universidad cÉsar vallejo facilitadora: lic. mat. patricia isabel,aguilar incio
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UNIVERSIDAD CÉSAR UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOVALLEJO
Facilitadora:Facilitadora:Lic. Mat.Lic. Mat. Patricia Isabel ,Aguilar Patricia Isabel ,Aguilar IncioIncio
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Objetivo de hoyObjetivo de hoy
Determinar cuando una expresión o un Determinar cuando una expresión o un diagrama representa una funcióndiagrama representa una función
Diferenciar los tipos de funcionesDiferenciar los tipos de funciones
Bosquejar la gráfica de una funciónBosquejar la gráfica de una función
Determinar el Dominio y el Rango de Determinar el Dominio y el Rango de Funciones Funciones
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Revisión de Algunos ConceptosRevisión de Algunos Conceptos
Función y RelaciónFunción y RelaciónDominio y Rango de una FunciónDominio y Rango de una FunciónSistema de Coordenadas CartesianasSistema de Coordenadas CartesianasFunción: Constante, Lineal, Cuadrática, Función: Constante, Lineal, Cuadrática, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Racional.Racional.Gráfica de Funciones por tablasGráfica de Funciones por tablasGráfica de funciones con softwareGráfica de funciones con software
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FUNCIÓN REALFUNCIÓN REAL
Una función es una regla f,que asigna a cada número de entrada “x X” ∈exactamente un número de salida “y Y”.∈Al conjunto de números de entrada X a los cuales se les aplica la regla se le llama dominio de la función. El conjunto de números de salida Y es llamado el rango.En este curso X e Y serán subconjuntos de R (conjunto de los números reales)
xxf deexpresión )(
)(xfy 1
13)(
2
x
xxfEjemplo:
YXf :
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Elementos básicos en el estudio de una función.
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
RECORRIDO o IMAGEN
GRÁFICA o GRAFO
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DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
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RECORRIDO o IMAGEN
El recorrido es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar y, los cuales son imagen de algún valor x
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GRÁFICA o GRAFO
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Funciones Lineales: Funciones Lineales: y = mx + ny = mx + n
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
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Todas las funciones polinómicas tienen dominio
3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3
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3ª) y = (1/3)x +1
1ª) y = 2x +1
2ª) y = 5x +1D f =
A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontalOrdenada en el origen no cambia
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D f = 1ª) y = -3x + 1
2ª) y = -3x + 5
3ª) y = -3x + 2
Igual pendiente: paralelas
Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen
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RESUMEN:
Funciones lineales: y = mx + n
D f =
R f =
¡Ojo! Si m=0, R f = {n}
R f = {-2}
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Ver ejemplo en geogebra
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Ejemplos de aplicaciones de la función lineal:
A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt
B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante)
C) Dilatación: L = L0(1 + kt)
D) DEMANDA LINEAL, OFERTA LINEAL, DEPRECIACIÓN LINEAL, COSTO.
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Funciones cuadráticasFunciones cuadráticas
y = axy = ax22 + bx + c + bx + c
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
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Como todas las funciones polinómicas
D f =
5
36x
5
32x
5
4y 2
Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es
significativo y que puede llamar a
confusiones
Cambiamos el rango de representación y observamos las
variaciones que se producen
Ahora observamos la gráfica con toda su
significación
Las claves están en los siguientes
elementos:
Cortes con el eje OX
Vértice
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Funciones cuadráticas D f = y = ax2 + bx + c
Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática:
1. Hallar los puntos de corte con el eje OX
ax2 + bx + c = 0 x1 y x2 (x1, 0) y (x2, 0)
2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)
3. Completar, si es necesario, con una tabla
Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)
a
acbyv 4
42
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Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
1) y = x2 -8x - 9
Vértice (4, -25)
R f = [-25, +)
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Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX
Obsérvense los coeficientes de x2
9
100x
9
80x
9
20y
9
25x
9
20x
9
5y
5x4xy
2
2
2
V(2, -9) R f = [-9, +)
V(2, -5) R f = [-5, +)
V(2, -20) R f = [-20, +)
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Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
y = x2 - 3x + 2
y = 3x2 + 2x +1
y = 20x2 - 20x + 5
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Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo:
y = - 3x2 + x - 2
y = - 3x2 – x + 2
y = - x2 + 7x - 10
¡Ojo! En este caso:
Rf = (-∞, xv]
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Ejemplo con GEOGEBRA