UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE

MAOLO”

CURSO: FISICA IANALISIS VECTORIAL

AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚ2010

I. INTRODUCCIÓN• Es una parte esencial de la matemática útil para

físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.

• Constituye una noción concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático de las situaciones físicas

• Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de imágenes mentales de los conceptos físicos.

II. VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse

necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura.

2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc.

3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión

III. VECTOR• Ente matemático cuya determinación exige el

conocimiento de un módulo una dirección y un sentido.

• Gráficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientado

• Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima.

OP

Elementos de un vector

1. Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos

III. Elementos de un vector2. sentido: Es el elemento que indica la

orientación del vector . Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha.

3. Magnitud : Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta

IV. Clase de vectores 1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un

aposición fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta.

3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicación

V. Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta,

multiplicación de vectores es necesario definir:1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres

elementos idénticos

2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto

Algebra vectorial: Suma vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley de cosenos-

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 cosR A B A B

( )

AR B

sen sen sen

Algebra vectorial: Resta vectorial • Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud del vector diferencia D es

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 22 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B

( )

AD B

sen sen sen

Leyes del algebra vectorial 1. Conmutatividad.

2. Asociatividad

Multiplicación de un escalar por un vector

Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a

cA

Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector

1. Les asociativa para la multiplicación.Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe

2. Ley distributiva para la adición vectorial.si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene

Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector

3. Ley distributiva para la suma escalar.Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene

Suma de varios vectores

Para sumar varios vectores se utiliza la ley del polígono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo. Es decir

VI. VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original• Tiene un módulo igual a la unidad • Se define como el vector dado entre su modulo

correspondiente es decir

ˆAAeA

ˆAA A e

VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna

vectores unitarios

• Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.

ˆˆ ˆ, ,i j k

ˆˆ ˆ 1i j k

VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plan o en el espacio.

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL

PLANO

ˆ ˆ

ˆ ˆcosˆ ˆ(cos )

ˆ

ˆ ˆˆ (cos )

x y

x y

A

A

A A A

A A i A j

A A i Asen j

A A i sen j

A Ae

e i sen j

2 2x yA A A

y

x

AAtg

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN

EL PLANO.Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes

a a b bA A A

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3.En el espacio. Cualquier vector puede

descomponerse en tres componentes

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL 3.En el espacio.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆcos cos cosˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k

A A i j k

A Ae

e i j k

2 2 2 2x y zA A A A

cos xAA

cos yAA

cos AzA

VECTOR POSICIÓN

ˆˆ ˆr OP xi yj zk

VECTOR POSICIÓN RELATIVO

1 2 1 2 1 2ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k

VIII. PRODUCTO ESCALAREl producto escalar o producto punto de dos vectores denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.

A y B

.A B

Propiedades del producto escalar1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector

Propiedades del producto escalar4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

6. Producto escalar de dos vectores

Propiedades del producto escalar7. Producto escalar de dos vectores en forma de

componentes . Entonces tenemos

8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares

. 0A B A B

INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALERGeométricamente esta situación se muestra en la figura

VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL

2 2

2

.( ) 0 ( ). 0

( . ) 0

.

c rb a rb rb

r a b r b

a brb

2

.Pr ( ) [ . ]

ˆ ˆPr [ . ]

b

b bb

a b b boy a rb b ab b b

oy a a e e

IX. PRODUCTO VECTORIALEl producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es

C

REGLA DE LA MANO DERECHAa. Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo

índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.

b. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL3. Multiplicación de un escalar por el producto

vectorial.

4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )

x y z

x y z

y z z y x z z x x y y z

i j kAxB A A A

B B B

AxB i A B A B j A B A B k A B A B

( ) ( )

Area AxB

Area A Bsen A h

Ejemplo 01• La figura muestra un cubo en donde se han

trazado distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia de la posición 1,2,3 y 1.¿Cuanto vale cada uno de los desplazamientos?. ¿Cual es el desplazamiento total?.

Ejemplo 02En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante?.

Ejemplo 03• Un avión viaja en la dirección Este con una

velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave

SOLUCION

EJEMPLO O2La resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?

Ejemplo• La camioneta es remolcada usando dos cables como se

muestra en la figura. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúa sobre cada uno de los cables, sabiendo que la superposición de ambas dan una resultante de 90N de módulo dirigida a lo largo de el eje x. Considere que =50°

Ejemplo 04La figura muestra un triángulo cuyos lados son

Demuestre el teorema de los cosenos

SOLUCION

Ejemplo 05 Sabiendo que el módulo de los vectores D y G

son 10 y unidades respectivamente. Determine el vector unitario del vector

20 2

W A B C D E F G

Ejemplo 06En la figura mostrada, determine el vector x, en función de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo

Ejemplo 07Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes, una según la dirección AB y la otra perpendicular a ella

EJEMPLO O1Determine el ángulo θ para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas FA y FB esté dirigida horizontalmente a la derecha. Determine además la magnitud de la fuerza resultante

EJEMPLO O1 Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Si la componente x de F es 4 kN. Halle su componente y y su módulo

Ejemplo• Utilizar el método de las componentes

rectangulares para determinar el módulo R de a resultante y los ángulos que forma su recta soporte con los semiejes x, y, z de coordenadas.

Ejemplo 08La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema

Ejemplo• Exprese la fuerza en componentes i, j y k y

determine la proyección de F = 800 N sobre BC

Ejemplo(a) Exprese la fuerza

de 250 N de módulo en componentes i, j y k .

(b) halle la proyección ortogonal del vector fuerza sobre la línea CA

EJEMPLO O2(a) Expresar el vector fuerza F de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. (b) Hallar la proyección sobre la recta OA.

Ejemplo• A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que

se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman las fuerzas F1 y F2.

Ejemplo 09Determine la resultante del sistema de vectores fuerza mostrados en la figura

EJEMPLO O2Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea.

Ejemplo• La fuerza F tiene una

intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine: (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD.

Ejemplo 10Hallar la distancia del punto P(4, -1, 5) a la línea recta que pasa por los puntos P1(-1, 2, 0) y P2(1, 1, 4)

Ejemplo 10Calcular la distancia desde el punto P de coordenadas (4, 5, -6) cm, a la recta que pasa por Q(-3, 5, 7) cm y es paralela al vector ˆˆ ˆ4 3A i j k

Ejemplo 10Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores

Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial.

ˆ ˆ ˆ ˆ2 6 3 4 3A i j k B i j k

Ejemplo 11Halle la ecuación del plano perpendicular al vector y que pasa por el extremo del vector

ˆ ˆ2 3 A i j k

ˆ ˆ5 3B i j k

Ejemplo 11Demostrar que los vectores

pueden ser los lados de un triángulo y hallar las longitudes de las medianas de dichos triangulo

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 ; 3 4 4 2 6A i j k B i j k y C i j k

Ejemplo 11Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 ; 3 4A i j k y B i j k

Ejemplo 12(a) Halle los vectores de posición r1 r2 de los puntos P(2,4,3) Q(1,-5,2) en un sistema de coordenadas trirectangulares en función de los vectores unitarios i, j, k. (b) Determine grafica y analíticamente la resultante de dichos vectores.

Ejemplo 13Halle un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores

1ˆˆ ˆ2 4 5r i j k

2

ˆˆ ˆ 2r i j k

Ejemplo 14• Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B

es igual al módulo del producto vectorial

Ejemplo 14• Determine el vector unitario perpendicular al plano formado

por los vectores A = 2i - 6j - 3k y B = 4i + 3j - k

Ejemplo

Halle el vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector ˆˆ ˆ4 3B i j k

EjemploDescomponga la fuerza de 1000 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas l1 y l2 mostrada en la figura.

EjemploDescomponga la fuerza de 250 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas PR y QR mostrada en la figura.

Problemas de aplicación1) Si F1 = 5i + 6j y F2 = 2i – 3j -4k. Determine F3 tal que la suma

de las tres fuerzas sea nula.2) ¿Cuál es el vector unitario en la dirección de la fuerza F =

(2000i - 3000j +600k)lb?.3) Halle una fuerza a lo largo de y otra fuerza

normal a que sumadas resulten en la fuerza

4) Dados los vectores y : Determine:

5) Halle los cosenos directores de la fuerza y úselos para determinar los ángulos que forma la fuerza con los ejes coordenados.

ˆ ˆˆ 0,8 0.6e i j e

ˆˆ ˆ(5 10 3 )F i j k N

ˆˆ ˆ(2 4 0 )A i j k lb ˆˆ ˆ(0 3 48 )B i j k lb

ˆˆ ˆ0 5 0C i j k

( . )C AC B

ˆˆ ˆ(30 40 120 )F i j k N

Problemas de aplicación6.