VARIABLE COMPLEJA

Ph. D. Omar Pineda

Números complejosDefinición 1

El conjunto de los números complejos esta dado por:

Definición 2

Llamaremos número complejo, a una expresión de la forma , donde es la parte real y es la parte imaginaria.

Ejemplo 1

Determine cuales de los siguientes números son complejos.

a) 2 + 3i b) 7 c) 4i d)

Número conjugado complejoDefinición 1

Sea un número complejo. El conjugado complejo de z es:

= .Ejemplo 1

Hallar el conjugado complejo de los siguientes números complejos.

a) b) -12

c) 7

d)

Operaciones básicas con números complejosDefinición 1

Sean y dos números complejos.

Las operaciones básicas están dadas por:

Adición: + = +

Sustracción: = +

Multiplicación: = +

División: = +

Operaciones básicas con números complejos

Ejemplo 1

Sea y . Hallar

a) +

b)

c)

d)

Módulo de un número complejoDefinición 1

Sea z un número complejo. El módulo de z esta dado por = .

Ejemplo 1

Hallar el módulo de los siguientes números complejos.

a)

b)

c)

d)

Representación gráfica de números complejosDefinición 1

Un número complejo se puede considerar como una pareja ordenada de números reales

Nota odemos representar estos números complejos por puntos en un plano , llamado el plano complejo o diagrma de Argand.

Representación gráfica de números complejosEjemplo 1

Efectuar las operaciones indicadas analítica y gráficamente.

a)

b) 3

c) 3 + 2

Representación gráfica de conjuntos complejosEjemplo 1

Describir y construir la gráfica del lugar representado por cada una de las ecuaciones.

a)

b) 6

c) + 4

Representación gráfica de conjuntos con conjugado complejoEjemplo 1

Describir y construir la gráfica del lugar representado por cada una de las ecuaciones.

a)

b)

Forma polar de números complejosDefinición 1

Sea z un número complejo. La forma polar de z es

r y se llaman coordenadas polares.

r = , ,

Forma polar de números complejosEjemplo 1

Exprese cada uno de los siguientes números complejos en forma polar.

a)

b)

c) 4

d)

Potencia de un número complejoTeorema 1 ( El teorema de Moivre )

Sea z un número complejo y un entero positivo.

La potencia de z esta dada por.

r = , ,

Nota

La potencia de un número complejo se puede representar como:

Potencia de un número complejoEjemplo 1

Hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

Potencia de un número complejoEjemplo 2

Un hombre viaja 12 kilómetros en dirección noreste, 20 kilómetros en dirección noroeste y luego, 18 kilómetros en dirección al suroeste. Determinar analíticamente y gráficamente a que distancia y en que dirección está él de su punto de partida.

Ejemplo 3

Probar las identidades

b)

Raíces de números complejosDefinición 1

Sea z un número complejo y un entero positivo. La raíz -ésima de z esta dada por

,

r = , ,

Raíces de números complejosEjemplo 1

Hallar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente.

a) b) c)

d) e)

Ecuaciones polinómicas en una variable compleja

Definición 1

Llamaremos ecuación polinómica en una variable compleja z, a una expresión de la forma

donde

son números complejas.

Ejemplo 1

Resolver la ecuación

a) b)

c)

Coordenadas conjugadas complejasDefinición 1

Sea un número complejo. Las coordenadas conjugadas

complejas están dadas por , Ejemplo 1

Escribir cada uno de los siguientes ecuaciones en términos de las coordenadas conjugadas.

a)

b)

Funciones en una variable complejaDefinición 1

Si a cada valor que puede tomar la variable compleja z le corresponde uno o más valores de una variable compleja w, decimos que w es una función de z escribimos . La variable z es la variable independiente y la variable w es la variable dependiente.

Ejemplo 1

a)

b)

Funciones unívocas y multívocasDefinición 1

Si a cada valor de z corresponde sólo un valor de w, decimos que w es una función unívoca de z.

Ejemplo 1

Definición 2

Si más de un valor de w corresponde a cada valor de z, decimos que w es una función multívoca de z.

Ejemplo 1

Funciones inversasDefinición 1

Sea una función compleja. La función inversa de f esta dada por .

Ejemplo 1

a)

b)

TransformacionesDefinición 1

Sea una función unívoca de tal que son reales. La transformación de w están dadas por las ecuaciones

Ejemplo 1

Hallar las partes real e imaginaria de las funciones siguientes:

a) b) c)

Funciones elementalesFunciones polinomiales: La función polinómica en una variable z esta dada por

donde son constantes complejas y es un entero positivo y .

Ejemplo 1

Sea Hallar .

Función racional: La función racional en una variable z esta dada por , donde

Ejemplo 1

Sea . Hallar .

Funciones elementalesFunción exponencial: La función exponencial en una variable z esta dada por .

Ejemplo 1

Sea . Hallar .

Funciones elementalesFunciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas de , y están dadas por

Ejemplo 1 a) Hallar el valor de b) Demuestre la identidad

Funciones elementalesFunciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas de están dadas por

Ejemplo 1 Hallar el valor de cot

Funciones elementalesFunciones hiperbólicas: Las funciones hiperbólicas de están dadas por

Ejemplo 1 Hallar el valor de

Funciones elementalesFunciones hiperbólicas: Las funciones hiperbólicas de están dadas por

Ejemplo 1 Hallar el valor de

Funciones elementalesFunciones logarítmicas: La función logaritmo natural en una variable z esta dada por

r = , ,

Ejemplo 1

a)

b)

Funciones elementalesFunciones trigonométricas inversas: las funciones trigonométricas inversas de están dadas por

Ejemplo 1 Hallar el valor de

Funciones elementalesFunciones trigonométricas inversas: las funciones trigonométricas inversas de están dadas por

Ejemplo 1 Hallar el valor de

LimitesTeorema 1

Suponga que entonces 0 0

lim ( ) lim ( )z z z z

f z A y f z B

0 0

0

2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )z z z zz z

f z g z f z g z A B

0 0

0

1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )z z z zz z

f z g z f z g z A B

0 0

0

3) lim ( )* ( ) lim ( )* lim ( ) *z z z zz z

f z g z f z g z A B

0

0

0

lim ( )( )4) lim ; 0

( ) lim ( )z z

z zz z

f zf z AB

g z g z B

LimitesEjemplo 1

Evalúe las expresiones de los incisos siguientes con los teoremas sobre límites:

a)

b)

c)

2

1lim 5 10z i

z z

22

2 3 1lim

2 4z i

z z

z z

3

3

4 2

2

8lim

4 16i

z e

z

z z

DerivadasTeorema 1

Suponga que y son funciones analíticas de z. Entonces son válidas las siguientes reglas de diferenciación.

1)

2)

3)

4)

DerivadasEjemplo 1

Con las reglas de diferenciación, encuentre las derivadas de las

expresiones en los incisos siguientes:

Funciones analíticasDefinición 1

Sea una función compleja. Decimos que es una función analítica en si y satisfacen las ecuaciones y tal que son continuas en .

Ejemplo 1

Determine si las siguientes funciones son analíticas en una región .

a)b)c)

Regla de L’ HopitalTeorema 1

Ejemplo 1

Utilice la regla de L’ Hopital para evaluar los siguientes limites