica la funcion.

6.2. Ceros de una funcion analıtica

Definicion 6.1 Sea f una funcion analıtica en un punto z0. Se dice que tiene en z0 un cerode orden n si f(z0) = fk)(z0) = 0 para 1 < k < n y fn)(z0) 6= 0.

Ejemplo 6.9 Halle el orden de los ceros de las funciones siguientes: (a) ez − 1 (b) z3 − 2z2.

Proposicion 6.1 Sea f una funcion analıtica en un punto z0 y sea f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n su

desarrollo de Taylor. Entonces, las afirmaciones siguientes son equivalentes:1. f tiene en z0 un cero de orden n.

44

2. ak = 0 si 0 ≤ k < n y an 6= 0.3. Existe una funcion g analıtica en z0 con g(z0) 6= 0 y tal que f(z) = (z − z0)

ng(z).

Ademas, la funcion g de la afirmacion 3 verifica que g(z0) =fn)(z0)

n!.

Ejemplo 6.10 Compruebe que sen(z6) tiene en z = 0 un cero de orden seis.

Ejemplo 6.11 Compruebe que log0(1 + z2) tiene en z = 0 un cero de orden dos.

Corolario 6.3 (Regla de L’Hopital). Sean f y g dos funciones analıticas en z0 y supongamosque z0 es un cero de orden n de g y un cero de orden m ≥ n de f . Entonces

lımz→z0

f(z)

g(z)=

fn)(z0)

gn)(z0)

Ejemplo 6.12 Halle lımz→0z2

1− cos z.

La proposicion siguiente establece que, si una funcion no es identicamente nula, sus cerosson puntos aislados.

Proposicion 6.2 Sea f una funcion no identicamente nula analıtica y supongamos que z0 esun cero de f . Entonces existe un R > 0 tal que z0 es el unico cero de f en D(z0, R).

Como consecuencia se obtiene que dos funciones analıticas f y g unicamente pueden coin-cidir en puntos aislados, a no ser que sean identicas. Basta aplicar la proposicion a la funciondiferencia h = f − g.

Ejercicio 6.2 Halle el orden de los ceros de las funciones siguientes: (a) 1− cos(z) (b) ez3 − 1(c) z3 − 4z2 − 2iz2 + 3z + 4iz.

Ejercicio 6.3 Halle lımz→0log0(1 + z)

sen(z).

6.3. Series de Laurent

En esta seccion tratamos de desarrollar en serie funciones que no pueden expresarse comouna serie de Taylor. Consideremos, por ejemplo, la funcion f(z) = z/(z − 1). Hemos visto queel dominio mas amplio donde puede desarrollarse en serie de potencias de z es el disco D(0, 1).

45

Nos proponemos obtener un desarrollo que sea valido para |z| > 1 para lo cual buscamos unaserie geometrica de razon 1/z:

z

z − 1=

1

1− 1

z

= 1 +1

z+

1

z2+ · · ·

Se obtiene ası un desarrollo en potencias negativas de z que es valido para |z| > 1.

Este resultado se extiende a un caso mas general de modo que si f es una funcion analıticaen un dominio de la forma |z − z0| ≥ R entonces f puede desarrollarse en serie de potenciasnegativas de z − z0. Introducimos la notacion siguiente: supongamos que

f1(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n si |z − z0| < R

y que

f2(z) =∞∑

n=0

bn(z − z0)−n−1 si |z − z0| > r

Si s(z) = f1(z) + f2(z) escribimos, para r < |z − z0| < R,

s(z) =∞∑

n=−∞an(z − z0)

n

Diremos que dicha convergencia es uniforme si la convergencia a f1 y f2 lo es.

Teorema 6.2 Sean r1 ≥ 0 y r2 > r1 y sea f una funcion analıtica en r1 < |z − z0| < r2.Entonces existen unos coeficientes unicos an, n ∈ Z, tales que, si r1 < |z − z0| < r2, se tieneque

f(z) =∞∑−∞

an(z−z0)n = · · · a−n

(z − z0)n+· · ·+ a−1

z − z0

+a0+a1(z−z0)+· · ·+an(z−z0)n+· · · (6.5)

donde

an =1

2πi

∫

C(z0,r)

f(w)

(w − z0)n+1dw (6.6)

siendo r un numero cualquiera con r1 < r < r2.

Ademas, la convergencia anterior es uniforme en cualquier corona circular R1 ≤ |z − z0| ≤R2 con r1 < R1 < R2 < r2.

Observemos que si f es analıtica en z0 el desarrollo de Laurent coincide con el de Taylor.

Ejemplo 6.13 Halle el desarrollo en serie de Laurent de f(z) = 1/(1− z) en |z| > 1.

46

Ejemplo 6.14 Desarrolle en serie de Laurent de f(z) =1

z2 − 3z + 2en potencias de z − 1 e

indique donde es valido el desarrollo. Estudie si hay mas de un desarrollo.

Ejercicio 6.4 Halle el desarrollo en serie de Laurent de f(z) = ez/z2 en |z| > 0.

Ejercicio 6.5 Halle el desarrollo en serie de Laurent de f(z) =1

z2(1− z)en: (a) 0 < |z| < 1,

(b) |z| > 1.

Ejercicio 6.6 Halle el desarrollo en serie de Laurent de f(z) =1

z2 + 1en: (a) 0 < |z− i| < 2,

(b) |z − i| > 2.

6.4. La transformada z

Las series de potencias de la forma∞∑

k=0

akzk convergen en regiones del tipo |z| < R siendo

0 < R ≤ ∞. Si cambiamos z por 1/z obtenemos que las series de la forma∞∑

k=0

ak

zkconvergen

en regiones del tipo |z| > R con R ≥ 0. Estas series, solo con potencias negativas, son las queintervienen en la transformada z.

Definicion 6.2 Sea {xk}∞k=0 una sucesion de numeros complejos tal que la serie de Laurent∞∑

k=0

xk

zkconverge en una region del tipo |z| > r ≥ 0. Se llama transformada z de la sucesion

a la funcion X(z) =∞∑

k=0

ak

zk. La funcion esta definida para |z| > r y habitualmente se denota

X(z) = Z {xk}

Ejemplo 6.15 Determine la transformada z de la sucesion constante {xk = 1}, k = 0, · · · , ∞.(Solucion: X(z) = z/(z − 1) para |z| > 1).

Ejemplo 6.16 Dado un numero complejo a halle la transformada z de la sucesion{ak

}∞k=0

.(Solucion: z/(z − a) para |z| > |a| ).

Ejemplo 6.17 Halle la transformada z de la sucesion {k}∞k=0. (Puede obtenerse derivando enel ejemplo 6.15 y se obtiene z/(z − 1)2 para |z| > 1).

47

En ingenierıa, a menudo se generan sucesiones por medio de muestreo de senales que estandescritas mediante funciones de una variable de tiempo continuo. Supongamos que una senalf(t) es muestreada cada T unidades de tiempo, el proceso de muestreo genera una sucesionf(kT ) = {f(0), f(T ), f(2T ), . . . , f(nT ), . . . }. La transformada z de dicha sucesion es

Z {f(kT )} =∞∑

k=0

f(kT )

zk

Ejemplo 6.18 La senal f(t) = e−t para t ≥ 0 es muestreada cada T unidades de tiempo, ¿cuales la transformada z de la sucesion resultante del muestreo?

Proposicion 6.3 (Linealidad) Si {xk} e {yk} son sucesiones que tienen transformada z, yα, β ∈ lC entonces:

Z {αxk + βyk} = αZ {xk}+ βZ {yk}en el dominio comun de definicion.

Ejemplo 6.19 La funcion de tiempo continuo f(t) = sen(ωt), con t ≥ 0 y ω constante, esmuestreada en pasos de tiempo T para generar la sucesion {sen(kωT )}. Determine la transfor-mada z de la sucesion.

Ejemplo 6.20 Dada una sucesion {xk}∞k=0 se considera la sucesion y0 = 0, y1 = 0, yk = xk−2

para k ≥ 2. Halle la relacion entre las transformadas de {xk}∞k=0 y de {yk}∞k=0.

La sucesion {yk}∞k=0 de este ejemplo se obtiene retardando dos pasos la sucesion {xk}∞k=0.Este retraso puede hacerse en general. Sea {xk}∞k=0 una sucesion en lC. Dado k0 ∈ lN, llamaremossucesion retardada de xk con retraso k0 a la sucesion {yk}∞k=0 definida como sigue

yk =

{0 k < k0,xk−k0 k ≥ k0.

Al considerar una sucesion retrasada se anulan los terminos anteriores a x0, que tendrıansubındice negativo,

{y0 = 0, y1 = 0, . . . , yk0−1 = 0, yk0 = x0, . . . }.

Proposicion 6.4 (Primera propiedad de traslacion: retraso) Sea {xk}∞k=0 una sucesion en lC,y sea {yk} la sucesion retardada con retraso k0, entonces, la transformada z de esta sucesion

es Z {yk} =1

zk0Z {xk}

Ejemplo 6.21 Dada la sucesion xk =1

2kcon k ≥ 0, determine la transformada z de la sucesion

retardada con retraso de k0 = 2.

48

La sucesion retardada serıa: yk =

{0, si k < 2,

1

2k−2, si k ≥ 2.

Ejemplo 6.22 Dada una sucesion {xk}∞k=0 se considera la sucesion y0 = x2, y1 = x3, yk = xk+2

para k ≥ 2. Halle la relacion entre las transformadas de {xk}∞k=0 y de {yk}∞k=0.

La sucesion {yk}∞k=0 de este ejemplo se obtiene avanzando dos pasos la sucesion {xk}∞k=0.Igual que el retraso, el avance puede hacerse en general y se aplica a la resolucion de ecuacionesen diferencias. Llamaremos sucesion adelantada de xk con avance k0 a la sucesion {yk}∞k=0

definida como yk = xk+k0 , k = 0, 1, · · · .

Proposicion 6.5 (Segunda propiedad de traslacion: avance) Sea {xk}∞k=0 una sucesion en lC ysea {yk}∞k=0 su adelantada con avance de k0, entonces:

Z {yk} = zk0Z {xk} −k0−1∑

k=0

xkzk0−k =

zk0Z {xk} − (x0zk0 + x1z

k0−1 + · · ·+ xk0−1z)

Ejemplo 6.23 Calcule la transformada z de la sucesion avanzada de{2k

}∞k=0

con avance k0 =2.

Hemos visto como, dada una sucesion, la transformada z le asocia una funcion determinada.Nos planteamos ahora el problema inverso, es decir, dada una funcion f , como buscar unasucesion cuya transformada z sea f . El camino para obtener la sucesion es calcular el desarrollode Laurent en potencias de z, y, para que tal sucesion exista, el desarrollo ha de contenerunicamente potencias negativas.

Definicion 6.3 Sea X(z) una funcion analıtica en una region del tipo |z| > r con r ≥ 0.Llamaremos transformada z inversa a una sucesion {xk} tal que Z {xk} = X(z). Habitual-mente se denota a la transformada z inversa por: Z−1[X(z)]

Por el teorema del desarrollo en serie de Laurent sabemos que la transformada inversa dela funcion X(z), si existe, es unica.

Ejemplo 6.24 Dada la funcion X(z) =z

(z − 2)(z − 1), halle en que dominio admite transfor-

mada z inversa y halle su termino general.

Ejemplo 6.25 Dada la funcion X(z) =z

z2 − z + 1, determine el dominio en que admite trans-

formada z inversa y halle su termino general.

49

Ahora veremos una aplicacion de la transformada a las ecuaciones en diferencias.

Ejemplo 6.26 Halle el termino general de la sucesion que verifica 8yk+2 − 6yk+1 + yk = 9

sabiendo que y0 = 1 y que y1 =3

2.

Ejercicio 6.7 Calcule la transformada z de las siguientes sucesiones, estableciendo, en cadacaso, la region de convergencia:

1.

{(1

4

)k}∞

k=0

(Solucion:4z

4z − 1, |z| > 1

4)

2.{(−2)k

}∞k=0

(Solucion:z

z + 2, |z| > 2)

3.{−2k

}∞k=0

(Solucion:−z

z − 2, |z| > 2)

4. {k}∞k=0 (Solucion:z

(z − 1)2, |z| > 1)

Ejercicio 6.8 La senal f(t) = e−t para t ≥ 0 es muestreada cada T unidades de tiempo, ¿cuales la transformada z de la sucesion resultante del muestreo? ¿y su region de convergencia?

(Solucion:z

z − e−Ten |z| > e−T )

Ejercicio 6.9 La senal de tiempo continuo f(t) = e−2ωt, donde ω es una constante real, esmuestreada cuando t ≥ 0 en pasos de tiempo T > 0. Escriba el termino general de la sucesionde muestreo, calcule la transformada z de la sucesion y la region de convergencia. (Solucion:

xk = e−2ωkT , k ∈ lN;z

z − e−2ωT; |z| > e−2ωT )

Ejercicio 6.10 Calcule la transformada z de la sucesion {cos (kωT )}k∈lN e indique su region

de convergencia. (Solucion:z (z − cos(ωT ))

z2 − 2z cos(ωT ) + 1, |z| > 1)

Ejercicio 6.11 Dada la sucesion xk =

(1

2

)k

con k ≥ 0, determine la transformada z de la

sucesion retardada {yk}∞k=0 definida por: yk =

{0 k < 2xk−2 k ≥ 2

siendo xk =

(1

2

)k

. (Solucion:

2

2z2 − zcon |z| > 1

2).

50

Ejercicio 6.12 Calcule la transformada z de la sucesion {yk}k∈lN, donde yk =

{0 k < 3xk−3 k ≥ 3

siendo xk =

(1

2

)k

y halle la region de convergencia. (Solucion:2

2z3 − z2; |z| > 1

2)

Ejercicio 6.13 Calcule la transformada z de la sucesion avanzada de{2k

}∞k=0

con avance

k0 = 2. (Solucion:4z

z − 2)

Ejercicio 6.14 Halle el dominio en el que admiten transformada z inversa las funciones sigu-ientes y de su termino general:

1.z

z − 1(Solucion: xk = 1; |z| > 1)

2.z

z − a, a ∈ lC (Solucion: xk = ak; |z| > |a|)

3.z

z + i√

2(Solucion: xk = (−i

√2)k; |z| > √

2)

4.1

z − 1(Solucion: x0 = 0 y xk = 1 si k > 0; |z| > 1 )

5.2z2 − 7z + 7

(z − 1)2(z − 2)(Solucion: xk =

{0 k = 03− 2k + 2k−1 k ≥ 1

; |z| > 2)

6.z

(z − 2)(z − 1)(Solucion:

{−1 + 2k}; |z| > 2)

7.z

z2 − z + 1(Solucion: 2

√1

3sen

(1

3kπ

); |z| > 1)

Ejercicio 6.15 Resuelva, utilizando la transformada z, las siguientes ecuaciones en diferencias:

1. 8yk+2 − 6yk+1 + yk = 9; y0 = 1, y1 = 3/2 (Solucion: 2

(1

4

)k

− 4

(1

2

)k

+ 3)

2. yk+2 + yk+1 − 2yk = 1, k ≥ 0; y0 = 0, y1 = 1 (Solucion: yk =k

3+

2

9(1− (−2)k)

3. yk+2 − 2yk+1 + yk = 0, k ≥ 0; y0 = 0, y1 = 1 (Solucion: yk = k)

4. 2yk+2 − 3yk+1 − 2yk = 6k + 1, k ≥ 0; y0 = 1, y1 = 2 (Solucion: −1−2 k−2/5 (−1/2)k+(12/5) 2k )

Capıtulo 7

Residuos y polos

7.1. Singularidades aisladas

Definicion 7.1 Una funcion f se dice que tiene en z0 una singularidad aislada si existeun r > 0 tal que f es analıtica en la region 0 < |z − z0| < r. En el punto z0 bien la funcion noes analıtica, bien no esta definida.

Ejemplo 7.1 Las funciones f(z) = ez/z2 y g(z) = 1/ sen(z) tienen en cero una singularidadaislada.

Ejemplo 7.2 Halle los puntos donde las funciones f(z) = log0(z) y g(z) =sen(z)

zno son

analıticas y estudie si son singularidades aisladas.

Definicion 7.2 Sea z0 una singularidad aislada de una funcion f y sea

∞∑−∞

an(z − z0)n = · · · a−n

(z − z0)n+ · · ·+ a−1

z − z0

+ a0 + a1(z − z0) + · · ·+ an(z − z0)n + · · · (7.1)

el desarrollo de Laurent de f en 0 < |z − z0| < r.

Diremos que z0 es una singularidad evitable si todos los coeficientes con subındice neg-ativo son nulos: an = 0 para todo n < 0.

El desarrollo es entonces de la forma:

f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n = a0 + a1(z − z0) + · · ·+ an(z − z0)

n + · · ·

En este caso la funcion f puede extenderse al punto z0 como una funcion analıtica definiendof(z0) = a0.

51

52

Diremos que z0 es un polo si solo hay un numero finito de coeficientes con subındice negativono nulos. El polo es de orden m, m > 0, si an = 0 para todo n < −m y a−m 6= 0. El desarrolloes del tipo:

f(z) =∞∑

n=−m

an(z − z0)n = (7.2)

a−m

(z − z0)m+ · · ·+ a−1

z − z0

+ a0 + a1(z − z0) + · · ·+ an(z − z0)n + · · ·

En el caso de que el polo sea de orden uno suele decirse que es un polo simple.

Finalmente, diremos que z0 es una singularidad esencial si no es evitable ni polo. En eldesarrollo hay por tanto infinitos coeficientes con subındice negativo no nulos.

Ejemplo 7.3 Estudie el tipo de singularidad que presentan las funciones siguientes en lospuntos indicados:

(a) f(z) =sen(z)

zen 0.

(b) g(z) =ez

z2en 0.

(c) h(z) = e1/(z−i) en i.

Si una funcion f presenta en z0 un polo siempre se puede encontar n ∈ N tal que la funcion(z − z0)

nf(z) tiene en z0 una singularidad evitable y, por tanto, puede considerarse analıticaen z0. La proposicion siguiente establece que si el polo es de orden m, m es precisamente lamenor potencia de (z − z0) por la que tenemos que multiplicar a f para conseguir una funcionanalıtica.

Proposicion 7.1 Sea z0 una singularidad aislada de una funcion f . El punto z0 es un polo

de orden m si, y solo si, existe una funcion g analıtica en z0 tal que f(z) =g(z)

(z − z0)men un

entorno de z0 y g(z0) 6= 0.

Un caso frecuente de polo surge cuando la funcion f es el cociente de dos funciones f1 y f2

que presentan en z0 es un cero de orden n1 y n2 respectivamente, n2 > n1. Podemos escribirentonces:

f(z) =f1(z)

f2(z)=

(z − z0)n1g1(z)

(z − z0)n2g2(z)

donde g1 y g2 son dos funciones analıticas y que no se anulan en z0. Tenemos entonces

f(z) =g(z)

(z − z0)n2−n1

siendo g(z) = g1(z)/g2(z). Aplicando la proposicion anterior, obtenemos que f tiene en z0 unpolo de orden n2 − n1.

53

Ejemplo 7.4 Estudie el tipo de singularidad que presentan las funciones siguientes en lospuntos indicados:

(a) f(z) =sen(z)

1− cos(z)en 0.

(b) g(z) =ez

(z − 2)(z − 1)2en 1 y 2.

7.2. Teorema de los residuos

Definicion 7.3 Sea f una funcion que presenta en z0 una singularidad aislada. Sabemos quef admite un desarrollo de Laurent en una region del tipo 0 < |z − z0| < r para algun r > 0. Elcoeficiente a−1 se llama residuo de f en z0 y se denota por Res(f, z0).

El teorema siguiente muestra la importancia del residuo en el calculo de integrales complejas.

Teorema 7.1 Sea U un subconjunto simplemente conexo de lC y sean a1, · · · , an puntos de Uque son singularidades aisladas de una funcion f analıtica en U \ {a1, · · · , an}. Sea σ un arcocerrado simple contenido en U que rodea a los puntos a1, · · · , an y recorrido en sentido positivo.Se verifica entonces que ∫

σ

f(z) dz = 2πi

n∑

k=1

Res(f, ak) (7.3)

Existen enunciados mas generales del teorema de los residuos pero el que se presenta aquı essuficiente para los casos habituales. Mencionemos, por ejemplo, que si el arco σ no es simple,pero puede descomponerse en yuxtaposicion de arcos simples, el teorema puede aplicarse de-scomponiendo la integral en la suma de integrales sobre cada arco simple.

Ejemplo 7.5 Calcule el valor de la integral

∫

C(0,1)

1− sen(z)

zdz.

Para que el teorema de los residuos sea verdaderamente util es necesario disponer de metodoseficaces para calcular residuos. A continuacion exponemos un metodo general para el caso deun polo de cualquier orden y luego se ven algunos casos particulares.

Proposicion 7.2 Sea z0 un polo de orden m > 1 de una funcion f . Se verifica entonces que

Res(f, z0) = lımz→z0

1

(m− 1)!

dm−1) ((z − z0)mf(z))

dzm−1(7.4)

Si z0 es un polo simple de f , se verifica entonces que

Res(f, z0) = lımz→z0(z − z0)f(z) (7.5)

54

Ejemplo 7.6 Calcule el residuo deez

1− cos(z)en 0.

Ejemplo 7.7 Calcule el residuo deez − 1

sen(z2)en 0.

Corolario 7.1 Sea z0 un polo simple de una funcion f de la forma f = g/h siendo z0 cero deorden uno de h y g(z0) 6= 0. Se verifica entonces que

Res(f, z0) =g(z0)

h′(z0)(7.6)

Ejemplo 7.8 Calcule el residuo deez

sen(z)en 0.

Otro procedimiento para calcular residuos es el metodo de identificacion de coeficientes.Veamos un ejemplo:

Ejemplo 7.9 Calcule el residuo de1

z − sen(z)en 0.

7.3. Calculo de integrales reales

Una aplicacion interesante del teorema de los residuos es el calculo de integrales de funcionesreales. Expondremos el metodo a seguir resolviendo casos concretos.

1. Integrales del tipo

∫ 2π

0

R(cos(t), sen(t)) dt siendo R(cos(t), sen(t)) una funcion racional

de sen(t) y (cos(t).

Ejemplo 7.10 Halle I =

∫ 2π

0

1

k + cos(t)dt siendo k > 1. (Solucion: I = 2π/

√k2 − 1).


∫ 2π

0

cos(2t)

5− 4 sen(t)dt. (Solucion: I = −π/6).

Ejercicio 7.1 Partiendo del ejemplo 7.10, halle I =

∫ 2π

0

1

a + b sen(t)dt siendo a > b ≥ 0.

(Solucion: I = 2π/√

a2 − b2).

55

Ejercicio 7.2 Halle I =

∫ π

−π

1

a + b cos(t)dt siendo a > b ≥ 0. (Solucion: I = 2π/

√a2 − b2).

Ahora veremos algunos metodos para el calculo de integrales impropias.


∫ ∞

−∞f(t) dt siendo f una funcion que no tiene singularidades sobre el

eje real.

Lema 7.1 Sea α ∈ l-R y sea f una funcion de variable compleja definida para |z| suficientementegrande. Entonces, si lım|z|→∞ zαf(z) = l ∈ lC, se verifica que existen r0 > 0 y M > 0 tales que

|f(z)| ≤ M

|z|α si |z| > r0.

Este lema se aplica acotar funciones de la forma

f(z) =anz

n + · · ·+ a1z + a0

bmzm + · · ·+ b1z + b0

siendo α = m− n ≥ 0.


∫ ∞

0

cos(ax)

x2 + b2dx siendo a ≥ 0 y b > 0. (Solucion: I = πe−ab/(2b)).


∫ ∞

−∞f(t) dt siendo f una funcion que tiene singularidades sobre el

eje real.

Lema 7.2 Dados θ1, θ ∈ [0, 2π] y r > 0, sea Cr el arco σr(t) = z0 +reit con t ∈ [θ1, θ1 +θ]. Seaf una funcion de variable compleja que tiene un polo simple en z0 ∈ lC. Se verifica entoncesque

lımr→0

∫

Cr

f(z) dz = iθ Res(f, z0).


∫ ∞

−∞

sen(x)

x(x2 + 1)dx . (Solucion: I = π(1− 1/e)).

Ejercicio 7.3 Halle el valor principal de Cauchy de

∫ ∞

−∞

cos(x)

1− x4dx . (Solucion: I = π(e−1 +

sen(1))/2).

variable compleja

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