USO DE LA TECNOLOGÍA PARA FORTALECER EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE EN MATEMÁTICAS

Angeles Domínguez, Enrique Galindo, Patricia SalinasDepartamento de Matemáticas

Campus Monterrey

IntroducciónEl Tec de Monterrey es una institución que promueve enfáticamente el uso eficiente de la tecnología. En el ámbito educativo este uso incluye la incorporación de tecnologías de vanguardia para apoyar las actividades de aprendizaje. Es así como resulta pertinente realizar estudios de las situaciones de enseñanza-aprendizaje correspondientes a distintas áreas del conocimiento cuando el escenario en que estas situaciones se llevan a cabo es un aula con las características que posee el aula prototipo 4-117 del Campus Monterrey. El estudio realizado por la Dirección Académica del Centro para la Innovación e Investigación Educativa el pasado semestre enero-mayo de 2003 es el marco en el cual inscribimos el presente trabajo. Ciertamente esta aula ofrece la oportunidad de incursionar en el uso de equipo especializado, el cual a su vez permite al profesor tener una perspectiva más amplia y creativa sobre el tipo de actividades de aprendizaje que pueden ser llevadas a cabo. Entre los hallazgos positivos de la observación realizada en el aula 4-117 se identifica a ésta como un entorno de aprendizaje innovador que motiva a la búsqueda de otras estrategias didácticas y distintos diseños de actividades. Una recomendación importante que se desprende del estudio hecho en dicha aula consiste en conocer sobre el software o herramientas computarizadas en las diferentes áreas del conocimiento que pudiesen ser utilizadas en el aprendizaje para desarrollar competencias del alumnado (Pérez, 2003). En el área que nos corresponde, la enseñanza de la Matemática, este tipo de preocupación tiene los antecedentes suficientes como para aprovechar al máximo la experiencia de impartir el curso de Matemáticas I de Ingeniería en el aula prototipo 4-117 agregando decididamente el uso de software apropiado para el aprendizaje del conocimiento matemático.

Durante el semestre enero-mayo del 2003 se llevó a cabo el curso de Matemáticas I (clave MA-815) del ITESM Campus Monterrey por primera vez bajo estas condiciones. El titular del mismo fue el Dr. Enrique Galindo Morales, quien es profesor-investigador de la Universidad de Indiana y que realizó su periodo sabático en nuestra institución educativa de agosto de 2002 a julio de 2003. El Dr. Galindo es especialista en el uso de tecnología como herramienta cognitiva que apoya el aprendizaje de Matemáticas y durante su estancia en nuestro Campus dedicó especial interés en conocer la propuesta didáctica de innovación al proceso de enseñanza-aprendizaje del Cálculo que ha sido elaborada por seis integrantes del departamento de Matemáticas de este Campus y que se encuentra plasmada en el libro de texto titulado “Elementos del Cálculo, reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza”. En este libro se utilizan situaciones problemáticas y contextos reales para apoyar a los estudiantes en la construcción de las ideas del Cálculo (Salinas et al, 2002). La propuesta integra las estrategias didácticas de aprendizaje colaborativo y resolución de problemas y además, en esta ocasión, el curso del Dr. Galindo fue ofrecido en su modalidad internacional.

Un antecedente importante para valorar la incorporación de otras tecnologías adicionales a las que ofrece el aula prototipo consiste en el siguiente hecho: el aprendizaje de los conceptos matemáticos ha sido analizado desde hace poco más de tres décadas desde la perspectiva del uso de múltiples representaciones (Janvier, 1987). Entre estas encontramos particularmente las representaciones algebraica, numérica y gráfica de los objetos matemáticos las cuales han adquirido un papel importante en el proceso de

aprendizaje de las Matemáticas. Por un lado estas representaciones funcionan como herramientas para comunicar ideas matemáticas, y por otro, son herramientas útiles para construir significados de las nociones matemáticas. El uso de software para computadoras y calculadoras con capacidad de graficación permite que los estudiantes tengan acceso a estas múltiples representaciones facilitando la exploración y el análisis de los efectos que produce el cambio en una representación sobre las otras. Estas herramientas ayudan a proporcionar imágenes visuales de ideas matemáticas o situaciones complejas, a hacer cálculos con precisión y eficiencia, a organizar y analizar datos; adicionalmente, permiten modelar matemáticamente situaciones reales a través de simulaciones (National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Utilizadas apropiadamente, las herramientas nombradas pudieran convertirse en “amplificadores” del pensamiento, y servir como herramientas cognitivas para facilitar la construcción del conocimiento de los estudiantes por ellos mismos.

En el desarrollo del curso de Matemáticas I participamos los autores de este documento y nuestro propósito fue reflexionar sobre la manera en que algunas herramientas cognitivas basadas en la computadora pueden apoyar al estudiante en la construcción de ideas centrales de un primer curso de Cálculo Diferencial e Integral para el nivel medio superior o superior. En particular, en esta ocasión que aplicamos para participar en la RIEEE, nos interesa capitalizar el apoyo tecnológico aportado por el software MathWorlds (disponible en versión para PC y para MAC en http://www.simcalc.com/ ) para favorecer el aprendizaje. Este software amplía el rango de representaciones disponibles a los estudiantes al ofrecer la disponibilidad de simulaciones dinámicas en donde el contexto de las mismas incluye el acceso a las representaciones múltiples nombradas anteriormente. Se tiene un objeto en movimiento y se manipulan directamente gráficas, tablas numéricas y ecuaciones algebraicas en relación a ese movimiento. De este modo, se promueve que el estudiante realice razonamientos cualitativos y cuantitativos que apoyan la construcción por su parte de los modelos matemáticos para dichas situaciones (Monk, 2003, Roschelle, Kaput and Stroup, 2000).

Objetivo Desarrollar e implementar actividades usando el software especializado MathWorlds que

favorezcan el aprendizaje de las Matemáticas. Valorar el uso de herramientas tecnológicas en beneficio del proceso enseñanza-aprendizaje

descrito en la Misión del 2005.

Metodología La experiencia del uso del software MathWorlds en las situaciones de aprendizaje que compartiremos contempla tres fases principales que determinan una exitosa implementación del recurso tecnológico. Nos referimos a los siguientes: la distribución del material, el diseño de las actividades (incluyendo actividades de familiarización del software), y el uso del software en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

La distribución del material. El software es gratis y está disponible en la página de web del grupo que lo desarrolló (http://www.simcalc.com/). En esa misma liga hay artículos de investigación que se han elaborado acerca de uso del software en la educación, y está la aplicación en su versión para computadoras PC y para MAC. El software y los archivos para la clase de Matemáticas I se pusieron a disposición de los estudiantes a través de la plataforma Blackboard, de esa manera todos los estudiantes podrían instalar la herramienta en su computadora portátil o de escritorio. Conjuntamente, se les dieron instrucciones

orales y escritas de cómo bajarlo de la red, y de cómo abrir los documentos de apoyo a la clase que serían colocados en el transcurso del semestre.

El diseño de las actividades de aprendizaje. Se diseñaron actividades que apoyaran el aprendizaje de las nociones del Cálculo que se estaban presentado en ese momento, sin embargo, dentro de ese diseño se tomó en cuenta que se familiarizaran con el software. Todas las actividades se componen de un archivo de MathWorlds diseñado previamente con simulaciones específicas para el tema a trabajar, y de hojas de trabajo que describen la actividad. El primer tema que se estudia en el curso de Matemáticas I para Ingeniería trata sobre el análisis de situaciones problemáticas donde una magnitud experimenta una razón de cambio constante. Para apoyar este tema se diseñó una primera actividad de MathWorlds que ejemplifica el uso del software con intenciones educativas (ver Anexo 1). En esta primera actividad (segunda sesión de clases), el profesor presenta el software indicando aspectos respecto a cómo abrir los archivos y las funciones generales del software. En cuanto al manejo del software, la intención es que los estudiantes exploren la capacidad del mismo “jugando” con los diferentes controles, ventanas, gráficas y situación física presentada (el movimiento de un elevador a velocidad constante). En cuanto a los conceptos matemáticos, la intención es que el estudiante explore: (a) el significado de razón de cambio constante (b) el efecto del cambio del dato de la velocidad sobre la gráfica de posición (pendiente de la recta), (c) el efecto de la posición inicial del objeto en la gráfica de posición y en la gráfica de velocidad (de hecho, su no influencia en esta última), (d) la representación de la distancia recorrida tanto en la gráfica de posición como el la gráfica de velocidad, (e) conexión de la representación física (elevador ascendiendo o descendiendo a velocidad constante) y las representación gráficas y numéricas de ese movimiento.

El uso del software en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se planeó hacer uso de la tecnología desde las primeras sesiones de clase del semestre para lograr el mayor tiempo posible de exposición al uso del mismo. En el salón de clases, se organizó que los grupos colaborativos contaran con al menos una computadora por grupo. El software MathWorlds se empleó en la mayoría de las sesiones del primer parcial, tanto para actividades en clase, como para tareas y exámenes fuera del aula. En todas estas actividades, los estudiantes exploran, discuten, y reflexionan acerca de las nociones matemáticas. El software agiliza la exploración por su alta facilidad de manipulación de las diferentes representaciones. Esto se observa en actividades como la desarrollada para estudiar, cualitativa y cuantitativamente, el cambio de una magnitud que se comporta con una razón de cambio no uniforme (ver Anexo 2). En la hoja de trabajo de esta actividad se integran las primeras cinco sesiones de la Unidad II del libro de texto. Se plantea realizar una exploración de los conceptos básicos construidos en la Unidad I para extenderlos a nuevas nociones matemáticas. Los primeros dos problemas puntualizan sobre la interpretación del área bajo la curva de razón de cambio como el cambio de la magnitud de interés. En los siguientes dos problemas se busca aproximar la posición del elevador para cierto intervalo de tiempo, conociendo su razón de cambio y analizando esta razón como si fuera constante a intervalos. Los últimos dos favorecen realizar un análisis cualitativo de la razón de cambio a partir de la gráfica de magnitud. Todos estos problemas atienden a la pregunta que guía el nuevo discurso del Cálculo que se está proponiendo, a saber, el predecir cuál va a ser o cuál fue el valor de una magnitud que está cambiando con respecto a otra. En este sentido, el software nos está permitiendo hacer más evidente la estrategia de solución que consiste en predecir valores de la magnitud a partir del conocimiento de la razón de cambio de la misma, y viceversa.

Resultados y ConclusionesEn referencia al estudio realizado por el Centro para la Innovación e Investigación Educativa, podemos compartir el resultado de un alto porcentaje (83%) de comentarios positivos acerca de lo adecuado de la tecnología. Más aún, como lo nombran en dicho estudio, un 69% consideró la “visualización” como el aspecto con mayor importancia, y al respecto nos resulta fácil coincidir en cuanto a que el tipo de herramienta tecnológica que estamos considerando (MathWorlds) es tal que permite percibir aspectos visuales integrados al contenido matemático que se está estudiando.

Son tres los factores que nos invitan a hacer un seguimiento del desarrollo, mejora e implantación de las actividades: (a) lo positivo de los resultados en el estudio del CIIE (Pérez, 2003), (b) la información obtenida en la observación presencial del desarrollo del curso sobre las percepciones de los estudiantes ante el uso de tecnología, y (c) un análisis preliminar del desempeño de los estudiantes en relación a las actividades apoyadas con tecnología.

El tipo de actividades que permite diseñar el software, por su misma facilidad de interacción y de exploración, favorece también el trabajo colaborativo al promover que los estudiantes se hagan preguntas explícitas sobre lo que se está manipulando activamente al interactuar con el archivo que se les propone. Los procedimientos que inicialmente realizan al tener contacto con el software y el archivo, si bien en principio pudiesen interpretarse como procedimientos de “prueba y error”, al continuar realizando la actividad, que está dirigida por la hoja de trabajo que le acompaña, terminan buscando una cierta regularidad que les permite confirmar su hipótesis preliminar o refutarla y proponer otra. De igual manera, la comunicación verbal es objeto de mejora, en ella percibimos evidencias de una asociación de significados que logran establecer con y entre las nociones y procesos matemáticos analizados.

Por otra parte, aún y cuando coincidimos con las recomendaciones del estudio realizado en el aula 4-117 en cuanto a que la tecnología no puede ser el pilar del éxito del proceso de enseñanza-aprendizaje, sin embargo, en el caso que nos compete de la enseñanza de la Matemática, podemos reconocer una amplia predisposición positiva de los estudiantes ante el uso de las herramientas tecnológicas especializadas que probamos.

CapitalizaciónLas actividades que se diseñaron como complemento a las actividades del libro de texto rindieron frutos en cuanto a fomentar que el estudiante realice conexiones conceptuales de ideas aprendidas con anterioridad y los nuevos conocimientos, permitiendo por añadidura profundizar en la comprensión de los conceptos fundamentales del Cálculo. Así mismo, dichas actividades al tener esa característica de ser exploratorias gracias al software, favorecen el autoaprendizaje y la reflexión.

La experiencia de haber utilizado el aula 4-117 nos invita a probar nuevas técnicas didácticas y herramientas tecnológicas diferentes, dando la oportunidad de hacer más interactivo el contacto entre profesor y estudiantes, además de la interacción entre los estudiantes y el contenido a aprender. Es por ello que durante el actual semestre de agosto-diciembre estamos realizando una segunda implementación de las actividades en dos grupos de MA815 tomando como objetivo la mejora continua de las actividades previamente realizadas y el diseño de otras. El curso es impartido este semestre con las mismas características: aula del CIAP con la tecnología probada en el aula prototipo 4-117, además de idioma inglés y con la estrategia de aprendizaje colaborativo como parte fundamental del desarrollo del curso.

Además estamos trabajando en la extensión del uso de esta tecnología especializada a otros cursos, muy en particular en el curso de Matemáticas Remediales.

Los recursos tecnológicos se están utilizando para innovar la enseñanza, es claro que esta acción necesariamente exige de nosotros el desarrollo de nuevas y variadas habilidades. Esto último bien pudiese ser el producto de una capacitación deliberada previa a la acción; sin embargo, estamos convencidos de que la experiencia vivida día con día es la que empuja a reflexionar y crear, alimentando con ello la didáctica de nuestra especialidad, la Matemática Educativa. Estamos documentando formalmente esa experiencia de modo que hemos participado en foros internacionales como la Reunión Latinoamericana en Matemática Educativa (RELME) durante el pasado mes de Julio en Santiago de Chile y tenemos en puerta la participación para el próximo mes de octubre en Arizona, dentro del foro conocido como RUME, Research in Undergraduate Mathematics Education.

Contando con las condiciones tecnológicas ideales como las que forman parte del aula prototipo 4-117 y ahora el CIAP, podemos dirigir nuestro esfuerzo en el futuro inmediato hacia la identificación de aquéllas características importantes de las actividades basadas en el uso de software como MathWorlds que las definan como modos efectivos de ayuda para los estudiantes en la construcción de sus aprendizajes de las ideas del Cálculo. La meta es investigar sobre las condiciones de aprendizaje que permitan a los estudiantes desarrollar modos de representación diferentes a los sistemas formales de notación, de tal forma que el poder de la representación no se encuentre en oposición a estos, sino que más bien, funcionen como medios para fortalecerle, como es discutido por Goldin (2003).

Fuentes CitadasGoldin, G. (2003). Representation in school matematics: A unifying research perspectives. In J. Kilpatrick, W.G. Martin, & D. Schiefter (Eds.), A research companion to principles and standards for school mathematics (pp. 275-285). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Janvier, C. (Ed.). (1987). Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Monk, S. (2003). Representation in school mathematics: Learning to graph and graphing to learn. In J. Kilpatrick, W. G. Martin, & D. Schiefter (Eds.), A research companion to principles and standards for school mathematics (pp. 250-262). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author.

Pérez, Y. (2003). Estudio del aula prototipo 4-117 semestre enero-mayo de 2003. Centro para la Innovación e Investigación Educativa, Rectoría Zona Metropolitana de Monterrey, ITESM. Documento sin publicar.

Roschelle, J., Kaput, J., & Stroup, W. (2000). SimCalc: Accelerating students' engagement with the mathematics of change. In M. Jacobson & R. Kozma (Eds.), Educational technology and mathematics and science for the 21st century (pp. 47-75). Mahwah, NJ: Erlbaum.

Salinas, P., Alanís, J. A., Pulido, R., Santos, F., Escobedo, J. C., & Garza, J. L. (2002). Elementos del Cálculo: Reconstrucción para el aprendizaje y la enseñanza. México: Trillas.

Anexo 1

Student Activity 1.1.1: Plotting Position Vs. Time Data- By Hand For Constant Velocity

In each problem, a Starting Floor for the elevator and a Velocity function are given. You will need to Run through the motion to analyze the position of the elevator.

Your job is to:(a) Record in a table the resulting Time-Position pairs for the given Velocity function,(b) Plot these Time-Position pairs on the paper given (see next page). Be sure to label the axes, and(c) Sketch the Velocity vs Time graph on a second coordinate axes. Be sure to label the axes.

Open the Actor Info Window by either double clicking the desired elevator or by choosing Actor Info from the Window Menu. Marks can be turned ON from this window and the Step-Time will be 1.0 second.

If judging the exact Position is a problem, open the Numeric Display, available from the Window Menu. This will provide a digital readout of the Time and Position for each Actor.

If you need to change the Step-Time, you can do it by opening the Controls Window, available firm the Windows Menu, and typing in the desired Step-Time.

Problem # Starting Floor Velocity Fl/s

Duration seconds

1 0 2 62 1 3 33 8 -1 64 3 3/2 65 4 -1/2 86 -1 4 3

Problem 1

Time (seconds)

Position (floors)

Problem 2

Time (seconds)

Position (floors)

Problem 3

Time (seconds)

Position (floors)

Problem 4

Time (seconds)

Position (floors)

Problem 5

Time (seconds)

Position (floors)

Problem 6

Time (seconds)

Position (floors)

Take a moment now to look at the points you have plotted and observe the motion of the elevator. Watch the motion carefully to see what it does between the Times you have plotted. For example, in Problem # 1, where is the elevator at 2.5 seconds? At 4.5 seconds? Are these positions shown in your plot of the motion? How should you draw your graph to account for ALL the elevator’s Positions?

Anexo 2

Unit II Sections 1- 5: Analysis of the magnitude when the rate of change is not constant

1. Below is a graph with a missing velocity segment that is associated with the following Mystery Trip story.

The elevator started on the 2nd floor of the basement and went at 2 fl/s for 3 second before traveling at an unknown constant velocity for 3 seconds, then traveling at -2 fl/s for 2 seconds, and finally traveling at 3 fl/s for 3 seconds, ending on the 18th floor.

Determine the unknown constant velocity. Verify your solution using MathWorlds (VelCte.html file).

2. Complete the velocity graph to satisfy the following statement.

The elevator moves according to a 4-segment velocity graph, but only the last three segments are shown here. If the total distance traveled by the elevator is 16 floors, determine the “missing” velocity.

Notice that the initial position of the elevator is not given. It is not stated because there is no need to determine the final position. Verify your solution using MathWorlds the VelCte.html file.

3. An elevator starts on the 3rd floor and moves with a velocity given by v = 2t measured in fl/s. Approximate the final position of the elevator at t = 3 seconds considering the velocity constant at each interval. Take the values of velocity from the left-side of the interval. Consider intervals of 1 second, and then intervals of 0.5 seconds. Use the VelCte.html file.

4. An elevator starts on the 3rd floor and moves with a velocity given by v = 2t measured in floor/s. Approximate the final position of the elevator t = 3 seconds considering the velocity constant at each interval. Take the values of velocity from the right-side of the interval. Consider intervals of 1 second, and then intervals of 0.5 seconds. Use the VelCte.html file.

5. The graphs below show the positions of the elevator. Sketch the graphs of the rate of change. Verify your conjectures of the velocity by using the VelLinear.html file.

6. The graphs below show the positions of the elevator. Sketch the graphs of the rate of change. Verify your conjectures of the velocity by using the VelLinear.html file.