vaceado de liquidos

14/11/2012 1 Matemática II – Daniel Arteaga Blas – Juan Ponte Bejarano Mayo 2011 14/11/2012 1 14/11/2012 1 2011 Juan Carlos Ponte Bejarano

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

José Luis Ponte Bejarano

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CÁLCULO II

TRABAJO

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Recordar:

• Técnicas de integración

• Integral definida

Trabajo



Objetivos

Al terminar la sesión de aprendizaje deberás ser capaz de:

1. Calcular el trabajo ejercido por una fuerza no constante.

2. Calcular el trabajo que ejerce la fuerza deformadora de un

resorte

3. Calcular el trabajo realizado al bombear el agua que contiene

un depósito por su parte superior y más por encima de ella.



Situación problemática

Un tanque de agua en forma de un cono

circular recto invertido, mide 20 metros

de diámetro en su parte superior y 15

metros de profundidad, si la superficie

del agua esta 5 metros por debajo de la

tapa del tanque. Encuentre el trabajo

realizado al bombear el agua hasta la

parte superior del tanque.



TRABAJO

Si un bloque se mueve desde el punto A hasta el B, siguiendo la trayectoria que muestra la figura. Entonces el trabajo se calcula como:

.W F x

Si la fuerza aplicada no es paralela a la dirección del movimiento. La componente horizontal de F (Fx) es la que realiza trabajo. Entonces el trabajo se calcula como:

Es una magnitud física escalar cuyo valor es igual al producto de la fuerza paralela al desplazamiento por la magnitud del desplazamiento.

B ∆x

F

A

F

xF F cos

A B

Fx

∆x

F F

cos( )W F x



Observaciones:

Si el desplazamiento y la fuerza tienen el mismo sentido, entonces el trabajo es positivo.

Si la fuerza tiene una componente en sentido contrario al movimiento, el trabajo realizado por ella es negativo.

Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento, no se efectúa trabajo.

Señale en qué caso la fuerza realiza trabajo positivo.

A B C

F

F

F

x x x



VACIADO DE UN DEPÓSITO

Para levantar un objeto se ha de contrarrestar la fuerza de la gravedad. Por consiguiente, el trabajo realizado al levantar un objeto viene dado por:

Si vaciamos un depósito de agua bombeando el agua desde la parte superior, el recorrido varía. En la figura mostrada se ha representado un depósito de

almacenamiento lleno hasta “a” metros por debajo del borde con algún líquido homogéneo y que pesa σ newtons por metro cúbico. Si se bombea líquido del depósito por la parte superior hasta que el nivel del líquido descienda hasta “b” metros por debajo del borde del depósito. ¿Cuál es el trabajo realizado?

Trabajo = (peso del objeto) x (altura a la que se eleva)



Para cada x ϵ [a, b], definimos

Particionemos el intervalo [a, b] y centremos nuestra atención en el i-ésimo subintervalo [xi-1 ,xi]. Tomando xi

* como un punto arbitrario del intervalo [xi-1 ,xi],

tenemos *( ) volumen aproximado del i-ésimo estrato de líquidoi iA x x

A(x) = área de la sección transversal x metros por debajo de la parte superior del depósito

s(x) = altura a la que hay que elevar el agua del nivel x

*( ) peso aproximado de dicho volumeni iA x x

*( ) altura aproximado a la que hay que elevar dicho pesois x



Por lo tanto:

El trabajo necesario para bombear todo el líquido puede ser aproximado por la suma de todos estos términos:

* *( ) ( )i i is x A x x trabajo aproximado (peso recorrido) necesario para bombear

este estrato de líquido hasta la parte superior del deposito.

* * * * * *1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nW s x A x x s x A x x s x A x x

Tomando límite cuando n tiende al infinito, tenemos:

( ) ( )

b

a

W s x A x dx



Un depósito de agua semiesférico de 10 metros de radio se vacía mediante bombeo (ver figura). Hallar el trabajo realizado cuando el nivel del agua desciende desde 2 a 4 metros por debajo de la cúspide del depósito cuando a) La bomba está situada justamente en esa cúspide. b) La bomba está situada 3 metros por encima del depósito

Ejemplo

Solución

Como el peso del agua se toma 10 000 newtons por metro cúbico (10 kN por m3). La sección transversal a x metros de la parte más alta del depósito es un disco de radio

Luego su área es:

2( ) (100 )A x x

2100r x



42

2

10 (100 ) 5400 kN-metroW x x dx

a) Para este apartado tenemos,

42

2

10 ( 3) (100 ) 10840 kN-metroW x x dx

b) Para este apartado tenemos,

( )s x x

( ) 3s x x



Un tanque de agua en forma de un cono circular recto, mide 20m de diámetro en la parte superior y 15m de profundidad, si la superficie del agua está a 5m por debajo de la tapa del tanque. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua hasta la superficie del tanque.

Ejemplo

Solución

vaceado de liquidos

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