variable compleja · 2020. 6. 5. · variable compleja integral de l nea en variable compleja en c...

Humberto Morales Cortes-ESIME Culhuacan IPN

Variable Compleja

Variable Compleja

Humberto Morales Cortes

ESIME Culhuacan IPN


Variable Compleja

Integral de lınea en variable compleja

En calculo de varias variables parametrizamos curvas en el plano, esto es, suponemosque las funciones continuas reales x(t), y(t), a ≤ t ≤ b son las ecuacionesparametricas de una curva C en el plano.Si usamos las ecuaciones parametricas de R2 en la parte real e imaginaria enz = x + iy , podemos describir los puntos z sobre C por medio de una funcioncompleja de una variable real t llamada parametrizacion de C y

z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b.

Ejemplo

I Ecuaciones parametricas de la circunferencia:x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, 0 ≤ t ≤ 2π son las ecuaciones parametricas quedescriben una circunferencia de radio r centrada en el origen.

I Con estas ecuaciones parametricas, una parametrizacion de la circunferencia envariable compleja es z(t) = r(cos t + i sin t), 0 ≤ t ≤ 2π. En forma exponencialz(t) = re it .

I La ecuacion parametrica en variable compleja de la circunferencia de radio rcentrada en un punto arbitrario esta dada por

z(t) = r0 + re it , 0 ≤ t ≤ 2π. (1)


Variable Compleja

La ecuacion (1) es la ecuacion parametrica del contorno mas recurrente queutilizaremos para evaluar integrales de lınea.Conceptos basicos de curvas.

I Decimos que una curva C en el plano complejo es suave si la derivadaz ′(t) = x ′(t) + iy ′(t) es continua y distinta de 0 para cada t ∈ [a, b] .geometricamente, la curva C no puede tener esquinas afiladas o cuspides.

I Curva suave por tramos. Una curva C es suave por tramos si tiene una tangentecambiando continuamente, excepto, posiblemente en los puntos donde las curvassuaves componentes C1, ...,Ck se unen entre si.

I Diremos que una curva C en el plano complejo es simple si z(t1) 6= z(t2) parat1 6= t2, excepto, posiblemente, para t = a y t = b.

I Decimos que una curva C es cerrada si z(a) = z(b).

I C es una curva cerrada simple si z(t1) 6= z(t2) si t1 6= t2 y z(a) = z(b).

I Por convencion, definimos el sentido positivo sobre un contorno C tal que ladireccion en la curva que corresponde al aumento de los valores del parametro t.En el caso de una curva cerrada simple C , la direccion positiva corresponde a ladireccion en contra a las manecillas del reloj, por ejemplo, la circunferencia tieneuna orientacion positiva.

DefinicionUna integral de una funcion compleja f definida en un contorno C se denota por∫Cf (z)dz y se llama una integral compleja.


Variable Compleja

DefinicionLa integral compleja de f en C es∫

cf (z)dz = lım

||P||→0

n∑k=1

f (z∗k )∆zk . (2)

I Si el lımite en (2) existe se dice que f es integrable sobre C .

I Si f es continua en todos los puntos de C y C es suave o suave por tramos, ellımite en (2) existe.

Para mas detalles de la construccion de la integral de una funcion en variable complejaconsultar el libro de lecturas.

I De aquı en adelante, usaremos la notacion

∮Cf (z)dz para representar una

integral compleja en torno a una curva cerrada C orientada positivamente.


Variable Compleja

Integral de una funcion con valores complejos de una variable real.

DefinicionSi f1 y f2 son funciones reales de una variable real t continuas en [a, b], entoncesf (t) = f1(t) + if2(t) es una funcion con valores complejos de una variable real t y∫ b

af (t)dt =

∫ b

af1(t)dt + i

∫ b

af2(t)dt, t ∈ [a, b] . (3)

Propiedades.Si f (t) = f1(t) + if2(t) y g(t) = g1(t) + ig2(t) son funciones complejas de unavariable real t continua en un intervalo [a, b] , entonces

I∫ b

akf (t)dt = k

∫ b

af (t)dt, k es una constante compleja.

I∫ b

a(f (t) + g(t))dt =

∫ b

af (t)dt +

∫ b

ag(t)dt

I∫ b

af (t) =

∫ c

af (t)dt +

∫ b

cf (t)dt, si c ∈ [a, b]

I∫ b

af (t)dt = −

∫ a

bf (t)dt.


Variable Compleja

Evaluacion de una integral de contorno

En nuestro curso, llamaremos contorno o trayectoria a una curva C suave por tramos.

TeoremaSi f es continua en una curva suave C dada por la parametrizacion

z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b] , entonces

∫Cf (z)dz =

∫ b

af (z(t))z ′(t)dt.

Propiedades de la integral de contorno.Sean f y g funciones continuas en un dominio Ω y C es una curva suave totalmentecontenida en Ω. Entonces

I 1.

∫Ckf (z)dz = k

∫Cf (z)dz, donde k ∈ C.

I 2.

∫C

(f (z)± g(z)) dz =

∫Cf (z)dz ±

∫Cg(z)dz.

I 3.

∫Cf (z)dz =

∫C1

f (z)dz +

∫C2

f (z)dz, donde C se compone de las curvas

suaves C1 y C2 que se unen extremo con extremo.

I 4.

∫−C

f (z)dz = −∫Cf (z)dz, donde −C denota la curva que tiene la orientacion

opuesta de C .


Variable Compleja

Ejemplos.

1. Evalue la integral

∫Czdz, donde C se parametriza por z(t) = t + it2, t ∈ [−1, 2] .

SolucionDe acuerdo al teorema y la parametrizacion de la curva C en el intervalo dadotenemos que ∫

Cf (z)dz =

∫Czdz

=

∫ 2

−1f (z(t))z ′(t)dt

=

∫ 2

−1(t + it2)(1 + 2it)dt

=

∫ 2

−1(t + 2it2 − it2 − 2i2t3)dt

=

∫ 2

−1(t + 2t3 + it2)dt


Variable Compleja

=

(t2

2+

t4

2+ i

t3

3

)2

−1

= 10 +8

3i − 1 +

1

3i

= 9 + 3i .

Observaciones

I En la evaluacion de la integral utilizamos el teorema fundamental del calculo enuna variable real t.

I Dada la parametrizacion, podemos notar que si x = t y y = t2, entonces y = x2,cuya curva es bien conocida por todos, se trata de una parabola con vertice en elorigen. De tal manera que, se esta integrando en un arco de parabola en el ejereal x = t en el intervalo de [−1, 2] .

I Sabemos tambien que la funcion z(t) no es analıtica en ninguna parte de C.

2. Evalue la integral

∮1

zdz, donde C es la circunferencia x = cos t y y = sin t, tal

que t ∈ [0, 2π] .


Variable Compleja

Solucion

∮Cf (z)dz =

∮Cf (z(t))z ′(t)dt

=

∮C

1

z(t)z ′(t)dt

=

∫ 2π

0

1

cos t + i sin t(− sin t + i cos t)dt

=

∫ 2π

0

i(cos t + i sin t)

cos t + i sin tdt

= i

∫ 2π

0

e it

e itdt

= i

∫ 2π

0dt

= 2πi


Variable Compleja

3. Calcular la integral de contorno de f (z) = z, donde C es la circunferencia x = cos ty y = sin t, t ∈ [0, 2π]Solucion

∮Cf (z)dz =

∮Cf (z(t))z ′(t)dt

=

∮Cz(t)z ′(t)dt

=

∫ 2π

0(cos t + i sin t)(− sin t + i cos t)dt

=

∫ 2π

0(cos t + i sin t)i(cos t + i sin t)dt

= i

∫ 2π

0e2itdt

=i

2i

(e2it)2π

0

=1

2(e4iπ − e0)

=1

2(cos4π + i sin 4π − 1)

= 0.


Variable Compleja

4.

∮C

dz

z − z0, donde C : z(t) = z0 + re it , t ∈ [0, 2π] es la ecuacion parametrica de la

circunferencia de radio r centrada en el punto z0.SolucionDe manera identica continuamos con nuestra evaluacion y∮

C

dz

z − z0=

∫ 2π

0

ire it

z0 + re it − z0dt

= i

∫ 2π

0dt

= 2πi .

Este ejemplo es muy importante, porque lo emplearemos mas adelante y nos dice quela integral de lınea a lo largo de una circunferencia de radio r centrada en el punto z0

para f (z) =1

z − z0siempre sera 2πi .

¿ Que notan entre los ejemplos 2 y 3?, si f es una funcion analıtica y C es uncontorno cerrado, entonces la integral de lınea es cero, mientras que si f tienesingularidades en el interior del contorno de interes, la integral tiene un valor distintode cero. Estos resultados los formalizaremos en la siguiente seccion.Para reforzar sus lecturas ensayen con los ejercicios propuestos de la seccion 5.2.


Variable Compleja

Teoremas de Cauchy-Goursat

TeoremaTeorema de Cauchy.Sean f una funcion analıtica en un dominio simplemente conexo Ω y f ′ una funcioncontinua en Ω. Entonces para todo contorno cerrado simple C en Ω,∮

Cf (z)dz = 0.

Para la prueba de este teorema nos auxiliaremos de los resultados del teorema deGreen en el plano y de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.Teorema de Green.Sea C una curva orientada positivamente, suave por tramos, cerrada simple, queconforma la frontera de una region R dentro de un dominio Ω tales que las funcionesP y Q de R2 en R son de clase C1 en Ω. Entonces,∮

CPdx + Qdy =

∫ ∫R

(∂Q

∂x−∂P

∂y

)dA.


Variable Compleja

Demostracion.Por hipotesis tenemos que f ′ es continua en Ω, entonces la parte real u e imaginaria v

de f son funciones de clase C1 en Ω. Por otro lado, escribiremos la integral

∮Cf (z)dz

en terminos de integrales de lınea reales y aplicamos en estas el teorema de Green. Esdecir, ∮

Cf (z)dz =

∮C

(u + iv)(dx + idy)

=

∮C

(udx + iudy + ivdx − vdy)

=

∮Cudx − vdy + i

∮Cvdx + udy

=

∫ ∫R

(−∂v

∂x−∂u

∂y

)dA + i

∫ ∫R

(∂u

∂x−∂v

∂y

)dA

=

∫ ∫R

(∂u

∂y−∂u

∂y

)dA + i

∫ ∫R

(∂v

∂y−∂v

∂y

)dA

=

∫ ∫R

0dA + i

∫ ∫R

0dA

= 0,

pues, al ser f una funcion analıtica se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.


Variable Compleja

I El teorema afirma que toda integral de lınea en un contorno cerrado simple en Ωvale cero si f (z) es una funcion analıtica en Ω.

Edouard Goursat probo que el teorema de Cauchy sigue siendo valido al quitar lahipotesis de que f ′ es continua, enunciando ası el teorema de Cauchy - Goursat.

TeoremaTeorema de Cauchy-GoursatSea f una funcion analıtica en un dominio simplemente conexo Ω. Entonces para todo

contorno cerrado simple C en Ω,

∮Cf (z)dz = 0.

Demostracion.Se deja al estudiante que la piense.

I Diremos que un dominio es simplemente conexo, si este no tiene huecos (loshuecos son singularidades o puntos en los que una funcion f no esta definida)

I Un dominio es multiplemente conexo si este tiene huecos.

TeoremaTeorema de Cauchy-Goursat para un dominio doblemente conexo.Si f es una funcion analıtica en un dominio Ω multiplemente conexo, entonces∮Cf (z)dz 6= 0 para cada contorno cerrado simple en Ω.


Variable Compleja

Demostracion.Supongamos que Ω es un dominio doblemente conexo y C ,C1 son contornos simplescerrados tal que C1 contiene un hoyo en el dominio y es interior a C . Como hipotesistenemos que f es una funcion analıtica sobre cada contorno C ,C1 y en cada puntointerior a C pero exterior a C1. Si proponemos un corte transversal del punto A alpunto B, como se muestra en la figura, la region limitada entre las curvas ahora essimplemente conexa. Ası, que por el teorema de Cauchy-Goursat y de las propiedadesde la integral de lınea tenemos que∮

Cf (z)dz +

∫ B

Af (z)dz +

∫ A

Bf (z)dz +

∮C1

f (z)dz = 0

Lo que implica que

∮Cf (z)dz =

∮C1

f (z)dz, pues

∫ B

A= −

∫ A

Bf (z)dz y C1 esta

orientado negativamente.

C

C1

A B

Ω


Variable Compleja

Esta construccion puede continuar para dominios triplemente conexos y asısucesivamente, hasta llegar de manera inductiva a un dominio con n-huecos como seenuncia en seguida. Esta proposicion es conocida como teorema de deformacion decontornos.

TeoremaTeorema de Cauchy-Goursat para dominios multiplemente conexos.Sean C1,C2, ...,Cn curvas cerradas simples con una orientacion positiva tal queC1,C2, ...,Cn son interiores a C pero las regiones interiores a cada Ck , k = 1, 2, ..., n,son ajenas. Si f es una funcion analıtica en cada contorno y en cada punto interior aC , pero exterior a cada Ck , entonces∮

Cf (z)dz =

n∑k=1

∮Ck

f (z)dz.

Demostracion.La prueba se puede hacer por induccion matematica tomando como caso base elteorema de Cauchy-Goursat para un dominio doblemente conexo.

EjemplosEvalue las siguientes integrales en el contorno indicado aplicando alguno (s) de losresultados de los teoremas de Cauchy - Goursat.


Variable Compleja

5.

∮|z|=1

z

2z + 3dz

Solucion.Notamos que la derivada de f (z) =

z

2z + 3esta definida en el plano complejo excepto

en z = −3

2, esto quiere decir que f es analıtica casi en todas partes menos en z = −

3

2.

Entonces, f (z) =z

2z + 3es analıtica en el cırculo unitario centrado en el origen, pues

z = −3

2esta fuera del contorno, de esta manera, por el teorema de Cauchy-Goursat,∮

|z|=1

z

2z + 3dz = 0.

6.

∮|z|=1

tan zdz.

SolucionRecordemos que cuando estudiamos funciones elementales, mencionamos que lospuntos en donde se indetermina la funcion tangente estan dados por(

2k +1

2

)π, k ∈ Z. Los puntos mas cercanos al origen en los que tan z se

indetermina son ±π

2. Por lo tanto, la funcion tangente es analıtica en el cırculo

unitario centrado en el origen, asi, una vez mas, por el teorema de Cauchy-Goursat,∮|z|=1

tan z = 0.


Variable Compleja

7.

∮|z|=9

−3z + 2

z2 − 8z + 12dz

SolucionI. Vemos que f (z) es una funcion racional propia, lo que conduce a una representacionen fracciones parciales (recordar el metodo de fracciones parciales para integrales deuna variable real). La descomposicion en fracciones corresponde al caso de factoreslineales no repetidos y

−3z + 2

z2 − 8z + 12=

−3z + 2

(z − 6)(z − 2)

=A

z − 6+

B

z − 2

=(A + B)z − 2A− 6B

(z − 6)(z − 2).

De esto, al comparar se llega a −3z + 2 = (A + B)z − 2A− 6B, que a su vez, laigualdad se cumple si y solo si A + B = −3 y −2A− 6B = 2. Estas dos ecuacionesconforman un sistema lıneal de ecuaciones que al resolver se llega a que A = −4 yB = 1.


Variable Compleja

II. Una vez realizada la descomposicion en fracciones parciales evaluamos la integralutilizando el teorema de Cauchy-Goursat para dominios multiplemente conexos, laspropiedades de la integral de contorno (propiedad 3) y el resultado del ejemplo 4.

C

C1 C2

0 2 6

r=9

Esto es,∮|z|=9

−3z + 2

z2 − 8z + 12dz =

∮|z|=9

(−4

z − 6+

1

z − 2

)dz

=

∮C1

(−4

z − 6+

1

z − 2

)dz +

∮C2

(−4

z − 6+

1

z − 2

)dz

= −4

∮C1

dz

z − 6+

∮C1

dz

z − 2− 4

∮C2

dz

z − 6+

∮C2

dz

z − 2

= 0 + 2πi − 4(2πi) + 0

= −6πi ,


Variable Compleja

pues f es una funcion analıtica en las integrales del primer y cuarto termino en loscontornos correspondientes y por el teorema de Cauchy-Goursat estas integrales valencero. Noten que tan importantes son los resultados enunciados para poder resolverejemplos.Los radios de las circunferencias C1 y C2 son tan pequenos como se quiera, perorecuerden que del teorema de Cauchy-Goursat para dominios multiplemente conexos,estos conjuntos son ajenos.Para complementar sus ejemplos estudien todos los ejemplos resueltos en la seccion5.3 de nuestro libro de lecturas y tambien resuelvan todos los ejercicios propuestos quequieran para esta misma seccion.¿ Se sigue cumpliendo el teorema de Cauchy - Goursat si el contorno cerrado C no essimple en un dominio Ω simplemente conexo, es decir, si se cruza consigo mismo?Podemos afirmar que sı, para mas detalles tecnicos, consultar el libro de Lars Ahlfors,Complex Analysis. A continuacion un ejemplo.

Evalue la integral

∮C

8z − 3

z2 − zdz, donde C es mostrado en la figura.

0 1C1

C2

C


Variable Compleja

Solucion.Para este ejemplo podemos considerar al contorno C como la union de los contornosC1 y C2 como se muestra en la figura. Bajo esta consideracion, notamos que elcontorno C1 esta orientado positivamente y el contorno C2 negativamente (verpropiedad 4 de una integral de contorno) y con ello es viable aplicar el teorema deCauchy-Goursat para dominios multiplemente conexos. Para empezar con laevaluacion de la integral, aplicaremos el metodo de fracciones parciales (hagan lascuentas para la descomposicion de fracciones parciales), las propiedades de la integralde contorno (propiedad 3) y el resultado del ejemplo 4.∮

C

8z − 3

z2 − zdz =

∮C

8z − 3

z(z − 1)dz

=

∮C=C1∪C2

(3

z+

5

z − 1

)dz

=

∮C1

(3

z+

5

z − 1

)dz +

∮C2

(3

z+

5

z − 1

)dz

= 3

∮C1

dz

z+ 5

∮C1

dz

z − 1+ 3

∮C2

dz

z+ 5

∮C2

dz

z − 1

= 3(2πi) + 5(0) + 3(0) + 5(−2πi)

= −4πi .


Variable Compleja

Notemos que1

z − 1es analıtica en C1 y

1

zes analıtica en C2 si C1,C2 son

circunferencias de radio r < 1 centradas en 0 y 1 respectivamente, y por el teorema deCauchy, las integrales del segundo y tercer termino se anaulan.

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