universidad nacional “santiago antÚnez de mayolo” facultad de ingenierÍa civil curso: ...

UNIVERSIDAD NACIONAL UNIVERSIDAD NACIONAL

““SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVILFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: FISICA II

ELASTICIDAD: DEFORMACIONES

AUTOR: AUTOR: MagMag. . Optaciano L. Vásquez GarcíaOptaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚHUARAZ - PERÚ

20102010




CURSO: FISICA II

ELASTICIDAD: DEFORMACIONES

AUTOR: AUTOR: MagMag. . Optaciano L. Vásquez GarcíaOptaciano L. Vásquez García


20102010

Optaciano Optaciano VasquezVasquez

I. OBJETIVOSI. OBJETIVOS

• Comprender el concepto de Comprender el concepto de deformación angular y cortante.deformación angular y cortante.

• Comprender el uso de figura Comprender el uso de figura deformadas para calcular deformadas para calcular deformaciones a partir de deformaciones a partir de desplazamientosdesplazamientos

• Resolver ejercicios y problemas sobre Resolver ejercicios y problemas sobre la unidadla unidad

II.INTRODUCCIÓNII.INTRODUCCIÓN• La explosión del transbordador Challenger el 28 de La explosión del transbordador Challenger el 28 de

enero de 1966, se le atribuyo a la fuga de enero de 1966, se le atribuyo a la fuga de combustible en el arosello más próximo a la base combustible en el arosello más próximo a la base del cohete sólido auxiliar. Ello se debió al cambio del cohete sólido auxiliar. Ello se debió al cambio dimensional, la separación en la unión excedió el dimensional, la separación en la unión excedió el valor del diseño permisible, lo que causo el escape valor del diseño permisible, lo que causo el escape del gas combustibledel gas combustible..

II. INTRODUCCIÓNII. INTRODUCCIÓN• La presencia de esfuerzos La presencia de esfuerzos

excesivos en materiales excesivos en materiales frágiles como el estribo de frágiles como el estribo de concreto generan concreto generan deformaciones que deformaciones que terminan fracturando la terminan fracturando la estructura.estructura.

• Por medio de mediciones de Por medio de mediciones de la deformación unitaria, los la deformación unitaria, los ingenieros pueden predecir ingenieros pueden predecir el esfuerzo en el material.el esfuerzo en el material.

• En esta sección En esta sección analizaremos la naturaleza analizaremos la naturaleza general de la deformación y general de la deformación y como se determina en como se determina en elementos cargados.elementos cargados.

III. DEFORMACIÓN III. DEFORMACIÓN • Cuando se aplica una Cuando se aplica una

fuerza a un cuerpo, ésta fuerza a un cuerpo, ésta tiende a cambiar de forma tiende a cambiar de forma y tamaño al cuerpo.y tamaño al cuerpo.

• A estos cambios se le llama A estos cambios se le llama deformación.deformación.

• Esta puede ser visible o Esta puede ser visible o prácticamente inadvertible prácticamente inadvertible si no se usa los equipos si no se usa los equipos adecuados para adecuados para detectarlos.detectarlos.

• En una banda de hule las En una banda de hule las deformaciones son visibles deformaciones son visibles mientras que en una mientras que en una estructura las estructura las deformaciones son deformaciones son pequeñas.pequeñas.

III. DEFORMACIÓN: III. DEFORMACIÓN: Desplazamiento Desplazamiento

• El desplazamiento es El desplazamiento es una magnitud vectorial una magnitud vectorial que permite medir el que permite medir el movimiento de una movimiento de una partícula. Por tanto, las partícula. Por tanto, las partículas adyacentes partículas adyacentes de un cuerpo de un cuerpo deformable pueden deformable pueden desplazarse entre sí desplazarse entre sí cuando se aplican cuando se aplican fuerzas sobre él. En la fuerzas sobre él. En la figura se muestra la figura se muestra la forma como ocurre la forma como ocurre la deformación.deformación.

III. DEFORMACIÓN: III. DEFORMACIÓN: Desplazamiento Desplazamiento • Las tres partículas A, B y C antes de la Las tres partículas A, B y C antes de la

aplicación de fuerzas están localizadas en el aplicación de fuerzas están localizadas en el cuerpo como se ve en la figura. Después de la cuerpo como se ve en la figura. Después de la aplicación de las fuerzas externas el cuerpo se aplicación de las fuerzas externas el cuerpo se deforma cambiando de posición y por tanto las deforma cambiando de posición y por tanto las nuevas posiciones de las partículas son A’, B’ y nuevas posiciones de las partículas son A’, B’ y C’. El desplazamiento de la partícula A viene C’. El desplazamiento de la partícula A viene descrito por el vector descrito por el vector uu(A).(A).

• La diferencia entre las La diferencia entre las longitudes y las longitudes y las orientaciones relativas de orientaciones relativas de las dos líneas en el las dos líneas en el cuerpo son consecuencia cuerpo son consecuencia de los desplazamientos de los desplazamientos causados por la causados por la deformación.deformación.

III. DEFORMACIÓN: III. DEFORMACIÓN: Desplazamiento Desplazamiento

• La deformación de un cuerpo La deformación de un cuerpo puede ocurrir por dilatación puede ocurrir por dilatación (cambio de volumen) o por (cambio de volumen) o por distorsión (cambio de forma)distorsión (cambio de forma)

Consideremos un cuerpo Consideremos un cuerpo sólido en un sistema de sólido en un sistema de referencia fijo x,y,z con un referencia fijo x,y,z con un desplazamiento de uno de sus desplazamiento de uno de sus puntos Q hacia Q’.puntos Q hacia Q’.Las componentes del desplazamiento son u, v Las componentes del desplazamiento son u, v y wy w..El desplazamiento es función de la distancia El desplazamiento es función de la distancia u = f(x, y, z) y para sólidos elásticos y u = f(x, y, z) y para sólidos elásticos y pequeñas deformaciones, upequeñas deformaciones, u ii es función lineal de es función lineal de la posición de xla posición de xii

IV. DEFORMACIÓN UNITARIAIV. DEFORMACIÓN UNITARIADEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL Llamase deformación unitaria al Llamase deformación unitaria al alargamiento o contracción de un alargamiento o contracción de un segmento de línea por unidad de segmento de línea por unidad de longitud.longitud.

Considere la línea AB contenido dentro Considere la línea AB contenido dentro del cuerpo no deformado en la figura del cuerpo no deformado en la figura dirigida en la dirección n y de longitud dirigida en la dirección n y de longitud s.s.

Después de la deformación los puntos Después de la deformación los puntos A y B se desplazan a A’ y B’ y la línea se A y B se desplazan a A’ y B’ y la línea se convierte en curva de longitud convierte en curva de longitud s’.s’.

La deformación unitaria promedio seráLa deformación unitaria promedio será'prom

s s

s

IV. DEFORMACIÓN UNITARIAIV. DEFORMACIÓN UNITARIADEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL A medida que el punto A medida que el punto BB se escoge se escoge cada vez más cercano al puno cada vez más cercano al puno AA, la , la longitud de la línea se vuelve cada longitud de la línea se vuelve cada vez más corta, de tal modo que vez más corta, de tal modo que s s 0 . De igual forma B’ se aproxima a0 . De igual forma B’ se aproxima a A’A’ de modo que de modo que s’s’0. 0.

Por lo tanto, la deformación unitaria Por lo tanto, la deformación unitaria normal en el punto normal en el punto AA es la dirección es la dirección nn está dada porestá dada por

a lo largo de n

'lim

B A

s s

s

IV. DEFORMACIÓN UNITARIAIV. DEFORMACIÓN UNITARIADEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL En algunos casos se conoce la En algunos casos se conoce la deformación unitaria normal, por lo que se deformación unitaria normal, por lo que se desea determinar la longitud final del desea determinar la longitud final del segmento corto en la dirección segmento corto en la dirección nn para ello para ello se usa la relaciónse usa la relación

Por tanto cuando ε es positiva, la línea Por tanto cuando ε es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que si ε es inicial se alargará, mientras que si ε es negativa la línea se acortará.negativa la línea se acortará.

Debido a que la deformación unitaria es Debido a que la deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de el cambio de longitud por unidad de longitud, entonces ella será una longitud, entonces ella será una cantidad cantidad adimensionaladimensional. Por la pequeñez de esta . Por la pequeñez de esta cantidad, la deformación unitaria normal cantidad, la deformación unitaria normal en el SI se expresa como (μm/m).en el SI se expresa como (μm/m).

' 1s s

IV. DEFORMACIÓN UNITARIAIV. DEFORMACIÓN UNITARIADEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL PROMEDIO DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL PROMEDIO Al dilatarse el globo de la figura, Al dilatarse el globo de la figura, la longitud de la línea sobre la la longitud de la línea sobre la superficie aumenta de Lo a Lf.superficie aumenta de Lo a Lf.

La deformación unitaria normal La deformación unitaria normal media se define como la razón media se define como la razón entre el cambio de longitud y la entre el cambio de longitud y la longitud original. Es decir.longitud original. Es decir.

Cuando Lf > Lo la deformación Cuando Lf > Lo la deformación unitaria es positiviva y si Lf < Lo unitaria es positiviva y si Lf < Lo la deformacion unitaria es la deformacion unitaria es negativa.negativa.

IV. DEFORMACIÓN UNITARIAIV. DEFORMACIÓN UNITARIADEFORMACIÓN UNITARIA EN UNA DIMENSIÓNDEFORMACIÓN UNITARIA EN UNA DIMENSIÓN

Consideremos ahora el caso en el cual los Consideremos ahora el caso en el cual los desplazamientos están en una sola recta. desplazamientos están en una sola recta.

En la figura los puntos A y B se encuentran sobre el En la figura los puntos A y B se encuentran sobre el eje x y se mueven a A1 y B1, respectivamente. Las eje x y se mueven a A1 y B1, respectivamente. Las coordenadas de los puntos A y B cambian de xcoordenadas de los puntos A y B cambian de xAA y x y xBB a xa xAA + u + uAA y x y xBB + u + uBB. Entonces la deformación . Entonces la deformación unitaria seráunitaria será

DEFROMACIÓN NORMAL BAJO CARGA DEFROMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIALAXIAL

Pesfuerzo

A

deformación normalL

Fig. 2.1Fig. 2.1

2

2

P P

A A

L

Fig. 2.3Fig. 2.3

2

2

P

A

L L

Fig. 2.4Fig. 2.4

DEFORMACION UNITARIA EN UN PUNTO DE DEFORMACION UNITARIA EN UN PUNTO DE UN CUERPO SOMETIDO A CARGA AXIALUN CUERPO SOMETIDO A CARGA AXIAL

• Consideremos una deformación simple, en la Consideremos una deformación simple, en la que la distancia AB cambia de AB a A’B’.que la distancia AB cambia de AB a A’B’.

• El desplazamiento El desplazamiento uu en una dimensión es en una dimensión es función de xfunción de x

• La deformación normal seráLa deformación normal será' '

( )

x

x

x

L A B AB

L ABu

dx dx dxdxdxu

dx

DEFORMACION UNITARIA EN UN CUERPO DE DEFORMACION UNITARIA EN UN CUERPO DE SECCION VARIABLE SOMETIDO A CARGA SECCION VARIABLE SOMETIDO A CARGA

AXIALAXIAL• Por otro lado, cuando la sección del elemento Por otro lado, cuando la sección del elemento

sometido a cargas externas es de sección variable sometido a cargas externas es de sección variable como se muestra en la figura, el esfuerzo normal como se muestra en la figura, el esfuerzo normal varía a lo largo del elemento por ello es necesario varía a lo largo del elemento por ello es necesario definir la deformación en cierto punto Q definir la deformación en cierto punto Q considerando un pequeño elemento de longitud no considerando un pequeño elemento de longitud no deformado como se ve en la figuradeformado como se ve en la figura

• Si Si es el alargamiento del pequeño elemento es el alargamiento del pequeño elemento bajo la carga exterior dada, la deformación bajo la carga exterior dada, la deformación unitaria en estas condiciones será unitaria en estas condiciones será

0limx

d

x dx

DEFORMACION UNITARIA ANGULAR O DEFORMACION UNITARIA ANGULAR O CORTANTECORTANTE

• La deformación unitaria angular se define como el La deformación unitaria angular se define como el cambio en el ángulo que ocurre entre dos cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea inicialmente perpendiculares. segmentos de línea inicialmente perpendiculares. Este ángulo se denota por Este ángulo se denota por y su valor se mide en y su valor se mide en radianes. Para mostrar esto consideremos dos radianes. Para mostrar esto consideremos dos segmentos de línea segmentos de línea ABAB y y ACAC a lo largo de los ejes a lo largo de los ejes perpendiculares perpendiculares nn y y tt como se muestra en la figura. como se muestra en la figura. Después de la deformación las líneas rectas Después de la deformación las líneas rectas ABAB y y ACAC se vuelven curvas y el ángulo entre ellas es θ’ se vuelven curvas y el ángulo entre ellas es θ’

a lo largo de nC A a lo largo de t

lim '2nt

B A


• Debe observarse que si θ’ es menor que 90º, la Debe observarse que si θ’ es menor que 90º, la deformación angular es positiva por el contrario si deformación angular es positiva por el contrario si θ’ es mayor de 90º la deformación angular es θ’ es mayor de 90º la deformación angular es negativa.negativa.


• Cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante Cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante FFss tal como se muestra en la figura, el cuerpo tal como se muestra en la figura, el cuerpo cambia su forma de rectangular a romboidal. Si uno cambia su forma de rectangular a romboidal. Si uno de los lados se mantiene fijo el lado superior de los lados se mantiene fijo el lado superior experimenta un desplazamiento δexperimenta un desplazamiento δss

• La deformación angular promedio esLa deformación angular promedio es

sprom tg

L

0( ) lim s s

xyL

dP

L dL

ANALISIS DE DEFORMACIONES UNITARIAS ANALISIS DE DEFORMACIONES UNITARIAS PEQUEÑASPEQUEÑAS

• En muchos problemas ingenieriles, un cuerpo En muchos problemas ingenieriles, un cuerpo solo experimenta pequeños cambios en sus solo experimenta pequeños cambios en sus dimensiones. La aproximación de pequeñas dimensiones. La aproximación de pequeñas deformaciones simplifica en alto grado la deformaciones simplifica en alto grado la solución de tales problemas. El la figura se solución de tales problemas. El la figura se muestra un ejemplo de cómo evaluar la muestra un ejemplo de cómo evaluar la deformación. deformación.

• La fuerza que actúa sobre la barra provoca que La fuerza que actúa sobre la barra provoca que el punto P se mueva en una cantidad D en un el punto P se mueva en una cantidad D en un ángulo θ referido a la dirección de la barra. ángulo θ referido a la dirección de la barra.


• La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos permite determinar permite determinar LLff, esto es, esto es

• Usando la definición de deformación unitaria se Usando la definición de deformación unitaria se tienetiene

2

2 20 0 0

0 0

2 cos 1 2 cosf

D DL L D L D L

L L

2

0

0 0 0

1 2 cos 1fL L D D

L L L


• Si se considera de que Si se considera de que DD << << LL00, en este caso se , en este caso se desprecia el término cuyo exponente es desprecia el término cuyo exponente es 22 y si se y si se usa el binomio de Newton se obtieneusa el binomio de Newton se obtiene

• Simplificando la ecuación anterior se obtieneSimplificando la ecuación anterior se obtiene

0

1 cos .......... ... 1D

L

0

cospeq

D

L

EJEMPLO 01EJEMPLO 01• La viga rígida es soportada por un pasador en A y La viga rígida es soportada por un pasador en A y

los alambres BD y CE. (a) Si la aplicación de la los alambres BD y CE. (a) Si la aplicación de la carga P produce un desplazamiento de 10 mm carga P produce un desplazamiento de 10 mm hacia abajo, determine la deformación normal e hacia abajo, determine la deformación normal e los alambres CD y DE. (b) si la máxima los alambres CD y DE. (b) si la máxima deformación normal en cada alambre es 0,02. deformación normal en cada alambre es 0,02. Determine el máximo desplazamiento vertical de Determine el máximo desplazamiento vertical de la carga P.la carga P.

Solución 01Solución 01• Por semejanza de triángulosPor semejanza de triángulos

• Definición de deformación unitariaDefinición de deformación unitaria

Solución 01Solución 01• Usando ambos elementos alcanzan la Usando ambos elementos alcanzan la

deformación máxima se tienedeformación máxima se tiene

• Como Como 1 > 1 > 2; el elemento BD falla primero, 2; el elemento BD falla primero, entonces es el elemento CE el que controla la entonces es el elemento CE el que controla la deformacióndeformación

EJEMPLO 02EJEMPLO 02• Los desplazamientos en la dirección x de Los desplazamientos en la dirección x de

las placas rígidas debido a set de fuerzas las placas rígidas debido a set de fuerzas aplicadas esta dado por:aplicadas esta dado por:

Determine las deformaciones axiales en las Determine las deformaciones axiales en las barras AB, BC y CDbarras AB, BC y CD

SOLUCIÓN 02SOLUCIÓN 02• Las deformaciones en cada uno de los elementos Las deformaciones en cada uno de los elementos

se determina en la formase determina en la forma

EJEMPLO 03EJEMPLO 03• Una barra de ebonita se fija a una barra Una barra de ebonita se fija a una barra

rígida, la cual se mueve hacia la derecha rígida, la cual se mueve hacia la derecha cuando se le aplica la carga mostrada en la cuando se le aplica la carga mostrada en la figura. Determine la deformación angular figura. Determine la deformación angular promedio en el punto Apromedio en el punto A

SOLUCIÓN 03SOLUCIÓN 03• El punto B se mueve al punto B1, como se El punto B se mueve al punto B1, como se

muestra en la figura: Entonces se tienemuestra en la figura: Entonces se tiene

EJEMPLO 04EJEMPLO 04• Dos barras están unidas a un rodillo que se Dos barras están unidas a un rodillo que se

desliza en una ranura, como se muestra en la desliza en una ranura, como se muestra en la figura. Determine la deformación en la barra figura. Determine la deformación en la barra AP: (a) mediante el cálculo de la longitud AP: (a) mediante el cálculo de la longitud deformada de AP sin aproximaciones a deformada de AP sin aproximaciones a pequeñas deformaciones, (b) usando pequeñas deformaciones, (b) usando deformaciones pequeñas y (c) usando el deformaciones pequeñas y (c) usando el método vectorial.método vectorial.

SOLUCIÓN 04: Método ISOLUCIÓN 04: Método I• Consider que P se mueve a P1, como se muestra Consider que P se mueve a P1, como se muestra

en la figura. El ángulo APP1 es de 145°. Al aplicar en la figura. El ángulo APP1 es de 145°. Al aplicar la ley del coseno se tiene.la ley del coseno se tiene.

• La deformación unitaria seráLa deformación unitaria será

SOLUCIÓN 04: Método IISOLUCIÓN 04: Método II• Se necesita la componente de PP1 en la dirección Se necesita la componente de PP1 en la dirección

de AP. Luego de trazar una perpendicular de P1 a de AP. Luego de trazar una perpendicular de P1 a la línea en la dirección de AP se calcula en la la línea en la dirección de AP se calcula en la forma siguienteforma siguiente

• La eformación unitaria normal será.La eformación unitaria normal será.

• O también se expresa comoO también se expresa como

SOLUCIÓN 04: Método IIISOLUCIÓN 04: Método III• Considere que los vectores unitarios en las Considere que los vectores unitarios en las

direcciones x e y so direcciones x e y so ii y y jj. Determinamos el vector . Determinamos el vector unitario en la dirección de AP y el vector de cambio unitario en la dirección de AP y el vector de cambio dimensional dimensional D. D. Es decirEs decir

• La deformación en la dirección de AP seráLa deformación en la dirección de AP será


EJEMPLO 05EJEMPLO 05• Antes de aplicar la carga P en el sistema de la Antes de aplicar la carga P en el sistema de la

figura, el espacio entre la placa rígida y la figura, el espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18 mm. Una vez aplicada la barra B es de 0,18 mm. Una vez aplicada la carga P, la deformación axial en la barra B es carga P, la deformación axial en la barra B es de -2500 de -2500 m/m. Determine la deformación m/m. Determine la deformación axial en la barra Aaxial en la barra A

Solución 05Solución 05• Antes de aplicar la carga P en el sistema de la Antes de aplicar la carga P en el sistema de la

figura, el espacio entre la placa rígida y la figura, el espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18 mm. Una vez aplicada la barra B es de 0,18 mm. Una vez aplicada la carga P, la deformación axial en la barra B es carga P, la deformación axial en la barra B es de -2500 de -2500 m/m. Determine la deformación m/m. Determine la deformación axial en la barra Aaxial en la barra A

Solución 05Solución 05• Teniendo en cuenta la deformación de la barra B, Teniendo en cuenta la deformación de la barra B,

su cambio dimensional serásu cambio dimensional será

• Los puntos D y E de la placa después de la carga Los puntos D y E de la placa después de la carga se desplazan a D1 y E1 como se muestra en la se desplazan a D1 y E1 como se muestra en la figurafigura

Solución 05Solución 05• Debido a que la aplicación de la carga produce un Debido a que la aplicación de la carga produce un

desplazamiento vertical de la placa. El desplazamiento vertical de la placa. El desplazamiento de E será.desplazamiento de E será.

• Como la placa rígida se mueve sin rotación se Como la placa rígida se mueve sin rotación se tienetiene

• El desplazamiento de A esEl desplazamiento de A es


EJEMPLO 06EJEMPLO 06• La placa es deformada y adquiere la forma La placa es deformada y adquiere la forma

mostrada con líneas punteadas en la figura. Si en mostrada con líneas punteadas en la figura. Si en esta configuración horizontal, las líneas esta configuración horizontal, las líneas horizontales sobre la placa permanecen horizontales sobre la placa permanecen horizontales. Determine: (a) la deformación horizontales. Determine: (a) la deformación unitaria normal promedio a lo largo del lado AC y unitaria normal promedio a lo largo del lado AC y BD y (b) la deformación unitaria cortante promedio BD y (b) la deformación unitaria cortante promedio de la placa relativa a los ejes x e y en A, B, C y Dde la placa relativa a los ejes x e y en A, B, C y D

Solución 06Solución 06• Las longitudes iniciales y finales de AC y BDLas longitudes iniciales y finales de AC y BD

Solución 06Solución 06• Las deformaciones unitarias de AC y BD serán y las Las deformaciones unitarias de AC y BD serán y las

correspondientes deformaciones angulares seráncorrespondientes deformaciones angulares serán

Ejemplo 07Ejemplo 07• Parte del varillaje de Parte del varillaje de

mando de un avión mando de un avión consiste en un miembro consiste en un miembro rígido CBD y en un cable rígido CBD y en un cable flexible AB. Si se aplica flexible AB. Si se aplica una fuerza al extremo D una fuerza al extremo D del miembro y ocasiona del miembro y ocasiona una rotación del una rotación del elemento de elemento de = 0,3 = 0,3 °deformación unitaria °deformación unitaria normal en el cable normal en el cable 0,0035 mm/mm. 0,0035 mm/mm. Determine el esfuerzo Determine el esfuerzo normal medio en el normal medio en el cable. Originalmente el cable. Originalmente el cable no se encuentra cable no se encuentra estiradoestirado

SOLUCIÓN 07SOLUCIÓN 07

Ejemplo 08Ejemplo 08• La barra rígida CD de la figura es horizontal cuando La barra rígida CD de la figura es horizontal cuando

no está sometida a carga, mientras que las barras A y no está sometida a carga, mientras que las barras A y B no están sujetas a deformación. Cuando se aplica la B no están sujetas a deformación. Cuando se aplica la carga P, se encuentra que la deformación unitaria carga P, se encuentra que la deformación unitaria axial en la barra B es de axial en la barra B es de 0,0015 pulg/pulg0,0015 pulg/pulg. . Determine: Determine: (a)(a) La deformación unitaria axial en la La deformación unitaria axial en la barra A y barra A y (b)(b) La deformación unitaria axial en la La deformación unitaria axial en la barra A si hay un espacio libre de barra A si hay un espacio libre de 0,005 pulg0,005 pulg en la en la conexión entre las barras A y B.conexión entre las barras A y B.

Ejemplo 09Ejemplo 09• Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas, Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas,

como se muestra en la Fig. No hay deformación como se muestra en la Fig. No hay deformación unitaria en las barras verticales antes de aplicar la unitaria en las barras verticales antes de aplicar la carga P. Después de aplicar la carga P, la carga P. Después de aplicar la carga P, la deformación unitaria axial en la varilla BF es de 400 deformación unitaria axial en la varilla BF es de 400 μm/m. Determine: (a) la deformación unitaria axial en μm/m. Determine: (a) la deformación unitaria axial en la varilla CE; (b) la deformación unitaria axial en la la varilla CE; (b) la deformación unitaria axial en la varilla CE si hay un espacio libre de 0,25 mm en la varilla CE si hay un espacio libre de 0,25 mm en la conexión del seguro C antes de aplicar la carga.conexión del seguro C antes de aplicar la carga.

•

Ejemplo 10Ejemplo 10• La carga P produce una deformación unitaria axial La carga P produce una deformación unitaria axial

en el poste de latón B de la figura de 0,0014 en el poste de latón B de la figura de 0,0014 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitaria pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de aluminio. (b) La axial en la varilla A de aleación de aluminio. (b) La deformación unitaria axial en la varilla A de deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de aluminio si hay un espacio libre de aleación de aluminio si hay un espacio libre de 0,005 pulg en la conexión entre A y C, además del 0,005 pulg en la conexión entre A y C, además del espacio libre de 0,009 pulg entre B y C.espacio libre de 0,009 pulg entre B y C.

Ejemplo 08Ejemplo 08• La carga P produce una deformación unitaria axial La carga P produce una deformación unitaria axial

en el poste de acero D de la figura de 0,0075 m/m. en el poste de acero D de la figura de 0,0075 m/m. Determine: (a) La deformación unitaria axial en la Determine: (a) La deformación unitaria axial en la varilla de aluminio C. (b) La deformación unitaria varilla de aluminio C. (b) La deformación unitaria axial en la varilla C de aleación de aluminio si axial en la varilla C de aleación de aluminio si existe un espacio libre de 0,10 mm en la conexión existe un espacio libre de 0,10 mm en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm en la en E, además del espacio libre de 0,09 mm en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm entre B y D antes de aplicar la carga Pmm entre B y D antes de aplicar la carga P




CURSO: FISICA II

ELASTICIDAD:PROPIEDADES MECANICAS DE

MATERIALES

AUTOR: AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez GarcíaMag. Optaciano L. Vásquez García


20102010




CURSO: FISICA II

ELASTICIDAD:PROPIEDADES MECANICAS DE

MATERIALES

AUTOR: AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez GarcíaMag. Optaciano L. Vásquez García


20102010

Optaciano Optaciano VasquezVasquez

I. OBJETIVOSI. OBJETIVOS• Comprender la descripción cualitativa y Comprender la descripción cualitativa y

cuantitativa de las propiedades mecánicas cuantitativa de las propiedades mecánicas de los materiales.de los materiales.

• Aprender la lógica para relacionar el Aprender la lógica para relacionar el cambio dimensional con las fuerzas cambio dimensional con las fuerzas externasexternas

II. INTRODUCCIÓNII. INTRODUCCIÓN• Las propiedades mecánicas de los Las propiedades mecánicas de los

materiales deben conocerse para que los materiales deben conocerse para que los ingenieros puedan relacionar las ingenieros puedan relacionar las deformaciones con los esfuerzos.deformaciones con los esfuerzos.

• Para esto es necesario desarrollar ensayos Para esto es necesario desarrollar ensayos como por ejemplo de tracción, de como por ejemplo de tracción, de compresión, de torsión, de impacto, de compresión, de torsión, de impacto, de flexión.flexión.

• En esta sección se describirán los ensayos En esta sección se describirán los ensayos de tracción mostrando los diagramas de tracción mostrando los diagramas esfuerzo deformación.esfuerzo deformación.

II. II. ENSAYOS DE ENSAYOS DE TENSIÓNTENSIÓN• La resistencia de un material depende de su capacidad La resistencia de un material depende de su capacidad

para soportar carga sin deformación excesiva.para soportar carga sin deformación excesiva.

• Esta propiedad inherente al material se determina Esta propiedad inherente al material se determina experimentalmente.experimentalmente.

• Para evaluar la resistencia se han diseñado varios Para evaluar la resistencia se han diseñado varios tipos de ensayos en la cual el material se somete a tipos de ensayos en la cual el material se somete a cargas estáticas, cargas cíclicas, de duración cargas estáticas, cargas cíclicas, de duración prolongada o producida por impulsos.prolongada o producida por impulsos.

• Cada una de las pruebas se encuentra estandarizada.Cada una de las pruebas se encuentra estandarizada.

• En Estados Unidos la ASTM ha publicado normas para En Estados Unidos la ASTM ha publicado normas para llevar a cabo estos ensayos. llevar a cabo estos ensayos.

• Una de las más importantes es el ENSAYO DE TENSIÓNUna de las más importantes es el ENSAYO DE TENSIÓN

II. II. ENSAYOS DE TENSIÓN y ENSAYOS DE TENSIÓN y COMPRESIÓN: COMPRESIÓN:

• Permiten determinar varias propiedades Permiten determinar varias propiedades mecánicas.mecánicas.

• Usan la relación esfuerzo normal medio y Usan la relación esfuerzo normal medio y deformación unitaria de materiales como: metal, deformación unitaria de materiales como: metal, cerámica, polimeros, compuestos.cerámica, polimeros, compuestos.

• Para su realización se usa probetas Para su realización se usa probetas estandarizadas como se muestra.estandarizadas como se muestra.

• Antes del ensayo se marcan con un punzón dos Antes del ensayo se marcan con un punzón dos marcasmarcas


• Las marcas se colocan alejadas de los extremos Las marcas se colocan alejadas de los extremos debido a que la distribución de esfuerzos es debido a que la distribución de esfuerzos es compleja en los extremos.compleja en los extremos.

• Se toman medidas tanto de Ao y de la longitud Se toman medidas tanto de Ao y de la longitud calibrada Localibrada Lo


• Para realizar los ensayos se usan máquinas de Para realizar los ensayos se usan máquinas de tracción como la mostrada en la figuratracción como la mostrada en la figura


• Las probetas son instaladas como se muestra en Las probetas son instaladas como se muestra en la figurala figura


• Durante la prueba y en intervalos frecuentes se Durante la prueba y en intervalos frecuentes se registra la carga P. También se miden el registra la carga P. También se miden el alargamiento alargamiento =L– Lo entre las marca con =L– Lo entre las marca con extensómetro. Esta deformación se usa para extensómetro. Esta deformación se usa para determinar la deformación unitaria normaldeterminar la deformación unitaria normal

IV. DIAGRAMA ESFUERZO-IV. DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓNDEFORMACIÓN

• A partir de los datos del ensayo de tracción o A partir de los datos del ensayo de tracción o compresión se obtiene la curva esfuerzo normal compresión se obtiene la curva esfuerzo normal (() – deformación unitaria () – deformación unitaria ().).

• El esfuerzo nominal o de ingeniería se obtiene El esfuerzo nominal o de ingeniería se obtiene dividiendo la carga aplicada P entre el área dividiendo la carga aplicada P entre el área inicial Ao de la sección originalinicial Ao de la sección original

• De igual forma se determina la deformación De igual forma se determina la deformación unitaria dividiendo el cambio en la longitud y la unitaria dividiendo el cambio en la longitud y la longitud inicial L0longitud inicial L0

0

P

A

0

0 0

iL L

L L


• La curva esfuerzo deformación es mostrada en La curva esfuerzo deformación es mostrada en la figurala figura


• Este diagrama es importante porque permite Este diagrama es importante porque permite determinar varias propiedades mecánicas.determinar varias propiedades mecánicas.

• Dos diagramas esfuerzo-deformación no son Dos diagramas esfuerzo-deformación no son nunca iguales para un mismo material, ya que nunca iguales para un mismo material, ya que depende de entre otras variables como la depende de entre otras variables como la composición del material, de las imperfecciones, composición del material, de las imperfecciones, de la velocidad de carga, de la temperatura del de la velocidad de carga, de la temperatura del ensayo de la manera en que es fabricado.ensayo de la manera en que es fabricado.


• Ahora describimos las características de la curva Ahora describimos las características de la curva esfuerzo deformación de un acero.esfuerzo deformación de un acero.

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA --: : COMPORTAMIENTO ELÁSTICO.COMPORTAMIENTO ELÁSTICO.

• La muestra retorna a su forma original cuando La muestra retorna a su forma original cuando se le suspende la carga aplicada.se le suspende la carga aplicada.

• La curva en general es una rectaLa curva en general es una recta

• Aquí se distinguen dos puntos: (aAquí se distinguen dos puntos: (a) el límite de ) el límite de proporcionalidadproporcionalidad y (b) y (b) el límite elástico,el límite elástico,

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA --::FLUENCIA.FLUENCIA.

• Un ligero aumento mas allá del límite elástico Un ligero aumento mas allá del límite elástico produce un colapso del material y éste se produce un colapso del material y éste se deforma permanentemente.deforma permanentemente.

• Este comportamiento se llama fluencia, siendo Este comportamiento se llama fluencia, siendo el esfuerzo que lo origina se llama el esfuerzo que lo origina se llama esfuerzo de esfuerzo de fluencia fluencia y la deformación se llama y la deformación se llama deformación deformación de fluencia.de fluencia.

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA --::Endurecimiento por Endurecimiento por deformación.deformación.

• Cuando finaliza la fluencia del material el Cuando finaliza la fluencia del material el incremento de carga produce in incremento en incremento de carga produce in incremento en el esfuerzo dando lugar a una curvatura que se el esfuerzo dando lugar a una curvatura que se va aplanando hasta alcanzar el va aplanando hasta alcanzar el esfuerzo esfuerzo últimoúltimo. La elevación de la curva se llama . La elevación de la curva se llama endurecimiento por deformación. A lo lago de la endurecimiento por deformación. A lo lago de la prueba y mientras la probeta se está cargando, prueba y mientras la probeta se está cargando, el área de su sección disminuye uniformemente el área de su sección disminuye uniformemente en toda su longituden toda su longitud

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA --: : Formación del cuelloFormación del cuello

• En el esfuerzo último, el área de la sección En el esfuerzo último, el área de la sección transversal comienza a disminuir en una zona transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la probeta.localizada de la probeta.

• Este fenómeno es causado por planos de Este fenómeno es causado por planos de deslizamientos que se forma dentro del material deslizamientos que se forma dentro del material causadas por esfuerzos cortantescausadas por esfuerzos cortantes

• Como resultado aparece una estricción “cuello”. El Como resultado aparece una estricción “cuello”. El diagrama esfuerzo deformación se curva hacia abajo diagrama esfuerzo deformación se curva hacia abajo hasta que se produce la ruptura en el punto de hasta que se produce la ruptura en el punto de esfuerzo de fracturaesfuerzo de fractura

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA -- REAL : REAL :

• Si en lugar de usar el área y la longitud inicial en la Si en lugar de usar el área y la longitud inicial en la determinación del esfuerzo y la deformación se usan determinación del esfuerzo y la deformación se usan el área y las longitudes instantáneas los esfuerzos y el área y las longitudes instantáneas los esfuerzos y deformaciones son reales y la curva es una curva deformaciones son reales y la curva es una curva esfuerzo-deformación real.esfuerzo-deformación real.

• En la figura este diagrama es representada por la En la figura este diagrama es representada por la línea punteada.línea punteada.

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA -- REAL : REAL :

• Aun cuando los diagramas esfuerzo-deformación son Aun cuando los diagramas esfuerzo-deformación son diferentes en diseño de ingeniería se usa solamente diferentes en diseño de ingeniería se usa solamente el rango elástico siempre que el material sea rígido y el rango elástico siempre que el material sea rígido y las deformaciones sean pequeñas. Los conceptos las deformaciones sean pequeñas. Los conceptos anteriores en el diagrama mostrado para el acero anteriores en el diagrama mostrado para el acero dulcedulce

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA -- MATERIALES DUCTILES MATERIALES DUCTILES • Material dúctil es aquel que experimenta Material dúctil es aquel que experimenta

deformaciones unitarias grandes antes de la rotura deformaciones unitarias grandes antes de la rotura (acero dulce).(acero dulce).

• En ingeniería la utilidad de estos materiales es amplia En ingeniería la utilidad de estos materiales es amplia por su capacidad grande de absorber energía y que por su capacidad grande de absorber energía y que experimentan deformaciones grandes antes de la experimentan deformaciones grandes antes de la rotura.rotura.

• Una manera de especificar la ductilidad es reportar su Una manera de especificar la ductilidad es reportar su porcentaje de elongación o el porcentaje de reducción porcentaje de elongación o el porcentaje de reducción de área. Es decirde área. Es decir

• Aquí Ao es el área inicial y Af es el área de fracturaAquí Ao es el área inicial y Af es el área de fractura

0

0

Elongación (100%)fl l

l

0

0

Reducción of area (100%)fA A

A

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA -- MATERIALES DUCTILES MATERIALES DUCTILES

• Entre otros materiales que siguen la tendencia del Entre otros materiales que siguen la tendencia del acero son el latón, el molibdeno y el zinc.acero son el latón, el molibdeno y el zinc.

• Sin embargo, en la mayoría de metales no se Sin embargo, en la mayoría de metales no se presenta una fluencia mas allá de la zona elástica. presenta una fluencia mas allá de la zona elástica. Uno de estos materiales es ele aluminio. Uno de estos materiales es ele aluminio.

• Para determinar el esfuerzo de fluencia se usa el Para determinar el esfuerzo de fluencia se usa el método de desviación. Normalmente se usa la método de desviación. Normalmente se usa la deformación del 0,2%deformación del 0,2%

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA -- MATERIALES DUCTILES MATERIALES DUCTILES

• En las figuras se muestra el diagrama En las figuras se muestra el diagrama esfuerzo-deformación para un plomero el esfuerzo-deformación para un plomero el cual exhibe un comportamiento elástico no cual exhibe un comportamiento elástico no lineal lineal

IV. DIAGRAMA IV. DIAGRAMA -- MATERIALES FRAGILES MATERIALES FRAGILES

• Materiales frágiles son aquello que exhiben Materiales frágiles son aquello que exhiben poca o ninguna fluencia, destacan entre poca o ninguna fluencia, destacan entre otros la fundición gris, el concreto, etc.otros la fundición gris, el concreto, etc.


• En la figura se muestra la curva esfuerzo-En la figura se muestra la curva esfuerzo-deformación para la fundición gris de ella se deformación para la fundición gris de ella se observa que el esfuerzo de fractura bajo tensión observa que el esfuerzo de fractura bajo tensión es 22 ksi. Sin embargo el esfuerzo de fractura a es 22 ksi. Sin embargo el esfuerzo de fractura a compresión es mucho mayorcompresión es mucho mayor


• En la figura se muestra la curva esfuerzo-En la figura se muestra la curva esfuerzo-deformación para el concreto el cual tiene baja deformación para el concreto el cual tiene baja resistencia a la tensión. Las características del resistencia a la tensión. Las características del diagrama dependen de la mezcla del concreto diagrama dependen de la mezcla del concreto (arena, agua, grava, cemento). Por ella se (arena, agua, grava, cemento). Por ella se refuerza con varillas de acerorefuerza con varillas de acero

LEY DE HOOKELEY DE HOOKE• La mayor parte de materiales de ingeniería exhiben La mayor parte de materiales de ingeniería exhiben

un comportamiento lineal entre el esfuerzo y la un comportamiento lineal entre el esfuerzo y la deformación dentro del rango elástico.deformación dentro del rango elástico.

• Por tanto un aumento en el esfuerzo causa un Por tanto un aumento en el esfuerzo causa un aumento proporcional en la deformación unitaria.aumento proporcional en la deformación unitaria.

• Este hecho fue descubierto por Robert Hooke en Este hecho fue descubierto por Robert Hooke en resortes y se llama resortes y se llama Ley de Hooke.Ley de Hooke.

• Matemáticamente se expresaMatemáticamente se expresa

• Donde E es la constante de proporcionalidad y se Donde E es la constante de proporcionalidad y se llama MODULO DE ELASTICIDAD O MODULO DE llama MODULO DE ELASTICIDAD O MODULO DE YOUNYOUNGG

RAZÓN DE POSSONRAZÓN DE POSSON Cuando un cuerpo deformable se somete a fuerzas Cuando un cuerpo deformable se somete a fuerzas

axiales de tensión, no solo se alarga sino que axiales de tensión, no solo se alarga sino que también se contrae lateralmente. Ocurre lo también se contrae lateralmente. Ocurre lo contrario cuando la fuerza es de compresión.contrario cuando la fuerza es de compresión.

Las deformaciones axial y lateral son y Las deformaciones axial y lateral son y . La razón de Poisson es . La razón de Poisson es

long L

'lat r

RAZÓN DE POSSONRAZÓN DE POSSON El signo menos ya que el alargamiento produce una El signo menos ya que el alargamiento produce una

deformación positiva y la contracción una deformación positiva y la contracción una deformación negativa.deformación negativa.

La razón de Poisson es adimensional y su valrs oscila La razón de Poisson es adimensional y su valrs oscila entre entre 0,5 0,5 0 0

universidad nacional “santiago antÚnez de mayolo” facultad de ingenierÍa civil curso: ...

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