universidad cÉsar vallejo facilitador: lic. mat. patricia isabel aguilar incio
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UNIVERSIDAD CÉSAR UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOVALLEJO
Facilitador:Facilitador:Lic. Mat. Patricia Isabel Lic. Mat. Patricia Isabel Aguilar Incio.Aguilar Incio.
Objetivo de hoyObjetivo de hoy
Determinar cuando una expresión o un Determinar cuando una expresión o un diagrama representa una funcióndiagrama representa una función
Diferenciar los tipos de funcionesDiferenciar los tipos de funciones
Bosquejar la gráfica de una funciónBosquejar la gráfica de una función
Determinar el Dominio y el Rango de Determinar el Dominio y el Rango de Funciones Funciones
PREVIO: Repaso de Fórmulas de PREVIO: Repaso de Fórmulas de Álgebra BásicaÁlgebra Básica
Ejercicios de FactorizaciónEjercicios de FactorizaciónResolución de EcuacionesResolución de Ecuaciones
Resolución de InecuacionesResolución de Inecuaciones
Fueron realizados en la Pizarra
Revisión de Algunos ConceptosRevisión de Algunos Conceptos
Función y RelaciónFunción y RelaciónDominio y Rango de una FunciónDominio y Rango de una FunciónSistema de Coordenadas CartesianasSistema de Coordenadas CartesianasFunción: Constante, Lineal, Cuadrática, Función: Constante, Lineal, Cuadrática, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Racional.Racional.Gráfica de Funciones por tablasGráfica de Funciones por tablasGráfica de funciones pos softwareGráfica de funciones pos software
FUNCIÓN REALFUNCIÓN REAL
Una función es una regla f,que asigna a cada número de entrada “x X” ∈exactamente un número de salida “y Y”.∈Al conjunto de números de entrada X a los cuales se les aplica la regla se le llama dominio de la función. El conjunto de números de salida Y es llamado el rango.En este curso X e Y serán subconjuntos de R (conjunto de los números reales)
xxf deexpresión )(
)(xfy 1
13)(
2
x
xxfEjemplo:
YXf :
Elementos básicos en el estudio de una función.
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
RECORRIDO o IMAGEN
GRÁFICA o GRAFO
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
RECORRIDO o IMAGEN
El recorrido es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar y, los cuales son imagen de algún valor x
GRÁFICA o GRAFO
Funciones Lineales: Funciones Lineales: y = mx + ny = mx + n
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
Todas las funciones polinómicas tienen dominio
3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3
3ª) y = (1/3)x +1
1ª) y = 2x +1
2ª) y = 5x +1D f =
A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontalOrdenada en el origen no cambia
D f = 1ª) y = -3x + 1
2ª) y = -3x + 5
3ª) y = -3x + 2
Igual pendiente: paralelas
Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen
RESUMEN:
Funciones lineales: y = mx + n
D f =
R f =
¡Ojo! Si m=0, R f = {n}
R f = {-2}
Ejemplos de aplicaciones de la función lineal:
A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt
B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante)
C) Dilatación: L = L0(1 + kt)
D) DEMANDA LINEAL, OFERTA LINEAL, DEPRECIACIÓN LINEAL, COSTO.
Funciones cuadráticasFunciones cuadráticas
y = axy = ax22 + bx + c + bx + c
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
Como todas las funciones polinómicas
D f =
5
36x
5
32x
5
4y 2
Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es
significativo y que puede llamar a
confusiones
Cambiamos el rango de representación y observamos las
variaciones que se producen
Ahora observamos la gráfica con toda su
significación
Las claves están en los siguientes
elementos:
Cortes con el eje OX
Vértice
Funciones cuadráticas D f = y = ax2 + bx + c
Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática:
1. Hallar los puntos de corte con el eje OX
ax2 + bx + c = 0 x1 y x2 (x1, 0) y (x2, 0)
2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)
3. Completar, si es necesario, con una tabla
Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)
a
acbyv 4
42
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
1) y = x2 -8x - 9
Vértice (4, -25)
R f = [-25, +)
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX
Obsérvense los coeficientes de x2
9
100x
9
80x
9
20y
9
25x
9
20x
9
5y
5x4xy
2
2
2
V(2, -9) R f = [-9, +)
V(2, -5) R f = [-5, +)
V(2, -20) R f = [-20, +)
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
y = x2 - 3x + 2
y = 3x2 + 2x +1
y = 20x2 - 20x + 5
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo:
y = - 3x2 + x - 2
y = - 3x2 – x + 2
y = - x2 + 7x - 10
¡Ojo! En este caso:
Rf = (-∞, xv]
Funciones polinómicas Funciones polinómicas Grado >2 Grado >2
D f =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = x3y = 2x3
y = 5x3
Obsérvese el efecto y = c·f(x)
D f =
R f =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = x3 + 1 y = x3
y = x3 - 2
y = x3 + 3
D f =
R f =
Obsérvese el efecto y = f(x) + c
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x3 - 4x2 + x +6
D f =
R f =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x + 1)2(x - 2) = x3 - 3x - 2
D f =
R f =
Solución doble
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x2 + 1)(x - 2) = x3 - 2x2 + x - 2
Raíces complejas
D f =
R f =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x -1)(x - 2)(3 - x) = -x3 + 6x2 -11x + 6
D f =
R f =
Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo
Funciones cuárticas: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
y = (x +1)x(x - 1)(x -2) = x4 - 2x3 - x2 + 2x
D f =
Funciones fraccionarias Funciones fraccionarias
D f = - {x/ Qm(x) = 0}
Funciones fraccionarias
Asíntotas verticales
Asíntota horizontal y = 0
x = 3x = 0
x = -3/4R f = - {0}
Gráfica: HIPÉRBOLA
Funciones fraccionarias
Gráfica: HIPÉRBOLA
5x + 10 = 0 x = -2
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
D f = - {-2}
R f = - {3/5}
Funciones fraccionarias
Asíntota horizontal y = 1
Asíntotas verticales
x = -1 x = 4
D f = - {-1, 4}
Funciones trascendentes Funciones trascendentes
ExponencialLogarítmicaTrigonométricas··· ··· ···
Función exponencialFunción exponencial
y = ax a>0
Función exponencial
y = 2xy = exy = 10x
D f =
R f = (0, +)
Asíntota horizontal y = 0
e 2’718281828459045235360... Función monótona creciente
Función exponencial
y = 0’5x y = 0’1xy = (1/e)x
D f =
R f = (0, +)
Asíntota horizontal y = 0
Función monótona decreciente
Función exponencialFunción exponencialy = ax a>0
RESUMEN
Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial
Función logarítmicaFunción logarítmica
y = loga(x) a > 0
Función logarítmica
como función inversa de la función exponencial
Función exponencial y = ax
Bisectriz y = x
Función logarítmica y = loga(x)
R f = (0, +)
R f =
D f = (0, +)
a0 = 1Loga(1) = 0
Función logarítmica
y = log2(x)y = ln(x)
y = log(x)
Función logarítmica
y = log0’1(x)
y = log1/e(x)
y = log0’5(x)
DEMANDADEMANDALa La demandademanda en economía se define como la cantidad y calidad de bienes y servicios que en economía se define como la cantidad y calidad de bienes y servicios que pueden ser adquiridos a los diferentes precios del mercado por un consumidor (demanda pueden ser adquiridos a los diferentes precios del mercado por un consumidor (demanda individual) o por el conjunto de consumidores (demanda total o de mercado). La demanda individual) o por el conjunto de consumidores (demanda total o de mercado). La demanda es una función matemática expresada de la siguiente manera:es una función matemática expresada de la siguiente manera:
QdxQdx = = FF((PP,,II,,GG,,NN,,PsPs,,PcPc))DondeDondeQdx = es la cantidad demandada del bien o servicio. Qdx = es la cantidad demandada del bien o servicio. P = precio del bien o servicio. P = precio del bien o servicio. I = ingreso del consumidor. I = ingreso del consumidor. G = gustos y preferencias. G = gustos y preferencias. N = número de consumidores. N = número de consumidores. Ps = precio de bienes sustitutos. Ps = precio de bienes sustitutos. Pc = precio de bienes complementarios. Pc = precio de bienes complementarios.
La demanda puede ser expresada gráficamente por medio de la curva de la demanda. La La demanda puede ser expresada gráficamente por medio de la curva de la demanda. La pendiente de la curva determina cómo aumenta o disminuye la demanda ante una pendiente de la curva determina cómo aumenta o disminuye la demanda ante una disminución o un aumento del precio. Este concepto se denomina la elasticidad de la curva disminución o un aumento del precio. Este concepto se denomina la elasticidad de la curva de demanda. de demanda. Ley de la DemandaLey de la Demanda
Siempre y cuando no se modifiquen los demás factores determinantes la cantidad Siempre y cuando no se modifiquen los demás factores determinantes la cantidad que se demanda de un bien en el mercado varía en razón inversa a su precio.que se demanda de un bien en el mercado varía en razón inversa a su precio.
Fuente: WikipediaFuente: Wikipedia
EJEMPLOS y EJEMPLOS y CONTRAEJEMPLOS DE CONTRAEJEMPLOS DE
FUNCIONFUNCION
HECHOS EN LA PIZARRA