Uso de destrezas que permiten razonar, argumentar y expresar en lenguaje matemático, integrando el conocimiento matemático con otros conocimientos para responder a las distintas situaciones de la vida.

Geometría basada en el estudio de objetos ideales y abstractos, sino más bien una que asuma la relación geométrica con los entornos espaciales. Esto busca fortalecer una mayor visualización en la Geometría: establecer contactos estrechos entre representaciones visuales y las formas geométricas. Se apela de esta forma a la construcción de los aprendizajes geométricos en fases crecientes que van desde lo intuitivo, manipulable, pictórico y visual hacia las representaciones más generales y abstractas.

.Al escogerse un problema contextualizado como centro generador de una lección se apela a Plantear y resolver problemas, pero también es posible activar allí Razonar y argumentar, Conectar y Comunicar. No todo problema se presta para ello, pero se deben diseñar tareas donde sea posible activar esos procesos. Una ventaja de organizar la lección por medio de problemas contextualizados es la posibilidad de que casi todos los procesos matemáticos entren en juego. Pero todo depende de cómo se planifique y cómo se desarrolle la lección. Propiciar la redacción y la comunicación de respuestas. Una actividad privilegiada que convoca estos últimos procesos matemáticos es la redacción cuidadosa de las soluciones y su comunicación oral o escrita en el subgrupo o en la clase completa.

La visualización en el aprendizaje de la geometría Entendemos por visualización (o imaginación espacial) la actividad mental intelectual que tiene que ver con la creación, el análisis y la

transformación de representaciones mentales de conceptos,

propiedades o relaciones matemáticos (Gutiérrez, 1996). Krutetskii (1976) y Presmeg (1986) alertan a los profesores acerca de la existencia de tres tipos de individuos según sus

preferencias, de uso de la visualización para resolver problemas de matemáticas: a) los visualizadores,

que prefieren el uso de representaciones visuales; b) los analíticos, que prefieren el uso de

representaciones simbólicas textuales, y c) los armónicos, que usan unas u otras según sea el caso. Las dificultades en el aprendizaje de la geometría de muchos estudiantes están relacionan con formas de

enseñanza que inhiben sus preferencias de visualización. Profesores y libros de texto

continuamente usan dibujos, figuras o diagramas en las lecciones de geometría para ayudar a sus alumnos a comprender los conceptos y las

propiedades que deben aprender.

Sin embargo, con frecuencia los docentes no tienen en cuenta que estos dibujos, estas figuras, etc., que representan objetos geométricos —en particular, si son representaciones planas de cuerpos espaciales

— incluyen codificaciones que los estudiantes deben aprender a “leer”. a b Figura 3.4 Parzysz

(1988) nos recuerda que cualquier representación plana que hagamos de un objeto, o conjunto de

objetos espaciales, pierde una parte de la información contenida en los objetos; por ejemplo,

al dibujar un sólido opaco, una parte del cuerpo queda oculta. Así, la actividad de introducción a la

medida del volumen típica de los textos de primaria, en la que se pregunta a los estudiantes

cuántos cubos tiene el sólido de la figura 3.4a, puede tener una o varias soluciones dependiendo del código implícito que usen los estudiantes para saber cuántos cubos están ocultos. Generalmente profesores y libros de texto asumen que la parte

oculta no tiene huecos ni protuberancias, y concluyen que el sólido de la figura 3.4a está

formado por ocho cubos. Sin embargo, el diagrama de la figura 3.4b, que es una vista superior del mismo sólido con la cantidad de cubos en cada

columna, indica que realmente tiene nueve cubos, pues hay un cubo oculto. Estos convenios y formas

de representación son parte de lo que los estudiantes deben aprender. Gutiérrez (1998) describe de forma detallada el problema del

aprendizaje y uso de diferentes formas de representación plana de objetos 3-dimensionales.

Es un buen ejercicio utilizar este tipo de representaciones de los sólidos en la clase. Primero, a los alumnos se les pueden dar cubos de madera o plástico y un diagrama como el que aparece en la figura 3.4b y pedirles que construyan la estructura

señalada en el diagrama. Posteriormente, se les indica que dibujen la estructura que han obtenido con los cubos, vista desde diferentes puntos, para

obtener diagramas como el de la figura 3.4a. Después se les sugiere que hagan el proceso

inverso; es decir, que construyan una estructura con cubos y dibujen un diagrama como el de la

figura 3.4b para que otros compañeros la reconstruyan.

Guía de Trabajo (adición)

Asumen

En este trabajo, con base en nuestra experiencia docente y los estudios e investigaciones que hemos realizado con nuestros alumnos, exponemos nuestra conceptualización sobre la enseñanza de la geometría en el bachillerato. El trabajo concluye, dada la extensión, con otra ponencia que presenta los ejemplos concretos elaborados por nuestros alumnos, sobre la puesta en práctica de esta concepción y su consecuente metodología de enseñanza.

En esta parte, hacemos énfasis en la vinculación de las habilidades que se requieren para desarrollar el pensamiento geométrico. Aclaramos porqué el conocimiento geométrico resulta ser básico y el porqué de su acotamiento en cuanto a la exigencia de rigor, con la intención de ilustrar qué significa, en nuestro nivel educativo, una demostración válida.

Nuestro estudiante de nivel superior, cómo desearía la enseñanza de las matemáticas, para que los alumnos, desde temprana edad, sepan «... analizar su entorno, sus problemas, a deducir las soluciones, a ser capaces de abstraer e interpretar los fenómenos que se les presentan; ir más allá de lo aprendido en clases, y desarrollar una gran facultad para la observación y el análisis».(1)

¿Por qué la geometría es una habilidad básica?

Para contestar a esto mencionaremos algunas razones que, desde nuestro punto de vista, son suficientes para justificar su importancia en la enseñanza universitaria.

*** La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano. Hablamos de muchas cosas que poseen formas y dimensiones y usamos términos geométricos para referirnos a ellos, si no los tuviéramos, no podríamos comunicarnos y entendernos en el mundo de las formas. También usamos el argot geométrico para hablar metafóricamente y embellecer el arte de comunicar ideas abstractas, incluidos los sentimientos y emociones.

El lenguaje de las formas es de uso común y día a día ocupa un lugar cada vez más importante. Lo empleamos en las señalizaciones de todo tipo: vial, naval, etc, en los logotipos de las banderas, en los íconos de los programas de computación, en los edificios públicos, en los carteles de advertencia de incendio o temblor, y en muchas más variadas situaciones.

Usos del vocabulario geométrico en la vida diaria

Descripciones concretas Metáforas

¿Las calles que dices son perpendiculares?

Las líneas camioneras están saturadas en semana santa.

En un punto de la carretera debes girar 90°.

Una vida ejemplar muestra siempre la rectitud en las acciones.

Los adoquines son octagonales. La proyección educativa está hecha

un desorden, el fenómeno no se comportalinealmente.

Hay silos cónicos y también cilíndricos.

Por mucho tiempo llevaron vidas paralelas.

Nuestro cuerpo no es totalmente simétrico.

Los partidos de izquierda no se han puesto de acuerdo y por ello les ganan los de laderecha que sí se alinean con el gobierno.

Una escalera de caracol tiene la forma de una espiral.

Entre sus sueños y la realidad, median años luz de distancia.

El viaje turístico es punto a punto.El gobierno tocó tangencialmente el tema de la inmigración.

La pendiente de la escalera está muy pronunciada.

Los precios llevan una escalada en espiral con un ángulo cercano a los 90°, que hace pronosticar una superinflación.

El diseño del interior del auto aprovecha muy bien el espacio.

En la esfera de influencia del poder, se encuentra la primera dama.

*** La geometría se aplica en situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, está relacionada con problemas de medida que cotidianamente nos ocupan, como diseñar una vasija, una pieza de cerámica, un folleto publicitario, construir a escala el prototipo de un auto o un avión, calcular el área de un terreno, la capacidad de un barril de petróleo, la pintura necesaria para cubrir una superficie o el volumen de un cuerpo; asimismo, usamos nuestros conocimientos geométricos para leer mapas y planos —donde los puntos señalados representan ciudades; las curvas, rutas; las paralelas, vías de ferrocarril; las líneas punteadas, caminos sin pavimentar; las cuadrículas o sistemas de coordenadas ubican localidades, barrios, monumentos, etc.—.

La misma estructura del universo se explica en términos geométricos y muchos ejemplos de la naturaleza que nos rodea son descritos a través de la geometría: cristales, minerales, frutas y flores, copos de nieve, formas de animales del mar, etc.

El poseer este conocimiento geométrico, nos permite establecer conexiones entre esta rama de la matemática y el mundo cotidiano.

*** Todas las ramas de las matemáticas se sirven de la geometría para ilustrar las ideas y productos más abstractos o complejos. La geometría se comporta como una disciplina integradora de la matemática, ya que es un rico recurso de visualización para conceptos aritméticos, algebraicos, estadísticos, topológicos, etc.

Son ejemplos de modelos geométricos usados en la enseñanza:

La recta numérica.

Las figuras y formas geométricas que se usan para desarrollar el significado relativo a números fraccionarios.

Los arreglos rectangulares para estudiar propiedades de los números naturales.

Las ideas de curva, figura y cuerpo relacionados directamente con los conceptos de longitud, superficie y volumen.

Las coordenadas en un plano y la idea de representar puntos a través de pares ordenados.

Las gráficas de barras, circulares y lineales para describir datos.

Los diagramas de grafos para expresar relaciones topológicas.

Las gráficas de funciones para encontrar la solución de sistemas de ecuaciones.

Los bloques multibase de Dienes o las regletas Cuisenaire para representar las leyes del sistema de numeración posicional, leyes de los exponentes y propiedades de los logaritmos.

El geoplano para representar fracciones o recorridos, etc.

*** La geometría es el soporte para comprender conceptos de matemáticas más avanzados y de otras ciencias. Por ejemplo, para modelar la derivada de una función (la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto). Asimismo, la geometría es importante en el análisis matemático para representar a la integral definida en un intervalo (el área bajo la curva), y más.

La Geometría constituye un prerrequisito para el estudio de la física, la astronomía, la química, la geología, la tecnología, la biología y todas las artes plásticas, por supuesto, es indispensable en las ingenierías, la arquitectura, el diseño gráfico, etc.

Sin duda alguna, las gráficas juegan un papel importante en nuestra mente; por ejemplo, el trazado de las curvas colabora a que imaginemos como se comporta la función 1/x en el infinito o a imaginarnos el desplazamiento del cometa Halley en su órbita elíptica y apreciar su trayectoria respecto del sol.

*** El estudio de la Geometría nos permite desarrollar la percepción espacial y la visualización. Con la finalidad de funcionar en el mundo de los objetos, todos requerimos de habilidades básicas para la percepción espacial en general, esto es, por citar un ejemplo obvio, si no pudiéramos visualizar los objetos a nuestro paso, seguramente tendríamos muchos accidentes al caminar. Todos necesitamos de la habilidad de visualizar objetos en el espacio y captar sus relaciones, asimismo, requerimos de la capacidad para leer representaciones bidimensionales —proyecciones en un plano de objetos tridimensionales —sin duda todos hemos pasado por la necesidad de armar un mueble o un juguete siguiendo instrucciones donde debemos interpretar un dibujo que corresponde al plano del objeto a armar; o también nos hemos visto en la tarea de imaginar cómo quedará la casa viendo tan sólo su proyecto dibujado en los planos que nos muestra el arquitecto.

*** La geometría como modelo de conocimientos lógicamente organizados. La geometría ha sido la primera rama de la matemática organizada lógicamente. Ideas acerca de la lógica y la deducción en geometría no necesitan esperar para ser enseñadas hasta los niveles superiores de escolaridad. Aun los niños de preescolar comprenden algunos aspectos de la prueba indirecta. Un niño puede comprender que si la pelota está detrás de A, B o C y no está detrás de A ni de C debe estar detrás de B. La prueba deductiva entraña mayor dificultad, pero los niños también arriban a conclusiones lógicas y es importante darles actividades que los conduzcan a hacer inferencias y tratar de probarlas. Sin practicar estas formas sencillas de razonamiento, el alumno no estará preparado para entender la geometría como un sistema matemático y las reglas que lo rigen.

La geometría promueve las habilidades de pensamiento y estrategias de resolución de problemas. Proporciona oportunidades para observar, comparar, medir, conjeturar, imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades pueden ayudar al alumno a aprender como descubrir relaciones por él mismo y tornarse más competente en la solución de problemas.

*** A través de la geometría, las sociedades han desarrollado valores estéticos y culturales. La geometría es uno de los medios para diseñar y enseñar estética. Geometría hay en la pintura, en la danza, el tatuaje, la moda, la escultura, el paisajismo y en muchas, muchísimas, manifestaciones artísticas.

Nuestra capacidad de apreciar formas alrededor de nosotros nos permite apreciar la belleza del mundo natural y artificial que nos rodea.

¿Qué geometría enseñar y cómo enseñarla?

Acabamos de exponer múltiples razones por las cuales se debe enseñar geometría en la escuela. El punto ahora es escoger cuál geometría debemos enseñar, dicha enseñanza se puede abordar de dos maneras: a) la que comprende el enfoque lógico-racional que define a la geometría como una teoría axiomática que se desarrolla bajo leyes rigurosas de razonamiento deductivo, o b) la de enfoque más intuitivo —y con base en la experiencia—, que se apoya en la búsqueda (exploración), descubrimiento y comprensión, por parte del sujeto que aprende, de los conceptos y propiedades geométricas que le permiten explicar aspectos y situaciones del mundo en que vive.

Sin lugar a dudas, la más cercana a las posibilidades de nuestros alumnos de bachillerato es la segunda, pero el docente debe saber que su meta en este nivel es crear las condiciones para que el alumno pueda avanzar en estudios posteriores, en la profundización de la naturaleza deductiva y rigurosa de esta rama de la matemática.

Llegar al desarrollo del pensamiento geométrico abstracto debe ser una de las metas en educación superior. Bishop (1983) afirmaba: «la geometría es la matemática del espacio» y es a través del estudio del espacio físico y de los objetos que en él se encuentran por donde el alumno ha de acceder a los conceptos más abstractos de esta rama de las matemáticas. Esto no implica que su enseñanza en la educación básica deba quedar restringida al espacio físico; el pensamiento geométrico puede tomar a éste como punto inicial, pero ha de avanzar hacia el establecimiento de imágenes, relaciones y razonamientos con los que se operará mentalmente.

Por otro lado, la relación entre el espacio físico y el matemático no se da en un punto determinado del desarrollo humano, ni aún en el del matemático profesional. El pensamiento matemático, aún el más abstracto, se vale de modelos físicos o gráficos para representarse y, viceversa, el mundo físico tiende a explicarse a través de modelos matemáticos y la geometría, para tales casos, puede ser muy útil.

Entonces podemos admitir que el sentido de espacio y, por ende, el sentido geométrico, se inicia con la experiencia directa que las personas tienen sobre los objetos que les rodean para enriquecerse a través de actividades de construcción, dibujo, medida, visualización, comparación, transformación, discusión de ideas, conjetura y comprobación de hipótesis, que facilitarán posteriormente, el acceso a la estructura lógica y maneras de demostración de esta disciplina.

¿Cuáles son las habilidades que una buena enseñanza de la geometría debería ayudar a desarrollar?

Varios autores coinciden con Hoffer (1981), quien habla de habilidades básicas a desarrollar en geometría y las clasifica en cinco áreas: visuales, verbales, de dibujo, lógicas y de aplicación.

A través del análisis de estas habilidades se podrá observar que resulta prácticamente imposible desarrollarlas separadamente.

Donde se les presenta un objeto tridimensional y se les solicito que mediante el proceso de visualización en el que debían captar la representación visual externa y, b) las relacionadas con el pensamiento y construcción de imágenes mentales

Cualquier actividad geométrica que conlleve un aprendizaje significativo, va a involucrar, necesariamente, a varias de ellas, sin embargo, estamos conscientes de que tratarlas singularmente, ayudará a la toma de conciencia de su valor específico.

Observar. Habilidades visuales. Más del 80% de la información que percibimos del mundo que nos rodea entra por nuestros ojos.(2) Del Grande (1987) menciona que percibimos más del 85% de la información espacial con nuestro sistema óptico, por ello resulta crucial desarrollar habilidades visuales que nos permitan estudiar el espacio.

Visualizar, según el diccionario tiene tres acepciones: representar mediante imágenes ópticas fenómenos de otro carácter; formar en la mente una imagen visual de un concepto abstracto y, por último, imaginar con rasgos visibles algo que no se tiene a la vista. De acuerdo con esto, visualizar implica poder representar lo mental a través de formas visuales externas (dibujos, planos, gráficas, etc) así como también, ser capaz de representar en la mente objetos visuales reales o no (representaciones internas). Gutiérrez (1996), define la visualización como la actividad de razonamiento o proceso cognitivo que usa elementos visuales o espaciales, tanto mentales como físicos, para resolver problemas o probar propiedades.

El proceso de visualización requiere de dos tipos de habilidades: a) las relacionadas con la captación de representaciones visuales externas y, b) las relacionadas con el pensamiento y construcción de imágenes mentales (representaciones visuales internas) (Bishop 1993). Las primeras implican poder leer, comprender e interpretar las representaciones visuales y el vocabulario espacial usado en trabajos geométricos, gráficos y diagramas de todo tipo. Esto implica que visualizar es más que la simple percepción de imágenes con los ojos, va mucho más allá: «la visualización es percepción con comprensión» tal y como lo sintetiza Azinián (1997).

Pero el proceso de visualización no está completo sin el segundo tipo de habilidades que comprende la capacidad para manipular y analizar imágenes mentales, así como transformar conceptos, relaciones e imágenes en otras clases de información, a través de las representaciones visuales externas. Entre las habilidades visuales podemos contar las de percepción de fondo, coordinación visomotora, discriminación, percepción de relaciones espaciales entre objetos, memoria visual, conservación de la forma, tamaño y posición, reproducción, por mencionar sólo algunas de las más generales.

Para adquirir las habilidades de visualización debemos tomar en cuenta que muchos procesos y conceptos en geometría no pueden percibir visualmente una figura 3D, y realizar conjeturas acerca de las respuestas que fueron planteadas, los alumnos a construir vínculos entre su experiencia matemática informal y los símbolos y conceptos abstractos usados en matemáticas.

A las habilidades de observación se deben añadir las acciones personales de exploración, comparación, manipulación y comprobación que pueden agilizarse con la tecnología informática, dado que esta herramienta permite representar gran cantidad de manipulaciones físicas cuya elaboración, de manera manual, consumiría mucho tiempo.

Justificar. Habilidades de comunicación. La habilidad de comunicación es la competencia que permite al alumno leer, interpretar y comunicar con sentido, en forma oral y escrita, información geométrica y de todo tipo, usando el vocabulario y los símbolos del lenguaje matemático de forma adecuada. Dickson y otros (1991) dicen que el poseer esta habilidad de comunicación supone la aptitud para oír hablar y hablar de matemática, lo mismo que para leer y escribir acerca de ella.

En los estándares aprobados por la NCTM para la enseñanza de las matemáticas, en el apartado de la comunicación se puntualiza sobre los distintos roles que el lenguaje juega en el aprendizaje de las matemáticas y se hace explicito que:

Ayuda a los alumnos, mediante su escritura, a clarificar su pensamiento y a profundizar su comprensión.

Ayuda a los alumnos a construir vínculos entre su experiencia matemática informal y los símbolos y conceptos abstractos usados en matemáticas.

Facilita la conexión entre distintas representaciones (concreta, gráfica, verbal, en contextos reales o figurados, etc) de ideas matemáticas.

Reconocemos como habilidades de comunicación: escuchar, localizar, leer e interpretar información geométrica presentada en diferentes formatos; asimismo, también lo son el denominar, definir y comunicar información geométrica en forma clara y ordenada, utilizando el lenguaje natural y el simbólico apropiado. Consideramos que se arriba a su dominio a través de actividades como: el seguir instrucciones; elegir, entre varias, las respuestas más adecuadas, completar oraciones; resolver crucigramas con vocabulario y símbolos geométricos; crear símbolos y compararlos con los convencionales; asignar significado a los símbolos convencionales; utilizar diccionarios y textos para contrastar significados; relacionar palabras con definiciones o símbolos con significados; hallar equivalencias entre palabras, símbolos y definiciones; analizar distintas definiciones de un mismo símbolo, elemento o concepto; describir objetos, propiedades y relaciones entre objetos. También están: fundamentar oralmente y por escrito, en forma clara y concisa, un razonamiento o procedimiento; describir, explicar y argumentar usando diferentes formas de razonamiento.

Para la adquisición de estas habilidades de comunicación es muy importante tomar en cuenta, tanto el lenguaje como la buena elección de los materiales que han de ser escogidos para el desarrollo del pensamiento geométrico.

La adquisición de los conceptos y el lenguaje resultan un proceso dinámico. El trabajo en equipo, estimula y promueve tal dinamismo ya que permite que los alumnos practiquen la comunicación de sus ideas, forzándolos a externar las asociaciones mentales que hacen entre los símbolos y sus significados, así como de los conceptos que usan o elaboran. Esta verbalización hace posible que el docente observe en

los estudiantes las ideas inmaduras o erróneas y de esta manera reorganice la orientación de la enseñanza. Por ello resulta muy necesario que el profesor interprete el vocabulario y las expresiones lingüísticas que usan sus pupilos y que al mismo tiempo se ocupe de mejorarlos y rigorizarlos, dándoles mejores herramientas para expresar sus pensamientos.

Hay que tener cuidado con el vocabulario que se utiliza en el razonamiento lógico, ya que el uso inadecuado de cuantificadores —todos, algunos, ninguno, a lo más uno, etc, — y de la condicional «si...entonces...», obstaculizan la comunicación correcta de razonamientos inductivos o deductivos. No basta que los estudiantes tengan amplios conceptos geométricos cuando ellos piensan, pues no se puede acceder a ellos sin un lenguaje adecuado.

En los estándares sobre razonamiento y prueba se manifiesta la necesidad de que los estudiantes, desde el inicio, tengan experiencias que los ayuden a desarrollar procesos de comunicación para expresar pensamientos claros y precisos y, que este desarrollo del razonamiento lógico esté estrechamente relacionado con el desarrollo del lenguaje que a su vez depende de las habilidades de los alumnos para explicar sus razonamientos más allá de las simples respuestas.

Deducir e inferir lógicamente. Habilidades de razonamiento. Para razonar deductiva o inductivamente, requerimos de las habilidades lógicas que a su vez están ligadas con las habilidades de razonamiento analítico, es decir, son las capacidades necesarias para desarrollar un argumento lógico.

Según el diccionario del español, por razonamiento se ha de entender la «acción y efecto de discurrir, ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión».

«Balacheff define el razonamiento como la actividad intelectual, la mayor parte del tiempo no explícita, de manipulación de informaciones para producir nuevas informaciones a partir de datos. Desde este punto de vista, esta actividad da lugar a prácticas argumentativas, personales e institucionales, que constituyen una dimensión ostensiva, comunicacional. Al mismo tiempo, el razonamiento se desarrolla por medio de dichas prácticas, de modo que el estudio del razonamiento está constitutivamente ligado al estudio de la argumentación» (Godino y Recio, 1998).

Habilidades lógicas a desarrollar a través del estudio de la geometría en el nivel bachillerato: abstraer conceptos y relaciones,

generar y justificar conjeturas, formular contraejemplos, seguir argumentos lógicos, juzgar la validez de un razonamiento, desarrollar esquemas deductivos elementales. La inducción y la deducción son dos formas de pensamiento consideradas dentro del razonamiento lógico —de hecho conforman dos de los métodos matemáticos para producir conocimientos.

El razonamiento inductivo es la capacidad de realizar con éxito actividades como: comparar, completar series de símbolos o figuras, clasificar objetos y generalizar propiedades a partir de ejemplos concretos, entre otras. El método inductivo es considerado el camino del razonamiento que va de lo particular a lo general.

La deducción, por su parte, es un método de razonamiento que va de lo general a lo particular. A través del razonamiento deductivo se demuestra la veracidad de las proposiciones a las que se arribaron por inducción.

Nuestra experiencia coincide con la de A. M. Bressan, B. Bogisic y K. Crego (2000), quienes sostienen que el razonamiento deductivo no está necesariamente unido a una presentación formal del mismo (totalmente explícita y que detalla cada paso usando sólo términos y símbolos matemáticos) y que además, en el bachillerato no es condición necesaria tal presentación, pero consideramos que es importante que los alumnos reconozcan las diferencias entre las distintas formas de validación de este tipo de razonamiento y puedan usarlas (contraejemplo, prueba directa, prueba indirecta) sin ser requisito para aprobar el curso, el saber realizar «demostraciones matemáticas formales». Probar una generalización en matemáticas requiere de la deducción que la independiza de la experiencia y la torna universal.(3)

Aún cuando reconocemos que las habilidades lógicas son relevantes para el razonamiento matemático, no podemos dejar de lado a las habilidades de creación y de aplicación o transferencia, ya que sin ellas, el alumno estará incapacitado para usar su razonamiento en situaciones nuevas o fuera de sus contextos habituales. En este sentido, la intuición y la analogía, más ligadas a los procesos creativos y de aplicación de las matemáticas, cobran relevancia y por ello deben ser incluidas como parte del razonamiento lógico.

Algunas de las actividades que colaboran a que los estudiantes desarrollen el pensamiento lógico son: inferir, dadas las propiedades de un objeto, deducir de qué objeto geométrico se trata; clasificar objetos geométricos por sus atributos; a partir de varios ejemplos,

extraer reglas y generalizaciones; identificar el conjunto mínimo de propiedades que definen una figura; comparar conceptos y relaciones, usando ejemplos, contraejemplos, definiciones y clasificaciones; presentar argumentos informales utilizando diferentes representaciones; completar argumentos deductivos; determinar inconsistencias en argumentos dados; reconocer congruencias, diferencias y semejanzas a través del contraste de características o propiedades; por mencionar algunas. Para ayudar al desarrollo del pensamiento lógico, están también las habilidades relacionadas con la creatividad, entre otras, crear, inventar, imaginar, intuir situaciones; explorar y descubrir conceptos, regularidades y relaciones. En la creación, la intuición y la analogía juegan roles especiales.

La intuición es una forma de percatarnos, sin mucho análisis ni razonamiento, de conceptos y situaciones para tratar de entender el mundo que nos rodea, es decir, intentamos, en un primer acercamiento, la comprensión de lo que queremos saber, sin embargo, dada su imprecisión por ser una percepción de primera instancia, solemos equivocarnos o adquirirla con limitaciones, pero aún con estas deficiencias, las intuición nos resulta tremendamente útil. Dado que esta forma del pensamiento humano sucede de manera automática y proporciona a los aprendices ideas de súbito que tienden a ser manifestadas por ellos de manera espontánea, el profesor debe estar atento a esto, ya que debe cuidar el proceso para provocar cambios cualitativos en esas conceptualizaciones espontáneas que el alumno demuestra poseer.

El razonamiento por analogía es aquel tipo de pensamiento que recurre a conocimientos previos, la historia y la memoria juegan un papel importante en este proceso, (que consideramos de naturaleza inductiva). Las analogías son útiles para explicar cosas nuevas ya que se usan como soporte las cosas conocidas o familiares para explicar o entender conceptos o ideas nuevas. Este tipo de razonamiento nos lleva a generalizar nuestras apreciaciones individuales aplicándolas a casos particulares similares, sin embargo, esta manera de pensar tiene limitaciones, pues muchas veces las generalizaciones resultan falsas o erróneas, la experiencia nos ha mostrado que el uso de analogías ayuda al estudiante en el proceso de aplicación o transferencia.

En nuestro quehacer docente nos hemos encontrado que es imposible separar las actividades que impliquen desarrollo de habilidades lógicas de aquellas que tienen que ver con la aplicación y transferencia de conocimientos (resolución de problemas). Es por ello

que esta parte última del trabajo tratará ambas habilidades indistintamente.

Resolver. Habilidades de aplicación o transferencia (usar en la resolución de problemas o explicación de fenómenos). En la resolución de problemas están implicados tanto procesos cognitivos como metacognitivos en donde se ponen en juego todas las formas de razonamiento creativo y lógico mencionadas anteriormente. Las habilidades de aplicación o transferencia son aquellas que nos permiten utilizar, en este caso a la geometría, para explicar fenómenos, hechos o conceptos y resolver problemas dentro y fuera de las matemáticas. La habilidad de aplicación primaria será entonces la de modelización —en el sentido que se le da en matemáticas— y donde se utilizan todas las habilidades anteriormente mencionadas.

La modelización es uno de los instrumentos básicos en matemáticas, en particular para la geometría, se constituye en herramienta fundamental a la hora de aplicarla en la resolución de problemas y consiste en usar el lenguaje y los métodos de esta disciplina a problemas de la misma, de otras disciplinas o del mundo cotidiano.

El proceso de la resolución de problemas requiere de actividades tales como: identificar el problema en la situación planteada; identificar tipos de datos (necesarios, accesorios o secundarios, incompletos, etc); anticipar estrategias posibles de solución antes de ejecutarlas; representar mentalmente (en forma oral, simbólica o gráfica) conceptos y estrategias a usar; identificar los recursos (tiempo, instrumentos, con la finalidad de resolver un problema dado; estimar la viabilidad lógica de los resultados y su significado en el contexto de la situación problemática; reflexionar sobre el problema y lo realizado, controlando los usos de conceptos y procedimientos; captar las limitaciones de los modelos empleados; utilizar los resultados de la reflexión para retomar el problema y generar nuevas preguntas; reconocer el valor del razonamiento y la prueba como partes esenciales de la geometría.

Hablemos ahora de aspectos relacionados con la adquisición de la habilidad para resolver problemas. En el bachillerato del CCH se ha de evitar que el alumno se mueva dentro de un marco axiomático riguroso, pero sí se ha de promover que se aboque a intuir, plantear hipótesis, hacer conjeturas, generalizar y, si es posible, demostrar y modelizar pero sin las exigencias de formalización extrema que se piden a los estudiantes de matemáticas en los niveles universitarios superiores.

Como ayuda para interpretar la evolución del desarrollo geométrico en los alumnos se puede recurrir al trabajo realizado por los esposos Van Hiele (citado por Pastor y col. 1994): Nivel 0 de reconocimiento, nivel 1: de análisis; nivel 2: de ordenamiento o abstracción. Nivel 3: de deducción. Nivel 4: de rigor.

Conclusiones:

Para la enseñanza de la geometría, cualquier propuesta que se precie de ser efectiva, debe considerar que el vínculo entre la visualización, la experimentación, el razonamiento lógico, la argumentación (comunicación matemática) y aplicación es indisoluble. Dada esta premisa y sabedores de que es en el bachillerato, tal vez el primer acercamiento de estudio sistemático a esta disciplina, no se debe enseñar con una formalidad de nivel 4, sino que hay que conducirlos por los tres primeros niveles de formalización matemática, cuyo soporte todavía se apoya mucho en la experimentación concreta. Se ha demostrado que muchos de los estudiantes no se encuentran siquiera en el nivel 0 y nosotros queremos que trabajen en el nivel 4 con el rigor formalista de niveles universitarios superiores.

«El punto clave de la problemática de la educación geométrica radica en el hecho de que el conocimiento geométrico y espacial emerge de la toma de conciencia y de la exposición y expresión de la dinámica de las imágenes mentales. Así, la complejidad de la educación geométrica a diferencia de otras ramas de la educación matemática radica en la omnipresente e inevitable dialéctica entre la conceptualización y visualización o, dicho de otro modo, entre la experimentación y la demostración. De esta manera, la geometría puede ser considerada como una búsqueda de modelos guiada, tanto por el «ojo visual» como por el «ojo de la mente»(Alsina y otros 1995).»

HABILIDADES POR DESARROLLAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA.La enseñanza de la geometría debe fomentar el desarrollo

de habilidades que pueden ser muy prácticas y que tienen una naturaleza claramente geométrica. Toda habilidad incluye un contenido, el dominio y uso de determinadas habilidades van a determinar el cómo hacer o resolver un ejercicio o un problema.Las habilidades básicas a desarrollar en la enseñanza de la geometría son:1.-Habilidades Visuales (visualización actividad del razonamiento).-La Geometría disciplina eminentemente visual.-Elementos visuales o espaciales.-Pueda ser en la mente.2.-Habiliades de Comunicación (alumno: interprete, entienda y comunique información geométrica).-En forma oral, escrita o gráfica.-Vocabulario geométrico.-Uso de símbolos geométricos.3.-Habilidades de Dibujo (reproducciones o construcciones gráficas).-Copia de un modelo dado, ya sea el mismo modelo o escala.-Trazar figuras geométricas gran riqueza didáctica.-Promover el uso continuo de los instrumentos geométricos: regla, etc.4.-Habilidades lógicas o de razonamiento.-Los alumnos desarrollan su razonamiento, aprenden a razonar.-Es conveniente usar la inducción.-Elaborar conjeturas o construir conceptos.5.-Habilidades de aplicación o transferencia (alumnos capaces de aplicar lo aprendido).-Aplicar el contenido aprendido a problemas nuevos, diferentes a los que fueron presentados.

-Transferir el contenido aprendido en geometría para resolver otra tarea que también pertenece al ámbito matemático.-Utilizar una serie de argumentos estructurados lógicamente para ser convincente.El desarrollar habilidades geométricas implica que el escolar sepa observar, reconocer, medir, trazar, comparar, describir, clasificar, etc.

Se considera la Geometría como organizadora de los fenómenos del espacio y la forma, y en particular se ven los objetos geométricos como patrones o modelos de muchos fenómenos de lo real. Es decir, no se privilegia una aproximación a la Geometría basada en el estudio de objetos ideales y abstractos, sino más bien una que asuma la relación geométrica con los entornos espaciales. Esto busca fortalecer una mayor visualización en la Geometría: establecer contactos estrechos entre representaciones visuales y las formas geométricas. Se apela de esta forma a la construcción de los aprendizajes geométricos en fases crecientes que van desde lo intuitivo, manipulable, pictórico y visual hacia las representaciones más generales y abstractas. Se refuerza la necesidad de ascender por medio de distintos niveles en los aprendizajes geométricos. Lo anterior está asociado con un enfoque que busca darle mayor presencia al “sentido espacial”, es decir la identificación, visualización y manipulación de las formas en el espacio. De esta manera arranca el sentido de figuras, cuerpos y sólidos desde los primeros años, con las representaciones físicas y objetos del entorno que se pueden acompañar por medio del uso de tecnologías. Por ejemplo, la representación de figuras

tridimensionales, su traslación, el uso del color, texturas, sonidos y todas las posibilidades que el recurso multimedia puede proporcionar, en caminos radicalmente nuevos para abordar la enseñanza y aprendizaje de la Geometría tridimensional. Esto se hace de manera gradual en todos los programas desde el Primer ciclo. No es conveniente enfatizar el uso de fórmulas sino más bien la visualización de las formas en el espacio. Se pretende una introducción de la geometría de coordenadas y analítica adecuada a los distintos niveles cognitivos. La geometría analítica presente en esta área se reduce a la representación en sistemas coordenados de puntos y de algunas figuras geométricas como el círculo. Se estudia la simetría axial, que posee muchos ejemplos interesantes en la realidad, y se introducen, en el Ciclo diversificado, algunas transformaciones en el plano (traslaciones y rotaciones). La introducción de estos tópicos favorece los vínculos entre Geometría y Álgebra, una dimensión importante de las Matemáticas contemporáneas. Se propone introducir el movimiento de las formas geométricas, uno de los temas importantes que se desarrolló desde los siglos XVII y XVIII abriendo una nueva orientación en la Geometría (ampliando revolucionariamente los resultados de la Antigüedad). El movimiento de puntos y entidades geométricas permite construir nuevas entidades (curvas por ejemplo) y visualizar las usuales de otras maneras: un sentido dinámico de algunas propiedades geométricas como las posiciones relativas y transformaciones de puntos y formas. El tratamiento del movimiento en Geometría había sido difícil de incorporar en los programas escolares por las limitaciones para el trazado y su presentación gráfica. Con las tecnologías digitales esto cambió radicalmente. La presencia de software diverso de geometría dinámica y de representación geométrica desde hace bastantes

años permite aproximarse a los fenómenos geométricos incluyendo esta propiedad esencial. Pero es más que eso: la tecnología permite replantear la lógica del plan de estudios y de muchos de sus contenidos en la Geometría y en otras áreas. Este sentido dinámico se puede introducir en congruencias, semejanzas y simetría lineal o rotacional de objetos que se transforman, lo que permite conexiones estrechas con el pensamiento funcional. Un tratamiento con coordenadas que se apoya en el uso de tecnologías permite oportunidades muy ricas para la representación múltiple de sus objetos geométricos, una de las características importantes de las Matemáticas. Por medio de las coordenadas se pueden representar y manipular procedimientos algebraicos, objetos y propiedades matemáticas de maneras que son muy difíciles de lograr sin las coordenadas. Por otro lado, las actuales perspectivas de la Geometría se colocan con fuerza dentro del Álgebra y las funciones, y eso mismo permite mostrar la visión moderna de esta disciplina matemática, lo que al mismo tiempo será de gran utilidad para muchos estudiantes al cursar estudios superiores. En la Primaria se propone trabajar la Geometría mediante aproximaciones muy intuitivas y contextualizadas que se deben formalizar en la Secundaria en ciertos temas. La geometría sintética (sin coordenadas) sigue siendo clave en cuanto a la generación de capacidades de razonamiento y prueba. Se destaca en Programas de Estudio de Matemáticas 53 los primeros ciclos el reconocimiento de figuras y propiedades geométricas, se cultiva el sentido espacial y el estudio en el plano de figuras sólidas. Este tratamiento se profundiza en el Tercer ciclo, especialmente en 8º Año se ofrece un énfasis a los aspectos lógicos y deductivos, es decir al razonamiento, argumentación y prueba. Bajo esta visión se pretende tratar los tópicos de congruencia y semejanza de

figuras geométricas, introducidos de manera sencilla por medio del concepto de homotecia (lo que es novedoso), con lo que de nuevo se logra una conexión con la geometría de coordenadas. En el plan de estudios los temas de esta área, sobre todo en la Secundaria, se han seleccionado con base en el criterio de perseguir el desarrollo de la competencia matemática y a la vez el de proporcionar los contenidos y habilidades instrumentales para una formación profesional posterior. Se excluyeron de la propuesta aquellos contenidos cuyo aporte no favorecía a ninguna de las dos. La trigonometría se introduce en 9º Año favoreciendo la conexión con la Geometría. Es primordial enfatizar el uso de modelos donde participa la trigonometría.

Razonar y argumentar El proceso se activa en todas las áreas de múltiples maneras, por ejemplo en el estudio de regularidades y patrones, en la justificación de la congruencia de triángulos, la elección de una representación matemá- tica y su manipulación, en la solución de ecuaciones, entre otros. La justificación y prueba son parte esencial de los quehaceres matemáticos y por lo tanto deben ocupar un lugar especial en la formación escolar. Un lugar relevante lo ocupa la acción de conjeturar, pues es un camino central para el descubrimiento. Se trata en general de plantear una conjetura y buscar los medios para justificarla (en adecuación a cada nivel educativo), ya sea por medio de materiales concretos, diagramas, calculadoras u otros instrumentos. Las conjeturas deberán hacerse sobre tópicos más generales o abstractos conforme se progrese en la formación escolar y de modo creciente se deberán usar las formas matemáticas más precisas o técnicas. La argumentación también debe cultivarse de una manera gradual, primero acudiendo a formas verbales, luego escritas y más tarde simbólicas. Así mismo, se deben ir introduciendo poco a poco las formas de razonamiento por contradicción, inducción, uso de contraejemplos y las diferentes formas de la deducción. Este proceso se puede reforzar por medio de la actividad de grupo, en la que se contrasten las argumentaciones o justificaciones que aporta cada estudiante, siempre con la guía docente. De igual manera, los errores que se cometen son oportunidades muy útiles para mejorar los procesos de razonamiento matemático y hacer progresar la competencia matemática general asociada. Plantear y resolver problemas Hay algunos elementos que vale la pena subrayar. En primer lugar, que no todo problema permite conducir a ideas matemáticas aunque sea interesante o divertido, por eso la acción docente es decisiva para el diseño de problemas apropiados. En segundo lugar, en cada área matemática es posible realizar este proceso de distintas maneras, pero siempre gradualmente. Las estrategias para la resolución de problemas deben ser introducidas no de manera abstracta sino en las instancias específicas en los problemas escogidos: a veces será potenciar el uso de diagramas, otras el

reconocimiento de patrones, o la prueba con la exhibición de casos, etc. De igual manera, es necesario entrenar a las y los estudiantes en las diferentes etapas de la resolución de problemas como la comprensión de los mismos, el trazado de planes de acción y la evaluación o monitoreo de las acciones. El uso de modelos, por otra parte, debe hacerse de forma escalonada con la enseñanza de las diversas estrategias. Las actividades de modelización sólo se pueden dar con un compromiso estudiantil activo que es vital para que la contextualización tenga éxito en la enseñanza. La modelización es una acción que se desarrolla de una manera natural y privilegiada cuando se inscribe en un marco educativo donde es central la organización de las lecciones por medio de problemas. Programas de Estudio de Matemáticas 57 Comunicar Este proceso está asociado a una característica esencial de los quehaceres matemáticos: una idea matemática para ser “correcta” debe ser aceptada por una comunidad profesional de matemáticos. Existen reglas específicas para hacer esto, lo cual es importante de incluir en los programas escolares. El proceso sugiere la comunicación en distintos niveles y formas, desde las más simples como verbales o escritas, hasta gráficas, simbólicas y formales. Debe señalarse que no todo tópico se presta para realizar actividades ricas de comunicación. Por ejemplo, los algoritmos son en ese sentido menos útiles que los conceptos, sin embargo mediante una acción docente adecuada es posible desencadenar comunicación matemática. La comunicación y el pensamiento matemático, en particular la argumentación, están entrelazados en los quehaceres matemáticos. Comunicar obliga a precisar el pensamiento. En el aula, por ejemplo, se puede usar la comunicación matemática para introducir nuevos conceptos (pidiendo la elaboración de diagramas, de expresión de ideas, de colocación de símbolos y expresiones), y también solidificar el propio pensamiento estudiantil sobre las ideas que se introducen en la clase. El desarrollo de este proceso permite conocer otros puntos de vista que pueden mostrar aspectos distintos de una entidad matemática. Y de igual manera en las actividades asociadas al proceso Comunicar es posible ensanchar la criticidad a través del natural cuestionamiento racional de las afirmaciones y argumentaciones expresadas. El lenguaje matemático específico -a veces abstracto y muy técnico- es el vehículo a través del cual viajan las comunicaciones matemáticas, y por eso debe entrenarse. Hay una similitud entre la comunicación matemática y aquella que se realiza en otras áreas: es necesaria la práctica constante y la guía docente. Pero precisamente por su tecnicismo y abstracción es necesario realizar este proceso de forma paulatina en todos los niveles educativos. Conectar Es necesario tener una visión amplia de lo que este proceso supone en el medio educativo. Las conexiones se pueden desarrollar en muchos contextos: por ejemplo, dentro de cada área matemática (como cuando se aplican los procedimientos y operaciones de los números naturales en los racionales o reales). Pero también entre las distintas áreas matemáticas y de manera general con otras materias. Las Matemáticas, por su misma naturaleza, poseen las potencialidades para apoyar los procesos transdisciplinarios que desde los primeros años escolares se deben cultivar. El conocimiento debe visualizarse como una realidad interconectada llena de enlaces. Este tipo de formación escolar permite lograr una comprensión más profunda y precisa de los objetos matemáticos, pero además permite cultivar la abstracción estudiantil, pues la generalización y universalización de métodos e ideas obliga a mayores abstracciones. Observar la aplicabilidad e interconectividad de las Matemáticas refuerza su aprecio y disfrute. Sin embargo, no es tan sencillo introducir las conexiones en el aula. Se requiere dominio de las distintas áreas matemáticas así como de algunos conocimientos precisos para apoyar estas conexiones con problemas especiales. Es

importante planear anticipadamente la introducción en el aula de las conexiones de los tópicos de una lección. Programas de Estudio de Matemáticas 58 Representar La representación y manipulación de objetos matemáticos no deben verse como un fin en sí mismo, debe entenderse que estas representaciones y sus leyes expresan a la vez acciones mentales y características de los objetos matemáticos. Representar debe estar estrechamente ligado a Comunicar, Razonar y argumentar y Plantear y resolver problemas; de lo contrario se distorsiona su sentido hacia un uso meramente mecánico, sin realmente poder alcanzar la comprensión. Las representaciones matemáticas por símbolos, expresiones, diagramas, gráficos o por medios tecnoló- gicos son productos elaborados históricamente, por lo que cambian y exigen acciones de enseñanza y aprendizaje. Si bien al principio de la escolaridad son posibles formas no convencionales o incluso intuitivas y personales para representar ideas matemáticas, es importante que se vayan enseñando gradualmente formas más convencionales y técnicas. El aprendizaje de las representaciones matemáticas formales permite que se pueda realizar la comunicación, pues ofrece el lenguaje y los objetos para entenderse; si cada quien funcionara con sus propias representaciones individuales no habría lugar para la comunicación. Esto es muy relevante: las representaciones de ideas y objetos matemáticos pueden fácilmente oscurecer la complejidad de las ideas y objetos que representan. Por ejemplo, cuando se escribe x para representar una variable con mucha sencillez y utilidad, se puede perder de vista que el significado matemático de lo que es una variable es complejo y difícil de comprender (y requiere acciones educativas para su aprendizaje). Sucede lo mismo con el sistema posicional decimal, el cual nos permite un uso fácil en la realización de operaciones aritméticas que puede ocultar la complejidad de las acciones mentales y matemáticas que representa. El cultivo de las representaciones diversas permite una organización mejor de las ideas matemáticas, para así avanzar en su comprensión y el desarrollo de nuevas formas matemáticas. Esto es lo mismo que ha sucedido en los asuntos matemáticos más generales no asociados con la educación: sin las representaciones simbólicas y gráficas que construyeron los matemáticos no hubiera sido posible el progreso de nuevas etapas en las Matemáticas. Es esencial insistir en las representaciones diversas para los objetos matemáticos. Se trata de mostrar desde la sencillez de expresar de diferentes maneras un número (5+3, 4+4, 8) o expresión [3x+3, 3(x+1)], hasta otras representaciones más complejas y abstractas. Cada representación de un objeto matemático puede revelar un aspecto o propiedad de una manera especial. Por ejemplo, ଷ ଶ expresa un número por medio de una operación o una relación, lo que no hace el mismo número 1,5. Escoger la representación matemática oportuna para resolver un problema o construir un modelo es uno de los tópicos más relevantes en la enseñanza de las Matemáticas, práctica que se ha visto favorecida por el uso de tecnologías digitales. La representación matemática incorpora, al mismo tiempo, una abstracción de propiedades, permitiendo su manipulación eficaz ya sea para construir nuevos conceptos o teorías, para resolver problemas, construir modelos o bien para expresar entidades más complejas en distintos contextos. Es muy importante que de manera escalonada se pueda avanzar en la abstracción de las representaciones matemáticas para potenciar el conjunto de matemáticas que se pueden aprender y usar. Con el progreso de distintas formas de representación, cada vez con mayor abstracción, se ofrecen más oportunidades para construir modelos más interesantes y complejos en distintas situaciones. Programas de Estudio de Matemáticas 59 Otras sugerencias sobre procesos Adaptación al nivel educativo y al área matemática. Estos procesos se deben identificar y adaptar apropiadamente

en cada nivel educativo; además, su participación es distinta en cada una de las áreas matemáticas. La comunicación en números, operaciones y cálculos es tal vez más fácil de realizar en la educación Primaria que en las otras áreas. En algunos años lectivos ciertos tópicos y áreas favorecen un proceso más que otro. Por ejemplo, en 8º Año congruencia y semejanza de figuras (en Geometría) o la introducción de los irracionales en 9º Año (en Números) promueven el proceso Razonar y argumentar. Las conexiones con el entorno y otras materias son fáciles de realizar en Estadística y Probabilidad en todo momento, y las conexiones entre Geometría y Álgebra siempre se ven favorecidas. La acción docente deliberada es la que propicia que se active un proceso y, por eso, la planificación pedagógica y el diseño de tareas matemáticas deben efectuarse cuidadosamente. Diseñar problemas especiales. Hay problemas especiales más ricos que estimulan más procesos que otros. Un problema no debe diseñarse orientado “exclusivamente a procesos”, sino más bien éstos deben emerger de problemas orientados al aprendizaje de habilidades. Enriquecer problemas para lograr una mayor activación de procesos. Un mismo problema puede ser modificado en sus variables didácticas para que resulte más rico. Enriquecer problemas es una de las tareas más importantes en la enseñanza de las Matemáticas. Implementar varios procesos matemáticos en un problema. No siempre será posible desarrollar los cinco procesos centrales en una lección. En algunas se podrá proponer unos procesos u otros, o uno solo, pero es importante tomar esto en cuenta a la hora del planeamiento y del desarrollo de la lección.

Al escogerse un problema contextualizado como centro generador de una lección se apela a Plantear y resolver problemas, pero también es posible activar allí Razonar y argumentar, Conectar y Comunicar. No todo problema se presta para ello, pero se deben diseñar tareas donde sea posible activar esos procesos. Una ventaja de organizar la lección por medio de problemas contextualizados es la posibilidad de que casi todos los procesos matemáticos entren en juego. Pero todo depende de cómo se planifique y cómo se desarrolle la lección. Propiciar la redacción y la comunicación de respuestas. Una actividad privilegiada que convoca estos últimos procesos matemáticos es la redacción cuidadosa de las soluciones y su comunicación oral o escrita en el subgrupo o en la clase completa.

Cuerpos sólidos Esfera - Radio - Diámetro Caja Cubo - Arista - Cara 17. Reconocer el radio y diámetro de esferas. 18. Reconocer cuáles cajas corresponden a cubos. 19. Reconocer los elementos de cajas y cubos (caras y aristas). 20. Reconocer diferencias y semejanzas entre cajas y cubos. Dados varios objetos con forma de caja, se pide determinar cuál o cuáles son cubos. Identificar también sus caras y aristas. Se les puede solicitar que formen grupos y que elaboren una lista de objetos conocidos, con su respectiva clasificación, según sean esferas o cubos. Además, que identifiquen los elementos de dichos objetos. 21. Plantear problemas con base en imágenes de cuerpos sólidos. Es importante que cada estudiante utilice los conocimientos adquiridos en el planteamiento de problemas. Se le debe proporcionar cierta información para que, de forma creativa, proponga algún problema o ejercicio que utilice la información dada. Por ejemplo: Programas de Estudio de Matemáticas 116 Se ofrecen imágenes de objetos como las siguientes (también podrían ser objetos físicos): 1 2 3 4 5

Imágenes cortesía de DigitalPhotos.net Luego, se pide formular un problema o ejercicio donde se involucre uno o más de los anteriores objetos. Por ejemplo, se podrían enunciar las siguientes situaciones: a. Con base en las anteriores imágenes, ¿cuál o cuáles representan cubos? b. Con base en la imagen del objeto 1, señale una arista y pinte de color negro una cara. c. Señale en la esfera 5 un radio y en la esfera 3 un diá- metro. Con esto se activa el proceso Plantear y resolver proble

Objetivos específicos: Representar, identificar e interpretar puntos en el plano. Interpretar la relación entre dos magnitudes representada por tablas ó gráficas. Expresar la relación entre dos magnitudes mediante una fórmula. Identificar si dos variables están relacionadas mediante una función y distinguir entre variables dependientes e independientes. Representar e interpretar una función mediante tablas, gráficas o fórmulas, y saber pasar de unas a otras. Reconocer, interpretar y representar funciones lineales. Objetivos transversales: Apreciar, valorar y disfrutar con las matemáticas. Desarrollar habilidades de comunicación y expresión. Fomentar hábitos y valores propios del trabajo cooperativo. Utilizar adecuadamente recursos TIC en el proceso de E-A. Conectar las matemáticas con el mundo real. Fomentar la investigación matemática. 4.6. Contenidos. Conceptuales: Distinguiremos, según el nivel de concreción, entre hechos, conceptos y estructuras. - Hechos: ejes de coordenadas, eje de abscisas, eje de ordenadas, origen de coordenadas, variable dependiente, variable independiente, pendiente. - Conceptos: o Coordenadas en el plano. Máster en Educación Secundaria Página 34 o Tabla. o Gráfica. o Fórmula. o Función. - Estructuras conceptuales: o Función lineal o de proporcionalidad directa. Procedimentales: Distinguiremos, según el nivel de concreción, entre destrezas, razonamientos y estrategias. - Destrezas: o Representación de puntos en el plano dadas sus coordenadas cartesianas. o Obtención de las coordenadas de un punto representado en los ejes cartesianos. o Diferenciación entre variables dependientes e independientes. - Razonamientos: o Interpretación de puntos en el plano. o Análisis y obtención de información de la relación entre dos magnitudes presentada en una tabla de valores. o Análisis y obtención de información de la relación entre dos magnitudes presentada en una gráfica. o Obtención de la fórmula de la relación entre dos magnitudes. o Razonamiento de cuándo una relación entre magnitudes es una función. o Procedimiento para representar gráficamente una función. - Estrategias: o Reconocimiento y modelización de una situación a través de una función. o Reconocimiento y modelización de una situación a través de una función lineal. o Procedimiento para averiguar qué sistema de representación de una función es el más adecuado y saber pasar de unos a otros. Actitudinales: - Valoración positiva hacia la importancia de las gráficas y las funciones para representar situaciones relacionadas con las propias matemáticas, con otras ciencias y con la vida cotidiana. - Respeto por las distintas estrategias seguidas para interpretar funciones. En la secuencia del trabajo, en cada sesión, aparecerá la siguiente tabla donde se recoge el objetivo didáctico elegido, desarrollado en capacidades más concretas. Con cada capacidad se Máster en Educación Secundaria Página 35 contribuye a la adquisición de ciertas competencias, siendo necesarios unos contenidos específicos. Competencias básicas M L F D S C A I PR A C M P R LO Objetivo didáctico

Capacidades Contenidos En primer lugar, los alumnos han de conocer y comprender los conocimientos previos imprescindibles para desarrollar las capacidades que se proponen. Dentro de los contenidos específicos de esta unidad, se han seleccionado aquellos que son necesarios para lograr los objetivos didácticos y se han organizado en base a las capacidades a desarrollar en los alumnos para cada uno de estos objetivos y a la jerarquización dada según el nivel de concreción. Las decisiones que se han tomado para la secuenciación de los contenidos se sustentan en la coherencia con el desarrollo gradual del conocimiento. Comenzaremos por los conceptuales, mediante la significación, simbolización y generalización de la información y seguiremos con los procedimentales, mediante la aplicación de acciones ordenadas con una finalidad, sostenidas sobre los contenidos conceptuales anteriormente impartidos. 4.7. Materiales y recursos. El recurso didáctico utilizado en esta Unidad es el software libre GeoGebra. Con él que se han elaborado una serie de actividades, algunas de ellas incorporando imágenes, buscando dotarlas de un contexto real y ayudar, por tanto, a la asimilación y comprensión de los conocimientos matemáticos de una manera intuitiva, despertando la curiosidad y las ganas de seguir aprendiendo. Los materiales didácticos que en esta Unidad se han elaborado son los siguientes: Relación de ejercicios: ejercicios de refuerzo y ejercicios de ampliación. Consta de un plan personalizado para el alumno en el que se recogen los objetivos didácticos y los M: Matemática, L: Comunicación lingüística, F: Conocimiento e interacción con el mundo físico, D: Tratamiento de la información y competencia digital, S: Social y ciudadana, C: Cultural y artística, A: Aprender a aprender e I: Autonomía e iniciativa personal. PR: Pensar y razonar, A: Argumentar, C: Comunicar, M: Modelar, P: Plantear y resolver problemas, R: Representar y LO: Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones. Máster en Educación Secundaria Página 36 criterios de calificación de la Unidad. A continuación, aparece un cuadro que el alumno rellenará en la última sesión donde se recogen tanto sus calificaciones, obtenidas según los criterios de calificación, como su opinión personal sobre su proceso de E-A a lo largo de esta Unidad. Los ejercicios de ampliación y los ejercicios de refuerzo contienen problemas de la vida cotidiana y pretenden tener un carácter funcional, conectando las matemáticas con la vida real, un carácter formativo, implicando procesos mentales tales como reflexionar, conjeturar, analizar o comprobar y un carácter instrumental, haciendo uso de todos los conocimientos de los que se dispone. Ambos aparecen explicados en el apartado de atención a la diversidad. Coordenadas en el plano: google maps. Este material ha sido elaborado también con GeoGebra y pretende introducir y motivar el concepto de coordenadas en el plano. Hoja de trabajo1, 2 y 3. En base a los conocimientos de los que disponen los alumnos y mediante el intercambio de ideas, los grupos analizarán, debatirán y consensuarán una serie de actividades, que serán posteriormente defendidas por un miembro del grupo elegido al azar. El profesor motivará y ayudará en este proceso, supervisando y guiando la tarea. Las hojas de trabajo 1 y 2 constan de cuatro ejercicios cada una y la hoja de trabajo 3 contiene cinco actividades. Juego: hundir la flota. Esta actividad es principalmente motivadora y sirve para trabajar tanto la representación como la identificación de puntos en el plano. Juego: dominó de las funciones y ficha del dominó. Los alumnos necesitan poner en juego todo lo aprendido a lo largo de las sesiones. Pretende despertar una actitud positiva en los alumnos hacia las matemáticas, fundamental en el proceso de E-A. Ficha de funciones. Consta de cuatro actividades dirigidas a identificar si dos variables están relacionadas mediante una función, distinguir entre variables dependientes e independientes y representar e interpretar una

función mediante tablas, gráficas o fórmulas, y saber pasar de unas a otras. Autoevaluación. Tiene como finalidad favorecer la autonomía del alumno y su implicación responsable en la evaluación. El alumno será consciente de los avances logrados y de las carencias o dificultades existentes. Examen. Es una prueba escrita coherente con los objetivos didácticos y los contenidos desarrollados en clase. Materiales de evaluación. Explicados en el apartado de evaluación. 4.8. Organización de la clase. Los materiales, creados para lograr un objetivo didáctico, aparecen dispuestos según los criterios de secuenciación de los contenidos implicados en dicho objetivo. Máster en Educación Secundaria Página 37 El alumnado se organiza principalmente en grupos de base cooperativos formados por 4 miembros y la clase está provista de mesas aptas para el trabajo en grupo y de una pizarra digital. El tiempo de cada sesión es de 60 minutos. La organización del trabajo se divide de acuerdo a las distintas sesiones, de las cuales: Sesión 1: Motivación e introducción de la unidad. Sesiones 1, 2, 3, 4 y 5: Desarrollo de los contenidos didácticos. Sesiones 5, 6 y 7: Consolidación de los conocimientos. Sesiones 8: Justificación de la adquisición de capacidades. Sesión 9: Conclusiones sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje. 4.9. Atención a la diversidad. En esta Unidad Didáctica se ha pretendido ofrecer una enseñanza personalizada, dando respuesta a las necesidades individuales del alumnado. Para ello, se han realizado las siguientes actuaciones y se han creado los siguientes materiales: Para garantizar la heterogeneidad de los grupos, el profesor es el responsable de su formación, valorando características de los alumnos en cuanto a actitud, nivel de habilidad o competencia y sexo. Se persigue la complementariedad de los grupos. El cuic (cuestionario de incidencias críticas) proporciona información al profesor sobre los aspectos positivos y negativos de las sesiones bajo la opinión individual de cada alumno, por lo que el profesor puede adaptar ciertas actividades o acciones para mejorar la enseñanza que se ofrece a cada alumno. Además, invita a la reflexión del alumno sobre su proceso de aprendizaje. Mediante la actividad “lo más importante y lo más confuso” (sesión 5), el profesor conoce cuáles son las dificultades de sus alumnos y mediante la resolución de estas dudas, que en muchas ocasiones no se plantean, los alumnos reciben una atención personalizada. Con esta actividad conseguimos que todos tengan que cuestionarse su propio aprendizaje, ayudando a que sean más autónomos y a que aprendan a aprender. Por otro lado, se han creado ejercicios de refuerzo para repasar o consolidar lo aprendido y van dirigidos a aquellos alumnos que tengan dificultades para alcanzar alguna capacidad concreta. Los ejercicios de refuerzo están divididos en tres apartados: coordenadas en el plano, relaciones dadas por tablas y gráficas y por último, relaciones dadas por fórmulas, teniendo cada apartado su correspondiente hoja de trabajo. Los miembros de aquel grupo que no alcance el 75% de una determinada hoja de trabajo, al ser corregida por el profesor, deberá realizar los ejercicios de refuerzo correspondientes a dicha hoja de trabajo y entregárselos al profesor Máster en Educación Secundaria Página 38 individualmente. Independientemente, el profesor mandará algunos de los ejercicios de refuerzo como tarea a toda la clase, tal y como aparecerá explicado en la temporización. También se han elaborado unos ejercicios de ampliación para aquellos alumnos con mayor capacidad o motivación por aprender y que desean ampliar y mejorar sus conocimientos sobre algún contenido específico. Estos tienen un carácter opcional. 4.10. Actividades Las actividades que se han propuesto en esta Unidad Didáctica son coherentes con los objetivos, los contenidos y los criterios de evaluación. Las actividades aparecen agrupadas, según el propósito con el que han sido elaboradas, en: Actividades de introducción y motivación: sirven para iniciar y justificar la unidad. Actividades

de desarrollo: sirven para adquirir los objetivos didácticos marcados. Actividades de consolidación: sirven para afianzar los objetivos didácticos. Actividades de prueba: sirven para autoevaluar o evaluar si se han alcanzado los objetivos didácticos. Actividades interdisciplinares: sirven para conectar las matemáticas con otras materias. En esta Unidad Didáctica se han creado ejercicios en los que se integran las matemáticas con la geografía, las ciencias de la naturaleza, la lengua castellana, las tecnologías y la educación plástica y visual. Actividades de refuerzo: sirven para ayudar a aquellos alumnos que tienen dificultades para alcanzar alguna capacidad concreta o para repasar algún contenido específico. Actividades de ampliación: sirven para motivar a aquellos alumnos que han alcanzado los objetivos didácticos y están interesados en profundizar y mejorar sus conocimientos. Con el diseño de estas actividades se busca el aprendizaje significativo, ofreciendo contextos interesantes, cercanos y motivadores y la integración de contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales. La dificultad de las actividades se presenta de manera progresiva, estimulando la participación y la resolución desde distintos enfoques y promoviendo así, procesos mentales tales como analizar, investigar, comparar, razonar, argumentar, etc. 4.11. Secuencia del trabajo y pautas generales para llevarlo a cabo.

TRABAJO EN GRUPO

5. Conclusiones. Cuando comencé este Máster no conocía qué era la didáctica, ni para qué servía. Tampoco sabía qué era el currículum, ni por su puesto, cuáles eran los elementos curriculares. En definitiva, mi formación pedagógica para ser profesora de Matemáticas era inexistente. Ahora, casi finalizado este Máster, es momento para reflexionar y analizar su trascendencia. En este momento valoro de la misma manera tanto los conocimientos matemáticos como los conocimientos didácticos, pues de nada sirve un profesor, en mi caso, de Matemáticas experto en su materia que no sabe enseñar ni incluso, primeramente, motivar y transmitir ganas por aprender. También, soy consciente de qué tareas son las que intervienen en la profesión que he elegido, no es sólo enseñar matemáticas, estás formando a futuros ciudadanos a todos los niveles. Los estudiantes deben adquirir ciertas capacidades, conocimientos y actitudes que les serán imprescindibles para alcanzar una vida óptima. Y en ese camino que han de recorrer, el papel del docente es fundamental. Entiendo la figura del docente como diseñador de situaciones, planificador del proceso de enseñanza, creador de actividades y recursos que faciliten el aprendizaje y, finalmente, como evaluador en la adquisición de competencias. Estoy satisfecha con lo aprendido en esta etapa, que no es más que el comienzo de mi bagaje como profesional de la enseñanza. Veo preciso continuar en esta línea, mejorando en mi conocimiento pedagógico. Gracias a mi corta pero intensa experiencia con el aprendizaje cooperativo, primero en el módulo específico de este Máster y después, al planificar mis sesiones para impartirlas en el Centro asignado durante el periodo de Prácticas, he podido verificar la repercusión a nivel cognitivo y motivacional que ejerce en los estudiantes. En las clases teóricas del Máster, cuando conocí por primera vez esta metodología, me llamó la atención por el extenso abanico de herramientas que pone al alcance para desarrollar una enseñanza que se adecua a cualquier grupo-clase y por los efectos

que en los estudiantes ofrece conseguir. A modo de síntesis, destaco las siguientes diez consecuencias que se producen en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes: 1. Propicia la participación activa del estudiante en su aprendizaje. 2. Incrementa el rendimiento académico gracias a la interacción entre iguales: “cuando uno explica a otro, aprende dos veces”. 3. Ayuda al estudiante en la adquisición de autonomía e iniciativa personal. Máster en Educación Secundaria Página 49 4. Aumenta la motivación y la autoestima del estudiante fruto del sentimiento de pertenencia y de apoyo al grupo. 5. Fomenta una educación inclusiva, una educación de calidad para todos los estudiantes. 6. Contribuye a la adquisición de las competencias básicas. 7. Fomenta valores propios de la cooperación como el respeto, la tolerancia, la empatía, etc. 8. Mejoran las habilidades sociales y comunicativas en los estudiantes, gracias a los procesos de interacción y comunicación que se dan al cooperar. 9. Permite ofrecer una enseñanza personalizada de los contenidos. 10. Prepara para el mundo profesional actual, para afrontar y resolver conflictos y para formar a los estudiantes como ciudadanos críticos y responsables dentro de la sociedad. Sin embargo, fue en el instante en el que puse en marcha esta forma de trabajar cuando me conquistó, pues al comprobar sesión tras sesión las actuaciones de los alumnos y los resultados que obtuvieron, pude ver su veracidad y su éxito. Sin duda, cuando sea profesora de Matemáticas organizaré mis sesiones usando este instrumento, la cooperación entre alumnos.